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I poliedri regolari

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO

I poliedri regolari, comunemente chiamati solidi platonici (inonore del filosofo greco Platone), già dal nome tradisconol’importanza che hanno avuto nella storia del pensieroscientifico e artistico. La loro regolarità e il loro numerolimitato ha indotto a identificarli come concreta manifesta-zione degli ideali di perfezione e di armonia che venivanoperseguiti da pensatori e artisti di diverse epoche.

• I poliedri regolari nella geometriaI poliedri regolari sono solidi delimitati da poligoni regolarie da angoloidi uguali.

Mentre nel piano esistono infiniti poligoni regolari, ilnumero dei poliedri regolari è molto ristretto; ne esistonosolo cinque: il tetraedro, l’esaedro (cubo), l’ottaedro, il dodecaedroe l’icosaedro. Le loro facce hanno forma di triangolo equilatero,quadrato e pentagono regolare.

Sfere concentriche possono essere inscritte o circoscrittesui poliedri regolari. Il centro delle sfere è detto centro delpoliedro.

Tra loro esistono legami di dualità,cioè da un solido si può ottenere il suoduale sostituendo ogni suo elementocon l’elemento duale dell’altro solido.Per esempio sono duali il cubo el’ottaedro, perché i centri delle facce delcubo sono i vertici di un ottaedro eviceversa.

Molte altre relazioni sono state sco-perte tra questi solidi; per esempio inun cubo le diagonali per quattro verticiopposti sono gli spigoli di un tetraedro.

Questi solidi platonici però dovreb-bero essere definiti come poliedri re-golari convessi. Quando si affacciò conKeplero la possibilità di ottenere altripoliedri basati su poligoni regolariconcavo-convessi, ne sono stati definiti altri quattro, dettipoliedri di Keplero-Poinsot. Essi sono determinati dalla com-penetrazione di facce a forma di poligoni regolari stellati.

Essi sono:• i poliedri di Keplero,cioè il piccolo dodecaedrostellato che ha comefacce 12 pentagonistellati, con 12 vertici e30 spigoli, e il grandedodecaedro stellato cheha ancora come facce12 pentagoni stellati,con 20 vertici e 30 spi-goli;• i poliedri di Poinsot,cioè il grande dodecaedro

che ha 12 facce a forma dipentagoni regolari, con 12vertici e 30 spigoli, e ilgrande icosaedro ha che ha20 facce a forma di triangoliequilateri, con 12 vertici e30 spigoli.In sostanza questi solidistellati nascono aggiun-gendo o sottraendo delleparticolari piramidi sullefacce di un dodecaedro oicosaedro regolare.

• I poliedri regolari nel pensiero scientificoCome si è già accennato al nome di Platone vengono associatii poliedri regolari; egli infatti lasciò in suo dialogo, il Timeo,una accurata descrizione degli stessi. La loro scoperta èattribuita all’ambiente pitagorico, che lasciò profonde traccenel pensiero di Platone, tanto da suscitare in luiun’ammirazione entusiastica nei confronti di questi solidiperfettissimi. Nella sua visione cosmologica quattro di essi(tetraedro, ottaedro, icosaedro, esaedro) furono associatirispettivamente agli elementi naturali (fuoco, aria, acqua,terra), mentre del quinto (dodecaedro) «Dio se ne giovò perdecorare l’universo». Questo ruolo speciale del dodecaedropotrebbe essere attribuito al culto pitagorico per questa figuraderivata dal pentagono regolare (v. quanto detto nella schedasulla Sezione aurea).

La scienza antica definì le proprietà geometriche dei solidiregolari nei trattati di Teeteto (V sec. a.C.), amico di Platone,e in quelli di Euclide (IV se. a.C.).

Le suggestioni mistiche che questi solidi evocavano ebberoun forte risveglio con il ritorno agli studi degli antichi nelperiodo rinascimentale. Nelle opere di Piero della Francesca(1412 -1492) e del suo amico Luca Pacioli (1445-1514) essisono al centro di trattazioni specifiche. Al trattato De divinaproportione di Pacioli sono allegati splendidi disegni di Leo-nardo da Vinci sui solidi platonici (pieni, vuoti ed elevati). Lapresenza di solidi regolari elevati (cioè con l’aggiunta dipiramidi regolari sulle facce) potrebbe indurre a pensare chegià fossero stati definitii solidi regolari stellati;i disegni smentisconochiaramente questaipotesi.

Con Giovanni Keplero(1571-1630), entusiastaammiratore della divinabellezza di questi polie-dri, si rinnovò la misticariproposizione di questisolidi come simbolidell’armonia divina deicorpi celesti. Ma egli ebbeanche il grande merito didefinire altri due solidiregolari, non più con-vessi, ma concavo-convessi,dischiudendo un oriz-zonte innovativo di ri-cerca.

glossarioAngoloide: parte di spazio delimitato da tre o più facce conun vertice comune. L’angoloide è l’analogo tridimensionale degliangoli piani.

Poliedro convesso: poliedro tale che tutti i segmenti condottida due vertici siano sempre interni al solido.

Piccolo dodecaedro stellato di Keplero.

Dodecaedro di Poinsot.

Duodecedron elevatus vacuus di Leonardo daVinci (1498), dal trattato De divina proportionedi Luca Pacioli.

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SCHEDA DI APPROFONDIMENTO

«La principale ragione per studiare i poliedri regolari è ancorala stessa che al tempo dei Pitagorici, cioè che le loro formesimmetriche interessano il nostro senso artistico».

H. S. M. COXETER

Il poliedro M2 diLucio Saffaro(1985).

Icosaedro di Wenzel Jamnitzer (1568), dal suo trattatoPerspectiva corporum regularium.

L’ultima Cena di Salvador Dalì (1955). Sulla scena, intrisa di forte simbolismo,fluttua un enorme dodecaedro regolare.

Ordine e caos di M. C. Escher (1950).

Tarsia marmorea di Paolo Uccello (1425-1430), Basilica di S. Marco,Venezia .

Sensibile al richiamo dell’armonia e della geometria, ilgeniale disegnatore M. C. Escher si cimentò nella rappresen-tazione dei solidi platonici e stellati, in merito ai quali cosìsi esprime: «Essi simbolizzano il desiderio di armonia e diordine dell’uomo, ma nello stesso tempo la loro perfezionedesta in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolarinon sono invenzioni della mente umana, perché esistevanomolto prima che l’uomo comparisse sulla scena...».

Ancora oggi in molti artisti, spesso supportati dalla graficacomputerizzata, il fascino di queste forme rivive in opere distupefacente bellezza.

Nel 1810 il matematico francese Louis Poinsot proposealtri due poliedri stellati regolari. Da allora gli studi scientificisui solidi regolari hanno conosciuto un continuo sviluppo,attualmente sostenuto dalla potenza degli strumenti infor-matici.

• I poliedri regolari nell’arteIl carico simbolico di armonia e perfezione implicito neipoliedri regolari ha trovato rispondenza negli artisti piùinclini alla ricerca di questi ideali. Artisti rinascimentali,quali Leonardo e Piero della Francesca, si sono cimentatinello studio e nella rappresentazione di questi solidi; nel casodi Leonardo si è addirittura rasentata la consapevole scopertadei poliedri stellati regolari. Un altro grande pittore delRinascimento, Paolo Uccello (1397-1475), provetto disegnatoredi solidi complessi e fortemente appassionato di geometria,ci ha lasciato una tarsia marmorea in S. Marco a Venezia,che anticipa nettamente la scoperta dei solidi stellati regolarida parte di Keplero. Un altro anticipatore della scoperta diquesti solidi, stavolta quelli di Poinsot, fu il raffinato disegna-tore e orafo tedesco Wenzel Jamnitzer (1508-1585); il suoIcosaedro è lievemente difforme dalla precisa rappresentazionedel solido di Poinsot.

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