MATEMATICAMATEMATICAnellanella
REALTA’REALTA’Lucia Della Croce – Giulia Maggi
Ada Pulvirenti Dipartimento di Matematica
Università di Pavia
Piano Lauree Scientifiche Pavia 29 Settembre 2010
Attività proposte A. S. 20102011
Approccio alla
modellizzazione matematica( Attività 1 )
Matematica nella realtà( Attività 2 )
Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare,
predire i fenomeni reali
Elaborazione e manipolazione di immagini
Le attività 1 e 2 sono da intendersi alternative e a scelta
TEMI E CONTENUTITEMI E CONTENUTI Attività 1Attività 1
Modelli discreti lineariModelli discreti lineari
Dinamica delle popolazioniDinamica delle popolazioni
Modelli discreti non lineariModelli discreti non lineari
Il sistema evolve nel tempo
L’intervallotemporale èdiscretizzato
MODELLIMODELLI
DINAMICI DISCRETI LINEARI DINAMICI DISCRETI LINEARI
La legge che determina
l’evoluzione è lineare
è una funzione che misura la quantità che varia nel tempo
sono i valori in corrispondenza ai tempi
0t 1t it NtT =
0y 1y iy Ny
DISCRETIZZAZIONEDISCRETIZZAZIONE TEMPORALETEMPORALE
( )y y t=
, ,...,0 1y y yn
La legge è lineare
, ,...,0 1y y yn sono definiti per ricorrenza
(1 )y f yn n=+ f funzione lineare
yn
1yn+
1.1. NascitaNascita di nuovi individuidi nuovi individui2.2. MorteMorte di alcuni individuidi alcuni individui3.3. Il numero di nati è Il numero di nati è proporzionaleproporzionale al numero di individui al numero di individui
presentipresenti4.4. Il numero di morti è Il numero di morti è proporzionaleproporzionale al numero di individui al numero di individui
presentipresenti
COSTRUZIONE DEL MODELLOCOSTRUZIONE DEL MODELLO
Ipotesi del modello lineare (di Malthus)
Equazione di bilancio : nnnn yyyy βα −+=+1
Equazione alle differenze
byy nn +=+ λ1
byyn
nn λ
λλ−−+=+ 1
1010yy n
n λ=
nn yy λ=+1
STRUMENTI MATEMATICI
con immigrazione
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
tempo
popolazione
Yn = 0.8 * Yn-1 + 0.2
λ−1b
Attività di laboratorio proposte
Esempi di costruzione di modelli
Identificazione dei parametri (minimi quadrati)
Studio dei punti di equilibrio
Estensione al caso non lineare ( logistica)
Generalizzazione a contesti diversi
TEMI E CONTENUTITEMI E CONTENUTI Attività 2Attività 2
Trasformazioni di immaginiTrasformazioni di immagini
Digitalizzazione di un’immagineDigitalizzazione di un’immagine
Manipolazione e filtraggioManipolazione e filtraggio
DIGITALIZZAZIONE DI DIGITALIZZAZIONE DI IMMAGINIIMMAGINI
Immagine in 2 ( , )f x y ( , )x y Ω? ? 2
Luminosità, colore
Immagine digitalizzata spaziale
quantitativa
Discretizzazione
(i,j)i
( , )ij i jF f x y=
1Q
P
Ogni elemento della matrice Fè detto pixel
MatriceP x Q
Discretizzazione spaziale
1 j
Discretizzazione quantitativa
85
64
115
42
201
37
…
…
…
83
…
I valori ( , )f x y vengono scelti in un insieme discreto di dimensione N (diadica, potenze del 2),che definisce il numero di livelli di grigi
DIGITALIZZAZIONE DIGITALIZZAZIONE
DI IMMAGINIDI IMMAGINI
Effetti della discretizzazione
Campionamento Quantizzazione
F’=(F*K)/N. F’ =log(F)*K/log(N),Uniforme Nonuniforme
N range dei grigi di ingresso, K range dei grigi di uscita
Variazione della grigliadi discretizzazione spaziale
CAMPIONAMENTO
QUANTIZZAZIONE
UNIFORME
QUANTIZZAZIONE
NONUNIFORME
TRASFORMAZIONI TRASFORMAZIONI
DI IMMAGINIDI IMMAGINI
Istogramma Trasformazioni geometriche
livelli di grigi0 ≤ n ≤ N1
Frequenzedei pixel
( , ) : ( , ) ,0 255H freq a b F a b n n= =
simmetrie traslazioni rotazioni trasformazioni di potenza complementare
Immagini diverse possono avere uguale istogramma.
MANIPOLAZIONE E FILTRAGGIO MANIPOLAZIONE E FILTRAGGIO
DI IMMAGINIDI IMMAGINI
• Rimozione del rumore (tecniche di filtraggio)
• Modelli di rumore
Rumore : errori per esempio introdotti nella fase di acquisizione dell’immagine, nei valori dei pixel che differiscono dai valori ideali
Modalità di lavoro con gli insegnanti A. S. 20102011
Alcuni incontri preliminari di formazione
Alcuni incontri di collaborazione per la scelta e costruzione di modelli adeguati
Incontro finale di relazione e valutazione delle attività svolte, con modalità da definirsi.
Modalità di lavoro con gli studenti A. S. 20102011
Eventualmente, a discrezione degli insegnanti interessati, si può prevedere un intervento in classe di alcuni dei docenti universitari con lo scopo di presentare un’introduzione alla modellistica matematica e/o all’analisi delle immagini.
Interventi da parte di alcuni docenti universitari durante le attività di laboratorio (indispensabili!), per coadiuvare gli insegnanti nell’applicazione di software (octave).
Incontro finale di relazione e valutazione delle attività svolte, con modalità da definirsi.
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