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2
T
Capitolo
1Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
Divisione fra polinomiNell’insieme dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un mul-tiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore.6 è divisibile per 3 perché 3 $ 2 dà come prodotto 6. Procediamo in modo analogo per i polinomi.
DEFiNiZioNE
Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.
A : B = Q " B $ Q = A.
A è il dividendo, B il divisore, Q il quoziente.
EsEmpio
A = 2x 7 + x 5 - 6x 3 + 8x 2 - 3x + 4 è divisibile per B = 2x 2 + 1.
Infatti, esiste il polinomio Q = x 5 - 3x + 4 tale che
(2x 2 + 1)(x 5 - 3x + 4) = 2x 7 - 6x 3 + 8x 2 + x 5 - 3x + 4.
Il grado del polinomio quoziente
Sappiamo che il grado di B $ Q è la somma del grado di B e del grado di Q: dunque, poiché B $ Q = A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n - p, con n $ p.
Nell’esempio precedente, A è di grado 7, B di grado 2, Q di grado 7 - 2 = 5.
■ Se il divisore è un monomio
DEFiNiZioNE
Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.
Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio che otteniamo applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizio-ne: dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio.
1
Listen to it
A polynomial A is divisible
by a polynomial B, that is
different from zero, if there
exists a polynomial Q such
that A equals B times Q.
▶ Spiega perché a a 12+ +
non è divisibile per a3.
|▶ Esercizi a p. 13
Paragrafo 1. Divisione fra polinomi
3
TEORIA
TEsEmpio
( ) : : :a a a a a a a a a5 6 2 5 2 6 2 25
36 4 2 6 2 4 2 4 2- = - = -
■ Se il divisore è un polinomio
Analogamente a quanto succede nell’insieme dei numeri naturali, possiamo ese-guire la divisione fra due polinomi anche se uno non è divisibile per l’altro.
Dati due polinomi A e B in una sola variabile, con il grado di B minore o uguale al grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q e R tali che:
A = B $ Q + R ,
dove Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto.
Il grado di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado di B.
Nel caso particolare in cui R = 0, si ha A = B $ Q , ossia A è divisibile per B.
Vediamo con un esempio la tecnica per eseguire la divisione tra due polinomi.
EsEmpio
Dividiamo A = 13x 2 + 6x 3 + 6 + 5x per B = 2 - x + 3x 2.Per eseguire la divisione, ordiniamo A e B secondo le potenze decrescenti della variabile: (6x 3 + 13x 2 + 5x + 6) : (3x 2 - x + 2).
6x3 + 13x2 + 5x + 6
A
3x2 − x + 2
B
2x
a. Dividiamo 6x3 per 3x2 e scriviamoil quoziente parziale Q1
Q1
= 2x.
− Q1 ⋅ B
2x
b. Moltiplichiamo 2x per B e scriviamo con il segno cambiatoi risultati incolonnati, rispetto algrado, con i termini di A.
4x
6x3 + 13x2 5x 6+ +
− 6x3 + 2x2 −
3x2 − x + 2 3x2 − x + 2
2x
c. Sommiamo in colonna i termini,ottenendo un primo restoparziale, .R1
4x
R1
6x3 + 13x2 5x 6+ +
− 6x3 + 2x2 −
” 15x2 + x + 6
d. Ripetiamo il procedimentoconsiderando R1. Dividiamo 15x2
per 3x2, ottenendo Q = 5.
Q26
66x3 + 13x2 5x+ +
− 6x3 + 2x2 − 4x
” 15x2 + x +
23x2 − x +
2x + 5
6
15x2
− Q2 ⋅ B
Sommiamo in colonna i termini.Il grado di è minore del grado di B: la divisione è terminata.
6x3 + 13x2 + 5x + 3x2 − x + 2
2x + 5− 6x3 + 2x2 − 4x
” + x + 6
− 15x2 + 5x 10−
+4x
6
10
R
f.
4
Q
6x3 + 13x2 5x 6+ +
− 6x3 −+ 2x2
” 15x2 + x +
− 15x2 + 5x −
” 6x −
3x2 2− +x
2x 5
2
R = 6x – 4 e. Moltiplichiamo 5 per B e scriviamoi prodotti, con il segno cambiato,in colonna sotto .R1
▶ Calcola:
: .a b a b b b37
21
53 2 2+ -b l
14 4
2 3
14 43 2$= +
|▶ Esercizi a p. 14
dividendo
A B divisore
R Q
resto quoziente
appRoFoNDimENto
La divisione in
colonna La regola per
la divisione in colonna
di polinomi è una gene-
ralizzazione di quella fra
numeri naturali.
▶ Fai vedere l’analogia
fra i due procedimen-
ti con :865 41 e
: .x x x8 6 5 4 12+ + +^ ^h h
La risposta
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
4
TEORIA
T
VerificaDobbiamo verificare che A B Q R$= + . Calcoliamo:
B $ Q + R = (3x 2 - x + 2)(2x + 5) + (6x - 4) =
6x 3 + 15x 2 - 2x 2 - 5x + 4x + 10 + 6x - 4 =
6x 3 + 13x 2 + 5x + 6.
Il risultato ottenuto coincide con il dividendo:
A = 6x 3 + 13x 2 + 5x + 6.
Regola di RuffiniQuando il polinomio divisore è un binomio del tipo x - a, dove a è un numero reale qualunque, per determinare il quoziente Q e il resto R possiamo utilizzare un procedimento rapido, detto regola di Ruffini.
EsEmpio
Eseguiamo la divisione (- 10x - 9 + 3x 2) : (x - 4).
La regola di RuffiniScriviamo i polinomi in ordine decrescente rispetto alle potenze della x:
(3x 2 - 10x - 9) : (x - 4).
La figura illustra come si applica la regola di Ruffini.
a. Scriviamo su una riga, nell’ordine, icoefficienti dei termini del polinomiodividendo, + 3 e − 10, e il terminenoto − 9. Tracciamo due linee verticali,una a sinistra del primo coefficiente euna fra l’ultimo e il termine noto.Lasciamo una riga vuota e tracciamouna linea orizzontale.
b. A sinistra della prima linea verticale,sulla seconda riga, scriviamo + 4, ossial’opposto del termine noto delpolinomio divisore x − 4. Abbassiamo+ 3, ossia il primo coefficientedel dividendo: esso è anche il primocoefficiente del quoziente.
c. Moltiplichiamo + 3 per + 4 escriviamo il risultato nella colonnasuccessiva a + 3, ossia sotto − 10.
+12
+3 −10
+3
−9+3 −10
+4
+3
−9+3 −10 −9
coefficientidel dividendo
terminenoto del
dividendo
oppostodel terminenoto del divisore
+4
d. Sommiamo − 10 e + 12 e scriviamoil risultato nella stessa colonna, sottola linea orizzontale. + 2 è il secondocoefficiente del quoziente.
e. Ripetiamo il procedimento,moltiplicando + 2 per + 4 e scrivendoil risultato nella colonna a destradi + 2, sopra la riga orizzontale.
f. Sommiamo − 9 e + 8 e scriviamoil risultato nella stessa colonna, sottola linea orizzontale: − 1 è il resto.
coefficientidel quoziente
+12
+3 −10
+4
+3
−9
+ 2 −1
resto
+12
+3 −10
+4
+3
−9
+8+12
+3 −10
+4
+3
−9
+ 2
+8
+ 2
▶ Determina quoziente e
resto di
:a a a2 23+ +^ ^h h
tenendo conto che il
dividendo non è un poli-
nomio completo: nello
schema devi scriverlo
con spazi vuoti per le
potenze mancanti.
Esegui poi la verifica.
Animazione
2 |▶ Esercizi a p. 17
Paragrafo 3. Teorema del resto e teorema di Ruffini
5
TEORIA
T
Scrittura del quozienteI coefficienti del polinomio quoziente sono 3 e 2. Tenendo conto che il dividen-do ha grado 2 e il divisore ha grado 1, il quoziente deve avere grado 1. Quindi possiamo scrivere:
Q = 3x + 2; R = - 1.
VerificaPer verificare che il risultato è esatto, controlliamo che A = B $ Q + R:
3x 2 - 10x - 9 = (x - 4)(3x + 2) + (- 1).
In generale, dividendo un polinomio A(x) di grado n per il binomio x - a , di pri-mo grado, otteniamo per quoziente un polinomio Q(x) di grado n - 1.
Se il divisore è del tipo x + a, osserviamo che: x + a = x - (- a).
esempio
(8x 2 + 2x - 3) : (x + 2) = (8x 2 + 2x - 3) : [x - (- 2)].
Si può dunque applicare la regola di Ruffini.
Nella tabella che abbiamo usato nella divisione della pagina precedente abbiamo scritto in riga i coefficienti del dividendo 3x 2 - 10x - 9, cioè 3, - 10 e - 9.
Se il polinomio dividendo fosse stato incompleto, al posto di ogni coefficiente mancante avremmo dovuto inserire uno 0. Per esempio, per il polinomio dividen-do 2x 4 - x 2 - 1, i coefficienti da disporre in riga sono: 2, 0, - 1, 0, - 1.
Teorema del resto e teorema di Ruffini
Teorema del resto
Consideriamo ancora la divisione già esaminata
(3x 2 - 10x - 9) : (x - 4),
che ha quoziente 3x + 2 e resto - 1.
Calcoliamo il valore che assume il polinomio dividendo 3x 2 - 10x - 9 per x = 4, cioè per x uguale all’opposto del termine noto del divisore:
3(4)2 - 10 $ 4 - 9 = - 1.
Il resto della divisione coincide con il valore assunto dal polinomio per x = 4. In generale, vale il seguente teorema.
teorema
Teorema del restoNella divisione tra polinomi A(x) : (x - a), il resto è dato dal valore che assume A(x) quando alla variabile x si sostituisce il valore a:
R = A(a).
▶ Esegui con la regola di
Ruffini
.:x x x x31
2 6 35 3 2- - - -b ^l h
Animazione
Video
L’economia della regola
di Ruffini La regola di
Ruffini sintetizza il procedi-
mento visto nel paragrafo
precedente.
Esegui la divisione
:x x x x3 9 2 10 34 3 2- + - -^ ^h h
con i due metodi che
conosci.
Confrontali e, in particolare,
individua nei due schemi gli
stessi coefficienti.
3|▶ Esercizi a p. 23
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
6
TEORIA
T
DimostRaZioNE
Se la divisione A(x) : (x - a), ha quoziente Q(x) e resto R, possiamo scrivere:
A(x) = (x - a)Q(x) + R.
Sostituendo a x il valore a, otteniamo:
A(a) = (a - a)Q(a) + R.
Essendo a - a = 0, il prodotto (a - a)Q(a) si annulla, quindi:
A(a) = R.
Se il divisore è x - 3, il valore di a da sostituire a x è 3; se il divisore è x + 2, allora a = - 2.
EsEmpio
Calcoliamo il resto della divisione
(- x 4 + 3x 2 - 5) : (x + 2).
Poiché x + 2 = x - (- 2), abbiamo che R = A(- 2):
R = - (- 2) 4 + 3(- 2) 2 - 5 = - 9.
Teorema di Ruffini
Esaminiamo il seguente ragionamento.
Se il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5, allora la divi-sione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) : (x + 5) dà resto 0; quindi, per il teorema del resto, A(- 5) = 0.
Il ragionamento è invertibile.
Dato il polinomio A(x) = x 3 + 2x 2 - 13x + 10, se A(- 5) = 0, allora la divisione (x 3 + 2x 2 - 13x + 10) : (x + 5) dà resto 0, per il teorema del resto; quindi il poli-nomio x 3 + 2x 2 - 13x + 10 è divisibile per x + 5.
In generale, vale il seguente teorema.
tEoREma
Teorema di RuffiniUn polinomio A(x) è divisibile per un binomio x - a se e soltanto se A(a) è uguale a 0.
A(x)è divisibileper x – a
A(a) = 0se e solo se
EsEmpio
Il polinomio
A(x) = 2x 3 + x 2 - 5x + 2
è divisibile sia per x - 1 sia per x + 2; infatti:
A(1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0;
A(- 2) = 2(- 8) + 4 - 5(- 2) + 2 = - 16 + 4 + 10 + 2 = 0.
▶ Calcola il resto senza
eseguire le divisioni:
:b b b3 6 16 3+ - -^ ^h h;
:x x x4 9 32- + +^ ^h h.
▶ Fai un esempio di poli-
nomio di quarto grado
divisibile sia per x 1+ sia
per x 3- .
Verifica la divisibiltà
mediante il teorema di
Ruffini.
Paragrafo 4. Scomposizione in fattori
7
TEORIA
T
Scomposizione in fattori Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado inferiore.
EsEmpio
x 4 - 1 = (x 2 - 1)(x 2 + 1).
(x 2 - 1) può essere ancora scomposto in (x + 1)(x - 1). Quindi:
x 4 - 1 = (x + 1)(x - 1)(x 2 + 1).
Invece, x 2 + 1 non è scomponibile. Verificalo con il teorema di Ruffini.
DEFiNiZioNE
Un polinomio è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di po-linomi, tutti di grado minore.
Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.
EsEmpio
x 2 - 2x + 1 è riducibile. Infatti:
x 2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)2.
Sono irriducibili i polinomi: x 2 + 25, x + 4, 2x 2 + 5.
■ Raccoglimento totale
Esaminiamo un metodo di scomposizione basato sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, lo mettiamo in evidenza con un raccoglimento totale a fattore comune.
EsEmpio
Scomponiamo a a a4 8 26 5 4- + .
Il fattore comune a tutti i termini è a2 4 .
( )a a a a a a a a a a a4 8 2 2 2 4 2 2 2 2 4 16 5 4 2 4 4 4 4 2$ $- + = - + = - +
Scomponiamo x x x5 2 22+ - +^ ^h h.
( ) ( ) ( )( )x x x x x5 2 2 2 52 2+ - + = + - .
■ Raccoglimento parziale
Nel raccoglimento parziale, prima si raccolgono fattori comuni soltanto a parti del polinomio, poi si raccoglie un fattore comune alle diverse parti.
EsEmpio
x2 + 3xy + 2x + 6y = x(x + 3y) + 2(x + 3y) = (x + 3y) (x + 2).
Il metodo che abbiamo applicato percorre in verso contrario i passaggi che utiliz-ziamo nella moltiplicazione di due polinomi.
4
▶ Spiega perché x 5- è
irriducibile. (Suggerimen-
to. Ragiona per assurdo:
se fosse scomponibile, i
fattori dovrebbero essere
di grado…, cioè dei…)
|▶ Esercizi a p. 24
▶ Scomponi in fattori
mediante raccoglimento
totale.
• x y xy32
342 2 3
- ;
• x x y x y3 6 2+ - +^ ^h h .
|▶ Esercizi a p. 26
▶ Scomponi in fattori tra-
mite raccoglimento par-
ziale.
• x a xa 8 82 2+ + + ;
• ;xy x bx y y by3 32+ + + + +
• .a b a b321
3232
- + -b l
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
8
TEORIA
T
■ Trinomio speciale
Un trinomio di secondo grado del tipo x 2 + sx + p è scomponibile nel prodotto (x + a)(x + b) se s = a + b e p = ab:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
esempio
Scomponiamo in fattori y y2 152+ - .
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto 15- e somma 2+ .Tutte le coppie di numeri interi che hanno prodotto 15- sono:
15 5 3 5 3 15 1 15 1$ $ $- = - + = + - = - + = + -^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h.
L’unica coppia che ha somma 2+ è 5+^ h e 3-^ h. Quindi:
y y y y2 15 5 32+ - = + -^ ^h h.
■ Scomposizioni con prodotti notevoli
Ognuna delle seguenti uguaglianze si verifica calcolando il prodotto che si trova nel secondo membro e fornisce una regola di scomposizione in fattori.
A2 - B2 = (A + B)(A - B); A2 + 2AB + B2 = (A + B)2; A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2; A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3; A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2); A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
esempio
25a 2 - b6 = (5a)2 - (b3)2 = (5a + b3)(5a - b3).
9x 4 - 6x 2y + y 2 = (3x 2)2 - 2 $ 3x 2 $ y + y 2 = (3x 2 - y)2.
a 3 - 1 = a 3 - 13 = (a - 1)(a 2 + a + 1).
▶ Scomponi in fattori.
a. a a a8 12 6 19 6 3+ + + ; b. x x x9 27 273 2
- + - .
Animazione
▶ Scomponi in fattori.
a. a y ay y36 48 162 4 3 2- + ; b. x z81 4 4
- .
Video
■ Scomposizione con il metodo di Ruffini
Il teorema di Ruffini permette spesso di scomporre in fattori un polinomio. Con-sideriamo un polinomio A x^ h. Sappiamo che, se A a 0=^ h , allora il polinomio è divisibile per x a- .
Eseguendo la divisione A(x) : (x - a), otteniamo il polinomio quoziente Q(x) e, poiché il resto è zero, scriviamo A(x) come prodotto di due fattori:
A(x) = (x - a) Q(x).
|▶ Esercizi a p. 26
Video
Scomposizione in fattori
del trinomio speciale
Guarda nel video come
scomporre in fattori i
seguenti polinomi:
x x5 122+ - ;
x x2 102- - .
▶ Scomponi in fattori:
x x 562- - ;
a a9 202+ + .
|▶ Esercizi a p. 28
▶ Scomponi in fattori:
a. x xy y425
10 42 2- + ;
b. a a b b41
4 164 2 2 4+ + ;
c. x x9 162- + - ;
d. .a b x x a b4 42 2- + + -^ ^h h
Animazione
|▶ Esercizi a p. 32
Paragrafo 4. Scomposizione in fattori
9
TEORIA
T
esempio
A x x x x2 5 5 63 2= - + -^ h
ha valore 0 per x = 2, cioè 2 è uno zero di A,
A 2 2 8 5 4 5 2 6 0$ $ $= - + - =^ h ,
quindi A x^ h è divisibile per x - 2.
Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.
2 - 5 5 - 6
2 4 - 2 6
" Q(x) = 2x2 - x + 3.2 - 1 3 0
(2x 3 - 5x 2 + 5x - 6) : (x - 2) = 2x 2 - x + 3.
Quindi: 2x 3 - 5x 2 + 5x - 6 = (x - 2)(2x 2 - x + 3).
Dunque, se troviamo uno zero a di un polinomio A(x), cioè un valore a tale che A(a) = 0, sappiamo anche scomporre il polinomio di partenza nel prodotto di due fattori.Ma come trovare gli zeri di un polinomio? Per farlo può essere utile considerare la seguente regola.
Zeri interi di un polinomioSe un numero intero annulla un polinomio a coefficienti interi, allora esso è divisore del termine noto.
Dalla regola possiamo dedurre un metodo per la ricerca degli zeri interi di un polinomio: se esistono, essi sono fra i divisori del termine noto.
esempio
Dato il polinomio A(x) = 5x 2 - x - 4, i divisori di - 4 sono: 1, 2, 4, - 1, - 2, - 4.Sostituendo a x il valore 1, otteniamo
A(1) = 5 - 1 - 4 = 0,
quindi 1 è uno zero di A(x), perciò il polinomio è divisibile per x - 1.
Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.
5 - 1 - 4
1 5 4
5 4 0 " Q(x) = 5x + 4.
Otteniamo: 5x 2 - x - 4 = (x - 1)(5x + 4).
Più in generale si ha la seguente regola.
Zeri razionali di un polinomioTutti gli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi sono tra le frazio-
ni nm! , dove m è divisore del termine noto e n è divisore del coefficiente
del termine di grado massimo.
mATemATiCA e sToriA
1729 Salire su un taxi numero 1729
lascerebbe indifferenti la maggior parte
delle persone. Ma per il matematico
indiano Srinivasa Ramanujan un episodio
apparentemente banale fu l’occasione di
una celebre scoperta…
▶ Che cosa ha di speciale un numero
così?
La risposta
▶ Scomponi in fattori
con il metodo di Ruffini.
x x x3 4 5 23 2- - +
Animazione
Video
Scomposizione mediante
il teorema di Ruffini Guar-
da nel video come scompor-
re in fattori con il metodo di
Ruffini il polinomio
x x x6 3 103 2- ++ .
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
10
TEORIA
TNell’esempio precedente le frazioni da considerare sono:
, , , , ,51
52
54
11
12
14
! ! ! ! ! ! .
MCD e mcm di polinomi
DEFiNiZioNE
Il massimo comune divisore (MCD) di due o più polinomi è il polinomio di grado massimo che è divisore di tutti i polinomi dati.Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più polinomi è il polinomio di grado minimo che è divisibile per tutti i polinomi dati.
Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra polino-mi, utilizziamo il procedimento già illustrato per i numeri naturali e per i monomi.Come prima cosa bisogna scomporre i polinomi in fattori irriducibili, raccoglien-do anche gli eventuali coefficienti numerici in comune.
Calcolo del MCD
Il MCD fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni, presi una sola volta, con l’esponente minore.
EsEmpio
Determiniamo il MCD di x 2y - xy, x 2y - y, x 3y - 3x 2y + 3xy - y.Scomponiamo in fattori:
x 2y - xy = xy(x - 1);x 2y - y = y(x 2 - 1) = y(x + 1)(x - 1);x 3y - 3x 2y + 3xy - y = y(x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = y(x - 1)3.
Mettiamo in colonna.
x y x - 1
y x - 1 x + 1
y (x - 1)3
I fattori comuni sono y e (x - 1). Prendiamo (x - 1) con l’esponente minore:
MCD = y(x - 1).
Calcolo del mcm
Il mcm fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni e non comuni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.
EsEmpio
Determiniamo il mcm dei polinomi dell’esempio precedente.
Dopo avere incolonnato i fattori, scegliamo quelli comuni e non co-muni, ciascuno preso con l’espo-nente maggiore.
mcm = xy(x - 1)3(x + 1).
5 |▶ Esercizi a p. 35
▶ Calcola MCD e mcm di
x x2 32+ - ,
x x x2 12 183 2+ + ,
x x x3 33 2+ - - .
Animazione
Video
MCD e mcm di polinomi
Determina MCD e mcm dei
seguenti polinomi:
x x4 45 3- ;
x x x6 12 63 2+ + ;
x x8 83 2+ .
x y x - 1
y x - 1 x + 1
y (x - 1)3
se e solo se
In sintesi
11
TEORIA
T
IN SINTESIDivisione fra polinomi e scomposizione in fattori
■ Divisione fra polinomi
•Un polinomio è divisibile per un monomio se lo sono tutti i suoi termini. In tal caso il quoziente si ottiene dividendo ogni termine per il monomio.
esempio: (6 3 4 ) : 2 3 2x x x x x x234 3 2 2 2
+ - = + - .
•Nella divisione fra due polinomi, A : B, se Q è il polinomio quoziente e R il polinomio resto, allora:
A = B $ Q + R.
esempio: (3x2 - x - 1) : (x + 2).
( ) ( )x x x x3 1 2 3 7 132- - = + - +
1 2 344 44
.
A B Q R
•Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se e solo se R = 0, ossia A : B = Q ) A = B $ Q.
■ Regola di Ruffini
Se il divisore di un polinomio è un binomio del tipo x - a, possiamo utilizzare la regola di Ruffini.Se il divisore è del tipo x + a, possiamo scriverlo nella forma x - (- a) e applicare la stessa regola.
esempio: (3x2 - 10x - 9) : (x - 4).
+3 −10 −9
+12
+ 2+3−9 + 8 = −1
−1
+8+4
a b
termine notodel dividendo
+3 −10 −9
coefficientidel dividendo
+12
+ 2+3
−10 + 12 = +2
opposto del terminenoto del divisore
+4
coefficientidel quoziente
restoQ = 3x + 2;R = 1.
■ Teorema del resto e teorema di Ruffini
•Teorema del resto. Il resto della divisione di un polinomio A(x) per un binomio x - a è A(a).
) :x2
x +73
x + − 2( (x + 3) a = −3
] =2+7
3−3 + − 2[ −27 + 63 − 3 − 2 = 31−3 −3
R = 31
( ) ( )
A(x) x − a
A(−3) =
•Teorema di Ruffini. Un polinomio A(x) è divisibile per un binomio x - a se e soltanto se A(a) = 0.
x2 − 3x − 10
è divisibile per x − 5 ⋅ 10 05 53− − =2
se e solo se
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
12
TEORIA
T
■ Scomposizione in fattori
•Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di polinomi. Se un polinomio si può scomporre, diciamo che è riducibile. Altrimenti è irriducibile.
•Abbiamo esaminato i seguenti metodi di scomposizione.
• Il raccoglimento totale.
esempio: 3a2 + 6a = 3a(a + 2).
• Il raccoglimento parziale.
esempio: 3a + 3b + a2 + ab = 3(a + b) + a(a + b) = (3 + a)(a + b).
• La scomposizione riconducibile a prodotti notevoli:– differenza di due quadrati: a2 - b2 = (a + b)(a - b);– quadrato di un binomio: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2;– quadrato di un trinomio: a2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2;– cubo di un binomio: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b) 3;– somma o differenza di due cubi:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) ; a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
esempio: 9 - a2 = (3 + a)(3 - a). 9 - 6a + a2 = (3 - a)2. 27 + a3 = (3 + a)(9 - 3a + a2).
• La scomposizione di particolari trinomi di secondo grado:
x 2 + sx + p = (x + x1)(x + x2), con s = x1 + x2, p = x1 $ x2.
esempio: a2 - 6a + 8 = (a - 4)(a - 2).
• La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini.
esempio: Scomponiamo P(a) = 3a2 + a - 2.
Cerchiamo gli zeri del polinomio fra i divisori del termine noto, ossia + 1, - 1, + 2, - 2, e fra le
frazioni , , ,31
31
32
32
- - .
P(1) = 3(1)2 + 1 - 2 = 2 ! 0; P(- 1) = 3(- 1)2 + (- 1) - 2 = 0.
- 1 è uno zero di P(a), quindi P(a) è divisibile per a + 1.
3 + 1 - 2
- 1 - 3 + 2
3 - 2 0
3a - 2 è il quoziente della divisione, quindi: 3a2 + a - 2 = (a + 1)(3a - 2).
■ MCD e mcm di polinomi
•Per la ricerca del MCD e del mcm fra polinomi, questi devono essere scomposti in fattori irriducibili.
• Il MCD fra due o più polinomi è il prodotto di tutti i fattori irriducibili comuni, presi una sola volta, ciascuno con l’esponente minore.
• Il mcm è il prodotto di tutti i fattori irriducibili, comuni e non comuni, presi una sola volta, ciascuno con l’esponente maggiore.
Paragrafo 1. Divisione fra polinomi
13
ESERCIZ
I
E
Divisione fra polinomi
Se il divisore è un monomio
Il polinomio a x ax a x2 2 4 3 4 2- + non è divisibile
per uno solo dei seguenti monomi. Quale?
A x d a x2 2
b x2 2e 5
C a-
Quale delle seguenti divisioni non è possibile?
A :x x x2 32+^ ^h h d :a a 32
-^ hb : aa a 66 12 1 34 3
- +^ ^h h e :x x x8 9 3+^ h
C :x x x2213 2 2
- -^ ah k
rifletti sulla teoria Giulio: «Aiutami a eseguire questa divisione di un polinomio per un monomio:
:x y x y x y x y2 23 4 2 3 2 2 2+ + -^ ^h h». Teresa «Guarda che non è possibile». Cosa ne pensi?
eserCiZio GuiDa Eseguiamo, se è possibile, le seguenti divisioni:
a. (12x4y3 - 3x3y4 + 2x2y) : (2x2y); b. (5ab2 + 3a3b3 - 3a4) : (2a2b2).
a. La divisione (12x4y3 - 3x3y4 + 2x2y) : (2x2y) è possibile, perché ogni termine del dividendo contiene le variabili del divisore, con esponente maggiore o uguale.Dividiamo per 2x2y ogni termine del polinomio dividendo:
12x4y 3 : (2x2y) = 6x4 - 2y3 - 1 = 6x2y2;
3 : (2 )x y x y x y xy23
233 4 2 3 2 4 1 3
- = - = -- - ;
2x2y : (2x2y) = 1.
Il risultato è quindi: (12 3 2 ) : (2 ) 6x y x y x y x y x y xy23 14 3 3 4 2 2 2 2 3
- + = - + .
Verifica: x y xy x y x y x y x y6 23 1 2 12 3 2
quoziente divisore dividendo
2 2 3 2 4 3 3 4 2$ =- + - +a ^k h
1 2 344444 44444 1 2 344444 44444= .
b. La divisione (5ab2 + 3a3b3 - 3a4) : (2a2b2) non è possibile per due motivi:
•5ab2 ha grado rispetto ad a minore di 2a2b2;
•- 3a4 ha grado rispetto a b minore di 2a2b2 (il grado rispetto a b di - 3a4 è 0).
Esegui, se è possibile, le seguenti divisioni di un polinomio per un monomio e fai la verifica.
(20a4 - 12a3 + 6a2) : (+ 2a2) [10a2 - 6a + 3]
( ) :x x x x213 2
- + -b l [- 2x2 + 2x - 2]
51 :a a b ab a b a
514 3 3 2 2
+ - + -b bl l [- 5a3 - 5a2b + b3 - 5ab2]
(7x4 - 3x2y3 + 5x3y2) : (- 3x2) x y xy37
352 3 2
- + -: D:x x x x x4 3 28 5 4 3 3
- + + -^ ^h h x x x21 2
23
215 2
- + - -: D
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test
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CapITolo 1
ESERCIZI
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
14
ESERCIZ
IE
:x y x y x x y6 12 3 34 3 2 2 3 2+ -^ ^h h impossibile6 @
:b b b b23
43
81
436 5 4 3
- + - -a ak k b b b2613 2
- +: D
:a b a b b b21 25 2 4 3 8 2
+ +a ^k h a a b b21
21
415 4 6
+ +: D
:a a a a32
31
154
926 4 3 3
- + + -b bl l a a323
563
- -: D
( ) : x x x x2 21 25 4
=- + +^ h .
:a a a a8 2 4 28 6 5 4- + =- +^ ^h h .
:x y x y x y16 34 46 4 4 3 2 2
+ = -^ ^h h .
:m m m5 2 526 4 2
+ = + -^ ^h h .
Semplifica le seguenti espressioni.
[(3x3 + 6x2) : 2x - x ] : x x23 2+: D
: :y y y y y y3 1 13 1 9 1 81 32 3- ++ + -^ ^ ^ ^h h h h6 @" , 06 @
: :x x x x x1 1 13 2
314 2 4 2 8 3 3- + - -^ ^ a ah h k k6 @& 0 x x2 6 210
-6 @
{[( ) ( ) ] : ( )} :a b a b b6233 3
+ - - -b l a b32
922 2
- -: D
(- 2x2y + 4x4y2 - x4y) : [(x + y)2 - (x + y)(x - y) - 2y2] 2x x y x213 3
- + -: D
{[ ( )( ) ( )] : ( ) ( )} :b a b a b b b ab ab a b b2 2 4 2 2 212 2
- + + + - + + ` j [0]
[(2x + 1)(2x - 1)(4x2 +1) + 1] : (- 2x)3 + 3x + y [x + y ]
[(3x - y)3 + y3] : (3x) - (3x - y)2 [2y2 - 3xy]
[(2x2y - 4xy2)3 - 8y3(- 2xy)3] : (- 2x2y)2 [2x2y - 12xy2 + 24y3]
Se il divisore è un polinomio
Polinomi a coefficienti numerici
In una divisione tra polinomi il divisore è x - 4, il quoziente è x2 - 6x + 2 e il resto è - 1. Qual è il dividendo? [x3 - 10x2 + 26x - 9]
Trova il polinomio dividendo di una divisione in cui il divisore è x2 - 1, il quoziente è 2x2 - x + 1 e il resto è x + 2. [2x4 - x3 - x2 + 2x + 1]
Il polinomio P x^ h è divisibile per x x2 12- + e il quoziente è x x43
- + . Determina P x^ h.x x x x x2 7 4 45 4 3 2
- + + - +6 @Trova il polinomio dividendo di una divisione in cui il divisore è x2 5+ , il quoziente x x 12
- + - e il resto 3- . x x x2 3 3 83 2
- - + -6 @
eserCiZio GuiDa Eseguiamo la divisione :x x x x x3 4 6 3 23 2 4 2+ + + +^ ^h h.
Ordiniamo il polinomio dividendo: x x x x6 3 44 3 2+ + + .
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CoMPleta
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Paragrafo 1. Divisione fra polinomi
15
ESERCIZ
I
E
Costruiamo lo schema della divisione e risolviamo:
•dividiamo 6x4 (termine di grado più alto del divisore) per 3x2
(termine di grado più alto del dividendo) e otteniamo 2x2, primo termine del quoziente;
•moltiplichiamo 2x2 per x3 22+ , cambiamo di segno e scrivia
mo il risultato, x x6 44 2- - , in colonna con il dividendo;
•sommiamo ottenendo il resto parziale x x3 3+ ;
•ripetiamo il procedimento, ottenendo x+ come secondo termine del quoziente, che è anche l’ultimo perché il resto x- ha grado minore del grado del divisore.
Il quoziente è x x2 2+ ; il resto è x- .
6x4 + 3x3 + 4x2 + x + 0
– x
6x4 – 3x3 – 2x
6x4 + 3x3 + x
–6x4 + 3 3 – 4x2 + x
3x2 + 2
2x2 + x
scriviamo 0 nei termini mancanti
Esegui, quando • possibile, le seguenti divisioni fra polinomi.
(x4 + 3x2 - 4) : (x2 - 4) [Q = x2 + 7; R = 24]
(15a3 - 8a2 - 9a + 2) : (3a + 2) [Q = 5a2 - 6a + 1; R = 0]
(7a - a3 + 2 + a2) : (a2 + 2) [Q = - a + 1; R = 9a]
(8 ) :x x x4 1213
- + -b l [Q = 8x2 + 4x - 2; R = 0]
( ) : ( )x x x2 1 43 2+ - - [ ; ]Q x R x6 1= = -
:x x x x x21
41 3
414 3 2
- + - - +a ak k ;Q x x R x2 9 36 35 32= - + - = -6 @
:b b b b31
37 7
31 16 5 4 4
- - + + - -a ak k [ ; ]Q b b R b b3 7 32 2= + - = +
( ) : ( )x x x4 4 44 2 2- + + [ ; ]Q x R8 362
= - =
( ) : ( )x x x2 3 6 16 3 3+ + + [ ; ]Q x R2 1 53
= + =
( ) : ( )x x x x3 5 4 2 33 2- + + - [ ; ]Q x x R3 4 16 502
= + + =
(x2 - 6x + 3) : (1 - x3) [impossibile]
(5a6 + 15a5 + 20 + 5a) : (a + 3) [Q = 5a5 + 5; R = 5]
(16x5 - 8x3 + 2x - 1) : (x3 - 1) [Q = 16x2 - 8; R = 16x2 + 2x - 9]
): (3y y y y23 2 22 23
- + - +b l ;Q y R y21
32
34 2= - = -: D
(2a3 - 4a2 + a + 2) : (2a2 + a - 1) ;Q a R a25
29
21
= - = -: D( ) :a a a a a6 4 4 1
324 2 3 3
+ - - + - +b l ;Q a R a a4 63
10352
= - = - -: D(x5 - x3 + 1) : (x2 + 1) [Q = x3
- 2x ; R = 2x + 1]
(x5 - 3x4 + 5x3 - 2x2 + 6x - 10) : (x3 - 2) [Q = x2 - 3x + 5; R = 0]
(4a2 - 3a + 6a3 - 2) : (1 + 2a) ;Q a a R321
47
412
= + - = -: D( ) : ( )x x x x x x3 2 5 1 3 2 54 3 3 5
- + - - - + impossibile6 @( ) : ( )y y y y y4 3 3 1 13 5 2
+ + - + + [ ; ]Q y y y R3 3 4 1 03 2= - + - =
( ) : ( )x x x3 1 34 2 3- - - [ ; ]Q x R x x3 3 3 9 102
= - - = - -
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
16
ESERCIZ
IE
( ) : ( )t t t4 5 14 3 3+ - - [ ; ]Q t R t4 1= - - = -
( ) : ( )a a a a2 3 12 23 2 2- - - [ ; ]Q a R a2 1 2 12= - - = -
( ) : ( )x x1 15- - [ ; ]Q x x x x R1 04 3 2
= + + + + =
(y 3 - 5y 2 + 3y - 6) : (y 2 + 1 - 2y ) [Q = y - 3; R = - 4y - 3]
(- 3y 3 + 11y 2 - 9y - 2) : (3y 2 - 5y - 1) [Q = 2 - y; R = 0]
: ( )x x x x41
21 2 2 24 2 2
+ - - -b l ;Q x R x41 1 22
= + = -: D
:b b b9 632
43
214 3
- + -b bl l ;Q b R12323
= = +: D
(4 ) :x x x18 3213
+ - - +b l [Q = - 4x2 - 2x + 2; R = 17]
(24y 5 - 4y 4 - 18y 2 + 15y - 2) : (6y - 1) [Q = 4y 4 - 3y + 2; R = 0]
you & Maths Dividing polynomials Use ( )q x x2 3= + and ( )p x x x2 3 52= + - . Find s(x) and r(x) such
that ( ) ( ) ( ) ( )p x s x q x r x$= + .
Polinomi a coefficienti letterali
eserCiZio GuiDa Eseguiamo la divisione ( ) : ( )x ax a x a x ax a3 5 23 2 2 3 2 2- + - - + , considerando come va
riabile la lettera x.
Osserviamo che il polinomio è già ordinato rispetto a x. Mettiamo in colonna e risolviamo.
x3 – 3ax2 + 5a2x – a3
–x3 + 2ax2 – a2x
– ax2 + 4a2x – a3
x – a
x2 – 2ax + a2
(–ax2) : x2
secondoterminedel quoziente
x3 – 3ax2 + 5a2x – a3
–x3 + 2ax2 – a2x
– ax2 + 4a2x – a3
+ ax2 – 2a2x + a3
x – a
x2 – 2ax + a2
–a • (x2 – 2ax + a2) e cambiamo segno
x3 – 3ax2 + 5a2x – a3
–x3 + 2ax2 – a2x
– ax2 + 4a2x – a3
+ ax2 – 2a2x + a3
2a2x
x – a
x2 – 2ax + a2
Il quoziente è x a- ; il resto è a x2 2 .
Esegui le seguenti divisioni fra polinomi, considerando come variabile quella indicata a fianco.
(a2 - 3b2 - 2ab) : (b + a), a. [Q = a - 3b; R = 0]
(x6 - y 4) : (3x 3 + 3y 2), x. ( );Q x y R31 03 2
= - =: D
( ) : ( )a b a b b a b2 13 3 2 4 6+ - + + , a. [ ; ]Q b a b a b R 13 2 4 5
= + - =
( ) : ( )t t z tz z z t5 2 2 3 2 2- + + - , z. [ ; ]Q z t R t t5 3
= + = +
(36x2y + 12xy 2 + y 3) : (6x + y), x. [Q = 6xy + y 2; R = 0]
(x3 - 2x2y + xy 2) : (x2 - 2xy + y 2), x. [Q = x; R = 0]
(4b3 - 20ab2 - 9a2b + 45a3) : (b - 5a), b. [Q = 4b2 - 9a2; R = 0]
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Paragrafo 2. Regola di Ruffini
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ESERCIZ
I
E
( ) : ( )x xy y x y15 4 4 5 22 2+ - - , x. [ ; ]Q x y R3 2 0= + =
( ) : ( )a a a b ab b b a2 4 6 3 3 24 3 2 2 2- + + - + - , a. [ ; ]Q a a b R2 02
= - + =
( ) : ( )x x y xy y x y2 9 13 6 2 33 2 2 3- + - - , x e y. ;Q y xy x R2 3 02 2
= - + =6 @
( ) : ( )a b ab a b b b ab11 2 3 22 2 3 3 4 2- + - + , b. [ ; ]Q b ab a R3 5 02 2
= - + + =
: ( )b b c bc c b c21 33 2 2 4 6 2
- - + - -b l , b. ;Q b bc c R c21
23
23
212 2 4 6
= - - + =: D
(3y 3 - 14ay 2 + 21a2y - 12a3) : (3y - 8a), y. ;Q y ay a R a235
342 2 3
= - + =: D
:a b a b b ab b a31 2 6
32 24 3 2 3 2
- - + -b bl l, a. ;Q a b b R21 3 03 2
=- - =: D
(6a4 - 2a3b - 24a2b + 20ab2 - 4b3) : (3a - b), a. [Q = 2a3 - 8ab + 4b2; R = 0]
(a6 - b6 + a4b2 - a2b4) : (a4 + 2a2b2 + b4), a. [Q = a2 - b2; R = 0]
(2x3y - 9x2y + 8y + 2xy) : (xy - 4y), x. [Q = 2x2 - x - 2; R = 0]
(- b2 - 1 + a2 - 2b) : (a - 1 - b), a. [Q = a + 1 + b; R = 0]
: ( )a a b ab b a b25 4 3 2 33 2 2 3
+ - - -b l , a. ;Q a ab b R21 2 02 2
= + + =: D
(x4 - 4x3y + 5x2y 2 - 3xy 3 + 2y 4) : (- 2y 2 + x2), x. [Q = x2 - 4xy + 7y 2; R = - 11xy 3 + 16y 4]
test È data la divisione: (5a3 - 6a2 - 3a + 4) : (ka + 4).Per quale valore di k il quoziente è a2 - 2a + 1?
A 2 b - 3 C 0 d 5 e - 5
Scrivi un polinomio divisibile sia per a 12- che
per a 3+ .Scrivi un polinomio di quarto grado divisibile per x2 12
+ .
al Volo Il grado del resto di una divisione fra polinomi può essere uguale o maggiore del grado del divisore? Fornisci un esempio.
Regola di Ruffini
divisore del tipo (x - a)
test In quale delle seguenti divisioni non si può applicare la regola di Ruffini?
A : ( )x x 23- d ( ) : ( )x x x 15 3 2
- +
b ( ) : ( )x x1 24- + e ( ) : ( )x x1 15
+ -
C ( ) : ( )x x x 13+ - -
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2 |▶ Teoria a p. 4
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
18
ESERCIZ
IE
eserCiZio GuiDa Eseguiamo la divisione (2x 3 + 3x - 8) : (x + 2), applicando la regola di Ruffini.
a. Costruiamo lo schema e abbassiamo il 2. b. Moltiplichiamo 2 per − 2, scriviamo il risultatonella colonna a fianco di 2 e sommiamo.
2 + 3
2
− 82 + 3 − 8
coefficientidel dividendo
terminenoto del
dividendo
0
2
− 2
opposto del terminenoto del divisore
− 2
− 4
− 4
0
d. Moltiplichiamo + 11 per − 2, scriviamo il risultatosotto − 8 e sommiamo: abbiamo trovato il resto.
c. Moltiplichiamo − 4 per − 2 e completiamo la terzacolonna: abbiamo trovato i coefficienti del quoziente.
2 3
2
− 8
− 2
− 4
− 4
0
8
+ 11
coefficientidel quoziente
resto
2 3
2
− 8
− 2
− 4
− 4
0
8
+ 11
− 22
− 30
+
+ +
+
I coefficienti del quoziente sono 2, - 4 e 11. Poiché il dividendo è di terzo grado, il polinomio quoziente è di secondo grado. Q(x) = 2x2 - 4x + 11; R = - 30.
Esegui le seguenti divisioni, applicando la regola di Ruffini.
(a2 - a - 12) : (a - 4) [Q = a + 3 ; R = 0]
(2x3 - 9x + 1) : (x - 3) [Q = 2x2 + 6x + 9; R = 28]
(3x3 + x2 - 8x + 4) : (x + 2) [Q = 3x2 - 5x + 2 ; R = 0]
(b3 + b 2 - b + 15) : (b + 3) [Q = b2 - 2b + 5 ; R = 0]
( ) : ( )y y y y6 4 15 2- + - + [ ; ]Q y y y y R2 8 124 3 2
= - + - + = -
( ) : ( )x x6 2 33+ - [ ; ]Q x x R6 18 54 1642
= + + =
( ) : ( )x x x x17 7 18 43 2+ - - - ;Q x x R3 5 22
= - + =6 @
( ) : ( )a a a a2 3 10 1 33 2- - - - [ ; ]Q a a R2 3 1 42
= + - = -
( ) : ( )x x x x5 1 14 2- + - + - + [ ; ]Q x x x R4 3 43 2
= - - + + =
(- 3x2 + 2x3 - x + 2) : (x - 1) [Q = 2x2 - x - 2 ; R = 0]
(x5 + x2 - x4 - x) : (x - 1) [Q = x4 + x ; R = 0]
(a5 - 10a - 12) : (a - 2) [Q = a4 + 2a3 + 4a2 + 8a + 6 ; R = 0]
90
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Paragrafo 2. Regola di Ruffini
19
ESERCIZ
I
E
(2a3 - 3a2 - 1) : (a + 3) [Q = 2a2 - 9a + 27; R = - 82]
: ( )b b b b23 9 17 20 43 2
- + - + -b l ;Q b b R23 3 5 02
= - + - =: D
2 4 :x x x x85
43
235 3
- - + +b bl l ;Q x x x x R2 321
43
21 04 3 2
= - + - + =: D
divisore del tipo (ax - b)
eserCiZio GuiDa Eseguiamo la divisione ( ) : ( )x x x3 2 2 3 13 2- + + applicando la regola di Ruffini.
Dividiamo tutti i coefficienti del dividendo e del divisore per il coefficiente 3 con cui la x compare nel divisore x3 1+ e applichiamo la regola di Ruffini.
:x x x32
32
313 2
- + +a ak k
132
- 032
31
-31
-31
91
-
1 1-31
95
" Q x x31
12
= - + ; R95
1 = .
Sappiamo che A B Q R$= + ; dividendo i due membri per 3, otteniamo: A BQ
R3 3 3
$= + .
Concludiamo che, se dividiamo dividendo e divisore per 3, il quoziente rimane lo stesso, mentre il resto
diventa 31 del resto iniziale. La divisione iniziale ha quindi Q Q1= e R R 31 $= :
Q x x312
= - + ; R95 3
35
$= = .
Esegui le seguenti divisioni applicando la regola di Ruffini.
(12x3 - 54x2 + 21x - 3) : (3x - 12) [Q = 4x2 - 2x - 1; R = - 15]
(12y 3 + 36y 2 - 38y + 42) : (2y + 8) [Q = 6y 2 - 6y + 5; R = 2]
(6a4 - 24a3 + 24a2 + 12a - 19) : (6a - 12) [Q = a3 - 2a2 + 2; R = 5]
(6b5 + 30b4 - 14b2 - 4b3 - 49 + 20b) : (2b + 10) [Q = 3b4 - 2b2 + 3b - 5; R = 1]
(5x4 - 50x + 85x2 - 40x3 + 3) : (5x - 25) [Q = x3 - 3x2 + 2x; R = 3]
( ) : ( )a a a a3 2 1 3 13 2+ - - + ;Q a a R
32
352
= - + = -: D( ) : ( )y y y y8 17 10 1 8 13 2
- + - - [ ; ]Q y y R2 1 02= - + =
( ) : ( )b b b b6 34 52 18 3 53 2- + - - ;Q b b R2 8 4 22
= - + =6 @( ) : ( )x x x x x12 15 20 13 5 4 54 3 2
+ + + - + [ ; ]Q x x R3 5 3 103= + - =
( ) : ( )x x x x x5 2 5 7 2 5 26 5 2- - + - - [ ; ]Q x x R1 05
= - + =
test Indica qual è il resto della divisione
: ( )x x x4 221 2 12
- + -b l .
A 21
b 21
- C 43
- d 23
e 0
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
20
ESERCIZ
IE
divisione fra polinomi a coefficienti letterali
eserCiZio GuiDa Eseguiamo la divisione ( ) : ( )a x a x a x x a8 3 3 32 2 3 2 4- + - + + considerando come variabi
le la lettera x.
Ordiniamo i polinomi rispetto alla x: ( ) : ( )x a x a x a x a8 3 3 34 2 2 3 2- + - + .
Applichiamo la regola di Ruffini.
1 0 −8a2 +3a3 −3a2
−3a −3a +9a2 −3a3 0
1 −3a a2 0 −3a2
" Q x ax a x33 2 2= - + ; R a3 2
= - .
Esegui le seguenti divisioni, applicando la regola di Ruffini e considerando come variabile la prima lettera che
compare al dividendo.
(a3 + 2a2b - 4ab2 - 8b3) : (a + 2b) [Q = a2 - 4b2; R = 0]
(y 4 + x3y - 9x2y 2 + 3x4) : (y + 3x) [Q = y 3 - 3xy 2 + x3; R = 0]
(2x4 + 5x3y + 2x2y 2 + x + 2y) : (x + 2y) [Q = 2x3 + x2y + 1; R = 0]
(y 3 - 8x3 - y 2 + 2xy) : (y - 2x) [Q = y 2 + 2xy - y + 4x2; R = 0]
( ) : ( )x x y xy y x y4 5 9 123 2 2 3+ - - - [ ; ]Q x xy R y4 9 122 3
= + = -
( ) : ( )a a b ab b a b12 10 33 2 2 3- + - - [ ; ]Q a ab b R b11 42 2 3
= - - = -
( ) : ( )x y x y xy y x y9 4 5 33 2 2 3 4+ - + + [ ; ]Q x y xy y R y9 23 64 1912 2 3 4
= - + = -
( ) : ( )x a x a a x2 3 14 2 4 4 2- - + + [ ; ]Q a x a x a x R x x3 3 4 4 4 2 13 2 2 4 6 8 4
= - + - + = - + +
:ax a x a x a632
314 3 2 5
- + -a ak k [ ; ]Q ax a x R a6 23 2 2 5= + =
(a6 - 3a2b4 - 4a 4b2 + 12b6) : (a + 2b) [Q = a5 - 2a4b - 3ab4 + 6b5; R = 0]
(x3 - xy 2 + x2y - y 3 + 2x2 - 2y 2) : (x + y) [Q = x2 + 2x - y2 - 2y; R = 0]
Riepilogo: Divisione fra polinomi
118
119••
120••
121••
122••
123••
124••
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129••
Vero o falso?
a. Il polinomio x4 + x2 non è divisibile per x x8
+ . V F
b. x 14- è divisibile per x 12
- . V F
c. Il quoziente di( ) : ( )a a a a2 3 2 25 3 2
+ - +
è a a2 3- . V F
d. Dividendo due polinomi si può ottenere come risultato 1. V F
e. Il quoziente di una divisione di polinomi può essere il polinomio nullo. V F
Scrivi un polinomio in a di quinto grado divisibile per a 1+ .
Scrivi un polinomio in x di quarto grado divisibile
contemporaneamente per x 1+ e per .x21 22
+
Scrivi il dividendo della divisione per il binomio x2 1- il cui quoziente è x5 22
- e il cui resto è
31 . x x x10 5 4
373 2
- - +: D
130••
131••
132••
133••
21
ESERCIZ
I
ERiepilogo: Divisione fra polinomi
test Nella divisione (4x2 - 15x - 2) : (4x + 1) il quoziente è x - 4 e il resto è 2.
Nella divisione :x x x4
1521
412
- - +b bl l il quoziente e il resto sono, rispettivamente:
A x41 1- e
21 . d x - 4 e
21 .
b x41 1- e 2. e x
41
+ e 21 .
C x - 4 e 2.
Esegui le seguenti divisioni applicando, quando è possibile, la regola di Ruffini.
( ) : ( )t t t t3 1 24 2- + - + [ ; ]Q t t t R2 1 13 2
= - + - =
( ) : ( )x x x x x x4 6 2 16 4 3 3+ + + - + - [ ; ]Q x x R x6 123 2
= - - =
(b4 - 2b2 + 3) : (b - 2) [Q = b3 + 2b2 + 2b + 4; R = 11]
(5x3 - 3x2 + 4x - 2) : (x - 1) [Q = 5x2+ 2x + 6; R = 4]
(x3 - 3x + 2) : (x + 2) [Q = x2 - 2x + 1; R = 0]
: ( )a a a3 24 2- + [ ; ]Q a a R a3 7 15 142
= + + = -
( ) : ( )y y y y5 23 2- + + [ ; ]Q y R y5 5 4 2= - + = - +
(2x3 - 13x2 + 4 + 19x) : (x - 4) [Q = 2x2 - 5x - 1; R = 0]
:a a a a72
2723
211
233 2
+ + + +b bl l [Q = 7a2 + 3a + 1; R = 0]
(12a2 + 5a - 2) : (4a - 1) [Q = 3a + 2; R = 0]
( ) : ( )x x x x x4 2 3 1 3 13 2 2- - + - + [ ; ]Q x R x4 10 23 9= + = -
( ) : ( )a a a a a3 5 2 13 2 2+ + + - + [ ; ]Q a R a4 8 2= + = -
4 : ( )x x x x41 8 2 25 3
- + + -b l 3 ;Q x x x x R41
21 6 4 64 3 2
= + - - - = -: D
:a a a a a4 2 441
214 2 3
+ + + + +b bl l ;Q a a a R4 221 03 2
= + + + =: D
(9x5 - 21x3 - 27x + 24) : (3x + 6) [Q = 3x4 - 6x3 + 5x2 - 10x + 11; R = - 42]
: ( )a a a a31
32
21 1 14 2 3 2
+ + - -a k ;Q a a R a31
21 1
212
= + + =: D
( ) : ( )k k k k k2 5 4 2 14 3 2- - + + + [ ; ]Q k k k R3 43 2
= - + =
( ) :x x x x5 3 2215 4 3
- + - -a k ;Q x x R x x521
21 22 2
= - = + -: D
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
22
ESERCIZ
IE
(4y 4 - 6y 3 - 18y 2 - 10) : (2y - 6) [Q = 2y 3 + 3y 2; R = - 10]
:a a a a a a21
21
92
21
181
315 4 2 3
- - - - - +b bl l ;Q a a a R21
32
61 04 3
= - - - =: D
:a b a b8
27233 6 2
- -b bl l ;Q a ab b R23
49 02 2 4
= + + =: D
(x6 + x2y 2 - x4y - y 3) : (y - x2) [Q = - y 2 - x4; R = 0]
3 :a a a x ax ax x a21
23
21
213 2 2 2 2
+ - + - + +b bl l [Q = a2 - 3ax + x2; R = 0]
Semplifica le seguenti espressioni.
[( ) ( ) : ( )] : ( )x x x x3 5 8 2 21 2 3+ - + - - - [ ]x5 4- -
[( ) : ( ) ( )] : ( )t t t t t2 3 5 2 1 2 9 52- - + + + + 36 @
[ ( ) : ( ) ] : ( )x x x x x x x2 4 16 4 2 4 1 7 34 3 2 2+ + + - - + - - x6 @
[( ) : ( ) ] : ( )k k k k k2 11 15 3 3 42 2+ + + + - - [ ]k 2+
[( ) : ( ) ( ) : ( ) ] : ( )y y y y y1 1 1 1 4 25 3+ + - - - - - [ ]y y y2 23 2
+ + +
Dati i polinomi ( ) ( )( )A x x x1 19= - + e ( ) ( )( )B x x x x1 12 2
= - + + e trovato il polinomio P(x) tale che ( ) ( ) ( )P x B x A x= , calcola P(1). [3]
Considera il polinomio ( )A x x x23 2= - e calcola ( ) ( ) ( ) : ( )A a A a A a a2
1 2 6 2 2- - +8 B . a2
1 5-8 B
Dato il polinomio ( )P x x x32=+ - , trova quoziente e resto della divisione [ ( ) ( ) ( )] : ( )P k P k P k k2 1 22
+ + + - .
[Q k k k2 4 13 2= + + + ; ]R 0=
In un triangolo ABC l’area e l’altezza BH relativa al lato AC misurano rispettivamente a a a4 4 33 2+ + + e
a 3+ , con a 02 . Trova la misura di AC. [ ]a a2 2 22+ +
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G F
EA
3x
C
D
4x – 7
B
L’area del rettangolo AEFG è x x4 19 212
- + . Determina il perimetro di ABCDEFG, sapendo che il triangolo BCD è equilatero. [ ]x13 20-
Trova l’altezza del trapezio ABCD, sa pendo che la sua area misura
a a a2 621
233 2
+ + + ,
con a 12 . A B
CD 4a + 1
4a2 Ð 4a
MateMatiCa al CoMPuter
Applichiamo Ruffini Con Wiris, costruiamo un blocco
che, letto il polinomio ( )P x x kx x x2 5 7 34 3 2= + + - + , con-
tenente il parametro k fra i suoi coefficienti, e assegnato
il valore a21
= , usa la regola di Ruffini per visualizzare i
coefficienti del polinomio quoziente ( ) : ( )P x x a- e l’even-
tuale resto.
Problema e risoluzione Ð 3 esercizi in pi•
167••
168••
Paragrafo 3. Teorema del resto e teorema di Ruffini
23
ESERCIZ
I
E
Teorema del resto e teorema di Ruffini
Teorema del resto
Vero o falso? Dato il polinomio ( )P x x x2 3 83 2= - + , allora:
a. ( )P 2 12= . V F
b. ( )P 2- è il resto della divisione di P(x) per ( )x 2- . V F
c. il resto della divisione di P(x) per ( )x 1+ è 3. V F
d. 8 è il resto della divisione di P(x) per x. V F
eserCiZio GuiDa Troviamo il resto della divisione : ( )x x x x221 3 1 23 2
- - + - +a k .
Consideriamo ( )x x2 2+ = -- . Se chiamiamo P(x) il dividendo, il resto R è:
( ) ( ) ( ) ( )R P 2 2 221 2 3 2 1 16 2 6 1 73 2
= - = - - - - + - - = + - - - = .
Calcola il resto delle seguenti divisioni senza eseguirle.
(2x3 - 9x + 1) : (x - 3)
(a2 - a + 3 - 2a3) : (a - 1)
( ) : ( )a a a a2 3 3 33 2+ - - +
( ) : ( )k k k k3 5 1 23 2- + - -
( ) : ( )x x x2 3 1 14+ + +
: ( )y y y y21 2 4 25 3
- + - +a k:t t t t96 4
32 1
215 3 2
- + - -a ak k
(5b6 + 15b5 + 20 + 5b) : (b + 3)
:x x x x23
11 231
313 2
- + - -b bl l
(2x3 - 5x + 4) : (x + 1)
(2x4 + x3 - 6x + 1) : (x - 1)
(- x3 + 2x2 - 2) : (x + 2)
(2y 5 + y 2 - y - 26) : (y - 2)
: ( )a a a a a21
21
47 2 24 3 2
+ - + - +b l
Invent a quadratic Find possible values for a, b, and c in the polynomial ax bx c2+ + such that the remain
der of ( ) : ( )ax bx c x 12+ + - is 0.
Which are divisors? Consider the polynomial ( )P x x x4 5 62= + - . Which of the following polynomials are
divisors of P(x)?
a. x + 1 b. 4x − 3 c. x + 2 d. x − 2
Determina il valore di a in modo che la divisione abbia il resto indicato a fianco.
( ) : ( )x ax x1 22- - - , R 1= . [ ]a 1=
( ) : ( )x ax x x4 1 13 2+ + - - , R 0= . [ ]a 4= -
( ) : ( )x x x a x2 8 1 33 2+ - + + + , R 2= . [ ]a 22=
test La divisione (x 2 + x - a2 - 1) : (x - a) ha resto 0 se a è uguale a:
A 1. b -1. C 0. d 2. e -2.
3 |▶ Teoria a p. 5
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181••
182••
183••
184••
you & Maths
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187••
188••
189••
190••
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
24
ESERCIZ
IE
Teorema di Ruffini
test Per quale dei seguenti binomi è divisibile il polinomio 2x 3 + x 2 - 5x + 2?
A 2x + 1 B 3x + 2 C x + 2 D x + 1 E x - 2
Determina, senza eseguire la divisione, se i seguenti polinomi sono divisibili per i binomi scritti a fianco.
x3 + 6x2 + 11x + 6; x + 1, x - 1, x + 2, x - 3.
x x x9 19 63 2- + - ; x 2- , x 6- , x 1+ , x 1- .
x x x x6 6 3 104 3 2- + - - ; x 5- , x 1- , x 1+ , x 2- .
2a2 + 7a - 4; a + 2, a21
+ , a - 1, a21
- .
2a4 - 3a2 + 2a - 1; a + 1, a21
- , a32
+ , a - 1.
1x x x271
31
43 2- - + x + 3, x - 1, x 3- , x + 1.
Verifica se il polinomio è divisibile per il binomio scritto a fianco e, in caso affermativo, calcola il quoziente.
a a a2 3 63 2- + - a – 2 a a a5 8 2084 2
- + - a – 4
eureka! Senza eseguire la divisione, verifica che il polinomio x x x2 3 5 63 2+ - - è divisibile per
( )( )x x2 1+ + , ma non per ( )( )x x2 3+ + .
Trova il valore di k affinché i polinomi indicati siano divisibili per il binomio a fianco.
a a ka2 14 3- + - a – 2
kx kx3 5 242+ - x + 3
a a a k8 4 123 2+ - + 2a – 3
x ka x a x a54 2 2 3 4+ - + x – a
eureka! Quali coppie? Per quali, tra le seguenti coppie di valori di a e b, il binomio ( )P x ax b2= + risulta
divisibile per il binomio x 2- ?
a. a 1= , b 4= . b. a 2=- , b 8= . c. a21
= , b 2=- .
Quale relazione deve esserci tra a e b affinché si realizzi la divisibilità richiesta? ; b a4b e c =-h h6 @
Scomposizione in fattori
vero o falso?
a. Il polinomio x x4 1+ +^ h è scomposto in fattori. V F
b. x x3 1 12+ -^ ^h h è la scomposizione in fattori di x x x3 3 12 3
- + - . V F
c. La scomposizione di un polinomio P x^ h è il prodotto di più polinomi dello stesso grado di P x^ h. V F
d. Tutti i polinomi si possono scomporre in fattori. V F
Raccoglimento totale
test Nel polinomio x x x3 6 153 2+ - possiamo raccogliere il MCD di tutti i termini, che è:
A x15 . B x . C x3 2. D x3 . E x3 3.
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Allenati con 15 esercizi interattivi con feedback “hai sbagliato, perché…”
su.zanichelli.it/tutor3 risorsa riservata a chi ha acquistato l’edizione con tutor
4
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|▶ Teoria a p. 7
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Paragrafo 4. Scomposizione in fattori
25
ESERCIZ
I
E
test In quale polinomio possiamo raccogliere il fattore comune b4 ?
A b5 42+ B b b16 8 2
- C b20 8- D b b b4 83 2+ + e b4 204
-
eseRCIZIO GUIDA Scomponiamo in fattori:
a. y y y3 15 92 3- + ; b. ab a6 102 2
+ ; c. x x x8 6 6+ - +^ ^h h.a. Raccogliamo il MCD di tutti i termini: y y y y y y y3 3 15 9 3 5 3MCD 2 3 2
"= - + = - +^ h.Osservazione. Il secondo fattore si ottiene dividendo ogni termine del polinomio per 3y.
b. Raccogliamo il MCD di tutti i termini: a ab a a b a2 6 10 2 3 5MCD 2 2 2"= + = +^ h.
c. Il fattore comune è x x x x x x6 8 6 6 6 8"+ + - + = + -^ ^ ^ ^ ^h h h h h.
-15x + 20 = - 5 ( - )
10a2 + 16ay = (5a + )
9y3 - 27y2 = y2 ( + 3)
24b4x + 9b2x2 = 3b x ( b2 + )
4a8 - 6a2 = 2a ( - 3)
x y xy41
21
412
+ = (x + )
Scomponi in fattori raccogliendo a fattore comune.
a a7 14 2+ ; a x a y4 4 4 4
- .
x x4 8 2+ ; y y
21
214 2
+ .
a a a5 6 9+ + ; b bb 2 42 2 3 2
+ - .
5x - 10xy + 15y ; - 27a2 - 18a.
- 2a2 + 4ab - 2a3; cx 2 - 4cx + c2x 2.
3a + 9a3 - 15; 4a4 - 2a3 - 2a6.
6ax + 2a - 4a2x 2; 125x 2 - 25x + 25xy .
a y ay32
312 3 2
+ ; 4x - 2x 2 - 2.
18a3y - 4a4y 3 + 10a5y 2; 4x 3 + 3x 2y .
a b ab ab5 15 32 2- + ; x x x4 2 6 39
- + .
15a4 + 6a2b + 3a; 2ac + 14ab .
3z 2 - 27y 3z + 12y 2z 2; 12x 3y 2 + 3x 2y 2.
( ) ( )x a b y a b+ + + ; ( ) ( )a a b b a b2 22 2+ - + .
( ) ( )x y x y3 2 2 3+ + + ; ( ) ( )a a3 2 3 2 2
+ - + .
y y42+ ; a a b65 4
- .
ay a a2 4 22- + ; x y x4
412 3 3
- .
a b a41
813 2
- ; z y y14 77 4 6- .
- 6a3 + 9a2b + 3a2; b y b72 648 9+ .
6xy 2 - 4x 2 + 10xy; x x y7
15313 2
+ .
- 3a5 + 12a3b - 6a2; xyz x y8 12 2 2- .
12a2b3 + 30a3b + 6ab; z y z28 164 2 2- .
ax a52
542
+ ; x x x2 2 22+ - +^ ^h h.
- 2a9 + 8a4 + 2a3; b a a1 2 1- + -^ ^h h.a3 - a2 - a + 2a2; b b b7 6 57 6 5
+ + .
( ) ( )b c a b c+ - + ; x x x1 221 1 22 2 2
+ + +^ ^h h.
CACCIA All'eRRORe
a. x x x x x x2 3 2+ + = +^ h
b. b b b b15 10 5 3 26 3 3 2- = -^ h
c. x y x y x x y x6 4 6 4+ - + + = + - +^ ^ ^ ^ ^h h h h hd. x y x y x y x y8 10 2 4 52 3 2 2 23
+ = +^ h
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COMPletA
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
26
ESERCIZ
IE
you & maths Prove it! Use algebra to prove that x x x 12+ -^ ^h h divided by x 1+ gives x x2
- , as long as x 1!- , x 0! .
Raccoglimento parziale
EsERCIZIo GuIDa Scomponiamo in fattori: a. a a a2 4 3 62 3+ + + ; b. y x x xy12 15 5 42
+ + + .
a. a a a a a a aa2 4 3 6 1 2 1 2 1 2 2 32 32 3 22+ + + = + + = + ++^ ^ ^ ^h h h h
b. y x x xy x x x y xy x12 15 5 4 3 3 3 4 54 52+ + + = + + = + ++^ ^ ^ ^h h h h
Scomponi in fattori mediante il metodo del raccoglimento parziale.
y 4 - y 3 - 2y + 2
bx x b10 30 3+ - -
b b b5 2 105 3 2+ + +
a a a3 2 18 122 3- + -
x x x2 3 63 2- - +
a ab ab b2 2 3+ + +
a b b a2 2 42 2 2 2+ + +
4xy y xy3 20 152- + -
12a 2 - 4a - 3a + 1
bx by ax ay3 4 3 4+ + +
by b ay a15 10 21 14- + -
ax + 6x + ay + 6y
x xy a ay23
21 3- - +
x 2 + xy + x + y
ay - 4a - 3y + 12
2ax + 4x - 3a - 6
x 4 + 4x 2 - x 3y - 4xy
xy x y5 3 15- - +
b ab a8 82 2- + -
mn n m3 8 24+ - -
x y x y x y y3 6 23 2 2 2- + -
2a3b 2 - 12a2b 4 + 4ab 6 - 24b8
- 8x 2y + 4xy 2 + 6ax 2y - 3axy 2
by by x y x7 14 22 2 2- + -
a a2 1 4 22+ + +^ h
(2a + x)2 - 4x 3 - 8ax 2
(5 - x)(5 + x) + (x - 5)2 + (2x - 10)(x + 3)
Trinomio speciale
Il trinomio x2 + sx + p
assoCIa a ciascun polinomio la sua scomposizione in fattori, senza eseguire la moltiplicazione.
a. x x3 22+ + b. x x4 32
- + c. x x10 242- + d. x x3 102
+ -
1. x x1 3- -^ ^h h 2. x x5 2+ -^ ^h h 3. x x2 1+ +^ ^h h 4. x x4 6- -^ ^h h
EsERCIZIo GuIDa Scomponiamo in fattori x x2 152- - .
Cerchiamo due numeri x1 e x2 tali che: x x 21 2+ = - e x x 151 2$ = - .
242••
|▶ Teoria a p. 7
243
raccogliamo
parzialmente
⤻raccogliamo (1 + 2a)
⤻
raccogliamo
parzialmente
⤻raccogliamo (3 + x)
⤻
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|▶ Teoria a p. 8
se x1 + x2 = s e x1 ∙ x2 = p:
x2 + sx + p = (x + x1) ∙ (x + x2)
271••
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Paragrafo 4. Scomposizione in fattori
27
ESERCIZ
I
E
Partiamo dal prodotto. Le coppie di numeri interi che hanno come prodotto 15- sono le seguenti.
:15 1 15 1 14somma"$- + - + = -^ ^h h :3 5 3 5 2somma"$- + - =+ +^ ^h h: 141 15 1 15somma"$- + - + = +^ ^h h :5 3 5 3 2somma"$- + - + =-^ ^h h
Quindi: x 51 = - e x 32 = + " x x x x2 15 5 32- - = - +^ ^ ^h h h.
Scomponi in fattori i seguenti trinomi.
x x 202+ - ; x x10 212
+ + .
x x 62- - ; y y 1072
+- .
a a 302- - ; x x7 182
+ - .
x x 22- + + ; m m6 162
+ - .
x x 122- - ; x x3 42
+ - .
b b 1032+ - ; x x5 62
+ + .
b b6 72+ - ; x x12 322
+ + .
x x7 302+ - ; a a15 162
- - .
x x18 802+ + ; y y13 422
- + .
a a2 482+ - ; b b12 352
- + .
CoMPleta
a. x x x x7 62- + = ^ ^h h
b. x x x10 12+ + = + +^ ^h h
c. x x x x11 22- + = - -^ ^h h
d. x x x4 52+ - = - +^ ^h h
eureka! Scomponi in fattori il trinomio x ax a2 32 2+ - .
Il trinomio ax2 + bx + c
Luca, dopo aver pensato a come scomporre il polinomio x x3 2 12- - , conclude: «Non è scomponibile come
trinomio speciale! L’unica coppia di numeri che per prodotto ha 1- è 1- e 1, ma la loro somma non è 2- ». Francesca, che studia con lui, non è d’accordo. Tu cosa ne pensi?
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori: a a2 3 22+ - .
Moltiplichiamo tra loro il coefficiente di secondo grado e il termine noto: 2 2 4$ - = -^ h .
Cerchiamo due numeri che abbiano come somma 3+ e come prodotto il numero appena ottenuto, cioè 4- ; sono 4 e 1- :
a a a a a a a a a a2 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 12 2+ - = + - - = + - + = + -^ ^ ^ ^h h h h.
Scomponi i seguenti trinomi.
a a3 8 32+ - ; x x4 7 32
+ + .
y y4 3 102- - ; c c2 13 152
+ + .
b b4 15 42+ - ; x x3 4 42
- - .
x x7 19 62- - ; a a2 3 202
- - .
y y9 28 32- + ; x x8 1 632
+ - .
b b2 15 282- + ; m m3 14 162
+ + .
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3a = 4a – a⤻
raccogliamo parzialmente⤻
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
28
ESERCIZ
IE
Scomposizioni con prodotti notevoli
differenza di due quadrati A2 - B2 = (A + B)(A - B)
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori:
a. a81 162- ; b. a625 14
- .
a. ( )( )a a a a81 16 9 9 4 9 442 2 2- = + -- =^ ^h h
b. ( )( ) ( )( )( )a a a a a a625 1 25 1 25 1 25 1 5 1 5 14 2 2 2- = + - = + + -
Scomponi in fattori, riconoscendo la differenza di due quadrati.
49 x2- ; b81 2
- .
a 42- ; x y
161 2 2
- .
y 816- ; a b64 2 2
- .
xy25 2 2- ; a b9 254 4
- .
36x y 812 2- ; x1
641 4
- .
x x4 4 2- ; y y25 642 4
- .
a x100 2 2- ; m
494 12
- .
x a b91 2 2 2
- ; a36 494- .
x9 121 4- ; a16 94
- .
x y251
3612 2
- ; a b4914 4
- .
a b648 8- ; 9 81x y2 2
- .
16x y 252 2- ; x
91 252
- .
y x49 254 4- ; 64x y 12 2
- .
a100 92- + ; a b 1442 4
- + .
x y4936
1614 2
- ; , a b0 25 42 2- .
x y916 4
- ; a62516 112
- .
b y1 8 10- ; x y z 12 4 6
- .
x y256 14 4- ; ( )a b a2 2
+ - .
b16 2- = ( 3+ )( 3- ).
(a144 3- = + ) (a3
- ).
y4 6- (2= ) (1 2+ - ).
a4- (x2
= ) (x6+ - ).
Quadrato di un binomio A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori: a. x x4 20 252+ + ; b. a b ab b4 42 2 2 2
- + .
a. x x4 20 252+ +
Controlliamo che x20 sia il doppio prodotto di x2 e : x x5 2 2 5 20$ $ =^ h .
x x x4 20 25 2 52 2+ + = +^ h
|▶ Teoria a p. 8
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A = 9a; B = 4⤻
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CoMPleta
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quadrato di 2x quadrato di 5
Paragrafo 4. Scomposizione in fattori
29
ESERCIZ
I
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b. a b ab b b a a4 4 4 4 12 2 2 2 2 2- + = - +^ h
Il secondo fattore è il quadrato di un binomio se a4- è il doppio prodotto. Controlliamo:
a a2 2 1 4$ $- = -^ h , oppure a a2 2 1 4$ $ - = -^ ^h h .
Quindi:
a b ab b b a4 4 1 22 2 2 2 2 2- + = -^ h , oppure a b ab b b a4 4 2 12 2 2 2 2 2
- + = -^ h .
CaCCia all'errore Trova gli errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate.
( )a b a b2 2 2+ = +
9 9 ( )x xy y x y32 2 2- - = -
a y a y161
412 2
2
+ = +b l
4 ( )x x x9 16 2 32 2+ - = -
8 4 ( 2 )a a x x a x4 2 2 4 2 2 2+ + = +
yy y
91
361
4 31
2
2 2
+ + = +c m
Scomponi in fattori riconoscendo il quadrato di un binomio.
4x x 44 2+ + ; a a16 8 12
+ + .
x xy y4 8 42 2+- ; a ab b9 62 2
+ + .
4 4x x 12+ + ; 36 24 4x x2
- + .
b a ab251
522 2
+ - ; x x491
722
+ + .
b x abx a22 2 2+ + ; a ab b16 42 2 4
+ + .
16 64x x y xy3 2 2+ + ; a ab b5 10 52 2
+ + .
a ab b412 2
- + ; a ab b8 16 82 2+ + .
a a22 1212- + ; x x y y4 44 2 2
+ + .
x xy y91
61
1612 2
+ + ; x xy y9
1634
412 2
+ + .
a b ab22 4 2+ + ; x y xy9 162 4 2
+ + .
b b16 25402+ + ; x x4 20 25 2
+ + .
16x x 644 2+ + ; a a1 14 49 2
+ + .
25x x70 492+ + ; y y25 60 36 2
- + .
a a 1682- + ; a ab b9 24 162 2
- + .
ab b a4 42 2+ + ; x y xy81 18 12 2
- + .
x x8 162- - - ; b b49 28 44 2
+ + .
x x30 9 25 2- - ; b ab a b8 162 2 3
+ + .
x x8 24 18 2- + ; x x y x y4 42 2 2 2 4
+ + .
a ab b41
23
492 2
- + ; x x y y1625
65
914 2 2
+ + .
x y xy91
38 162 2
- + ; x x y y121 66 94 2 3 6- + .
test Quale tra i seguenti polinomi non è il quadrato di un binomio?
A x x16 8 14 2+ + b y y32 162
- + C x x41 2
- + d x x y y25 102 2 4+ + e a a4 16
1 2+ +
rifletti sulla teoria Leonardo: « x x4 40 1002- + - non può essere lo sviluppo del quadrato di un bino
mio, perché x4 2- e 100- sono negativi». Angela: «Certo, però non è tanto diverso». Hai capito a cosa sta
pensando Angela?
CoMPleta
a. x9 492 2+ + = +^ h
b. a b ab16 82 2 2+ + = +^ h
c. x25 44 2+ + = +^ h
d. b81 36 2 2- + = -^ h
rifletti sulla teoria Se al quadrato di un numero naturale aggiungiamo 1 e il doppio del numero stesso, troviamo il quadrato del suo successivo. Spiega perché.
raccogliamo b2⤻
quadrato di 2a quadrato di 1
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
30
ESERCIZ
IE
Quadrato di un trinomio A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = (A + B + C)2
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + - .
Il polinomio ha sei termini di cui tre sono dei quadrati, quindi può essere il quadrato di un trinomio:
.b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + -
quadrato di 3b quadrato di 2a quadrato di 2
Controlliamo che gli altri tre termini possano essere i tre doppi prodotti esaminando i loro valori assoluti:
.b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + -
2 · 2a · 2 2 · 2 · 3b 2 · 3b · 2a
Studiamo i segni: .b a a b ab9 4 8 12 4 122 2+ - + + -
2a e 2 discordi 2 e 3b concordi 3b e 2a discordi
Abbiamo due possibilità, che sono equivalenti:
( ) ( )b a a b ab b a b a9 4 8 12 4 12 3 2 2 3 2 22 2 2 2+ - + + - = - + = - + - .
Scomponi in fattori riconoscendo il quadrato di un trinomio.
a b ab b a9 4 4 12 8 122 2+ + + - -
4x y xy x y4 16 8 162 2+ - + + -
a ab b a b41
91 2 4
31
342 2
+ + + + +
1 6 9 2y y xy x x91
322 2
+ + - + -
ab a a b b4 44 8 42 2+ + + + +
16 8 1x xy y x y8 22 2+ + + - -
a b a b ab8 4161 42 2
- + + + -
4 8 12 12 4y xy x y x 92 2+ - - + +
x x y x z yz y z4 2 4 44 2 2 3 3 2 6+ - - + +
bc d bc bd cd
42
22 4 2 2
+ + + - -
Quale termine occorre aggiungere al polinomio x x y x y x xy41
212 2 4 2 2 2
+ + + + in modo che sia il quadrato di un trinomio?
Cubo di un binomio A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori y y y8 27 36 543 2- - + .
Il polinomio ha quattro termini di cui due sono dei cubi, quindi può essere il cubo di un binomio:
.y y y8 27 36 543 2- - +
cubo di 2y cubo di – 3
Controlliamo che gli altri due termini siano i tripli prodotti:
.y y y8 27 36 543 2- - +
3 · (2y)2 · (– 3) 3 · 2y · (– 3)2
Quindi: ( )y y y y8 27 36 54 2 33 2 3- - + = - .
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Paragrafo 4. Scomposizione in fattori
31
ESERCIZ
I
E
b b b b3 3 13 2 3- + - = ^ h .
y y y1 6 12 82 3 3+ + + = +^ h .
xx 27 33 3+ = ++ + ^ h .
a a a1 27 9 273 2 3- - + = -^ h .
Scomponi in fattori riconoscendo il cubo di un binomio.
b ab a b a8 12 63 2 2 3- + - + ; x x x 86 123 2
+ + + .
3 1 3y y y3 2+ - - ; a a a27 27 9 2 3
- + - .
x y x y xy27 27 93 3 2 2+ + + ; a b a b ab
271
313 3 2 2
- + + - .
3x y y x y x32 2 3 4 6- - - - ; 48 12y y y 642 3
- + - .
a a a125 15 753 2+ + + ; x y y xy x36 27 54 82 3 2 3
+ + + + .
a ab b a b43
81
233 2 3 2
+ - - ; b b b3 12 82 3- + - + .
24 8 8 24x y y x xy2 3 3 2+ + + ; y x y xyx3 3 12 2 3 3
- + + - .
a a b b a b3 36 4 2 6 2 4+ + + ; x x x8 27 36 543 2
+ + + .
Somma o differenza di cubi A3 ! B3 = (A ! B) $ (A2 " AB + B2)
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori: a. x y27 3 3+ ; b. b1
81 3
- .
a. x y x y x xy yx x x xy y y y27 3 9 33 3 3 33 3 3 3 2 2 2 2$+ = = + + = + ++ - -^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @
b. b b b bb b b b1 81 1 2
1 1 21
411 1 1 12
121
21
213 3
32
22
$- = = - + = - +- + +` ` ` ` `j j j j j: D
Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi.
x 273+ ; y 1253
+ .
a b64 273 3- ; a 16
+ .
x y18 9- ; x y 83 3
+ .
a2713
- ; t64 3- .
y y2 54 4+ ; a b 273 3
- .
b a6 66 6- ; x y27 9 9
- .
a b125
8 3 3- ; 81x 13
- .
a818 13
- ; 64x 83- .
x x27 4+ ; t m
1251 3 3
- .
x y125 19 6- ; 40x
85 3
+ .
b a31
24273 3
+ ; a a8 5 8+ .
a a5 405 2+ ; ( )a2 13
+ + .
rifletti sulla teoria Il binomio 27x 3 + 8 è divisibile per 3x + 2? Perché?
you & Maths Using tricks Use tricks to divide each given polynomial by the one proposed without actually setting up the division between polynomials.
a. Divide x 16- by x 13
- . b. Divide x 273+ by x x3 92
- + .
CoMPleta
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
32
ESERCIZ
IE
you & Maths Which is a factor of 5x 4 - 135xy 3?
A x 2 + 6xy + 9y 2
b x 2 - 6xy - 9y 2
C x 2 - 3xy + 9y 2
d x 2 + 3xy + 9y 2
e x 2 - 6xy + 9y 2
(USA Tennessee Mathematics Teachers Association: 39th Annual Mathematics Contest, 1995)
Scomposizione con il metodo di Ruffini
Vero o falso?
a. Gli zeri razionali del polinomio x x x4 43 2- + - si trovano nell’insieme , ,1 2 4! ! !" , . V F
b. 2- è uno zero del polinomio x x x2 4 23 2- - - . V F
c. Gli zeri razionali del polinomio x x2 33+ - si trovano nell’insieme , , ,1 3
21
23
! ! ! !& 0 . V F
d. Se ( )P x x x 23= - - - , allora ( )P 1 0- = . V F
e. a- è uno zero del polinomio, nella variabile x, x ax a x23 2 2- - . V F
eserCiZio GuiDa Scomponiamo in fattori con il metodo di Ruffini: P a a a a5 3 93 2= - + +^ h .
Cerchiamo gli zeri di P(a) tra i divisori del termine noto: 1! ; 3! ; 9! .
Calcoliamo: ( )P 1 1 5 3 9 0!= - + + ;
( )P 1 1 5 3 9 0- = - - - + = " a 1+ è divisore di P(a).
Eseguiamo la divisione:
( ) : ( )a a a a5 3 9 13 2- + + +
1 5- 3 9
" ( )Q a a a6 92= - + ; R 0= .
1- 1- 6 9-
1 6- 9 0
Otteniamo la scomposizione: ( )( )a a a a a a5 3 9 6 9 13 2 2- + + = - + + = ( ) ( )a a3 12
- + .
Scomponi in fattori, utilizzando la regola di Ruffini.
5x 2 - 4x - 1 [(x - 1)(5x + 1)]
2a3 - a2 - 5a - 2 [(a + 1)(a - 2)(2a + 1)]
a a3 43 2- + [( ) ( ) ]a a1 2 2
+ -
x x 23 2- + [( ) ( )]x x x1 2 22
+ - +
y y 24 2+ - [( ) ( )( )]y y y1 1 22
- + +
k k4 53+ + [( ) ( )]k k k1 52
+ - +
y y y y3 24 3 2- + - + y y y1 22 2
- + +^ ^h h6 @
a a3 23- + [( ) ( )]a a1 22
- +
x 3 - x 2 - 3x - 9 [(x - 3)(x 2 + 2x + 3)]
2b3 + 5b2 - 4b - 3 [(b - 1)(b + 3)(2b + 1)]
3b3 - 4b2 + 5b - 4 [(b - 1)(3b2 - b + 4)]
t 3 - 39t + 70 [(t - 2)(t - 5)(t + 7)]
3a3 - 2a2 - 5a - 6 [(a - 2)(3a2 + 4a + 3)]
x 3 - 3x - 2 [(x + 1)2(x - 2)]
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|▶ Teoria a p. 8
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33
ESERCIZ
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ERiepilogo: Scomposizione in fattori
x 3 - 2x 2 - 5x + 6 [(x - 1)(x + 2)(x - 3)]
4b + 16 + b4 - 2b3 - 10b2 [(b + 2)(b - 4)(b2 - 2)]
x x x2 83 2- + - [( 2)( )]x x x 42
- + +
8x x x 84 3+ - - [( 1)( 2)( )]x x x x2 42
- + - +
y 4 - 4y 3 - 2y 2 + 9y - 4 [(y - 4)(y - 1)(y 2 + y - 1)]
a5 + 32 [(a + 2)(a4 - 2a3 + 4a2 - 8a + 16)]
x 5 - x 4 - 10x 3 - 8x 2 [ ( )( )( )]x x x x1 2 42+ + -
6x 4 - 5x 3 - 2x 2 + x [x(x - 1)(2x + 1)(3x - 1)]
test (x + 1) è un fattore della scomposizione di P(x) = 2x 3 + 5x 2 + 2x + k se k è uguale a:
A 0. b -1. C 1. d -2. e 2.
Riepilogo: Scomposizione in fattori
a4 + a3 + a2 = a2(a2 + a)
9a4 - b16 = (3a2 - b4)(3a2 + b4)
a3b3 + 1 = (ab + 1)(a2b2 + ab + 1)
- x 2 - 4y 2 - 4xy = (- x - 2y)2
16x 2y 2 + 9z 4 = (4xy + 3z 2)2
a2 + 11a - 12 = (a + 1)(a - 12)
Vero o falso?
a. x ax a4 166 3 2- + è il quadrato
di un binomio. V F
b. x xy x y y2 2 2 12 2- - + - +
scomposto è ( )x y 1 2+ - . V F
c. Il polinomio x3 52+
è irriducibile. V F
d. Il trinomio x x 562- - si scompone
come trinomio speciale. V F
Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
A ( )a a a a3 1 3 13 2 3- - - = -
b ( )x x x8 1 16 1 42 2- - = - -
C ( ) ( )a b a b a b9 3 39 4 3 2 3 2- = + -
d ( ) ( )m n nm m m n m3 3 3 12+ + - = + -
e a ba ab a b b 2 14 2 4 4 1 22 2+ -+ + + - + = ^ h
Quale dei seguenti trinomi non è il quadrato di un binomio?
A 4x 2 + 9a2 + 12ax
b a4 + 16x 4 + 4a2x 2
C 4a2 + x 2 - 4ax
d 25 + 20a + 4a2
e 9x 2 + 4 + 12x
Il binomio 27a 3x 3 - 8a 3 è scomponibile in uno solo dei seguenti modi. Quale?
A (3ax - 2a)3
b (- 3ax + 2a)3
C (3ax - 2a) $ (9a 2x 2 + 4a 2)
d (3ax - 2a) $ (9a 2x 2 - 12a 2x + 4a 2)
e a 3(3x - 2) $ (9x 2 + 6x + 4)
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CaCCia all’errore
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test
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Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
34
ESERCIZ
IE
Scomponi in fattori.
c c25 10 12- +
a x x9 162 3 3-
k k k k k1 2 2 26 2 3 4+ + + + +
m m3 252+ -
t t t2 5 11 43 2- - -
t t4
25 5 2+ +
x ax a a6 3 2 2- + -
16 4x y x5 2 3-
c64 13-
b4 94-
25 9x x302+ -
1 9 27y y y272 3- + -
a a491
342
+ -
125x y3 6-
x x41 2
+ +
y y11 302- +
b b b271
312 3
+ + +
b 19-
3 3x x x x5 4 3 2- + -
x y xy y9 24 162- +
mt mt m2 4 302- -
c c c6 18 18 62 4 6- + -
a c a3 242 3 2-
t t13 123- -
x x x2 12 24 163 2- + -
x x6 2-
x x13 222- +
2x x x5 63 2- - +
1 2x x2- +
( )a b1 2- +
8 6 12x y x y x y x y5 2 3 2 4 2 2 2+ - -
- 7x 2y 2 + 14x 5y 6
xx
41
42
+ +
a2 + b2 + 4c2 - 2ab - 4ac + 4bc
x x x21
21
213 2
- +
y x y x xy94
49
34 2 32 2
+ + - + -
a b ab169
916 22 2
+ +
3ax + 3xy + 2a + 2y
8x 3 + 12x 2 + 6x + 1
( )x y22512
- -
a b a b ab271
21
49
8273 3 2 2
- + -
4x y z xy xz yz41 2 42 2 2
+ + + - -
y 3z 12 - a 9
3b2 + b - 10
x 3 - 2x 2 + 4x - 3 [(x - 1)(x 2 - x + 3)]
32x - 12x 2 - 16 [- 4(x - 2)(3x - 2)]
3x 5 - 81x 2 [3x 2(x - 3)(x 2 + 3x + 9)]
x y z xy xyz41
32
41
322 2 2 2
+ - - ( )xyz xy41
32 12
+ -b l: D
a625
14- a aa
51
51
2512
- + +b b bl l l: D
a x b abx ax2 22 2- + - [( ) ( )]ax b ax 2+ -
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Paragrafo 5. MCD e mcm di polinomi
35
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a a21 42- - [( ) ( )]a a7 3- +
t t t t27 54 8 364 3 2- - + [ (3 2) ]t t 3
-
2 2x x x43 2+ - [2 ( 1)( 2)]x x x- +
6x x13 52+ - [( ) ( )]x x3 1 2 5- +
3 7 2x x x2 3- + [ ( 3)(2 1)]x x x- -
4x y xy4 42 2+ - - [( ) ( )]x y x y2 22 2- + - -
2 2y x x y2 2 2 2- + - [(1 )(1 )( )]x x y 22
+ - +
x x x x4 2 24 3 2- - + ( ) ( )x x x2 1 2 12
- -6 @
a b a b ab ab3 3 3 3+ - - [ ( ) ( )( )]ab a a b1 1 12
- + +
y - 2 - x 2y + 2x 2 [(x + 1)(1 - x)(y - 2)]
12x 4y + 16x 2y 3 - 2x 5 - 24x 3y 2 [ ( ) ]x y x2 22 3-
(a + 1)(a2 + 1) - (a + 1)(a2 - 1) [2(a + 1)]
9x 2 - (x - 5)2 [(2x + 5)(4x - 5)]
x 6 - x 4 + x 2 - 1 [(x + 1)(x - 1)(x 4 + 1)]
(a + b)3x 2 - (a - b)3x 2 [6bx 2]
3ax - 3bx - 6ay + 6by [3(x - 2y)(a - b)]
12(a + b) - 6(a2 - b2) [6(a + b)(2 - a + b)]
x 3 + 4x 2 - 9x - 36 [(x + 4)(x - 3)(x + 3)]
(a + 2)2 - 1 [(a + 1)(a + 3)]
3x 4 - 12ax 2 + 12a2 [3(x 2 - 2a)2]
- 49a3 - 14a2b - ab2 [- a(7a + b)2]
-2xb2 - 4xb - 2x [-2x(b + 1)2]
x 5 - 10x 4 + 25x 3 [x 3(x - 5)2]
a9 - 3a6 + 3a3 - 1 [(a - 1)3(a2 + a + 1)3]
a b b16912
- b a a431 4
31
- +b bl l: D
a4(x 2 + 1) - 2a4 [a4(x + 1)(x - 1)]
x 6 - 12x 4 + 48x 2 - 64 [(x + 2)3(x - 2)3]
x 3 + x 2y - x - y [(x - 1)(x + 1)(x + y)]
7x 4 - 7 [7(x - 1)(x + 1)(x 2 + 1)]
MCD e mcm di polinomi
eserCiZio GuiDa Calcoliamo MCD e mcm dei polinomi: ; ;x x x x x x x2 8 4 2 16 323 2 3 2 2+ - + + + .
Scomponiamo in fattori i polinomi.
x x x x x x x x x2 8 2 8 2 43 2 2+ - = + - = - +^ ^ ^h h h
x x x x4 43 2 2+ = +^ h
x x x x x2 16 32 2 8 16 2 42 2 2+ + = + + = +^ ^h h
MCD = x 4+^ hmcm = x x x2 2 42 2
- +^ ^h h
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5 |▶ Teoria a p. 10
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fattori comuni con esponente più basso
fattori comuni e non comuni con esponente più alto
Capitolo 1. Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori
36
ESERCIZ
IE
Vero o falso?
a. Il mcm di polinomi non puòessere 1. V F
b. x 2- è un divisore di x x2 62- - . V F
c. I due polinomi x31 1+^ h e a b
52
+^ hnon hanno un divisore comune. V F
d. Il mcm di a3 9+ e a3 6+ è a3 9+ . V F
test Il MCD tra due polinomi è x x 1-^ h e il loro mcm è x x x1 12 2
- +^ ^h h. I due polinomi sono:
A ,x x x x2 12 2- - + .
b ,x x x x x22 4 3 2+ - + .
C ,x x x x x24 2 3 2- - + .
d ,x x x x2 14 2 2+ + + .
e ,x x x x2 3+ - .
di due polinomi che hanno x x2 32+ - come MCD.
di due polinomi che hanno x y x y5 54 2 3- come mcm.
eureka! Segui gli indizi! Del polinomio xB^ h si sa che: il mcm tra B x^ h e il polinomio x x 22- - è
x x x2 23 2- - + ; il MCD tra B x^ h e il polinomio x x 22
- - è x 1+ ; il coefficiente del termine di grado massimo di B x^ hè 1. Determina B x^ h.
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fai uN eseMPio
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Allenati con 15 esercizi interattivi con feedback “hai sbagliato, perché…”
su.zanichelli.it/tutor3 risorsa riservata a chi ha acquistato l’edizione con tutor
Calcola MCD e mcm dei seguenti polinomi.
a a15 33 2+ ; a a6 182
- ; a b a18 182 2+ . ;a a a a b3 18 5 1 3 1MCD mcm 2
= = + - +^ ^ ^h h h6 @m m253
- ; m m2 103 2- ; m m m6 53 2
- + . ;m m m m m m5 2 5 5 1MCD mcm 2= - = - + -^ ^ ^ ^h h h h6 @
x x12 12 32- + ; xy x y12 12 6 6- - + ; x y y6 32 2
- . ;x y x y3 2 1 6 2 1 1MCD mcm 2 2= - = - -^ ^ ^h h h6 @
a b ab22 2- ; a b ab6 122 2 3
+ ; a b a b3 63 2 2 3- - . ;ab a b a b a b2 6 2MCD mcm 2 2
= + = +^ ^h h6 @x x x16 83 2
- + ; x x x2 6 6 23 2- + - ; x x x8 10 23 2
- + . ; x x x1 2 4 1 1MCD mcm 2 3= = - -^ ^h h6 @
x 92- ; 6x x x4 3 2
- - ; x x x8 123 2+ - - . [MCD = (x - 3); mcm = (x - 3)(x + 3)(x + 2)2x 2]
2 2x x x43 2-+ ; 4 4xx 34
- ; 4x x43- . [MCD = 2x(x - 1); mcm = 4x 3(x - 1)(x + 1)(x + 2)]
a a a2 23 2+ - - ; a a a2 9 183 2
+ - - ; a a43- .
[MCD = (a + 2); mcm = a (a + 1)(a - 1)(a + 2)(a - 2)(a + 3)(a - 3)]
a b2 2- ; a b a b ab3 33 3 2 2
- - + ; a a ab b3 32- - + . [MCD = (a - b); mcm = (a - b)3(a + b)(3a - 1)]
3x 2 - 3x - 18; 4x 5 - 16x 3. [MCD = (x + 2); mcm = 12x3(x - 3)(x + 2)]
a2 - ab - 2a + 2b; b2 - 2b - ab + 2a; 4 - 2a + ab - 2b. [MCD = 1; mcm = (a - b)(a - 2)(b - 2)]
(x 2 - 4)(x 2 + 9); (x 3 + 9x)(x 2 + 4x + 4); x 3 - 4x. [MCD = (x + 2); mcm = x(x + 2)2(x 2 + 9)(x - 2)]
2x 3 - 50x; x 4 - 125x; x 4 - 2x 3 - 15x 2.[MCD = x(x - 5); mcm = 2x 2(x - 5)(x + 5)(x + 3)(x 2 + 5x + 25)]
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