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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STR

FACOLTA’ DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUD

Corso di Aggiornamento su Problematiche S

Verona, Novembre-Dicembre 2005

COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO DELLE S

INSTABILITÀ DELL’EQUILIBRIO ELAS

Antonio Cazzani

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Sommario

1. Comportamento a livello sezionale

2. Il concetto di cerniera plastica3. Analisi evolutiva

4. Instabilita dell’equilibrio

1

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Flessione elasto-plastica

Si considera una trave snella.

Sperimentalmente;

• aumentando il carico fino a collasso le sezioni ruotano ma si manten-

gono piane fino a collasso (Bernoulli-Eulero)

• nella parte centrale (M  = cost.) il legame momento-rotazione (relativatra due sezioni a a distanza unitaria) qualitativamente simile a quellosforzi-deformazioni.

• nel seguito si considera (per semplicita) una trave a sezione doppia-mente simmetrica

• il materiale sia elastico perfettamente plastico

• Deformazione assiale (Eulero Bernoulli)

ε = yχ,

• se tutte le fibre della sezione sono in campo elastico, gli sforzi assiali

sono dati da:

σ = Eε

• e sono legati al momento flettente dalla relazione:

σ =M y

J ,

• J  = momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse neutro

2

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• Legame momento curvatura (linea elastica):

χ = εy

= σEy

= M EJ 

.

• Lo sforzo nelle fibre piu sollecitate (±h/2) raggiunge il limite elastico(σ0) in corrispondenza di un momento flettente pari a:

M e =2σ0J 

h

≡ W σ0

3

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• W  = 2J/h e il modulo di resistenza elastico: e una caratteristicageometrica della sezione.

• Curvatura in corrispondenza del limite elastico (ε0 e la deformazione

in corrispondenza dello snervamento).

χe =M eEJ 

=2ε0

h,

• quando il momento supera M e le fibre piu esterne (per y ≥ ye) risultanoplasticizzate e soggette a sforzo costante σ0. Si ha ovunque ε = yχ e

in particolare ε0 = yeχ, da cui:

2ye

h=

χe

χ,

• quando tutta la sezione risulta plasticizzata si raggiunge il momentolimite (nella normativa indicato con  M Rd):

M L = Zσ0,

• dove Z  e il modulo di resistenza plastico (nella normativa indicato con W  pl), ed e una caratteristica geometrica della sezione al pari di W .

• essendo in generale M  =  A σydA, nella condizione limite si ha:

M L = σ0

 A

|y| dA

e quindi:

Z  =  A

|y| dA = 2S,

4

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• stati di coazione

M  = Zσ0 − Z eσ0 + W eσ0,

5

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• rapportando il momento corrente in fase elasto-plastica al momentolimite elastico:

M 

M e=

M LM e

(Z − Z e + W e)σ0

M L=

M LM e

1−

Z e − W eZ 

• in questa espressione compare il rapporto M L/M e che commisura lerisorse della sezione oltre il limite elastico

• fattore di forma:

α =M LM e

≡Z 

W 

6

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• il termine (Z e − W e)/Z  dipende dall’altezza della zona elastica dellasezione; essendo 2ye/h = χe/χ si ha anche:

M M e

= M LM e

1 − φ

χe

χ

.

• si e cosı ottenuto formalmente il legame momento-curvatura, che infase elasto-plastica sostituisce la legge elastica M  = EJχ.

• un calcolo strutturale basato su di un legame M −χ non lineare del tipo

sopra illustrato e definito dall’EC3 (punto 5.2.1.4) ‘metodo di analisi elasto-plastica’ 

7

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Esempio

W  =J 

(h/2)

=bh2

6

,

W e =b(2ye)2

6=

2

3× (by2

e ),

Z  = 2S  = 2×bh

2

×h

4

=bh2

4

,

Z e =b(2ye)2

4= by2

e .

Z e − W eZ 

=by2

e −23by2

e

bh2

4

=1

3

2ye

h

2

≡1

3

χe

χ

,

M 

M e =

3

2

1 −

1

3χe

χ2

.

8

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Il concetto di cerniera plastica

• carico in mezzeria monotonicamente crescente P (t) = λ(t)P 0.

• sezione a doppio T (con α = 1.14)• momento in mezzeria M (L/2) = P L/4

• quando il moltiplicatore raggiunge il valore:

λL =4M LP 0L

• la sezione di mezzeria raggiunge le sue risorse ultime

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• λL rappresenta quindi il moltiplicatore di collasso della trave

• la zona a cavallo del carico concentrato in cui il momento flettenteha superato il limite elastico M e = M L/α e sede di deformazioni siaelastiche che plastiche. L’estensione di tale zona vale:

∆L

L=

M L − M eM L

= 1 −1

α≡ 0.123

• cerniera plastica

• adottare il modello di cerniera plastica equivale a sostituire il legamemomento curvatura della generica sezione con un legame semplificato,formalmente analogo al legame σ − ε del materiale

• il calcolo strutturale semplificato in questo modo e definito dall’EC3 (punto 5.2.1.4) ‘metodo di analisi elastica perfettamente plastica’ 

11

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• se la trave e soggetta a un carico uniformemente distribuito p(t) =λ(t) p0, il moltiplicatore di collasso vale:

λL = 8M L p0L2

.

• l’ampiezza della zona in cui il momento supera il limite elastico e paria:

∆LL

= 

1− 1α

≡ 0.35

Si osserva che:

• l’ipotesi di formazione di cerniera plastica e piu drastica che nel casoprecedente

• quanto maggiore e il fattore di forma tanto piu semplicistico e loschema di cerniera plastica

12

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l’EC3 (punto 5.3.2) suddivide le sezioni trasversali in 4 classi, sulla basedelle loro capacita rotazionali e resistenti:

• la classe 1 comprende sezioni in grado di sviluppare una cerniera pla-stica, con la capacita rotazionale richiesta dall’analisi plastica 

• la classe 2 comprende le sezioni in grado di sviluppare il proprio mo-mento resistente plastico (e quindi di raggiungere M L) ma che hannouna capacita rotazionale limitata 

• la classe 3 comprende sezioni in cui si puo raggiungere la resistenza allo snervamento nelle fibre maggiormente compresse ma l’instabilita locale puo impedire il raggiungimento di  M L

• la classe 4 comprende quelle sezioni in cui e necessario mettere in conto gli effetti dell’instabilita locale

Mentre il momento resistente di progetto per una sezione di classe 1 o 2 eM L, per le sezioni di classe 3 e M e (ed e ancora minore per quelle di classe4)

L’analisi strutturale basata sullo schema di cerniera plastica e lecita per lesezioni di classe 1, nonche per le sezioni di classe 2, a patto di accertarnel’effettiva capacita rotazionale.

13

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Analisi evolutiva

Si suppone che:

• le travi abbiano sezione simmetrica (y = asse di simmetria) e siano

simmetricamente caricate ( xy = piano di flessione);• le altre azioni interne (N  e T ) non abbiano influenza sulla capacita

della sezione di trasmettere momento;

• i cambiamenti di configurazione fino a collasso siano piccoli, ovveroininfluenti sull’equilibrio;

• il diagramma momenti-curvature delle sezioni sia del tipo illustrato inFig. 21(c), ovvero elastico lineare fino a quando il momento raggiunge

il valore limite M L (analisi elastica perfettamente plastica); dopodichenella sezione in cui si forma la cerniera plastica possono svilupparsirotazioni teoricamente infinite.

1. Trave semplicemente appoggiata con carico distribuito

• il moltiplicatore di collasso vale:

λe =

8M L p0L2

• in questo esempio il carico limite ultimo della trave coincide con quelloche ne provoca la fuoriuscita dal campo elastico lineare

14

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2. Trave doppiamente incastrata con carico distribuito

• al crescere del carico si raggiunge il momento limite nelle sezioni diincastro, e il moltiplicatore vale:

λL =12M L p0L2

• quando anche nella sezione di mezzeria si raggiunge il momento limite,si forma una terza cerniera plastica e nasce quindi un cinematismo; ilmoltiplicatore vale:

λL

=16M L

 p0L2

15

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• la risorsa plastica della trave e data dal rapporto:

λL

λe=

16

12≡ 1.33.

• se la trave fosse stata dimensionata in base al metodo delle tensioniammissibili si sarebbe ottenuto un valore del carico ammissibile paria λe p0 = 12M L/L2. Con un dimensionamento allo stato limite ulti-mo di collasso plastico, si ottiene invece un valore del carico pari a

λL p0

= 16M L/L

2

, maggiore del 33% rispetto al precedente a parita digeometria e materiale.

Dall’esempio appena visto si possono trarre le seguenti osservazioni:

• in campo elasto-plastico non vale il principio di sovrapposizione deglieffetti;

• e possibile una ridistribuzione degli sforzi oltre il limite elastico se la

struttura e iperstatica;

• una struttura iperstatica puo possedere risorse plastiche ben oltre illimite elastico.

16

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L’iperstaticita e condizione necessaria, ma non sufficiente, per garantireche un sistema di travi possieda risorse di resistenza oltre il limite elastico.

λe = λL =8M LP 0L .

17

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Sollecitazioni composte

(Diagrammi di interazione)

• si indagano gli effetti dell’interazione tra azione assiale e momento

flettente, al fine di determinare la capacita portante ultima di travitenso o presso-inflesse

• in assenza di momento l’azione assiale (ultima) varrebbe N L = Aσ0

(nella normativa indicata con  N Rd).

• in presenza del momento M  il valore sopportabile e N  = Adσ0

• il rapporto tra i due valori e:

N 

N L=

Ad

A

• in assenza di azione assiale il valore del momento limite e M L = Zσ0

18

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• in presenza di azione assiale, da tale valore va detratta la quantit aM d = Z dσ0. Si ha quindi M  = (Z − Z d)σ0, ovvero

M M L

= 1− Z dZ 

.

nel caso di una sezione rettangolare:

Z  =bh2

4, Z d = bd2

N 

N L=

2d

h,

M 

M L= 1 −

4d2

h2

per cui la relazione tra momento ed azione assiale allo stato limite vale:

M 

M L + N 

N L2

= 1.

19

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σ0 =N 

A+

M 

2× A2

h2

2 1h/2

=N 

A+

M 

Ah/2

N 

Aσ0+ M 

(Ah/2)σ0=

N N L

+ M M L

≤ 1.

N 

N L+

M x

M Lx

+M y

M Ly

≤ 1

21

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.

dN  = −σ+0 b(yn)dyn + σ−0 b(yn)dyn

dM  = [−σ+0 b(yn)dyn] yn +

σ−0 b(yn)dyn

yn

dM 

dN  = yn

23

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Corso di Aggiornamento per Geome

su Problematiche Strutturali

aprile 2005

Telai elastoplastici

Antonio Cazzani e Giorgio Novati

Dip. di Ingegneria Meccanica e StrutturUniversità di Trento

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Il calcolo plastico di travi inflesse

Si basa sull’ipotesi che in regime elastoplastico la struttura possa essere i

tronchi perfettamente elastici connessi da cerniere plastiche localizzate in

In ogni sezione lungo la trave è potenzialmente presente una cerniera pla

snodo ad attrito (cerniera “arrugginita”) che non ruota finché

M

φ

0

M+0M+

χ

M

1tan EI−

0M−

0M−

0M M− < <

asse

geom

Altre ipotesi (ragionevoli per travi e telai):

- il centro di rotazione relativa di due sezioni adiacenti è sull’asse

geometrico della trave (non si ha quindi alcuna elongazione

dell’asse geometrico quando si manifesta una rotaz. plast.);

- taglio e azione assiale non influenzano il comportamento

flessionale.

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Analisi evolu

di trave dopp

con carico u

 b p :

2 b p 24λ

2 b p 12−λ

Fase elastica:Eλ < λ

carico base

+

E b pλ

0M−

0M+

0 = +0M 2

EM ( ,x)λ

 b pλ

=

cerniera

 plastica

E E 0: M( ,A e B) Mλ λ = −

0E 2

 b

12M

 pλ =

Fase elasto-plastica: E Lλ < λ < λL E L E: M( ,K) M( ,K)λ λ + ∆ λ − λ

:λ moltiplicatore

dei carichi

EI cost.=0 0 0

M M cost. M+ −= − = =

 p = λ p b

A

K 

B

E Emom. flett. (x) M( ,x) M( ,x)= λ + ∆ λ − λ

A

0M−

E Espost. trasv. v( ,x) v( ,x)= λ + ∆ λ − λ

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AAnalisi evolutiva elasto-plastica

di trave doppiamente incastrata con

carico uniform. distribuito (continuaz.)

EI c=

deform.

 plastica

contenuta

deform.

 plastica

libera

f Ef  Lf 

deform.

elastica

20

E

1 Mf 

32 EI=

20

L E

1 M 8f f 

12 EI 3= =

Eλ

Lλ

λdiagramma carico-freccia (in mezzeria)

0L 2

 b

16M

 p

λ =

0E 2

 b

12M

 pλ =

E

L

D

R f 

0M−

0

4M3

momento a collasso incipiente

momento elastico per carico λL p b dal basso 0

1M

3

risorsa

 plastica:

L

E

41.33

3

λ= =

λ

momento residuo (risulta costante)

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Trave incastrata alle estremita con carico co

PAL’iperstaticita’ e’ condizione necessaria ma

non sufficiente affinche’ possa attuarsi una

ridistribuzione dei momenti.

In questo caso non avviene alcuna

ridistribuzione.

All’aumentare del carico si formano

contemporaneamente 3 cerniere plastiche.

2

0E L

8MP P= =

2 2

LP

AM

−

P

f 

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Struttura isostatica:

comportamento elasto-plastico•Non presenta alcuna ris

 plastiche sono quelle ch

•Il collasso avviene al ra

in una sezione (nodo D)(in D) trasforma la strutt

•Questo comportamento

 b

3P

4− λ

 b

1P

4− λ

M( , x)λ

E E 0: M( ,D) Mλ λ = −

0E L

 b

4 M

3 Pλ = λ =

+0 0EI cost. ; M M cost.−

= = − =

λ bP / 2 λ bP

A

B C D

G

+

in D

Meccdi co

λλL bP / 2

A

B

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La situazione di collasso plas

La situazione limite, per λ=λL, detta anche di collasso plastico, è cos

la struttura è sede di un meccanismo di collasso plastico;

“meccanismo”: spostam. rigido infinitesimo delle aste,

compatibile con i vincoli int. ed esterni;

“plastico”: nel meccanismo la rotazione di ciascuna cerniera

deve essere concorde con il verso del momento limite ivi

 presente.

 per  λ = λL i momenti sono “conformi” cioè in equilibrio con

i carichi (amplificati da λL) e compatibili con la resistenza

locale:0 L 0M (x) M( ,x) M (x)− +≤ λ ≤

un fattore di carico λL + δλ di poco superiore al valore limite

non è tollerabile dalla struttura: i carichi in eccesso non possonoessere equilibrati da incrementi di momento compatibili con i

limiti di resistenza; se imposti, compiono lavoro positivo che si

traduce in energia cinetica.

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Analisi evolutivacon incastro e due ap

Efase elastica: λ < λ

1 1 E 1 1 EM ( ,x) M( ,x) M ( ,x)λ = λ + ∆ λ − λ

 b3 P56

−λ

 bPλ

 b

9P

56−λ

 b

1P

7λ M( ,x)λ

1 EM ( ,x)∆ λ − λ

E b

3( ) P

32− λ − λ

E b

13( ) P

64λ − λ

E 11^ fase el-plast. : λ < λ < λ

1 E 1 1 E 0: M( ,B)+ M ( ,B) Mλ λ ∆ λ − λ =

2^ fase el-plast.

2 1: M( ,C)+ Mλ λ ∆

(λ −

2/ 2/

A

E E 0: M( ,A) Mλ λ = − in A

in B

2/ 2/

AB C D

1 b

1

( ) P2− λ − λ

risorsa

 plast.: L

E

81.286

6.22

λ= =

λ

L bPλA

B

Meccanismo di

+

+0 0EI cost. ; M M−= = − =

E =6.22λ

1=6.769λ

2 L 8λ = λ =

B

2/ 2/

E b( )Pλ − λ

A B C D

= cerniera plastica

2 2 1M ( ,x) M (λ =

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Analisi evolutiva di travature elastop

carichi crescenti proporz. (calcolo p

• E’ una successione di analisi elastiche ognuna riguardanmeno iperstatica di quella del passo precedente*, fino allmeccanismo.

• Se il sistema e’ caricato da forze concentrate, il momentoin corrispondenza dei punti di applicazione dei carichi e d

delle travi; sono queste le “sezioni critiche” dove potrannoplastiche.

• Oltre a fornire il carico di collasso, l’analisi passo-passo fazioni interne e sul regime deformativo (spostamenti e roil processo di carico [azioni interne e deformazioni sono“distorsioni” (cedim. vincolari, difetti di assemblaggio, var

• Alternativa al calcolo passo-passo: e’ possibile determinmeccanismo di collasso con metodi diretti (“analisi limitealcuna informazione sull’evoluzione della riposta struttura

* a meno di scarichi locali

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Meccanismi di collasso plastico completi ( o “

e incompleti (o “parziali”)

A

B

mec

(3 ceA G

DB

C

struttura 3 volte iperst.

A

B

me

(4

A G

DB C

meccanismo completo

(4 cerniere plastiche)

Le azioni interne presenti a collasso in una struttura che sviluppi un mecca

staticamente determinate (cioe’ possono essere calcolate con consideraz. d

momenti plastici e al moltiplicatore di collasso.

Cosi’ non e’ per i meccanismi “incompleti” (iperstatiche residue).

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Requisiti:

1. adeguata resistenza;

2. adeguata capacita’ di rotazione

  plastica (ad M≅ M0);3. adeguata rigidezza in campo

elastico

1. in modo da poter trasmettere il mom. plastico M0 (il più piccolo dei

relativi ai due elementi da connettere);2. così da permettere che avvenga una redistribuzione dei momenti co

di cerniere plastiche in altre posizioni;

3. in modo da non indurre (in campo elastico) un allontanamento prog

configurazione deformata rispetto all’indeformata.

Requisiti a cui devono soddisfare le co

in una strutt. in acciaio per l’analisi in camp

Motivazioni:

0M

M

B

= momento trasmesso

D

Solo la connessione

è adeguata.

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Esperienze comparative

su nodi saldati

in acciaio Fe360 e Fe510

tratto da libro Massonet, Save (1980)

Per il nodo tipo 2 il momento plastico

teorico non viene raggiunto (l’anima del nodo

entra prematuramente in regime plastico).

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h

L / 2 L / 2

mProblema di impatto su

t1 = istante in cui la mass

altezza h [ v(t1) = 0

L / 2 L / 2

θ θ

maxw

maxw

L / 2

θ =

hmax(h w )+

mt2 = istante del contatto c

t3 = istante in cui si realiz

massimo wmax secon

di figura con cerniera

[ v(t3) = 0 , con v = v

Forme di energia predominanti nel fenomeno: energia potenziale (EP), en

energia dissipata nella cern

Bilancio energetico tra istanti t1 e t3 :1 3EP(t ) EP(t ) ED− =

φ (rotaz. plast.)

 pM

M

energia dissipata

max pmg(h w ) M+ =

Progetto trave: dati m, h, L, wmax

max p

max

mg L(h w )M

4 w

+=

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