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Page 1: Le derivate (sintesi)

1

1. Il rapporto incrementale

2. La derivata di una funzione

3. Il significato geometrico della derivata

Page 2: Le derivate (sintesi)

2

Il rapporto incrementale

Consideriamo la funzione y = x2+1 e un punto del suo grafico A(3; 10) f(3)= 32+1 = 10Incrementando l’ascisse di 0,1 si ottiene il punto B di coordinate: xB=3+0,1=3,1 yB= f(xB) = 3,12+1=10,61Chiamiamo xB - xA= 0,1 l’incremento di x e yB - yA=10,61-10 = 0,61 l’incremento di y.Il rapporto tra questi due valori sarà chiamato rapporto incrementale

1,631,3

1061,10

AB

AB

xx

yy

Page 3: Le derivate (sintesi)

3

Coefficiente angolare della retta passante per AB

Consideriamo la retta passante per AB e calcoliamo la sua equazione.La retta ottenuta ha coefficiente angolare uguale al rapporto incrementaleRicordiamo che …l’equazione esplicita della retta è y = mx + q m è chiamato coefficiente angolare della retta

3,81,6103,181,6

)3(1,610)(

xyxy

xyxxmyy

xx

yym

AA

AB

AB

Page 4: Le derivate (sintesi)

4

Definizione di rapporto incrementale

Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c), il numero

Infatti se consideriamo A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h)) xB = c + h yB = f(xB)= f(c + h) Si ottiene

h

cfhcf

chc

cfhcf

xx

yy

AB

AB )()(

h

cfhcf )(

Page 5: Le derivate (sintesi)

5

Esempio. Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione y = 2x2 - 3x relativo al suo punto A di ascissa 1.

Applichiamo la formula e troviamo

12

12211

211211

113121

1233242

3321213121

11

2

22

2

22

22

hh

hh

h

hh

h

fhf

h

cfhcf

hhhhfhf

f

hhhhh

hhhhhhfh

fhf

h

cfhcf

)()()(

)()(

)(

)()()()(

)()(

In generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h. Nell’esempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4… con h=0,1 allora il rapporto vale 1,2

Page 6: Le derivate (sintesi)

6

Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -1 e con h = 0,25

3

44

3

1

4

13

1

25,0

13

2

11

12

1

1)1(2)1(

3

2

75

50

75,0

50,0

75,0

150,1

75,0

1)75,0(2)75,0(

75,025,01)(

12)(

f

f

hchch

cfhcfx

xxf

Page 7: Le derivate (sintesi)

7

)1(3

41

3

475,025,01

3

2;75,0)1;1(

12)(

xy

mhchc

BA

x

xxf

Page 8: Le derivate (sintesi)

8

Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -3 e con h generico.

10

)10(292910)(

2981298)3(4)3()3(

29108412698)3(4)3()3(

33)(

84)(

2

2

222

2

hh

hh

h

hh

h

cfhcf

f

hhhhhhhhf

hhcgenericohch

cfhcf

xxxf

Page 9: Le derivate (sintesi)

9

Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione in un punto generico c e un incremento generico h.

22)22(22

2222)(

2)(

222)(2)()(

)(

2)(

2

222

2

222

2

chh

chh

h

hhch

h

cchchchc

h

cfhcf

cccf

hchchchchchcf

genericihech

cfhcf

xxxf

Page 10: Le derivate (sintesi)

10

Il rapporto incrementale

Il rapporto

incrementale si

indica in generale

con i simboli

yx

f (c h) f (c)

h

Page 11: Le derivate (sintesi)

11

La derivata di una funzione

f '(c) limh 0

f (c h) f (c)h

Page 12: Le derivate (sintesi)

12

La derivata di f in un punto c

rappresenta il coefficiente

angolare della retta tangente al

grafico di f nel suo punto di

ascissa c.

Significato geometrico della derivata

Page 13: Le derivate (sintesi)

13

Significato geometrico della derivata

Quando h 0

la retta secante s

tende alla tangente t

Page 14: Le derivate (sintesi)
Page 15: Le derivate (sintesi)
Page 16: Le derivate (sintesi)
Page 17: Le derivate (sintesi)
Page 18: Le derivate (sintesi)

18

Il calcolo della derivata in un punto particolare

6)6(

lim6

lim

8169lim

)19(13lim

)3(3lim)3(

31)()(

lim)(

0

2

0

2

0

2

0

0

'

2

0

'

h

hh

h

hh

h

hh

h

h

h

fhff

cexxfconh

cfhcfcf

hh

h

h

h

h

Page 19: Le derivate (sintesi)

19

)3(68 tangente

6)3(')(

6)3('83)8;3(1)( 2

xyretta

fmxxmyyrettedifascio

fyxAxxf

AA

AA

Page 20: Le derivate (sintesi)

20

Il calcolo della derivata in un punto generico

46)463(lim

)463(lim

463lim

4344363lim

)43()(43lim

)(lim)(

43)()(

lim)(

0

0

2

0

222

0

22

0

0

'

2

0

'

cchh

chh

h

hchh

h

cchchchc

h

cchchc

h

cfhcfcf

xxxfconh

cfhcfcf

h

hh

h

h

h

h

Page 21: Le derivate (sintesi)

21

F’ (c) = 6c - 4 è la derivata della

funzione f(x) = 3x2 - 4x .

Al variare di c si ottengono i

coefficienti angolari delle rette

tangenti nel punto c.

1)-10(x7-yè)7(-1;in tangente

104)1(6)1('7)1(1

2)-8(x4-yè4)(2;in tangente

84)2(6)2('4812)2(2

46)('46)('43)( 2

rettaLa

ffyxSe

rettaLa

ffyxSe

xxfccfxxxf

Page 22: Le derivate (sintesi)

22

03

4

3

20

3

4

3

4;

3

2in tangente

043

26

3

2'

3

4

3

8

3

4

3

24

9

43

3

24

3

23

3

2

3

2 xSe

2

yxyèrettaLa

f

fy

La retta tangente calcolato

in quest’ultimo esempio è

parallela all’asse delle x e

individua un punto

particolare della funzione:

un punto di minimo

Page 23: Le derivate (sintesi)

23

Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico è orizzontale ed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Quindi la derivata in quei punti è uguale a 0. m = f ‘ (x) = 0

minimo massimo punti di flesso

I PUNTI STAZIONARIData una funzione y = f(x) e un punto x = c, se f ’(c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario o punto a tangenza orizzontale.

Page 24: Le derivate (sintesi)

24

Una funzione è derivabile in un intervallo [ a ; b ] :

- è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;

- le derivate sono valori finiti;

- la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.

Inoltre se una funzione è derivabile in un punto essa è anche

continua in quel punto

La derivata destra e la derivata sinistra

h

cfhcfcfistraderivatala

h

cfhcfcfdestraderivatala

h

cfhcfcfderivatala

h

h

h

)(lim)(sin

)(lim)(

)(lim)(

0

'

0

'

0

'

Page 25: Le derivate (sintesi)

25

Esempio in cui la derivata destra non è uguale alla derivata sinistra

La funzione valore assoluto non è derivabile nel punto x=0

Page 26: Le derivate (sintesi)

26

Le derivate fondamentali

5 35

35

31

5

2

5

25 2

3 23

23

21

3

13

1

22111

2

12

11

2

1

2

1

267341

5

2

5

2

5

2

5

2

3

1

3

1

3

1

3

1,0

1

11

1

02

1

2

1

2

1

2

1

1;2;7;4

04

3;030

xx

xxDxxD

xx

xxDxDNnxconxn

xD

xxxDx

xD

xconx

x

xxDxxD

DxxDxxDxxDxnxDx

DDDk

esempion n

n

esempinn

esempi

Page 27: Le derivate (sintesi)

27

Le derivate fondamentali

22

22

22

22

2

2

2

2

22

2

22

1

1

1

11

1

1

1

11

11

1111

1333

xxD

xxarcsenD

xxD

xxarctgD

inversefle

xxsen

xD

xtgx

x

x

xsen

x

xxsen

xxtgD

senxxD

xsenxD

richetrigonometflex

ex

xDex

xDex

xD

eeeeDeDaaDa

fLe

eesempioaa

xxxxxesempi

xx

arccosen

arccotg

cotgcotg

helogaritmiceliesponenzia

.

)(

coscos

coscoscos

cos

cos

cos

.

logln;loglogloglog

)(lnln;lnln

.

Page 28: Le derivate (sintesi)

28

Le regole di derivazione

La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione

55634' 962

3

2

3433 xxxDxxDxfkxfkD

esempio

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni

5121245324532

25

)(

354646

42525

''

xxDDxDxDxxxxD

xxDxDxxxD

xgxfxgxfD

Page 29: Le derivate (sintesi)

29

Le regole di derivazione

xxxsenxDsenxxsenDxxsenxD

xx

xx

xxxDxxDxxxD

xgxfxgxfxgxfD

cos

2

3

22

11

)( ''

La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata con la prima funzione non derivata per la seconda derivata

Page 30: Le derivate (sintesi)

30

Le regole di derivazioneLa derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione che ha:

• Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore e la funzione al numeratore per la derivata della funzione al denominatore

• Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore

2

2

2

22

2

22

2

''

52

8102

52

82104

52

24522

52

4

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xD

xg

xgxfxgxf

xg

xfD

Page 31: Le derivate (sintesi)

31

Page 32: Le derivate (sintesi)

32

Page 33: Le derivate (sintesi)

33

2

2

2

2

2

''

22

'

2223

'1

''

42525''

34'

52

1062.....

52

252522

52

4

2

2

52

11

231232232

2

3

22

11

)(

25)(

433

x

xx

x

xxx

x

xD

xg

xgxfxgxf

xf

xgD

xxD

xf

xf

xfD

xxxDxxD

xfxfnxfD

xx

xx

xxxDxxDxxxD

xgxfxgxfxgxfD

xxDxDxxxDxgxfxgxfD

xxDxfkxfkD

esempio

esempio

esempio

nn

esempio

esempio

esempio

Page 34: Le derivate (sintesi)

34

2

2

2

2

2

''

22

'

2223

'1

''

42525''

34'

52

1062.....

52

252522

52

4

2

2

52

11

231232232

2

3

22

11

)(

25)(

433

x

xx

x

xxx

x

xD

xg

xgxfxgxf

xf

xgD

xxD

xf

xf

xfD

xxxDxxD

xfxfnxfD

xx

xx

xxxDxxDxxxD

xgxfxgxfxgxfD

xxDxDxxxDxgxfxgxfD

xxDxfkxfkD

esempio

esempio

esempio

nn

esempio

esempio

esempio

Page 35: Le derivate (sintesi)

35