Download - I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Transcript
Page 1: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

UNIVERSITA' DELLA CALABRIA

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

Tesi di Laurea

I TEOREMI FONDAMENTALI

DELL'ECONOMIA DEL BENESSERE

Relatore Candidato

Prof. Renato Guzzardi Angelo Fusaro

Matr.144826

Anno Accademico 2011 - 2012

1

Page 2: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI
Page 3: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Indice

Introduzione 1

1 Le preferenze del consumatore 31.1 L'insieme di consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Relazioni di preferenza sull'insieme di consumo . . . . . . . . . . . 51.3 La funzione di utilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Utilità cardinale e ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Le curve d'indi�erenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Proprietà delle curve d'indi�erenza . . . . . . . . . . . . . 161.5.1.1 Le curve di indi�erenza hanno pendenza negativa 161.5.1.2 Le curve di indi�erenza non possono intersecarsi 171.5.1.3 Curve di indi�erenza più lontane dall'origine cor-

rispondono a livelli di utilità maggiori . . . . . . 181.5.1.4 Le curve di indi�erenza hanno la convessità rivolta

verso l'origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Il saggio marginale di sostituzione . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 L'utilità marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.4 Utilità marginale e SMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 La retta di bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7 La scelta ottima del consumatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.8 L'impresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 L'ordinamento delle preferenze sociali 332.1 Preferenze individuali e preferenze sociali: la costruzione di un

ordinamento sociale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 L'aggregazione delle preferenze individuali . . . . . . . . . . . . . 37

3 Il criterio di Pareto e il concetto di e�cienza 413.1 Il criterio di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 La nozione di e�cienza o ottimo paretiano . . . . . . . . . . . . . 443.3 L'allocazione ottimale delle risorse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 L'e�cienza nello scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 L'e�cienza nella produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

i

Page 4: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

3.3.3 L'e�cienza generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 I limiti del criterio di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1 L'incoerenza con il principio delle libertà minime e la neu-tralità rispetto alla distribuzione di ricchezza . . . . . . . . 68

3.4.2 L'ordinamento parziale delle preferenze e la tirannia dellostatus quo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Le funzioni del benessere sociale 704.1 Le funzioni del benessere sociale utilitaristiche . . . . . . . . . . . 714.2 La funzione di benessere sociale di Bernoulli - Nash . . . . . . . . 734.3 La funzione di benessere sociale di Rawls . . . . . . . . . . . . . . 754.4 La funzione di benessere sociale di Bergson-Samuelson . . . . . . 774.5 Confronto tra criterio di Pareto, FBS utilitaristica, FBS rawlsiana 78

5 I Teoremi fondamentali dell'Economia del Benessere 80

6 Il problema della disuguaglianza 886.1 Ordinamenti parziali di distribuzioni del reddito . . . . . . . . . . 88

6.1.1 Ordinamento di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.2 Ordinamento alla Robin Hood . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Ulteriori risultati su ordinamenti di Lorenz e Robin Hood . . . . . 956.2.1 Ordinamento di Lorenz generalizzato . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Ordinamenti completi di distribuzioni del reddito . . . . . . . . . 986.3.1 Il coe�ciente di Gini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2 L'indice di Atkinson-Kolm-Sen . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ii

Page 5: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Elenco delle �gure

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

Page 6: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

iv

Page 7: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Introduzione

Lo scopo di questa tesi è quello di evidenziare come diversi aspetti dell'economiadel benessere possano essere trattati da un punto di vista matematico. L'aspettoessenziale che analizziamo in questa tesi è il concetto di benessere. Il benessereè uno stato psico�sico derivante dal soddisfare i bisogni. In realtà, si tratta diun concetto primitivo, cioè di�cile da de�nire a parole. E', comunque, evidentecome ciascun individuo cerchi di perseguire il proprio benessere e di massimizzarequest'ultimo nei limiti delle sue possibiltà; è altrettanto palese come, con code-sto proposito, ognuno si comporti in maniera abbastanza prevedibile. Proprio laprevedibilità nel comportamento degli individui nel voler ottimizzare il propriobenessere, permette, attraverso opportune sempli�cazioni ed ipotesi, di descrivereil concetto di benessere tramite un modello matematico. I concetti matematiciutilizzati in tale modello sono piuttosto semplici e rigurdano le relazioni d'ordinee d'equivalenza, oltre che alcune nozioni di calcolo di�erenziale.

Nel primo capitolo si analizza il modo di prendere le decisioni da parte dei singolisoggetti economici, anche detti individui; per gli economisti gli individui si classi-�cano in due grandi categorie: imprese e consumatori. Partendo da determinateipotesi fatte sugli individui, vengono introdotte le relazioni di preferenza e di indif-ferenza; si tratta di relazioni de�nite sulle combinazioni di beni di cui gli individuipossono disporre, a partire dalle quali gli individui stessi e�ettuano le loro deci-sioni. Un importante risultato, esposto nel primo capitolo, è fornito dal Teoremadi rappresentazione di Debreu il quale, sotto opportune assunzioni, mostral'esistenza di una funzione, detta funzione di rappresentazione, capace di rappre-sentare il benessere individuale tramite numeri reali. Nel secondo e terzo capitolosi esamina come, a partire dalle preferenze individuali, sia possibile costruire unordinamento degli stati sociali. Nel terzo capitolo viene, altresì, trattato il concet-to di ottimo paretiano e, attraverso un importante teorema, vengono dimostratele condizioni che consentono ad una collettività di perseguire l'allocazione otti-male delle risorse nel senso di Pareto. Nel quarto capitolo si parla della funzionedi benessere sociale come particolare funzione di rappresentazione di un ordina-mento sociale che goda delle ipotesi del teorema di Debreu. Nel quinto capitolovengono presi in considerazione i due Teoremi fondamentali dell'economiadel benessere , i quali individuano le modalità secondo cui interagiscono il mer-

1

Page 8: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

cato e lo Stato, al �ne del conseguimento dell'ottimo paretiano in una collettività.Nel sesto ed ultimo capitolo viene descritto il ruolo del reddito nell'economia delbenessere.

2

Page 9: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Capitolo 1

Le preferenze del consumatore

Iniziamo la trattazione occupandoci del processo decisionale dei singoli individui.Vediamo, quindi, come le singole persone che fanno parte di un sistema economicoesprimano delle preferenze con lo scopo di soddisfare i propri bisogni; in questa fa-se, pertanto, possiamo parlare di benessere individuale. In un secondo momento,osserveremo come le preferenze dei singoli possano essere �aggregate�, discutendo,così del benessere sociale.

Come già detto nell'introduzione, per individuo intenderemo un generico con-sumatore o una generica impresa. In economia, un individuo è visto come unsoggetto �egoista�, che pensa essenzialmente alla soddisfazione dei propri bisogni;ciascun individuo, pertanto, è in grado di esprimere dei giudizi o delle preferenzee di prendere delle decisioni che gli permettano di conseguire il proprio benessere.

Esaminiamo, ora, le preferenze espresse dal singolo individuo consumatore; ana-logo ragionamento sarà fatto, successivamente, per l'individuo impresa.

1.1 L'insieme di consumo

Prendiamo in esame un singolo consumatore, e supponiamo che questi possa di-sporre contemporaneamente di n beni B1, B2, . . . , Bn in determinate quantità.Indicando con xi una quantità di bene Bi di cui l'individuo può disporre, allora,dovendo essere ∀i xi ≥ 0 , risulta che x = (x1, x2, . . . , xn) è una generica n-pladi Rn+, ed è una n-pla di quantità delle n risorse che il consumatore può avere adisposizione.

3

Page 10: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

De�nizione 1. (Insieme di consumo)Un insieme di consumo è un sottoinsieme P di Rn+ per cui accade che:

1. Vale la proprietà di in�nita divisibilità dei beni, (nella formalizzazione ma-tematica le quantità di beni appartengono all'insieme dei numeri reali), cioè∀x∈ P e ∀t ≥ 0, tx∈ P

2. Vale la proprietà di additività: siano x ed y∈ P allora x+y∈ P

3. Vale la proprietà di convessità: siano x ed y∈ P allora tx+(1 − t)y∈ P ,∀t ∈ [0, 1]

In realtà, l'ultima proprietà, è conseguenza delle prime due. Un sottoinsieme P diRn+ che gode delle proprietà appena dette è anche denominato insieme delle pos-sibiltà di consumo. Le n-ple di P sono dette panieri di beni, o panieri di consumodi cui è possibile disporre. Spesso, per semplicità, si considera la situazione ideale,che in realtà, mai può veri�carsi, in cui si ipotizza che il consumatore possa con-sumare in�nite quantità di ciascuno dei beni B1, B2, . . . , Bn; in tal caso, l'insiemedi consumo P , sarà:

P = {(x1, x2, ..., xn) | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0} = Rn+Avendo, ora, lo scopo di vedere come gli individui prendano le loro decisioni, in-�uendo, poi sulle scelte della società, cominciamo col prendere in considerazioneun solo individuo per cui i beni a disposizione sono due: in questo caso, indicandocon x1 ed x2 le quantità dei due beni B1 e B2 che costituiscono un generico panie-re, è possibile rappresentare la situazione su un sistema di assi cartesiani, in cui,ad esempio, la quantità di bene B1 che si può consumare (che abbiamo indicatocon x1) è riportata sull'asse delle ascisse, mentre la quantità di bene B2 che sipuò consumare (che abbiamo indicato con x2) è riportata sull'asse delle ordinate.Nell'eventualità che i beni considerati siano due, ovviamente, un paniere di con-sumo è rappresentato da una coppia (x1, x2).

Facendo, quindi riferimento ad un solo consumatore che può disporre di due solibeni, l'insieme di consumo è rappresentato nel piano x1x2 (tale insieme di consumosi trova ovviamente tutto contenuto nel I quadrante). Per comodità, in presenzadi n beni, assumiamo ora che il nostro insieme di consumo sia P = Rn+; nellarealtà le possibilità di consumo non sono illimitate, bensì sono limitate da diversifattori, come ad esempio la quantità di un determinato bene messa sul mercato ola disponibilità economica del consumatore; in quest'ultimo caso la limitazione èdata dalla retta di bilancio, argomento che tratteremo in seguito. Generalmente,quindi, l'insieme di consumo è limitato.

4

Page 11: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.2 Relazioni di preferenza sull'insieme di consu-

mo

Tralasciando, momentaneamente, le limitazioni ed i vincoli sulle possibilità diconsumo, cerchiamo ora di fare un confronto tra il benessere o �piacere� che derivaal consumatore dal consumare un determinato paniere rispetto ad un altro. Daciò, quindi, abbiamo a che fare col concetto di preferenza. Poiché il soggettoche abbiamo preso in considerazione, ovvero il consumatore, è un individuo chepensa ed agisce con l'intento di perseguire esclusivamente il suo benessere, questidovrà essere, senza dubbio, in grado di stabilire tra due panieri quello che luipreferisce. In questo modo si viene a creare una particolare relazione binaria trapanieri sull'insieme di consumo P che indichiamo con � e denominiamo relazionedi preferenza debole.

De�nizione 2. (Relazione di preferenza debole)Una relazione di preferenza debole è una relazione binaria sull'insieme di consumoP, indicata con �, per cui dati due panieri x ed y in P si scrive:

x�y ⇔il consumatore preferisce x almeno quanto y

Considerati due panieri x ed y, la notazione x�y si legge x è debolmentepreferito ad y. Ovviamente, ciascun consumatore esprime preferenze diverse re-lativamente ai panieri che quest'ultimo ha la possibilità di consumare.

Facciamo l'assunzione che la relazione di preferenza debole goda delle seguentiproprietà:

1. Ri�essività: ∀x∈ P , x�x

2. Transitività: ∀x, y, z∈ P, x�y e y�z⇒x�zLa ri�essività della relazione di preferenza debole ci dice che qualunque panieredi consumo è debolmente preferito a se stesso; in realtà tale proprietà è abba-stanza intuitiva. La transitività della relazione di preferenza evidenzia che datitre qualsiasi panieri di consumo, se il primo è debolmente preferito al secondo, eil secondo al terzo, allora anche il primo paniere è debolmente preferito al terzo.Grazie a tali proprietà, la relazione di preferenza debole risulta essere una rela-zione di preordine sull'insieme di consumo P . Se la relazione di preferenza debolegode della proprietà di completezza, ovvero

∀x, y∈ P, x�y o y�x

la stessa relazione di preferenza debole diventa una relazione di preordine com-pleta. Generalmente assumeremo che la relazione di preferenza debole goda della

5

Page 12: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

completezza; ciò signi�ca che due panieri qualsiasi sono sempre confrontabili traloro, ossia per tutte le coppie di panieri di consumo, almeno uno dei due è debol-mente preferito all'altro. La completezza della relazione di preferenza debole servead escludere il caso di un consumatore indeciso; essa consente al consumatore diordinare sempre i panieri ammissibili.

A partire dalla relazione di preferenza debole, vengono de�nite sull'insieme di con-sumo P due ulteriori relazioni, che sono la relazione d'indi�erenza e la relazionedi preferenza forte.

De�nizione 3. (Relazione d'indi�erenza)Una relazione d'indi�erenza è una relazione binaria sull'insieme di consumo P,indicata con ∼, per cui dati due panieri x ed y in P si scrive:

x∼y ⇔ x�y e y�x

Dunque, scrivere x∼y vuol dire che i due panieri x ed y sono indi�erenti, nelsenso che il consumatore è ugualmente soddisfatto sia che consumi il paniere xsia che consumi y.

La relazione d'indi�erenza gode delle seguenti proprietà:

1. Ri�essività: ∀x∈ P , x∼x

2. Simmetria: ∀x, y∈ P, x∼y ⇒y∼x

3. Transitività: ∀x, y, z∈ P, x∼y ed y∼z ⇒x∼z

Dalle precedenti proprietà, la relazione d'indi�erenza ∼ è una relazione d'equiva-lenza sull'insieme di consumo P . Ora, dato un paniere x, l'insieme

{y∈ P |x∼y}

è detto insieme d'indi�erenza del paniere x. Un insieme d'indi�erenza non è mai vuo-to, ma contiene almeno un elemento, x stesso (dato che la relazione d'indi�erenzaè ri�essiva). Le classi d'equivalenza corrispondenti alla relazione ∼ sono rappre-sentate dagli insiemi d'indi�erenza; ne consegue che gli insiemi d'indi�erenza sonodisgiunti, fatto che vedremo esplicitamente nel caso particolare in cui assumiamoche i beni a disposizione del consumatore siano due, B1 e B2 (in tal caso gli insiemid'indi�erenza sono curve nel piano x1x2, dette curve d'indi�erenza). Da ciò conse-gue che il quoziente P/ ∼ rappresenta l'insieme di tutti gli insiemi d'indi�erenza.Il quoziente P/ ∼ può essere ordinato, introducendo la relazione di preferenzaforte tra panieri.

6

Page 13: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

De�nizione 4. (Relazione di preferenza forte)

Una relazione di preferenza forte è una relazione binaria sull'insieme di con-sumo P, indicata con �, per cui dati due panieri x ed y in P si scrive:

x�y⇐⇒x�y e y�x

Pertanto, scrivere x�y signi�ca che tra i due panieri x ed y, il consumatorepreferisce strettamente x ad y, ovvero desidera inequivocabilmente il paniere xad y.

La relazione di preferenza forte gode delle seguenti proprietà:

1. Irri�essività: non esiste x∈ P tale che x �x

2. Asimmetria: ∀x, y∈ P, x�y ⇒y�x

3. Transitività: ∀x, y, z∈ P, x�y ed y�z ⇒x�z

Dalle precedenti proprietà, la relazione di preferenza forte è una relazione d'ordinestretto sull'insieme di consumo P . Notiamo che tutto il discorso che stiamo facen-do riguarda ancora il benessere individuale del singolo consumatore. Le proprietàdi cui godono la relazione d'indi�erenza e la relazione di preferenza forte si possonoprovare a partire dalla ri�essività e transitività della relazione di preferenza debole.

Se si suppone, come facciamo in gran parte dei casi, che la relazione di prefe-renza debole sia completa, allora, dato un paniere x∈ P , ogni altro paniere y 6=x,appartiene ad uno dei seguenti sottoinsiemi di P :

1. Insieme migliore: panieri debolmente preferiti ad x

2. Insieme d'indi�erenza: panieri indi�erenti ad x

3. Insieme peggiore: panieri a cui x è debolmente preferito

Facciamo adesso un esempio pratico di quanto detto �nora, per �toccare con ma-no� ciò di cui abbiamo trattato. Consideriamo il consumatore Carlo. Carlo hafame e decide di farsi un panino; nel suo frigorifero ci sono prosciutto e formag-gio. Il panino con 2 fette di prosciutto ed 1 fetta di formaggio genera lo stessobenessere del panino con 1 fetta di prosciutto e 3 di formaggio. In questo caso, ipanieri sono i diversi panini che può farsi Carlo con quelli che sono i due beni adisposizione, ovvero formaggio e prosciutto. Indicando con x il panino con 2 fettedi prosciutto ed 1 fetta di formaggio, e con y il panino con 1 fetta di prosciuttoe 3 di formaggio, da quanto detto risulta che i due panini x ed y sono per Carloindi�erenti, ossia appartengono ad uno stesso insieme d'indi�erenza per Carlo.

7

Page 14: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Le relazioni di preferenza introdotte, come visto, godono di particolari proprietàche ci permettono di analizzarle da un punto di vista matematico; tuttavia oltrealla proprietà di cui esse già godono, talora ne vengono aggiunte altre. General-mente, si assume che la relazione di preferenza debole soddis� due fondamentaliproprietà aggiuntive (tali proprietà saranno chiamate in causa nel Teorema diDebreu , che analizzeremo in seguito):

• La continuità: ∀y∈ P gli insiemi A ={ x∈ P : x�y } e B = { x∈ P :y�x } sono chiusi

• La stretta monotonicità: ∀x 6= y : ∀j ∈ {1, 2, ...n} xj ≥ yj ed ∃i ∈{1, 2, ..., n}: xi > yi ⇒x�y

La proprietà di continuità può anche essere riformualta dicendo che, data unasuccessione di panieri {xn

}che convergono ad un paniere x, se y è debolmente

preferito a tutti i panieri della successione, allora y è anche debolmente preferitoad x, risultato analogo si ha nel caso in cui i panieri della successione siano de-bolmente preferiti ad y. La stretta monotonicità, invece, signi�ca che, per unacoppia di panieri distinti, quello dei due che contiene una quantità maggiore dialmeno uno dei beni e quantità uguali di tutti gli altri risulta strettamente prefe-rito.

1.3 La funzione di utilità

Per utilità s'intende l'attitudine di un certo bene a soddisfare un determinatobisogno del consumatore; per comodità, si suppone che l'utilità sia una quantitànon negativa. Continuando a parlare delle modalità di scelta di un consumatore,cerchiamo ora di rappresentare le preferenze di un individuo non più attraversole relazioni di preferenza, ma attraverso una funzione di rappresentazione, che nelcaso speci�co, prende il nome di funzione di utilità U : essa assegna un valorenumerico di utilità ad ogni paniere. Una tale funzione esiste, però, soltanto se ilsistema di preferenze del consumatore veri�ca determinate ipotesi; il motivo percui l'uso della funzione di utilità viene preferito alla relazione binaria di preferenzaè che, per trovare il paniere che l'individuo considera il migliore, non è necessarioche egli confronti tutti i panieri a due a due, ma semplicemente che per ognuno diessi associ un valore, così che il paniere avente valore di utilità più elevato sarà ilpaniere migliore. Se, per semplicità, continuiamo a supporre che il consumatorepossa disporre di quantità illimitate di ciascuno dei beni B1, B2, ..., Bn, per cuil'insieme di consumo è P = Rn+, si tratta di vedere quando esiste una funzione di

8

Page 15: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

rappresentazione, ovvero una funzione

ϕ : Rn+ −→ R+

x7→ ϕ(x)

che rappresenti il benessere derivante dal consumo di ciascun paniere, rispettandol'ordinamento di preferenza dell'individuo considerato, cioè

x�y⇐⇒ ϕ(x)≥ ϕ(y) ∀x,y∈ P = Rn+

Qualora una tale funzione di rappresentazione esista, nel caso dell'individuo con-sumatore prende il nome di funzione di utilità (verrà indicata con U), nel casodelle imprese prende il nome di funzione di produzione.Il Teorema di rappresentazione di Debreu fornisce le ipotesi sotto le qualiesiste una funzione di rappresentazione; ci poniamo nel caso del consumatore, percui la funzione di rappresentazione è la funzione di utilità U (la formulazione delteorema è la stessa anche per quanto riguarda le imprese).

Teorema 1. (Teorema di rappresentazione di Debreu)Sia � una relazione di preferenza debole, completa, continua e strettamente mo-notòna, de�nita su P = Rn+ allora esiste una funzione U : P → R+ tale che: ∀x,y∈ P , U(x) ≥ U(y)⇐⇒x�y.

Dimostrazione Dimostriamo, quindi, l'esistenza della funzione a partire dalleipotesi sulla relazione di preferenza de�nita sull'insieme di consumo P = Rn+.Sia e, il vettore in Rn+, costituito da tutti uno. Dato qualsiasi paniere x=

(x1, x2, ..., xn) ∈ P , sia U(x) il numero tale che x∼ U(x)e , ossia tale cheil paniere dato sia indi�erente ad un paniere costituito dalla quantità U(x) diciascun bene. Dimostriamo che tale numero esiste per ogni x∈ P ed è unico:

• sia B={t ∈ R+ |te�x}l'insieme di tutti i numeri reali non negativi, t , tali

che i panieri costituiti da una tale quantità di ciascun bene sono debolmentepreferiti ad x; tale insieme è non vuoto, B6= ∅, visto che contiene almenotutti i t maggiori della più grande quantità di bene contenuta in x (ovverotutti i t tali che t ≥ maxxi): infatti, per tali t, data la monotonicità impostaalle preferenze, te è sicuramente preferito ad x

• sia W={t ∈ R+ |x�te}l'insieme di tutti i numeri reali non negativi, t, tali

che x è preferito ai panieri costituiti da una tale quantità di ciascun bene;anche tale insieme non è vuoto, W6= ∅,visto che almeno contiene lo zero

• B e W sono entrambi chiusi, dato l'assioma di continuità

9

Page 16: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

• per la completezza, tutti i panieri sono confrontabili. Da ciò si ha B∪W=R+, infatti, supponiamo per assurdo che ∃ t*∈ R+ tale che t*/∈B∪W, allorat*/∈W; ma t*/∈W=⇒t*e�x=⇒t*∈B, pertanto t*∈B∪W (assurdo).

• dalle osservazioni precedenti, B∩W 6=∅, poichè devono almeno avere il puntodi frontiera in comune

Bisogna, ora, vedere che l'intersezione tra i due insiemi B e W sia un singolopunto (solo in tal caso possiamo parlare di funzione). Procediamo per assurdo:supponiamo che esistano t e t′∈B∩W e possiamo assumere che t > t′. Essen-do t e t′∈B∩W si avrebbe che t′e∼x∼te, quindi per la transitività, t′e∼te incontrasto con il fatto che te�t′e, implicata dalla monotonicità stretta. Si ha,quindi, un assurdo; ne segue che l'intersezione tra B e W deve essere un singolopunto. Una volta dimostrata l'esistenza e l'unicità del numero t∈B∩W, risultadimostrata l'esistenza della funzione U , ponendo t = U(x); rimane da dimostrareche ∀x, y∈ P , U(x) ≥ U(y)⇐⇒x�y. La dimostrazione di ciò si basa sulla mo-notonicità stretta e la transitività; dimostriamo separatamente le due implicazioni:

(=⇒)Siano x ed y panieri di consumo tali che U(x) > U(y), allora, per la stretta mo-notonicità, U(x)e� U(y)e ; poichè si ha x∼ U(x)e ed y∼ U(y)e , allora, perla transitività, risulta che x�y. Allo stesso modo si veri�ca che se U(x) = U(y),allora x∼y. Pertanto, nel complesso, abbiamo ottenuto

U(x) ≥ U(y) =⇒x�y

che è la prova della prima implicazione.

(⇐=)La dimostrazione della seconda implicazione è analoga alla dimostrazione dellaprima implicazione ripercorsa al contrario.

Possiamo rappresentare il problema a�rontato dal Teorema di Debreu su due di-mensioni, assumendo che i beni a disposizione siano due, B1 e B2. Si consideri ungenerico paniere x come nella �gura sottostante; tutti i panieri sono confrontabilicon x, per la completezza delle preferenze.

10

Page 17: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 1.1:

I panieri che che si trovano sulla bisettrice non sono indi�erenti tra loro, acausa della stretta monotonicità, ma sono ordinabili mediante la relazione di pre-ferenza stretta. Esiste almeno un paniere come y (strettamente preferito ad x)ed almeno un paniere non preferito ad x (l'origine), inoltre abbiamo constatatol'esistenza e l'unicità del paniere U(x)e∼x. Si osserva che ogni paniere appartie-ne ad una classe di equivalenza (rappresentata da una una curva di indi�erenza),il cui elemento rappresentativo potrebbe essere uno dei panieri sulla bisettrice.Lo spazio di tutti i panieri P è partizionato in curve di indi�erenza, e l'insiemedi tali curve è l'insieme quoziente P/ ∼, il quale è totalmente ordinato mediantela preferenza stretta, come si comprende osservando i panieri rappresentativi sul-la bisettrice: questi sono, infatti, totalmente ordinati per via della monotonicitàstretta delle preferenze.

Debreu dimostrò anche che le funzioni di utilità sono uniformemente continue,ovvero vale che

∀ε > 0∃δ > 0 | ∀x,y∈ P ||x−y||< δ =⇒| U(x)− U(y) |< ε

Tale proprietà di uniforme continuità delle funzioni di utilità deriva dall'ipote-si di continuità delle preferenze, ed a�erma, in sostanza, che se ci si sposta da unpaniere �ssato ad un paniere �vicino�, il valore dell'utilità varia di poco (si suoldire che non ci sono salti nelle curve d'indi�erenza).

Nel seguito assumeremo, quasi sempre, che le ralazioni di preferenza soddis�no leipotesi del teorema di Debreu.

11

Page 18: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.4 Utilità cardinale e ordinale

Abbiamo visto come una funzione di utilità, se esiste, trasforma la relazione di pre-ferenza de�nita sull'insieme di consumo P nella relazione d'ordine de�nita su R+ .Generalmente, si distinguono due tipi di misure dell'utilità: l'utilità cardinale eordinale. Si dice che l'utilità è misurabile in senso cardinale se, non solo la fun-zione di utilità assegna dei valori numerici ai panieri considerati, ma è tale percui sono signicative anche le di�erenze tra i numeri stessi. Si dice, invece, chel'utilità è misurabile in senso ordinale se i valori numerici assegnati ai vari panierinon hanno alcun signicato di per sè, se non quello di rappresentare un ordina-mento di questi panieri in termini delle preferenze di un individuo. Inizialmente,l'utilità individuale era implicitamente considerata come utilità cardinale, ossiacome una quantità misurabile e addizionabile; in tal senso, era possibile misurarel'utilità di ciascun individuo ricollegabile al consumo di un qualsiasi paniere, oltreche sommare le utilità individuali per ottenere l'utilità totale della collettività.Per intenderci, da un punto di vista pratico, se l'utilità fosse considerata in sensocardinale e un individuo attribuisse utilità 100 ad una tazza di latte e utilità 20ad una tazza di tè, questo starebbe a signi�care che l'individuo preferisce cinquevolte di più la tazza di latte alla tazza di tè. In un secondo momento gli economistisvilupparono il concetto di utilità ordinale. La nozione di utilità ordinale ci diceche l'unica cosa realmente necessaria nella teoria del consumo è la possibilità chegli individui siano in grado di disporre su una scala ordinale i diversi panieri inbase alle loro preferenze; ciò che conta è solo l'ordine, e non la grandezza assolutadell'utilità. In termini pratici, se l'utilità venisse intesa in senso ordinale, l'unicacosa che potrebbe essere detta circa le preferenze dell'individuo in questione, inriferimento all'esempio della tazza di latte (alla quale l'individuo associa utilitàpari a 100) e della tazza di tè (alla quale l'individuo associa utilità pari a 20),sarebbe, semplicemente, che egli preferisce la tazza di latte alla tazza di tè, manon si può concludere che la tazza di latte sia cinque volte più utile della tazzadi tè. Nonostante tutto, nella gran parte dei casi, l'utilità è interpretata in sensoordinale. La funzione di utilità che otteniamo con il teorema di Debreu ha naturaordinale; proprio per il suo carattere ordinale, la funzione di utilità non è unica,bensì, qualunque trasformazione monotona crescente f della iniziale U rappre-senta sempre le stesse preferenze, poichè:

f(U(x)) ≥ f(U(y))⇐⇒ U(x) ≥ U(y)⇐⇒x�y

12

Page 19: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.5 Le curve d'indi�erenza

In precedenza si è accennato alle curve d'indi�erenza; dato un certo paniere x,abbiamo detto che la relazione di preferenza debole sull'insieme di consumo Pdi un determinato consumatore, consente di suddividere P in tre sottoinsiemi:l'insieme migliore di x, l'insieme d'indi�erenza di x e l'insieme peggiore di x.L'insieme d'indi�erenza di un paniere x, in particolare, è costituito da tutti i pa-nieri indi�erenti ad x, ovvero tutti i panieri che consumati dall'individuo preso inconsiderazione generano lo stesso benessere (utilità) di x. Ci poniamo, ora, comespesso abbiamo fatto nel corso della trattazione, nel caso in cui l'individuo possadisporre di due soli beni B1e B2 e le quantità consumate dei due beni le indichiamocon x1 ed x2(per cui un generico paniere x sarà una coppia x= (x1, x2)); �ssatoun paniere x, il suo insieme d'indi�erenza è dato da {y= (y1, y2) ∈ P |x∼y

},

allora, assumendo che sull'insieme di consumo P sia de�nita una relazione di pre-ferenza che soddis� le ipotesi del teorema di Debreu, esiste una funzione di utilitàU : P ⊆ R2

+ −→ R+ che rappresenti tale relazione e che, quindi, associa a tuttii panieri indi�erenti ad x lo stesso valore di utilità. Pertanto, supponendo cheU(x) = k, ossia che il valore di utilità associato al paniere x sia k (k costantenon negativa), risulta che a tutti i panieri dell'insieme d'indi�erenza di x vieneassegnata utilità pari a k; in questo modo, possiamo esprimere l'insieme d'indif-ferenza del paniere x come:

{y= (y1, y2) ∈ P |y∼x}

={y= (y1, y2) ∈ P | U(y) = U(y1, y2) = k}

Da tutto ciò, segue che l'insieme d'indi�erenza di x è descritto dall'equazioneU(x1, x2) = k che è proprio una curva (la curva d'indi�erenza passante per x),trattandosi di una curva di livello della funzione di utilità U = U(x1, x2). Ad ogniinsieme d'indi�erenza la funzione di utilità U associa un valore diverso.Pertanto, nell'eventualità che i beni a disposizione del consumatore siano due, isuoi insiemi d'indi�erenza sono le curve d'indi�erenza, che quindi possono essererappresentate gra�camente sul piano x1x2.

Prima di discutere delle proprietà delle curve d'indi�erenza, introduciamo, oraalcuni principi che condizionano la funzione di utilità, in�uendo sulle preferenze;si tratta dei cosiddetti principi che caratterizzano l' homo economicus, che sono:

• Egoismo: gli individui, nel prendere le loro decisioni, tengono conto solodella propria utilità (fatto che abbiamo già messo in risalto)

• Non sazietà: supponendo che ci siano due panieri x ed y, se il paniere xcontiene quantità di tutti i beni almeno pari ad y ed una quantità superioredi almeno un bene, allora x deve essere strettamente preferito ad y.

13

Page 20: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 1.2:

La proprietà di non sazietà è, in realtà, la proprietà di stretta monotonicità, giàincontrata in precedenza. L'utilità di un individuo deve aumentare se aumentanole quantità dei beni consumati dall'individuo. Nella �gura 1.2 tutti i panieriappartenenti all'area Uy (compresi i bordi) sono strettamente preferiti al panierey.

• Convessità: comunque presi due panieri y ed z tra loro indi�erenti, unaloro qualsiasi combinazione convessa è strettamente preferita ad entrambi(volendo fare un esempio, dati due panieri il benessere o l'utilità che derivadal consumarli entrambi è maggiore di quella che deriva dal consumarlisingolarmente)

∀λ ∈ (0, 1), ∀y,z∈ P , y∼z =⇒ λy+(1− λ)z�y e λy+(1− λ)z�z

14

Page 21: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 1.3:

Tornando a parlare delle curve d'indi�erenza, il gra�co in cui sono rappresentatele curve di indi�erenza è detto Mappa di indi�erenza.

Figura 1.4:

Sia 10 il livello di utilità associato alla prima curva d'indi�erenza nella �guraprecedente. Consideriamo il paniere w, che contiene quantità maggiori di benirispetto al paniere x; w e tutti i panieri ad esso indi�erenti formano una seconda

15

Page 22: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

curva di indi�erenza, associata ad un diverso livello di utilità, che indichiamo con15. In generale, si osserva che curve d'indi�erenza più lontane dall'origine degliassi rappresentano livelli di utilità via via maggiori.

1.5.1 Proprietà delle curve d'indi�erenza

1.5.1.1 Le curve di indi�erenza hanno pendenza negativa

Figura 1.5:

Si consideri un paniere x nell'insieme di consumo, e tracciamo per esso la rettaparallela e quella perpendicolare all'asse delle ascisse, in modo da dividere lo spa-zio in quattro quadranti; indicando il primo con I, il secondo II, il terzo con IIIe il quarto con IV , cerchiamo di determinare in quali di questi quadranti si trovala curva di indi�erenza passante per x. Ovviamente la curva non puo trovarsinella regione I, in quanto tutti i panieri di I contengono quantità maggiori dibeni rispetto ad x, perciò, per l'ipotesi di non sazietà tali panieri sono stretta-mente preferiti ad x, ed avranno maggiore utilità. Vale l'opposto se consideriamola regione III, dato che tutti i panieri di III hanno un'utilità minore rispetto alpaniere x. Di conseguenza la curva di indi�erenza relativa ad x passa necessaria-mente per le regioni II e IV , e, pertanto avrà inclinazione negativa .

16

Page 23: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.5.1.2 Le curve di indi�erenza non possono intersecarsi

Procediamo per assurdo, supponendo che le curve di indi�erenza possano interse-carsi.

Figura 1.6:

Siano I1 ed I2 due curve di indi�erenza che si intersecano in un paniere x.Prendiamo altri due panieri, y∈ I1 e z∈ I2 . I panieri x ed y sono sulla stessacurva d'indi�erenza I1, pertanto sono indi�erenti per il consumatore, ossia x∼y;in modo analogo, i panieri x e z sono sulla stessa curva d'indi�erenza I2, perciòsono tra loro indi�erenti, x∼z. Per la transitività, essendo x∼y ed x∼z, risultache y∼z. Questo porta all'assurdo, poichè z, contenendo una quantità maggioredi beni rispetto ad y, per l'ipotesi di non sazietà deve essere strettamente pre-ferito ad y, ovvero z�y. Da ciò segue che le curve di indi�erenza non possonointersecarsi.

17

Page 24: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.5.1.3 Curve di indi�erenza più lontane dall'origine corrispondono alivelli di utilità maggiori

Figura 1.7:

Siano x ed y due panieri come nella �gura sopra. Per l'ipotesi di non sazietà, ilpaniere y, contenendo quantita maggiori di beni, è strettamente preferito ad x,y�x. Per questo motivo alla curva di indi�erenza passante per y viene assegnatoun livello di utilità maggiore rispetto alla curva d'indi�erenza passante per x, e,poichè le curve d'indi�erenza non possono intersecarsi, segue che tutti i panieriappartenenti alla curva di indi�erenza per y hanno un valore di utilità più elevato.Quindi, curve di indi�erenza più lontane dall'origine corrispondono a valori diutilità via via maggiori.

18

Page 25: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.5.1.4 Le curve di indi�erenza hanno la convessità rivolta verso l'o-rigine

Figura 1.8:

In entrambi i gra�ci precedenti i panieri x ed y sono tra loro indi�erenti, x∼y.Per l'ipotesi di convessità delle preferenze, il paniere z= λx + (1 − λ)y, conλ ∈ (0, 1) è strettamente preferito ai due panieri x ed y da cui è stato ottenuto.Però, si osserva dalla �gura (a) che, se la curva di indi�erenza è concava, il panierez non ha utilità maggiore di x ed y; da ciò la concavità delle curve di indi�erenzadeve essere rivolta verso l'alto.

1.5.2 Il saggio marginale di sostituzione

Un importante concetto, al quale faremo più volte riferimento nel seguito, è quellodi saggio marginale di sostituzione. Data una certa curva d'indi�erenza, il saggiomarginale di sostituzione (SMS) corrisponde punto per punto all'inclinazionepresa in modulo di tale curva, e può essere interpretato come la quantità di unbene alla quale il consumatore è disposto a rinunciare per acquistare una quantitàaddizionale dell'altro bene, mantenendo invariata la sua utilità. Ad esempio, ilsaggio marginale di sostituzione tra un bene B2 e un bene B1 è il rapporto tra laquantità di bene B2 che l'individuo è disposto a ricevere (rinunciare) e la quantitàdell'altro bene B1, che deve donare (ricevere) in cambio, al �ne di restare sullastessa curva d'indi�erenza. Questa grandezza viene de�nita marginale perché èriferita a variazioni molto piccole (marginali, appunto). Indicando, ora, con ∆x1

e ∆x2 rispettivamente le variazioni, in aumento o in diminuzione, delle quantitàconsiderate dei beni B1 e B2, il rapporto

∆x2∆x1

rappresenta l'inclinazione della rettasecante la curva d'indi�erenza, passante per i punti A≡ (x1, x2) e B≡ (x∗1, x

∗2).

19

Page 26: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 1.9:

Al diminuire di ∆x1, il rapporto∆x2∆x1

si avvicina all'inclinazione della retta

tangente alla curva d'indi�erenza, dx2

dx1, ovvero

lim∆x1→0

∆x2

∆x1

=dx2

dx1

Figura 1.10:

20

Page 27: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Poichè le curve di indi�erenza sono inclinate negativamente, la quantità dx2

dx1

ha sempre segno negativo; per convenzione, gli economisti considerano il saggiomarginale di sostituzione come la pendenza della curva d'indi�erenza presa invalore assoluto, ossia:

SMS = −dx2

dx1

Il saggio marginale di sostituzione varia in ogni punto della curva di indi�erenzapoiché mutano le quantità dei beni a disposizione del consumatore. Prendiamo inesame la seguente �gura.

Figura 1.11:

Nel punto A il consumatore ha una maggiore quantità x2 di bene B2 ed unaminore quantità x1 di bene B1rispetto, ad esempio, al punto B; dunque, nel puntoA, egli è disposto a cedere una maggiore quantità di B2 per ottenere un'unità ag-giuntiva di B1. Nel punto B, per avere un'unità addizionale di B1, il consumatoreè disposto a cedere una minore quantità del bene B2 poiché, rispetto al punto A,dispone di una maggiore quantità di B1 . In sostanza, il SMS ha un andamentodecrescente: il consumatore è disposto a sacri�care quantità sempre minori di unbene in cambio di un'unità addizionale di un altro bene.

21

Page 28: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.5.3 L'utilità marginale

L'utilità marginale di un bene Bi rappresenta l'incremento del livello totale diutilità (∆U), ricollegabile all'aumento di consumo di una piccola quantità delbene considerato (∆xi), restando costante il consumo di tutti gli altri beni. Inmodo rigoroso, riferendoci a variazioni in�nitesime di quantità dei beni, data unafunzione di utilità U = U(x1, x2, ..., xn), l'utilità marginale relativa al bene Bi

(che indichiamo con UMi) è data dalla derivata parziale della funzione d'utilitàrispetto ad xi, ossia:

UMi =∂U(x1, x2, ..., xn)

∂xi

Osserviamo che qualunque sia il bene Bi rispetto al quale viene calcolata l'utilitàmarginale, risulta:

UMi =∂U(x1, x2, ..., xn)

∂xi> 0

dato che la funzione d'utilità è una funzione crescente rispetto alla quantità di ognibene consumato: via via che il consumatore assume dosi successive del bene, il suogrado di soddisfazione (l'utilità) aumenta. Tuttavia, un'importante assunzione chesi fa in economia è il Principio dell'utilità marginale decrescente . In praticasi assume che l'utilità marginale di un bene diminuisca al crescere del consumodel bene. Da un punto di vista matematico, questo comporta assumere che:

∂UMi

∂xi=∂2U(x1, x2, ..., xn)

∂x2i

< 0

da cui otteniamo che la funzione di utilità è monotòna crescente e concava rispettoal consumo dei singoli beni. Per capire da un punto di vista pratico quantodetto, si pensi al comportamento che un individuo potrebbe avere di fronte ad unpanino con mortadella. Il primo panino sarebbe molto gradito, apportando unincremento di utilità (∆U1) . L'incremento di utilità che genererebbe un secondopanino sarebbe sicuramente minore del primo (∆U2 < ∆U1), e così via (∆U3 <∆U2 < ∆U1). Nel caso considerato è molto probabile che vi sia un punto incui il consumatore sarà "sazio". Se il consumatore raggiunge il punto di sazietà,ulteriori incrementi di consumo del bene (mangiare altri panini) diminuiscono illivello di soddisfazione. Pertanto, si assume che, in corrispondenza del punto disazietà l'utilità marginale sia nulla e che il livello di utilità totale del consumatoresia massimo. Da tali considerazioni emerge che:

22

Page 29: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

limxi→0

∂U

∂xi= +∞

limxi→+∞

∂U

∂xi= 0

Figura 1.12:

Tralasciando tali aspetti, se si considera il problema sempli�cato di un consu-matore che può disporre solo di due beni, si avrà che l'utiltà marginale del primobene B1 è calcolata mantenendo costante la quantità del secondo bene B2:

UM1 = lim∆x1→0

U(x1 + ∆x1, x2)− U(x1, x2)

∆x1

=∂U(x1, x2)

∂x1

L'utilità marginale del bene B2 viene calcolata in modo analogo, mantenendocostante la quantità bel bene B1:

UM2 = lim∆x2→0

U(x1, x2 + ∆x2)− U(x1, x2)

∆x2

=∂U(x1, x2)

∂x2

23

Page 30: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1.5.4 Utilità marginale e SMS

Abbiamo visto che il saggio marginale di sostituzione (SMS) misura l'inclinazionein modulo della retta tangente ad una curva di indi�erenza in corrispondenza diun dato paniere di beni.

Proposizione 1Se si considera un consumatore che può disporre di due beni B1 e B2, il SMS èpari al rapporto inverso tra le utilità marginali dei due beni in questione.

DimostrazionePrendiamo in considerazione variazioni in�nitesime dx1e dx2 dei due beni in mododa rimanere sulla stessa curva d'indi�erenza; restando costante il livello di utilità,risulta che lungo la curva d'indi�erenza il di�erenziale della funzione di utilità ènullo:

dU =∂U(x1, x2)

∂x1

dx1 +∂U(x1, x2)

∂x2

dx2 = UM1dx1 + UM2dx2 = 0 (#)

laddove il termine UM1dx1 misura di quanto varia l'utilità in relazione ad unavariazione dx1 del bene B1, mentre il termine UM2dx2 misura di quanto cambial'utilità in seguito ad una variazione dx2 del bene B2. Risolvendo la (#) si ottiene:

SMS = −dx2

dx1

=

∂U

∂x1

∂U

∂x2

=UM1

UM2

La precedente espressione evidenzia che il saggio marginale di sostituzione tradue beni è uguale al rapporto inverso delle loro utilità marginali, ovvero prova laproposizione.

In precedenza si è osservato come, dato un sistema di preferenze, la funzio-ne di utilità che lo rappresenta non sia unica, ma, che una qualunque trasfor-mazione monotona crescente f della iniziale U continua a rappresentare le stessepreferenze; però, nonostante si possano ottenere in�nite funzioni di utilità, me-diante una trasformazione monotòna crescente, il saggio marginale di sostituzionerisulta invariante alle suddette trasformazioni. Infatti, supponiamo di e�ettua-re una trasformazione monotòna di una funzione di utilità U , per cui abbiamoV (x1, x2) = f(U(x1, x2)). Calcolando il SMS rispetto alla nuova funzione diutilità, usando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ottiene:

24

Page 31: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

SMS =

∂V

∂x1

∂V

∂x2

=

∂f

∂U∂f

∂U

∂U

∂x1

∂U

∂x2

=

∂U

∂x1

∂U

∂x2

=UM1

UM2

che dimostra come il SMS non dipenda dalla rappresentazione dell'utilità.

1.6 La retta di bilancio

In precedenza abbiamo fatto l'ipotesi che gli individui potessero consumare quan-tità in�nite di ciascuno dei due beni a disposizione B1 e B2; come già detto, ciònon è a�atto realistico, in quanto esistono dei vincoli che limitano l'insieme diconsumo (tali vincoli determinano l'insieme economicamente ammissibile per ilconsumatore). Fra i vari tipi di vincoli, ci occupiamo nella fattispecie dei vincolidi reddito o di bilancio. Per sempli�care il problema continuiamo ad assumere cheesistano solo due beni di consumo, il bene B1 e il bene B2, che il consumatore puòacquistare e consumare; assumiamo, inoltre, che il consumatore disponga di unreddito pari ad m e che i prezzi di mercato dei due beni siano p1 e p2. A questopunto, osserviamo che la spesa da parte del consumatore per l'acquisto di unaquantità pari ad x1 del bene B1 ed x2 del bene B2, al più può eguagliare il redditom e non può oltrepassarlo; il vincolo al quale deve sottostare il consumatore èpertanto dato da

p1x1 + p2x2 ≤ m

Supponendo, per semplicità, che il consumatore spenda tutto il reddito m perl'acquisto di x1 ed x2 , il vincolo di bilancio è rappresentato dalla retta:

p1x1 + p2x2 = m

L'equazione del vincolo di bilancio può essere rappresentata gra�camente su undiagramma cartesiano. Ogni punto indica una particolare combinazione di con-sumo (x1, x2).Esprimiamo il vincolo di bilancio esplicitando la sua equazione rispetto ad x2,ottenendo:

x2 = −p1

p2

x1 +m

p2

Il termine mp2

è l'intercetta della retta sull'asse delle ordinate, ed economicamente

il punto (0, mp2

) rappresenta la quantità di bene B2 che il consumatore potrebbeacquistare se impiegasse in tale acquisto tutto il suo reddito monetario. Invece,

25

Page 32: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

il punto di intersezione con l'asse delle ascisse, (mp1, 0) rappresenta la quantità

massima di bene B1 che egli può acquistare.

Figura 1.13:

Quindi, la retta di bilancio rappresenta un vincolo. Tutte le combinazionidi consumo al di sotto di essa sono alla portata del consumatore e pertantoammissibili.

Figura 1.14:

26

Page 33: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Le combinazioni di consumo sulla retta sono le �massime� possibili, dato il red-dito di cui dispone il consumatore e i prezzi dei beni. Le combinazioni di consumosituate al di sopra della retta non sono alla portata del consumatore.

Ora, come varia la retta di bilancio?

• Un aumento del reddito da m ad m′ > m comporta una traslazione versol'alto e verso l'esterno della retta di bilancio, dato che aumentano i valoridelle rispettive intercette della retta con gli assi; il contrario si veri�ca,invece, in presenza di una diminuzione del reddito

Figura 1.15:

• Un aumento del prezzo del bene B1, da p1 a p′1 > p1, comporta una rotazione

della retta di bilancio verso sinistra (l'intercetta verticale resta ferma perchénon è variato il prezzo p2 mentre l'intercetta orizzontale diminuisce); lapendenza della linea di bilancio aumenta in valore assoluto e diminuisce laquantità di bene B1 che può essere acquistata. Il contraro si veri�ca, in casodi diminuzione del prezzo p1. Ragionamenti simili possono essere fatti pervedere come cambia la retta di bilancio in presenza di aumento o riduzionedel prezzo p2.

27

Page 34: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 1.16:

1.7 La scelta ottima del consumatore

Esaminando il vincolo di bilancio abbiamo veri�cato quali combinazioni di con-sumo sono alla portata del consumatore e quali non lo sono. Ora però si trattadi capire quali sono le combinazioni di consumo che consentono al nostro indivi-duo di massimizzare l'utilità. Dati il vincolo di bilancio e la mappa delle curvedi indi�erenza, il consumatore è in grado di scegliere il paniere di consumo otti-mo perseguendo il seguente obiettivo: scegliere la combinazione di consumo chemassimizza l'utilità sotto il vincolo delle risorse disponibili. Ipotizziamo, come alsolito, la disponibilità di due soli beni. Rappresentando nello stesso gra�co l'insie-me ammissibile ed un certo numero di curve di indi�erenza del consumatore, daun punto di vista intuitivo, è evidente che il paniere che massimizza l'utilità delconsumatore è quello che appartiene contemporaneamente alla linea di bilancio ealla curva di indi�erenza piu elevata: si tratta del punto in cui la retta di bilancioè tangente ad una curva di indi�erenza (il punto E della �gura seguente).

28

Page 35: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 1.17:

Infatti il punto D sarebbe preferito ad E ma non è raggiungibile perché non èun paniere di consumo ammissibile (si trova al di sopra del vincolo di bilancio). Ipunti A e C si trovano sul vincolo di bilancio (sono panieri di consumo ammissibili)ma (come il punto B) appartengono ad una curva di indi�erenza più bassa (checorrisponde ad un livello di utilità inferiore) rispetto alla curva di indi�erenza chepassa per il punto E.Notiamo che in corrispondenza del punto E, l'inclinazione del vincolo di bilancio(−p1p2

)è uguale alla pendenza della curva di indi�erenza passante per E, ossia dx2

dx1;

ne consegue che la combinazione ottima per il consumatore si veri�ca nel panierein cui:

SMS = −dx2

dx1

=p1

p2

Finora abbiamo individuato la soluzione del problema d'ottimo del consumatore intermini gra�ci; la possiamo anche determinare in termini analitici. Il consumatoredeve risolvere un problema di massimo vincolato: deve determinare maxU(x1, x2),tenendo conto del vincolo di bilancio p1x1 + p2x2 = m (laddove m è il reddito delconsumatore). Un metodo di soluzione per tale problema è quello dei moltiplica-tori di Lagrange. Questo metodo consiste nel risolvere il problema in questione(senza vincoli) per una funzione, il lagrangiano, che comprende sia la funzioneoriginaria (la funzione di utilità), sia il vincolo; nel nostro caso il lagrangiano è ilseguente:

29

Page 36: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

L(x1, x2, λ) = U(x1, x2)− λ(p1x1 + p2x2 −m)

dove il termine λ è detto moltiplicatore di Lagrange e il suo ruolo è di garantireche il vincolo di bilancio sia soddisfatto. Le condizioni necessarie per individuarela soluzione del problema di massimo vincolato si ottengono ponendo uguali azero le derivate della funzione L rispetto ai suoi argomenti: x1, x2, λ

∂L∂x1

= ∂U∂x1− λp1 = 0 (1)

∂L∂x2

= ∂U∂x2− λp2 = 0 (2)

∂L∂λ = m− p1x1 − p2x2 = 0 (3)

risolvendo questo sistema di equazioni otterremo la combinazione ottima di x1 edx2 che rende massima l'utilità del consumatore, dato il redditom di cui dispone e iprezzi di mercato p1 e p2 (che sono dati). Si noti che, isolando al secondo membro,rispettivamente nella (1) il termine λp1 e nella (2) il termine λp2, e dividendo la(1) per la (2) si ottiene

∂U

∂x1

∂U

∂x2

= SMS =p1

p2

che è la condizione di ottimo già ottenuta mediante l'analisi gra�ca.

1.8 L'impresa

Finora si è discusso delle scelte dell'individuo consumatore. In maniera perfetta-mente analoga si può parlare delle scelte dell'impresa; i concetti utilizzati sonodel tutto simili a quelli incontrati �no a questo punto. Mentre le decisioni delconsumatore riguardano il consumo dei beni, le decisioni dell'impresa riguardanola produzione. La produzione di una certa quantità Q di merce viene e�ettuatautilizzando i fattori della produzione o inputs produttivi; assumendo che gli inpu-ts di cui l'impresa possa disporre siano n, K1, K2, ..., Kn (il prezzo del fattore Ki

sarà indicato con pi), le quantità di tali inputs sono limitate da vincoli di vario ge-nere (naturali, tecnologici, economici, ecc.). Per produrre un determinato output,

30

Page 37: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

in sostanza, l'impresa può limitarsi a considerare solo le combinazioni di inputsrealizzabili; l'insieme di tutte le combinazioni di inputs accessibili all'impresa èdetto insieme di produzione. La relazione tra gli inputs che entrano nel processoproduttivo e il relativo output (quantitativo di merce prodotto) viene descrittadalla funzione di produzione.La funzione di produzione è, in pratica, asssimilabile alla funzione utilità, quandoquest'ultima viene intesa come quantità prodotta Q di un certo bene, e i panierisono visti come le combinazioni di inputs (y1, y2, ..., yn) usate per produrre Q (lad-dove yi rappresenta la quantità del fattore produttivo Ki). Pertanto, una funzionedi produzione è una funzione che esprime il legame intercorrente tra le quantitàdei singoli fattori di produzione usati e le quantità di prodotto ottenuto; in formagenerale tale funzione si può scrivere come

Q = F (y1, y2, ..., yn)

e, perciò, indica come varia l'output al variare di uno o più input. Per semplicità,consideriamo, ora, un'impresa che può disporre soltanto di due fattori produttivi;la funzione di produzione per l'impresa in questione è, dunque, una funzione adue variabili

Q = F (y1, y2)

Una tale funzione di produzione può essere analizzata gra�camente, sul piano del-le quantità dei fattori produttivi y1y2 mediante la tecnica delle curve di livello; nelcaso speci�co, le curve di livello per una funzione di produzione sono i cosiddettiisoquanti (analizzando le preferenze del consumatore, abbiamo visto che le curved'indi�erenza sono le curve di livello per una funzione di utilità). Un isoquanto è,quindi, una curva che mostra tutte le combinazioni di input che forniscono la stessaquantità di output; ciascun isoquanto è associato ad un di�erente livello di output.

Sulle combinazioni dei fattori produttivi vengono fatte delle ipotesi simili a quellefatte sui panieri di consumo, come la monotonicità delle tecnologie (aumentando laquantità impiegata dei fattori produttivi, la quantità di output non diminuisce),la convessità delle tecnologie (equivalente alla convessità delle preferenze), ecc.In parallelo alla teoria del consumatore, vengono de�niti poi dei concetti cardi-ne, che sono il saggio marginale di sostituzione tecnica e la produttività marginale.

Il saggio marginale di sostituzione tecnica (abbreviato con SMST ) indica in chemisura un fattore produttivo può essere sostituito con un altro, ovvero a quan-te unità di un fattore produttivo si dovrà rinunciare per utilizzare un'unità inpiù dell'altro fattore produttivo, mantenendo costante la quantità di output. Inpratica, il SMST è il rapporto, preso in modulo, tra le variazioni di due fattoriproduttivi che si possono tecnicamente e�ettuare per ottenere sempre un'identicaquantità di prodotto , ossia per restare su un medesimo isoquanto. Se si ragiona

31

Page 38: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

in termini di variazioni in�nitesime dei fattori produttivi, il SMST è uguale allapendenza in modulo dell'isoquanto (è evidente l'analogia con il saggio marginaledi sostituzione, incontrato nella teoria del consumatore); formalmente, data unafunzione di produzione Q = F (y1, y2) , il saggio marginale di sostituzione tecnicadel primo fattore con il secondo è:

SMST = −dy2

dy1

La produttività marginale è, invece, il concetto corrispondente all'utilità margi-nale; la produttività marginale PMi di un fattore produttivo Ki è la derivataparziale della funzione di produzione rispetto alla quantità di fattore produttivo

PMi =∂F

∂yi

In modo analogo a quanto fatto nell'analisi della scelta del consumatore, si dimo-stra che il saggio marginale di sostituzione tecnica è uguale al rapporto inversotra le produttività marginali dei fattori, ossia

SMST = −dy2

dy1

=

∂F

∂y1

∂F

∂y2

=PM1

PM2

Si domostra anche che la produzione massima è raggiunta in corrispondenza diquella combinazione di fattori produttivi in cui il SMST è uguale al rapporto trai prezzi dei fattori, ossia

SMST = −dy2

dy1

=PM1

PM2

=p1

p2

32

Page 39: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Capitolo 2

L'ordinamento delle preferenze

sociali

2.1 Preferenze individuali e preferenze sociali: la

costruzione di un ordinamento sociale

Analizzando le preferenze di un singolo individuo, i, ci chiediamo come queste sipossano conciliare con il sistema di preferenze della collettività C di cui i fa parte(i ∈ C). E' da notare come in un sistema economico in cui i singoli individuiperseguono il proprio interesse personale, non vi è sempre coincidenza, appunto,tra �interesse personale� e �interesse pubblico�, cioè della collettività. Pertanto,risulta, senza dubbio, complesso determinare le preferenze di una società, proprioperchè in essa si manifestano i molteplici interessi articolati, spesso tra loro con-trastanti, dei singoli soggetti economici.Il con�itto che viene a crearsi in determinati casi tra interesse privato e interessepubblico viene studiato nell'economia del benessere e nell'economia pubblica. Seil mercato non riesce spontaneamente ad eliminare questo con�itto, si parla di�fallimento di mercato�, rispetto al quale l'autorità di politica economica può de-cidere d'intervenire. Riguardo proprio il con�itto tra interesse privato e interessepubblico, nel 1776 Adam Smith nella �Ricchezza delle Nazioni� de�nì il concettodi Mano Invisibile, in base al quale il libero operare delle forze di mercato, a lorovolta dirette dall'agire d'individui �egoisti�, promuove la crescita economica e conessa l'interesse pubblico. In realtà, si veri�ca che solo sotto opportune e particolaricondizioni la Mano Invisibile garantisce il raggiungimento automatico del massimobenessere collettivo. Tali condizioni sono formalizzate nei teoremi fondamentalidell'economia del benessere che si riconducono principalmente ai contributi diPareto e Walras. Occupiamoci ora nello speci�co delle preferenze sociali e delladeterminazione del massimo benessere collettivo, trattando, in special modo, unimportante criterio di scelta sociale, il criterio di e�cienza allocativa o paretiana.Il nostro scopo è pertanto quello di costruire un ordinamento sociale dei diversi

33

Page 40: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

stati del mondo o stati sociali (l'insieme degli stati sociali lo indicheremo con S).De�nizione 5. (Stato sociale di una collettività)Uno stato sociale è una situazione nella quale si trova una società in relazione auna o più azioni umane e/o accadimenti naturali.

Uno stato sociale è, quindi, una descrizione di un contesto sociale nel suo com-plesso (economico, dei diritti e delle libertà, ecc.).Ad esempio, data una collettività C = {i, j} composta da due persone, indichiamocon SC la famiglia degli stati sociali riferiti a C; con A∈ SC possiamo indicare lostato sociale in cui siano �ssate l'assegnazione delle risorse (poniamo, 10 q di aran-ce e 20 mucche alla prima persona e 15 q di arance e 8 mucche alla seconda), lanatura dei diritti e delle libertà individuali (si supponga che entrambe le personeabbiano diritto di coltivare la terra e di allevare bestiame su appezzamenti distin-ti), invece, con B∈ SC possiamo indicare lo stato sociale in cui tutte le risorse, idiritti e le libertà siano assegnate al primo soggetto, mentre l'altro ne sia privo oaddirittura sottoposto alle decisioni del primo. Quindi sono innumerevoli gli statisociali in cui si può trovare una stessa collettività C, e questi possono anche di�e-renziarsi tra loro in maniera abbastanza netta, come accade tra i precedenti statiA e B. In analogia con quanto visto nell'analisi delle scelte di un singolo individuo,è possibile ottenere delle relazioni di preferenza sull'insieme degli stati sociali SC.Tali relazioni di preferenza consentono la costruzione di un ordinamento sociale.

De�nizione 6. (Ordinamento sociale)Un ordinamento sociale relativo ad una data collettività C è una relazione di pre-ordine o di ordine stretto sull'insieme degli stati sociali SC.

Nel caso del criterio di Pareto, che analizzeremo in seguito, l'ordinamento so-ciale sarà dato da una relazione d'ordine stretto. Risulta spesso conveniente chel'ordinamento sociale che si costruisce sia completo, nel senso che, in tal caso, tuttigli stati del mondo sono tra loro confrontabili; questo però non sempre accade, ov-vero vi sono casi in cui la graduatoria non rende tra loro comparabili determinatistati. Sotto particolari condizioni, un ordinamento sociale può esprimersi attra-verso una funzione, detta �funzione di benessere sociale� (concetto corrispondentealla funzione di utilità, nel caso della scelta individuale).Il problema di ordinare da un punto di vista sociale i vari possibili stati di unacollettività è apparentemente simile a quello che a�ronta il consumatore; questi,infatti, deve ordinare le alternative possibili (i panieri di beni che può consuma-re), stabilendo una graduatoria di preferenze (attraverso relazioni d'indi�erenza edi preferenza debole o forte). Nonostante ciò, la costruzione di un ordinamentosociale è molto più complessa per svariate ragioni che concernono principalmentei modi di aggregare le preferenze individuali dei singoli componenti della società.Sorge, per questo motivo, una distinzione tra due tipi di ordinamento:

34

Page 41: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

• ordinamento diretto

• ordinamento indiretto

Entrambi questi tipi di ordinamento si pongono la questione di quale sia il ruolo daattribuire alle preferenze individuali nella determinazione del sistema di preferenzesociale.

De�nizione 7. (Ordinamento sociale diretto)Data una collettività C, un ordinamento sociale diretto è una relazione di preordi-ne o di ordine stretto de�nita su SC e che viene fatta discendere dall'applicazionedi un criterio esterno rispetto alla collettività alla quale ci si riferisce ( C).

Un ordinamento diretto è, pertanto, una graduatoria direttamente riferita aglistati sociali, per cui, però, i princìpi o postulati che consentono di ordinare glistati del mondo, sono forniti dall'esterno o dettati da un qualche dittatore o caporeligioso (ad esempio, il principio di uguaglianza).

De�nizione 8. (Ordinamento sociale indiretto)Data una collettività C, un ordinamento sociale indiretto è una relazione di preor-dine o di ordine stretto de�nita su SC fondata sulle preferenze degli individui checompongono la collettività in esame ( C).

Dunque un ordinamento sociale indiretto è costruito esclusivamente in relazio-ne alle preferenze degli individui: l'ordinamento di una società deve ri�ettere lepreferenze dei suoi membri. Questo è in sostanza il principio liberal-democratico.Gli ordinamenti indiretti sono quelli maggiormente usati nell'ambito dell'Econo-mia del benessere. Alla base degli ordinamenti indiretti vi è, pertanto, il postulatodi �individualismo etico� anche noto come �welfarismo� o �benesserismo�; si trattadell'orientamento secondo il quale ciascuno è il miglior giudice dei propri interessi,e la valutazione di un determinato stato sociale dipende dalla percezione o sod-disfazione che provano gli individui in quello stato. Con l'individualismo etico siassume, quindi, che tutto ciò che non viene valutato dall'individuo come rilevante,non viene preso in considerazione dalla società.

Sia l'ordinamento sociale diretto che quello indiretto può essere sottoposto a criti-ca: il primo è principalmente criticato per il fatto di essere potenzialmente auto-ritario, nel senso che c'è il rischio che le preferenze degli individui siano sostituiteda quelle di una persona, al limite del tutto esterna alla comunità (ad esempioun �losofo); di maggior rilevanza sono, invece, i motivi che portano a criticarel'ordinamento sociale indiretto.Le principali obiezioni che possono essere rivolte agli ordinamenti indiretti sonodue:

35

Page 42: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

1. L'idea che la graduatoria sociale debba tener conto soltanto delle soddi-sfazioni e�ettivamente godute dagli individui in un dato momento; questoporta a trascurare altri aspetti di uno stato sociale che, invece, possono es-sere degni di essere considerati (ad esempio, l'esistenza e l'esercizio di dirittio le quantità di beni e�ettivamente disponibili per i vari individui)

2. Il fatto che, nel ridurre la posizione della società alle soddisfazioni degliindividui, le preferenze di questi vengono spesso considerate come date.

L'obiezione 1 è dovuta alla questione che determinati aspetti (ad esempio i dirittie le libertà), al di là di come vengono considerati dagli individui, possono avere unimportante rilievo sociale. Per comprendere meglio il signi�cato di questa consta-tazione facciamo un esempio che illustri la situazione. Consideriamo una societàcomposta da due individui e prendiamo in esame una redistribuzione di redditorispetto a due situazioni di partenza alternative A e B.

Figura 2.1:

Come si nota dal precedente gra�co, la redistribuzione avviene sempre a favoredell'individuo 2 (che ne gode) e a danno dell'individuo 1 (che ne so�re): sul pianodelle soddisfazioni delle due persone le due nuove situazioni A' e B' sembrano,per certi versi, simili. Tuttavia i nuovi stati A' e B' potrebbero essere giudicati inmodo diverso perchè la persona che viene svantaggiata ha un reddito di partenzadiverso in A e in B: si potrebbe, in particolare, considerare con favore la redistri-buzione nel caso B, ma non nel caso A (nonostante il fatto che l'individuo 1, inentrambi i casi, so�ra una riduzione della sua soddisfazione), in quanto nel casoB si toglie (relativamente) poco a chi aveva molto, mentre nel caso A si sottrae(relativamente) molto a chi aveva poco. Ma se i due casi fossero così giudicati, siterrebbe conto non soltanto delle conseguenze degli stati della collettività per le

36

Page 43: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

soddisfazioni degli individui, ma anche di altri aspetti degli stessi stati (la distri-buzione iniziale del reddito, nel nostro caso), cosa che è negata dall'individualismoetico.

L'obiezione 2 è rivolta, in modo generale, alla scuola di pensiero neoclassica, laquale accetta il cosiddetto �individualismo metodologico�; quest'ultimo ritiene cheogni proposizione che riguarda i gruppi di individui è riducibile a proposizioni con-cernenti il comportamento dei singoli, senza indagare su quelli che possono esserei fattori che lo hanno determinato (questo riguarda, in particolare, le in�uenzedell'ambiente in cui tali soggetti vivono, e l'in�uenza che può avere l'atteggiamen-to e la valutazione del gruppo). In e�etti, le preferenze individuali sono esogene,ovvero, il comportamento individuale non è �genuino�, ma può notevolmente es-sere in�uenzato da forze esterne. E', infatti, evidente che i comportamenti deisingoli non emergono in modo indipendente dal contesto economico-sociale, masono condizionati da numerosi fattori, fra i quali le abitudini personali, le modeo abitudini sociali; a tal proposito si noti, ad esempio, come le preferenze indi-viduali siano facilmente manipolabili dalle imprese, soprattutto per mezzo dellapubblicità.

2.2 L'aggregazione delle preferenze individuali

Se si sceglie di prendere in considerazione un ordinamento sociale indiretto, èimmediata la domanda: Le soddisfazioni (utilità) individuali sono su�cienti perordinare gli stati della collettività? Il problema che sorge, come già accennato, èquello dell'aggregazione delle preferenze individuali. Evidentemente, il problemadell'aggregazione delle preferenze individuali si ha quando queste, come normal-mente accade, sono divergenti, ovvero quando ogni soggetto giudica diversamentedagli altri uno stato sociale e possiede un proprio ordinamento di quest'ultimi. Perspiegare quello che accade facciamo un esempio: consideriamo, come fatto �nora,una società composta da due individui e supponiamo che vi siano tre possibilistati del mondo A, B e C, così come sono rappresentati nella tabella 2.1.

Stati sociali Soggetto 1 Soggetto 2

Grano Pecore Grano PecoreA 10 20 15 8B 25 28 0 0C 9 20 16 8

Tabella 2.1:

In maniera ragionevole si può ritenere che il soggetto 1 preferisca lo stato Ballo stato A, e quest'ultimo allo stato C. Il motivo di ciò è dovuto al fatto che

37

Page 44: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

nella situazione B al soggetto 1 vengono assegnate tutte le risorse, in A lo stessosoggetto possiede meno risorse che in B, e ancora in C dispone di meno risorse chein A. Ragionevolmente, invece si può supporre che la graduatoria di preferenzedel soggetto 2 sia ottenuta capovolgendo la graduatoria del soggetto 1, ovverosia, in ordine decresecente C, A, B. Nel caso considerato nell'esempio, pertanto,le preferenze individuali sono diverse. Se, al contrario, tutti avessero la stessagraduatoria di preferenze, la preferenza sociale sarebbe immediatamente determi-nata come identica a quelle individuali. Divergenti preferenze individuali rendono,invece, complesso identi�care una regola che le aggreghi e che permetta di deter-minare la preferenza collettiva. Ma allora, come si aggregano le scelte espressedai singoli individui? La risposta è dipende. La regola di aggregazione dipendeinnanzitutto dalle informazioni disponibili circa:

- misura delle soddisfazioni (ordinale, cardinale)

- confrontabilità delle soddisfazioni dei diversi individui

- metodo o regola di aggregazione

Riguardo la misura delle soddisfazioni, possiamo dire che due sono i principalimodi di misurare le soddisfazioni individuali: la misura ordinale e la misura car-dinale. Si tratta di aspetti già analizzati parlando della funzione di utilità e cheora riprendiamo.

De�nizione 9. (Misura ordinale)La misura ordinale è un tipo di rappresentazione delle preferenze individuali checonsente di esprimere quest'ultime mediante una funzione (funzione di utilità) edi ordinare le combinazioni di beni (ma anche gli stati), associando valori nu-merici più elevati a combinazioni di beni che stanno in posizione più elevatanell'ordinamento delle preferenze.

Come abbiamo già detto, quando si parla di misura ordinale, i valori numericidi utilità assegnati alle combinazioni di beni non hanno alcun signi�cato di persè, se non quello di rappresentare un odinamento delle stesse combinazioni intermini delle preferenze dell'individuo che si considera. La misura ordinale è statausata nell'esempio riferito alla tabella 2.1, laddove confrontando tra loro tre statidel mondo A, B, C, il soggetto 1 poneva al primo posto lo stato B, al secondoposto lo stato A e al terzo lo stato C. Questo è proprio il modo con il quale si èsoliti rappresentare le soddisfazioni del consumatore tramite il metodo delle curved'indi�erenza. La misura ordinale, quindi, è così denominata poichè condividele proprietà dei numeri ordinali, dato che essa associa numeri ordinali (primo,secondo, terzo, ecc.) ai di�erenti stati del mondo; essa consente di ordinare lepreferenze, di confrontare i livelli di utilità dello stesso individuo (associando un

38

Page 45: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

indice alle preferenze o al livello di soddisfazione individuale), dire se il livello disoddisfazione aumenta o diminuisce. Tuttavia la misura ordinale non è in gradodi misurare le variazioni del livello di soddisfazione, e soprattutto di fare confrontiinterpersonali.

De�nizione 10. (Misura cardinale)La misura cardinale è un modo di rappresentare le preferenze individuali che asse-gna alle varie combinazioni di beni (o agli stati) valori numerici che sono numericardinali.

Nell'esempio di tabella 2.1, ponendoci in termini di misura cardinale, potrem-mo associare allo stato A un'utilità di 30, allo stato B un'utilità di 100, allo statoC un'utilità di 20, questo se ci riferiamo al soggetto 1. Nella misura cardinale,ad essere signi�cativi non sono soltanto i valori numerici assegnati agli svariatistati del mondo, ma soprattutto le di�erenze tra questi valori numerici. E', inparticolare, evidente come maggiori siano le informazioni espresse dalla misuracardinale rispetto a quella ordinale; basta osservare che la misura cardinale per-mette di valutare le variazioni del livello di soddisfazione (in breve di utilità) diun individuo derivante, ad esempio, dal cambiamento del paniere di beni a suadisposizione, ma, cosa più importante, consente di fare confronti interpersonali,entrambe cose che non era in grado di fare la misura ordinale.

Circa la confrontabilità delle soddisfazioni dei diversi individui, questa dipendein buona parte dal modo in cui si misurano le preferenze individuali: le prefe-renze ordinali risultano essere inconfrontabili, mentre le soddisfazioni individualimisurabili cardinalmente possono essere rese tra loro confrontabili. Ora, si puòammettere o meno la comparabilità delle soddisfazioni dei vari soggetti; a tal pro-posito esistono posizioni diverse. Generalmente, coloro che sostengono la necessitàdi e�ettuare paragoni tra le preferenze degli individui, partono da premesse egua-litarie, nel senso che questi ritengono che le varie persone abbiano uguali �capacitàdi sentire� e che quindi le loro soddisfazioni siano �commensurabili�. La posizioneche ammette la comparabilità delle soddisfazioni dei vari individui si ritrova nellacorrente �loso�ca dell'utilitarismo ed è poi stata ripresa dall'economista inglesePigou nel libro dal titolo L' economia del benessere. A questa posizione si sono op-posti diversi autori successivi, che, rifacendosi a Pareto, hanno sostenuto con granforza l'impossibilità dell'economia di pronunciarsi sulla confrontabilità interperso-nale delle soddisfazioni. Questo indirizzo, denominato della �Nuova economia delbenessere�, prende sostanzialmente le mosse dall'analisi di Pareto, e ri�uta, perl'appunto, la comparabilità delle soddisfazioni delle varie persone.

Il problema principale, tuttavia, che sorge per la de�nizione di un ordinamentosociale è, come più volte detto, la determinazione di un metodo di aggregazioneper le preferenze individuali. La prima cosa che si potrebbe pensare, per stabi-

39

Page 46: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

lire il sistema di preferenze sociale a partire dalle singole preferenze individualiè, senza dubbio, e�ettuare la semplice somma di quest'ultime; in realtà, è datenere in considerazione il fatto che l'operatore matematico della somma, è unmetodo di aggregazione applicabile solo in talune circostanze, ovvero quando lesoddisfazioni individuali sono misurabili cardinalmente e confrontabili. Nel casoin cui risulti essere applicabile il metodo di aggregazione tramite la somma, lestesse preferenze possono essere aggregate anche attraverso operatori matematicialternativi. Laddove, invece, si consideri la misurabilità ordinale delle preferenzedei singoli e l'inconfrontabilità interpersonale, la somma non può essere utilizzatacome metodo di aggregazione; in tale eventualità subentrano nuovi modi o criteridi aggregazione, che però consentono di ottenere graduatorie sociali soltanto par-ziali. Tra questi criteri, quello sul quale so�ermeremo l'attenzione è il criterio diPareto.

40

Page 47: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Capitolo 3

Il criterio di Pareto e il concetto di

e�cienza

3.1 Il criterio di Pareto

La teoria e l'opera di Vilfredo Pareto, economista italiano vissuto tra la secondametà del 1800 e i primi anni del secondo decennio del 1900, si colloca all'interno diquella concezione teorica, detta neoclassica o marginalista, sviluppatasi a partiredal 1870. Jevons, Menger e Walras furono tra i fondatori di questo approccio,seguiti poi da Marshall, Pigou, Wicksell, Robbins, lo stesso Pareto e molti altri.Il punto di partenza delle considerazioni di Pareto è, pertanto, l'individualismometodologico, ovvero il fatto (come già accennato precedentemente) che qualsiasiaggregato sociale è costituito da singoli individui, motivo per cui l'analisi scienti-�ca della società deve sempre partire dall'analisi del comportamento del singolo;ciascun individuo è in grado di fare le proprie valutazioni, essendo, così, egli stes-so il giudice dei propri interessi. Inoltre, Pareto, assumendo date le preferenzedei singoli individui e le loro dotazioni (ammontare di risorse a disposizione), sipropone di analizzare in che modo una società possa impiegare al meglio i mezziscarsi di cui dispone al �ne di accrescere più che può il proprio benessere, ovveroin che modo la società possa pervenire all'e�cienza (intesa come la capacità diraggiungere un obiettivo pre�ssato ottenendo il massimo dalle risorse disponibili).Il modo in cui Pareto discute del concetto di e�cienza è del tutto singolare, poichèegli si dimentica del giudizio di equità, sebbene questo sia fortemente legato algiudizio di e�cienza (per il fatto che facendo valutazioni sugli interessi di determi-nati individui si vanno comunque a coinvolgere gli interessi degli altri). Le ipotesifondamentali nella trattazione di Pareto riguardo il benessere sociale sono:

• la misurabilità ordinale delle soddisfazioni individuali

• la non comparabilità interindividuale delle soddisfazioni

41

Page 48: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Entrambe queste ipotesi riportano a galla la questione della di�coltà di aggregarele preferenze dei singoli al �ne di ottenere il sistema di preferenze della collettivi-tà. La somma delle singole preferenze non è consentita per le motivazioni addottealla �ne del Capitolo 2. Pareto risolve questo problema enunciando due impor-tanti criteri di scelta sociale che sono tuttora oggetto di critica e di discussione (idue criteri fanno riferimento alla relazione di preferenza forte). La collettività Cconsiderata sarà composta da n individui, C = {1, 2, ..., n}.

Criterio 1 (Criterio debole di Pareto) Dati due stati A e B, una collettivitàC preferisce lo stato B allo stato A nel senso debole di Pareto, se e solo se tuttigli individui preferiscono strettamente B ad A.

Il signi�cato di questo criterio è pertanto che una situazione B è preferita aduna situazione A se in B tutti stanno meglio rispetto ad A. Il precedente criterioè noto come Criterio di Pareto in senso debole, per il fatto di essere facilmentecondiviso da tutti.Se indichiamo in parentesi tonde le relazioni attinenti ordinamenti di preferenzaindividuali e in parentesi quadre quelle attinenti ordinamenti di preferenza so-ciale, il criterio di Pareto in senso debole può essere espresso nel modo seguenteattraverso una formulazione matematica.

Dati due stati A e B, ed n individui, i ∈ {1, 2, ..., n} ,

[B � A]P⇔∀i ∈ {1, 2, ..., n} risulta (B � A)i

che va letta: B è preferito ad A nel senso debole di Pareto se e solo se ogniindividuo preferisce strettamente B ad A.

Criterio 2 (Criterio forte di Pareto) Dati due stati A e B, una collettività Cpreferisce lo stato B allo stato A nel senso forte di Pareto, se e solo se alcuni (allimite un solo individuo) preferiscono strettamente B ad A e nessuno preferiscestrettamente A a B. In tal caso, si dice che lo stato B è migliore dello stato A(oppure che B domina A) nel senso forte di Pareto, e che pertanto uno sposta-mento da A a B è un miglioramento paretiano.

Analogamente a quanto fatto con il Criterio di Pareto in senso debole, possiamoriformulare il Criterio forte di Pareto da un punto di vista matematico, usando lastessa notazione precedente; la formulazione matematica del criterio di Pareto insenso forte è la seguente:

Dati due stati A e B, ed n individui, i ∈ {1, 2, ..., n} ,

[B � A]P ⇔ ∃i ∈ {1, 2, ..., n} tale che (B � A)i e ∀j 6= i ∈ {1, 2, ..., n} (A � B)j

42

Page 49: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

che va letta: B domina A nel senso forte di Pareto se e solo se esiste almenoun individuo i per il quale B sia strettamente preferito ad A e non esiste alcunindividuo j per il quale A sia strettamente preferito a B.

Se B non domina A nel senso di Pareto ed A non domina B nel senso di Pa-reto, allora diremo che A e B non sono confrontabili in base al criterio di Pareto.Il Criterio forte di Pareto, come si può notare, racchiude in sè il primo (Criteriodebole), e sebbene il Criterio debole sia condiviso da tutti, il Criterio forte, per lasua formulazione, risulta essere più controverso.

D'ora in poi considereremo, sostanzialmente, il Criterio forte di Pareto riferen-doci ad esso denominandolo, semplicemente, il criterio di Pareto. Comunque, inambedue le sue versioni, il criterio di Pareto permette di classi�care due stati osituazioni A e B dal punto di vista della società nel suo complesso, (nel caso incui si faccia l'assunzione di misurazione ordinale dell'utilità e d'incofrontabilitàinterpersonale delle preferenze). Brevemente cominciamo ora a vedere quali sonoi limiti del criterio di Pareto, per poi tornare a ragionare su di essi in seguito.Sappiamo che un ordinamento sociale si dice completo se, in qualsiasi modo siconsiderino due stati sociali A e B, questi sono tra loro confrontabili.

Dal fatto che non tutti gli stati sono confrontabili attraverso il criterio di Pa-reto, si deduce che l'ordinamento sociale che si ottiene a partire da quest'ultimonon è completo. Usando la formulazione matematica attraverso la relazione d'or-dine di preferenza forte, infatti, l'ordinamento che si ottiene dal criterio di Paretosarebbe completo se:

∀A e B stati sociali di una collettività risulta che [B � A]P o [A � B]P

Ma questo non accade, da quanto detto prima, quindi, l'ordinamento sociale diPareto non è completo (questa è una grave limitazione del criterio stesso).In secondo luogo, osserviamo che il criterio di Pareto e il conseguente ordinamentosociale sono costruiti a partire dalle preferenze individuali, motivo per cui l'ordi-namento di Pareto è un ordinamento indiretto. Da ciò, un'ulteriore limitazionedel criterio di Pareto dipende dalle critiche che vengono mosse a quest'ultimo peril fatto di trascurare aspetti importanti della società in esame come, ad esempio,il contesto storico - politico; in particolare, bisogna tenere in considerazione cheil criterio di Pareto non si preoccupa a�atto del giudizio di equità, per cui ci sipotrebbe chiedere quali sono le persone avvantaggiate (se sono coloro che inizial-mente erano già ricchi, o coloro che erano poveri) oppure in che misura hannomigliorato la propria situazione i ricchi e in che misura l'hanno fatto i poveri,domande alle quali il criterio di Pareto non riesce a dare risposta per il postulatod'individualismo etico.

43

Page 50: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Il criterio di Pareto ha, quindi, consentito di determinare un metodo per l'ag-gregazione delle preferenze individuali; facciamo un esempio pratico per illustraretale criterio.

A B C

ui 30 35 35uj 25 25 30uk 45 45 45

Tabella 3.1:

Nella tabella precedente viene presa in considerazione una società compostada tre individui i, j, k , che esprimono le loro preferenze rispetto a tre stati socialiA, B e C mediante rispettivi indici di utilità ordinale ui , uj e uk. Allora si puònotare che, usando il criterio di Pareto, l'ordinamento sociale degli stati A, B e Cè, nell'ordine decrescente, dato da C, B , A; infatti lo stato B domina nel sensodi Pareto lo stato A (maggiore è infatti l'utilità dell'individuo i, ferme restandole posizioni degli individui j e k). Lo stato C domina a sua volta lo stato B .

3.2 La nozione di e�cienza o ottimo paretiano

Nonostante le sue limitazioni, il criterio di Pareto occupa un posto di rilievo ineconomia, poichè si riferisce ad una condizione di e�cienza; tale condizione die�cienza si realizza nella possibilità di poter migliorare la situazione di uno o piùindividui senza peggiorare quella degli altri (addirittura è possibile migliorarla),a partire da disponibilità date. Proprio questa condizione di e�cienza racchiusanel criterio di Pareto porta a de�nire il concetto di �ottimo paretiano�.

De�nizione 11. (Ottimo paretiano)Data una collettività C, uno stato sociale in SC è detto e�ciente nel senso diPareto o ottimo paretiano qualora non sia possibile realizzare un miglioramentoparetiano, vale a dire quando, comunque ci si sposti da questo stato, non sia pos-sibile migliorare la situazione di almeno un individuo senza peggiorare quella diqualche altro.

Possiamo riformulare la precedente de�nizione da un punto di vista matemati-co, nel seguente modo.

Data una collettività C, uno stato sociale A∈ SC è detto e�ciente nel senso diPareto o ottimo paretiano ⇐⇒ @B ∈ SC : [B � A]P

In generale gli stati ottimi nel senso di Pareto sono più di uno. Per vedere comeciò possa accadere consideriamo la seguente tabella:

44

Page 51: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

A B C D E

ui 7 6 1 8 3uj 9 9 2 8 2uk 6 5 9 8 9

Tabella 3.2:

In questo caso A, D ed E sono tutti ottimi paretiani. Si noti che il criteriodi Pareto non consente di ordinare gli stati di ottimo: essi, in base al criterio diPareto, non sono confrontabili. Ma può risultare anche impossibile confrontareuno stato di ottimo con uno stato che di ottimo non è. Nella Tabella 3.2, peresempio, A , pur essendo un ottimo, non è confrontabile con C, che, invece, èuno stato sub - ottimale (un suo miglioramento paretiano è lo stato E). Questoaspetto può essere chiarito se si usa la curva delle possibilità di utilità .

De�nizione 12. (Curva delle possibilità di utilità)Dati due individui i e j e due beni, considerando �sse le quantità dei due beni,la curva delle possibilità di utilità è il luogo geometrico dei punti che esprime,per ogni determinato livello di utilità di uno dei due individui, l'utilità massimaconseguibile dall'altro.

De�nizione 13. (Insieme delle utilità)L'insieme delle utilità è l'area delimitata dalla curva delle possibilità di utilità edagli assi cartesiani (compresa la stessa curva delle possibilità di utilità).

La curva delle possibilità di utilità è anche nota come curva delle utilità pos-sibili, e per abbreviare d'ora in poi la indicheremo come CUP; si tratta di unacurva decrescente, poichè se si aumenta l'utilità di un individuo, si deve ridurrequella dell'altro.Fissato ora un punto F nell'insieme delle possibiltà di utilità, vogliamo vederequali sono i punti in tale insieme confrontabili con F.

45

Page 52: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.1:

Nel caso della �gura precedente la CUP è rappresentata dal tratto curvilineoABCD, mentre l'insieme delle utilità è l'area ADO, delimitatata da tale curvae dagli assi. Il passaggio da un punto come A a B o a C può, semplicemente,dipendere dal fatto che l'individuo j riceve via via minori quantità di uno o piùbeni. Le soddisfazioni di ambedue gli individui possono aumentare, muovendosiverso Nord - Est, partendo da un qualsiasi punto interno alla CUP. Comunque,se �ssiamo, quindi, il punto F all'interno dell'area ADO, l'insieme delle possibiltàdelle utilità rimane suddiviso in quattro parti:

• l'area BCF, compresi i contorni, rappresenta il sottoinsieme delle combina-zioni di utilità che dominano la combinazione F: il passaggio da F a unoqualsiasi dei punti di quest'area è un miglioramento paretiano;

• l'area GFEO, compresi i contorni, rappresenta il sottoinsieme delle combi-nazioni di utilità che sono dominate da F nel senso di Pareto.

L'unione di questi due sottoinsiemi compone l'insieme di stati che sono confron-tabili con F in base al criterio di Pareto. Invece l'unione dei due sottoinsiemi:ABFG (esclusi i segmenti BF e GF) ed FCDE (esclusi i segmenti FC e FE) rap-presentano l'insieme degli stati non confrontabili con F in base al criterio delPareto. Il punto F in �gura non è un ottimo paretiano, poichè comunque ci sisposti da F in un punto dell'area BCF si riesce a migliorare la posizione di unindividuo senza peggiorare quella dell'altro. Finchè l'insieme BCF non è vuotonon si ha una situazione e�ciente. Se si considera, ora, il punto F sulla CUP,in tal caso F è un ottimo paretiano, dato che non è dominato da nessun altropunto all'interno dell'insieme delle utilità (notiamo come punti al di sopra della

46

Page 53: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

CUP siano irraggiungibili, date le quantità prodotte, comunque vengono assegna-te e allocate le risorse tra gli individui) come si può notare nella �gura sottostante.

Figura 3.2:

Nonostante ciò, il punto F non domina tutti i punti dell'insieme delle pos-sibilità, ma solo quelli dell'area GFEO. Le due aree AFG ed FDE contengono,invece, i punti che non possono essere confrontati con F. Se si e�ettua lo stessoragionamento con un qualsiasi punto sulla CUP, si osserva che i punti sulla CUPsono tutti e soli i punti di ottimo, poichè comunque ci si muova da ognuno diessi, non è possibile avvantaggiare entrambi gli individui, o almeno uno di essi,senza danneggiare l'altro; ma, come già detto in precedenza, i punti di ottimo nonpossono essere ordinati attraverso il criterio di Pareto, e neppure possono esserecomparati con determinati punti di ine�cienza. Da quest'ultima constatazionediscende il limite più grave del criterio di Pareto. Infatti, la non confrontabilitàtra punti di ottimo e punti subottimali limita l'operatività del criterio propriosotto il pro�lo della valutazione di e�cienza. In una comunità costituita da ungran numero di persone, basta che anche un solo individuo risulti danneggiato,per escludere, almeno sul piano del giudizio di e�cienza, misure che potrebbe-ro portare notevoli bene�ci per la collettività . Si attribuisce in questo modoa minoranze, anche molto ristrette, un paralizzante �potere di veto� sulle sceltecollettive. La non confrontabilità dei punti di ottimo è il risultato della scelta diseparare il giudizio di e�cienza dal giudizio di equità. Tralasciamo, per il mo-mento, i limiti del criterio di Pareto, sui quali torneremo a discutere più avantiin maniera più approfondita. Ci occupiamo, a questo punto, di analizzare qualidebbano essere le caratteristiche di un sistema economico ai �ni di perseguire ilrisultato dell'e�cienza.

47

Page 54: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

3.3 L'allocazione ottimale delle risorse

Un sistema economico si pone come suo obiettivo quello di ottenere il massimo be-nessere collettivo; per fare ciò deve riuscire ad e�ettuare un'allocazione e�cientedelle risorse (scarse) disponibili nella collettività. Ricordiamo che un'allocazionedi risorse è e�ciente (secondo Pareto) quando non è possibile modi�care l'alloca-zione tra gli individui in modo tale da migliorare (debolmente) la situazione diqualcuno senza nel contempo peggiorare quella di un altro. L'e�cienza economicasi realizza, sostanzialmente, in tre punti cardine:

1. E�cienza nello scambio (nota anche come e�cienza nel consumo)

2. E�cienza nella produzione

3. E�cienza generale

Analizziamo singolarmente questi di tre aspetti, ponendoci in un'economia 2x2x2x2,ovvero in un'economia in cui esistono due individui che agiscono come consuma-tori, due imprese che agiscono come o�erenti e che producono due diverse merci(una ciascuna) impiegando entrambe due fattori di produzione. Pertanto vi sonosolo due individui, i e j (Adam e Danny), due soli input produttivi K ed L, e duesole merci X ed Y , prodotte rispettivamente da due imprese.

3.3.1 L'e�cienza nello scambio

Consideriamo un'economia senza produzione, quindi, un'economia di puro scam-bio. Non essendoci produzione, s'ipotizza che nel sistema le quantità complessiveprodotte dei due beni X ed Y siano date e le indichiamo con X* ed Y *. Allo-care signi�ca che i due individui devono trovare un modo di dividere tra loro lequantità disponibili dei due beni; esiste, inoltre, un'allocazione iniziale dei beni,per cui gli individui scambiano tra loro in modo da raggiungere una allocazioneche sia preferita da almeno uno dei due. In tutto ciò ricordiamo che gli individuitraggono utilità dal consumo dei beni e che ciascun individuo esprime le propriepreferenze relativamente ai due beni X ed Y .

48

Page 55: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.3:

Figura 3.4:

Le in�nite possibili allocazioni, ovvero i diversi modi in cui i due individuipossono ripartirsi le quantità disponibili dei due beni, vengono rappresentate sulpiano dei beni tramite la scatola di Edgeworth, un diagramma molto usato daglieconomisti. Quindi, all'interno della scatola di Edgeworth ogni punto rappresentaun'allocazione (combinazione di panieri) dei due beni X ed Y tra i due consu-matori Adam e Danny. La scatola di Edgeworth riunisce le mappe delle curve

49

Page 56: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

d'indi�erenza relative ai due consumatori in uno spazio chiuso e limitato dalladisponibilità dei due beni. La rappresentazione delle allocazioni tramite la sca-tola di Edgeworth sul piano dei beni è costruita nel seguente modo: partendodalle mappe d'indi�erenza dei individui che stiamo considerando, Adam e Danny,facciamo ruotare uno di questi sistemi di curve (diciamo quello di Danny) di unangolo di 180o �nchè esso sta di fronte e si sovrappone a quello di Adam. Orache i due diagrammi sono l'uno di fronte all'altro, con Danny che sta per cosìdire al di sopra di Adam, abbiamo che la mappa delle curve di indi�erenza delconsumatore Adam è rappresentata a partire dal vertice sud-ovest della scatola;quella del consumatore Danny è rappresentata, rovesciata, a partire dal verticenord-est.

Figura 3.5:

Di conseguenza, all'interno della scatola i due movimenti verso l'alto risultanoopposti; i movimenti verso la parte superiore destra del diagramma rappresentanoun aumento d'utilità per Adam, mentre i movimenti verso la parte inferiore sinistradel diagramma rappresentano un aumento d'utilità per Danny. Lungo gli assidi ciascun diagramma (ora riuniti per formare la scatola) vengono misurate lequantità delle due merci, X ed Y , che sono oggetto di scambio. L'altezza dellascatola di Edgeworth rappresenta la quantità di bene Y disponibile, che abbiamodetto essere Y *, mentre la larghezza rappresenta la quantità disponibile di beneX, ovveroX*. Il vertice sud - ovest dell scatola è l'origine per il consumo di Adam,mentre il vertice nord - est rappresenta l'origine per Danny; se ne deduce che lungoil lato inferiore della scatola sono misurate, da sinistra a destra, le quantità di Xpossedute da Adam, e lungo il lato superiore da destra a sinistra le quantità di

50

Page 57: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

X possedute da Danny (lungo i lati sinistro e destro si hanno, rispettivamente,dal basso in alto e dall'alto in basso, le misure dei quantitativi di Y posseduteda Adam e Danny). Quindi, riassumendo, la scatola di Edgeworth consente dirappresentare contemporaneamente:

• la dotazione complessiva dei beni X ed Y nell'economia (lunghezza assi dellascatola);

• le preferenze di Adam e Danny per i beni X ed Y (mappa curve d'indi�e-renza);

• la dotazione iniziale dei beni X ed Y (punto iniziale d'intersezione dellecurve d'indi�erenza dei due consumatori);

• tutte le possibili allocazioni dei beni X ed Y

Figura 3.6:

V è l'allocazione iniziale in cui Adam possiede (XA,YA) e Danny possiede(XD,YD). Dimostriamo che attraverso lo scambio, i due individui riescono amigliorare la loro posizione (utilità).

51

Page 58: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.7:

Nella precedente �gura, passando dall'allocazione iniziale V all'allocazione Z,Adam cede a Danny bene X in cambio di bene Y. Il punto Z è, come si può os-servare dalla �gura precedente, un punto di tangenza tra una curva d'indi�erenzadi Adam ed una di Danny. Inoltre, Z rappresenta un miglioramento paretianorispetto a V, dato che nell'allocazione Z, Adam passa dalla curva di indi�erenza1 alla 3, quindi aumenta il suo benessere; d'altro canto nell'allocazione Z, Dannyè indi�erente rispetto a V perché resta sulla stessa curva di indi�erenza. Quindi,Adam migliora mentre Danny non peggiora, cioè Z è preferito complessivamentea V.Se consideriamo, sempre a partire da V, una riallocazione dei beni K diversada Z, come nella �gura sottostante, anche K è preferito a V, poichè spostandosinell'allocazione K entrambi gli individui migliorano il loro benessere.

52

Page 59: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.8:

Anche K è un punto di tangenza tra una curva d'indi�erenza di Adam ed unadi Danny.Continuando allo stesso modo e considerando una riallocazione H come nella �gura3.9, H è preferito a V, giacchè nell'allocazione H, Danny ha un maggiore benessererispetto a V, Adam è indi�erente tra H e V, motivo per cui la collettività nel suocomplesso guadagna spostandosi da V a H.

Figura 3.9:

53

Page 60: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

H è un punto di tangenza tra una curva d'indi�erenza di Adam ed una diDanny.In sostanza, si constata che in ogni punto della scatola di Edgeworth si ha l'inter-sezione oppure la tangenza tra una curva di indi�erenza di Adam e una curva diindi�erenza di Danny. Le allocazioni ottime nel senso di Pareto coincidono coni punti di tangenza. Se infatti le curve di indi�erenza si intersecassero sarebberopossibili miglioramenti paretiani. Consideriamo per esempio, nella parte sinistradella �gura sottostante, il punto C di intersezione tra due curve d'indi�erenza.

Figura 3.10:

Per ogni punto sulla curva d'indi�erenza di Danny, che è l'individuo j (mentreAdam è il nostro individuo i) come il punto B, si ha:

(B � C)i e (B ∼ C)j⇒[B � C]P

Ovvero, a partire dall'allocazione C, ci si riesce a spostare in un'allocazione Bche migliora la situazione dell'individuo i senza peggiorare quella dell'individuoj ; complessivamente quindi la società migliora la propria situazione in termini delcriterio di Pareto, passando da C a B.

Analogamente, per ogni punto sulla curva d'indi�erenza di Adam, l'individuoi , come il punto A, si ha:

(A ∼ C)i e (A � C)j⇒[A � C]P

Quest'ultima viene letta come: a partire dall'allocazione C, ci si riesce a spo-stare in un'allocazione A in cui l'individuo j migliora la propria soddisfazionesenza che peggiori quella dell'individuo i ; nel complesso, quindi la società miglio-ra la propria situazione in termini del criterio di Pareto, passando da C ad A.

In�ne per ogni punto come D, interno all'area delimitata dall'intersezione del-

54

Page 61: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

le due curve di indi�erenza, si ha:

(D � C)i e (D � C)j⇒[D � C]P

In tal caso l'allocazione D è strettamente preferita a C da entrambi gli indivi-dui, quindi D domina C nel senso di Pareto.

Da tutto ciò, se C è come nella parte sinistra della �gura precedente, cioè è puntod'intersezione delle curve d'indi�erenza, l'area delimitata dall'intersezione delledue curve, compresi i contorni, rappresenta l'insieme dei possibili miglioramentiparetiani a partire dal punto C. Nei punti di tangenza invece (come il punto Cnella parte destra della �gura 3.10) l'insieme dei miglioramenti paretiani è vuoto:i punti di tangenza sono, pertanto, allocazioni ottime. In tali punti, la curva diindi�erenza del consumatore i ha la stessa pendenza di quella del consumatore j :i saggi marginali di sostituzione dei due consumatori sono pertanto uguali.

Possiamo, allora, ricavare da quanto detto la condizione di e�cienza nello scambio.

Condizione di e�cienza nello scambio Un'allocazione di beni è Pareto-ottimale quando i saggi marginali di sostituzione sono eguali tra tutti i consu-matori:

SMSiX,Y = SMSjX,Y

Possiamo, quindi, concludere che in un sistema economico in cui siano date lequantità prodotte e le preferenze dei vari individui soddis�no alcune proprietà(devono essere di�erenzibili, monotòne e convesse), la condizione di e�cienza (ot-timo paretiano) richiede l'uguglianza dei SMS per ogni coppia di beni tra tuttigli individui.

De�nizione 14. (Curva dei contratti)La curva dei contratti è la curva che unisce tutti i punti di tangenza tra le cur-ve d'indi�erenza all'interno della scatola di Edgeworth, quindi essa è il luogogeometrico delle allocazioni ottime nel senso di Pareto.

55

Page 62: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.11:

Se si considera la �gura 3.12 sottostante, le allocazioni Z, K, H sono sulla curvadei contratti e sono, quindi, punti di ottimo paretiano.

Figura 3.12:

Tuttavia, il criterio paretiano non dice quale dei punti sulla curva dei con-tratti sia il migliore per la collettività: infatti, mentre Adam ha un ordinamentoZ � K � H , Danny ha ordinamento H � K � Z.

56

Page 63: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

In sintesi, le caratteristiche della curva dei contratti che per brevità indicheròcon CUDC sono:

• La CUDC è il luogo dei punti che costituiscono allocazioni Pareto-e�cienti

• In ciascuno di questi punti, non è più possibile migliorare il benessere di unindividuo se non a scapito dell'altro individuo

• Il criterio di Pareto non ci dice quale tra i punti che costituiscono la curvadei contratti sia il migliore per la collettività

• Ogni punto sulla linea dei contratti è associato a due diversi livelli di utilità,uno per ciascun individuo

Osserviamo che la curva dei contratti passa per i due verici opposti (vertice sud- ovest e vertice nord - est) delle scatola di Edgeworth; infatti, nel vertice sud -ovest l'individuo i non ha nulla, cioè le quantità complessive dei due beni sonopossedute dall'individuo j, mentre il contrario si veri�ca nel vertice nord - est. Ilvertice sud - ovest è un punto di ottimo, poichè se ci si sposta da esso si migliorala posizione dell'individuo i, ma peggiora quella di j ; per motivi analoghi anche ilvertice nord - est è un punto di ottimo paretiano, dunque la CUVC passa per talipunti. Si noti, inoltre, che, la posizione di ottimo paretiano, che è possibile rag-giungere attreverso una o più azioni azioni e�cienti, dipende in modo sostanzialedalla distribuzione iniziale delle risorse. Ad esempio, nell'ultima �gura i puntisul tratto HK rappresentano posizioni di ottimo paretiano relativamente ad unadistribuzione iniziale V.

Quindi possiamo concludere che la rappresentazione gra�ca dell'ottimo paretianoattraverso la scatola di Edegeworth, in termini della curva dei contratti, avvienesul piano dei beni; tale rappresentazione evidenzia, così, anche le assegnazioni(allocazioni) dei beni fra i due individui, distinguendo quelle ottimali da quelleche non lo sono.Tuttavia, il concetto di ottimo paretiano può essere presentato in termini gra�cianche tramite la CUP, questa volta sul piano delle utilità. In questo caso ci silimita a considerare le posizioni degli individui in termini di utilità goduta e nonsi mettono, però, in luce le combinazioni dei beni alle quali si associano le diverseutilità. In ciò, si tiene conto, pertanto, del fatto che ad ogni possibile allocazionedi consumo corrisponde una coppia di soddisfazioni per i due individui rappre-sentabile sul piano delle utilità con un insieme di punti delimitati dalla CUP;quest'ultima è, di fatto, composta dalle combinazini di utilità associate ai puntidi ottimo. Per come è de�nita la CUP, le quntità dei due beni si considerano �sse,motivo per cui:

• la curva delle possibilità di utilità si modi�ca solo se cambiano le preferenzedei consumatori

57

Page 64: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

• date le preferenze dei consumatori, esiste una curva delle possibilità di utilitàper ogni coppia di quantità dei due beni.

3.3.2 L'e�cienza nella produzione

L'e�cienza nella produzione, viene, in un certo senso, esaminata in modo comple-tamente identico all'e�cienza nel consumo. Rispetto all'analisi dell'e�cienza nelconsumo rimuoviamo l'ipotesi fatta che le quantità prodotte dei due beni X edY siano date. Abbiamo visto che l'e�cienza nel consumo riguarda l'allocazioneottima dei prodotti fra i consumatori, ossia l'ottimo del consumo (come detto,essa si realizza se il saggio marginale di sostituzione fra ogni coppia di beni è lostesso per ogni coppia di consumatori e tale condizione implica che i consumatorisi trovino sulla curva di contratto). L'e�cienza nella produzione, concerne, invece,l'allocazione ottima dei fattori o inputs produttivi fra i produttori, detto ottimodella produzione.Ponendoci nel caso dell'e�cienza nella produzione, supponiamo che i due inputsK ed L per la produzione dei due beni X ed Y da parte di due imprese, sianodisponibili in quantità date e, quindi, che tali quantità siano �sse. Le due imprese,che chiamiamo S e T , sono tali che una produce solo il bene X e l'altra producesolo il bene Y : nonostante ciò, ambedue le imprese usano gli stessi fattori pro-duttivi K ed L. La condizione di ottimo nella produzione può essere determinatautilizzando ancora una scatola di Edgeworth, misurando, questa volta, sugli assile quantità dei due fattori produttivi, K ed L, le cui quantità globali, che sonodate, le indichiamo rispettivamente con K* ed L*. Le imprese si spartiscono taliquantità per produrre il proprio bene in maniera e�ciente: risulta che

K* = KX +KY e L* = LX + LY

laddoveKX è la quantità del fattore produttivoK impiegata per la produzione delbene X, KY è la quantità del fattore produttivo K impiegata per la produzionedel bene Y , LX è la quantità del fattore produttivo L impiegata per la produzionedel bene X, LY è la quantità del fattore produttivo L impiegata per la produzio-ne del bene X. Ogni punto all'interno della scatola rappresenta, in questo caso,un'allocazione degli inputs; inoltre, assumendo date anche le rispettive funzionidi produzione relative alle due imprese, nella scatola di Edgeworth riguardantel'e�cienza produttiva sono rappresentati gli isoquanti di produzione per le dueimprese (nella scatola di Edgewoth per l'e�cienza nel consumo vi erano le mapped'indi�erenza dei due consumatori).

58

Page 65: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.13:

Dalle considerazioni fatte, con un ragionamento del tutto analogo a quello chesi è fatto per determinare l'ottimo nel consumo, le allocazioni ottime sotto il pro-�lo della produzione sono date dai punti di tangenza tra gli isoquanti relativi alprodotto X e gli isoquanti relativi al prodotto Y : in tali punti si ha l'eguaglianzadei saggi marginali di sostituzione tecnica tra i fattori nella produzione dei duebeni.

Pertanto si ha che la condizione di e�cienza nella produzione è la seguente:

Condizione di e�cienza nella produzione Un'allocazione di fattori produt-tivi è Pareto-ottimale quando i saggi marginali di sostituzione tecnica sono egualinella produzione di ogni coppia di beni

SMSTXK,L = SMST YK,L

L'unione dei punti di tangenza tra gli isoquanti di produzione, punti che sono leallocazioni ottime degli inputs ai �ni della produzione dei beni X ed Y, costituiscela curva dei contratti relativi ai fattori produttivi. Lungo tale curva è garantital'e�cienza produttiva proprio perchè un aumento della produzione del bene X, adesempio, può avvenire solo riducendo la produzione di bene Y.

Le allocazioni di fattori e�cienti possono essere rappresentate, oltre che dalla

59

Page 66: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

curva dei contratti, anche misurando sugli assi le quantità dei due beni: le combi-nazioni di beni associate ai punti di ottimo compongono la curva delle possibilitàdi produzione (o curva di trasformazione). Nel fare ciò si passa, ovviamente, dalpiano dei fattori produttivi a quello dei beni.

De�nizione 15. (Curva di trasformazione)La curva delle possibilità di produzione (anche nota col nome di curva di trasfor-mazione o frontiera di produzione) esprime, per ogni determinata quantità di unodei due beni, la quantità massima che si può produrre dell'altro bene, considerando�sse le funzioni di produzione e le quantità dei fattori produttivi.

Figura 3.14:

Il fatto che i punti di ottimo per la produzione siano tutti e soli i punti sullacurva di trasformazione, si può vedere considerando il fatto che tutti i punti in-terni all'area delimitata da quest'ultima sono ine�cienti; il punto Z nella �gurasottostante, ad esempio, è ine�ciente perchè è possibile aumentare la produzionesfruttando al meglio i fattori produttivi.

60

Page 67: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 3.15:

3.3.3 L'e�cienza generale

L'e�cienza generale è così detta poichè riguarda sia l'allocazine ottima dei fatto-ri fra i produttori che l'allocazione ottima dei beni fra i consumatori. Si trattadi vedere quale debba essere la scelta delle quantità di beni da produrre, sceltache deve avvenire tenendo conto simultaneamente delle possibilità di produzione edelle preferenze dei consumatori; le imprese nell'intento di massimizzare il pro�ttoproducono quei beni che maggiormente soddisfano le preferenze dei consumatori.Assumiamo date le quantità complessivamente disponibili di inputs. Supponia-mo, inoltre, che tutti i consumatori abbiano i medesimi gusti e quindi le stessecurve di indi�erenza; da ciò il sistema di preferenze della collettività è rappresen-tabile da un'unica mappa di curve di indi�erenza (consumatore rappresentativo).Notiamo che possiamo �mettere insieme� le preferenze di tutti i consumatori, poi-chè, a�nchè vi sia e�cienza nel consumo, il SMS deve essere uguale per tuttii consumatori. Il problema di massimizzazione del benessere si risolve nello sce-gliere, lungo la curva delle possibilità di produzione, la combinazione di outputche consente di raggiungere la curva di indi�erenza di indice più elevato: si trattadel punto di tangenza della curva delle possibilità di produzione con una curvadi indi�erenza. In e�etti, supponiamo che PP' nel gra�co rappresenti la curvadi trasformazione del prodotto, la curva cioè che riporta la quantità massima dibene X che può essere prodotta compatibilmente ai vari livelli di produzione delbene Y . Supponiamo che le curve A e B rappresentino due curve di indi�erenza

61

Page 68: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

del consumatore rappresentativo della comunità; per massimizzare la sua soddi-sfazione, la produzione deve avvenire nel punto T della curva di trasformazione,che si trova sulla più alta curva di indi�erenza. Si osserva che T rappresenta ilpunto di tangenza tra la curva di trasformazione e quella di indi�erenza.

Figura 3.16:

Nel punto di tangenza si ha l'eguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione(misurato dalla pendenza presa in modulo della curva di indi�erenza) e il saggiomarginale di trasformazione (misurato dalla pendenza presa in modulo della curvadi trasformazione). Il saggio marginale di trasformazione si identi�ca, perciò, conil numero di unità del bene Y a cui il produttore deve rinunciare per ottenereun'unità addizionale di bene X.

E', quindi, possibile enunciare la condizione di e�cienza generale.

Condizione di e�cienza generale Un'allocazione delle risorse è Pareto-ottimalequando per ogni coppia di beni il saggio marginale di sostituzione è uguale al sag-gio marginale di trasformazione, ovvero:

SMSX,Y = SMTX,Y

La condizione di ottimo generale può essere anche esaminata attraverso una rap-presentazione gra�ca di�erente da quella utilizzata �nora. Abbandonando l'ipo-tesi del consumatore rappresentativo e tornando a quella di un'economia con dueindividui, i e j, consideriamo le diverse scatole di Edgeworth che possono essere

62

Page 69: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

inserite nell'area delimitata dalla curva di trasformazione, con il vertice nord-estlungo la curva. Nella �gura sottostante ne sono state rappresentate due.

Figura 3.17:

All'interno di ogni scatola di Edgeworh vi sarà un punto (in realtà tali puntipossono essere molteplici), sulla curva dei contratti, in cui l'inclinazione delle duecurve di indi�erenza tangenti è uguale all'inclinazione della curva di trasforma-zione. In tale punto si avrà pertanto:

SMSiX,Y = SMTX,Y = SMSjX,Y

Osserviamo che un punto come B nella �gura sopra rappresenta una determinatacombinazione delle quantità totali prodotte dei due beni X ed Y , mentre un puntocome B' de�nisce una ripartizione delle risorse tra i due individui i e j.

Possiamo, ora, fare un riepilogo delle condizioni di ottimo, eliminando la restrizio-ne di dover agire in un'economia in cui vi siano solo 2 consumatori, 2 imprese, 2fattori produttivi e 2 beni. Indichiamo con G, N ,M, gli insiemi, rispettivamente,dei consumatori, dei beni e dei fattori produttivi, allora possiamo riassumere lecondizioni di e�cienza paretiana in un teorema.

63

Page 70: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Teorema 2.Le condizioni di e�cienza paretiana sono:

1. La condizione di e�cienza nello scambio, che è espressa da

SMSiX,Y = SMSjX,Y , ∀i, j ∈ G e ∀X, Y ∈ N ;

2. La condizione di e�cienza nella produzione è espressa da

SMSTXK,L = SMST YK,L , ∀K,L ∈M e ∀X, Y ∈ N ;

3. La condizione di e�cienza generale è espressa da

SMSX,Y = SMTX,Y , ∀X, Y ∈ N

DimostrazioneConsiderati due individui, Adam e Danny, che per semplicità indichiamo con Ae D, chiamiamo UA la funzione d'utilità di Adam ed UD la funzione d'utilitàdi Danny. Supponiamo che le due funzioni d'utilità abbiano tutte le �buone�proprietà di di�erenziabilità, continuità, monotonia, ecc; UA e UD possono esserescritte come UA(qXA , q

YA , l) e UD(qXD , q

YD,m), dove qXh e qYh , per h = A,D, sono le

quantità di bene X e bene Y consumate dall'inidividuo h, mentre l ed m sono lequantità dei due inputs forniti, rispettivamente da A e D (riteniamo ora variabilee non più �ssa l'o�erta degli inputs che gli individui devono fornire per ricevere ibeni).Vi siano, inoltre, le funzioni di produzione qX = fX(lX ,mX) , qY = fY (lY ,mY )dove qX e qY sono rispettivamente le quantità di bene X ed Y prodotte, mentre lX ,mX , lY , mY sono le quantità di fattori produttivi utilizzati per i due beni. Devonoessere soddisfatte poi le seguenti uguaglianze:

∑h q

Xh = qX ,

∑h q

Yh = qY , con

h = A,D che vale a dire uguaglianza delle quantità consumate e prodotte di ognibene �nale, e lX + lY = l , mX +mY = m che esprimono l'uguaglianza del totaledelle quantità usate degli inputs con le quantità disponibili. Entrambe questeuguaglianze esplicitano la condizione che nella comunità considerata non vi sianosprechi. Le condizioni di ottimo paretiano si ottengono massimizzando, rispettoalle quantita dei beni e dei fattori, l'utilità di un consumatore, con il vincoloche l'utilità dell'altro sia data, e rispettando le ipotesi appena citate. Ovvero,assumendo che l'utilità di D sia data, UD(q

XD , qYD, m) = U∗D si deve determinare

maxUA(qXA , qYA , l) sotto i vincoli:

1. UD(qXD , qYD,m) = U∗D

2. qX = fX(lX ,mX)

3. qY = fY (lY ,mY )

4.∑

h qXh = qX

64

Page 71: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

5.∑

h qYh = qY

6. lX + lY = l

7. mX +mY = m

Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per risolvere tale problema. Illagrangiano mette insieme la funzione uilità di A , di cui si vuole determinare ilmassimo, ed i vincoli . Nel nostro caso si ottiene il seguente lagrangiano:

L = UA(qXA , qYA , l) -λ1

[U∗D − UD(qXD , q

YD, m)

]− λ2

[qX − fX(lX , mX)

]−

+λ3

[qY − fY (lY , mY )

]− λ4

[∑h q

Xh − qX

]− λ5

[∑h q

Yh − qY

]− λ6

[lX + lY − l

]−

+λ7

[mX +mY −m

]

dove i λi sono i moltiplicatori di Lagrange associati ai vari vincoli (i moltipli-catori di Lagrange hanno il ruolo di garantire che i vincoli siano soddisfatti). Lecondizioni necessarie per individuare la soluzione di questo problema di ottimosi ottengono ponendo uguali a zero le derivate della funzione L (il lagrangiano)rispetto alle sue variabili, che in questo caso sono 12:

∂L

∂qXA=∂UA∂qXA

− λ4 = 0 (a)

∂L

∂qYA=∂UA∂qYA

− λ5 = 0 (b)

∂L

∂l=∂UA∂l

+ λ6 = 0 (c)

∂L

∂qXD= λ1

∂UD∂qXD

− λ4 = 0 (d)

∂L

∂qYD= λ1

∂UD∂qYD

− λ5 = 0 (e)

∂L

∂m= λ1

∂UD∂m− λ7 = 0 (f)

∂L

∂qX= −λ2 + λ4 = 0 (g)

∂L

∂qY= −λ3 + λ5 = 0 (h)

65

Page 72: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

∂L

∂lX= λ2

∂fX

∂lX− λ6 = 0 (i)

δL

δmX= λ2

δfX

δmX− λ7 = 0 (l)

δL

δlY= λ3

δfY

δlY− λ6 = 0 (m)

δL

δmY= λ3

δfY

δmY− λ7 = 0 (n)

Attraverso opportuni passaggi si ottengono le seguenti:

1.

∂UA

∂qXA∂UA

∂qYA

=λ4

λ5

=

∂UD

∂qXD∂UD

∂qYD

2. −

∂UA

∂l∂UA

∂qXA

=λ6

λ4

=∂fX

∂lX

3. −

∂UA

∂l∂UA

∂qYA

=λ6

λ5

=∂fY

∂lY

4.

∂UD

∂m∂UD

∂qXD

=λ7

λ4

=∂fX

∂mX

5.

∂UD

∂m∂UD

∂qYD

=λ7

λ5

=∂fY

∂mY

6.

∂fX

∂lX

∂fX

∂mX

=λ6

λ7

=

∂fY

∂lY

∂fY

∂mY

66

Page 73: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

7.

∂UA

∂qXA∂UA

∂qYA

=

∂UD

∂qXD∂UD

∂qYD

=λ4

λ5

=

∂fY

∂lY

∂fX

∂lX

=

∂fY

∂mY

∂fX

∂mX

La condizione 1., volendo dare un'idea, è ottenuta isolando λ4 e λ5 rispettivamentein (a) e (b) e isolando gli stessi in (d) ed (e); si è poi diviso membro a membro la(a) per la (b) da una parte e la (d) per la (e) dall'altra.Si osserva che la condizione 1. evidenzia l'uguaglianza dei saggi marginali disostituzione fra i beni per i due individui (e�cienza nel consumo). Infatti, ilprimo membro è il SMS fra bene X e bene Y per Adam. Allo stesso modo,l'ultimo membro della 1. indica il SMS fra bene X e bene Y per Danny. Lecondizioni dalla 2. alla 5. esprimono l'uguaglianza dei SMS fra ogni input e ognibene con la produttività marginale, garantendo così l'e�ciente o�erta di inputs.La condizione 6. invece evidenzia l'uguaglianza dei SMST nelle due produzionied indica l'e�ciente allocazione dei fattori produttivi (e�cienza nella produzione).La condizione 7, in ultimo, indica l'uguaglianza dei SMS fra i due beni con il SMTfra gli stessi, garantendo la condizione di ottimo generale (e�cienza generale).Tutto ciò fornisce una prova matematica delle condizioni di ottimo.

3.4 I limiti del criterio di Pareto

Abbiamo già parlato, in modo generale, di quelle che sono le limitazioni del crite-rio di Pareto; ora cerchiamo di a�rontare tali limtazioni nello speci�co e di farneun �catalogo� in cui riordinarle. Di seguito riportiamo, quindi, quali sono i limitidi tale criterio, che, nonostante tutto, continua ad essere molto usato per il suocarattere di unanimità:

- incoerenza con il principio delle �libertà minime�

- neutralità rispetto alla distribuzione della ricchezza

- ordinamento parziale delle preferenze e tirannia dello status quo

Possiamo dire che è in questi tre punti che possono essere racchiusi i limiti del cri-terio paretiano; esaminiamo ciascuno di essi singolarmente. In realtà i primi duepunti possono essere analizzati insieme, poichè si tratta di due diverse sfumaturedi quella che è la generale ignoranza del criterio di Pareto verso rilevanti aspettidei vari stati sociali .

67

Page 74: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

3.4.1 L'incoerenza con il principio delle libertà minime e la

neutralità rispetto alla distribuzione di ricchezza

Abbiamo più volte detto in precedenza che il criterio di Pareto, nella sua formu-lazione, trascura di prendere in esame notevoli caratteristiche della società che siva considerare. Come già sappiamo, alla base del criterio di Pareto vi è l'indi-vidualismo etico, il quale costruisce il giudizio sociale a partire dalle preferenzedei singoli individui; tuttavia, il fatto di trascurare aspetti fondamentali per gliindividui come i diritti e le libertà fa si che, in realtà, il criterio paretiano nonpreservi la sfera delle preferenze individuali e risulti incoerente con il principiodelle �libertà minime�. Si viene, quindi, a creare un paradosso: l'individualismoetico incorporato nel criterio di Pareto pare fornire una garanzia delle libertà deisingoli all'interno della collettività, ma nonostante questo, il risultato aggregatoottenuto tramite lo stesso criterio paretiano non rispetta l'individualità e non ga-rantisce le libertà individuali. Questo paradosso costituisce, senz'altro, un gravelimite per il criterio di Pareto.E', altresì evidente, come un'ulteriore limitazione del criterio paretiano sia dovutaal fatto di ignorare la quantità e la distribuzione dei beni disponibili; l'irrilevanzadella distribuzione della ricchezza può far si che uno stato di estrema disparità siaPareto superiore ad uno di equità distributiva, a patto che almeno un individuostia meglio e nessuno stia peggio in termini di utilità. Questa neutralità nei con-fronti della distribuzione di ricchezza rappresenta, pertanto, un altro limite delcriterio paretiano, a tal punto che diversi autori, in seguito, hanno proposto nuovicriteri di scelta sociale che prendono le distanze dal criterio di Pareto.

3.4.2 L'ordinamento parziale delle preferenze e la tirannia

dello status quo

Le ipotesi fondamentali del criterio paretiano sono la misurazione ordinale dellepreferenze individuali e l'inconfrontabilità delle preferenze fra gli individui checompongono la collettività. Per questo motivo, il criterio di Pareto porta ad unordinamento parziale e non completo degli stati sociali (non si riescono ad ordina-re tutti i possibili stati sociali). Come abbiamo visto più volte, tramite il criteriodi Pareto, non soltanto non è de�nibile una graduatoria degli stati del mondoe�cienti, ma addirittura, in alcuni casi, non è possibile e�ettuare un confrontonemmeno tra stati e�cienti e stati non e�cienti. Dal punto di vista sociale, unaconseguenza notevole delle limitazioni dovute al carattere incompleto e parzialedel criterio paretiano è rappresentata dalla cosiddetta tirannia dello status quo.Infatti, data la limitata possibilità di e�etturare confronti tra i vari stati, quandosi è in un qualsiasi stato sociale, e�ciente o non, vi può essere la tendenza a nonspostarsi da quello stato verso altri. Ciò non necessariamente perchè gli altri statiche si considerano siano peggiori o meno e�cienti, ma semplicemente perchè essisono inconfrontabili con quello inziale, che può prevalere per fattori di inerzia (co-

68

Page 75: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

sti materiali, fattori psicologici connessi con il cambiamento). Questa tendenzaall'inerzia, ossia alla stasi nello stato in cui ci si trova, è nota come �tirannia dellostatus quo�. Pertanto, l'in�uenza dello stato iniziale sulle scelte che si fondino sulcriterio paretiano è abbastanza forte; vi è sempre la propensione a rimanere in unintorno piuttosto ristretto della posizione di partenza (in particolare, va notatoche posizioni iniziali diverse ammettono di�erenti insiemi di stati superiori nelsenso di Pareto).

A questo punto sorge spontanea la domanda: è possibile superare il risultatodi parzialità dell'ordinamento paretiano che emerge dall'ipotesi di ordinalità enon-comparabilità delle utilità? Numerosi sono stati gli economisti che hannocercato di dare risposta a tale domanda; il tentativo che si è fatto è il seguente:senza abbandonare il criterio di Pareto o le ipotesi su cui esso si fonda, si è cer-cato di aggiungere nuove condizioni tali da ampliare l'insieme degli stati socialiche potessero essere confrontati. In tal senso, va nominato il principio d'inden-nizzo, il quale sostiene che ogni cambiamento che comporti una modi�ca da unostato di e�cienza consentirebbe a coloro che sono avvantaggiati di compensaregli svantaggiati e di godere di un vantaggio residuo (motivo per cui tale principiopotrebbe essere considerato auspicabile dal punto di vista sociale). Nonostantetutto, però, Arrow diede risposta negativa alla domanda fatta in precedenza, se-gnando il fallimento del tentativo d'integrazione del criterio paretiano con altriassiomi e che consentisse di ottenere un ordinamento sociale completo. Quindi, ilTeorema dell'impossibilità di Arrow dimostra in via assiomatica l'impossibili-tà di ottenere un ordinamento completo che soddis� il requisito minimo della nondittatorialità e il criterio di Pareto. La conseguenza principale di tale teoremaè che il conseguimento di un ordinamento completo deve essere necessariamentelegato all'ipotesi di qualche grado di confrontabilità interpersonale in aggiuntaalla misurabilità cardinale.

69

Page 76: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Capitolo 4

Le funzioni del benessere sociale

L'impossibiltà di ottenere un ordinamento sociale completo che si fondi sul criteriodi Pareto ampliato con ulteriori condizioni, evidenzia il fallimento del tentativo dianalizzare il concetto di e�cienza come separato dal giudizio di equità. Attraversoil Teorema dell'impossibilità di Arrow, come si è detto, si mostra che la costruzio-ne di ordinamenti completi risulta, invece, possibile se non si ammettono più leipotesi di misurabilità ordinale e d'inconfrontabilità delle preferenze, sottesi dallostesso principio paretiano. Detto della necessità di avere a che fare con preferenzeindividuali confrontabili (con lo scopo di ottenere ordinamenti sociali completi),bisogna, comunque, rendere noto il principio che consente la comparazione deidiversi stati, soprattutto quelli in cui qualcuno sia avvantaggiato e qualcun altrosia svantaggiato. L'individuazione di tale principio porta a discutere su criteri digiustizia distributiva e sociale che accettano nel contempo il postulato d'indivi-dualismo etico e la confrontabilità interpersonale delle utilità (si accetta, quindi,l'idea che il benessere sociale debba ri�ettere le preferenze individuali in relazioneai vari stati, e si ammette, anche la possibilità di e�ettuare confronti interperso-nali, condizione necessaria per ottenere un ordinamento completo). Per ognuno ditali criteri, va a�rontata la questione di stabilire una regola di aggregazione dellepreferenze dei singoli; nel concreto, si tratta di scegliere l'operatore matematico(ad esempio, la somma) capace di attuare la sintesi delle preferenze individuali,traducendole in un'unica preferenza, quella sociale. La regola di aggregazione dellesingole preferenze, viene espressa attreverso la funzione di benessere sociale ,anche indicata con la sigla FBS per brevità; per il Teorema di rappresenta-zione di Debreu , sappiamo che se si assume di poter attribuire alla collettivitàun ordinamento di preferenze completo, continuo e strettamente monotòno, taleordinamento può essere rappresentato da una funzione (la funzione del benesseresociale, FBS), che svolge lo stesso ruolo della funzione di utilità nella rappresenta-zione degli ordinamenti di preferenza individuali. Dalla FBS può essere derivatauna mappa di curve di indi�erenza sociali: a tutte le combinazioni di risorse chesi trovano su una stessa curva è associato il medesimo livello di benessere sociale.L'ottima scelta sociale è data dalla massimizzazione del benessere sociale, soggetta

70

Page 77: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

al vincolo della frontiera delle utilità: tale ottima scelta è il punto di tangenza trala frontiera delle utilità e una curva di indi�erenza sociale. Le principali funzionidi benessere sociale che andremo a considerare sono:

1. FBS utilitaristiche;

2. FBS di Bernoulli-Nash;

3. FBS di Rawls;

4. FBS di Bergson-Samuelson.

Prima di andare a considerare singolarmente le precedenti FBS, osserviamo che,poichè una FBS fornsice una regola di aggregazione delle utilità individuali, nel-l'espressione della FBS compaiono direttamente le utilità dei singoli, ovvero:

W = f (u1, u2, u3, ..., un)

laddove W rappresenta la funzione di benessere sociale per una collettività din individui ed ui indica, invece l'utilità dell'individuo i . La funzione di bennes-sere sociale W , in sostanza, associa ad un determinato stato sociale A la quantitàW (A), che è il benessere sociale goduto dalla collettività nello stato A. Un'ul-teriore considerazione sulle FBS, ci porta, in modo intuitivo, a dire che le FBSsi basano sul principio di Pareto; intuitivamente possiamo dire che il benesseresociale aumenta o al più rimane costante se aumenta una (o alcune) delle utilitàindividuali, ferme restando le altre, ovvero

∂W

∂ui≥ 0, ∀i ∈ {1, 2, ..., n}

In analogia alle curve d'indi�erenza individuali, le curve d'indi�erenza sociali sonoconvesse e la funzione di benessere sociale è concava rispetto alle utiltà individuali

∂2W

∂u2i

≤ 0, ∀i ∈ {1, 2, ..., n}

Passiamo ora a trattare nello speci�co le FBS dei punti 1,2,3 e 4.

4.1 Le funzioni del benessere sociale utilitaristiche

Le funzioni di benessere sociale utilitaristiche sono le più semplici FBS che si pos-sano considerare. Il primo caso che si può avere è quello in cui la funzione dibenessere sociale è data come somma delle singole funzioni d'utilità individuali;infatti, date le utilità dei singoli individui, se esse sono comparabili e se si assegna

71

Page 78: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

lo stesso peso (unitario) agli individui, l'utilità sociale di uno stato A, W (A), puòessere espressa come somma delle ui(A):

W (A) =∑n

i=1ui(A)

essendo n gli individui della collettività considerata. La funzione W =∑n

i=1 ui =u1+u2+u3+...+un è la FBS utilitaristica semplice o benthamiana. Se si considerauna collettività composta da due sole persone, si può dare una rappresentazionegra�ca della FBS in esame con l'apparato delle curve di indi�erenza. Le curvesono ora dette curve di indi�erenza sociale o curve di isobenessere sociale. Questesono rette parallele inclinate negativamente, che indichiamo conWi, con pendenzadi 45 gradi, tali che W1< W2 < W3; lungo ognuna di queste rette la somma delleutilità è costante. La curve di isobenessere, evidentemente, sono rappresentatesul piano delle utilità u1u2 dei due individui considerati.

Figura 4.1:

Una forma piu generale di FBS utilitaristica si ottiene con l'assegnare diversipesi non negativi, ai, ai vari individui; la corrispondente funzione utilitaristicasarà:

W =∑n

i=1 aiui

la quale prende il nome di FBS utilitaristica generalizzata. Anche in questo caso,se si considerano due soli individui, le cui utilità sono u1e u2, la FBS utilita-ristica generalizzata può essere rappresentata attraverso una mappa di curve diindi�erenza sociali, costituite da rette parallele aventi pendenza negativa pari alrapporto fra i pesi attribuiti ai due soggetti; infatti le curve d'indi�erenza sono

72

Page 79: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

rette del tipo a1u1+a2u2 = k , la cui pendenza misurata dalla tangente dell'angolo

β, è pari a -

a1a2

.

Figura 4.2:

Le FBS utilitaristiche, pertanto, fanno riferimento all'operatore matematicodi sommatoria; i requisiti per poter utilizzare una FBS utilitaristica sono:

• Misurabilità cardinale delle utilità individuali

• Confrontabilità degli stati di benessere individuale

Poichè le FBS utilitaristiche considerano la somma delle utilità, quest'ultime so-no neutrali rispetto alla disuguglianza nelle utilità, ovvero non hanno carattereugualitario.

4.2 La funzione di benessere sociale di Bernoulli -

Nash

Le FBS di Bernoulli - Nash fanno ricorso all'operatore matematico prodotto; ancheper queste FBS parliamo di FBS di Bernoulli - Nash semplice ed FBS di Bernoulli- Nash generalizzata . La FBS di Bernoulli-Nash semplice è del tipo:

W =∏n

i=1uiLa FBS di Bernoulli-Nash generalizzata è ottenuta introducendo i pesi ai comeesponenti delle utilità individuali delle quali si fa il prodotto:

W =∏n

i=1(ui)ai

Se si suppone di considerare una società costituita da due individui, le cui utilità

73

Page 80: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

sono u1e u2, la FBS di Bernoulli - Nash è rappresentata gra�camente, sul pianodelle utilità, tramite curve di isobenessere aventi forma d'iperbole.

Figura 4.3:

L'uso dell'operatore prodotto da parte delle FBS di Bernoulli - Nash fa si che,il benessere sociale risulti tanto maggiore quanto più equa è la distribuzione diutilità tra gli individui. Le FBS di Bernoulli - Nash, pertanto, hanno un maggiorcarattere ugualitario rispetto alle FBS utilitaristiche. Vediamo ciò attreverso unesempio. Supponiamo che:

1. gli individui della collettività siano due

2. l'unico aspetto rilevante degli stati sociali sia il reddito

3. il reddito da distribuire sia dato e costante uguale a 10

4. i due individui abbiano le stesse capacità di esprimere le preferenze, quindiad ognuno è dato ugual peso (per semplicità uguale ad 1)

5. le preferenze degli individui siano misurabili cardinalmente e, per semplicità,l'utilità marginale del reddito sia costante e uguale a 20

Prendiamo in esame due tipi di distribuzione: ugualitaria e non ugualitaria. Se ladistribuzione di reddito è ugualitaria, (ogni soggetto ha reddito 5), entrambi gliindividui avranno utilità totale pari a 100; dunque il benessere sociale calcolato conla FBS utilitaristica semplice è uguale 200, mentre il benessere sociale calcolatocon la FBS di Bernoulli - Nash semplice è uguale a 10000. Se la distribuzione direddito non è ugualitaria, e, ad esempio, il primo soggetto ha reddito 6, mentreil secondo ha reddito 4, rispetto al caso della distribuzione ugualitaria, l'utilità

74

Page 81: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

totale del primo aumenta, quella del secondo diminuisce; in particolare (essendol'utilità marginale costante e pari a 20) l'utilità del primo soggetto è ora pari a120, quella del secondo a 80. Nella condizione considerata di distribuzione nonugualitaria, il benessere sociale calcolato con la FBS utilitaristica semplice è uguale200 (rimane lo stesso rispetto alla distribuzione ugualitaria) , mentre il benesseresociale calcolato con la FBS di Bernoulli - Nash semplice è uguale a 9600 <10000(il benessere sociale calcolato con la FBS di Bernoulli - Nash semplice diminuiscein questo secondo caso rispetto a quello calcolato per la distribuzione ugualitaria).

4.3 La funzione di benessere sociale di Rawls

La FBS di Rawls valuta il benessere sociale partendo da un presupposto fonda-mentale che è il concetto di equità. Rawls, infatti, propone una visione dellagiustizia come equità, in base alla quale le istituzioni fondamentali di una unasocietà sono eque e garantiscono:

a) l'uguaglianza dei cittadini nei diritti e nelle libertà civili e politiche;

b) l'uguaglianza di opportunità, intesa come assenza di discriminazioni ingiu-sti�cate nell'accesso ai ruoli e alle carriere nella società;

c) una distribuzione delle risorse in base alla quale il benessere sociale aumentase viene migliorata (max) la posizione di chi sta peggio (min).

La FBS di Rawls si basa, proprio, su questi aspetti ed esprime il benessere socialefacendo riferimento esclusivo all'utilità dell'individuo che sta in posizione peggiore:

W = min(u1, u2, ..., un)

Per come è de�nita, la FBS di Rawls fa si che il benessere sociale coincida conla soddisfazione del soggetto che sta peggio; la FBS in questione, vuole esprimereche, il benessere della società cresce (viene massimizzato) soltanto se cresce lasoddisfazione minima (da ciò segue anche l'appellativo di FBS maxmin).I requisiti informativi sulle singole utilità per la costruzione della FBS di Rawlssono:

1. misurabilità ordinale;

2. confrontabilità dei livelli di utilità individuali.

Considerando due soli individui, con utilità u1e u2 rispettivamente, in terminigra�ci, la FBS di Rawls è rappresentata tramite curve di isobenessere che hanno

75

Page 82: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

forma ad L; si tratta di spezzate con vertici lungo la bisettrice del primo quadrantee lati paralleli agli assi. Proprio la forma ad L delle curve d'isobenessere ci diceche un incremento dell'utilità di un individuo non provoca aumento del benesseresociale (che resta al livello W1,W2 o W3) se il piu svantaggiato mantiene invariatala sua utilità. Si dice, in questo caso, che non vi e sostituibilità fra la soddisfa-zione di un individuo e quella dell'altro, come invece accadeva per le altre FBS inprecedenza descritte; al contrario, le soddisfazioni dei due individui sono fra loroperfettamente complementari.

Figura 4.4:

Un'ulteriore osservazione che può essere fatta sulla FBS di Rawls è che essaracchiude in sè aspetti tipicamente egualitari con aspetti utilitaristici. Il principioegualitario si rispecchia nella priorità assegnata al più povero circa la valutazionedel benessere di una società; in comune con l'utilitarismo è, invece, la completaindi�erenza del criterio rawlsiano rispetto alle disuguaglianze che interessano lapopolazione (dopo che, comunque, si sia tutelato il benessere dell'individuo piùpovero). Per renderci conto di ciò, si considerino tre stati sociali A, B, C e dueindividui i e j, le cui utilità, riferite a tali stati sono come nella tabella sottostante:

A B C

ui 20 22 19uj 20 30 200

Tabella 4.1:

L'allocazione A è quella preferita secondo l'egualitarismo (poichè è l'unica cheprevede un'uguale distribuzione delle utilità); l'allocazione C è quella preferita

76

Page 83: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

secondo l'utilitarismo (la somma delle utilità è maggiore in C rispetto ad A e B);la funzione del benessere sociale di Rawls, invece, è massimizzata dall'allocazioneB, in cui il più povero ha il più alto indice di utilità rispetto alle altre allocazioniA e C. Osserviamo che B prevede sia una minore somma delle utilità rispetto a C,ma anche un maggior grado di disuguaglianza rispetto ad A: il criterio di Rawlscorregge l'assoluta indi�erenza rispetto alle questioni distributive, propria dei cri-teri puramente aggregativi come l'utilitarismo, non in nome di un maggior gradodi uguaglianza, ma con una attenzione alle fasce più povere nella distribuzione. Ilcriterio di Rawls, quindi, non mira a raggiungere una politica di redistribuzioneorientata alla riduzione delle disuguaglianze; piuttosto, si pre�ssa di aumentare ilbenessere di chi sta peggio.

4.4 La funzione di benessere sociale di Bergson-

Samuelson

La FBS di Bergson-Samuelson rappresenta la forma piu generale di FBS e puòessere espressa come:

W = W (u1, u2, ..., un)

Pertanto, la FBS di Bergson - Samuelson può asssumere diverse forme, come,ad esempio, quella additiva delle FBS utilitaristiche o moltiplicativa delle FBS diBernoulli - Nash, o quella di Rawls. Generalmente, tale FBS soddisfa le seguentiproprietà:

1. La FBS e de�nita rispetto alle utilità individuali;

2. Le utilità individuali sono confrontabili;

3. E' soddisfatto il criterio paretiano forte;

4. Le preferenze sociali sono convesse.

Grazie a queste proprietà, è possibile costruire una mappa di curve di indi�e-renza convesse (come quelle analizzate). Infatti, la prima proprietà permette dirappresentare la W rispetto al piano u1u2; la seconda consente di de�nire curved'indi�erenza sociali, nel senso che si possa trattare la società come un individuo,capace di confrontare le varie soddisfazioni; la terza, in aggiunta ad altre condi-zioni, assicura la decrescenza delle curve di indi�erenza; la quarta ne stabilisce laconvessità.

In particolare, il fatto che la FBS di Bergson - Samuelson soddis� il criterio pa-

77

Page 84: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

retiano (proprietà 3), sta a signi�care che l'aumento dell'utilità di un soggettoaccresce il benessere sociale, se le utilità degli altri non si riducono. Osserviamo,tuttavia che la FBS di Rawls non soddisfa la proprieta 3 in quanto, secondo Rawls,se aumenta l'utilità di un qualsivoglia individuo (eccetto colui che sta in posizionepeggiore) , il benessere sociale non si accresce.

4.5 Confronto tra criterio di Pareto, FBS utilita-

ristica, FBS rawlsiana

Dati tre stati A, B, C vediamo se e come questi possono essere confrontati eordinati attraverso:

1. Il criterio di Pareto

2. Una FBS utilitaristica

3. Una FBS di Rawls

Si consideri la seguente tabella, in cui sono rappresentati tre stati del mondo A,B, C , gli indici di utilità di tre individui relativi agli stati considerati e la sommadelle utilità degli individui in ognuno di tali stati.

A B C

u1 50 80 80u2 70 80 60u3 90 50 70∑3i=1ui 210 210 210

Tabella 4.2:

Allora possiamo dire:

• con il criterio del Pareto A, B e C sono non confrontabili (sono tutti puntidi ottimo)

• con una FBS utilitaristica: [A ∼ B ∼ C]U , poichè la somma delle utilitàdegli individui è uguale in ognuno degli stati A, B, C

• con una FBS rawlsiana: [C � A ∼ B]R, poichè in C il più povero ha ilpiù alto indice di utilità rispetto alle altre allocazioni A e B, laddove la suautilità è la stessa

Se ci poniamo nel caso generico in cui indichiamo con SC l'insieme dei possibilistati sociali della collettività C, e con P , U ,R gli insiemi dei miglioramenti, rispet-tivamente, nel senso di Pareto, nel senso dell'utilitarismo e nel senso di Rawls,

78

Page 85: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

abbiamo che:

1. La relazione di dominanza nel senso di Pareto implica una relazione didominanza nel senso dell'utilitarismo, ma non vale il contrario, ovvero:

∀A,B ∈ SC, A �P B ⇒ A �U B ma A �U B ; A �P B

Pertanto P⊂ U .

2. La relazione di dominanza nel senso di Pareto non implica una relazione didominanza nel senso di Rawls, nè vale il contrario.

∀A,B ∈ SC, A �P B ; A �R B e A �R B ; A �P B

Tuttavia, i due insiemi P ed R non sono disgiunti, cioè P∩R6=∅

3. La relazione di dominanza nel senso dell'utilitarismo non implica una rela-zione di dominanza nel senso di Rawls, nè vale il contrario.

∀A,B ∈ SC , A �U B ; A �R B e A �R B ; A �U B

I due insiemi U ed R non sono, però, disgiunti, cioè U∩R6=∅

Figura 4.5:

79

Page 86: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Capitolo 5

I Teoremi fondamentali

dell'Economia del Benessere

Con la trattazione delle funzioni di benessere sociale nel capitolo 3 abbiamo con-cluso l'analisi di quella parte di Economia del benessere che si occupa dei varicriteri di scelta sociale e che, quindi, consente di individuare gli obiettivi verso iquali dovrebbe tendere una società. Ci interessiamo, ora, di come le varie istitu-zioni economiche possano intervenire nell'interazione sociale tra gli individui. Leistituzioni economiche considerate saranno, in realtà, soltanto due, ovvero il mer-cato e lo Stato: attraverso i due teoremi fondamentali dell'economia del benesseresi vedrà come l'azione sia del mercato che dello Stato consentano di soddisfareil principio di e�cienza costituito dal criterio di Pareto. Sulla base di opportu-ne ipotesi, i due teoremi fondamentali dell'economia del benessere stabilisconoun legame tra gli esiti di un meccanismo di mercato concorrenziale e i criteri didesiderabilità sociale; ciò che essi a�ermano è l'equivalenza fra equilibrio in unsistema economico di concorrenza perfetta e ottimo paretiano. Dopo questo brevepreambolo, analizziamo i due teoremi separatamente.

Teorema 3. (Primo teorema fondamentale dell'economia del benessere)Ogni allocazione di risorse generata come equilibrio generale di un sistema dimercati concorrenziali costituisce un ottimo paretiano

Il precedente teorema da molti autori viene riformulato nel modo seguente:

In un sistema economico di concorrenza perfetta nel quale vi sia un insieme com-pleto di mercati (esistono tanti mercati per quanti sono i beni che entrano nellefunzioni di utilità individuale e in quelle di produzione), un equilibrio concorren-ziale per tali mercati, se esiste, genera un'allocazione delle risorse e�ciente nelsenso di Pareto (ovvero un ottimo paretiano).

Al �ne di comprendere il signi�cato di tale teorema, rendiamo espliciti i prin-

80

Page 87: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

cipali concetti che in esso vengono chiamati in causa; in particolare, ricordiamocosa s'intende per concorrenza perfetta.

De�nizione 16. (Concorrenza perfetta)La concorrenza perfetta è un modello teorico di mercato le cui caratteristiche sonole seguenti:

• Uniformità o omogeneità dei prodotti (ogni categoria di beni prodotta dal-le imprese e utilizzata dai consumatori ha caratteristiche omogenee, ovverotutte le imprese appartenenti allo stesso settore industriale producono pro-dotti assolutamente identici; non vi è motivo per un acquirente di preferirela merce di un produttore a quella di un altro)

• Ampia numerosità degli operatori (acquirenti e venditori sono così numerosiche, ogni operatore si presenta sul mercato con una quantità di o�erta o diacquisto così limitata, rispetto al totale della merce scambiata, che nessunoè in grado di in�uenzare il prezzo di mercato attraverso variazioni dellapropria quantità o�erta o domandata; il prezzo perciò è unico per tutti glioperatori presenti sul mercato ed essi non possono fare nulla per modicarlo)

• Assenza di intese o accordi tra i soggetti che intervengono nel mercato

• Trasparenza dei mercati (tutti gli operatori hanno una perfetta conoscenzadi ciò che comprano o vendono, delle leggi di trasformazione tecnologicanecessarie alla produzione, dei bisogni dei consumatori, del prezzo e dellequantità scambiate nel mercato)

• Assenza di barriere all'entrata e all'uscita (ogni operatore può trasformarsiin produttore qualora ciò gli appaia conveniente e ogni produttore può usciredal mercato qualora lo ritenga necessario)

• Aggiustamenti in tempi nulli (la dinamica con cui avvengono gli scambi e ledecisioni è talmente rapida che non vi è tempo per ripensamenti; durante taleprocesso, pertanto, le tecnologie, il reddito e le preferenze dei consumatorisono da ritenersi costanti)

Per quanto detto nella precedente de�nizione, in un mercato di concorrenza per-fetta, i consumatori e i produttori non in�uiscono sui prezzi con i propri com-portamenti (sono price-taker); per tale motivo il prezzo per ciascun produttore èvisto come se fosse costante, e le uniche decisioni che il produttore può assumereriguardano la quantità da produrre in relazione al prezzo stabilito dal mercato.Comunque, nella vigenza delle condizioni che si veri�cano in concorrenza perfetta,l'equilibrio del mercato si realizza in corrispondenza di un'uguaglianza fra doman-da e o�erta, in cui l'intera quantità di ogni bene prodotto e immesso sul mercatodai venditori, viene venduta e consumata dagli acquirenti.

81

Page 88: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Al �ne, ora, di fornire un'idea di dimostrazione del primo teorema fondamen-tale, ricordiamo che l'ottimo paretiano in un'economia di produzione e consumosi realizza in tre punti che sono:

1. L'e�ciente allocazione nel consumo dei beni, che si ottiene con l'uguaglianzadel SMS per ogni coppia di beni fra i vari consumatori

2. L'e�ciente allocazione degli inputs produttivi, che richide l'uguguaglianzadei SMST per ogni coppia di input in ogni produzione

3. L'e�cienza generale, che si ottiene quando il SMS per ogni coppia di beni,comune tra tutti i soggetti, è uguale al SMT

Forniamo ora una dimostrazione del primo teorema fondamentale, limitandoci persemplicità ad un economia 2x2x2x2, vedendo che queste tre condizioni risultanoessere veri�cate nell'equilibrio di concorrenza perfetta. Con opportune modi�chela dimostrazione si estende al caso generale. Per una questione di eleganza espo-sitiva riportiamo nuovamente l'enunciato del teorema in questione.

Teorema 3.(Primo teorema fondamentale dell'economia del benessere)Ogni allocazione di risorse generata come equilibrio generale di un sistema dimercati concorrenziali costituisce un ottimo paretiano

Dimostrazione

Ci poniamo, quindi, in una situazione di equilibrio in concorrenza perfetta. Comedetto precedentemente, un sistema di concorrenza perfetta porta ad una sorta dilegge del prezzo unico, per cui il prezzo di ciascun bene è dato ed è costante.Comunque consideriamo, pertanto due beni X ed Y , i cui rispettivi prezzi unicisiano pX e pY , il rapporto tra i prezzi (il cosiddetto prezzo relativo) sarà anch'essounico e pari a pY

pX; inoltre, poichè ciascun consumatore raggiunge la sua massima

utilità nel punto in cui il suo SMS (tra i beni X ed Y nel caso ipotizzato) èuguale al rapporto tra i prezzi di mercato dei due beni, in tale punto il SMS fra idue beni di ogni consumatore sarà pari all'unico rapporto tra i prezzi (dei beni inquestione). Da ciò segue che in questo punto tutti i SMS fra i due beni sarannouguali fra loro per i vari individui. Poichè, quindi, per ogni coppia di beni, ciascunconsumatore massimizza l'utilità eguagliando il saggio marginale di sostituzioneal prezzo relativo, risulta:

SMSiX,Y =pYpX

= SMSjX,Y

comunque si considerino due consumatori i e j e due beni X ed Y . In tal modoresta soddisfatta la condizione 1. di e�cienza nel consumo.

82

Page 89: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Passando a veri�care l'e�cienza nella produzione, anche in questo caso bisognatener conto del fatto che la concorrenza perfetta impone la legge del prezzo unicoper i vari fattori produttivi. Siano X ed Y i due beni sul mercato, per produrrei quali sono utilizzati due fattori, K ed L. Ogni produttore dei beni �nali X edY minimizzerà i suoi costi utilizzando la combinazione produttiva che uguaglia ilSMST tra i due fattori produttivi al rapporto tra i loro rispettivi prezzi. Poichè,però, in concorrenza perfetta, per ciasuno degli input K ed L il prezzo è unico (pKe pL), sarà unico anche il rapporto tra i prezzi dei due inputs; quindi, in equilibrioconcorrenziale, il SMST tra i fattori K ed L nell'industria che produce il bene Xsarà uguale a quello nell'industria che produce il bene Y , ovvero:

SMSTXK,L =pLpK

= SMST YK,L

comunque si considerino due fattori produttivi K ed L e due beni X ed Y . In talmodo resta soddisfatta la condizione 2. di e�cienza nella produzione.In ultimo, sempre usando la legge del prezzo unico, si ha che i consumatori massi-mizzano l'utilità uguagliando il saggio marginale di sostituzione al prezzo relativo,ovvero:

SMSX,Y =pYpX

In concorrenza perfetta le imprese massimizzano il pro�tto uguagliando il costomarginale del bene che producono al prezzo dello stesso bene, ossia se si consideral'impresa che produce il bene X (indicato con CMX il costo marginale del beneX), il suo pro�tto è massimo laddove CMX = pX (analogamente l'impresa cheproduce bene Y massimizza il pro�tto laddove CMY = pY ). Nel punto in cuientrambe le imprese che consideriamo massimizzano il pro�tto, si ha (tenendoconto che il SMT di due beni è uguale al rapporto tra i loro costi marginali):

pYpX

=CMY

CMX

= SMTX,Y

pertanto, all'equilibrio vale che:

SMSX,Y =pYpX

= SMTX,Y

comunque si considerino due beni X ed Y i cui prezzi unici sono, rispettivamentepX e pY . In tal modo resta soddisfatta la condizione 3. di e�cienza generale.Il primo teorema fondamentale risulta così dimostrato per un'economia 2x2x2x2.

Analizziamo, quindi, il signi�cato del primo teorema. Il primo teorema, sta-bilendo l'ottimalità paretiana di qualsiasi equilibrio concorrenziale, fornisce unagiusti�cazione normativa del meccanismo di mercato basata sull'idea di e�cienza;ciò che i consumatori desiderano può essere loro o�erto dalle imprese che operano

83

Page 90: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

in mercati di concorrenza perfetta. Il teorema riprende l'intuizione della manoinvisibile formulata da Adam Smith nel1776: per conseguire l'e�cienza sociale(paretiana) i consumatori e le imprese seguono esclusivamente i propri desiderie i propri obiettivi, ovvero gli egoismi individuali, e, guidati dal meccanismo deiprezzi di mercato, contribuiscono al raggiungimento di un risultato e�ciente perl'intera collettività. Se vale il primo teorema, per raggiungere l'e�cienza non ènecessario alcun intervento da parte dello Stato, ma a tale e�cienza la collettivitàgiunge in modo naturale, come se fosse guidata da una mano invisibile. In realtà,il primo teorema dell'economia del benessere può essere visto come una preci-sazione e un ampliamento del concetto di �mano invisibile�: rispetto alla teoriadella mano invisibile, il primo teorema evidenzia il regime di mercato capace dicondurre all'ottimo, ossia la concorrenza perfetta.

Passiamo a discutere del secondo teorema fondamentale dell'economia del be-nessere.

Teorema 4. (Secondo teorema fondamentale dell'economia del benesse-re)Ogni allocazione delle risorse che costituisce un ottimo paretiano può essere gene-rata mediante un equilibrio generale di un sistema concorrenziale, se viene attuataun'appropriata correzione delle allocazioni iniziali (redistribuzione delle risorse odotazioni iniziali tra gli individui).

Il secondo teorema a�ronta un tema diverso rispetto al primo, e riguarda laquestione della redistribuzione delle risorse da parte dello Stato. Si consideri lacurva dei contratti (nella scatola di Edgeworth) di due individui, i soliti Adam eDanny; ogni punto sulla curva dei contratti è ottimo nel senso di Pareto. Tut-tavia, i diversi punti di ottimo sulla curva dei contratti sono simili dal punto divista dell'e�cienza (data la situazione iniziale) ma sono diversi dal punto di vistadell'equità distributiva, quindi possono essere più meno desiderabili da parte del-la società. Dal primo teorema sappiamo che il mercato concorrenziale, partendoda un dato assetto delle dotazioni iniziali, condurrà il sistema ad una allocazionee�ciente; ovviamente, però, a seconda del punto iniziale (I) si ottengono diversiottimi paretiani (Vedere �gura sotto).

84

Page 91: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 5.1:

Sulla base di tutto ciò, il secondo teorema fondamentale dell'economia del be-nessere a�erma che: qualsiasi allocazione Pareto-e�ciente può essere raggiunta,assumendo date la distribuzione iniziale delle risorse e la libertà di contrattazio-ne tra le parti (che massimizzano la propria utilità). Se vale il primo teorema,lo Stato non deve intervenire nel processo di scambio: è il mercato, attraversoil processo di scambio, a determinare un'allocazione Pareto-e�ciente; nonostanteciò, lo Stato può intervenire nell'allocazione iniziale delle risorse se vuole che ilprocesso di scambio favorisca alcuni individui piuttosto che altri. Quindi, se valeil secondo teorema, lo Stato deve occuparsi quasi esclusivamente di redistribuirele risorse in modo da favorire determinati individui (ad esempio i poveri); perfarlo, si può immaginare che lo Stato operi attraverso una funzione di benesse-re sociale. Ad esempio, la funzione di benessere sociale potrebbe essere scritta così:

W = UAdam + 2UDanny

in questo caso per qualche ragione lo Stato si preoccupa più di Danny: ognivariazione dell'utilità di Danny ha un peso doppio rispetto alle variazioni dell'uti-lità di Adam. E' probabile che, in questo caso, lo Stato sceglierà la distribuzioneiniziale più favorevole a Danny.

Volendo fare un esempio pratico di tutto ciò che si è detto, si osservi la �gurasottostante.

85

Page 92: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 5.2:

Supponiamo che V sia l'allocazione di partenza. Da essa, mediante il liberoscambio, si può raggiungere l'equilibrio paretiano A. Assumiamo che lo Statodesideri invece raggiungere l'allocazione B (da V è impossibile); lo Stato puòmodi�care l'allocazione iniziale da V a V' e lasciare poi che il libero scambio portigli individui nel punto B.

Figura 5.3:

86

Page 93: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Nello spostamento da V a V' Danny riceve un trasferimento mentre Adampaga un'imposta in somma �ssa.

I due teoremi sono di fondamentale importanza perchè consentono di fare un'ana-lisi dei meccanismi di allocazione e ridistribuzione delle risorse. Nonostante ciò,entrambi tali teoremi si basano su condizioni altamente irrealistiche. Il loro limiteprincipale, che ne impedisce l'applicazione alle situazioni reali, è dato dal fatto diconsiderare mercati in concorrenza perfetta. E' un dato di fatto che il modello diconcorrenza perfetta non possa essere un modello di analisi applicabile alla realtàdei mercati, dal momento che le sue ipotesi sono troppo limitative e semplicatrici,oltre che, praticamente, non realizzabili. Gli ulteriori limiti di tali teoremi derivanodal concetto stesso di ottimo paretiano e dall'assunzione da parte di quest'ultimodell'inconfrontabilità delle preferenze e del postulato d'individualismo etico. En-trambi questi aspetti non consentono di considerare la distribuzione del redditocome elemento rilevante per l'ordinamento sociale, oltre che tener conto dei diversifattori di persuasione sulle preferenze degli individui (es: la pubblicità). I limitidi cui abbiamo appena parlato, riguardano entrambi i teoremi. Il primo teoremafondamentale, presenta come suo ulteriore limite la mancata considerazione in es-so degli aspetti distributivi. Una �carenza� attribuibile, invece, esclusivamente alsecondo teorema riguarda la funzione redistributiva dello Stato, che è, poi, la no-vità del secondo teorema rispetto al primo. In pratica, ciò che viene contestato è ilfatto che lo Stato, per redistribuire le risorse, debba conoscere le funzioni d'utilitàdegli individui e le possibilità tecnologiche delle imprese (lo Stato deve conoscereil comportamento del mercato), perchè, se così non fosse, lo Stato non potrebbestabilire i sussidi a favore di alcuni operatori economici e le imposte a danno dialtri. Tutto questo porta, però, ad un paradosso: i due teoremi evidenziano lafunzione allocativa da parte del mercato, mentre, il compito di redistribuzione èa�dato allo Stato; tuttavia se lo Stato è a conoscenza delle reazioni del merca-to, lo Stato stesso può ottenere direttamente l'allocazione �nale desiderata, nonlasciando al mercato alcuna funzione.

87

Page 94: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Capitolo 6

Il problema della disuguaglianza

So�ermiamo, ora, l'attenzione sulla questione della disuguglianza nella distribu-zione delle risorse tra gli individui di una collettività. Abbiamo visto come Pare-to abbia trattato il concetto di e�cienza indipendentemente dal problema delladisuglianza, trascurando l'aspetto dell'equità; tuttavia, nella realtà il grado di di-suguglianza tra le posizioni dei diversi individui, contribuisce in modo notevolesulle scelte e valutazioni sociali. In questo capitolo, analizzeremo particolari or-dinamenti che ci permetteranno di confrontare tra loro le diverse distribuzioni dirisorse; tali ordinamenti si basano sulla disuguaglianza presente in tali distribuzio-ni prese in esame. Svariate possono essere le disuguaglianze che si manifestano tragli individui (nell'istruzione, nel livello del reddito, nei diritti, ecc.), tuttavia ai �nieconomici, la disuguaglianza che andremo a considerare è quella nella distribuzio-ne del reddito. Si tratterà di e�ettuare misurazioni e confronti di disuguaglianzae di benessere fra diverse distribuzioni di reddito. Per semplicità, inoltre, ci silimiterà al solo confronto di distribuzioni con lo stesso numero di individui. Da-te, quindi, due distribuzioni di redditi X e Y , lo scopo è quello di stabilire sela disuguaglianza in X sia maggiore, uguale o minore della disuguaglianza in Y .Analizziamo, a questo punto, alcuni ordinamenti in grado di confrontare le distri-buzioni di reddito attraverso la valutazione della disuguaglianza; considereremoordinamenti parziali di distribuzioni del reddito e ordinamenti completi.

6.1 Ordinamenti parziali di distribuzioni del red-

dito

Gli ordinamenti parziali di distribuzioni del reddito sono quelli in cui non tuttele distribuzioni di reddito sono tra loro confrontabili. Gli ordinamenti parziali didistribuzione del reddito che considereremo sono due: l'ordinamento di Lorenz el'ordinamento alla Robin Hood.

88

Page 95: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

6.1.1 Ordinamento di Lorenz

L'ordinamento di Lorenz confronta le diverse distribuzioni di reddito (in terminidi disuguaglianza) basandosi sulla curva di Lorenz.

De�nizione 17. (Curva di Lorenz)Data una generica distribuzione X = (x1, x2,...., xN) in cui i redditi posseduti daN individui siano stati ordinati in maniera crescente: x1≤ x2....≤ xN , la curvadi Lorenz della distribuzione X, indicata con LX è il luogo dei punti di coordinate:

(pi,

1

T

i∑k=1

xk

)dove:i = 1, ..., N ;

pi = iN ;

T =∑N

k=1 xk.

Pertanto la curva di Lorenz LX riferita alla distribuzione di reddito X, indicaper ogni percentuale cumulata di individui più poveri (ovvero pi) , la percentuale

di reddito complessivo da questi posseduta (ovvero 1T∑i

k=1xk).

Facciamo, ora, un esempio per dare l'idea di come sia fatta la curva di Lorenz; peruna distribuzione discreta, come quella che andiamo ora a considerare, si parla dispezzata di Lorenz . Consideriamo la distribuzione di reddito X = (10, 20, 30, 40,60) per una popolazione costituita da cinque individui (N = 5), ognuno dei qua-li, quindi, rappresenta un quinto della popolazione. Nella seguente tabella sonoriportati i diversi parametri necessari per l'individuazione della curva di Lorenz.

i xi pi = iN

∑ik=1 xk LX(pi)=

1T

∑ik=1xk

1 10 0.2 10 0.0622 20 0.4 30 0.1873 30 0.6 60 0.3754 40 0.8 100 0.6255 60 1 160 1

Tabella 6.1:

Al primo 20% della popolazione è attribuito il 6.2% del reddito complessi-vo: dunque, il primo punto della curva di Lorenz è individuato dalle coordinate(0.20,0.062). Al secondo 20% della popolazione è attribuito il 12.5% del reddito.

89

Page 96: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Insieme al primo, essi formano il 40% della popolazione e posseggono il 18.7% delreddito complessivo: il secondo punto della curva di Lorenz sarà, quindi, il puntodi coordinate (0.40; 0.187). Così via �no all'ultimo punto, in corrispondenza delquale vi è il 100% della popolazione che naturalmente possiede il 100% del red-dito totale. Da ciò si ha in maniera evidente che LX(0) = 0 ed LX(1) = 1. Se iredditi fossero distribuiti esattamente in parti uguali, in modo che al 20% dellapopolazione più povera fosse attribuito il 20% del reddito, al 40% il 40% di red-dito, e così via, la curva di Lorenz verrebbe a coincidere con la parte di bisettriceracchiusa nel quadrato di lato uno (di cui è la diagonale), che dunque rappresentala linea della perfetta uguaglianza. Nel caso in cui, invece, tutto il reddito fosseconcentrato nelle mani di un solo individuo, la curva di Lorenz assumerebbe unandamento ad angolo retto, coincidente con l'asse delle ascisse e con il segmentoverticale di destra della �gura sottostante (che riguarda la costruzione della curvadi Lorenz relativa ai dati in Tabella 6.1).

Figura 6.1:

Trascurando, comunque, gli ultimi due casi considerati, che sono delle situazio-ni limite, in generale la curva di Lorenz starà al di sotto della retta di equa ripar-tizione, presentando una inclinazione negativa e un andamento convesso. Quantopiù la curva di Lorenz sarà vicina alla bisettrice, tanto più egualitaria sarà ladistribuzione. Quanto più se ne distanzierà, tanto maggiore sarà la disuguaglianza.

90

Page 97: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 6.2:

Possiamo, ora, analizzare l'ordinamento di Lorenz, parlando del concetto didominananza nel senso di Lorenz.

De�nizione 18. (Dominanza nel senso di Lorenz)Date due distribuzioni di reddito X e Y, diremo che la disuguaglianza in Y è minoredella disuguaglianza in X in base al criterio di Lorenz, quindi che Y domina Xnel senso di Lorenz, se e solo se la curva di Lorenz di Y giace sempre al di sopradella curva di Lorenz di X.

Figura 6.3:

In termini analitici la precedente de�nizione può essere data dicendo che:

91

Page 98: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Date due distribuzioni X e Y , Y domina X nel senso di Lorenz (Y �L X)se e solo se

∑ik=1 yk∑Nk=1 yk

>

∑ik=1 xk∑Nk=1 xk

(#)

per ogni i = 1, ... ,N e LX 6= LY .

L'ordinamento di Lorenz è transitivo ma non completo. Infatti, nel caso in cuile curve di Lorenz relative a due distribuzioni di reddito s'intersechino tra loro(Vedere �gura sotto), il confronto rimane indeterminato: le due distribuzioni sononon confrontabili in base al criterio di Lorenz. Pertanto l'ordinamento di Lorenzè un ordinamento parziale.

Figura 6.4:

L'ordinamento di Lorenz soddisfa il principio dell'invarianza alla scala: se tuttii redditi in una distribuzione sono moltiplicati per una stessa costante positiva k,la curva di Lorenz non cambia. Ovvero, se consideriamo, ad esempio, le duedistribuzioni X = (10, 20, 30, 40, 60, 140) ed Y = (10k, 20k, 30k, 40k, 60k, 140k)dove k > 0, le curve di Lorenz relative alle distribuzioni X e Y coincidono; bastavedere che è veri�cata l'uguaglianza nella relazione (#). La stessa curva di Lorenzpuò quindi rappresentare due diverse distribuzioni del reddito.

6.1.2 Ordinamento alla Robin Hood

L'ordinamento alla Robin Hood si basa sui concetti di trasferimento alla RobinHood e dominanza di Robin Hood.

92

Page 99: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

De�nizione 19. (Trasferimento alla Robin Hood)Un trasferimento alla Robin Hood è un passaggio di reddito da un individuo piùricco a uno più povero, che lasci inalterata la posizione relativa dei due individui(ovvero tra i due colui che prima era il più povero resta il più povero e colui chetra i due era il più ricco resta il più ricco).

La precedente de�nizione può essere rivisitata in termini matematici:

Data una distribuzione dei redditi X, un trasferimento pari a δ> 0 fra due indivi-dui j e k con xj6 xk è un trasferimento alla Robin Hood se la nuova distribuzioneX' che si ottiene è tale che:

1. xi = x′i per ogni i 6= j, k (ossia il reddito degli individui non coinvolti neltrasferimento resta lo stesso)

2. xj + δ = x′j (il reddito dell'individuo j dopo il trasferimento è pari al vecchioreddito sommato δ )

3. xk− δ = x′k(il reddito dell'individuo k dopo il trasferimento è pari al vecchioreddito meno δ)

4. x′j 6 x′k (dopo il trasferimento il reddito di j rimane inferiore o uguale aquello di k)

Notiamo, quindi, che un trasferimento alla Robin Hood coinvolge solo due indi-vidui ed è un trasferimento �ceteris paribus� (ovvero un trasferimento che lasciainvariati i redditi degli altri individui).

Principio di Robin Hood Il trasferimento di una unità di reddito da una per-sona più ricca ad una più povera, che lasci invariate le posizioni relative, riduceil grado di disuguaglianza nella distribuzione.

Il principio di Robin Hood viene utilizzato per de�nire il concetto di dominanzaalla Robin Hood, sul quale si basa l'ordinamento omonimo.

De�nizione 20. (Dominanza alla Robin Hood)Date due distribuzioni X ed Y con la stessa media (µX = µY ) se Y può essereottenuta da X mediante una sequenza di trasferimenti alla Robin Hood, allora Xè più ineguale di Y e si dice che Y domina X nel senso di Robin Hood:

Y �R.H. X

L'ordinamento alla Robin Hood è transitivo ma non completo. Si noti che per

93

Page 100: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

poter confrontare due diverse distribuzioni di reddito in base al criterio di RobinHood è necessario che queste abbiano medie eguali: infatti, non è possibile modi-�care la media (o il reddito totale) di una distribuzione attraverso una sequenzadi interventi di pura redistribuzione come i trasferimenti alla Robin Hood. Duedistribuzioni con media diversa sono non confrontabili in base al criterio di RobinHood. Vediamo, ora, come applicare il concetto di dominanaza alla Robin Hoodad un esempio pratico: nella seguente tabella sono riportate tre distribuzioni direddito X, Y e Z relative a cinque individui.

i X Y Z

1 4 5 52 5 5 63 7 8 64 11 10 95 13 12 14

Tabella 6.2:

In base all'ordinamento alla Robin Hood, la distribuzione X è più ineguale del-la distribuzione Y : infatti, quest'ultima si può ottenere daX mediante la sequenzadi trasferimenti alla Robin Hood riportata nella Tabella 8. Nessun confronto puòessere fatto, però, tra X e Z e nemmeno tra Y e Z in quanto non esiste alcunasequenza di trasferimenti che ci permetta di derivare la seconda dalle prime.

X 7→ X ′ 7→ X ′′ 7→ X ′′′ 7→ Y

4 4 4 4 55 5 5 6 57 7 9 8 811 12 10 10 1013 12 12 12 12

Tabella 6.3:

E' possibile dimostrare che, date due generiche distribuzioni di redditoX ed Y ,se Y domina X nel senso di Robin Hood, allora Y domina X nel senso di Lorenz.Non vale il contrario. Vediamo, attraverso un esempio, come la dominanza di Lo-renz non implichi la dominanza alla Robin Hood. Consideriamo la distribuzionedi reddito X = (20, 30, 40), ed a tale distribuzione si applichi un trasferimento dicinque unità di reddito dall'individuo più ricco a quello più povero, ottenendo cosìla distribuzione Y = (15, 20, 25) : Y domina X in base al criterio di Robin Hood,cioè Y �R.H. X, perciò da quanto detto in precedenza, segue che Y domina X an-che secondo il criterio di Lorenz, ovvero Y �L X. Se moltiplichiamo tutti i redditidi Y per una costante k, si ottiene una nuova distribuzione Z = (15k, 20k, 25k)

94

Page 101: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

la quale, in base alla proprietà di invarianza alla scala, risulta essere indi�erentealla distribuzione Y secondo il criterio di Lorenz. Qindi si ha che:

• Y �L X

• Z ∼L Y

Poichè, ora, l'ordinamento di Lorenz è un ordinamento transitivo, segue che Z �LX; osserviamo, però, che le distribuzioni Z ed X hanno media diversa, dunquenon sono confrontabili in base all'ordinamento di Robin Hood. Così, abbiamodimostrato che la dominanza di Lorenz non implica la dominanza alla RobinHood.

6.2 Ulteriori risultati su ordinamenti di Lorenz e

Robin Hood

Abbiamo introdotto due ordinamenti, entrambi parziali, di disuguaglianza chesono:

1. Ordinamento di Lorenz: date due distribuzioni X ed Y , Y �L X se e solose LY (pi) ≥ LX(pi) per ogni pi = i

Ncon i = 1, 2, ..., N.

2. Ordinamento di Robin Hood: date due distribuzioni X ed Y, Y �R.H. X se esolo se Y può essere ottenuto da X mediante una sequenza di trasferimentialla Robin Hood.

Precedentemente si è discusso del criterio di scelta sociale basato sulla funzione dibenessere sociale utilitaristica. In base a tale criterio, date due distribuzioni dellerisorse X ed Y , Y sarà preferito ad X in senso utilitaristico se e solo se la sommadelle utilità individuali in Y è maggiore della somma delle utilità individuali in X, ovvero, in simboli:

Y �U X ⇔N∑i=1

U(yi) >N∑i=1

U(xi)

Recentemente gli economisti sono riusciti ad individuare una sorta di legame trala teoria della scelta sociale e la teoria della misurazione della disuguaglianza,giungendo ad a�ermare che:

Date due distribuzioni di reddito X ed Y con media uguale (µX = µY ), le seguentia�ermazioni sono equivalenti:

• Y �L X

95

Page 102: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

• Y �R.H. X

• Y �U X per tutte le funzioni di utilità U crescenti e concave

L'a�ermazione precedente è applicabile, soltanto, a distribuzioni con media uguale(tale risultato è noto col nome di Teorema fondamentale della disuguglianza).

6.2.1 Ordinamento di Lorenz generalizzato

Sebbene il criterio di Lorenz si possa applicare anche a distribuzioni con mediadiversa, il Teorema fondamentale della disuguaglianza ne limita l'applicazione alsolo caso di distribuzioni con media uguale. Tuttavia, nella realtà, spesso si devee�ettuare il confronto tra distribuzioni aventi media diversa. Consideriamo, atal proposito, un criterio che consenta il confronto tra distribuzioni con mediediverse: il criterio di Lorenz generalizzato. Tale criterio si basa sulla curva diLorenz generalizzata, ottenuta moltiplicando i punti sulla curva di Lorenz per lamedia della distribuzione.

De�nizione 21. (Curva di Lorenz generalizzata)Data una generica distribuzione X = (x1, x2,...., xN) in cui i redditi possedutida N individui siano stati ordinati in maniera crescente: x1≤ x2....≤ xN , lacurva di Lorenz generalizzata della distribuzione X, indicata con GLX è il luogodei punti di coordinate: (

pi,1

N

i∑k=1

xk

)dove:i = 1,..., N ;

pi=iN

Da ciò, la curva di Lorenz generalizzata GLX riferita alla distribuzione di red-dito X, indica per ogni percentuale cumulata di individui più poveri (ovvero pi), la percentuale di reddito complessivo da questi posseduta moltiplicata per il

reddito medio della distribuzione (ovvero 1N

∑ik=1 xk). E' evidente come le

curve di Lorenz generalizzate siano ottenute dal prodotto dei punti sulle normalicurve di Lorenz per la media della distribuzione. Infatti, ricordando che, data una

distribuzione X, la sua media è µX = TN (dove T =

∑Nk=1 xk) e che per ogni

i = 1, ..., N , LX(pi) = 1T

∑ik=1 xk , otteniamo

GLX(pi) =T

N

1

T

i∑k=1

xk =1

N

i∑k=1

xk

96

Page 103: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Abbiamo, quindi, ottenuto che GLX(pi) = TNLX(pi) = µXLX(pi). E' immediato

veri�care che GLX(0) = 0 e GLX(1) = µX (dato che LX(0) = 0 e LX(1) = 1)

De�nizione 22. (Dominanza nel senso di Lorenz generalizzato)Date due distribuzioni di reddito X e Y, diremo che Y domina X nel senso diLorenz generalizzato, se e solo se la curva di Lorenz generalizzata di Y giacesempre al di sopra della curva di Lorenz generalizzata di X.

Figura 6.5:

In termini analitici la precedente de�nizione può essere data dicendo che:

Date due distribuzioni X e Y , Y domina X nel senso di Lorenz generalizzato(Y �GL X) se e solo se

1

N

i∑k=1

yk >1

N

i∑k=1

xk

per ogni i = 1, ... ,N e GLX 6= GLY .

L'ordinamento di Lorenz generalizzato, si basa sul concetto di dominananza nelsenso di Lorenz generalizzato; si tratta di un ordinamento incompleto, così comel'ordinamento di Lorenz nella versione semplice (due distribuzioni le cui curve diLorenz generalizzate s'intersechino non sono confrontabili). Nel caso particola-re di due distribuzioni con media uguale, l'ordinamento di Lorenz generalizzatocoincide con l'ordinamento di Lorenz. A di�erenza dell'ordinamento di Lorenz,che è un puro ordinamento di disuguaglianza, il criterio di Lorenz generalizzato

97

Page 104: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

ri�ette, anche, considerazioni dal punto di vista dell'equità. A veri�ca di quantodetto, si consideri la distribuzione X = (20, 30) e, ad esempio, venga aumentato ilreddito dell'individuo più ricco, in modo da ottenere la distribuzione Y = (20, 40);pur essendo aumentato il grado di disuguaglianza (cosa che può essere confutataosservando che X domina Y in base al criterio di Lorenz), la curva di Lorenzgeneralizzata di Y è al di sopra della rispettiva curva di X, dunque Y �GL X.Quanto fatto evidenzia che nel passare da X ad Y l'individuo più ricco migliorala sua situazione lasciando indi�erente il più povero. Si supponga ora di modi�-care la distribuzione Y attraverso un trasferimento alla Robin Hood, in modo daottenere la distribuzione Z = (25, 35); è facile veri�care che Z �GL Y (in questocaso, confrontando distribuzioni con la stessa media, gli ordinamenti di Lorenz edi Lorenz generalizzato coincidono). Quest'ultimo punto evidenzia l'equità del-l'ordinamento di Lorenz generalizzato, dato che la distribuzione Z è più equa di Y .

Gli economisti hanno evidenziato, anche, che l'ordinamento di Lorenz generaliz-zato e l'ordinamento di benessere utilitaristico siano tra loro equivalenti, ovvero:

Date due distribuzioni di reddito X e Y, Y �GL X se solo se Y �U X pertutte le funzioni di utilità crescenti e concave

Tale risultato è noto col nome di Teorema di Shorrocks, e mostra la necessitàdi introdurre l'ordinamento di Lorenz generalizzato; a di�erenza di quanto accadecon il Teorema fondamentale della disuguaglianza, non si richiede l'uguaglianzadelle medie.

6.3 Ordinamenti completi di distribuzioni del red-

dito

Finora abbiamo parlato di ordinamenti parziali di disuguaglianza: ordinamentodi Lorenz, di Robin Hood, di Lorenz generalizzato. In ognuno di questi, il con-fronto tra distribuzioni non è sempre possibile. Un modo alternativo di e�ettuareconfronti tra diverse distribuzioni è dato dall'utilizzo di indici di disuguaglianza.

De�nizione 23. (Indice di disuguaglianza)Un indice di disuguaglianza è una funzione che assegna ad ogni distribuzione direddito un numero reale

Se, quindi, X è un'assegnata distribuzione di reddito e viene dato un indice I,I(X) rappresenta il livello di disuguaglianza nella distribuzione X in riferimen-to all'indice I. A questo punto, diremo che date due distribuzioni X ed Y , ladistribuzione X è più disuguale della distribuzione Y se I(X) > I(Y ). Poichèi numeri sono sempre confrontabili, non si veri�cano mai casi di non confron-tabilità tra distribuzioni, pertanto il conseguente ordinamento risulta essere un

98

Page 105: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

ordinamento completo. Nonostante tutto, a causa della molteplicità degli indicidi disuguaglianza, può succedere che due di�erenti indici, nel confronto tra duedistribuzioni, forniscano due risposte diverse; questo vuol dire che date due distri-buzioni di reddito X ed Y , e due diversi indici di disuguaglianza I1 e I2, è possibileche si abbia I1(X) > I1(Y ) e I2(X) < I2(Y ). Il motivo per cui ciò accade è che idi�erenti indici, solitamente, so�ermano la loro attenzione su aspetti diversi delladisuguaglianza: non tutti gli indici si interessano alla disuguaglianza riguardantei livelli di reddito. Nel nostro caso, in cui l'aspetto rilevante è il reddito, si trat-ta di scegliere l'indice che meglio descrive la disuguaglianza nelle distribuzioni direddito.Si dimostra che è possibile individuare un insieme S di indici di disuguaglianza,basati su una serie di proprietà desiderabili, tra le quali il principio di invarianzaalla scala e il principio del trasferimento alla Robin Hood, in modo da ottenereil seguente risultato: date due generiche distribuzioni X ed Y , X domina Y inbase all'ordinamento di Lorenz se e solo se I(X) < I(Y ) per tutti gli indici Iappartenenti alla famiglia S. Gli indici della famiglia S sono chiamati indici con-sistenti con l'ordinamento di Lorenz. Analizziamo, ora, due dei principali indicidi disuguaglianza: il coe�ciente di Gini e l'indice di Atkinson-Kolm-Sen.

6.3.1 Il coe�ciente di Gini

Considerata una certa distribuzione di reddito X, il coe�ciente di Gini misuradi quanto la curva di Lorenz relativa a tale distribuzione �si discosta� dalla lineadella perfetta uguaglianza (la bisettrice). Il coe�ciente di Gini, indicato con G ède�nito come il rapporto fra l'area compresa tra la linea di perfetta uguaglianza ela curva di Lorenz (A) e l'area totale sotto la linea di perfetta uguaglianza (A+B),ovvero:

G =A

A+B(##)

99

Page 106: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Figura 6.6:

Si osservi che l'area A + B rappresenta l'area di un triangolo avente base edaltezza uguali ad 1, quindi A + B = 1

2. Da ciò, si ha anche, sostituendo nella

precedente espressione (##):

G =A

A+B= 2A = 1− 2B

Tutto ciò vale nel caso continuo. Notiamo che il coe�ciente di Gini è un numerocompreso tra 0 ed 1: G è uguale a 0 nel caso di perfetta uguaglianza, infatti,l'area A, in questo caso, è nulla; G è uguale ad 1 nel caso in cui tutto il reddito siaconcentrato nelle mani di un solo individuo, infatti, in questo caso l'area B è nul-la. In generale, valori bassi del coe�ciente indicano una distribuzione abbastanzaomogenea mentre valori alti dello stesso coe�ciente indicano una distribuzionepiù diseguale: pertanto, maggiore è il valore assunto dal coe�ciente di Gini, mag-giore è il grado di disuguaglianza nella distribuzione considerata. Nel discreto, ilcoe�ciente di Gini riferito ad una distribuzione X , relativa ad una popolazionedi N individui, è dato da:

G(X) = 1 +1

N− 2

∑Ni=1(N − i+ 1)xi

N2µ=

1

2N2µ

N∑i=1

N∑j=1

| xi − xj |

laddove µ è la media della distribuzione X.

100

Page 107: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

6.3.2 L'indice di Atkinson-Kolm-Sen

Data una certa distribuzione X, l'indice di Atkinson-Kolm-Sen analizza il proble-ma della disuguaglianza in tale distribuzione sotto il pro�lo del benessere sociale,assumendo, in un certo senso, che la distribuzione dei redditi determini diretta-mente il livello di benessere sociale. In sostanza, l'indice di Atkinson-Kolm-Senmisura all'interno di una data distribuzione, la riduzione percentuale del reddi-to complessivo che potrebbe essere sopportata, a favore di una redistribuzioneegualitaria del reddito rimanente, senza ridurre il benessere sociale. Pertanto,tale indice, si basa su considerazioni del seguente tipo: un reddito totale inferioredel 30% (ad esempio) a quello attuale, se fosse distribuito in maniera egualitaria,darebbe lo stesso livello di benessere del reddito attuale, che, pur essendo piùelevato, risulta distribuito in maniera disuguale. In termini matematici, l'indicedi Atkinson-Kolm-Sen viene daterminato a partire da una funzione di benesseresociale. Data una certa distribuzione Xα = (xα1 , x

α2 ), la cui media è µ =

xα1 +xα22

,supponiamo che la funzione di benessere sociale assegnata sia de�nita diretta-mente sui redditi: W (Xα) = W (xα1 , x

α2 ). Per la costruzione esplicita dell'indice

di Atkinson-Kolm-Sen facciamo riferimento alla �gura sottostante.

Figura 6.7:

Rendiamo noti gli oggetti che compaiono nella precedente �gura:

• W* è una curva di indi�erenza sociale passante per la distribuzione Xα;

• la retta DE con pendenza -1 è la retta x1+x2 = 2µ ; è una retta passante perXα e individua tutte le possibili distribuzioni aventi la stessa media delladistribuzione Xα ;

• la retta bisettrice OC individua tutte le possibili distribuzioni di redditoperfettamente egualitarie;

101

Page 108: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

• l'intersezione di OC con la retta DE, indica, tra le distribuzioni egualitarie,quella con la stessa media della distribuzione Xα;

• l'intersezione di OC con la curva di indi�erenza sociale W* indica, tra ledistribuzioni egualitarie, quella che garantisce lo stesso livello di benesseresociale della distribuzione Xα

Un'importante de�nizione, che ci serve per il proseguo, è la seguente.

De�nizione 24. (Reddito Equivalente Egualmente Distribuito)Il Reddito Equivalente Egualmente Distribuito, per brevità indicato con la siglaREED, di una distribuzione Xα = (xα1 , x

α2 ) è quell'ammontare di reddito xEED

che, se dato a ciascun individuo, dà luogo ad una nuova distribuzione egualitariae socialmente indi�erente ad Xα.

In termini analitici, la precedente de�nizione può essere ripresa dicendo che:

Il Reddito Equivalente Egualmente Distribuito (REED) è quel livello di redditoxEED che soddisfa la seguente equazione:

W (xα1 , xα2 ) = W (xEED, xEED)

Ovviamente, la nuova distribuzione (xEED, xEED) è una distribuzione egualitaria,dato che ciascuno dei due individui possiede lo stesso reddito. Gra�camente questanuova distribuzione è rappresentata dal punto A di intersezione tra la curva diindi�erenza sociale e la bisettrice OC.A questo punto, prendiamo in considerazione le grandezze che servono per lade�nizione dell'indice di Atkinson-Kolm-Sen:

• Nµ è il reddito complessivo della distribuzione di partenza (distribuzioneattuale) Xα

• Nx* è il reddito complessivo della distribuzione egualitaria socialmenteindi�erente alla distribuzione Xα

• (Nµ − NxEED) = N(µ − xEED) rappresenta il costo della disuguaglianza,ovvero l'ammontare di reddito cui si potrebbe rinunciare al �ne di ottenereuna distribuzione egualitaria

Se facciamo il rapporto tra il costo della disuguaglianza N(µ− xEED) e il redditocomplessivo della distribuzione di partenza Nµ otteniamo l'indice di disuguaglian-za di Atkinson-Kolm-Sen, che è dato da:

IAKS(Xα) =N(µ− xEED)

Nµ=µ− xEED

µ= 1− xEED

µ

102

Page 109: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Pertanto, l'indice di Atkinson- Kolm-Sen evidenzia la percentuale di reddito totalealla quale si sarebbe disposti a rinunciare al �ne di ottenere una distribuzioneegualitaria. IAKS(Xα), dunque, indica la perdita di benessere sociale imputabilealla disuguaglianza, ovvero l'ine�cienza della disuguaglianza; quanto maggioreè il grado di disuguaglianza della distribuzione, tanto minore sarà il REED emaggiore sarà il valore dell'indice.

103

Page 110: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Bibliogra�a

[1] A.C. Pigou �Economia del benessere�Unione tipogra�ca - Editrice Torino 1934

[2] V. Pareto �Corso di economia politica�Boringhieri Torino, 1948

[3] R.G. Allen �Analisi matematica per economisti�Istituto Editoriale Cisalpino, Milano 1972

[4] V. Pareto �Manuale di economia politica�Cedam Padova, 1974

[5] Je�rey M. Perlo� �Microeconomia�Apogeo 2007

[6] Acocella N. �Economia del benessere�Carrocci editore 2008

Sitogra�a

1) http://www.dse.uniba.it/Corsi/docenti/Chiuri/EconomiaPubblica_dispensa.pdf

2) http://www.emilianobrancaccio.it/wp-content/uploads/2012/03/appunti-di-economia-politica-2012.pdf

3) http://www.luciaparisio.it/materiale%20didattico/Corsi/ScFin/Economia%20del%20benessere.pdf

4) http://www.giurisprudenza.unimib.it/DATA/insegnamenti%5C8852%5Cmateriale/9teoremi%20fondamentali20economia%20del%20benessere.pdf

5) http://it.wikiversity.org/wiki/Teoria_generale_della_scelta_e_delle_preferenze

104

Page 111: I TEOREMI FONDAMENTALI DELL'ECONOMIA DEL BENESSEREguzzardi.it/Materiale_Didattico/Materiale_Economia_file/filecon... · CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA esiT di Laurea I TEOREMI FONDAMENTALI

Ringraziamenti

Alla �ne di questo mio percorso di studi (che spero si sia concluso nel miglioredei modi), sono innumerevoli le persone che devo ringraziare. In primo luogo,ringrazio i miei genitori (che per me sono i migliori che ci possano essere) peri loro sacri�ci e per il fatto di aver condiviso la mia ansia prima di ogni esame.Ringrazio mio fratello Giuseppe, zia Amelia, zio Enzo, per la pazienza che hannonei miei confronti (quasi alla pari dei miei genitori). Ringrazio zia Maria e i mieiNonni, che sono gli Angeli che da Lassù mi proteggono. Ringrazio zia Dora, zioPier Carlo e i cugini Giuseppe e Francesco. Ringrazio il mio coinquilino Giusep-pe e l'altro quasi coinquilino Luigi, che durante gli anni di università mi hannotrattato come un loro fratello. Ringrazio tutti i miei colleghi (Angelo, Antonio,Bruno, Ciccio, Emiliano, Giacomo, Giovanni, Gliuiss, Luigi, Marco Coppoletti,Marco Perrone, Nick, Nicola, Paolo) e le mie colleghe di università (AlessandraAlgieri, Alessandra Iaccino, Alessandra Muto, Annarita, Angela, Caterina, Eleo-nora, Elisa, Federica, Francesca, Giada, Giovanna, Ilaria, Ivana, Letizia, Maria,Paola, Roberta, Rosita, Serena, Valeria). Ringrazio tutti i miei amici e le mieamiche (Adriano, compagni e compagne di classe dalle elementari al liceo, Ales-sandro, in particolare). Ringrazio il prof. Renato Guzzardi, relatore di questatesi, per la sua gentilezza e disponibilità. Ringrazio tutti i professori (della scuolaelementare, della scuola media, del liceo, dell'università), di cui ho avuto modo diseguire le lezioni, poichè da ognuno di essi ho avuto la possibilità di apprenderequalcosa. In generale, ringrazio tutti coloro che mi conoscono, perchè credo mivogliano bene (almeno un pò) come, d'altro canto, io voglio bene a loro.

105