IL PROBLEMA

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO QUADRATA DI UN NUMERO

NEGATIVONEGATIVO

9

Matematicamente si può:Matematicamente si può:

decidere che tale calcolo non interessa

creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

Optiamo per la secondaOptiamo per la secondaipotesi ipotesi

ok ! ok !

i 1

Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1.

Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione.

Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama

unità immaginaria

si ha quindi per definizionesi ha quindi per definizione

i = -12

l’unità immaginaria è un po’ l’unità immaginaria è un po’ “strana”“strana”

l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali

le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

i

-1 +1

-i

in un riferimento cartesiano ortogonalein un riferimento cartesiano ortogonaleponiamo

sull’asse delle ascisse

i numeri realii numeri reali

sull’asse delle ascisse

i numeri realii numeri reali

sull’asse delle ordinate

i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”

ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

sull’asse delle ordinate

i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”

ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

Rappresentazione GeometricaRappresentazione Geometrica

a

b

P=(a,b)

chiamiamochiamiamo

numero complessonumero complesso

un numero del tipo

a+ib

con a e b numeri reali

a si chiama parte reale del numero complesso

ib si chiama parte immaginaria del numero

complesso

è natoè nato un nuovo insieme di

numeri

i numeri complessi

Rappresentiamo con un insieme Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamotutti i numeri che conosciamo

RealiImmaginari

Complessi

abi

a+ib

Diamo qualche definizioneDiamo qualche definizione

a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d

a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib

complessi coniugati

Somma algebrica di numeri Somma algebrica di numeri complessicomplessi

(a+ib)+(c+id)

(a+c)+(b+d)i

esempiesempi(3+2i)+(-5+7i)=-2+9i(-2-4i)+(-3+5i)=-5+i

(4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i(1+2i)+(1-2i)=2 ???????(1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????

Prodotto di numeri complessiProdotto di numeri complessi

(a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i

in particolare:

(a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2

Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri

complessila somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!

Si però i fattori sono numeri complessi!!!

esempiesempi

(3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i

(3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13somma di due quadrati

Reciproco di un numero Reciproco di un numero complessocomplesso

Si definisce reciproco del numero complesso c + idil numero complesso c - id_ c2 + d2

infatti il loro prodotto è uguale a 1

Quoziente di numeri Quoziente di numeri complessicomplessi

(a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id)

= (a+ib) (c-id) c2+d2

esempioesempio

i

ii

iiii

iiii

10

17

10

1

10

171

10

2155619

352

19

352

3

152352

RIASSUMIAMORIASSUMIAMO

quello che abbiamo imparato

introducendo i numeri immaginari

Avevamo un problema 9

l’abbiamo risolto

abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib

abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari

abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note

ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali

=3i