TRIANGOLO AUREO

Per costruire un triangolo aureo su un segmento dato AB, si può procedere nel seguente modo:

Tracciare una perpendicolare passante per uno dei due estremi, in questo caso B, e riportarvi il punto C a una distanza pari alla metà di AB;

Con centro in C, si riporta la distanza da questo all'altro estremo del segmento, CA, individuando il punto D;

Con centro in B si riporta la lunghezza totale trovata, BD, sulla mediana del segmento.

La spiegazione è rapida; innanzitutto si tratta di trovare un lato che sia in rapporto aureo con la base data e si riporta una metà di questa ½, a cui si aggiunge l'ipotenusa del triangolo CAB, calcolabile per mezzo del teorema di Pitagora.

Ovviamente il rettangolo ABEG è il rettangolo aureo.

PENTAGONO AUREO

Costruzione del pentagono aureo:1. Circonferenza e costruzione del pentagono regolare;2. Costruzione dei triangoli all’interno del pentagono;3. Individuazione del punto c;

L’ampiezza degli angoli interni di un pentagono regolare è 108°.FGH è un triangolo aureo e quindi HF è congruente alla sezione aurea di HG.

IN UN PENTAGONO REGOLARE, IL LATO E’ CONGRUENTE ALLA SEZIONE AUREA DELLE DIAGONALI.

Anche il triangolo CGI è aureo, da ciò si deduce che IC è congruente alla sezione di CG. Ma CH è congruente a IC, quindi possiamo anche dire che CH è congruente alla sezione aurea di CG. Con questo possiamo affermare che in un pentagono regolare, due diagonali si dividono in segmenti, tali che il minore è congruente alla sezione aurea del maggiore.

Nel pentagono regolare è inscrivibile un triangolo aureo cui i lati obliqui corrispondono alle diagonali e la base al lato; il resto della figura viene completata da altri due triangoli, anch'essi isosceli e di proporzioni auree ma invertite nelle parti, detti gnomoni aurei proprio perché figure di completamento del pentagono.

DECAGONO

Decagono è un poligono con dieci lati e dieci angoli.Decagono regolare è un decagono con tutti i lati e gli angoli uguali; ciascun angolo ha ampiezza di 144° e ogni lato è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta al decagono stesso.

Sia AB il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O; dimostriamo che AB è la parte aurea del raggio OB.L’angolo AOB è di 36° essendo la decima parte di un angolo giro. Poiché il triangolo AOB è isoscele ed essendo il suo angolo al vertice di 36°, esso avrà gli angoli alla base di 72°.Tracciata la bisettrice AP dell’angolo OAB, si ottiene il triangolo ABP: in esso l’angolo B è di 72°, l’angolo BAP di 36° e quindi l’angolo APB è di 72°; allora il triangolo risulta essere isoscele e AB = AP.Anche il triangolo AOP è isoscele avendo gli angoli in A e in O di 36° per cui AP = OP . Si ha allora AB = AP = OP.I triangoli isosceli APB e AOB sono simili avendo tutti gli angoli rispettivamente uguali OB : AB = AB : BP

Poichè AB =OP concludiamo che OB : OP = OP : BP

dalla quale si deduce che OP è la parte aurea del raggio OB e quindi che il lato AB del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio.

Detta l la misura del lato AB e quindi di OP ed r la misura del raggio OB la relazione trovata si può scrivere come r : l = l : (r - l).

Applicando le proprietà delle proporzioni si ottiene da cui risulta che

(non accettabile perché negativo) e

e quindi che il lato del decagono regolare è

Servendoci delle proprietà viste possiamo dividere una circonferenza in dieci parti uguali e costruire il decagono regolare procedendo nel seguente modo:

si tracciano i due diametri perpendicolari AA’, CC’ e la circonferenza di diametro OC e centro M; unito A con M e indicato con D il punto di intersezione di

questa circonferenza con il segmento AM, si ha che AD è la parte aurea di OA e quindi AD è il lato del decagono regolare.

Se con apertura di compasso uguale ad AD partendo da A si interseca successivamente la circonferenza in B,E,F,G…. si divide questa in dieci parti uguali ottenendo il decagono.