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Le derivate1. Introduzione 12. Definizione di derivata e suo significato

geometrico 4Rapporto incrementale, 4Derivata in un punto, 5Derivata destra e derivata sinistra, 8Punto angoloso, 8Rapporti incrementali divergenti, 10Derivabilità in un intervallo, 12

3. Continuità delle funzioni derivabili 124. Derivate di alcune funzioni elementari 13

Derivata di una costante, 13Derivata della funzione identica, 14Derivata della funzione sen x, 14Derivata della funzione cos x, 14Derivata della funzione logaritmica, 15Derivata della funzione esponenziale, 15

5. Regole di derivazione 16Derivata della somma, 16Derivata del prodotto, 17Derivata della potenza con esponente naturale, 18Derivata della funzione reciproca, 19Derivata della potenza con esponente intero, 19Derivata del quoziente, 20

6. Derivata della funzione composta 20Derivata di [ f(x)]g(x), 22Derivata della potenza a esponente reale, 23

7. Funzione derivata prima e funzioni derivate successive 24

8. Derivate di funzioni pari e dispari 259. Derivata della funzione inversa 26

Derivate delle funzioni inverse delle funzioni circolari, 28

10. Primitive di una funzione 29Ricerca di una primitiva che soddisfa una con-dizione iniziale, 30

11. Differenziale di una funzione 32Significato geometrico del differenziale, 33Approssimazione lineare di una funzione, 34 Differenziali e calcoli approssimati, 35

12. Significato fisico della derivata 36Velocità e accelerazione in un moto rettilineo, 36Intensità di corrente, 38

Forza elettromotrice indotta, 38Derivate fondamentali e regole di derivazione 40

Lettura Applicazioni economiche: l’analisi marginale 41La palla di neve 41Quesiti di verifica 43Laboratorio di informatica 441. Il rapporto incrementale, 44 – 2. La retta tangen-te, 44 – 3. Il limite del rapporto incrementale, 45 –4. Sperimentare con la Random, 45 – 5. Le derivateprime, seconde…, 46 – 6. Le regole di derivazione,46 – 7. Esercizi, 47 – 8. Programmi, 47

Esercizi 48Rapporto incrementale, 48 – Definizione di deriva-ta, 50 – Re gole di deri vazione, 51 – Deri vata dellafunzione composta, 59 – Derivata della funzione in-versa, 64 – Derivate succesive, 65 – Significato geo-metrico di deri vata, 67 – Deri vata destra e deri vatasinistra, 74 – Studio della continuità e della deri va-bilità, 75 – Differenziale. Calcolo approssimato, 80– Significato fisico di derivata, 83 VERSO LA MATURITÀ, 88

I teoremi del calcolodifferenziale

1. Massimi e minimi 932. Teoremi di Rolle, di Cauchy,

di Lagrange 98Significato geometrico del teorema di Rolle, 98Un’applicazione del teorema di Rolle, 100Significato geometrico del teorema di Lagrange, 104Interpretazione cinematica del teorema di Lagrange, 106Funzioni crescenti, 106

3. Forme indeterminate. Teorema di de L’Hôpital 109

Forma indeterminata , 109

Forma indeterminata , 111

4. Limiti notevoli 114

∞∞

00

capitolo 2

capitolo 1

Indice

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Indice

VI

5. Punti a tangente orizzontale 1156. Uso delle derivate successive 1177. Osservazioni sui massimi

e minimi locali 1238. Concavità, convessità, flessi 1249. Una proprietà delle funzioni convesse 128

10. Studio dei punti di non derivabilità 130Punti angolosi. Cuspidi. Flessi a tangente verticale, 130

Lettura Un problema di minimo 134Quesiti di verifica 135Laboratorio di informatica 1371. I punti di Lagrange, 137 – 2. I punti di Cauchy ,138 – 3. Esercizi, 139 – 4. Programmi, 139

Esercizi 140Massimi e minimi, 140 – Teoremi di Rolle, diCauchy, di Lagrange, 140 – Teorema di Rolle, 140 –Teorema di Cauc hy, 142 – Teorema di La grange,144 – Interpretazione cinematica del teorema diLagrange, 146 – Studio dei punti di non derivabilità,146 – Funzioni crescenti e decrescenti, 147 –Invertibilità, 150 – F orme indeterminate. Teoremadi de L ’Hôpital, 152 – Massimi e minimi relati vi,159 – Esercizi con parametri, 161 – Concavità, con-vessità, flessi, 164VERSO LA MATURITÀ, 170

Grafici di funzioni1. Studio del grafico di una funzione 173

Polinomi, 173Funzioni razionali, 177Funzioni algebriche irrazionali, 181Funzioni goniometriche, 186Funzioni esponenziali, 188Funzioni logaritmiche, 189Funzioni oscillanti, 191

2. Dal grafico di f al grafico di f ′′ 1953. Discussione grafica di un’equazione 1964. Numero delle radici reali

di un’equazione 198Unicità della soluzione, 199

5. Studio di un moto rettilineo 2006. Studio di curve in forma parametrica 203

Interpretazione cinematica, 203Retta tangente, 207Un’interpretazione del teorema di Cauchy, 210

7. Curve in coordinate polari 211Equazioni polari delle coniche, 214Angolo tra retta tangente e raggio vettore, 215Angolo tra due curve, 215

8. Curvatura 217

9. Raggio di curvatura. Centro di curvatura 220

10. Evoluta 221

Lettura La quantità ottimale 223Quesiti di verifica 224Laboratorio di informatica 2271. I grafici con GEOGEBRA, 227 – 2. Proprietà di ungrafico, 227 – 3. I graf ici con D ERIVE, 228 – 4.Curve parametriche, 229 – 5. Visualizzare f ile nu-merici con EXCEL, 229 – 6. Visualizzare la curvatu-ra, 230 – 7. Esercizi, 231 – 8. Programmi, 231

Esercizi 232Studio del grafico di una funzione, 232 – Grafici dipolinomi, 232 – Grafici di funzioni r azionali fratte,233 – Grafici di funzioni con modulo, 235 – Graficidi funzioni irrazionali, 236 – Grafici di funzioni go-niometriche, 239 – Grafici di funzioni esponenziali,241 – Grafici di funzioni logaritmiche, 244 – Graficidi funzioni in verse delle funzioni cir colari, 247 –Discussione graf ica di un’equazione parametrica,250 – Numero delle radici reali di un’equazione,252 – Studio di un moto rettilineo, 253 – Curv e informa parametrica, 256 – Curve in un riferimento dicoordinate polari, 264 – Curvatura, 268 – Raggio ecentro di curv atura, 269 – Problemi di riepilogo,271 – Problemi geometrici con studio di funzioni,279 – GRAFICI SOLUZIONE, 285VERSO LA MATURITÀ, 290

Massimi e minimi assoluti

1. Massimi e minimi assoluti 295A. Funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, 295B. Funzione continua in un intervallo limitato e aperto e dotata di limiti (f initi o infiniti) agli estremi di tale intervallo, 297C. Funzione continua in un intervallo illimitato e dotata di limite (finito o infinito) per x →∞, 297

2. Massimi e minimi di alcune funzioni composte 299

3. Problemi di massimo e minimo assoluto 301

4. Massimi e minimi per via elementare di funzioni in due o più v ariabili 306

5. Programmazione lineare 311Utilizzazione di modelli geometrici per la programmazione, 315

Lettura Il volume della botte 317Quesiti di verifica 319

capitolo 4

capitolo 3

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VII

Indice

Laboratorio di informatica 3201. Il massimo e il minimo, 320 – 2. Massimo e mini-mo. Derivata, 321 – 3. Un problema di minimo: la ri-flessione, 323 – 4. Esercizi, 323 – 5. Programmi, 323

Esercizi 324Massimi e minimi assoluti,324 – In un intervallo chiu-so e limitato, 324 – In un intervallo aperto limitato oillimitato, 327 – Nel dominio della funzione , 329 –Massimi e minimi assoluti per via elementare, 331 –Problemi di massimo e minimo assoluti, 332 –Problemi di massimo e minimo assoluti applicato allageometria piana, 332 – Problemi di massimo e minimoassoluti applicati alla g eometria solida, 337 –Problemi di massimo e minimo assoluti applicati allageometria analitica, 342 – Problemi di riepilogo, 347– Programmazione lineare, 349VERSO LA MATURITÀ, 352

L’integrale indefinito

1. Funzioni primitive di una funzione data 355Significato geometrico dell’integrale indefinito, 357Proprietà dell’integrale indefinito, 358

2. Integrali indefiniti immediati 3593. Integrazione delle funzioni razionali 3654. Integrazione di funzioni con moduli 3695. Integrazione per sostituzione 373

Sostituzioni con funzioni goniometriche, 375Sostituzioni con funzioni iperboliche, 376

6. Integrazione per parti 377

Quesiti di verifica 380Laboratorio di informatica 3821. La tendina Calcola in DERIVE, 382 – 2. Le primiti-ve con G EOGEBRA, 383 – 3. Dalla funzione alla pri-mitiva, 384 – 4. Esercizi, 385 – 5. Programmi, 385

Esercizi 386Integrali indefiniti immediati, 386 – Funzioni iperbo-liche, 395 – Integrazione delle funzioni razionali, 395– Inte grazione di funzioni con moduli, 399 –Integrazione di funzioni def inite in più modi, 401 –Integrazione per sostituzione, 402 – Integrazione perparti, 404 – Esercizi di riepilogo,407 – Problemi, 411VERSO LA MATURITÀ, 413

L’integrale definito

1. Introduzione 4172. Misura di un insieme del piano 4183. Area del trapezoide 420

Somme integrali per difetto e per eccesso, 420

Il caso del trapezio, 422Il caso della parabola, 424Il caso dell’esponenziale, 425

4. Integrale definito 427Approssimazione di un inte grale def inito.Somme integrali generalizzate, 428Proprietà dell’integrale definito, 429Significato geometrico, 429

5. Il teorema della media 430Significato geometrico, 430

6. La funzione integrale:il teorema di Torricelli-Barrow 431Integrazione delle funzioni a scala, 434Derivata di una funzione integrale composta, 435

7. Integrazione per sostituzione 4358. Grafico della funzione integrale 4379. Calcolo di aree di domini piani 440

Area del segmento parabolico, 441Area della regione delimitata dall’ellisse, 441

10. Volumi dei solidi:metodo delle sezioni normali 443Volume della piramide e del cono, 444

11. Volumi dei solidi di rotazione 44412. Lunghezza di un arco di curva 448

Forma cartesiana, 448Forma parametrica, 450Forma polare, 451

13. Il teorema di Guldino 451Superficie di rivoluzione, 451Il baricentro, 453Volumi di rivoluzione, 454

14. Significato fisico dell’integrale definito 455Moto rettilineo, 455Quantità di carica, 456Lavoro di una forza, 456Lavoro della forza gravitazionale, 458Lavoro della forza elettrostatica. 460Energia di una corrente alternata, 460

15. Integrali impropri 46116. Criterio dell’integrale per una serie 466

Serie armonica generalizzata, 467

Quesiti di verifica 468Laboratorio di informatica 4701. Somme inferiori e superiori, 470 – 2. Inte graledefinito, 471 – 3. Aree di domini piani, 472 – 4.Lunghezza di una curv a, 472 – 5. Il teorema dellamedia, 473 – 6. Integrazione per sostituzione, 473 –7. Esercizi, 474 – 8. Programmi, 474

Esercizi 475Calcolo di inte grali def initi, 475 – Teorema dellamedia, 478 – La funzione integrale, 479 – Funzionia scala, 483 – Deri vata della funzione inte gralecomposta, 484 – Calcolo di aree, 488 – Calcolo di

capitolo 6

capitolo 5

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volumi, 494 – Lunghezza di un arco di curv a, 497– Teorema di Guldino, 501 – Superfici di rivolu-zione, 501 – Significato fisico dell’integrale, 505 –Integrali impropri, 508 – Criterio dell’integrale peruna serie, 510 – Esercizi di riepilogo, 512 –GRAFICI SOLUZIONE, 533VERSO LA MATURITÀ, 534

Zeri di funzione1. Introduzione 5372. Metodo di bisezione 5383. Radici di polinomi dispari 5394. Stima degli errori per il calcolo

di uno zero di funzione 5395. Metodi di linearizzazione 5416. Metodo delle tangenti o di Newton 5417. Metodo delle secanti 5458. Stima degli errori

del metodo di Newton 5479. Metodo delle approssimazioni

successive o del punto fisso 54910. Stima degli errori

nelle approssimazioni successive 552

Quesiti di verifica 554Laboratorio di informatica 5551. Radici con precisione asse gnata, 555 – 2. Il me-todo delle tangenti, 556 – 3. La successione diErone e il comando ITERATES, 557 – 4. Somme in-tegrali, 557 – 5. Esercizi, 558 – 6. Programmi, 558

Esercizi 559Metodo grafico, 559 – Metodo di bisezione, 559 –Metodo delle tangenti, 560 – Metodo delle secanti,562 – Metodo delle approssimazioni successi ve,562

Approssimazioni di funzioni

1. Introduzione 5652. Il polinomio di Taylor 5663. Massimi, minimi e flessi a tangente

orizzontale 5724. Interpretazione geometrica

dell’approssimazione delle funzioni mediante il polinomio di Taylor 574Tabella dei polinomi di Taylor, 577

5. Serie di Taylor 5786. Sviluppo in serie di alcune funzioni

elementari 579Serie del seno e del coseno, 579Serie esponenziale, 580

7. Polinomi interpolatori di Lagrange 580Interpolazione lineare, 580Interpolazione quadratica, 581Il caso generale, 583

8. Formula di Newton 584Generalizzazione, 585

9. Stima degli errori di interpolazione.Approssimazione uniforme 586

10. Polinomi di Fourier 588Coefficienti di Fourier, 590

Quesiti di verifica 592Laboratorio di informatica 5941. DERIVE: il comando TAYLOR, 594 – DERIVE: il co-mando POLY_INTERPOLATE, 595 – 3. I polinomi diFourier, 596 – 4. Il comando FIT di DERIVE, 598 – 5. I polinomi di Lagrange, 599 – 6. Esercizi, 600 –7. Programmi, 601

Esercizi 602Formula di Taylor, 602 – Polinomi interpolatori diLagrange, 605 – F ormula di Ne wton, 606 –Polinomi di Fourier, 607

Calcolo approssimato di un integrale

Premessa, 6091. Metodo dei rettangoli 609

Stima dell’errore nel metodo dei rettangoli, 610

2. Metodo dei trapezi 612Stima dell’errore nel metodo dei trapezi, 613

3. Metodo di Cavalieri-Simpson 615Stima dell’errore nel metodo di Cavalieri-Simpson, 616

4. Metodo Montecarlo 618

Quesiti di verifica 620Laboratorio di informatica 6221. Il metodo dei rettangoli, 622 – 2. Il metodo diCavalieri-Simpson, 623 – 3. Il metodo Montecarlo,624 – 4. Esercizi, 625 – 5. Programmi, 625

Esercizi 626Metodo dei rettangoli, 626 – Metodo dei trapezi,627 – Metodo di Cavalieri-Simpson, 629

Equazioni differenziali1. Introduzione 631

Nozioni generali, 631Rendita dei capitali, 632

2. Problemi lineari del primo ordine 634

capitolo 10

capitolo 9

capitolo 8

capitolo 7

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IX

Indice

L’equazione lineare y′ = ay + b, 634L’integrale generale dell’equazione differenziale, 636Equazioni omogenee e non omogenee, 637

3. Applicazioni: problemi del primo ordine 639Legge di caduta dei gravi, 639Un circuito elettrico, 639Gestione di un prestito, 641Raffreddamento di un corpo, 642Dinamica di popolazioni, 643

4. L’equazione lineare y′′ == a(x)y ++ b(x) 6435. Problemi lineari del secondo ordine 648

Oscillazioni del pendolo, 648Equazioni lineari del secondo ordine omogenee, 650Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee, 652

6. Applicazioni:problemi del secondo ordine 654Carrello sottoposto a una forza elastica, 654Circuiti elettrici, 656Oscillazioni forzate, 657Risonanza, 657

7. Complementi 658Equazione logistica, 658Equazioni a variabili separabili, 660

Quesiti di verifica 663Laboratorio di informatica 6651. Equazioni lineari di primo ordine, 665 – 2. Unafamiglia di problemi, 665 – 3. Rendita dei capitali,666 – 4. Strate gia di un alle vamento, 667 – 5.Equazioni lineari di secondo ordine, 667 – 6. Le so-luzioni della logistica, 668 – 7. Esercizi, 668 – 8.Programmi, 669

Esercizi 670Introduzione, 670 – Equazioni lineari del primo or-dine, 670 – L’equazione lineare y′ = a(x)y + b(x),673 – Equazioni lineari del secondo ordine omoge-nee, 674 – Equazioni lineari del secondo ordine nonomogenee, 675 – Applicazioni alla f isica, 678 –Equazioni a variabili separabili, 682

Variabili aleatorie continue

1. Introduzione 6832. Variabili aleatorie continue 6853. Distribuzioni cumulate 6884. Variabili uniformi su un intervallo 6905. Variabili esponenziali 6926. Variabili normali 693

Standardizzazione, 6967. Valore medio e varianza 698

Valore medio o atteso, 698Varianza, 700Deviazione standard, 701Valore atteso e varianza nel caso binomiale, 702

8. Variabili binomiali e variabili normali 703La formula di Stirling, 703Approssimazione normale della variabile binomiale, 705

9. La legge dei grandi numeri 70710. Il teorema di Bienaymé-Tchebycheff 708

Tavola dei valori di ΦΦ(x) 710

Quesiti di verifica 711Laboratorio di informatica 7131. Variabili uniformi con G EOGEBRA, 713 – 2.Costruire v ariabili normali con D ERIVE, 713 – 3.Esercizi, 716 – 4. Programmi, 716

Esercizi 717Funzione densità di probabilità e funzione di riparti-zione, 717 – Variabili uniformi, 718 – Media e varian-za, 720 – Variabili esponenziali, 721 – Variabili nor-mali, 721 – F ormula di Stirling. Distrib uzione bino-miale, 723 – Teorema di Bienaymé-Tchebycheff, 723

Geometrie non euclidee1. La geometria euclidea e i postulati

di Euclide 725I cinque postulati di Euclide, 726

2. Possibili geometrie non euclidee 7273. Geometria sulla sfera:

geometria ellittica riemaniana 728Un modello non euclideo, 728La superficie sferica e il piano, 729I triangoli sferici, 730Eccesso sferico, 731

4. Trigonometria sferica 732Triangolo rettangolo, 732Triangoli sferici qualsiasi, 734

5. La geometria di Lobacevskij 736Introduzione storica, 736Gli assiomi della geometria, 736I modelli, 737

6. Il modello di Klein:geometria iperbolica 738Punti e rette, 738Assiomi, 738Trasformazioni proiettive, 739Il birapporto, 739La metrica del piano di Klein, 741

7. Il modello di Poincaré 743Il modello del semipiano, 743Un’interpretazione fisica, 744Il modello del disco, 746

capitolo 12

capitolo 11

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Statistica inferenziale

1. Introduzione 1Controllo sulla regolarità di una moneta, 1Previsione sul contenuto di un’urna, 2Un sondaggio, 4

2. Teoria dei campioni 43. Medie e varianze campionarie 5

Le variabili campionarie, 54. Distribuzione di una statistica 8

Equivalenza tra distribuzioni statistiche e variabili aleatorie, 8Distribuzioni normali standard, 9

5. Il teorema del limite centrale 126. Teoria degli errori 147. Intervalli di confidenza 168. Verifica statistica delle ipotesi 18

Quesiti di verifica 21Laboratorio di informatica 22Esercizi 26

Programmi

1. Le derivate Rapporti incrementali

2. I teoremi del calcolo differenziale Punti di Cauchy

3. Grafici di funzioni Tabelle di grafici

4. Massimi e minimi assoluti Massimi e minimi

5. L’integrale indefinito Funzioni primitive

6. L’integrale definito Somme integrali

7. Zeri di funzione Metodo di bisezione

8. Approssimazioni di funzioni Metodo di Newton

9. Calcolo approssimato di un integraleMetodo di Cavalieri-Simpson

10. Equazioni differenzialiCalcolo di un mutuo

11. Variabili aleatorie continue Variabili normali

12. Geometrie non euclidee Metriche iperboliche

WEB 6 Statistica inferenzialeIl limite centrale

Indice

X

8. Il metodo ipotetico deduttivo 748Concetti primitivi, assiomi, teoremi, 748

Lettura Klein e il “Programma di Erlangen” 750Quesiti di verifica 751Laboratorio di informatica 7521. DERIVE: la geometria sulla sfera, 752 – 2. Il discodi Klein con GEOGEBRA, 754 – 3. CABRI e il disco diPoincaré, 754 – 4. GEOGEBRA e il disco di Poincaré,756 – 5. Esercizi, 759 – 6. Programmi, 759

Esercizi 760Geometria sferica, 760 – Il piano di Klein, 761 – Ilpiano di Poincaré, 762 – Il disco di Poincaré, 763

Informatica1. Algoritmi: visione intuitiva 7652. Le macchine di Turing 7663. Le operazioni aritmetiche 768

4. Algoritmi matematici 7705. Funzioni calcolabili 7716. La tesi di Church 7747. Complessità e calcolo 7768. Automi finiti 7779. Problemi decidibili 778

Preparazione all’Esame di Stato 781

Temi assegnati all’Esame di Stato 811

Soluzioni 851

Formulario 856

Indice analitico 864

capitolo 15

capitolo 14

capitolo 13

WEB6 WEB7

I seguenti capitoli possono essere consultati e integralmente scaricati dal sito internet dell'Editore, all'in-dirizzo: www.etas-scuola.it/lamberti.html

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1c a p i t o l o

Le derivate

Introduzione

Concentriamo la nostra attenzione su due tipi di funzioni, quelle lineari e… tutte le altre; sonolineari per esempio le funzioni:

f : x → 5x + 3 g: x → 1 – 2x

mentre non è lineare la funzione:ϕ: x → x2

La diversità, oltre che ovviamente nei grafici (i grafici delle funzioni lineari sono rette), appa-re evidente non appena si compila una tabella numerica, come per esempio la tabella 1.1 rela-tiva alle funzioni considerate.

Tabella 1.1

Indicando con Δx la differenza tra un valore di x e il precedente e con Δf, Δg, Δϕ le corri-spondenti differenze per le funzioni, si nota che, per Δx = 1, si avrà Δf = 5 e Δg = −2 costan-temente, mentre Δϕ varia di volta in volta. Aumentando cioè il valore di x di 1, la prima fun-zione lineare aumenta ogni volta di 5 e la seconda diminuisce ogni volta di 2; la funzione nonlineare subisce invece variazioni ogni volta diverse.Costruiamo ora una seconda tabella, considerando valori più fitti per la x (tab. 1.2).

Tabella 1.2

1

x 5x ++ 3 1 – 2x x2

0 3 1 01 8 = 3 + 5 −1 = 1 − 2 1 = 0 + 12 13 = 8 + 5 −3 = −1 − 2 4 = 1 + 33 18 = 13 + 5 −5 = −3 − 2 9 = 4 + 5

x 5x ++ 3 1 – 2x x2

0 3 1 00,5 5,5 = 3 + 2,5 0 = 1 − 1 0,25 = 0 + 0,251 8 = 5,5 + 2,5 − 1 = 0 − 1 1 = 0,25 + 0,751,5 10,5 = 8 + 2,5 − 2 = −1 − 1 2,25 = 1 + 1,252 13 = 10,5 + 2,5 − 3 = −2 − 1 4 = 2,25 + 1,752,5 15,5 = 13 + 2,5 − 4 = −3 − 1 6,25 = 4 + 2,25 3 18 = 15,5 + 2,5 − 5 = −4 − 1 9 = 6,25 + 2,75

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Le derivate1capitolo

2

Ora Δx = 0,5 e per le funzioni lineari si ha Δf = 2,5 e Δg = −1. Ancora una volta le due fun-zioni lineari variano di quantità uguali: la prima aumenta ogni volta di 2,5, la seconda dimi-nuisce ogni volta di 1; la funzione non lineare, invece, presenta ancora variazioni diverse.Avendo dimezzato la differenza tra i valori di x, la funzione che aumentava di 5 aumenta oradi 2,5 e quella che diminuiva di 2 diminuisce ora di 1. Sembra credibile a questo punto affer-mare che per le funzioni lineari il rapporto tra la variazione del valore della funzione e la varia-zione della variabile x rimane costante.

Nella tabella 1.1 abbiamo infatti trovato che: nella tabella 1.2 si ha ancora che:

ΔΔ

ΔΔ

fx

gx

= = = −2 50 5

5 10 5

,, ,

e == −2ΔΔ

ΔΔ

fx

gx

= = = − = −51

5 21

2 e

È questa un’importante proprietà delle funzioni lineari: la loro variazione è proporzionale allavariazione di x. D’altronde questo risultato era prevedibile. Infatti (figg. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4) ilrapporto tra la variazione della funzione e quella della x non è altro che il coefficiente ango-lare delle rette grafico delle funzioni.

Figura 1.1 Figura 1.2

Figura 1.3 Figura 1.4

xO

y

ΔxΔg

2

g: x → 1 – 2x

Δx = 0,5 Δg = –1

1

10,5xO

y

3

1

Δ x

Δ f

0,5

f: x → 5x + 3

Δ x = 0,5 Δ f = 2,5

0,5

112––

1

xO

y

g: x → 1 – 2x

Δx = 1 Δg = – 2

ΔxΔg

– 3

– 11 32xO

y

1

f : x → 5x + 3

Δx = 1 Δ f = 5

Δx

Δf

8

3

– 2

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3

Le derivate 1capitolo

Occupiamoci ora della funzione non lineare ϕ: x → x2. Abbiamo già notato che le sue varia-zioni sono ogni volta diverse: esaminiamole ora più in dettaglio, calcolando direttamente irapporti tra variazione della funzione e variazione della x (tab. 1.3).In questo caso, per Δx = 1 si ha:

Costruiamo ora la tabella 1.4, con valori di x più vicini traloro.In questo caso, per Δx = 0,5 si avrà che:

Si osserva che tali rapporti variano notevolmente da punto apunto: i valori calcolati esplicitamente nelle due tabelle fannoper esempio prevedere che i rapporti considerati aumentanoall’aumentare di x.

La particolare semplicità di calcolo della funzione ϕ permette di proseguire nell’esperimentonumerico: così, presi due valori x0 e x1, confrontiamo la variazione:

con la variazione della variabile x, cioè con:

Δx = x1 – x0

È utile per eseguire i calcoli scrivere:x1 = x0 + Δx

dove la differenza Δx = x1 − x0 non deve essere pensata necessariamente positiva. Si ha:

e quindi:

Quest’ultimo risultato è, in un certo senso, conclusivo: il rapporto tra le variazioni della fun-zione e della variabile, che per le funzioni lineari si manteneva costante, varia sia a secondadel valore x0 da cui si parte sia a seconda della differenza Δx. Per valori di Δx non molto gran-di, tuttavia, il rapporto considerato è un numero abbastanza vicino a 2x0. Così, se per esempiosi prende x1 abbastanza vicino a x0, si ha:

x x x x x12

02

0 1 02− ≅ −( )

ΔΔ

Δ ΔΔ Δϕ

xx xx x

x x xx

x x=−− =

+= +1

202

1 0

02

0

22

( )

Δ Δ Δ Δϕ = − = + − = + + −x x x x x x x x x x12

02

02

02

02

02

022( ) ( ) == +2 0

2x x xΔ Δ( )

Δϕ = −x x12

02

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

1 2 30 5 1 5ϕ ϕ ϕx x x

= =, , == 2 5, ...

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

1 2 31 3 5ϕ ϕ ϕx x x

= = = Δ

Δ4 7

ϕx

=x

0 1 − 0 = 11 4 − 1 = 32 9 − 4 = 53 18 − 9 = 7

( )x x++ −−11

2 2

x

0

0,5

1

1,5

2

2,59 6 25

0 55 5,

,,− =

6 25 40 5

4 5,,

,− =

4 2,− 2250 5

3 5,

,=

2 25 10 5

2 5,,

,− =

1 0 250 5

1 5,,

,− =

0 25 00 5

0 5,,

,− =

( 0,5)0,5

2 2x x++ −−

Tabella 1.3

Tabella 1.4

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© R

CS L

ibri

S.p.

A. -

Div

isio

ne E

duca

tion,

Mila

no

Le derivate1capitolo

4

Vedremo nei prossimi paragrafi procedimenti simili a quello svolto per la funzione ϕ: x → x2,volti a determinare stime del quoziente:

per una qualunque funzione, ovvero a determinare il numero c più adatto ad approssimare l’in-cremento:

f (x1) – f (x0)

con l’espressione:c (x1 – x0)

Definizione di derivata e suo significato geometrico

Rapporto incrementaleSia f una funzione definita in un intervallo aperto. Siano x0 e x = x0 + h (fig. 1.5) due puntidell’intervallo.La differenza:

Δx = x – x0 = (x0 + h) – x0 = h

si dice incremento della variabile indipendente x al passaggio dal valore x0 al valore x0 + h. La differenza:

Δy = Δf = f (x) – f (x0) = f (x0 + h) – f (x0)

si dice incremento della variabile dipendente y o della funzione f relativo all’incremento he al punto x0.

Figura 1.5

Il rapporto:

[1.1]

prende invece il nome di rapporto incrementale della funzione relativo al punto x0 e all’in-cremento h.

ΔΔ

ΔΔ

yx

fx

f x f xx x

f x h f xh

h= =−− =

+ −≠

( ) ( ) ( ) ( )(0

0

0 0 0))

y

xO x0 x

0+ h

f (x0+ h)

f (x0)

P0

P

Δy = Δf

Δx = h

f x f xx x

( ) ( )1 0

1 0

−−

2

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5

Le derivate 1capitolo

Significato geometrico del rapporto incrementaleOsservando la figura 1.5 e ricordando che il coefficiente angolare della retta passante per ipunti P0(x0; f (x0)) e P (x0 + h; f (x0 + h)) è:

possiamo affermare che

il rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x0 e all’incremento h è il coeffi-ciente angolare della retta passante per i punti P0(x0; f (x0)) e P(x0 + h; f (x0 + h)).

Fissato x0, il rapporto incrementale varia al variare di h; pertanto risulta essere una funzione di h.

Derivata in un puntoDEFINIZIONE Una funzione f si dice derivabile nel punto x0 se il limite del rapporto incre-mentale nel punto x0, cioè:

esiste ed è finito.Il valore di tale limite si chiama derivata della funzione f nel punto x0.

La derivata della funzione f nel punto x0 viene indicata con uno dei seguenti simboli:

e quindi si avrà che:[1.2]

Affinché una funzione f sia derivabile nel punto x0 occorre quin-di che si verifichino le seguenti condizioni:

1. la funzione sia definita in un intorno del punto x0;2. per h tendente comunque a zero (da destra e da sinistra) esi-

sta il limite del rapporto [1.1];3. tale limite sia finito.

′ =+ −

→f x

f x h f xhh

( ) lim( ) ( )

0 0

0 0

′ ⎡⎣ ⎤⎦ =f x f x

dfdxx x

( ) ( )00

D ⎡⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ =x x0

lim( ) ( )

lim( ) ( )

x x h

f x f xx x

f x h f xh→ →

−− =

+ −0

0

0 0

0 0

mf x h f x

h=

+ −( ) ( )0 0

Il rapporto incrementale della funzione f: x → x3 + 2 relativo al punto x0 = 1 e all’incremento h ≠ 0 è:

Il rapporto incrementale della funzione f: x → relativo al punto x0 = 0 e all’incremento h ≠ 0 è:

ΔΔ

fx

f h fh

hh

hh

h h h= − =

++

−= −

+= −

+( ) ( )

( )0

21

2

11

1

xx

++

21

ΔΔ

fx

f h fh

hh

h h hh

= + − = + + − = + + =( ) ( ) [( ) ]1 1 1 2 3 3 33 3 2hh h2 3 3+ +

sempi

1

2

La notazione per indicare la deri-

vata della funzione f(x) è dovuta aLeibniz (Lipsia 1646 – Hannover1716) che la introdusse nella sua me-moria Nova methodus pro maximis etminimis itemque tangentibus, etc., etsingulare pro illis calculi genus, pub-blicata nel 1684.

dfdx

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Le derivate1capitolo

6

Significato geometrico di derivataRiferiamoci ora alla figura 1.6; fissato P0, consideriamo la retta secante P0 P, che ha equazione:

Al tendere di h a zero, il punto P si muove sulla curva avvicinandosi a P0.Se f è derivabile in x0, esiste ed è finito:

Figura 1.6

quindi il coefficiente angolare della retta P0 P tende a quello della retta t di equazione:

[1.3]

La posizione della retta t è, in un certo senso, il limite delle posizioni delle rette secanti con-dotte per P0 e P, quindi la [1.3] è l’equazione della tangente al grafico nel punto P0(x0; f (x0)).

t: y – f(x0) = f ′(x0)(x – x0)

y

xO x0 x0+ h

P0(x

0; f (x

0))

P(x0+ h; f (x

0+ h))

t y = f (x)

α

lim( ) ( )

( )h

f x h f xh

f x→

+ −= ′

0

0 00

y f xf x h f x

hx x− =

+ −−( )

( ) ( )( )0

0 00

Riprendiamo in esame la funzione f : x → x3 + 2 dell’esempio 1 e calcoliamo il limite per h tenden-

te a zero del rapporto incrementale Poiché esiste ed è finito il limite:

il valore trovato è la derivata della funzione f nel punto x0 = 1. Possiamo allora scrivere:

f ′(1) = 3

Riprendiamo in esame la funzione dell’esempio 2 e calcoliamo il limite del rapporto incrementale:

Poiché tale limite esiste ed è finito, la funzione f è derivabile nel punto x0 = 0 e risulta:

f ′(0) = − 1

limh h→

−+

⎛⎝

⎞⎠ = −

0

11

1

lim( )h

h h→

+ + =0

2 3 3 3

.fx

h h= + +2 3 3ΔΔ

sempi

3

4

La retta per P0(x0; y0) di coef-ficiente angolare m ha equa-zione y – y0 = m(x – x0).

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7

Le derivate 1capitolo

Pertanto:

la derivata f ′(x0) della funzione f nel punto x0 è il coefficiente angolare della tangente al gra-fico della f nel punto P0(x0; f (x0)).

Dunque dire che una funzione f è derivabile nel punto x0 geometricamente significa dire che

esiste ed è unica la retta tangente al grafico della f nel punto (x0; f (x0)) e, essendo f ′(x0) unnumero, tale retta non è parallela all’asse y.

Pertanto, se il sistema di riferimento è monometrico la derivata f ′(x0) è uguale alla tangentegoniometrica dell’angolo α determinato dalla retta tangente e dalla direzione positiva dell’as-se x (fig. 1.6).

Data la funzione:f : � → � ⎜x → x2 + 1

sia x0 = 1. Il rapporto incrementale della f relativo all’incremento h ≠ 0 e al punto x0 = 1 è:

da cui si ricava:

La funzione f è derivabile nel punto x0 = 1 e la suaderivata vale 2.L’equazione della retta t (fig. 1.7) tangente allaparabola y = x2 + 1, grafico della funzione f, nelpunto P0(1; 2) è la seguente:

t : y – 2 = 2(x – 1) cioè y = 2x

Determiniamo l’equazione della retta tangente algrafico della funzione:

f : x → x3 + 2

(vedi esempi 1 e 3) nel suo punto di ascissa x0 = 1.Essendo:

f (1) = 3 e f ′(1) = 3

la retta tangente in P0(1; 3) (fig. 1.8) ha equazione:

y – 3 = 3(x – 1) cioè y = 3x

lim ( ) ( )h

h f→

+ = = ′0

2 2 1

ΔΔ

fx

f h fh

hh

h hh

h= + − = + + − = + = +( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 22 2

sempi

5

6

Figura 1.7

Figura 1.8

y

xO

P0 (1; 2)

y = x 2 + 1t: y = 2x

α = arctg2

y

xO 1– 1

2

3 P0 (1; 3)

α

f(x) = x3 + 2

′f 1( ) = 3 = tg α ⇒ α ≅ 71,56°

t:y = 3x

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Le derivate1capitolo

8

Derivata destra e derivata sinistraDEFINIZIONE Se esiste ed è finito il limite da destra:

esso si chiama derivata destra della funzione f relativa al punto x0 e viene indicato con ilsimbolo:

f ′+ (x0)

Dire che la funzione f è derivabile a destra in x0, geometricamente significa dire che il suo gra-fico è dotato nel punto P (x0; f (x0)) di semiretta tangente destra avente equazione:

t +: y – f (x0) = f ′+ (x0) ⋅ (x – x0)

Analogamente, possiamo dare la seguente

DEFINIZIONE Se esiste ed è finito il limite da sinistra:

esso si chiama derivata sinistra della funzione f relativa al punto x0 e viene indicato con ilsimbolo:

f ′− (x0)

Dire che la funzione f è derivabile a sinistra in x0, geometricamente significa dire che il suografico è dotato nel punto P (x0; f (x0)) di semiretta tangente sinistra avente equazione:

t −: y – f (x0) = f ′− (x0) ⋅ (x – x0)

Ovviamente, affinché la funzione f sia derivabile in x0 occorre e basta che risulti:

f ′+ (x0) = f ′− (x0)

Punto angolosoSe invece si verifica che:

f ′+ (x0) ≠ f ′− (x0)

la funzione f non è derivabile in x0 e P0(x0; f (x0)) si dice punto angoloso.

lim( ) – ( )

–h

f x h f xh→

+0

0 0

lim( ) ( )

h

f x h f xh→ +

+ −0

0 0

Determiniamo l’equazione della retta tangente algrafico della funzione:

(vedi esempi 2 e 4) nel suo punto di ascissa x0 = 0.Essendo:

f (0) = 2 e f ′(0) = −1

la retta tangente nel punto P0(0; 2) (fig. 1.9) haequazione:

y – 2 = − 1(x – 0) da cui y = − x + 2

In tal caso, essendo f ′(0) = −1 = tg α, risulta:

= 34

α π

f x xx

: → ++

21

y

xO 2– 2

2f x( ) = x + 2

x +1

α = 34

π

t:y = – x + 2

P0(0; 2)

Figura 1.9

7

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9

Le derivate 1capitolo

Geometricamente, in un punto angoloso esisto-no (fig. 1.10) due semirette tangenti, non en-trambe verticali, di coefficienti angolari:

mt1= f ′− (x0) e mt2

= f ′+ (x0)

Nella figura 1.10 sono tracciati i grafici dellafunzione

f (x) = 1 + 1 – x2 e delle semirette tangenti nel suo punto angolo-so P0(1; 1).

Sia data la funzione f : � → � x → x Essa non è derivabile nel punto x = 0; infatti, calcolando ilrapporto incrementale si ha:

Pertanto:f ′+ (0) = 1 e f ′−(0) = −1

Nel punto x0 = 0 il grafico della funzione ha un punto an-goloso (fig. 1.11).

Data la funzione f : � → � x → x2 – 2x

sia x0 = 2. Il rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x0 = 2 e all’incremento h ≠ 0 è:

quindi si ha:

Perciò la funzione f non è derivabile nel punto x0 = 2 in quanto:

f ′+ (2) = 2 f ′− (2) = − 2

cioè la derivata destra è diversa dalla derivata sinistra.

lim lim ( )

lim

h h

h

h hh

h

h hh

→ →

+ +

+ = + =

− +0

2

0

0

2

2 2 2

2

= − − = −

→lim ( )

–hh

02 2

h hh

h h2 2 2 0+ < − >se o

2 2 02

− + − < <h hh

hse

fx

h 22= + −∆∆

( ) 22 2 22( )+ = + =hh

h hh

1 0

1 0

se

se

hfx

hh

h

>= =

− <

∆∆

sempi

8

Figura 1.10

y

xO

– 1

2

)(mt1= f ′– 1 = − 23

)(mt 2= f ′+ 1 = 2

f x( ) =1+ 1− x2

P0 (1;1)1

1

Figura 1.11

y

xO

y = |x |

9

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Le derivate1capitolo

10

Rapporti incrementali divergenti

Punti di flesso a tangente verticale

Se accade che

la funzione non è derivabile in x0 e la curva ha in P0(x0; f (x0)) un punto di flesso a tangen-te verticale.

lim( ) ( )

[ ]h

f x h f xh→

+ −= + ∞ − ∞

0

0 0

Figura 1.12

Geometricamente ciò significa che esistono due semi-rette tangenti al grafico della funzione f nel punto (2; 0)(fig. 1.12). Il punto (2; 0) è cioè un punto angoloso.Le equazioni delle semirette tangenti al grafico nelpunto P0(2; 0) sono:

t1: y = − 2(x – 2) e t2: y = 2(x – 2)

La funzione non è derivabile anche nel punto x = 0; ilgrafico presenta anche nell’origine un punto angoloso.

Data la funzione

sia x0 = 1. Si noti che a sinistra di 1 la funzione è definita in un modo, a destra di 1 in un altro.Il rapporto incrementale sinistro (h < 0) della funzione f relativo al punto x0 = 1 è:

Il rapporto incrementale destro (h > 0) della funzione f relativo al punto x0 = 1 è:

Passando al limite si ha:

e poiché:f ′−(1) = f ′+(1)

la funzione f è derivabile nel punto x0 = 1 e risulta:

f ′(1) = 3

Il grafico della funzione f è riportato in figura 1.13.La tangente al grafico nel punto di coordinate (1; 2) è (enon poteva essere altrimenti) la retta stessa:

y = 3x – 1

lim ( ) ( limh h

h f→ − →− +

+ = = ′ =0 0

3 3 1 3) e 33 1= ′+f ( )

ΔΔ

fx

hh

hh

= + − − = =3 1 1 2 3 3( )

ΔΔ

fx

h hh

h hh

h= + + + − = + = +( ) ( )1 1 2 3 32 2

f xx x x

x x:

] ; ]

] ; [→

+ ∈ − ∞− ∈ + ∞

⎧⎨⎩

2 1

3 1 1

y

xO P0(2; 0)

y = |x2 – 2x|t1 t2

Figura 1.13

y

xO

P0 (1; 2)

P (–1; 0)

(0; – 1)

t

10

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11

Le derivate 1capitolo

Cuspidi

Se non esiste il limite del rapporto incrementale ma esistono i limiti destro e sinistro e risulta:

oppure:

la funzione non è derivabile in x0 e geometricamente la curva ha in P0 due semirette tangen-ti coincidenti e parallele all’asse y. Il punto P0 si dice cuspide.

lim limΔ Δ

ΔΔx x

fx→ →+

= − ∞0 0

e −−

= + ∞ΔΔ

fx

lim limΔ Δ

ΔΔx x

fx→ →+

= + ∞0 0

e −−

= − ∞ΔΔ

fx

Data la funzione

sia x0 = 0. Il rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x0 = 0 e all’incremento h ≠ 0 è:

Passando al limite per h → 0, si ha:

quindi la funzione f non è derivabile nel punto x0.Geometricamente il risultato si interpreta affermandoche la tangente al grafico della funzione f nel punto(0; 0) è l’asse y. L’origine è un punto di flesso a tan-gente verticale. Il grafico della funzione f è riportatoin figura 1.14.

Figura 1.14

y

xO

y = x3

lim lim limh h h

hh

h

h h h→ → →= = = + ∞

0

3

0 23 0 23

1

ΔΔ

fx

hh

=3

f x x: � �→ →| 3

sempio

11

Figura 1.15

y

xO

y = (x – 2)3 2

t1≡ t2

(2; 0)

Data la funzione

sia x0 = 2. Calcolando il rapporto incrementale della f relativo all’incremento h ≠ 0 e al punto x0 = 2 ot-teniamo:

da cui risulta:

Pertanto la funzione f non è derivabile nel puntox0 = 2; dai risultati ottenuti deduciamo che nelpunto (2; 0) la curva ammette due semirette tan-genti coincidenti e parallele all’asse y di equa-zione x = 2 (fig. 1.15).Il punto (2; 0) è una cuspide.

lim lim

lim lim

Δ

Δ

ΔΔΔΔ

x h

x

fx

hh

fx

→ →

+ +

= = + ∞

=

0 0

23

0 hh

hh→ −

= − ∞0

23

ΔΔ

fx

f h fh

hh

= + − =( ) ( )2 2 23

f x x: ( ) � �→ → −⎜ 2 23

sempio

12

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Le derivate1capitolo

12

Nel § 2.10 ci occuperemo più a fondo dei punti di non derivabilità.

Derivabilità in un intervalloSe la funzione f è definita nell’intervallo [a; b], essa si dirà derivabile nell’estremo a se esi-ste ed è finito:

cioè se la funzione ha derivata destra in a.Analogamente, la funzione si dirà derivabile nell’estremo b se esiste ed è finito:

cioè se la funzione ha derivata sinistra in b.

DEFINIZIONE Una funzione si dice derivabile nell’intervallo I se lo è in ogni punto di I.

Continuità delle funzioni derivabili

Finora non si è detto nulla circa la continuità delle funzioni di cui studiamo la derivabilità.Dire che una funzione è derivabile in un punto x0 significa, come è stato precisato, che, alme-no nei punti x vicini a x0, vale la relazione:

e quindi che si ha:f (x) – f (x0) ≅ c(x – x0)

Perciò, se l’incremento Δx = x – x0 è piccolo, proporzionalmente piccolo sarà Δf = f(x) – f(x0),il che in definitiva significa che, se x è vicino a x0 e la funzione è derivabile in x0, necessariamenteil valore di f(x) è vicino al valore di f(x0).

Si può formalizzare quanto detto nel seguente

TEOREMA 1 Se una funzione f è derivabile nel punto x0, ivi è continua.

DIMOSTRAZIONE

Per ipotesi esiste ed è finito:

Dobbiamo dimostrare che:

Per x ≠ x0 si può scrivere:

e, passando al limite per x → x0, si ha:

lim ( ) ( ) lim( ) ( )

limx x x x

f x f xf x f x

x x→ →= +

−−

⋅0 0

00

0 xx xx x f x f x f x

→− = + ′ ⋅ =

00 0 0 00( ) ( ) ( ) ( )

f x f xf x f x

x xx x( ) ( )

( ) ( )( )= +

−−

⋅ −00

00

lim ( ) ( )x x

f x f x→

=0

0

lim( ) ( )

( )x x

f x f x

x xf x

−−

= ′0

0

00

f x f xx x

c f x( ) ( )

( )−− ≅ = ′0

00

lim( ) ( )

( )h

f b h f bh

f b→ −−

+ − = ′0

lim( ) ( )

( )h

f a h f ah

f a→ ++

+ − = ′0

3

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13

Le derivate 1capitolo

Quindi se una funzione non è continua in un punto x0 in tale punto non potrà neanche esserederivabile.

Derivate di alcune funzioni elementari

Le funzioni più comuni, tra le quali i polinomi, le funzioni razionali, i logaritmi, le funzionitrigonometriche, vengono dette tradizionalmente funzioni elementari. Esse sono tutte deri-vabili; in questo paragrafo si dimostreranno le formule esplicite per le loro derivate.Tali formule sono estremamente utili perché consentono di conoscere i valori di molte deri-vate in maniera quasi immediata.

Derivata di una costanteSia data la funzione: f : � → � | x → k

Essendo Δf = k – k = 0 per ogni x ∈ �, si ha:

Pertanto le funzioni costanti sono derivabili per ogni x ∈ � e hanno derivata nulla. In simboli:

Dk = 0

lim limh h

k kh→ →

− = =0 0

0 0

OOsservazione 1

Non vale il risultato inverso, cioè una funzione può essere continua in un punto, senza essere ividerivabile, come provano gli esempi che seguono.

Sia data la funzione: f : � → � ⎜x → ⎜x ⎜

Essa è continua per ogni x ∈ � e quindi anche nel punto x0 = 0, ma in questo punto non è derivabile,essendo O (0; 0) un punto angoloso (vedi esempio 8).

Sia data la funzione:

Essa è continua per ogni x ∈ � e quindi anche nel punto x0 = 0, ma in questo punto non è derivabile(vedi esempio 11) essendo O(0; 0) un punto di flesso a tangente verticale.

Sia data la funzione: f : � → � ⎜x → ⎜x2 – 2x ⎜Essa è continua per ogni x ∈ � e quindi anche nei punti x0 = 0 e x1 = 2, ma ivi non è derivabile, es-sendo questi due punti angolosi (vedi esempio 9).

La funzione

dell’esempio 12 è continua per ogni x e � e quindi anche nel punto x0 = 2, dove però non è derivabileessendo (2; 0) una cuspide.

f x x: ( ) � �→ → −| 2 23

f x x: � �→ →| 3

sempi

13

14

15

16

4

La funzione y = k ha per grafico unaretta parallela all’asse x di coefficien-te angolare m = 0, pertanto Dk = 0.

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Le derivate1capitolo

14

Derivata della funzione identicaSia data la funzione: f : � → � ⎜x → x

Essendo Δf = (x + h) – x = h, si ha:

La funzione identica è quindi derivabile per ogni x ∈ � con derivata costantemente uguale a 1.In simboli:

Derivata della funzione sen xPer ogni x ∈ � si ha:

Osservando che:

e ricordando inoltre che:

si ha che la funzione sen x è derivabile per ogni x ∈ �; risulta:

D sen x = cos x se x è la misura dell’angolo in radianti

D sen x = se x è la misura dell’angolo in gradi

Derivata della funzione cos xPer ogni x ∈�, si ha:

limcos( ) cos

limcos cos

h h

x h xh

x x→ →

+ − = −0 0

h sen sen hh xh

xh

xh h

− =

= ⋅ − − ⋅→ →

cos

cos lim cos lim0 0

1h sensen hh

h

x

=

−sen se l’unità di misura degli angoli è il radiante

sen se l’unità di mis

=

− π180

x uura degli angoli è il grado sessagesimale

π180

cos x

se l’unità di misura degli angoli è il radiante

se l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale

1

180π

senlimh

hh→

=0

lim lim cos( )

limh h h

hh

hh h→ → →

− = −+ =

0 0

2

0

1 11

coscos

−−+ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟→

sencos

sen sencos

2hh h

hh

hhh( )

lim1 0 ++

⎣⎢

⎦⎥ =

10

lim limh h

x h xh

x h x→ →

+ − = +0 0

sen ( ) sen sen cos cos seen sen

sencos s

h xh

xhh

xh h

= ⋅ − + ⋅→ →

lim cos lim0 0

1 een hh

Dx = 1

lim limh h

x h xh→ →

+ − = =0 0

1 1

La funzione y = x ha per grafico labisettrice del 1° e 3° quadrante dicoefficiente angolare m = 1, pertan-to Dx = 1.La funzione y = ax + b ha per gra-fico una retta di coefficiente ango-lare m = a, pertanto D(ax + b) = a.

se l’unità di misura degli angoli èil radiante

se l’unità di misura degli angoli èil grado sessagesimale

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15

Le derivate 1capitolo

Quindi la funzione cos x è derivabile per ogni x ∈ � e risulta:

D cos x = − sen x se x è la misura dell’angolo in radianti

D cos x = − se x è la misura dell’angolo in gradi

Derivata della funzione logaritmicaSia data la funzione: f : �0

+ → � | x → logax (a ∈ �0+ − {1})

Per ogni x ∈ �0+ si ha, applicando le proprietà dei logaritmi:

Posto , se h → 0, t → ∞, si ha:

e quindi:

Pertanto la funzione logax è derivabile per ogni x ∈ �0+; risulta:

Se poi a = e, si ha:

Derivata della funzione esponenzialeSia data la funzione: f : � → � | x → ax (a ∈ �0

+ − {1})

Per ogni x ∈ � si ha:

Dimostriamo che:

lim logh

hah

a→

− =0

1

lim lim limh

x h x

h

xh

x

h

a ah

a ah

a→

+

→ →

− = ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

0 0

100

1ah

h −

D log xx

= 1

D log loga axx

e= 1

limlog ( ) log

logh

a aa

x h xh x

e→

+ −=

0

1

lim log log limh a

xh

a txh

t→ → ∞+⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

= +⎛⎝⎜0

1 1 1 1⎞⎞⎠⎟ =

t

a elog

xh

t=

limlog ( ) log

lim logh

a a

h a

x h xh h

x hx→ →

+ −= ⋅ +⎛

⎝⎜0 0

1 ⎞⎞⎠⎟ =

= ⋅ +⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

⎢⎢

⎥⎥

=→

lim logh ax

xh x

h0

1 1 1 11 1 10x x

hh a

xh

lim log→

+⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

π180

sen x

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41

Le derivate 1capitolo

Lettura

Applicazioni economiche:l’analisi marginale

Costi e profittiSi definisce costo totale C(x) l’ammontare dellespese sostenute da un’azienda per produrre la quan-tità x di una merce assegnata: in C(x) sono inclusetutte le spese dell’impresa, dalle materie prime aicosti della mano d’opera, dei locali, delle imposte.Il rapporto:

relazione tra l’aumento da x a x + h della produ-zione e l’aumento da C(x) a C(x + h) dei costi, de-termina certamente la politica aziendale; il limite:

la derivata di C(x), prende il nome di costo mar-ginale.Esso fornisce, tramite l’uso del differenziale, unastima della rapidità di aumento dei costi:

C(x + h) ≅ C(x) + C ′(x) · h

Se P(x) è il prezzo dell’unità di prodotto, indica-to con R(x) = x · P(x) il ricavo dalla vendita diuna quantità x di merce, il profitto o guadagnodell’azienda è G(x) = R(x) – C(x).La derivata

R ′(x) = P(x) + x · P ′(x)

viene detta ricavo marginale.Naturalmente la politica aziendale deve imposta-re la produzione x in modo da rendere massimoil profitto.

L’elasticitàIl mercato vive di rapporti tra domanda e offerta:in ipotesi di abbondanza di merce il parametrofondamentale che equilibra domanda e offerta èil prezzo x applicato.Sia f (x) la domanda dipendente, naturalmente,dal prezzo x: si definisce elasticità media delladomanda il rapporto tra la variazione relativa di

domanda a fronte di una variazione relativa

di prezzo

Il limite di tale rapporto:

prende il nome di elasticità istantanea: essa for-nisce una stima della sensibilità con cui la do-manda varia al variare del prezzo. La stima of-ferta dal differenziale è la seguente:

Lo specchietto seguente collega variazioni positi-ve di prezzo e variazioni di domanda tramite ilcoefficiente E, collegandole anche alla quantità dispesa attribuita alla commercializzazione dellamerce:

• E = –1la domanda si contrae nella proporzione inversae resta, quindi, inalterata la spesa;

• –1 < E < 0la domanda si contrae lievemente, la spesa au-menta;

• E < –1la domanda si contrae ulteriormente tanto da ri-durre addirittura la spesa;

• E > 0l’aumento di prezzo aumenta (imprevedibilmen-te) la domanda.

La palla di neve

Indichiamo con �(t) il volume al tempo t di unapalla di neve (o di ghiaccio): vogliamo determi-nare il tempo t * nel quale la palla sarà completa-mente fusa avendo osservato il tempo T nel qua-le il volume è dimezzato:

Ipotizziamo che la velocità di riduzione del volu-me sia proporzionale alla superficie S(t) esposta:

�′(t) = –kS(t)

Tenuto conto che il volume di una sfera è

mentre la sua superficie è 4πr2 si ha, esprimendola superficie S(t) per mezzo del volume �(t):

′ = −� �( ) ( )t k t36 23 π

43

3πr

� �( ) ( )T = 12

0

Δ Δff

E xx

E xf x

fx

xf xf xx

= = ′→

lim( )

( )( )Δ

ΔΔ0

1

E

ffx

x

xf x

fxrn

= =

Δ

ΔΔΔ

1( )

Δxx

:

Δff

lim( ) ( )

( )h

C x h C xh

C x→

+ − = ′0

C x h C xh

( ) ( )+ −

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42

Le derivate1capitolo

Lettura

Espressi il volume e la superficie in funzione delraggio r(t) si ha:

da cui, semplificando:

r′ = –k ⇒ r(t) = r(0) – kt

e, quindi:

Esprimendo il valore r(0) tramite �(0) si ha:

La determinazione di kSe al tempo T il volume è dimezzato allora:

e quindi:

da cui:

Il tempo t * in cui la palla è completamente fusa,r(t*) = 0, è la soluzione dell’equazione

0 = r(0) – kt*

Eseguiti i calcoli, si ha:

Alcune osservazioniTenuto conto che il raggio r(t) diminuisce linear-mente con il tempo, r(0) – kt, se ne deduce che ilvolume �(t) è rappresentato nel tratto t ∈ [0; t*]dalla cubica:

La superficie S(t) invece è rappresentata, sempreper t ∈ [0; t*], da una parabola:

S(t) = 4π(r (0) – kt)2

�(t) e S(t) sono infinitesimi per t → t *, il primodi ordine 3, la seconda di ordine 2.

Se ci occupassimo di cubi... Il problema della fusione completa di una palladi ghiaccio può essere posto anche per un cubo dighiaccio...Ancora possiamo ritenere la velocità di variazio-ne del volume proporzionale alla superficie:

�′(t) = –kS(t)

Riferendosi, per volume e superficie, al lato l(t)si ha:

(l3(t))′ = –k ⋅ 6 ⋅ (l(t))2

l′(t) = –2k ⇒ l(t) = l(0) – 2kt

da cui:

A parità di coefficiente di fusione k e di volumeiniziale, il volume del cubo diminuisce più rapi-damente di quello della sfera; infatti:

tenendo conto che:

Un volume che fonda più rapidamenteUn oggetto di ghiaccio che fonda presto: pensatea una stella...Occorre pensare a un volume con una grande su-perficie che lo delimiti: pensate alla alettatura deicilindri dei motori a scoppio. Lo scopo è realiz-zare un ampio scambio di calore per raffreddareil corpo metallico delle camere di scoppio: si au-menta quindi la superficie che le delimita.

Il motivo e... un problema di minimoAbbiamo (ragionevolmente) ammesso che la fu-sione di una parte di volume sia proporzionale al-la superficie esposta, la parte cioè del solido incui si realizza lo scambio di calore che serve allafusione: maggiore è la superficie esposta mag-giore sarà lo scambio di calore, maggiore la fu-sione.Solidi che abbiano un rapporto superficie/volu-me basso realizzeranno bassi scambi di calore equindi avranno una fusione più lenta.La sfera è il solido con il rapporto superfi-cie/volume più basso: quindi è il solido con la fu-sione più lenta!

43

23 π <

� �( ) ( )0 43

0 23 3 3− ≥ −kt ktπ

� �( ) ( )t kt= −( )0 233

�( ) ( ( ) )t r kt= −43

0 3π

tT

T* ,=−

≅2

2 14 84

3

3

k rT

= −( )0 2 1

2

3

3

1

20 0

3r r kT( ) ( )= −

r T r( ) ( )= 1

20

3

� �( ) ( )t kt= −⎛

⎝⎜

⎠⎟0 4

33 3

3

π

�( ) ( ) ( ( ) )t r t r kt= = −43

43

03 3π π

43

3 36 43

2

2

2 63π π πr r k r′ = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

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43

Le derivate 1capitolo

Quesiti di verifica

La derivata di è:

In quali punti la funzione non è derivabile?

0 0; –2 –2 –2; 0; 2

La retta tangente alla curva nel

punto ha coefficiente angolare:

3

In quali punti la funzione

è derivabile?

∀x ∈� –{±1} ∀x ∈�

∀x ∈� –{–1} ∀x ∈ ]–1; 1[

Per quali valori di k la curva

ammette tre punti a tangente orizzontale?

k ≤ 3 ∀k ∈�

1 < k < 3 k < 3

Se la funzione f (x) è derivabile in [– 2; 2] edè pari, quanto vale f ′(0)?

0

1

dipende dalla funzione

–1

Se la funzione f(x) è invertibile e derivabile

in � e se f –1(–3) = –1 e ,

allora quanto vale ?

0d54

b

− 4120

c9

20a

( ) ( ) ( )f f− ′ − − ′ −1 3 1

( ) ( )f − ′ − = −1 3 45

7

d

c

b

a

6

db

ca

y x k x k= − + − + −2 3 14 2( )

5

db

ca

f x x x x( ) ( ) ( )= − − + +1 1 1 23

4

d− e12

2c− 3

2b1

3a

x0 9

= − πy e

x=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen 33π

3

dcba

f x x x x( ) = +2 22

8 23x xd35

94023

x

x+b

8 14

23x x +c163

23

13x x x( )+a

32

43

32 23x

xx x+ +

⎝⎜⎞

⎠⎟log1

Il valore che meglio approssima è:

0,002 0,881 1,001 2,984

Il valore che meglio approssima cos(–0,002) è:

1,000002 –0,9900

0,999998 –1,000002

Un corpo si muove su una retta r con equa-

zione oraria per t ≥ 0.

Nell’istante in cui il corpo passa per l’origi-ne su r la velocità del corpo vale:

–2 1

0d14

b

ca

s t tt

( ) log= ++

2 23

11

db

ca

10

dcba

1

0 998,9

Se il grafico della funzione f (x) è quello rappresentato nellafigura a fianco, qual è il grafico della funzione f ′(x)?

dcba

8

x

y

O

1

1

x

y

O

1

1 x

y

O

1

1 x

y

O

1

1 x

y

O

1

1

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44

Laboratorio di informatica

Le derivate1capitolo

Comandi

1. Il rapporto incrementale

Assegnata una funzione f (x) e assegnato, per esempio mediante uno SLIDER un parametro h, pos-siamo far tracciare a GEOGEBRA il grafico della funzione

La possibilità di modificare il valore di h consente di seguire le corrispondenti variazioni dei gra-fici delle r(x), fino a riconoscere quale sia il grafico limite, quello che corrisponde alla f ′(x).Nell’esempio di figura 1 è stato scelto f (x) = x3 – x2 – x + 1: in nero si vede il grafico di f, in rossoquello dei rapporti incrementali r(x) relativi al valore di h scelto sullo SLIDER.A posteriori si può notare che:

• la f scelta è un polinomio di terzo grado; • i grafici delle r hanno una forma di parabola; • la funzione derivata f ′(x) = 3x2 – 2x – 1, ha come grafico una parabola.

2. La retta tangente

Esaminiamo con GEOGEBRA l’equazione della retta secante un grafico:

• assegniamo la funzione y = f (x) e otteniamone il grafico; • scelti due punti A e B del grafico, disegniamo la retta y = mx + q condotta per essi; • chiediamo, comando TANGENTI, la retta tangente al grafico nel punto A; • consideriamo la posizione limite della retta quando B → A e il valore limite del coefficiente an-

golare m.

r xf x h f x

h( )

( ) ( )= + −

DERIVE GEOGEBRALIMITE TANGENTIRandom(n)LoopAPPEND

Figura 1. I rapporti incrementali.

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45

Le derivate 1capitolo

Informatica

Nella figura 2 è stata scelta f (x) = sen x, il punto A è stato preso nell’origine ed è stato disegnatoil grafico della retta tangente a f (x) in A. Nella parte algebrica si leggono le coordinate di B e l’equazione della retta AB.Spostando B sempre più vicino ad A, si osserva che il coefficiente angolare m della secante siavvicina a 1.

3. Il limite del rapporto incrementale

Assegnata f (x) e assegnata l’espressione del rapportoincrementale

si può chiedere a DERIVE (fig. 3) il limite

Il comando LIMITE si trova nella tendina Calcolo: piùsemplicemente, assegnata una funzione f (x) si puòdare, da Author, il comando:

lim(f(x+h)–f(x))/h, h, 0)ottenendo immediatamente (per numerosissime espressio-ni di f (x)) l’espressione della funzione derivata f ′(x).

4. Sperimentare con la Random

La funzione Random(n) di DERIVE produce per ogni n ∈� un valore aleatorio ξ ∈ ]0; n[: reale sen = 1, intero se n > 1.La Random(1) può essere sfruttata per riconoscere, in modo statistico, l’esistenza di limiti e, quin-di, l’esistenza di derivate.Supponiamo di avere:

• assegnata una funzione f (x);• scelta un’ampiezza massima a per gli incrementi h.

lim ( , )h

r x h→0

r x hf x h f x

h( , )

( ) ( )= + −

Figura 2. Il grafici di f (x) e la secante AB.

Figura 3. Il limite del rapporto incrementale.

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Le derivate1capitolo

Rapporto incrementale

Que

siti

1. Definire il rapporto incrementale della funzione f, relativo al punto x0 interno all’intervallo di defi-nizione.

2. Fissati la funzione f e il punto x0, da che cos’altro dipende il rapporto incrementale di f in x0?

3. Scritto il rapporto incrementale di f nel punto x0, come si scrive il rapporto incrementale di f 2?

4. Scritti i rapporti incrementali di f e di g nel punto x0, come si scrive il rapporto incrementale di f ⋅ g?

5. Se il rapporto incrementale di f è positivo per ogni x0 e per ogni h, che cosa si può dire di f ?

6. Se il rapporto incrementale di f è in modulo minore di 1 per ogni x0 e per ogni h, che cosa si puòdire di f ?

7. Il rapporto incrementale di f in x0 è funzione di h limitata?

8. Che legame passa tra il rapporto incrementale in un punto di f e quello di – f ?

9. Che legame passa tra il rapporto e il rapporto incrementale di f in x0?

10. Che legame passa tra il rapporto e i rapporti incrementali di f e g in x0?f x h f xg x h g x

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

+ −+ −

f x h f x hh

( ) ( )0 0+ − −

Scrivere il rapporto incrementale della funzione f relativo all’incremento h ≠ 0 e al punto x0 a fianco indicato.

esercizio risolto

f(x) == 3x2 ++ 5x ++ 1 x0 == 2

Il rapporto incrementale è, per definizione:

Si ha pertanto:

f (2 + h) = 3(2 + h)2 + 5(2 + h) + 1 == 12 + 12h + 3h2 + 5h + 10 + 1 = 3h2 + 17h + 23

f (2) = 23

Ne segue quindi che il rapporto incrementale richiesto è, semplificando per h ≠ 0 a numeratore e deno-minatore:

f h fh

h hh

h( ) ( )2 2 3 17 3 17

2+ − = + = +

f x h f xh

f h fh

( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 2+ −= + −

f (x) = 3x2 + 1 x0 = 0

f (x) = 5x + 7 x0 = 1

x0 = 2

x0 = –3∆∆

fx h

=−

16 3( )

f x xx

( ) = +124

∆∆

fx h

=+ +

12 2

f x x( ) =3

∆∆

fx

= 52

∆∆

fx

h= 31

esercizi

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49

ese

rciz

i

Le derivate 1capitolo

f (x) = log(2x – 1) x0 = 1

f (x) = ex + 1 x0 = 0

Determinare il valore numerico dei rapporti incrementali relativi alla funzione f, al punto x0 e agli incrementi∆x indicati.

f (x) = 4x2 – 1 x0 = − 1 ∆ x = 0,1; ∆ x = 0,01

x0 = 4 ∆ x = − 0,01

f (x) = 1 + x + x2 x0 = 1 ∆ x = − 0,01

f (x) = x3 – 2x x0 = 0 ∆ x = 0,00114

13

f xx

( ) = 112

11

∆∆

fx

h hh

= + −cos sen 1f x x x x( ) cos= − =sen 0 2π10

∆∆

fx

h hh

= + −2 1(cos )senf x x x( ) = + =2 1

40sen π9

∆∆

fx

e eh

h

= −( )18

∆∆

fx

hh

= +log( )1 27

[ – – ( )∆∆

fx

hh

h h h= + =

+( ) ⋅ + + + +(27 3 27 3 27 9 3 273 3 23 3 ))⋅ + + + +( ) =

h h h( )]

27 3 27 923 3…

∆∆

fx h h

=+ + + +

127 9 3 273 3( )

f x x x( ) = + =27 0306

∆∆

fx

hh

= −−

4 31

f x xx

x( ) = + = −4 1 12

05

Vero

o f

also

? 1. I rapporti incrementali della funzione f (x) = x2 + 1 nei punti x0 = 1 e x1 = – 1coincidono.

2. I rapporti incrementali della funzione f (x) = x3 – 1 nei punti x0 = 1 e x1 = – 1sono, per ogni h ≠ 0, opposti.

3. Il rapporto incrementale di una funzione crescente è non negativo.

4. Il rapporto incrementale del prodotto di due funzioni coincide con il prodotto dei rapporti incrementali delle due funzioni.

5. Posto f (x) = x2, i rapporti incrementali della funzione f (2x) in x0 coincidono con il doppio dei rapporti incrementali della f (x) sempre in x0 e per lo stessoincremento.

6. Se i rapporti incrementali di una funzione f (x) sono positivi in ogni x0 allora la funzione è crescente.

7. I rapporti incrementali di cosx si annullano per infiniti valori di h.

8. Se i rapporti incrementali di una funzione f (x) relativi a x0 sono negativi perh < 0 e positivi per h > 0 allora nel punto x0 la funzione prende il valoremassimo. FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

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50

Le derivate1capitolo

Definizione di derivata

Servendosi della definizione, calcolare la derivata della funzione f nel punto x 0 a fianco indicato.

f (x) = 3x – 1 x0 = 0 f ′(0) = 3

f (x) = 4x2 x0 = 1 f ′(1) = 8

f (x) = 4x2 + 5 x0 = 1 f ′(1) = 8

x0 = –2 f ′(− 2) = − 5

x0 = –1 f ′(− 1) = 3

x0 = 0

x0 = 3

f (x) = log (x + 3) x0 = 0

f (x) = ⎜x2 − 4 ⎜ x0 = − 1 f ′(− 1) = 2

[Considerando –1 + h ∈ ] –2; 2[ si ha f (–1 + h) = 4 – (–1 + h)2, pertanto ]∆∆

fx

= …

23

′ =f ( )0 13

22

′ =f ( )3 311

f x x( ) = +2 2 21

′ =f ( )0 127

f x x( ) = +273 20

f x xx

( ) = +4 12 19

f xx

( ) =+5

1 18

17

16

15

Vero

o f

also

?

1. La derivata di una funzione positiva è non negativa.

2. La derivata di un polinomio di grado n ≥ 1 è un polinomio di grado n − 1.

3. Le derivate delle funzioni goniometriche sono ancora funzioni goniometriche.

4. La derivata di una funzione pari è dispari.

5. La derivata di |f (x)| è |f ′(x)|.

6. La derivata di |f (x)|2 è 2|f ′(x)|.

7. Esistono funzioni f(x) che coincidono con la loro derivata.

8. Se f (x) è derivabile allora è derivabile anche |f (x)|3? FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

esercizio risolto

La derivata f ′(0) è per definizione il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale relativo al puntox0 = 0 assegnato:

da cui, semplificando:

Quindi f ′(0) = 2.

lim( )

( )lim

h h

h hh h h→ →

+ − −−

=−

=0 0

1 11

21

2

lim( ) ( )

limh h

f h fh

hhh→ →

+ − =+−

0 0

0 011

1

f x xx

x( ) == ++−−

==11

00

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