CIRCUITI RLC IN RISONANZA

Nei circuiti LC ideali circola corrente elettrica alternata spontaneamente (senza generatore) e perennemente (la corrente continua a circolare per un tempo infinito). Tuttavia un circuito LC ideale non pu essere realizzato in pratica, pertanto ci chiediamo se ci sia un altro modo per far circolare corrente alternata in un circuito, collegando ad esempio ad esso un generatore opportuno.

CORRENTE ALTERNATA IMPLICA Una corrente alternata se lintensit ha una dipendenza oscillante dal tempo di tipo sinusoidale o cosinusoidale. Questo, ricordando che lintensit di corrente la derivata della carica rispetto al tempo, si verifica solo se anche la carica ha una dipendenza oscillante dello stesso tipo:

( ) ( ) += tQtQ sin0 ( ) ( ) ( ) +== tQtQti cos' 0

Ci chiediamo: di che tipo deve essere la differenza di potenziale garantita da un generatore in un circuito RLC affinch in esso circoli una corrente alternata?

Lequazione di un circutio RLC la seguente

( ) ( ) ( ) ( )tVdt

tidLtiRC

tQ=++

dove ( )tV la forza elettromotrice o differenza di potenziale variabile nel tempo garantita dal generatore. Risulta

( ) ( ) ( ) ( ) +=== tQtQtidt

tidsin''' 20

pertanto lequazione del circuito pu essere scritta nella forma

VLQRQCQ

=++ '''

e sostituendo si trova

( ) ( ) ( ) ( )tVtLQtRQtCQ

=++++ sincossin 2000

Dividendo per 0Q si ottiene

( ) ( ) ( ) ( )

0

sincossin1 QtV

tLtRtC

=++++

Raccogliendo seno e coseno separatamente si ottiene

( ) ( ) ( )

0

cossin1 QtV

tRtLC

=+++

FORMULA DELL ANGOLO AGGIUNTO

Se poniamo

=

L

CA 1 RB = += t

lespressione a primo membro diventa

cossin BA +

Posto coskA = e sinkB = , ammesso che riusciamo a determinare k e si pu scrivere la precedente espressione nella forma

( ) +=+ sincossinsincos kkk

Determiniamo ora k e risolvendo il sistema

=

=

BkAk

sincos

Dividendo la seconda per la prima otteniamo

AB

=tan

Elevando al quadrato entrambi i membri e sommando si ottiene

22222 sincos BAkk +=+

Raccogliendo e applicando la prima relazione fondamentale si ottiene

( ) 22222 sincos BAk +=+ 222 BAk += 22 BAk +=

DIFFERENZA DI POTENZIALE ALTERNATA Mettendo insieme tutti i risultati otteniamo:

( ) ( )

0

22

sin1 QtV

tRLC

=+++

da cui

( ) ( )

+++

= tRL

CQtV sin1 2

2

0

Pertanto, la differenza di potenziale che garantisce una corrente alternata necessariamente anche essa alternata, sinusoidale sfasata di rispetto a ( )tQ .

GENERATORE DI DIFFERENZA DI POTENZIALE ALTERNATA IMPLICA CORRENTE (RESIDUA) ALTERNATA

Viceversa, se applichiamo una differenza di potenziale del precedente tipo ad un circuito RLC, in esso circoler una combinazione di due correnti

- la prima alternata smorzata di pulsazione LC1

0 = propria del circuito LC semplice e

svanisce dopo poco tempo a causa della dissipazione nella resistenza R; - la seconda corrente alternata con la stessa pulsazione del generatore ed permanente,

cio continua a circolare anche quando la prima praticamente diventata trascurabile Ci chiediamo ora quale deve essere la pulsazione del generatore affinch lintensit di corrente sia la migliore possibile. Notiamo che la massima intensit di corrente nei precedenti calcoli espressa dalla formula

0QiMAX =

e la massima differenza di potenziale data da

22

01 RL

CQVMAX +

=

Il rapporto tra massima differenza di potenziale e massima intensit di corrente una generalizzazione del concetto di resistenza e si chiama impedenza

221 RL

CiVZ

MAX

MAX +

==

Limpedenza pu essere utilizzata sia per ricavare la differenza di potenziale massima che un generatore deve avere per garantire che nel circuito circoli corrente alternata di intensit data, sia viceversa per stabilire qual lintensit di corrente massima che circola in un circuito quando ad esso applichiamo un generatore di corrente alternata di differenza di potenziale data. In questultimo caso notiamo che

ZVi MAXMAX =

Pertanto la corrente ha intensit tanto maggiore quando minore il valore di Z; il valore ottimo si ottiene se Z minimo. Lunico parametro che possiamo far variare per minimizzare Z , poich C, R, L sono parametri del circuito fissati. Essendo

RZ il valore minimo dellimpedenza RZ = e si ottiene se

LCL

C101

2

==

In tale situazione si dice che verificata la condizione di risonanza.

PROPRIETA DEL CIRCUITO IN RISONANZA

Riassumendo, se ad un circuito RLC colleghiamo un generatore di differenza di potenziale alternata, la massima resa del circuito si verifica quando verificata la condizione di risonanza

LC1

=

Le propriet di un circuito in risonanza sono che: - tra tutti i circuiti RLC aventi stesse capacit, resistenza e induttanza a cui collegato un

generatore di differenza di potenziale massima assegnata, quello in risonanza attraversato dalla massima corrente possibile

Pi precisamente, tutti i circuiti RLC con un generatore di corrente alternata presentano un grafico dellintensnit di corrente di tipo sinusoidale i cui estremi sono MAXi e MAXi diversi per ciasun circuito e dipendenti dal particolare valore di del generatore. Quello in risonanza quello in cui lampiezza delle oscillazioni la massima possibile.

- limpendenza del circuito in risonanza la minima possibile e coincide con la resistenza

- la corrente che circola in un circuito in risonanza ha la stessa pulsazione di un circuito LC.

Pertanto anche se un circuito LC di realizzazione praticamente impossibile poich non esistono conduttori di resistenza nulla, un circuito con un comportamento molto simile si pu ottenere nella realt con un circuito RLC in condizione di risonanza.

t t t

i i

i

RISONANZA