Download - Lineare Algebra II FS 20n.ethz.ch/~leniklau/download/linalgfs20II/praesentation...Β Β· 2020. 5. 22.Β Β· 10 Recap System 1.Ordnung π‘Œβ€²= π‘Œ Eigenwerte und Eigenvektoren sind berechnet.

Transcript

  • 1

    Lineare Algebra II – FS 20

    Übung 13

  • 2

    Ablauf

    EinfΓΌhrung

    Recap einiger Sachen

    Besprechung von 3 Aufgaben der Lernkontrolle

    Theorie

    β€’ Inhomogene lineare Systeme (hΓ€ufiger Fall)

    Tipps Serie 13

  • 3

    Recap

    Fragen

    FΓΌr reelle Matrizen gilt

    Wenn A symmetrisch ist β†’ Es existiert eine orthonormale Eigenbasis.

    Es existiert eine orthonormale Eigenbasis.β†’ A ist symmetrisch.

  • 4

    Recap

    LΓ€nge vom | π‘Ÿ | Vektor

    π‘Ÿ = 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑐

  • 5

    Recap

    LΓ€nge vom | π‘Ÿ | Vektor

    π‘Ÿ = 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑐

    𝑅 = 𝑄𝑇𝐴 β†’ 𝐴 = 𝑄𝑅𝑑 = 𝑄𝑇𝑐 β†’ 𝑐 = 𝑄𝑑

    Orthogonale Matrix

    𝑄𝑇𝑄 = 𝕀𝑛

  • 6

    Recap

    LΓ€nge vom | π‘Ÿ | Vektor

    π‘Ÿ = 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑐

    𝑅 = 𝑄𝑇𝐴 β†’ 𝐴 = 𝑄𝑅𝑑 = 𝑄𝑇𝑐 β†’ 𝑐 = 𝑄𝑑

    Orthogonale Matrix

    𝑄𝑇𝑄 = 𝕀𝑛

    𝑅 =9 30 30 0

    π‘₯ =13/97/3

    𝑑 =2071

    𝑅0

    π‘₯

    𝑑0

    𝑑1

  • 7

    Recap

    LΓ€nge vom | π‘Ÿ | Vektor

    π‘Ÿ = 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑐

    𝑅 = 𝑄𝑇𝐴 β†’ 𝐴 = 𝑄𝑅𝑑 = 𝑄𝑇𝑐 β†’ 𝑐 = 𝑄𝑑

    π‘Ÿ = 𝑄𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑄𝑑 = | 𝑄 𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑑 |

    Orthogonale Matrix

    𝑄𝑇𝑄 = 𝕀𝑛

  • 8

    Recap

    LΓ€nge vom | π‘Ÿ | Vektor

    π‘Ÿ = 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑐

    𝑅 = 𝑄𝑇𝐴 β†’ 𝐴 = 𝑄𝑅𝑑 = 𝑄𝑇𝑐 β†’ 𝑐 = 𝑄𝑑

    π‘Ÿ = 𝑄𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑄𝑑 = | 𝑄 𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑑 |

    Eine orthogonale Matrix verΓ€ndert die LΓ€nge eines Vektors nicht.

    π‘Ÿ = 𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑑

    Orthogonale Matrix

    𝑄𝑇𝑄 = 𝕀𝑛

  • 9

    Recap

    LΓ€nge vom | π‘Ÿ | Vektor

    π‘Ÿ = 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑐

    𝑅 = 𝑄𝑇𝐴 β†’ 𝐴 = 𝑄𝑅𝑑 = 𝑄𝑇𝑐 β†’ 𝑐 = 𝑄𝑑

    π‘Ÿ = 𝑄𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑄𝑑 = | 𝑄 𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑑 |

    Eine orthogonale Matrix verΓ€ndert die LΓ€nge eines Vektors nicht.

    π‘Ÿ = 𝑅π‘₯ βˆ’ 𝑑 =9 30 30 0

    13/97/3

    βˆ’2071

    =2070

    βˆ’2071

    =00βˆ’1

    =| 𝑑1 |

    π‘Ÿ = | 𝑑1 |

    Orthogonale Matrix

    𝑄𝑇𝑄 = 𝕀𝑛

    𝑅0 π‘₯ 𝑑0

    𝑑1

  • 10

    Recap

    System 1.Ordnung

    π‘Œβ€² = π΄π‘ŒEigenwerte und Eigenvektoren sind berechnet.

    Weg 1 Weg 2

    Allgemeine LΓΆsung direkt hinschreiben

    π‘Œ 𝑑 = 𝑐1𝑒1πœ†π‘‘πΈπ‘‰πœ†1 + 𝑐2𝑒2

    πœ†π‘‘πΈπ‘‰πœ†2

    Allgemeine LΓΆsung schreiben als

    π‘Œ 𝑑 = 𝑇𝑒𝐷𝑑𝐢 = πΈπ‘‰πœ†1 πΈπ‘‰πœ†2

    𝑇

    π‘’πœ†1𝑑 0

    0 π‘’πœ†2𝑑

    𝑐1𝑐2

    Koeffizienten aus π’š(𝟎) berechnenπ‘Œ 0 = 𝑐1πΈπ‘‰πœ†1 + 𝑐2πΈπ‘‰πœ†2

    β†’ Wir erhalten das genau gleiche LGS.

    Koeffizienten als 𝑻π‘ͺ = 𝒀(𝟎) berechnen.Lineares Gleichungssystem

    T: Matrix, Y(0): rechte Seite, C: unbekannte

    LΓΆsung mit den Anfangsbedingungen

    Berechnete Koeffizienten einsetzen.

    LΓΆsung mit den Anfangsbedingungen

    π‘Œ 𝑑 = 𝑇𝑒𝐷𝑑 π‘‡βˆ’1π‘Œ(0)=𝐢

  • 11

    Recap

    System 1.Ordnung

    π‘Œβ€² = π΄π‘ŒEigenwerte und Eigenvektoren sind berechnet.

    Weg 1 Weg 2

    Allgemeine LΓΆsung direkt hinschreiben

    π‘Œ 𝑑 = 𝑐1𝑒1πœ†π‘‘πΈπ‘‰πœ†1 + 𝑐2𝑒2

    πœ†π‘‘πΈπ‘‰πœ†2

    Allgemeine LΓΆsung schreiben als

    π‘Œ 𝑑 = 𝑇𝑒𝐷𝑑𝐢 = πΈπ‘‰πœ†1 πΈπ‘‰πœ†2

    𝑇

    π‘’πœ†1𝑑 0

    0 π‘’πœ†2𝑑

    𝑐1𝑐2

    Koeffizienten aus π’š(𝟎) berechnenπ‘Œ 0 = 𝑐1πΈπ‘‰πœ†1 + 𝑐2πΈπ‘‰πœ†2

    β†’ Wir erhalten das genau gleiche LGS.

    Koeffizienten als 𝑻π‘ͺ = 𝒀(𝟎) berechnen.Lineares Gleichungssystem

    T: Matrix, Y(0): rechte Seite, C: unbekannte

    LΓΆsung mit den Anfangsbedingungen

    Berechnete Koeffizienten einsetzen.

    LΓΆsung mit den Anfangsbedingungen

    π‘Œ 𝑑 = 𝑇𝑒𝐷𝑑 π‘‡βˆ’1π‘Œ(0)=𝐢

  • 12

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

  • 13

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    Eigenwertgleichung

    𝐡𝑣1 = πœ†1𝑣1𝐡𝑣2 = πœ†2𝑣2

  • 14

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    Eigenwertgleichung

    𝐡𝑣1 = πœ†1𝑣1𝐡𝑣2 = πœ†2𝑣2

    Der Eigenvektor mit der

    Matrix multipliziert.

  • 15

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    Eigenwertgleichung

    𝐡𝑣1 = πœ†1𝑣1𝐡𝑣2 = πœ†2𝑣2

    Der Eigenvektor mit der

    Matrix multipliziert.

    Ein Vielfaches des

    Eigenvektors.=

  • 16

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    Eigenwertgleichung

    𝐡𝑣1 = πœ†1𝑣1𝐡𝑣2 = πœ†2𝑣2

    Der Eigenvektor mit der

    Matrix multipliziert.

    Ein Vielfaches des

    Eigenvektors.=

  • 17

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    a) Dieser Fall ist nicht mΓΆglich, da 𝐡𝑣1 nicht mehr in die Richtung von 𝑣1 zeigt.

  • 18

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    b)

    Dieser Fall ist mΓΆglich,

    die Eigenwerte wΓ€ren.

    πœ†1 = 1, πœ†2 = βˆ’1

  • 19

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    c) Dieser Fall ist mΓΆglich, die

    Eigenwerte wΓ€ren.

    πœ†1 = 0, πœ†2 = 1

  • 20

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    d)

    Dieser Fall ist

    mΓΆglich, die

    Eigenwerte

    wΓ€ren.

    πœ†1 = 0.5, πœ†2 = 2

  • 21

    Recap

    Aufgabe 2 – Eigenvektoren einer Matrix

    a) b)

    c) d)

    Dieser Fall ist mΓΆglich, die

    Eigenwerte wΓ€ren.

    πœ†1 = 1, πœ†2 = βˆ’1

    Dieser Fall ist

    mΓΆglich, die

    Eigenwerte wΓ€ren.

    πœ†1 = 0.5, πœ†2 = 2

    Dieser Fall ist

    mΓΆglich, die

    Eigenwerte

    wΓ€ren.

    πœ†1 = 0, πœ†2 = 1

    Dieser Fall ist nicht mΓΆglich,

    da 𝐡𝑣1 nicht mehr in die Richtung von 𝑣1 zeigt.

    Diese Grafik kann

    keine Darstellung

    sein.

  • 22

    Recap

    Aufgabe 3

  • 23

    Recap

    Aufgabe 3 ErklΓ€rung

    Wir sehen, dass die 2. und die 4. sowie die 3. und die 5. Spalte linear abhΓ€ngig sind.

    Das heisst, der Rang unserer Matrix ist π‘…π‘Žπ‘›π‘” 𝐢 = 5 βˆ’ 2 = 3. (wir kΓΆnnten zwei Nullzeilen erzeugen)

    Die Dimension des Bildes ist also dim π‘–π‘š 𝐢 = π‘…π‘Žπ‘›π‘” 𝐢 = 3.

    Die Dimension des Kerns ist deshalb: dim ker 𝐴 = 5 βˆ’ 3 = 2.

    Die geom.Vf von πœ† = 0 ist also 2.

    Die alg.Vf von πœ† = 0 ist also β‰₯ 2.

    Die Spur von 𝐢 ist π‘†π‘π‘’π‘Ÿ 𝐢 = 0 + 4 + 10 + 24 + 1 = 39

    (II)

    2β‹…(II)

    (III)

    0.5β‹…(III)

  • 24

    Recap

    Aufgabe 3 ErklΓ€rung

    a) 𝐢 hat nur einen einzigen Eigenwert.

    Falsch, da die Spur die Summe der Eigenwerte ist und hier die Spur nicht null ist gibt es also sicher also noch einen anderen Eigenwert als 0.

    a) 0 ist ein Eigenwert von C mit alg. Vf = 2.

    Richtig, das ist die einzige Aussage die ΓΌbrig bleibt.

    a) C hat 5 paarweise verschiedene Eigenwerte.

    Falsch, Da der Eigenwert 0 mindestens alg.Vf = 2 hat, gibt es hΓΆchstens 4 paarweise verschiedene Eigenwerte.

    a) 1 ist eine Eigenwert von C mit alg.Vf = 4.

    Falsch, Da der Eigenwert 0 mindestens alg.Vf = 2 hat, kann eine anderer Eigenwert hΓΆchstens alg.Vf = 3 (5-2) haben.

  • 25

    Recap

    Aufgabe 8

  • 26

    Theorie

    Inhomogene Systeme

    Allgemeinπ‘Œβ€² = 𝐴 π‘₯ π‘Œ + 𝐡 π‘₯

    Beispiel

    π‘Œβ€² =1 π‘₯π‘₯ 1

    π‘Œ +sin(π‘₯)cos(π‘₯)

  • 27

    Theorie

    Inhomogene Systeme hΓ€ufiger Fall

    Konstante Koeffizienten, konstanter StΓΆrterm

    π‘Œβ€² = π΄π‘Œ + 𝐡

    Beispiel PrΓΌfung S16

    π‘Œβ€² =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œ +555

    𝒀 𝟎 =βˆ’πŸ‘πŸ’πŸŽ

  • 28

    Theorie

    Schritt 1 – LΓΆsen des homogenen Systems

    π‘Œβ€² = π΄π‘Œ

    π‘Œβ€² =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œ

    Eigenwerteπœ†1 = 1, πœ†2 = 1 + 2𝑖, πœ†3 = 1 βˆ’ 2𝑖

    Eigenvektoren

  • 29

    Theorie

    Schritt 1 – LΓΆsen des homogenen Systems

    LΓΆsung hinschreiben

    π‘Œβ„Ž 𝑑

    = 𝑐1𝑒𝑑

    2βˆ’32

    + 𝑒𝑑 𝑐2 cos(2𝑑) βˆ’ 𝑐3sin(2𝑑)001

    βˆ’ 𝑐2 sin 2𝑑 + 𝑐3cos(2𝑑)010

  • 30

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    π‘Œβ€² =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œ +ΰΈ–

    555𝑏

  • 31

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    π‘Œβ€² =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œ +ΰΈ–

    555𝑏

    Ansatz

    Da b konstant ist wΓ€hlen wir π‘Œπ‘ =

    𝛼𝛽𝛾

    = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘. als Ansatz.

  • 32

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    π‘Œβ€² =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œ +ΰΈ–

    555𝑏

    Ansatz

    Da b konstant ist wΓ€hlen wir π‘Œπ‘ =

    𝛼𝛽𝛾

    = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘. als Ansatz.

    Einsetzen000

    =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ +555

  • 33

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    π‘Œβ€² =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œ +ΰΈ–

    555𝑏

    Ansatz

    Da b konstant ist wΓ€hlen wir π‘Œπ‘ =

    𝛼𝛽𝛾

    = π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘. als Ansatz.

    Einsetzen000

    =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ +555

    Die linke Seite ist null, weil ein

    konstanter Vektor (hier der

    Ansatz π‘Œπ‘) abgeleitet 0 ergibt.

  • 34

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    Einsetzen000

    =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ +555

  • 35

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    Einsetzen000

    =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ +555

    anders geschrieben ist das ein lineares Gleichungssystem.1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ =βˆ’5βˆ’5βˆ’5

  • 36

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    Einsetzen000

    =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ +555

    anders geschrieben ist das ein lineares Gleichungssystem.1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ =βˆ’5βˆ’5βˆ’5

    Mit Gauss finden wir die Zeilenstufenform.1 0 00 1 βˆ’20 0 5

    π‘Œπ‘ =βˆ’550

  • 37

    Theorie

    Schritt 2 – Eine partikulΓ€re LΓΆsung finden.

    Einsetzen000

    =1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ +555

    anders geschrieben ist das ein lineares Gleichungssystem.1 0 02 1 βˆ’23 2 1

    π‘Œπ‘ =βˆ’5βˆ’5βˆ’5

    Mit Gauss finden wir die Zeilenstufenform.1 0 00 1 βˆ’20 0 5

    π‘Œπ‘ =βˆ’550

    β†’ 𝒀𝒑 =βˆ’πŸ“πŸ“πŸŽ

  • 38

    Theorie

    Schritt 3 – Allgemeine LΓΆsung des inhomogenen Systems

    Allgemeine inhomogene LΓΆsung

    = allgemeine homogene LΓΆsung + 1 partikulΓ€re LΓΆsung

  • 39

    Theorie

    Schritt 3 – Allgemeine LΓΆsung des inhomogenen Systems

    Allgemeine inhomogene LΓΆsung

    = allgemeine homogene LΓΆsung + 1 partikulΓ€re LΓΆsung

    π‘Œ 𝑑 = 𝒀𝒉 𝒕 + 𝒀𝒑 𝒕

    = 𝒆𝒕 π’„πŸ

    πŸβˆ’πŸ‘πŸ

    + π’„πŸ 𝒄𝒐𝒔(πŸπ’•) βˆ’ π’„πŸ‘π’”π’Šπ’(πŸπ’•)𝟎𝟎𝟏

    βˆ’ π’„πŸ π’”π’Šπ’ πŸπ’• + π’„πŸ‘π’„π’π’”(πŸπ’•)𝟎𝟏𝟎

    +βˆ’πŸ“πŸ“πŸŽ

  • 40

    Theorie

    Schritt 3 – Allgemeine LΓΆsung des inhomogenen Systems

    Allgemeine inhomogene LΓΆsung

    = allgemeine homogene LΓΆsung + 1 partikulΓ€re LΓΆsung

    π‘Œ 𝑑 = 𝒀𝒉 𝒕 + 𝒀𝒑 𝒕

    = 𝑒𝑑 π’„πŸ

    2βˆ’32

    + π’„πŸ π‘π‘œπ‘ (2𝑑) βˆ’ π’„πŸ‘π‘ π‘–π‘›(2𝑑)001

    βˆ’ π’„πŸ 𝑠𝑖𝑛 2𝑑 + π’„πŸ‘π‘π‘œπ‘ (2𝑑)010

    +βˆ’550

  • 41

    Theorie

    Schritt 4 – Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmen

    = 𝑒𝑑 π’„πŸ

    2βˆ’32

    + π’„πŸ π‘π‘œπ‘ (2𝑑) βˆ’ π’„πŸ‘π‘ π‘–π‘›(2𝑑)001

    βˆ’ π’„πŸ 𝑠𝑖𝑛 2𝑑 + π’„πŸ‘π‘π‘œπ‘ (2𝑑)010

    +βˆ’550

  • 42

    Theorie

    Schritt 4 – Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmen

    = 𝑒𝑑 π’„πŸ

    2βˆ’32

    + π’„πŸ π‘π‘œπ‘ (2𝑑) βˆ’ π’„πŸ‘π‘ π‘–π‘›(2𝑑)001

    βˆ’ π’„πŸ 𝑠𝑖𝑛 2𝑑 + π’„πŸ‘π‘π‘œπ‘ (2𝑑)010

    +βˆ’550

    Wir wollen π’„πŸ, π’„πŸ und π’„πŸ‘ bestimmen.

    π‘Œ 0 = π’„πŸ

    2βˆ’32

    + π’„πŸ

    001

    + π’„πŸ‘

    010

    +βˆ’550

    =βˆ’πŸ‘πŸ’πŸŽ

  • 43

    Theorie

    Schritt 4 – Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmen

    = 𝑒𝑑 π’„πŸ

    2βˆ’32

    + π’„πŸ π‘π‘œπ‘ (2𝑑) βˆ’ π’„πŸ‘π‘ π‘–π‘›(2𝑑)001

    βˆ’ π’„πŸ 𝑠𝑖𝑛 2𝑑 + π’„πŸ‘π‘π‘œπ‘ (2𝑑)010

    +βˆ’550

    Wir wollen π’„πŸ, π’„πŸ und π’„πŸ‘ bestimmen.

    π‘Œ 0 = π’„πŸ

    2βˆ’32

    + π’„πŸ

    001

    + π’„πŸ‘

    010

    +βˆ’550

    =βˆ’πŸ‘πŸ’πŸŽ

    π‘Œ 0 =

    2π’„πŸ βˆ’ 5βˆ’3π’„πŸ + π’„πŸ‘ + 5

    2π’„πŸ + π’„πŸ

    =βˆ’340

    2 0 0βˆ’3 0 12 1 0

    π’„πŸπ’„πŸπ’„πŸ‘

    =2βˆ’10

    β†’

    π’„πŸπ’„πŸπ’„πŸ‘

    =1βˆ’22

  • 44

    Theorie

    Schritt 4 – Konstanten mit der Anfangsbedingung bestimmenEingesetzt in die LΓΆsung erhalten wir also

    = 𝑒𝑑 𝟏2βˆ’32

    + βˆ’πŸπ‘π‘œπ‘ (2𝑑) βˆ’ πŸπ‘ π‘–π‘›(2𝑑)001

    βˆ’ βˆ’πŸπ‘ π‘–π‘› 2𝑑 + πŸπ‘π‘œπ‘ (2𝑑)010

    +βˆ’550

  • 45

    Theorie

    Tipps Serie 13

    1) (b) ist eine gute Übung

    2) (a) Normalengleichungen aufstellen β†’ lΓΆsen(b) (i) QR-Zerlegung in Matlab (von Hand zu aufwendig) β†’lΓΆsen(b) (ii) Normalengleichungen mit Β«\ OperatorΒ» lΓΆsen

    3) Gute Aufgabe, auch als PrΓΌfungsvorbereitung

    4) Auch diese Aufgabe ist gut als PrΓΌfungsvorbereitung

    5) (c) Welchen Rang hat die Matrix in diesem Fall?

    6) (c) π΄π‘˜π‘₯ = (… ) Verwende: 𝐴π‘₯ = πœ†π‘₯

    7) Die Eigenwerte sind ziemlich mΓΌhsam. Rang von A berechnen. β†’ Aussage ΓΌber Eigenwert 0Spur von A ist die Summer der Eigenwerte.Schaue sonst auch in den Zusatztipps.

  • 46

    Theorie

    Tipps Serie 13

    8) (a) Gib die gesuchte T und D-Matrix an.

    9) (c) Ansatz fΓΌr ein allgemeines Polynom aus 𝑃2π‘ž π‘₯ = π‘Žπ‘₯2 + 𝑏π‘₯ + 𝑐

    10) (a) Zeige dass𝐹 𝛼𝑝 π‘₯ + π›½π‘ž π‘₯ = 𝛼𝐹 𝑝 π‘₯ + 𝛽𝐹 π‘ž π‘₯

    (c) entweder analog zu (b) oder mit einem Basiswechsel.FΓΌr die LΓΆsung mit dem Basiswechsel kΓΆnnt ihr die MusterlΓΆsung anschauen. FΓΌr die Schnelle kΓΆnnte der Weg analog zu (b) aber einfacher sein.

  • 47

    Theorie

    Tipps Serie 13

    11) (a) Schaut euch die Bedinungen fΓΌr einen Unterraum nach. PrΓΌft diese fΓΌr die drei VektorrΓ€ume.

    FΓΌr die Basis: ΓΌberlegt euch wie viele freie Parameter ihr zur VerfΓΌgung habt. Das ist die Anzahl an BasisΒ»vektorenΒ» die ihr braucht. WΓ€hlt dann eine solche Anzahl linear unabhΓ€ngiger Vektor aus.

    12) Sehr schwierige und mΓΌhsame Aufgabe

    Schreibe mir direkt ein Mail mit deiner Frage fΓΌr Tipps an [email protected] dann kann ich dir konkrete Tipps geben.

    mailto:[email protected]

  • 48

    Theorie

    Tipps Serie 13

    13) Schreibe mir direkt ein Mail mit deiner Frage fΓΌr Tipps an [email protected] dann kann ich dir konkrete Tipps geben.

    (a) π΄πœ™ = πœ™β€²β€² = πœ†πœ™, nehmt πœ™ β‰  0 an. Dann kΓΆnnt ihr die DGL entweder direkt als System 2. Ordnung oder durch RΓΌckfΓΌhrung auf 1. Ordnung berechnen. (MusterlΓΆsung macht RΓΌckfΓΌhrung)

    Weil die Funktionen in 𝐢02 0, πœ‹ sind muss

    πœ™ 0 = 0πœ™ πœ‹ = 0

    gelten.

    (b) Einsetzen, wobei 𝐴𝑓, 𝑔 = βŸ¨π‘“β€²β€², π‘”βŸ©β†’ partielle Integration

    (c) FΓΌr die Berechnung von πœ™π‘˜ , πœ™π‘˜ kΓΆnnt ihr sin2 𝛼 =

    1βˆ’cos(2𝛼)

    2benutzen.

    mailto:[email protected]

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    Theorie

    Tipps Serie 13


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