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Il suono: la lunghezza d'onda
Onde stazionarie (I)Ipotizziamo che un’onda sonora, con direzione individuata dall’asse x, nella sua forma più semplice, possa essere rappresentata dalla funzione: A sen[2(x/ - ft)]. Se l’onda è riflessa da un ostacolo senza subire attenuazioni, si forma una seconda onda regressiva, con velocità di propagazione opposta alla prima, di equazione: A sen[2(x/ + ft)] che si sovrappone all’onda progressiva. L’interferenza delle due onde è uguale a: 2A sen(2x/cos2ft),ovvero il prodotto di due onde sinusoidali, i cui argomenti dipendono in modo distinto dalla coordinata spaziali x e da quella temporale t.
Onde stazionarie (II)
Consideriamo il caso ideale in cui l’onda, confinata tra pareti distanti l non abbia alcuno smorzamento. L’interferenza tra onda incidente e riflessa si ripete ciclicamente. Nell’alternanza di sovrapposizioni è possibile che alcuni punti dell’onda risultante non subiscano variazioni (siano sempre nella stessa posizione), se ciò accade all’estremità dei vincoli (le due pareti) devono essere necessariamente nulli i valori della funzione. Per avere un’onda stazionaria, sen(2x/) deve essere uguale a zero per x=0 e per x=l.
Onde stazionarie (III)Ciò comporta un valore multiplo di n per l’argomento 2l/, o, in altre parole, che il doppio della distanza tra gli estremi sia un multiplo della lunghezza d’onda: 2l=n. Così si realizza un’interferenza con dei nodi fissi all’estremità e ampiezza variabile nel tempo secondo l’espressione: 2A cos(2ft). Il massimo dell’onda si realizza per sen(2x/)=1, a metà tra due nodi successivi. Il primo modo si ha per n=1 e =2l e la frequenza del tono fondamentale è f=v/2l, con v velocità dell’onda nel mezzo. Le lunghezze d’onda delle altre soluzioni,
n=2l/n (con
frequenze fn=nv/2l), sono sottomultipli interi
del tono fondamentale.
Onde stazionarie (IV)Si possono visualizzare le onde stazionarie utilizzando, invece del suono, le oscillazioni della sorgente sonora per eccellenza: una corda, fissata agli estremi, fatta vibrare (vedi figura sotto)
Onde stazionarie (V)
Il modello di un’onda sonora confinata in un tubo chiuso ha un corrispettivo ideale in un cilindro con estremità aperte. In tal caso i nodi sostituiscono gli antinodi ( ventri-creste) e viceversa (figura accanto) ma le armoniche si hanno ancora per l=n/2 come nel caso di un tubo chiuso. Infine se la cavità ha una estremità aperta e l’altra chiusa per la formazione di onde stazionarie alla lunghezza l dovrebbe corrispondere per il primo modo normale un quarto di lunghezza d’onda, per il secondo 3/4 e così via, secondo la relazione l=(2n+1)/4 con n=0, 1, 2,…………
Il sistema sorgente-risonatore. La cavità come filtro. (I)
Affinché una sorgente possa produrre un’onda sonora di intensità apprezzabile deve essere accoppiata a un risonatore. Nel caso del diapason, una semplice cassetta in legno a forma di parallelepipedo, aperta a un’estremità, che risuona alla frequenza caratteristica di 440 Hz.Utilizzando due diapason è facile vedere che, cambiando la frequenza di uno dei due, tramite dei morsetti, il secondo risponde al primo, messo in vibrazione col martelletto, solo quando la nota che raggiunge la cassetta ha la stessa frequenza dell’oscillatore inizialmente fermo.
Il sistema sorgente-risonatore. La cavità come filtro. (II)
Una cavità piena d’aria con due aperture, una per l’ingresso e l’altra per la fuoriuscita del tono, può essere utilizzata per operare l’analisi armonica del suono stesso. Consideriamo ora uno dei risonatori introdotti da Hermann von Helmholtz.
Il sistema sorgente-risonatore. La cavità come filtro. (III)Rivolgendo l’apertura grande verso la sorgente sonora e quella piccola al proprio orecchio si percepisce rafforzata solo la frequenza caratteristica del risonatore sferico. Con una forma diversa da una sfera, ad esempio un tubo cilindrico, il filtro seleziona, oltre alla frequenza principale, anche i multipli corrispondenti alle onde stazionarie (modi di vibrazione) legati al doppio della lunghezza del tubo. Così se prendiamo un cilindro, aperto alle estremità, e lo accostiamo (senza metterlo a contatto) al nostro orecchio, il rumore (costituito da moltissime frequenze) si trasforma in un suono con alcune frequenze ben riconoscibili, amplificate dal tubo stesso. Se mettiamo il cilindro perfettamente a contatto con l’orecchio, si notano, rispetto al caso precedente, alcuni toni diversi (il tubo chiuso a un’estremità risuona con la frequenza fondamentale che corrisponde a f=v/4l). Il tubo si comporta come un filtro che seleziona le sue frequenze caratteristiche corrispondenti alle onde stazionarie.
Il sistema sorgente-risonatore. La cavità come filtro. (IV)Complicando la forma geometrica della cavità, come nel caso di una conchiglia, le frequenze proprie di risonanza non seguono leggi semplici. Possono essere però studiate sperimentalmente inviando dei segnali acustici e studiando la risposta in frequenza. Così si ottengono grafici simili a quelle riportati nell’immagine che segue.Le frequenze di risonanza successive non sono più multiple della fondamentale e la selezione del rumore, che si ha accostando la conchiglia all’orecchio, produce allora un effetto complessivo che ricorda il mare.
La misura della lunghezza d’onda della nota la3 in laboratorio. (I)Nell’esperienza, del primo biennio, sui tubi risonanti il materiale fornito agli studenti è costituito da un cilindro graduato, un recipiente con dell’acqua, un righello e un diapason con martelletto. L’altezza dell’aria all’interno del cilindro può essere variata regolando il livello dell’acqua contenuto nel cilindro. Si ricerca la posizione nella quale la nota emessa dal diapason all’imboccatura del cilindro ha il rinforzo maggiore, valutato dai ragazzi. La lunghezza del tubo in risonanza. Il risultato che si ottiene si può fissare in modo visivo confrontando il lato maggiore della cassetta di risonanza (del diapason) con la lunghezza trovata. Le due misure differiscono al più di qualche millimetro (tenuto conto dello spessore del legno della cassetta).
La misura della lunghezza d’onda della nota la3 in laboratorio. (II)
Sembrerebbe un ottimo punto di partenza per parlare delle onde stazionarie all’interno di un tubo che risuona. Purtroppo la misura della lunghezza caratteristica della cassetta (o del tubo risonante) prossima a 17,3 cm è notevolmente minore del teorico quarto della lunghezza d’onda indicato nei manuali e nelle pagine precedenti. Infatti, se calcoliamo, utilizzando i valori della frequenza del diapason e della velocità del suono nell’aria a 20 °C, la lunghezza d’onda =v/f=343 /440 troviamo un valore prossimo a 0,78 m.
La misura della lunghezza d’onda della nota la3 in laboratorio. (III)
Un quarto della lunghezza d’onda dovrebbe essere uguale a 19,5 cm. La differenza indica che l’antinodo dell’onda stazionaria non si forma all’imboccatura della cavità, ma spostato al suo esterno di una quantità l = 2,2 cm. L’aria intorno all’estremità aperta rappresenta una sorta di prolungamento della colonna d’aria all’interno del cilindro stesso. Come possiamo allora misurare la lunghezza d’onda associata alla nota la3?
La misura della lunghezza d’onda della nota la3 in laboratorio. (IV)
Con un cilindro più lungo, il rinforzo dell’intensità del suono, ascoltato dagli studenti, non si avrebbe solo in corrispondenza della lunghezza l1=/4–l. La risonanza sarebbe chiaramente udibile anche a una seconda lunghezza l2=3/4–l, distanziata dalla prima di mezza lunghezza d’onda, nell’ipotesi che la correzione l sia uguale nei due casi (si veda figura accanto).
La misura della lunghezza d’onda della nota la3 in laboratorio. (V)Quindi, sostituendo il cilindro con l’apparato sperimentale della figura accanto, si può variare l’altezza della colonna d’aria nel tubo, spostando il serbatoio a destra della figura, etrovare le prime due lunghezze di risonanza. È possibile finalmente mettere in relazioni la lunghezza d’onda della nota la3 con le misure l1 e l2 delle due risonanze: =2(l2-l1).
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