LA CONVEZIONE
Caratteri della convezione
Ci si riferisce fondamentalmente allo scambio di calore tra un solido ed un fluido in moto rispetto ad esso.
Se il fluido fosse fermo:
TTL
kq p
T ≠ Tp
Tp
yx
LCon il fluido in moto:
0y
p y
TkTThq
ADERENZA DELLE PARTICELLE FLUIDE ALLA PARETE
L
TT
y
T
k
hL
q
qNu
p
y
conduzione
convezione
0
Nusselt (1882-1957)
CLASSIFICAZIONE
Origine del moto
Forzata Naturale
Geometria del solido
m
x
r
D
Deflusso interno
x
y V
Deflusso esterno
CLASSIFICAZIONE
Carattere del moto
Laminare Turbolento
STRATI LIMITE
x = 0
y
u (x)
Velocità
Le particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastantiLe particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastanti
Lo spessore dello strato limite d = d(x) è il valore di y per cui u=0,99u
Si denomina coefficiente d’attrito il valore:
2
2
u
C sf
con τs sforzo tangenziale alla parete
STRATI LIMITETermico
In generale:dt ≠ d
u
TT uT ,
(x)
Parete riscaldata
)(xt
Strato limite termico
Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e scambiano energia con quelle sovrastantiscambiano energia con quelle sovrastanti
Lo spessore dello strato limite dt = dt(x) è il valore di y per cui: 99,0
TT
TT
p
p
Se Tp-T non varia con x, ne segue che dT cresce, diminuendo il gradiente di temperatura e quindi il calore scambiato
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 1/12
Ipotesi di flusso bidimensionaleIpotesi di flusso bidimensionale vuVV ,
Conservazione della massa nel volume di controllo:Conservazione della massa nel volume di controllo:
ue mmm
dxvdyu
dxdy
dxdy
dy
vvdydx
dx
uu
Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue:Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue:
0
z
w
y
v
x
u 0
VD
D
zw
yv
xu
D
D
wvuV ,,
VELOCITA’
notazionenotazione
vettorialevettoriale
dx
dy
x
y
z
u
v
dy
y
vv
dx
x
uu
0
z
w
y
v
x
u
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 2/12
se r = cost 0
z
w
y
v
x
u
In coordinate cilindriche: 01
z
vv
rr
v
r
v zrr
VELOCITA’
II Legge di Newton nel volume di controllo:II Legge di Newton nel volume di controllo:
Quantità di moto
eu MMt
MF
Forze esterne
DI MASSA(ad es. campo
gravitazionale o elettromagnetico)
DI SUPERFICIE Flussi della quantità di moto
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 3/12
Rappresentazione delle forze di superficie
VELOCITA’
s = sforzo normale; t = sforzo tangenziale1° pedice: orientamento della superficie su cui agisce lo sforzo2° pedice: direzione della componente dello sforzo
dx
dy
x
y
z
xxxy
yxyy
dxx xxxx
dxx xyxy
dyy yxyx
dyy yyyy
yx,
dxdyyx
p
xF yxxx
xs
, dxdyyy
p
yF xyyy
ys
,
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 4/12VELOCITA’
La portata in massa nel piano y-z è:
1udy (altezza unitaria)
Il flusso della q.d.m. è pertanto: udyu
Analogamente, nel piano x-z:
dx
dy
x
y
z
yx, uu
uv
dxuux
uu
dyuvy
uv
udxv
Il flusso netto nella direzione x è dunque:
xyy
uvyx
x
uu
L’incremento temporale della quantità di moto nel volume di controllo è: dxdyu
Operando le dovute sostituzioni nella II legge di Newton si ottiene, lungo x:
y
uv
x
uuu
yx
p
xX yxxx
Forza di
volume
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 5/12VELOCITA’
Per La semplificazione delle equazioni del moto si ipotizza un comportamento newtoniano del fluido:
GLI SFORZI VISCOSI SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI AI GRADIENTI DI VELOCITA’
Introducendo la viscosità m, le equazioni che esprimono tale dipendenza sono:
y
v
x
u
x
uxx
3
22
y
v
x
u
y
vyy
3
22
x
v
y
u
y
vyxxy
La sostituzione delle relazioni citate nella II legge di Newton prima ricavata, si ottengono le equazioni di NAVIER (1785-1836) – STOKES (1819-1903)
L’espressione si semplifica notevolmente per fluidi incomprimibili e con viscosità costante
Xux
p
D
Du
2
Yvy
p
D
Dv
2
Ovvero in notazione vettoriale
FVPD
VD 2
FVVpVVt
V T
)(
trasposta
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 6/12TEMPERATURA
Si vuole descrivere l’andamento della temperatura all’interno dello strato limite termico
vcsiscconvvc LEEEE
convezione per l’ingresso del fluido superficie di controllo
volume di controllosorgenti interne
EQUAZIONE DELL’ENERGIA
dxdyeEvc
e = energia cinetica + energia potenziale
dxdyuex
dydxuex
ueuedyE xconv
, dydxve
yE yconv
,
dxdyx
Tk
xdydx
x
Tk
xx
Tkdy
x
TkE xsc
, dydxy
Tk
yE ysc
,
solo convezione, si trascura l’irraggiamento
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 7/12TEMPERATURA
dxdyqE si
dxdyuy
dxdyupx
XudxdyL yxxxxvc
, dydxv
xdydxvp
yYvdxdyL xyyyyvc
,
Sostituendo nell’equazione dell’energia:
uvy
vux
vy
ux
YvXuqy
Tk
yx
Tk
xve
yue
xe
y xyyyxyxx
Ricordando la definizione di entalpia per unità di massa del fluido:p
ui
L’equazione dell’energia, sfruttando l’equazione di continuità, diventa:
qy
pv
x
pu
p
y
Tk
yx
Tk
xy
iv
x
iu
i
dove:
2222
3
22
y
v
x
u
y
v
x
u
x
v
y
u
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 8/12TEMPERATURA
Ricordando l’espressione dell’operatore D:
Dalla definizione di entalpia per una sostanza pura monofase:
L’equazione si trasforma come segue:
Se il fluido è incomprimibile (b = 0):
zw
yv
xu
D
D
si ottiene:
qD
DpTk
D
Di
dpTdTcdpT
TdTcdi p
p
p
1
1
1
1
pT
1
con
coeff.di dilatazione
termica
q
D
DpTTk
D
DTcp
Se il fluido è un gas ideale (bT=1):
q
D
DpTk
D
DTcp
qTk
D
DTcp
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 9/12TEMPERATURA
Se la conducibilità termica del fluido è costante con la temperatura, non c’è generazione interna di calore ed è trascurabile la comprimibilità, insieme alla dissipazione viscosa m:
o in coordinate cilindriche:
ovvero:TkD
DTc p
2
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
Tk
z
Tw
y
Tv
x
Tu
Tc p
2
2
2
2
2
11
z
TT
rr
Tr
rrk
z
Tv
T
r
v
r
Tv
Tc zrp
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 10/12
• Regime stazionario;• proprietà fisiche del fluido (k, m, cp, …) costanti;• fluido incomprimibile;• forze di massa trascurabili (X = Y = 0);• assenza di generazione interna di calore;
• approssimazione di strato limite
Condizioni particolariu >> v
x
v
y
v
x
u
y
u
,,
x
T
y
T
Per gli sforzi tangenziali si ottiene:
y
uyxxy
l’equazione di continuità assume la forma: 0
y
v
x
u
l’equazione della quantità di moto lungo x diventa: 2
21
y
u
x
p
y
uv
x
uu
l’equazione della quantità di moto lungo y diventa: 0y
pvelocità disaccoppiata
dalla temperatura
l’equazione dell’energia diventa:
2
2
2
y
u
cy
Ta
y
Tv
x
Tu
p
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 11/12
Parametri di similitudine
L’obiettivo è di trovare equazioni rappresentative del moto in cui compaiano solo gruppi adimensionali
Si introducono le variabili adimensionali seguenti:
L
xx *
L
yy *
u
uu*
v
vv*
p
p
TT
TTT
*2
*
u
pp
Sostituendo nelle2
21
y
u
x
p
y
uv
x
uu
2
2
2
u
u
cy
Ta
y
Tv
x
Tu
p
si ottiene:con le
condizioni al contorno:
Parete
00,** xu 00,** xv
Corrente libera
1,** xu2*
*2
*
*
*
**
*
**
y
u
Lux
p
y
uv
x
uu
STRATO LIMITE DI VELOCITA’
STRATO LIMITE TERMICO
2*
*2
*
**
*
**
y
T
Lu
a
y
Tv
x
Tu
00,** xT
Parete
1,** xT
con le condizioni
al contorno:
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 12/12
Parametri di similitudine
Introducendo i numeri adimensionali
2*
*2
*
*
*
**
*
**
Re
1
y
u
x
p
y
uv
x
uu
L
2*
*2
*
**
*
**
PrRe
1
y
T
y
Tv
x
Tu
L
Lu
LRe
a
Pr
le equazioni si trasformano come segue:
0*
*
*
*
y
v
x
u
EQUAZIONI ADIMENSIONALI
Lo sforzo tangenziale alle parete è:0
*
*
0 *
yy
s y
u
L
u
y
u
da cui si ricava il coefficiente di attrito:
0*
*
2*Re
2
2
yL
sf y
u
uC
Il numero di Nusselt si esprime come:
0*
*
*
y
y
T
k
hLNu
EFFETTI DI TURBOLENZA 1/3Si tratta di una distorsione delle linee di corrente del deflusso laminare.
Se Re è piccolo, i disturbi vengono dissipati, altrimenti si amplificano e il moto diventa turbolento.
Il deflusso turbolento dà luogo a fluttuazioni nel tempo delle proprietà P del moto:
La grandezza P è data, istante per istante, da:
' PPP
Valore medio temporale
Componente fluttuante
EFFETTI DI TURBOLENZA 2/3Nelle ipotesi di deflusso stazionario, fluido incomprimibile a proprietà costanti,le equazioni della conservazione della quantità di moto (lungo l’asse x) e dell’energia diventano:
''vuy
u
yx
p
y
uv
x
uu
'''' vucy
u
yTvc
y
Tk
yy
Tv
x
Tuc ppp
Lo sforzo tangenziale si esprime pertanto come segue:
''vuy
utot
e il flusso termico totale:
''Tvcy
Tkq ptot
Si intensificano i trasferimenti di quantità di moto e di energia al fluido
Uno dei modelli più semplici per la spiegazione della turbolenza chiama in causa i vortici
Porzioni del fluido in moto nello strato limite prima di dissolversi nella matrice fluida
EFFETTI DI TURBOLENZA 3/3Si introduce la viscosità turbolenta eM come: ''vu
y
uM
e la diffusività termica turbolenta eH come: ''vTy
TH
y
uMtot
y
Tacq Hptot
La maggiore intensità di mescolamento rende i profili di velocità più uniformi nel moto turbolento
il gradiente di velocità (quindi gli sforzi alle pareti) e il gradiente di temperatura (quindi il flusso termico) risultano superiori nel moto turbolento rispetto al moto laminare
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