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Marco Remiddi Andrea Pitzalis Dinamica del Volo Esercitazione #1

Nel testo viene chiesto di determinare la traiettoria di volo di un aliante con il seguente modello semplificato non dimensionale. 𝑑𝑈𝑑𝑇 = 𝐴(𝑈! +𝑊!)!/!(𝑊 − 𝐵𝑈) 𝑑𝑊𝑑𝑇 = 1− 𝐴(𝑈! +𝑊!)!/!(𝑈 + 𝐵𝑊)

(1) 𝑑𝑋𝑑𝑇 = 𝑈 𝑑𝑍𝑑𝑇 =𝑊 con le seguenti condizioni iniziali: 𝑋(0) = 𝑍(0) = 0,𝑈(0) = 𝑐𝑜𝑠𝛾!,𝑊(0) = −𝑠𝑖𝑛𝛾! con A e B coefficienti costanti. Avendo scelto un sistema di riferimento con l'asse x positivo nella direzione del moto e l'asse z positivo verso il basso, scrivo le equazioni del moto in tale riferimento:

𝑚𝑑𝑢𝑑𝑡 = −𝐷𝑐𝑜𝑠𝛾 − 𝐿𝑠𝑖𝑛𝛾

(2)

𝑚𝑑𝑤𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝐿𝑐𝑜𝑠𝛾 + 𝐷𝑠𝑖𝑛𝛾

dove L è la portanza e D la resistenza, e u e w sono le componenti dimensionali della velocità lungo x e z, rispettivamente. Si suppongono costanti durante il volo 𝐶! e 𝐶! . Parametrizzando con variabili adimensionali, espresse dalle seguenti relazioni:

𝑢 = 𝑈𝑣!; 𝑤 =𝑊𝑣!; 𝑣 = 𝑉𝑣!; 𝑡 = 𝑇𝑣!/𝑔; 𝑥 = 𝑋𝑣!!/𝑔; 𝑧 = 𝑍𝑣!!/𝑔 in cui: -‐𝑣! è la velocità dimensionale iniziale assoluta presa come velocità di riferimento; -‐U e W sono le componenti non dimensionali della velocità assoluta non dimensionale V, espressa da 𝑉 = (𝑈! +𝑊!)!/!; -‐X e Z sono le componenti adimensionali della traiettoria. e sostituendole nell'equazioni del moto (2) si ottiene il sistema (1), in cui A e B sono delle costanti adimensionali date da:

𝐴 =12𝜌𝑣!!𝑆𝐶!𝑚𝑔 ; 𝐵 =

𝐶!𝐶!

a tali costanti si assegnano i seguenti valori (gruppo #11): 𝐴 = 1.1; 𝐵 = 0.11

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Schema Simulink®

Si è schematizzato il modello in esame utilizzando il software Simulink®, ottenendo il pattern seguente:

Fig. 1: Modello schematizzato con Simulink®

Le variabili di input del sistema sono A, B, U(t) e W(t): queste vengono raccolte nel blocco "vector concatenate" e vanno così a rappresentare le componenti di un vettore di variabili di dimensione 4. Sostituendo tali componenti del vettore nei blocchi che esprimono le prime due equazioni del sistema (1), Simulink® procede ad una doppia integrazione (Runge-‐Kutta al quarto ordine, Δ𝑇 = 20, passo 0.05). Alla fine del processo il programma restituisce le componenti in funzione del tempo di 4 vettori, ovvero X, Z, U, W, che, mediante i blocchi Sink Block Parameters vengono salvati nel WorkSpace di Matlab.

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• Caso 1: 𝛾! = −90° Traiettoria:

Fig. 2: Traiettoria di volo nel piano x-‐z

Fig. 3: Andamenti X e Z in funzione del tempo

La soluzione numerica ottenuta conferma le previsioni teoriche, fornendo un andamento tipico di un fugoide (bassa frequenza e ridotto smorzamento). Caratteristica di questa dinamica è che le variazioni di quota sono legate alla variazione di velocità: difatti, le ipotesi iniziali di 𝐶! e 𝐶! costanti implica che anche l'angolo di attacco si mantenga costante. Osservando (Fig. 3) l'andamento di Z(t) si vede come le oscillazioni vadano smorzandosi nel tempo, fino a ridursi considerevolmente dopo circa 20 secondi. Si è scelto in (Fig. 3) di graficare la traiettoria con l'asse z positivo verso l'alto, in modo da fornire una visione fisica della traiettoria effettiva del velivolo.

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Velocità:

Fig. 4: Andamento nel tempo della velocità assoluta adimensionale V

Fig. 5: Andamento velocità longitudinale U in funzione della velocità verticale W

Come nel caso della traiettoria anche la velocità risponde con una dinamica fugoide, mostrando un andamento oscillatorio con basso smorzamento. In (Fig. 5) si osserva come la velocità longitudinale oscilli per compensare l'oscillazione della velocità verticale W, fino a convergere ad una soluzione stabile per entrambe.

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Fattori di carico:

Fig. 6: Fattore di carico normale e tangenziale in funzione del tempo

L'ultima analisi riguarda il fattore di carico normale, definito come 𝑛! = 𝐿/𝑊! , e il fattore di carico tangenziale, dato da 𝑛! = 𝐷/𝑊! . Dalla definizione della portanza L e della costante A, si può ricavare:

𝑛! = 𝐴𝑣!

𝑣!!= 𝐴

(𝑣!𝑈)! + (𝑣!𝑊)!

𝑣!!= 𝐴(𝑈! +𝑊!)

analogamente, dalla definizione di B si ha:

𝑛! = 𝐴𝐵𝑣!

𝑣!!= 𝐴𝐵

(𝑣!𝑈)! + (𝑣!𝑊)!

𝑣!!= 𝐴𝐵(𝑈! +𝑊!)

L'andamento oscillatorio smorzato, già riscontrato per le velocità e per la traiettoria, si ripete anche per i due fattori di carico sopracitati.

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• Caso 2: 𝛾! = −180° Traiettoria:

Fig. 7: Traiettoria di volo nel piano x-‐z

Fig. 8: Andamenti X e Z in funzione del tempo

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Velocità:

Fig. 9: Andamento nel tempo della velocità assoluta adimensionale V

Fig. 10: Andamento velocità longitudinale U in funzione della velocità verticale W

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Fattori di carico:

Fig. 11: Fattore di carico normale e tangenziale in funzione del tempo

In questo secondo caso (𝛾! = −180°) le oscillazioni mostrano un'ampiezza maggiore, quindi, a fronte di un invariato smorzamento, il tempo necessario affinchè l'oscillazione si riduca in modo sostanziale sarà maggiore. Si osserva in particolare che nei grafici inerenti la traiettoria, il velivolo descrive un tratto del moto in cui la componente longitudinale della traiettoria è negativa: ciò è dovuto alla forte instabilità iniziale. Equivalentemente i valori dei fattori di carico risultano maggiori in modulo, sottolineando come la criticità della manovra imponga forti sollecitazioni alla struttura del velivolo, nonchè ad un eventuale pilota.

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Confronto tra la soluzione numerica e stazionaria (steady state) La soluzione stazionaria si ricava utilizzando il seguente modello semplificato:

𝐿 =𝑊𝑐𝑜𝑠𝛾!! 𝐷 =𝑊𝑠𝑖𝑛𝛾!!

da cui si ottiene 𝑡𝑎𝑛𝛾!! = 𝐷/𝐿 = 1/𝐸 = 𝐵, con 𝐵 = !!

!! che nel caso in esame vale 0.11.

Da ciò si ricava il valore dell'angolo 𝛾!! in condizioni stazionarie, pari a circa 6.28°. Dal sistema precedente, e da quanto scritto sopra, si ricava:

𝑛! !! = 𝐿/𝑊 = 𝐴𝑣!

𝑣!!= 𝑐𝑜𝑠𝛾!!

Da cui 𝑉!! = 𝑐𝑜𝑠𝛾!!/𝐴. Di conseguenza 𝑈!! = 𝑉!!𝑐𝑜𝑠𝛾!!, 𝑊!! = 𝑉!!𝑠𝑖𝑛𝛾!!. Integrando quest'ultime: 𝑋!! = 𝑈!!𝑡!! e 𝑍!! =𝑊!!𝑡!! in cui 𝑡!! = 20 sec è il tempo della simulazione. Infine, l'espressione del fattore di carico tangenziale é: 𝑛! = 𝐵𝑐𝑜𝑠𝛾!! In conclusione, dal confronto dei due medoti risolutivi, si è costruita la seguente tabella:

𝑡∗ = 20𝑠

𝛾! = −90° 𝛾! = 180° Soluzione stazionaria

Soluzione numerica

Variazione percentuale (*)

Soluzione stazionaria

Soluzione numerica

Variazione percentuale (*)

X(𝑡∗) 18.8980 18.2727 -‐3.3086% 18.8980 16.5884 -‐12.2217% Z(𝑡∗) 2.0788 2.5653 23.4052% 2.0788 2.9891 43.7922% U(𝑡∗) 0.9449 0.9255 -‐2.0552% 0.9449 0.9466 0.1788% W(𝑡∗) 0.1039 0.0785 -‐24.5104% 0.1039 0.0482 -‐53.6401% V(𝑡∗) 0.9506 0.9288 -‐2.2932% 0.9506 0.9478 -‐0.2929% 𝑛!(𝑡∗) 0.9940 0.9489 -‐4.5338% 0.9940 0.9882 -‐0.5849% 𝑛!(𝑡∗) 0.1093 0.1044 -‐4.5338% 0.1093 0.1087 -‐0.5849%

(*)Le variazioni percentuali sono riferite alla soluzione stazionaria

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