CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 11 GENNAIO 2013 (A)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritengono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e se ne tracci ilgrafico.

f(x) = exx2 3x+ 2

2. (4 punti) Dire, giustificando le risposte, se sono vere o false le seguenti proposizioni

date le successionian = sinn, bn = 2

n, cn = (1)n

a) la successione an + bn e` regolare

b) la successione bn + cn e` limitata inferiormente,

c) la successione anbn e` monotona decrescente,

d) la successione cnbn e` limitata.

3. (4 punti) Data la funzione f(x) = (|x| 1)ex- studiarne la derivabilita`

- stabilire se in [2, 2] ammette massimo e minimo assoluti ed in caso dei risposta affermativadeterminarli.

4. (4 punti) La funzione f : [0, 1] R definita da f(x) = ln(x3+ 12 ) verifica le ipotesi del teoremadi esistenza degli zeri? Se cio` avviene, possiamo affermare che esiste un unico zero? Infinedeterminare ]0, 1[ tale che f() = 0.

5. (6 punti) Calcolare log 20

1

1 + e3xdx

6. (4 punti) Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

(n4 + 1 n2)

1

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 11 GENNAIO 2013 (B)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritengono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e se ne tracci ilgrafico.

f(x) = exx2 1

2. (4 punti) Dire, giustificando le risposte, se sono vere o false le seguenti proposizioni

date le successionian = sinn, bn = 2

n, cn = (1)n

a) la successione an + cn e` limitata,

b) la successione cn + bn e` regolare,

c) la successione bncn e` monotona crescente,

d) la successione anbn e` limitata.

3. (4 punti) Data la funzionef(x) = (|x 1| 1)ex

- studiarne la derivabilita`

- stabilire se in [2, 2] ammette massimo e minimo assoluti ed in caso di risposta affermativadeterminarli.

4. (4 punti) La funzione f : [0, 1] R definita da f(x) = log 12(x2 + 12 ) verifica le ipotesi del

teorema di esistenza degli zeri? Se cio` avviene, possiamo affermare che esiste un unico zero?Infine determinare ]0, 1[ tale che f() = 0.

5. (6 punti) Calcolare pi3

pi4

tanx

1 cos3 xdx

6. (4 punti) Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

(n+ 3n)

2

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 28 GENNAIO 2013 (A)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si devesostenere subito dopo il superamento prova scritta.

1. (9 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, crescenza e decrescenza, gli eventuali punti di massimo e di minimorelativo, concavita` e convesita` e se ne tracci il grafico.

f(x) = log

(1 + |x 1|

x2

)2. (6 punti) Data la funzione

F (x) =

{13x

3 + x x < 0 x0et

2

dt x 0stabilire se risulta continua e derivabile. Stabilire inoltre se la funzione risulta monotonastrettamente crescente.

3. (4 punti) Calcolare, applicando i limiti notevoli

limx0+

ex cos x 1log(1 +

x), lim

3n+ log n 32n9n + sinn+ n2

4. (6 punti) Calcolare log x

x

1 log2 xdx

5. (6 punti) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie

+n=1

(1)nn

log

(1 +

1n

)

6. (4 punti) Calcolare le soluzioni complesse della seguente equazione

4z2 + 4z + 1 i = 0

3

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 28 GENNAIO 2013 (B)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si devesostenere subito dopo il superamento prova scritta.

1. (9 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, crescenza e decrescenza, gli eventuali punti di massimo e di minimorelativo, concavita` e convesita` e se ne tracci il grafico.

f(x) = log

(2 + |x|

(x 1)2)

2. (6 punti) Data la funzione

F (x) =

{13x

3 + 3x x < 0 x0

(2 + cos t2)dt x 0stabilire se risulta continua e derivabile. Stabilire inoltre se la funzione risulta monotonastrettamente crescente.

3. (4 punti) Calcolare, applicando i limiti notevoli

limx0+

log(1 + x2)

ex sin x 1 , limsinn+ n2 en3n+ log n 2n

4. (6 punti) Calcolare x2

1 x2dx

5. (6 punti) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie

+n=1

(1)nn

sin

(1n

)

6. (4 punti) Calcolare le soluzioni complesse della seguente equazione

4z2 + 4z + 1 + i = 0

4

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 14 FEBBRAIO 2013 (A)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si devesostenere subito dopo il superamento prova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, crescenza e decrescenza, gli eventuali punti di massimo e di minimorelativo e se ne tracci il grafico.

f(x) = arctan

(1 x1 + x

) x+ 1x 2

2. (6 punti) Dire, giustificando le risposte, se sono vere o false le seguenti proposizioni

data la funzionef(x) = x2e|x|

a) non ha asintoti

b) ha un minimo assoluto,

c) ad essa si puo applicare il teorema di Rolle in [1, 1],

3. (4 punti) Calcolare

limn+

3n2 n3 + n, lim

n+n log(n+ 1) n log n

4. (6 punti) Calcolare x4 1

x3 x2 + xdx

5. (4 punti) Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

1n sin

(1n

)

6. (4 punti) Calcolare le radici terze del seguente numero complesso

= 2

3i 13 + i

+1

i

5

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 14 FEBBRAIO 2013 (B)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si devesostenere subito dopo il superamento prova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, crescenza e decrescenza, gli eventuali punti di massimo e di minimorelativo e se ne tracci il grafico.

f(x) = arctan

(1 + x

x 1)

+x 1x+ 2

2. (6 punti) Dire, giustificando le risposte, se sono vere o false le seguenti proposizioni

data la funzione

f(x) =ex

|x|+ 1a) non ha asintoti

b) ha un massimo relativo in [0, 4],

c) ad essa si puo applicare il teorema di Lagrange in [1, 1],

3. (4 punti) Calcolare

limn+

13n2 + n3 n, limn+n log n n log(n+ 2)

4. (6 punti) Calcolare x5 + 2x4

x3 1 dx

5. (4 punti) Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

(n2 + 1 n)( 1

n sin

(1

n

))

6. (4 punti) Calcolare le radici terze del seguente numero complesso

=

3i+ 13 i +

2

i

6

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 10 GIUGNO 2013 (A)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritengono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e se ne tracci ilgrafico.

f(x) =x

x2 4 1

2arctan

x

2

2. (5 punti) Dire, giustificando le risposte, se sono vere o false le seguenti proposizioni

data la successiona

an =n2 n+ 1n 1 (n > 1)

a) la successione e` regolare

b) la successione e` limitata inferiormente,

c) la successione e` monotona decrescente.

3. (4 punti) Data la funzione

f(x) =

{log(1+x2)x

x x 6= 01 x = 0

Provare che risulta continua in R, stabilire inoltre se la funzione risulta derivabile in x = 0

4. (6 punti) Calcolare +1

x+ 2

x3 + xdx

5. (4 punti) Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

n3 + sinn

3n5 + log n+ 2n

6. (4 punti) Trovare radici terze del seguente numero complesso

z = 7(1 + i)2

7

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 10 GIUGNO 2013 (B)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritengono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e se ne tracci ilgrafico.

f(x) =x2 + 4

x arctanx

2. (5 punti) Dire, giustificando le risposte, se sono vere o false le seguenti proposizioni

data la successiona

an =n2 + n+ 2

n+ 1

a) la successione e` regolare

b) la successione e` limitata inferiormente,

c) la successione e` monotona crescente.

3. (4 punti) Data la funzione

f(x) =

{sin xxpi x 6= pi1 x = pi

Provare che risulta continua in R, stabilire inoltre se la funzione risulta derivabile in x = 0

4. (6 punti) Calcolare +1

10x

4x4 + 3x2 1dx

5. (4 punti) Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

n2 log n3n4 + n sinn

6. (4 punti) Trovare radici terze del seguente numero complesso

z = 71 + i

33 + i

8

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 26 GIUGNO 2013 (A)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritengono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e se ne tracci ilgrafico.

f(x) = (|x| 1)e 1x

2. (5 punti) Date le funzioni f(x) = cosx g(x) =x determinare, se possibile, la funzione

composta h = f g specificandone il dominio. Studiare continuita` e derivabilita` della funzioneh.

3. (4 punti) Data la successione an = e3sinn studiare il limite per n + delle successioni:

an n, ann+ 1

4. (5 punti) Calcolare arctanx

(x+ 1)2dx

5. (5 punti) Calcolare larea del dominio delimitato dalle curve di equazione

x = 0, x = pi, f(x) = 1 + sinx, g(x) = 1 + cosx

6. (5 punti) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie

+n=1

(1)n log(

1 +1

n

)

9

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA I DEL 26 GIUGNO 2013 (B)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritengono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. (8 punti) Studiare la seguente funzione: si determini il dominio, gli eventuali asintoti verticali,orizzontali ed obliqui, gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo e se ne tracci ilgrafico.

f(x) = (|x 1| 1)e 1x1

2. (4 punti) Data la successione an = log(2 + cosn) studiare il limite per n + delle succes-sioni:

n an, ann

3. (5 punti) Date le funzioni f(x) = ex x g(x) = x determinare, se possibile, la funzionecomposta h = f g specificandone il dominio. Studiare continuita` e derivabilita` della funzioneh.

4. (5 punti) Calcolare arctanx

(x 1)3 dx

5. (5 punti) Calcolare larea del dominio delimitato dalle curve di equazione

x = 0, x = 2, f(x) = x2 + 1, g(x) = x2 + 3x

6. (5 punti) Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie

+n=1

(1)n(e1n 1

)

10

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA DEL 9 SETTEMBRE 2013

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritenono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. Studiare la funzione, determinando: dominio, segno, asintoti, punti di massimo e minimorelativo, crescenza e decrescenza. Tracciarne il grafico

f(x) =

|2 + x3|x+ 1

2. Data la funzione

f(x) =

{1e3xx x > 0

x 3 x < 0dire se f e` prolungabile con continuita` in x0 = 0. In caso di risposta affermativa dire se il prolunga-mento e` anche derivabile ed eventualmente calcolare f (0).

3. Data la successione an = log(1 +2n )

provare che an risulta a termini positivi; provare che an risulta monotona decrescente; calcolare limn+ nan.

4. Calcolare 11| xx+ 2

|dx

5. Calcolare 1x+ 2x+ 2 + 1

dx

6. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso

z3 + iz = 0

7. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie

+n=1

(1)n 1n2 + 3n

11

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA DEL 19 SETTEMBRE 2013 (A)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritenono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. Studiare la funzione, determinando: dominio, segno, asintoti, punti di massimo e minimorelativo, crescenza e decrescenza. Tracciarne il grafico

f(x) = xlog x+ 3

log x+ 1

2. Data la funzionef(x) =

1 cosx

stabilire se esiste f (0).

3. Stabilire se esistono i seguenti limiti di successione ed eventualmente calcolarli

limn+

nesinn

n2 + 1, lim

n+n2 + 1

nesinn

4. Calcolare 30

xex2+1dx

5. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso

z3 + 3z2 + 3z + 1 = 8i

6. Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

(1)nn+ (1)n

n2 + 1

12

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE-EDILE

PROVA SCRITTA DI ANALISI MATEMATICA DEL 19 SETTEMBRE 2013 (B)

COGNOME-NOME

Tempo a disposizione: 2 ore e 30 minuti. Risolvere gli esercizi che si ritenono piu` adeguati alla propria

preparazione. La prova si supera se il punteggio e` 18. Lorale si deve sostenere subito dopo il superamentoprova scritta.

1. Studiare la funzione, determinando: dominio, segno, asintoti, punti di massimo e minimorelativo, crescenza e decrescenza. Tracciarne il grafico

f(x) = x3 log x1 log x

2. Data la funzionef(x) =

ex2 1

stabilire se esiste f (0).

3. Stabilire se esistono i seguenti limiti di successione ed eventualmente calcolarli

limn+

ne(1)n

n2 + 1, lim

n+n2 + 1

(1)nn

4. Calcolare 31

1

x2arctan

1

xdx

5. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso

z2 + iz + i

3

4= 0

6. Studiare il carattere della seguente serie

+n=1

(1)n 2n+ (1)n

n3 + n+ 2

13