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CAMPI MAGNETICI E INDUZIONEELETTROMAGNETICA

Quando si parla di campi magnetici, più propriamente si parla di:

Br

= INTENSITÀ DI CAMPO MAGNETICO

= INDUZIONE MAGNETICA (o densità di flusso magnetico)

Hr

B = Hµr r

L’equazione che lega queste due grandezze è:

dove:

µ = permeabilità magnetica del mezzo in cui si svolge il campo magnetico

Dimensionalmente (nel S.I.):

B = [T]

H = [A/m]

µ = [H/m] = [Ωs/m] = [Vs/Am]

Un mezzo è detto LINEARE se la

sua µ è sempre costante, cioè non

presenta i fenomeni né di saturazione

né di isteresi magnetica.1

Campi magnetici e induzione elettromagnetica

CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DA CORRENTIELETTRICHE

Proprietà fondamentale: le linee del campo di induzione magnetica sono

concatenate con il circuito elettrico che le produce.

Conduttore rettilineo percorso da corrente continua e

immerso in un mezzo omogeneo lineare di estensione infinita:

le linee del campo di induzione magnetica sono di forma

circolare, centrate rispetto al conduttore e giacenti in piani

ortogonali al conduttore stesso.

Il verso del campo di induzione magnetica è dato dalla regola

della mano destra: considerando il pollice nel verso in cui

scorre la corrente, il verso del campo di induzione magnetica è

dato dal verso di chiusura della mano.

Esempio:

2

B2

id

µπ

=

CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DACORRENTI ELETTRICHE

Campi magnetici e induzione elettromagnetica

La corrente che scorre in un circuito elettrico crea attorno a sé un

campo di induzione magnetica.

Questo campo teoricamente si estende all’infinito: in realtà la sua

intensità è inversamente proporzionale alla distanza dal circuito.

Quindi, oltre una certa distanza, l’intensità del campo di induzione

magnetica risulta trascurabile.

Per un conduttore rettilineo, vale la formula di Biot-Savart:

Dimensionalmente:

[ ] 2 2

VsH A s A A V s W bAT

m m m m m m m m

Ω = = = = =

3

BN il

µ=

CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DACORRENTI ELETTRICHE

Campi magnetici e induzione elettromagnetica

Nelle macchine elettriche i circuiti percorsi da correnti sono costituiti da più

spire contigue (solenoide). Se il solenoide è abbastanza lungo (almeno 5÷7

volte il diametro delle sue spire), l’induzione magnetica al suo interno può

essere considerata costante e pari a:

dove: N = n° spire, l = lunghezza assiale

Le linee del campo di induzione magnetica sono perpendicolari alle spire.

All’esterno del solenoide il campo è quasi nullo (approssimazione: si trascura

il flusso disperso).

4

BAΦ

=

CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DACORRENTI ELETTRICHE

Campi magnetici e induzione elettromagnetica

Facendo riferimento al solenoide, si definisce flusso magnetico (o flusso di

induzione):

dove: A = area della superficie ortogonale alle linee di induzione magnetica

Dimensionalmente:

[ ] 2

W bT

m =

(per questo B si può chiamare

“densità di flusso magnetico”)

B AΦ =

5

Campi magnetici e induzione elettromagnetica

CIRCUITI MAGNETICI

Fino ad ora abbiamo solo parlato di circuiti elettrici percorsi da corrente che

producono un campo di induzione magnetica.

Abbiamo detto che B = µ H, dove µ dipende dal mezzo in cui si svolge il

campo di induzione magnetica:

µ = µ0 µr

dove µ0 = permeabilità magnetica del vuoto = 4π*10-7 H/m

Se µr >>1 si parla di materiali ferromagnetici (per questi materiali µr non è

costante, sono materiali non lineari, che presentano fenomeni di saturazione e

isteresi magnetica).

La µr di un materiale riassume in sé le caratteristiche magnetiche del materiale

stesso (a parità di H, è maggiore B se è maggiore µr).

Per i materiali ferromagnetici, µr = 500÷4000 (è un numero puro).6

CIRCUITI MAGNETICICampi magnetici e induzione elettromagnetica

Si può intuire che, se abbiamo un solenoide avvolto attorno a un materiale

ferromagnetico, le linee del campo di induzione magnetica saranno per la

maggior parte confinate all’interno del materiale stesso.

Si parla di CIRCUITO MAGNETICO per definire lo sviluppo delle linee di

induzione magnetica che si svolgono prevalentemente entro materiali

ferromagnetici.

Si parla di NUCLEO MAGNETICO per definire il “corpo” costituito da

materiale ferromagnetico che realizza il circuito magnetico.

N.B.: Il circuito magnetico può essere non costituito interamente da materiale

ferromagnetico, ma può presentare delle parti in aria, denominate traferri.

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CIRCUITI MAGNETICICampi magnetici e induzione elettromagnetica

Le linee principali del flusso magnetico sono obbligate a seguire un percorso

determinato dalla forma del nucleo magnetico, ma anche dalla forma

dell’avvolgimento.

Si può fare un paragone tra il flusso magnetico in un circuito magnetico e la

corrente elettrica in un circuito elettrico.

La differenza fondamentale è che nel caso del circuito magnetico occorre tener

conto della DISPERSIONE MAGNETICA: alcune linee del campo di

induzione magnetica fuoriescono dal nucleo magnetico.

FLUSSO DISPERSO

Tuttavia, per esprimere le leggi dei circuiti magnetici in modo analogo a quelle

dei circuiti elettrici, occorre fare l’ipotesi di flusso disperso = 0.

N.B.: Per i circuiti magneticamente accoppiati, il flusso disperso ha un altro

significato.8

CIRCUITI MAGNETICICampi magnetici e induzione elettromagnetica

Riprendendo l’espressione dell’induzione

magnetica all’interno di un solenoide:

e la definizione di flusso magnetico: B AΦ =

BN il

µ=

A N il

µΦ =

lN iAµ

= Φ

Analogia con la legge di Ohm:

e R i=forza magnetomotrice (f.m..m.)N i =

1Λ = ℜ = permeanza = [H]

N iΦ =

lAµ

ℜ = = riluttanza = [1/H]

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CIRCUITI MAGNETICICampi magnetici e induzione elettromagnetica

ANALOGIA CON LA LEGGE DI OHM:

jN i = Φ ℜ∑

La f.m.m. Ni è analoga alla f.e.m. e

Il flusso Φ è analogo alla corrente i

La riluttanza ℜ è analoga alla resistenza R

La riluttanza ℜ è direttamente proporzionale alla lunghezza l e inversamente

proporzionale alla permeabilità µ e all’area della sezione trasversale A, così

come la resistenza R è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e

inversamente proporzionale alla sua conduttività e all’area della sua sezione

trasversale.

Legge di Hopkinson

Per un circuito magnetico costituito da più parti in serie, ciascuna con

un diverso valore di riluttanza ℜj , la f.m.m. totale è data da:

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

Fino a qui abbiamo parlato di flussi magnetici costanti nel tempo (prodotti da

correnti continue che percorrono avvolgimenti fissi nello spazio).

Le cose diventano più interessanti quando i flussi magnetici variano nel tempo.

B AΦ =

Quando varia il flusso magnetico?

1) quando varia B

2) quando varia A

1) B varia se varia i, cioè se il solenoide è alimentato con corrente di intensità

non costante ⇒ anche Φ sarà variabile nel tempo (Φ α B α i);

2) A varia se la spira si muove o si deforma.

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INDUZIONE ELETTROMAGNETICACampi magnetici e induzione elettromagnetica

Cosa succede quando varia il flusso magnetico concatenato con un circuito

elettrico?

Nasce una forza elettromotrice (f.e.m.) indotta:dedtΨ

=

NΨ = Φdove: è il flusso concatenato con N spire

dedtΨ

=Dimensionalmente:

[ ] W bV

s =

[ ] [ ]W b V s=

(fenomeno dell’induzione elettromagnetica - legge di Faraday)

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

AUTOINDUZIONE

Considerando un circuito elettrico percorso da corrente:

corrente i campo di induzione magnetica B(le cui linee sono sempre concatenate con

il circuito elettrico che le ha generate)

flusso magneticoconcatenato Ψ

corrente ivariabile

f.e.m. autoindotta

Se la corrente è variabile:

flusso magnetico concatenato Ψvariabile

fenomeno della AUTOINDUZIONE

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AUTOINDUZIONECampi magnetici e induzione elettromagnetica

Se µ è costante, sappiamo che:

Poiché

L iΨ =

B iα

2

LN ii =ℜ

Dimensionalmente:

e BαΦ αΨ Φ iαΨ

L = autoinduttanza

[ ] [ ]W b V sL s H

A A = = = Ω =

N iΦ =

NΨ = Φ

L iΨ =

2

LN

=ℜ

Inoltre, dalle seguenti equazioni si ricava il legame tra induttanza e riluttanza:

dedtΨ

=E dalla: si ricava:( )Ld i

edt

= Ldiedt

=

se L è costante:

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

MUTUA INDUZIONE

Se due circuiti elettrici sono disposti in modo tale per cui tutto o una parte del

flusso generato da un circuito si concateni con l’altro, si ha il fenomeno della

MUTUA INDUZIONE:

2 1 1M iΨ =

( )12121

Md idedt d tΨ

= =

1 2 2M iΨ =

flusso magnetico dovuto al 1° circuito e concatenato col 2°

flusso magnetico dovuto al 2° circuito e concatenato col 1°

( )21212

Md idedt d tΨ

= =

121 M

diedt

=

se M è costante:

212 M

diedt

=

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI

Il caso più semplice di circuiti magneticamente accoppiati consiste in due

avvolgimenti rispettivamente di N1 e N2 spire avvolti su un nucleo comune di

materiale ferromagnetico.

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

Il flusso prodotto da ciascun avvolgimento può essere separato in:

• flusso disperso (indicato col pedice )

• flusso magnetizzante (indicato col pedice m)

Il flusso disperso prodotto da uno dei due avvolgimenti si concatena solo con

questo avvolgimento: si definisce “disperso”, perché è “disperso” ai fini della

trasformazione dell’energia, in quanto si concatena solo con uno dei due

avvolgimenti.

Il flusso magnetizzante invece, sia che sia prodotto dall’avvolgimento 1, sia

che sia prodotto dall’avvolgimento 2, è concatenato con entrambi gli

avvolgimenti.

CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI

l

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

Il flusso che concatena ciascun avvolgimento è dato da:

CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI

2111 mm Φ+Φ+Φ=Φ l

1222 mm Φ+Φ+Φ=Φ l

1lΦ

2mΦ

1mΦ

2lΦ

è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 1 e concatena

solo le spire dell’avvolgimento 1

è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 2 e concatena

solo le spire dell’avvolgimento 2

è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 1 e concatena

tutte le spire degli avvolgimenti 1 e 2

è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 2 e concatena

tutte le spire degli avvolgimenti 1 e 2

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

Se il circuito magnetico può essere considerato lineare:

CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI

1

111

ll ℜ

=ΦiN

Le riluttanze di dispersione hanno un valore molto più elevato rispetto alla

riluttanza magnetizzante:

il flusso disperso è al massimo qualche per cento del flusso

magnetizzante (nei trasformatori reali).

2

222

ll ℜ

=ΦiN

mm

iNℜ

=Φ 111

mm

iNℜ

=Φ 222

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Campi magnetici e induzione elettromagnetica

CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI

I flussi concatenati sono dati da:

mm

iNiNiNℜ

+ℜ

+ℜ

=Φ 2211

1

111

l

mm

iNiNiNℜ

+ℜ

+ℜ

=Φ 1122

2

222

l

111 Φ=Ψ N

222 Φ=Ψ N

221

1

21

11

21

1 iNNiNiN

mm ℜ+

ℜ+

ℜ=Ψ

l

112

2

22

22

22

2 iNNiNiN

mm ℜ+

ℜ+

ℜ=Ψ

l

20

12Ψ

21Ψ

Campi magnetici e induzione elettromagnetica

CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI

Si osserva che i coefficienti dei primi due termini di ciascuna equazione

sono indipendenti dall’esistenza dell’altro avvolgimento: per questo motivo

sono definiti autoinduttanze:

11

21

1

21

11 mm

LLNNL +=ℜ

+ℜ

= ll

22

22

2

22

22 mm

LLNNL +=ℜ

+ℜ

= ll

I coefficienti del terzo termine di ciascuna equazione rappresentano invece

le mutue induttanze:

m

NNLℜ

= 2112

m

NNLℜ

= 1221 MLL == 2112

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