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Asignatura:Geometria Analitica.
Docente: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz.
Semestre: Tercero
Geometria Analitica
2 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
GUIA DE ESTUDIO NOMBRE DE LA CARRERA: Tecnología Superior en Redes y
Telecomunicaciones.
ESTADO DE LA CARRERA: Vigente _x_No vigente solo para registro de títulos__
NIVEL: Tecnológico.
TIPO DE CARRERA: Tradicional.
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Geometría Analítica
CÓD. ASIGNATURA: RT-S3-GEAN
PRE – REQUISITO: RT-S1-MATE, RT-S2-ALBO
CO – REQUISITO: NINGUNA
TOTAL HORAS: 112
Componente Docencia: 54
Componente de prácticas de aprendizaje: 18
Componente de aprendizaje autónomo: 40
SEMESTRE: Tercero PARALELO: “A”
PERIODO ACADÉMICO: noviembre 2019 – abril 2020 (IIPA 2019)
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 3
Indice
GUIA DE ESTUDIO _______________________________________________________ 2
PRESENTACIÓN _________________________________________________________ 7
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA __________________________________________ 9
DATOS INFORMATIVOS ........................................................................................................ 9
FUNDAMENTACIÓN .............................................................................................................. 9
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................. 10
IV. CONTENIDOS .................................................................................................................. 10
V. PLAN TEMÁTICO ............................................................................................................. 11
VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS................................... 11
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA
ASIGNATURA. ....................................................................................................................... 14
RECURSOS DIDÁCTICOS .................................................................................................... 16
SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA. ....................................................... 17
X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA ....................................................... 19
ORIENTACIONES PARA EL USO DE ESTA GUIA. __________________________ 20
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ________________________________________ 21
Unidad didactica I. Álgebra Vectorial Bidimensional.............................................................. 21
INTRODUCCION. ................................................................................................................... 21
Objetivo: ................................................................................................................................... 21
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA I............................... 22
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica I............................................................ 22
.................................................................................................................................................. Foro.
.................................................................................................................................................. 23
Operaciones Con Pares Ordenados........................................................................................... 24
Adición De Pares Ordenados ............................................................................................... 24
Representación Gráfica Del Producto De Un Par Ordenado Con Un Escalar. ........................ 25
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica I .......................................................... 26
Definición de espacio vectorial ................................................................................................ 26
ESPACIO BIDIMENSIONAL. ................................................................................................ 27
VECTORES.............................................................................................................................. 27
Tipos De Vectores. ................................................................................................................... 28
Vector Libre.- ........................................................................................................................... 28
Geometria Analitica
4 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Vector Deslizante ..................................................................................................................... 28
Suma de Vectores..................................................................................................................... 31
Resta de Vectores. .................................................................................................................... 33
Esta unidad muestra aspectos importantes, que los debemos mantener presentes en cada
momento de nuestra vida estudiantil y profesional, reconocer que es un par ordenado, los
signos de cada cuadrante y las operaciones que se pueden realizar tanto en el sistema de
coordenadas como con los vectores, que si analizamos se interrelacionan en diferentes
aspectos, tanto grafico como analitico. .................................................................................... 35
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad I. ................................................................ 35
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. _________________________________________ 37
Unidad Didactica II. Producto Escalar Y Normas De Un Vector ___________________ 37
INTRODUCCION. .................................................................................................................. 37
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA II ............................. 38
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica II ........................................................ 38
.................................................................................................................................................. Foro.
.................................................................................................................................................. 39
Propiedades Del Producto Escalar ...................................................................... 39
1 conmutativa ..................................................................................................................................... 39
Maneras de calcular el producto escalar ...................................................................... 39
Ejemplos ............................................................................................................................................ 40
Cálculo Del Módulo Y Ángulos De Vectores ......................................................................... 40
Calcular el módulo de un vector utilizando el producto escalar .................................................. 40
Calcular el ángulo entre dos vectores utilizando el producto escalar ........................................ 41
Ejemplos ............................................................................................................................................. 41
Normas De Vectores ................................................................................................................ 41
Vector Unitario ........................................................................................................................ 42
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad II. ............................................................... 43
Actividad Final Unidad II ........................................................................................................ 43
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. _________________________________________ 44
Unidad Didactica III. Proyeccion Ortogonalidad Componente. .............................................. 44
Introduccion. ............................................................................................................................ 44
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad III. .............................................................. 49
Actividad Final Unidad III ....................................................................................................... 49
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. _________________________________________ 50
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 5
Unidad Didáctica IV. La Recta. ____________________________________________ 50
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV. ___________________________ 50
Distancia entre dos puntos ........................................................................................................ 51
Representación gráfica de la línea recta ................................................................................... 52
Pendiente de la Recta ................................................................................................................ 52
Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera ........................................................ 52
La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuacion. ................................................... 53
Ecuación de la línea Recta ........................................................................................................ 55
Formas de la Ecuacion de la Recta. .......................................................................................... 55
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera ....................................................... 55
Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente .................................................................... 56
Ecuación de la recta de la forma con intersecciones ................................................................ 56
Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección .......................................................... 57
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV. ................................................... 60
Actividad Final Unidad IV. ...................................................................................................... 60
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ________________________________________ 61
Unidad Didactica V. La Circunferencia _______________________________________ 61
Introduccion. ............................................................................................................................. 61
Ecuacion de la Circunferencia con Centro en el Origen (0,0). ............................................ 62
__________________________________________________________________________ Tarea.
________________________________________________________________________ 64
Ecuacion de la Circunferencia que no tiene centro en el origen. ........................................ 64
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V. ............................................................... 69
Actividad Final Unidad V......................................................................................................... 69
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ________________________________________ 70
Unidad Didactica VI. Parabola ______________________________________________ 70
Introduccion. ............................................................................................................................. 70
Ecuación general de una parábola ................................................................................................. 73
Tangentes A La Parabola .......................................................................................................... 73
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad VI. .............................................................. 79
Actividad final de la Unidad VI ............................................................................................... 79
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ________________________________________ 80
Unidad Didactica VII. Elipse. _______________________________________________ 80
Geometria Analitica
6 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
INTRODUCCION. .................................................................................................................. 80
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad VII. ............................................................ 86
Actividad final de la Unidad VII .............................................................................................. 87
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. _________________________________________ 88
Unidad Didactica VIII. La Hiperbola _________________________________________ 88
Introduccion. ............................................................................................................................ 88
Relación entre las longitudes a, b y c de la hipérbola .......................................................... 89
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad VIII. ........................................................... 95
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 96
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 7
PRESENTACIÓN
Apreciado estudiante.
Iniciar este periodo, lleno de expectativas y desafíos y a la vez dar inicio a esta nueva
asignatura, con la firme decisión de triunfar y seguir avanzando en los conocimientos
de esta noble carrera, demostrando que fuiste creado para lograr lo que te propones.
Culminar esta carrera que te llevara a ser un Tecnólogo Superior en Redes y
Telecomunicaciones, tiene muchos sinsabores, alegrías, necesidades, algunas
ocasiones sentirse derrotado, pero tener el valor de recuperarte y en un futuro no muy
lejano, disfrutar del triunfo profesional.
La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos
materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre
influye en la vida de todo ser humano. El objetivo del presente trabajo es ayudar al
estudiante del tercer semestre de Geometría Analítica a comprender de qué manera
se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo
mismo. El Algebra vectorial bidimensional, Producto escalar y normas de un vector,
Proyección Ortogonal Componente, La Recta, La Circunferencia, La Parábola, La
Elipse, y la Hipérbola en sus diferentes representaciones (en el origen, fuera del origen
y su forma general), son las grandes temáticas en torno a las cuales se centrarán las
actividades de aprendizaje en este curso. Partiendo de que La Geometría Analítica,
estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los
problemas geométricos por métodos algebraicos, donde las coordenadas se
representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones, abordaremos las
temáticas anteriores partiendo de esta definición.
El estudio de redes de comunicación, nos brinda un conjunto de medios, tecnologías,
protocolos y facilidades en general, necesarias para el intercambio de información
entre los usuarios de la red, es por ello, que esta carrera necesita la parte fundamental
de la Geometria Analitica, ya que sin esta asignatura el desarrollo de nuevas
tecnologías y formas de comunicación no sería posible.
Esperamos que el presente texto contenga el material básico para el desarrollo de
este curso, bienvenido y.... ¡A estudiar!
La estructura de la guía está compuesta por ocho unidades.
Sistema General de conocimientos
Unidad 1: Álgebra Vectorial Bidimensional donde estudiaremos el Sistema de
coordenada unidimensional y bidimensional,el sistema cartesiano y el par
ordenado asi como la igualdad de pares ordenados de numeros reales,
asi como la distancia entre dos puntos, la suma y multiplicacion de un par
ordenado por un escalar, para concluir con el espacio vectorial y su
representacion grafica.
Geometria Analitica
8 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Unidad 2: Producto escalar y normas de un vector, en esta unidad desarrollaremos
el Producto escalar de vector, la Longitud o normas de un vector y lo que
es vector unitario
Unidad 3: Proyección Ortogonalidad Componente, en esta unidad comprenderemos
la Ortogonalidad de vectores, la Proyección De Un Vector Sobre Un
Subespacio y la Distancia Y Ángulo Entre Un Vector Y Un Subespacio
Unidad 4: La Recta, en esta unidad nos introducimos al estudio Ecuaciones, el
Paralelismo e intersección de rectas y las ecuaciones de la recta y sus
formas y su pendiente.
Unidad 5: Circunferencia, en este tema nos referiremos a la Ecuación de la
circunferencia y la Recta tangente de una circunferencia
Unidad 6: Parábola, revisaremos la definición de la parábola, y la tangente de una
curva plana, con los elementos de la parábola y sus ecuaciones.
Unidad 7: Elipse revisaremos la Definición, elementos y ecuaciones
Unidad 8: Hipérbola, concluimos esta guia estudiando la Definición, elementos y
ecuaciones
Apreciado estudiante, de tu dedicación depende que comprendas y apliques
estos conocimientos de Geometria Analitica.
Éxitos
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 9
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO”
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA DATOS INFORMATIVOS NOMBRE DE LA CARRERA: Tecnología Superior en Redes y
Telecomunicaciones.
ESTADO DE LA CARRERA: Vigente _x_No vigente solo para registro de títulos__
NIVEL: Tecnológico.
TIPO DE CARRERA: Tradicional.
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Geometría Analítica
CÓD. ASIGNATURA: RT-S3-GEAN
PRE – REQUISITO: RT-S1-MATE, RT-S2-ALBO
CO – REQUISITO: NINGUNA
TOTAL HORAS: 112
Componente Docencia: 54
Componente de prácticas de aprendizaje: 18
Componente de aprendizaje autónomo: 40
SEMESTRE: Tercero. PARALELO: “A”
PERIODO ACADÉMICO: noviembre 2019 – abril 2020 (IIPA 2019)
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
FUNDAMENTACIÓN La Geometría Analítica es una asignatura teórica – practica, que busca que el
estudiante use el razonamiento lógico y crítico en soluciones de problemas de Redes
y Telecomunicaciones.
En cuanto a la importancia de esta disciplina en Redes y Telecomunicaciones juega
un papel muy significativo pues constituye una herramienta fundamental para el
análisis y toma de decisiones de las actividades que realiza el futuro profesional en
esta área.
Con este acercamiento surge la necesidad de comprender la teoría de esta parte de
la Geometría Analítica, realizar problemas de Algebra vectorial bidimensional,
Producto escalar y normas de un vector, Proyección Ortogonalidad Componente, La
Recta, La Circunferencia, La Parábola, La Elipse, y la Hipérbola que permiten
procesos del pensamiento creativo y abstracto.
Por lo que la Geometría Analítica toma al razonamiento lógico matemático como
objeto de estudio para la modelización de situaciones que permitan dinamizar el
siguiente objetivo:
Geometria Analitica
10 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Resolver problemas de Geometría Analítica a nivel superior sobre algebra vectorial
Bidimensional, Producto escalar y normas de un vector, Proyección Ortogonalidad
Componente, La Recta, La Circunferencia, La Parábola, La Elipse, y la Hipérbola, por
medio del sustento teórico científico y formulación respectiva que empleen procesos
matemáticos, de demostración, principios, leyes y procedimientos, que nos permitan
la evaluación de resultados en problemas de la vida diaria, alcanzando creatividad y
criticidad en la manipulación de información, presentadas a través de gráficas y
análisis de la información estudiada.
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Unidad I.- Resolver problemas de algebra vectorial bidimensional, aplicando la
teoría vectorial, para su aplicación en la carrera con responsabilidad.
Unidad II.- Realizar operaciones de Producto escalar y normas de un vector,
aplicando las reglas vectoriales, para relacionarlos con la vida
profesional con responsabilidad.
Unidad III.- Calcular la Proyección Ortogonalidad Componente, con la ayuda de los
constructos teóricos, que permitan la representación en el plano con
disciplina.
Unidad IV.- Resolver problemas de la recta, a través de las diferentes formas para
su aplicación en problemas del diario vivir actuando con responsabilidad.
Unidad V.- Encontrar la ecuación de la circunferencia, con la ayuda de los
constructos teóricos, para aplicarlos en la resolución de problemas de la
profesión con disciplina.
Unidad VI. - Encontrar la ecuación de la parábola, a través de la formulación
respectiva, para su aplicación en la vida profesional con disciplina
Unidad VII.- Encontrar la ecuación de la elipse, a través de la formulación respectiva,
para su aplicación en la vida profesional con disciplina
Unidad VIII.- Encontrar la ecuación de la hipérbola a través de los algoritmos
matemáticos para su aplicación en problemas de la vida diaria con
responsabilidad.
IV. CONTENIDOS Sistema General de conocimientos
Unidad I.- Álgebra Vectorial Bidimensional
Unidad II.- Producto escalar y normas de un vector
Unidad III.- Proyección Ortogonalidad Componente.
Unidad IV.- La Recta
Unidad V.- Circunferencia
Unidad VI.- Parábola
Unidad VII.- Elipse.
Unidad VIII.- Hipérbola.
Sistema General de Habilidades
Unidad I.- Resolver problemas de algebra vectorial bidimensional
Unidad II.- Realizar operaciones de Producto escalar y normas de un vector
Unidad III.- Calcular la Proyección Ortogonalidad Componente
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 11
Unidad IV.- Resolver problemas de la recta
Unidad V.- Encontrar la ecuación de la circunferencia
Unidad VI. - Encontrar la ecuación de la parábola
Unidad VII.- Encontrar la ecuación de la elipse.
Unidad VIII.- Encontrar la ecuación de la hipérbola.
Sistema General de Valores
Unidad I.- Responsabilidad al desarrollar el trabajo autónomo.
Unidad II.- Responsabilidad en el trabajo en equipo.
Unidad III.- Disciplina al trabajar en grupo y compartir las ideas en el aula.
Unidad IV.- Responsabilidad al presentar los trabajos de investigación.
Unidad V.- Disciplina al resolver los ejercicios en el aula.
Unidad VI.- Disciplina en la construcción de ideas y obligaciones del grupo.
Unidad VII.- Disciplina para encontrar la ecuación de la elipse y evaluar con sus
compañeros los resultados obtenidos.
Unidad VIII.- Responsabilidad en organizar el trabajo en equipo y entregarlos a tiempo.
V. PLAN TEMÁTICO DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN
HORAS
TEMAS DE LA ASIGNATURA C CP S CE T L E THP TI THA
Álgebra Vectorial Bidimensional 2 4 1 - 2 - 1 10 5 15
Producto escalar y normas de
un vector 1 4 1 - 2 - 1 9 5 14
Proyección Ortogonalidad
Componente. 1 4 1 - 2 - 1 9 5 14
La Recta 2 8 1 - 2 - 3 16 5 21
La Circunferencia 1 3 - - 1 - 1 6 5 11
Parábola 1 3 - - 1 - 1 6 5 11
Elipse 1 3 - - 1 - 1 6 5 11
Hipérbola 1 3 - - 1 - 1 6 5 11
EXAMEN PRIMERO Y SEGUNDO PARCIAL 4 4 _ 4
total de horas 10 32 4 - 12 - 14 72 40 112
Leyenda:
C. Conferencias.
S Seminarios.
CP Clases prácticas.
CE Clase encuentro.
T Taller.
L Laboratorio.
E Evaluación.
THP Total de horas presenciales.
TI Trabajo independiente.
THA Total de horas de la asignatura.
VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS Unidad I: Álgebra Vectorial Bidimensional
Geometria Analitica
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Objetivo: Resolver problemas de algebra vectorial bidimensional, aplicando la teoría
vectorial, para su aplicación en la carrera con responsabilidad.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Sistemas de coordenadas
unidimensional y
bidimensional.
Sistema Cartesiana
Par ordenado
Igualdad de pares ordenados
de números reales
Distancia entre dos puntos en
los sistemas de coordenadas
Adición de pares ordenados de
números reales
Multiplicación de un par
ordenado de números reales
por un escalar
Espacio vectorial
Bidimensional
Vector
Diferencia de vectores
Representación Gráfica de
vectores
Identificar el tipo de sistemas
de coordenadas
manejar con destreza el
sistema de coordenadas
Identificar su ubicación
Procesar con habilidad el
sistema de pares.
Calcular la distancia
Resolver con habilidad suma
de pares ordenados
multiplicar con agilidad un par
ordenado por un escalar.
Aplicar los conceptos de
espacio vectorial
Identificar las partes de un
vector
Aplicar correctamente la
diferencia de vectores.
Realizar con precisión la
traficación de vectores.
Responsabilidad al
desarrollar el trabajo
autónomo conceptual.
Responsabilidad en el
trabajo en equipo
Unidad II: Producto escalar y normas de un vector
Objetivo: Realizar operaciones de Producto escalar y normas de un vector, aplicando
las reglas vectoriales, para relacionarlos con la vida profesional con responsabilidad.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Producto escalar de vector.
Longitud o normas de un
vector
Vector unitario
Resolver con destreza
productos escalares.
Aplicar con habilidad el
manejo de la longitud y
norma de un vector.
graficar vectores unitarios
Responsabilidad para
elaborar las
operaciones de
producto escalar.
Responsabilidad al
compartir los
conocimientos
adquiridos con sus
compañeros
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 13
Unidad III: Proyección Ortogonalidad Componente.
Objetivo: Calcular la Proyección Ortogonalidad Componente, con la ayuda de los
constructos teóricos, que permitan la representación en el plano con disciplina.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Ortogonalidad de vectores
Proyección De Un Vector
Sobre Un Subespacio
Distancia Y Ángulo Entre Un
Vector Y Un Subespacio
Calcular la proyección
ortogonal de un vector.
Calcular la proyección de un
vector sobre un subespacio.
Calcular la distancia y ángulo
entre un vector y un
subespacio
Disciplina durante el
trabajo en equipo, en
el cálculo de las
proyecciones de un
vector
Disciplina para el
cálculo de distancia y
ángulo
Unidad IV: La Recta
Objetivo: Resolver problemas de la recta, a través de las diferentes formas para su
aplicación en problemas del diario vivir actuando con responsabilidad.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Ecuaciones
Paralelismo de rectas
Intersección de rectas
Ecuaciones de la recta.
Pendiente de una recta
Comprender la teoría de las
ecuaciones
Aplicar correctamente las
condiciones de paralelismo
Interpretar correctamente la
intersección de rectas.
Identificar con habilidad la
forma de la ecuación de la
recta
Calcular correctamente la
pendiente de la recta.
responsabilidad en el
cumplimiento y
entrega de tareas.
responsabilidad en el
cálculo de las
ecuaciones de la
recta.
Unidad V: La Circunferencia
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia, con la ayuda de los constructos
teóricos, para aplicarlos en la resolución de problemas de la profesión con disciplina.
Sistema de conocimiento Sistema de habilidades Sistema de Valores
Ecuación de la circunferencia
Recta tangente de una
circunferencia
Encontrar con facilidad la
ecuación de la
circunferencia.
Aplicar correctamente las
condiciones de la recta
tangente de una
circunferencia.
disciplina al Compartir
los conocimientos
Disciplina para
Valorar los procesos
matemáticos y la
aplicación de las
diversas fórmulas
Unidad VI: Parábola
Geometria Analitica
14 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Objetivo: Encontrar la ecuación de la parábola, a través de la formulación respectiva,
para su aplicación en la vida profesional con disciplina
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Definición.
Tangente de una curva plana
Elementos de una parábola
Ecuaciones
Entender la teoría de la
parábola
Aplicar las fórmulas
necesarias para determinar
la tangente de una curva.
Identificar ágilmente los
elementos de una parábola.
Resolver con destreza las
ecuaciones de la parábola
Disciplina en la
aplicación de la teoría
de la parábola
Disciplina en la
interpretación de los
elementos de la
parábola.
Unidad VII: Elipse
Objetivo: Encontrar la ecuación de la elipse, a través de la formulación respectiva,
para su aplicación en la vida profesional con disciplina
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Definición
Elementos
Ecuaciones
Entender que es la elipse.
Identificar los elementos de
la elipse.
Resolver ágilmente las
ecuaciones de la elipse
Disciplina en la
identificación de los
elementos de la elipse
Disciplina en la
resolución de
ecuaciones de la
elipse.
Unidad VIII: Hipérbola
Objetivo: Encontrar la ecuación de la hipérbola a través de los algoritmos
matemáticos para su aplicación en problemas de la vida diaria con responsabilidad.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Definición
Elementos
Ecuaciones
Entender que es la
hipérbola.
Identificar los elementos de
la hipérbola.
Resolver ágilmente las
ecuaciones de la hipérbola
Responsabilidad en la
identificación de los
elementos de la
hipérbola.
responsabilidad en la
interpretación de las
ecuaciones de la
hipérbola
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA ASIGNATURA.
• Las clases se desarrollarán en ocho unidades, tomando en cuenta el siguiente
proceso:
• Controles de lectura: Se indica la temática a trabajarse al estudiante, el miso
que tiene que revisar el sustento teórico para compartir en la sala de clase.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 15
• Resúmenes de clase: El estudiante en cada clase tomará apuntes de las partes
esenciales, las mismas que serán validadas la clase siguiente mediante
preguntas simples por participación voluntaria.
• Actividades extra clase: Consisten en resolución de sistemas de ejercicios o
problemas propuestos por cada temática.
• Talleres o actividades intra clase: Se entregará un material de apoyo teórico el
mismo que se lo debe de resolver con el direccionamiento del docente,
respetando los niveles de asimilación: Familiarización, Reproducción,
Producción y Creación.
• Participación activa en la pizarra: Esta se desarrollará de acuerdo a la temática,
por participación voluntaria o elección al azar, para la validación de procesos y
algoritmos de resolución.
• Trabajos de investigación: Consiste en procesos de carácter investigativo en el
cual el estudiante pone de manifiesto su creatividad al proponer organizadores
gráficos, con ejemplos y caracterizaciones del sustento teórico de la temática
consultada.
• GeoGebra: Aplicación de sistemas de ejercicios o problemas propuestos de las
temáticas inferidas en los que se tiene que evaluar usando el programa
GeoGebra.
• Trabajos colaborativos: Se formarán grupos de trabajo para la solución de
problemas propuestos usando a mediación tecnológica para la consecución de
los informes.
• Portafolio: Será revisado por evaluaciones tomadas a los estudiantes
(parciales, finales y supletorias) y servirá como material de apoyo teórico, en el
mismo se acumulará todos los trabajos desarrollados dentro y fuera de clase.
• Actividades EVA: Se trabaja con el entorno virtual, en el que se enviarán tareas
y se contará con un espacio de ideologización entre estudiantes con el
direccionamiento de preguntas disparadoras o generadoras de conflictos socio
cognitivos, a través de foros de discusión permitiendo reflexiones
metacognitivas en cada aporte.
Para el desarrollo de la asignatura los estudiantes tienen el apoyo de links en el blog,
en los cuales se ha subido direcciones de libros de consulta o textos guías.
Al final de cada unidad se realizarán clases prácticas de vinculación en una institución
nocturna, para evidenciar lo asimilado en cada clase, es decir serán cuatro clases
prácticas por semestre.
Los métodos utilizados son:
Método Reproductivo:
Método Explicativo y Método Ilustrativo: El alumno se apropia de conocimientos
elaborados y los reproduce mediante modos de actuación. El docente explica y dirige
la clase mientras el estudiante atiende y asimila los conocimientos. El estudiante
ilustra a través de ejemplos la temática inferida.
Método de Exposición Problemática: Es un método intermedio, pues supone la
asimilación de la información elaborada y de elementos de la actividad creadora. Se
Geometria Analitica
16 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
establecen grupos de trabajo, facilita cierta información y permite al estudiante que
contribuya con su creatividad, ejemplifica los algoritmos de resolución de problema y
se colabora con el estandarte para la creación de su propio ejercicio.
Método Productivo:
Método Heurístico o de Búsqueda parcial de Método Investigativo. - Permite al
estudiante alcanzar conocimientos nuevos, como resultado de la actividad creadora.
El docente estimula a la investigación, y con dicha información realiza talleres de
producción textual y estimula al mismo a crear sus propios ejercicios.
Las Técnicas de Enseñanza se detallan a continuación:
Del interrogatorio: En el uso de preguntas y respuestas para obtener información y
puntos de vista de aplicación de lo aprendido, mediante esta técnica se pretende
despertar y conservar el interés, se exploran experiencias, capacidad, criterio de los
estudiantes y comunicación de ellos.
Del redescubrimiento: Realizar un aprendizaje satisfactorio y efectivo en el cual el
estudiante observa, piensa y realiza.
De la discusión dirigida: Realizar un análisis, una confrontación, una clasificación de
hechos, situaciones, experiencias, problemas, con presencia de docente. Se centra
en la discusión, en el cual se obtienen conclusiones positivas o valederas.
Operatoria: Consiste en realizar actividades de operaciones que permitan el
razonamiento y la comprensión facilitando el aprendizaje
De la resolución de problemas: Permite solucionar problemas matemáticos mediante
un orden lógico, secuencial, práctico y de razonamiento.
Lluvia de ideas: El grupo actúa en un plano de confianza, libertad e informalidad y sea
capaz de pensar en alta voz, sobre un problema, tema determinado y en un tiempo
señalado.
Diálogos simultáneos: Lograr la participación de un gran grupo, dividido en parejas,
respecto a un tema de estudio, trabajo, tarea o actividad.
Del informe o trabajo escrito: En elaborar pasos para trabajos escritos con estilo
propio.
Habrá tres documentos pedagógicos básicos que permiten evidenciar los resultados
de las actividades del trabajo autónomo y de grupos, desarrollados a partir del sílabo
de la asignatura.
• Carpeta con trabajos extractase e intraclase, grupales (hasta 3 a 5 alumnos).
Desarrollo de ejercicios aplicados a la teoría.
• Carpeta de trabajos autónomos. En especial consultas sobre temas especiales
y que hayan sido sustentados demostrando su dominio.
• Registro de avance académico. Revisión de trabajos extractase, trabajos
autónomos, lecciones orales en el aula, pruebas escritas y exámenes escritos.
Evidencia el cumplimiento y la calidad del trabajo.
RECURSOS DIDÁCTICOS Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.
Audiovisuales: Computador, proyector, celulares inteligentes, tabletas, laptops y
laboratorio de computación.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 17
Técnicos: Materiales de apoyo complementarios, Sistemas de ejercicios de
aplicación práctica, Documentos de apoyo, Separatas, texto básico, guías de
observación, tesis que reposan en biblioteca. Plataforma Amauta.
SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
El sistema de evaluación será sistemático y participativo, con el objetivo de adquirir
habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la calidad e
integridad de la formación profesional.
Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el
docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión
de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.
Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil
para proceder a evaluar la asignatura, de esta manera se toma como criterio de
evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas evidenciadas dentro
del aula de clases en relación a la labor que un auditor de sistemas realiza.
Cada alumno deberá demostrar lo aprendido en cada una de las unidades
académicas, y de esta manera esté apto para desenvolvimiento profesional.
Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los
criterios de evaluación del proyecto final. Se determinará el objeto de estudio, que en
este caso es la administración de base de datos y todos los puntos que ésta conlleva
para su aprobación.
Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una
duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre
cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de
investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial
que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá
una nota total de siete puntos como máximo.
El examen final se llevará a cabo mediante la ejecución de un proyecto integrador de
asignaturas y tiene una valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá
obtener una nota total de diez puntos.
El proyecto integrador del presente semestre corresponde a la Implementación de una
red de datos para las empresas públicas y privadas.
Por tal motivo, la asignatura geometría analítica contribuirá en el proyecto integrador
mediante el presupuesto y diseño en planta de la ubicación de la red y sus accesorios
y equipos
Los parámetros de evaluación del presente proyecto o actividad de vinculación de la
asignatura, se clasifican en parámetros generales que serán los mismos en todas las
Geometria Analitica
18 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
asignaturas y en parámetros específicos que corresponde únicamente a la asignatura;
la cual se detallan a continuación:
Aporte de la asignatura al proyecto 1,50
- Veracidad en la recolección de datos 0,40
- Precisión en los cálculos matemáticos 0,40
- Correcta graficación del modelo matemático 0.30
- Implementación del modelo matemático 0,40
Parámetros Generales 1,50
Dominio del Tema 0,50
Redacción, coherencia y desarrollo del proyecto integrador 1,00
TOTAL 3,00
Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas
propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se
procederá a la respectiva firma de constancia.
Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:
• 10,00 a 9,50: Excelente
• 9,49 a 8,50: Muy Bueno
• 8,49 a 8,00: Bueno
• 7,99 a 7,00: Regular
• 6,99 a Menos: Deficiente
Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la
asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.
Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,
deberá presentarse a un examen supletorio en la cual será evaluado sobre diez puntos
y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota obtenida
en acta final ordinaria de calificaciones.
Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son
quienes estén cursando la asignatura por tercera ocasión, y aquellos que no hayan
alcanzado la nota mínima de 2,50/10 en la nota final.
El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante
oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres
días hábiles
El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas,
luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los
estudiantes.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 19
Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo
amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el
Instituto Tecnológico Superior Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.
X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA
MURRAY R. SPIEGEL-SEYMOUR LIPSCHUTZ-DENNIS SPELLMAN. Análisis
Vectorial. México. 2da edición. Editorial Mcgraw-Hill. 2011. 253p.
BALDOR AURELIO. Algebra. 2da edición. México. Grupo Editorial Patria. 2007.
576 p.
BALDOR AURELIO. Geometría y Trigonometría. 2da edición. México. Grupo
Editorial Patria. 2007. 624p.
LEHMANN CHARLES H. ALGEBRA. México. Primera edición. Editorial Limusa
– Wiley. S. A. 1964. 473p
DAVID C. LAY. Algebra lineal y sus aplicaciones. Segunda edición. México.
Editorial Pearson Prentice Hall. Addison Wesley Longman., 1999. 750p.
WEBER JEAN E. Matemáticas para Administración y Economía. 4ta edición.
México. Editorial Mexicana, 2003. 836 pág.
ERNEST F. HAEUSSLER, JR. / RICHARD S. PAUL. Matemáticas para
Administración y Economía. Décima Edición. México. Editorial Pearson Prentice
Hall., 2003. 915p.
WILLIAM ANTHONY GRANVILLE. Cálculo Diferencial e Integral. 11va edición.
México. Editorial Limusa S.A. 2009. 704p.
LOUIS LEITHOLD. Calculo para ciencias administrativas, biológicas y sociales.
2da edición. México. Editorial Alfaomega. 2006. 672p.
SOO T. TAN. Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de
la vida. 5ta edición. México. Editorial Cengage Learning, inc. 2011. 925p.
SWOKOWKI /, COLE, Algebra, y Trigonometría con Geometría Analítica, 12va
edición, México. Editorial Cengage Learning. 2009. 1033p.
CHARLES H LEHMANN. Geometría Analítica. 5ta edición, México Editorial
Limusa. 2012. 512p.
Machala, 29 de octubre del 2019
Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:
Ing. Rafael S Salcedo Muñoz.
Ing. José Arce Apolo
Dra. María Isabel Jaramillo
Fecha:29 de octubre del 2019 Fecha: Fecha:
Geometria Analitica
20 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
ORIENTACIONES PARA EL USO DE ESTA GUIA. Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:
1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu desarrollo
profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad.
2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de
investigación científica.
3. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no sirve
de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.
4. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la
realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y
profesional.
5. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el
docente, para aprender los temas objeto de estudio.
6. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para
después desarrollar individual o grupalmente las actividades.
7. A continuación, te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las
actividades:
SUGERENCIA
APUNTE CLAVE
TALLERES
FORO
REFLEXIÓN
RESUMEN
TAREAS
EVALUACIÓN
8. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico
Ing. Rafael Salcedo Muñoz.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 21
DESARROLLO DE ACTIVIDADES. Unidad didactica I. Álgebra Vectorial Bidimensional.
INTRODUCCION. En el transcurso de la carrera y de su vida profesional, el estudiante de Redes y
Telecomunicaciones, necesitará trabajar cotidianamente con estructuras algebraicas
denominadas espacios vectoriales y con sus elementos denominados vectores.
Disciplinas como la física, con sus ramas que estudian la dinámica, la estática o los
fenómenos derivados del electromagnetismo, por sólo citar algunos ejemplos,
requieren de un uso intensivo de estas estructuras algebraicas. Es por esto que el
estudiante necesita adquirir las herramientas apropiadas que le brinden la posibilidad
de utilizar adecuadamente vectores como paso inicial al entendimiento profundo de
las demás disciplinas.
Este capítulo provee al alumno de los conocimientos referidos a Espacios Vectoriales
y Vectores Geométricos, necesarios para abordar temas específicos de la asignatura
Geometría Analítica, tales como el estudio analítico y resolución de problemas
relativos a rectas y planos.
Desarrollaremos en primer lugar conceptos relativos a Espacios Vectoriales,
estudiando sus características y propiedades. A continuación presentaremos
geométrica y analíticamente los vectores en los espacios bidimensional y definiremos
las operaciones entre ellos, estableciendo las propiedades básicas de las mismas.
Ilustraremos además algunas aplicaciones de interés referentes a los temas en
estudio.
Objetivo: Resolver problemas de algebra vectorial bidimensional, aplicando la teoría
vectorial, para su aplicación en la carrera con responsabilidad.
ALGEBRA VECTORIAL
BIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS
unidimensional
distancia horizontal
distancia vericalL
Bidimensional
distancia entre dos
puntos
Par ordenado
igualdad de pares ordenados
suma de pares
ordenados
multiplicacion de un par ordenado por
un escalar
EJERCICIOS
VECTORES
TIPOSdiferencia de
vectoresGRAFICOS
Geometria Analitica
22 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA I
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica I
Ejemplo: Representar los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(1,8); B(-2,5);
C(-7,-6); D(8,-4); Ademas trazar la recta: 2x-y=3
SISTEMA UNIDIRECCIONAL
PUEDE SER SOLO EJE HORIZONTAL O SOLO EJE VERTICAL
IGUAL PODEMOS GRAFICAR VALORES
NEGATIVOS Y POSITIVOS
Sis
tem
a D
e C
oo
rden
ad
as
Cart
esia
nas
Se Forman De La Interseccion De El Eje De Las "X" Con El Eje De
Lay "Y".
De la intersección de los dos ejes también se forman cuatro cuadrantes
que son numerados en sentido contrario al giro de las manecillas del
reloj
Su Punto Comun O Punto De Interseccion Se Llama Origen "O"
Los enteros negativos quedan a la izquierda y hacia abajo del origen sobre el eje x e y respectivamente
Los números enteros positivos queden a la derecha del origen
sobre el eje x, y arriba del origen sobre el eje y
I Cuadrante
+ , +
III Cuadrante
- , -
IV Cuadrante
+ , -
II Cuadrante
- , +
CADA QUE UTILIZAMOS EL PLANO CARTESIANO,
HACEMOS USO DE LA CREACION DEL MATEMATICO Y
FILOSOFO FRANCES RENE DESCARTES
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 23
Sin necesidad de graficar indique en que cuadrante se encuentran
cada uno de los siguientes puntos:
A(1,8); B(-2,8); C(7,-4); D(6,8); E(-5,-7); F(-5,4); G(-2,6)
Resolver el Ejercicio # 168 del Algebra De Baldor, del 15 al 30 los
impares.
Para encontrar la distancia entre dos puntos podemos hacerlo
mediante la Siguiente expresión: 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
donde: 𝑥1 y 𝑥2 son los primeros valores de los dos puntos, ósea los
valores que le corresponden a las equis, mientras que: 𝑦1 y 𝑦2,
son los segundos valores de los puntos dados, ósea los valores que
les corresponden a las ye.
De la siguiente serie, realice todas las combinaciones posibles y escoja al azar 5
parejas de pares ordenados y encuentre la distancia y realice la respectiva grafica.
5,7,9,8,11,24,6,12,17,14.
Por ejemplo: (5,7); (5,9); (5,8)……etc.
Calcular la distancia entre los siguientes puntos y realizar su
respectivo grafico:
B(-2,8); C(7,-4);
D(6,8); E(-5,-7);
F(-5,4); G(-2,6)
Foro. Sistema de coordenadas, utilidad en el campo profesional.
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
d=√(3 − 8)2 + (4 − 10)2
𝑑 = √(−5)2 + (−6)2
= √25 + 36
𝑑 = √61 = 7.81
Geometria Analitica
24 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Operaciones Con Pares Ordenados
Entre las básicas se tiene: la adicion y la multiplicación de un numero por un par
ordenado, las mismas que son intuitivas y compatibles con la geometría analítica.
Existe otras operaciones como el producto escalar y el producto vectorial pero tiene
un significado distinto y son no intuitivas pero necesarias para simplificar operaciones
matemáticas.
Estas operaciones se trabajan cuando los pares ordenados se extienden a espacios
vectoriales. Un espacio vectorial es un concepto semejante pero no igual al concepto
de vector en física ya que este tiene un significa particular.
Un vector en un espacio vectorial puede usarselo en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, matrices, resolución de ecuaciones diferenciales, entre otras
aplicaciones.
Esto quiere decir que un vector de un espacio vectorial no se limita únicamente al
concepto físico de vector, es decir, de su dirección y sentido como es de costumbre.
Adición De Pares Ordenados Las operaciones mas básicas son la suma y resta entre ellas. Y es
compatible con el plano cartesiano y la geometría analítica.
Los pares ordenados obedecen a los axiomas de adición de números
reales como la conmutativa, asociativa, etc.
Cuando tratamos estos axiomas en los pares ordenados como por
ejemplo la ley conmutativa, esto se realiza solo a nivel de los valores
de las componentes y no del orden de las componentes,
ósea: (a, b) ≠ (b,a) pero se aplica la propiedad conmutativa si:
| (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)
Cumpliéndose: a+c = c + a y b + d = d + b.
SUMAR: A(1,5) con B(7,6). En la grafica podemos observar que al unir el origen con
el punto se forman vectores, al proyectarlos en sus componentes, se forma el vector
resultante con su punto C.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 25
La suma de dos pares ordenados cumple la ley del paralelogramo y se los trata como
vectores.
Por ejemplo si tenemos los siguientes pares ordenados: (1, 4) y (2, 1), la suma
quedaría: (1, 4) + (2, 1) = (3, 5).
gráficamente tendríamos:
Sumar y realizar su respectivo grafico:
B(-2,8); C(7,-4);
D(6,8); E(-5,-7);
F(-5,4); G(-2,6)
Representación Gráfica Del Producto De Un Par Ordenado Con Un Escalar. Un numero que multiplique a un par ordenado es un escalar, se lo representa como
una constante, en nuestro caso la llamaremos: (k). Por ejemplo:
Geometria Analitica
26 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
k(a, b) = (ka, kb). Esto de manera analítica
un ejemplo numerico seria:
multiplicar 7 por el par ordenado (-2,5)
nos quedaría asi: 7(-2,5)=(7(-2),7(5))=(-14,35)
En este tipo de operación la posición del par ordenado cambia, pero mantiene la
misma dirección que el par original en este caso (1,2), por ejemplo, si multiplicamos
el par: (1, 2) por 4, resulta (1, 2) ⋅ 4 = (4, 8), gráficamente quedaria:
Realizar la suma de 5 parejas de pares ordenados y graficar.
Multiplicar cinco pares ordenados por un escalar y graficar
utilizando geogebra
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica I
Definición de espacio vectorial La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que
se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y
El punto original es A(1,5), lo he
multiplicado por varios escalares (3,5 y
6), obteniendo: C(3,15); B(5,25) y
D(6,30). mientras el punto original sea
el mismo al multiplicarlo por un escalar
todos estaran sobre la misma recta
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 27
propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna
al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.
Es importante tener en cuenta que todo espacio vectorial dispone de una base y que
todas las bases de un espacio vectorial, a su vez, presentan la misma cardinalidad.
Existen magnitudes escalares y vectoriales.
Las escalares son las que se definen únicamente por su valor numerico en un sistema
de unidades seleccionado
ESPACIO BIDIMENSIONAL. Cada punto de un plano se lo puede representar por medio de un par ordenado. Si
unimos el origen del sistema de coordenadas con un punto definimos un vector. Como
se lo puede observar en la siguiente grafica
Como podemos observar el vector v, es un par ordenado de numeros reales, cuyas
compontes son: x e y
El espacio bidimensional se forma del conjunto de todos los pares ordenados de
numeros reales.
VECTORES. toda cantidad que tiene magnitud y direccion, toma el nombre
de cantidad vectorial.
Una fuerza tiene magnitud y dirección.
Por lo tanto un segmento de recta dirigido, diferente de cero
cuando se usa para representar una cantidad vectorial se llama
vector.
Foro.
Vectores, uso en las telecomunicaciones
Geometria Analitica
28 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Tipos De Vectores. Vector Libre.- es aquel cuyo punto de aplicación se traslada a cualquier punto en
el espacio, sin que se altere el efecto de su accion. Un ejemplo muy conocido es la
velocidad de propagacion de la luz
𝐴
Vector Deslizante.- son los vectores en donde el punto de aplicación se traslada
a lo largo de toda su línea de acción. Por ejemplo, la fuerza que se le aplica a un
solido
Vector Fijo.- es aquel cuando su punto de aplicación no se mueve como por
ejemplo: la intensidad del campo gravitatorio.
Vectores iguales.- aquellos que tienen la misma magnitud, sentido y direccion.
conceptos importantes
Magnitud. es todo aquello
que se puede medir
Magnitud Escalar, se
define por su valor numerico
Magnitud Vectorial, se define por su
valor numerico, direccion y
sentido
Medida.- es comparar
una magnitud con otra.
en el sistema MKS la
unidad es el metro
en el sistema FPS la
unidad de medida es el
pie
En le sistema CGS, la unidad
es el centimetro
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 29
Vectores Negativos.- tienen la misma magnitud, la misma dirección pero el sentido
es opuesto.
𝐴 −𝐴
Vectores Equivalentes.- son vectores que tienen el mismo efecto a pesar de que no
son iguales.
Vector Nulo.- este tipo de vectores no tiene dirección ni sentido ya que el origen y
extremo, coinciden en el mismo punto, su modulo es igual a cero.
Vector Unitario.- son vectores que tienen como modulo la unidad.
��𝐴 =𝐴
𝐴 𝐴 = A. ��𝐴
DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
Si colocamos el punto inicial de un vector an el punto de
origen del sistema de coordenadas rectangulares , el vector
queda determinado por las coordendas rectangulares del
punto final. Asi:
𝐴(𝐴𝑋,𝐴𝑌), Como podemos observar un vector
se define por un par ordenado.
donde:
𝐴𝑋, es la componente en x del vector A.
𝐴𝑦, es la componente en y del vector A.
cos 𝛼 =𝐴𝑋
𝐴
Las componente de un vector vienen a ser
proyecciones del vector sobre los ejes de
coordenadas dadas
𝑐𝑜𝑠 ∝=𝐴𝑋
𝐴∴ 𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑠𝑒𝑛 ∝=𝐴𝑦
𝐴∴ 𝐴𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 ∝
Todo vector se forma de la suma vectorial de sus componentes:
𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦
Representar graficamente los siguientes vectores:
𝐶 = (50 𝑘𝑔𝑓, 140°)
Geometria Analitica
30 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector B son: (3,2) y (-5,-2).
Determinar:
1. Las componentes del vector.
2. El modulo.
3. La direccion (rumbo).
4. Los angulos directores.
5. El vector en funcion de los vectores base.
6. El vector unitario.
1. Entonces las componentes del vector serian:
𝐵𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = −5 − 3 = −8𝑚
𝐵𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = −2 − 2 = −4𝑚
2. El modulo es:
𝐵 = √𝐵𝑥2 + 𝐵𝑦
2 = √(−8)2 + (−4)2 = √64 + 16 = √80 = 8,94
ɸ
el angulo que forma la horizontal (Bx), con la
diagonal B lo llamaremos angulo θ, mientras
que el que forma B con By lo llamaremos: ɸ.
𝑇𝑔𝜃 =𝐵𝑦
𝐵𝑥=
−4
−8= 0,50
Por lo que: θ = 26,56°, transformandolo a
°,’,y“ tenemos que: θ = 26° enteros,
el 0,56 *60 = 33,6 osea 33 minutos y el
0,6*60 = 36 que serian segundos, por lo tanto:
θ = 26°33’36’’.
El angulo ɸ, lo encontramos por diferencia.
ɸ = 90°- θ = 90° - 26°33’36’’ = 89°59’60’’ – 26°33’36’’ = 63°26’24’’,
3. Como nos pide el rumbo, este siempre se lo toma en relacion a “y”, por lo que
el rumbo es: S63°26’36’’.
4. Los angulos directores se los encuentra con la funcion coseno, asi:
𝑐𝑜𝑠θ =𝐵𝑥
𝐵=
−8
8,94= −0,8949
ɸ θ
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 31
θ = 153,49°.
𝑐𝑜𝑠ɸ =𝐵𝑦
𝐵=
−4
8,94= −0,4474
ɸ=116,57°
5. �� = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 = (−8𝑖 − 4𝑗)
6. ��𝐵 =��
𝐵=
(−8𝑖−4��)
8,94= −0,895𝑖 − 0,447𝑗.
Tarea:
Plantearse 2 ejercicios parecidos al resuelto y tambien el
presente ejercicio.
La magnitud de un vector �� = 8cms y forma un angulo de
35° con el sentido positivo del eje x. determinar:
1. Las componentes del vector.
2. Las coordenadas del vector
3. Los angulos directores.
4. El vector en funcion de los vectores base.
5. El vector unitario.
Suma de Vectores.
La suma de dos o mas vectores nos da como resultado otro vector, llamado vector
resultante.
Se los puede sumar aplicando el metodo del paralelogramo y el metodo del poligono.
En el metodo del paralelogramo, se trazan los dos vectores y se forman un
paralelogramo, la diagonal del paralelogramo va va desde el origen al vertice opuesto
representa el vector resultante.
Este metodo se lo aplica mas que nada cuando existen dos vectores.
Sumar los vectores 𝐴= (4, 3) , �� = (2, 5) .
Para conocer el vector suma sólo tenemos que sumar, respectivamente,
las componentes X y las componentes Y:
𝐴 + ��= (4+2, 3+5) = (6, 8)
En este caso en la gráfica el vector v,
representa al vector A, y el vector u
Geometria Analitica
32 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
representa a B, al aplicar el método
del Paralelogramo, el vector b, seria
el vector resultante: 𝐴 + ��
plantearse 4 ejercicios de suma de vectores y resolverlos
por el método del paralelogramo.
Si tenemos más de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo, vamos
a sumar los vectores 𝐴= (-1, 4) , �� = (3, 6) , 𝐶 = (-2, -3) y 𝐷 = (5, 5):
𝐴 + �� + 𝐶 + ��= (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12)
Este ejercicio lo resolveremos por el método del polígono, en este se coloca cada
vector uno a continuación de otro, manteniendo los módulos y direcciones , uniendo
el origen del primer vector con el extremo del ultimo, obteniendo así el vector
resultante o suma.
Aquí tenemos los vectores en su forma individual
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 33
Resolver 4 ejercicios aplicando el metodo del poligono, dos con 3
vectores y dos con 4 vectores.
Resta de Vectores.
Es un caso particular de la suma de vectores, se lo defne como la
suma de un vector con el negativo del otro.
𝐴 − �� = 𝐴 + (−��)
La diferencia de vectores no cumple la propiedad conmutativa.
Cuando aplicamos la diferencia de vectores por el metodo del paralelogramo,
colocamos los dos vectores, partiendo de un punto comun, formamos un
paralelogramo, y el resultado sera la diagonal que va desde el punto final de cada
vector.
Analiticamente restar: 𝐴= (4, 3) , �� = (2, 5)
𝐴 − �� = (4 − 2; 3 − 5) = (2, −2)
En forma grafica aplicando el metodo del paralelogramo tendriamos:
Como observamos al unir el extremo del segundo vector,
con el extremo del primer vector, tendriamos un recorrido
de 2 positivo y 2 negativo, que es el resultado de la resta
de los dos vectores.
Geometria Analitica
34 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Encontrar: �� − �� − ��, si: ��= (2, 3); ��= (4, 1); ��= (2, 5), para esto al
vector B y C se les cambia el signo para aplicar el método del polígono.
El vector A, se mantiene en la forma planteada, mientras que los vectores B y C,
cambian de signo.
𝐴= (2, 3) se mantiene; mientras que estos cambian de signo ��= (-4,-1); 𝐶= (-2, -5).
Entonces graficamos el vector A, donde termina A, graficamos -B, luego donde
termina -B graficamos -C, el vector resultante será el que une el extremo de A con -C
Analíticamente seria: 𝐴 − �� − 𝐶 = (2 − 4 − 2; 3 − 1 − 5) = (−4. −3), que es el vector
resultante.
Aquí tenemos 3 vectores para
realizar la siguiente operación
�� − �� − ��
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 35
Esta unidad muestra aspectos importantes, que los
debemos mantener presentes en cada momento de
nuestra vida estudiantil y profesional, reconocer que es un
par ordenado, los signos de cada cuadrante y las
operaciones que se pueden realizar tanto en el sistema de
coordenadas como con los vectores, que si analizamos se
interrelacionan en diferentes aspectos, tanto grafico como
analitico.
Tener presente que en el sistema de coordenadas rectangulares, las cantidades que
van hacia la derecha y hacia arriba del origen son positivas, mientras que las que van
a la izquierda y hacia abajo del origen son negativas.
Una herramienta importante para este capitulo es el manejo de sitios que nos permitan
la graficacion, como Geogebra, sin olvidarnos que debemos aprender a encontrar las
coordenadas de manera manual.
Recordar que la distancia nunca es negativa, asi llegaranos a obtener un valor
negativo, se lo considera en valor absoluto por lo tanto siempre sera positiva.
En el trato de vectores se debe cuidar los signos y las magnitudes.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad I. 1. ¿Cuantos cuadrantes existen en el sistema de coordenadas
rectangulares?
2. ¿La distancia entre dos puntos puede ser negativa? ¿Por
qué?
3. Efectuar la siguiente operación entre vectores y su respectivo
grafico.
Geometria Analitica
36 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
𝐴 + (�� − 𝐶)
Si: 𝐴 = (−3,7); �� = (6, −2) 𝑦 𝐶 = (−5, −4)
4. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector B son: (-3,7) y (-9,5).
Determinar:
a) Las componentes del vector.
b) El modulo.
c) La direccion (rumbo).
d) Los angulos directores.
e) El vector en funcion de los vectores base.
f) El vector unitario.
Actividad Final Unidad I
1. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector B son: (9,5) y (-5,-9).
Determinar:
a. Las componentes del vector.
b. El modulo.
c. La direccion (rumbo).
d. Los angulos directores.
e. El vector en funcion de los vectores base.
f. El vector unitario.
2. Calcular la distancia de los pares ordenados del ejercicio uno.
3. Sumar los vectores dados en el ejercicio 1.
4. Realizar la diferencia entre los vectores del ejercicio 1.
5. Multiplicar un par ordenado por un escalar.
6. Sin graficar indique en que cuadrante se ubican los siguientes pares
ordenados: A(-2,4); B(-8,-2); C(-8,7); D(4,-5); E(5,3) y F(0,2).
7. Sumar los pares ordenados del ejercicio 6.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 37
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didactica II. Producto Escalar Y Normas De Un Vector
INTRODUCCION.
En Geometria, existen temas y terminos dificiles de describirlos, sin embargo en esta
unidad revisaremos partes importantes del producto escalar y normas de un vector,
asi como el vector unitario.
El producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal,
compleja y definida positiva, por lo que se la considera como una forma cuadratica
definida positiva.
Los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos,
ortogonalidad en dos y tres dimensiones.
El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión
mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos.
El concepto de norma de un vector es una generalizacion del concepto de valor
absoluto o modulo de un numero complejo.
Tambien revisaremos el vector unitario que de hecho son temas que van ligados y que
nos ayudan a cerrar las ideas planteadas inicialmente.
Objetivo: Realizar operaciones de Producto escalar y normas de un vector, aplicando
las reglas vectoriales, para relacionarlos con la vida profesional con responsabilidad.
Geometria Analitica
38 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA II
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica II
El producto escalar de dos vectores u y v que forman un
ángulo φ se define como:
De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un
vector, es un número (un escalar). Además, el producto escalar de dos vectores
perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes resultados:
Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando
los resultados anteriores se obtiene que:
El producto escalar de dos vectores posee la propiedad conmutativa.
El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que:
Producto Escalar y Normas de un Vector
Producto Escalar de un Vector.
Componentes Notaciones Ejercicios
Longitud o Normas de un Vector
propiedades ejerciciosVector
Unitario
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 39
Además, se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Se
obtienen entonces las siguientes relaciones:
Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula
desarrollando el determinante:
Foro. El producto escalar y las normas de un vector, aplicaciones
El Producto Escalar.- de dos vectores es una operación que toma dos vectores y
produce un número real:
Observemos que el producto escalar se suele denotar por medio de un punto .
Otra notación que se suele utilizar es . Sin embargo, denotaremos el producto
escalar utilizando un punto.
Además, el producto escalar no debe confundirse con la multiplicación de un vector
por un escalar.
Propiedades Del Producto Escalar 1 conmutativa
2 asociativa
3 distributiva
4 el producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
Maneras de calcular el producto escalar
Existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos
vectores y . Estas se describen a continuación:
Geometria Analitica
40 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
1 Si conocemos el módulo de ambos vectores y el ángulo que forman entre ellos,
entonces el producto escalar se obtiene mediante
2 Si conocemos los componentes de los vectores y ,
entonces el producto escalar está dado por
Ejemplos
Consideremos los vectores: �� = (3,0) 𝑦 �� = (5,5). Asimismo, el ángulo entre los
vectores es: ∝= 45°.
Para calcular el producto escalar, primero debemos encontrar el módulo de y :
De este modo, el producto escalar está dado por
2 Repetiremos el ejemplo anterior con:�� = (3,0) y �� = (5,5). Sin embargo, ahora
utilizaremos la otra fórmula
Tarea:
1. Dados los vectores: �� = (4,3) 𝑦 �� = (1,7) y un
ángulo: ∝= 45° . Calcular el producto escalar.
Aplicando los dos métodos descritos anteriormente
2. Dados los siguientes vectores. Calcular el producto
escalar y graficar.
�� = (−2,1) 𝑦 �� = (2,2)
�� = (0,5) 𝑦 �� = (3,4)
�� = (4,0) 𝑦 �� = (2,6)
Cálculo Del Módulo Y Ángulos De Vectores
Como vimos anteriormente, existen dos fórmulas
equivalentes para calcular el producto escalar de dos
vectores. Por lo tanto, se puede utilizar el producto escalar
para calcular el módulo de un vector o el ángulo entre dos
vectores.
Calcular el módulo de un vector utilizando el producto escalar
Notemos que si es un vector, entonces:
Por lo tanto,
Esta fórmula se puede utilizar para calcular el módulo de un vector utilizando el
producto escalar de consigo mismo.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 41
Calcular el ángulo entre dos vectores utilizando el producto escalar
Supongamos que tenemos los vectores:�� = (��1, ��2) y �� = (𝑣1, 𝑣2) . Entonces
Despejando , tenemos
Así, si sustituimos la otra fórmula del producto escalar, se tiene
Esta fórmula se utiliza para calcular utilizando la función arco-coseno.
Ejemplos
1 consideremos, nuevamente, los vectores :�� = (3,0) y �� = (5,5).Entonces el módulo
de estos vectores es:
2 Ahora calcularemos el ángulo entre: :�� = (3,0) y �� = (5,5). . Tenemos que
De manera que:
Por lo tanto, debemos tener que
Taller:
Encontrar el ángulo entre los siguientes vectores y realizar
el grafico.
�� = (−2,1) 𝑦 �� = (2,2)
�� = (0,5) 𝑦 �� = (3,4)
�� = (4,0) 𝑦 �� = (2,6)
Normas De Vectores
Sea: x un vector [𝑥1, 𝑥2 … … … 𝑥𝑛]𝑇
Una norma vector del x es un número no negativo, ||𝑥||, asociado con x, que satisface:
||𝑥|| > 0, 𝑥 ≠ 0
||𝑥|| = 0, 𝑥 = 0
||𝑘𝑥|| = |𝑘|||𝑥||, ∀𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑘.
||𝑥 + 𝑦|| ≤ ||𝑥|| + ||𝑦||
Normalizar los siguientes vectores: �� = (1, √2); �� = (−4,3) 𝑦 �� = (8, −8)
|��| = √1 + 2 = √3 𝑢
|��|
= (1
√3,
√2
√3)
|��| = √16 + 9 = √25 = 5 𝑣
|��|
= (−4
5,
3
5)
|��| = √64 + 64 = √128 = 8√2 𝑤
|��|
= (1
√2, −
1
√2)
Geometria Analitica
42 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Tarea:
Normalizar los siguientes vectores:
�� = (0,5); �� = (3,4)
�� = (4,0) 𝑦 𝑡 = (2,6)
Vector Unitario
Sea un vector diferente de cero, dicho vector tiene alguna magnitud, dirección y
sentido. En muchas ocasiones por razones de simplificación de cálculos, es necesario
generar a otro vector que tenga la misma dirección y sentido que , pero con
magnitud uno (unitario), por esta razón hacemos uso de un proceso llamado
normalización.
Las componentes de un vector son las coordenadas del vector en un espacio
cartesiano. Si el espacio es cartesiano, entonces son dos componentes: (x, y). En
cambio, si es tridimensional tenemos tres componentes: (x, y, z).
Es importante usar las coordenadas, ya que con ellas se conoce el módulo del vector
con la fórmula adecuada para ello.
Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores
constituyentes, en dos dimensiones para simplificar
Si , hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido. Entonces:
Es importante mencionar que el proceso también es válido para dimensiones ,
como se analiza en el siguiente ejemplo.
Si , hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
entonces
ux
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 43
Es importante recordar y tener presente que para calcular
el módulo del vector aplicamos la raíz cuadrada de la suma
al cuadrado de sus componentes.
En el cálculo de los ángulos, aplicamos el arco: seno,
coseno, etc., en las calculadoras se debe tener cuidado en
la selección de medida angular e identificar si realmente
calcula el arco de la función.
En la graficacion también hay que identificar bien con su
nombre cada vector y el ángulo y su giro.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad II. 1. Dados los siguientes vectores. Calcular el producto
escalar y graficar. �� = (−8,3) 𝑦 �� = (4, −1)
2. Encontrar el ángulo entre los siguientes vectores y
realizar el grafico.
�� = (0,5) 𝑦 �� = (3,4)
3.Normalizar los siguientes vectores:
�� = (10,5); �� = (3,14)
4.Si: �� = (5, −3,7) hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Actividad Final Unidad II 1.Encontrar el ángulo entre los siguientes vectores y realizar el grafico.
�� = (9,5) 𝑦 �� = (13,4)
2.Si: �� = (15, −13,17) hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
3.Normalizar los siguientes vectores:
�� = (4, −8) 𝑦 𝑡 = (12,6)
4.Dados los siguientes vectores. Calcular el producto escalar y graficar.
�� = (10,2) 𝑦 �� = (3,14)
Geometria Analitica
44 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didactica III. Proyeccion Ortogonalidad Componente.
Introduccion.
El concepto de angulo entre dos vectores, nos lleva a recordar las funciones
trigonometricas, pero combinadas con vectores, por lo que es necesario efectuar
ciertas transformaciones lineales en los espacios vectoriales, que son herramientas
para las rotaciones o proyecciones.
La ortogonalidad, que esta ligada a las proyecciones, y a las operaciones y
magnitudes entre vectores, aplicando el producto punto de vectores, calculo de
magnitudes y recordar el calculo del angulo y la distancia entre vectores.
Objetivo: Calcular la Proyección Ortogonalidad Componente, con la ayuda de los
constructos teóricos, que permitan la representación en el plano con disciplina.
Ortogonalidad de Vectores
Definicion.- Cuando dos vectores son perpendiculares entre si, es
decir , forman un angulo recto se dice que son vectores ortogonales.
Dos vectores serán ortogonales cuando su producto escalar (también
llamado producto punto y producto interno) es cero:
A ⊥ B → 𝐴. ��= 𝐴𝑥 𝐵𝑥
+ 𝐴𝑦��𝑦 = 0
A ⊥ B → θ = π/2 → 𝐴. ��= |𝐴| |��| cosθ = 0
Como recordaremos el: 𝑐𝑜𝑠𝜋
2= 0
Cuando dos vectores son ortogonales se forma un triangulo rectangulo, en donde la
hipotenusa corresponde al vector resultante o suma de vectores.
Proyeccion Ortogonalidad Componente
ortogonalidad de vectores
Proyeccion de un vector sobre un
subespacio
distancia y angulo entre un vector y
un subespacioejercicios
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 45
Ejemplo: Determinar si los vectores:𝐴 = (1,2)
y �� = (−2,1), son ortogonales.
Entonces ambos seran ortogonales si el
producto escalar es cero.
𝐴. �� = 𝐴𝑥 𝐵𝑥
+ 𝐴𝑦��𝑦 = 0.
Entonces: 𝐴. �� = (1)(−2) + (2)(1) = 0
Entonces ambos son ortogonales osea
son perpendiculares.
Ambos vectores son ortogonales.
Ejemplo: determinar si los siguientes
vectores son ortogonales, 𝐴(-1,5) y ��(3,4)
𝐴. �� = 𝐴𝑥 𝐵𝑥
+ 𝐴𝑦��𝑦 = 0.
𝐴. �� = (−1)(3) + (5)(4) = −3 + 20
𝐴. �� = 17
Como se observa, no son ortogonales.
Tarea:
Determinar si los siguientes vectores son ortogonales:
𝐴 = (−2,5) 𝑦 �� = (5, −2)
�� = (4,4) 𝑦 �� = (1, −7)
�� = (10,9) 𝑦 �� = (9, −10)
�� = (−7, −5) 𝑦 �� = (5, −7)
�� = (18,15) 𝑦 �� = (15, −18
Y graficarlos
Dado los vectores: M(3,-2) y N(a,6).
Encontrar el valor de (a), para que
Geometria Analitica
46 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Los dos vectores sean ortogonales.
��. �� = ��𝑥 ��𝑥 + ��𝑦 ��𝑦 = 0.
��. �� = (3)(𝑎) + (−2)(6) = 0
3𝑎 − 12 = 0 ∴ 𝑎 = 4
Taller:
Dado los siguientes pares de vectores. Encontrar el valor
que falta , para que los dos vectores sean ortogonales
𝐴 = (𝑎, 5) 𝑦 �� = (5, −2)
�� = (4, 𝑏) 𝑦 �� = (1, −7)
�� = (10, 𝑏) 𝑦 �� = (9, −10)
�� = (−7, −5) 𝑦 �� = (𝑎, −7)
�� = (18,15) 𝑦 �� = (𝑎, −18)
Proyección ortogonal de un vector sobre otro.
Calcular la 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝐸𝑠𝑐.�� ��, 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑉𝑒𝑐.�� �� y proy ortogonal de �� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑏. De los
siguientes vectores: �� = (−4,6) 𝑦 �� = (2,3)
𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝐸𝑠𝑐.�� �� =��. ��
|��|=
(−4,6). (2,3)
√22 + 32=
−8 + 18
√4 + 9=
10
√13=
10√13
13
𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑉𝑒𝑐.�� �� =��. ��
|��|
��
|��|=
10
√13
(2,3)
√13=
10
13(2,3) = (
20
13,30
13)
𝑝𝑟𝑜𝑦���� = �� − 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑉𝑒𝑐.�� �� = (−4,6) − (20
13,30
13) = (−4 −
20
13; 6 −
30
13)
𝑝𝑟𝑜𝑦���� = (−72
13;48
13)
Tarea:
Calcular la 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝐸𝑠𝑐.�� ��, 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑉𝑒𝑐.�� �� y proy ortogonal
de �� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑏. De los siguientes vectores:
�� = (−2,5) 𝑦 �� = (5, −2)
�� = (4,4) 𝑦 �� = (1, −7)
�� = (10,9) 𝑦 𝑏 = (9, −10)
�� = (−7, −5) 𝑦 �� = (5, −7)
�� = (18,15) 𝑦 �� = (15, −18)
Proyección ortogonal de un vector sobre un
subespacio
Dado un vector �� y un subespacio S, �� se puede
descomponer de manera única como: �� = 𝑣1 + 𝑣2 , con 𝑣1
∈ S, y 𝑣2 ortogonal a S. La componente 𝑣1 se llama
proyección ortogonal de �� sobre S, y se denota:
proy S ( �� ).
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 47
Se calcula mediante la siguiente expresion:
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) = 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑢1 (��) + … … … … … + 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑢𝑛 (��)
Lo que seria: 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) =𝑢1 .��
𝑢1 .𝑢1𝑢1 + ⋯ … … … +
𝑢𝑛 .��
𝑢𝑛 .𝑢𝑛 𝑢𝑛
Donde:( 𝑢1, … … … . , 𝑢𝑛 ) , son una base ortogonal de (S). (Si ademas la base es
ortonormal, los denominadores pueden suprimirse, puesto que valen 1). De igual
manera, una vez encontrada la componente 𝑣1 , se puede calcular 𝑣2, como:
��2 = 𝑣 − 𝑣1
Foro.
Proyeccion ortogonal, en que nos ayuda
Ejemplo:
En ℜ 3 , proyectamos ��=(3,2,2) sobre el subespacio S generado por: 𝑢1= (2,0,1),
𝑢2= (0,3,0). Lo primero, observamos que: 𝑢1 𝑦 𝑢2, forman la base de S, y además
base ortogonal. Por tanto puede utilizarse la fórmula anterior:
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) =𝑢1. ��
𝑢1. 𝑢1𝑢1 +
𝑢2. ��
𝑢2. 𝑢2𝑢2 =
(2,0,1) (322
)
(2,0,1) (201
)
𝑢1 +
(0,3,0) (322
)
(0,3,0) (030
)
𝑢2
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) =(2)(3) + (0)(2) + (1)(2)
(2)(2) + (0)(0) + (1)(1)𝑢1 +
(0)(3) + (3)(2) + (0)(2)
(0)(0) + (3)(3) + (0)(0)𝑢2
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) =6 + 0 + 2
4 + 0 + 1𝑢1 +
0 + 6 + 0
0 + 9 + 0𝑢2 =
8
5𝑢1 +
6
9𝑢2
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) =8
5(2,0,1) +
2
3(0,3,0) = (
16
5; 0;
8
5) + (0; 2; 0)
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑠(��) = (16
5+ 0; 0 + 2;
8
5+ 0) = (
16
5; 2;
8
5)
𝑣1 = (16
5; 2;
8
5)
De:
�� = 𝑣1 + 𝑣2 ∴ 𝑣2 = �� − 𝑣1 = (3,2,2) − (16
5; 2;
8
5) = (3 −
16
5) ; (2 − 2); (2 −
8
5)
𝑣2 = (−1
5; 0;
2
5)
Por lo que el vector �� queda expresado como:
(3,2,2) = (16
5; 2;
8
5) + (−
15
; 0;25
)
Observamos que de las dos componentes la primera, 𝑣1, pertenece a: S y la
segunda: 𝑣2, es ortogonal a (S).
Geometria Analitica
48 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Tarea.
En ℜ 3 , proyectamos �� sobre el subespacio S generado por: 𝑢1, y 𝑢2
��=(5,-2,6); 𝑢1= (3,1,1), 𝑢2= (2,3,0).
��=(3,5,-2); 𝑢1= (4,2,3), 𝑢2= (-2,4,1).
��=(3,-1,4); 𝑢1= (-1,2,0), 𝑢2= (4,0,-5).
��=(-6,3,-2); 𝑢1= (4,-2,3), 𝑢2= (-5,7,1)
Angulo entre dos vectores.
El ángulo que forman dos vectores se lo denomina θ, y se
lo calcula mediante la siguiente expresión:
cos 𝜃 =��. ��
|��||��|
Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los siguientes vectores:
�� = (3,4) y �� = (−7,5)
El producto escalar es:
��. �� = (3)(−7) + (4)(5) = −21 + 20 = −1
Como el producto escalar no salió igual a cero significa que no son perpendiculares.
Cos ∝ =��. ��
|��||��|=
−1
√32 + 42√(−7)2 + 52=
−1
√9 + 16√49 + 25=
−1
√25√74=
−1
5(8,60)
cos ∝=−1
43= −0,0233 ∴ ∝= 𝑎𝑟𝑐 cos −0.0233 = 91,33°
Calcular el ángulo que forman los vectores: �� = (1,2,3) 𝑦 �� = (2,4,5)
cos 𝜃 =��. ��
|��||��|=
(1,2,3). (2,4,5)
|1,2,3||2,4,5|=
2 + 8 + 15
√12 + 22 + 32√22 + 42 + 52
cos 𝜃 =25
√1 + 4 + 9√4 + 16 + 25=
25
√14√45=
25
(3,742)(6,708)=
25
25,10= 0,996
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠0,996 = 5,13°
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 49
Debemos desarrollar de manera exacta el proceso del calculo de las
magnitudes, ya que manejamos valores que influyen en el proceso.
Y en las operaciones entre vectores generalmente encontramos otro
vector o su ángulo, no existe demasiada teoría, la mayor parte son
demostraciones, por eso la importancia de resolver muchos
ejercicios y analizar su procedimiento.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad III. 1. Determinar si los siguientes vectores son ortogonales:
𝐴 = (−12,7) 𝑦 �� = (4, −3)
2. Dado los siguientes pares de vectores. Encontrar el valor que
falta , para que los dos vectores sean ortogonales.
𝐴 = (𝑎, −8) 𝑦 �� = (6, −5)
3. Calcular la 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝐸𝑠𝑐.�� ��, 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑉𝑒𝑐.�� �� y proy ortogonal de
�� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑏. De los siguientes vectores:
�� = (−2,5) 𝑦 �� = (5, −2)
4. En ℜ 3 , proyectamos �� sobre el subespacio S generado por:
𝑢1, y 𝑢2
��=(7,-5,0); 𝑢1= (8,-1,1), 𝑢2= (7,-4,5).
Actividad Final Unidad III 1) Determinar si los siguientes vectores son ortogonales:
𝐴 = (8,7) 𝑦 �� = (4,7).
2) Dado los siguientes pares de vectores. Encontrar el valor que
falta , para que los dos vectores sean ortogonales.
𝐴 = (𝑎, 9) 𝑦 �� = (−5, −5)
3) Calcular la 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝐸𝑠𝑐.�� ��, 𝐶𝑜𝑚𝑝. 𝑉𝑒𝑐.�� �� y proy ortogonal de
�� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑏. De los siguientes vectores:
�� = (7, −4) 𝑦 �� = (6,5)
4) En ℜ 3 , proyectamos �� sobre el subespacio S generado por:
𝑢1, y 𝑢2
��=(-4,5,3); 𝑢1= (5,-2,4), 𝑢2= (4,2,-5).
Geometria Analitica
50 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didáctica IV. La Recta.
Introducción:
Bien, una recta es aquello que entendemos como el ente ideal que se extiende en
una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está
compuesta de infinitos segmentos. De forma más sencilla, podemos describir la recta
como: la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, no posee
principio ni fin.
Teniendo en cuenta que los puntos están alineados, podemos encontrar la recta
mediante dos puntos, considerando esta idea de lo que es una recta, plantearemos
cuatro formas de encontrar la ecuación de la recta y su pendiente.
Objetivo: Resolver problemas de la recta, a través de las diferentes formas para su
aplicación en problemas del diario vivir actuando con responsabilidad.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica IV.
El sistema de ejes coordenados
está formado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra
vertical llamadas ejes. El eje
horizontal (eje x) se denomina
eje de las abscisas y el eje
vertical (eje y) se denomina eje
de las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden
La Recta
Pendiente de la recta.
Que pasa por dos puntos
Cuando se tiene
una Ecuacion
Ejercicios
Ecuaciones de la Recta
Formas de la
Ecuacion de la Recta
Paralelismo
Perpendicularidad
Ejercicios.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 51
ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b),
como lo muestra la figura.
Tarea:
Graficar en un sistema de coordenadas rectangulares los
siguientes puntos:
(-2,-4) (3,4) (-2,5) (4,-6)
(9,-1) (3,-4) (5,-7) (2,5)
Distancia entre dos puntos
Supongamos que:
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.
La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por ejemplo, mediante el teorema de
Pitágoras, de la siguiente manera:
( ) ) y - (y ) x - (x PP 2
122
12
2
21 +=
Así la distancia de P1 a P2 es: 𝑃1𝑃2 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Foro.
La pendiente de la recta, aplicaciones
Ejemplo: Calcular La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:
) 7 - (-5 ) (-4) - (3 AB22
+=
144 49 +=
193 AB = = 13,89
x x
y
y
•
•
x2 –
x
y
P
P
Geometria Analitica
52 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Orientaciones Tarea:
Encontrar la distancia entre los puntos dados a continuación. Y
graficarlos
(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)
(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)
Representación gráfica de la línea recta
En toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y).
Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.
Ejemplo: Graficar la ecuación: x + y = 4
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas
Le corresponde gráficamente una recta.
Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las
coordenadas de un punto que es solución de la ecuación
dada, es decir satisface esta ecuación .
Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a La recta correspondiente.
Pendiente de la Recta
Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera
Se denomina pendiente “m” de una recta al ángulo
de inclinación “” que tiene respecto Del eje de las
abscisas (eje x)-
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
x y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 53
Recuerda que la pendiente nos indica si la
recta es creciente o decreciente.
La pendiente positiva indica que la recta es creciente.
La pendiente negativa nos indica que la recta es
decreciente.
Si la pendiente es cero, la recta es horizontal.
Si la pendiente es infinita, es una recta vertical paralela a “y”
Ejemplo: calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (2,5) y (3,2); e
indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
2 − 5
3 − 2=
−3
1= −3
Es una recta decreciente ya que la
Pendiente es negativa.
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos, dados a
continuacion, graficar e indicar si la recta es creciente o decreciente
y porque.
(-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6) (9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7)
La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuacion.
Cuando se tiene una ecuacion y se desea encontrar la pendiente debemos aplicar la
siguiente formula: 𝑚 = −𝐴
𝐵
Donde:
A es el coeficiente de equis (x).
B es el coeficiente de ye (y).
Calcular la pendiente de la recta ai tenemos la siguiente ecuacion: 2x + 3y = 5.
Aquí: A = 2; B=3, entonces: 𝑚 = −𝐴
𝐵= −
2
3= −0,67.
Como observamos la pendiente salio negativa por lo tanto la recta es decreciente.
Para este caso se presenta un pequeño problema al graficar sin embargo se puede
aplicar la graficacion por condiciones o por el metodo tradicional darle cualquier valor
a las variables.
Geometria Analitica
54 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Entonces en la ecuacion: 2x + 3 y = 5, planteamos las condiciones:
Cuando: x = 0; nos queda: 2(0) + 3y = 5; despejamos y, en este caso: 𝑦 =5
3= 1,67
Cuando: y = 0; tendriamos: 2x + 3(0) = 5; despejamos x, y se tiene: 𝑥 =5
2= 2,50
Y si lo hacemos por el metodo tradicional, debemos despegar (y).
𝑦 =5 − 2𝑥
3
Elaboramos la tabla tradicional, damos valores a (x) para encontrar los de (y), asi:
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(−2)
3=
5+4
3=
9
3= 3
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(−1)
3=
5+2
3=
7
3= 2,33
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(1)
3=
5−2
3=
3
3= 1
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(2)
3=
5−4
3=
1
3= 0,33
Encontrar la pendiente de la recta de las siguientes
ecuaciones, indicar si son crecientes o decrecientes y
porque, ademas realice el respectivo grafico.
3x – 2y = 4, 5x – 3y = 2, x + y = 0,
x y
-2 3,00
-1 2.33
1 1,00
2 0,33
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 55
-2x + y = 7, 9x – 3y = 15, -2x – 3y = 4
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica IV.
Ecuación de la línea Recta
Toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, también se puede escribir
en la forma: y = mx + b , es decir como una función, donde m es la pendiente o
coeficiente de dirección y b es la intersección de la recta con el eje y , llamada también
coeficiente de posición.
Formas de la Ecuacion de la Recta.
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera
Los puntos tienen cualquier valor, pueden ser positivos o negativos, la fórmula que
permite encontrar esta ecuación es:
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
Dónde:
𝑥1 y 𝑥2 son las abscisas de los puntos dados.
𝑦1 y 𝑦2 son las ordenadas de los puntos dados.
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
Con los mismos puntos dados al inicio encontrar la ecuación de la recta.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a (-2,-3) y
b (-5,-6), ¿indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−3) =−6 − (−3)
−5 − (−2)[𝑥 − (−2)]
𝑦 + 3 =−6 + 3
−5 + 2(𝑥 + 2)
𝑦 + 3 =−3
−3(𝑥 + 2)
𝑦 + 3 = 𝑥 + 2
x – y = 1
Que es la ecuación de la recta
y es creciente por que la pendiente
es positiva
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente y
por qué?
(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)
Geometria Analitica
56 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)
Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente
Tiene una relación con el primer caso, la diferencia está en que se nos da el punto y
la pendiente. La fórmula que permite encontrar esta ecuación es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Dónde:
𝑥1 La abscisa del punto dado.
𝑦1 La ordenada del punto dado.
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
m es la pendiente dada
Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5), y cuya
pendiente m=4.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 5 = 4(𝑥 − 2)
𝑦 − 5 = 4𝑥 − 8
4𝑥 − 𝑦 = 3
Para realizar el grafico encontramos un punto más por lo menos para poder graficar
Taller:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente
y por qué?
(2,-8); m=4 (5,5) m=2 (-5,8) m=1
(-7,-6) m=8 (6,-3) m=-2 (2,-7) m=-3 (4,-5) m=-7
Ecuación de la recta de la forma con intersecciones
Esta recta se caracteriza por que tiene un punto interceptando el eje de las “x” y otro
punto interceptando el eje de las “y”.
Sus puntos tienen la forma: (a,0) y (0,b).
Dónde:
a.- es el valor diferente de cero que corresponde a “x” de los puntos dados.
b.- es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos dados.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 57
La fórmula para encontrar dicha ecuación es: 𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
Ejemplo: ¿encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,0) y (0,2) e
indicar si es creciente o decreciente y por qué?
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
𝑥
4+
𝑦
2= 1
Como podemos observar un punto esta sobre
cada eje
Calculamos la pendiente para determinar si es
creciente o decreciente:
𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1=
2−0
0−4=
2
−4= −
1
2
Por lo tanto, determinamos que la recta es
decreciente por que la pendiente es negativa.
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados
a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(-2,0) y (0,-8) (2,0) y (0,5) (-2,0) y (0,8)
(5,0) y (0,-6) (9,0) y (0,-3) (3,-0) y (0,-7)
(2,0) y (0,-5)
Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección
Se caracteriza por que el punto dado esta sobre el eje de las “y” y
tiene una determinada dirección dada por la pendiente, sin
embargo, es necesario encontrar el otro punto para poder graficar.
La fórmula que permite encontrar esta ecuación es: y = mx + b y el punto dado
tiene la forma: (0,b)
Dónde:
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
b es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos
dados.
m es la pendiente dada
Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto: (0,4) y cuya
pendiente m=5.
y = mx + b
y = 5x + 4 esta es la ecuación.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
Geometria Analitica
58 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Para graficar encontramos el otro punto,
Por ej. cuando x=1 y=9
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados
a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(0,-8); m=4 (0,5) m=2 (0,8) m=1 (0,-6) m=8
(0,-3) m=-2 (0,-7) m=-3 (0,-5) m=-7
Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente
o si ambas son verticales u horizontales.
Osea se cumple que: 𝑚1 = 𝑚2.
Por ejemplo si tenemos la recta: 2x – 3y = 1, esta recta tiene como pendiente: 𝑚 =2
3,
si queremos encontrar una recta paralela a ella debera tener la misma pendiente.
Entonces yo quiero encontrar la recta paralela a: 2x – 3y = 1, con otra recta que pasa
por el punto (4,-1), para que sea paralela la pendiente es la misma de la ecuacion
osea: 𝑚 =2
3; aplicamos la formula punto pendiente y encontramos dicha ecuacion:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−1) =2
3(𝑥 − 4)
𝑦 + 1 =2
3(𝑥 − 4)
3𝑦 + 3 = 2𝑥 − 8)
Quedandonos: 2x - 3y = 11. Como observamos analiticamente esta recta
es paralela a la recta: 2x – 3y = 1.
Graficamente tenemos lo siguiente:
0
2
4
6
8
10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 59
Rectas Perpendiculares. Para que dos rectas sean perpendiculares se debe
cumplir la siguiente condicion: 𝒎𝟏 = −𝟏
𝒎𝟐. o 𝒎𝟐 = −
𝟏
𝒎𝟏.
Si lo aplicamos al ejemplo anterior, se tiene la ecuacion: 2x – 3y = 1 y 𝑚 =2
3, si
necesitamos encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto: (4,-1), primero
calculamos: . 𝑚2 = −1
𝑚1= −
12
3
= −3
2.
Al multiplicar: 𝑚1. 𝑚2 = −1 condicion de perpendicularidad.
Entonces: 2
3(−
3
2) = −1, vemos que se cumple.
Entonces la ecuacion perpendicular a: 2x – 3 y = 1 sera:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−1) = −3
2(𝑥 − 4)
2𝑦 + 2 = −3𝑥 + 12
3𝑥 + 2𝑦 = 10
Graficamente.
Encontrar las rectas paralelas y perpendiculares de la siguiente informacion:
tarea
1) 3x – 4y = - 4; (-2,6) 4) 4x – y = 5; (3,-1).
2) x – 3y = 1; (1,-2) 5) 7x + 2y = 9 (-4,3).
3) - 2x + 3y = -4 (1, 8) 6) 9x + 5y = 10 (2,0)
Apoyandose en Geogebra realizar cada grafico.
▪ Entonces la pendiente de la recta nos indica si tenemos una
recta creciente o decreciente.
Geometria Analitica
60 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
▪ Hay que aplicar la forma correcta para encontrar la ecuación de
la recta
▪ La condicion de paralelismo es que: 𝑚1 = 𝑚2
▪ La condicion de perpendicularidad es: 𝑚1𝑚2 = −1
▪ Si no se cumple que: 𝑚1 = 𝑚2 y que: 𝑚1𝑚2 = −1, entonces
esas rectas no son ni paralelas ni perpendiculares.
▪ Ademas siempre que se intercepten una recta horizontal y una
vertical, cumplen la condicion de ser perpendiculares.
Foro:
La Recta, aplicaciones.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV.
Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la
siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es
creciente o decreciente y porque, según sea el caso.
1. que pasa por los puntos: (2,-7) y (5,2).
2. que pasa por el punto: (-3,5) y cuya pendiente es: m = - 4.
3. por los puntos: (2,0) y (0,-8).
4. que pasa por el punto: (0,-4) y m = - 5.
Actividad Final Unidad IV.
Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la
siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es
creciente o decreciente y porque, según sea el caso.
5. que pasa por los puntos: (8,-9) y (-4,-7).
6. que pasa por el punto: (-8,6) y cuya pendiente es: m = 7.
7. por los puntos: (5,0) y (0,8).
8. que pasa por el punto: (0,-9) y m = 5.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 61
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didactica V. La Circunferencia
Introduccion. En esta unidad revisaremos algunas partes importantes de la circunferencia,de
manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos
del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia. No debemos
nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en
realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo, veremos su grafica
y partes de ella.
Si nos trasladamos un poco a la historia sabemos que la invención de la rueda a
aportado positivamente a la ciencia y tecnología, en la actualidad por ejemplo los cds,
que aunque parezcan piezas comunes, necesitan de mucha precisión para que
funcionen correctamente, y el uso que se le da.
Sabemos que en la prehistoria con la invención de la rueda se ha logrado muchos
avances tecnológicos que actualmente conocemos, este invento está directamente
relacionado con la circunferencia, pero ¿Por qué es importante estudiar la
circunferencia?, es simple miremos a nuestro alrededor y en nuestra vida cotidiana,
podemos observar que nos rodea una infinidad de formas circunferenciales y para que
todo ello se pudiera crear se tuvo que recurrir a aplicaciones de la circunferencia, por
ejemplo los CD's que aunque parezcan piezas ordinarias requieren de mucha
precisión para su correcto funcionamiento, así como su uso en diferentes aplicaciones
modernas.
Por ello veremos su forma de graficar su ecuación y partes.
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia, con la ayuda de los constructos
teóricos, para aplicarlos en la resolución de problemas de la profesión con disciplina.
La Circunferencia
ecuaciones
ecuacion de la circunferencia centro origen
ecuacion circunferencia
centro fuera origen
ecuacion de la recta tangente
Geometria Analitica
62 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Elementos De La Circunferencia.
Centro.- Punto central se encuentra, a
la misma distancia de todos los puntos
de la circunferencia.
Radio.- Es la recta que une el centro
con cualquier punto de la circunferencia.
Cuerda.- Pedazo de recta que une dos
puntos cualquiera de la circunferencia.
Diametro.- es la linea que une dos
puntos cualquiera de la circunferencia,
pero que pasa por el centro.
Recta Secante.- Recta que corta dos
puntos cualquiera de la circunferencia.
Recta Tangente.- Recta que toca
a la circunferencia en un solo punto y
es perpendicular al radio
Ecuacion de la Circunferencia con Centro en el Origen (0,0).
Esta ecuacion tiene la forma: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Cuando se tiene el radio es mas sencillo encontrarla, y si tenemos
un punto aplicamos la formula de la distancia para encontrar su radio
Ejemplo encontrar la ecuacion de la circunferencia cuyo radio es 8
metros.
Aplicamos la formula: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2.
En este caso solo reemplazamos el valor del radio obteniendo lo siguiente:
𝑥2 + 𝑦2 = 82
𝑥2 + 𝑦2 = 64
Elementos de la
Circunferencia
Centro
Radio
Cuerda
Diametro
Recta Secant
e
recta tangent
e
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 63
Para graficar despejamos (y), elaboramos
una tabla de valores, pero se deberan
calcular muchos puntos para poder tener su
forma completa.
𝑦 = √64 − 𝑥2
x -2 -4 -6 -8 0 2 4 6 8
y (+7,75)
(-7,75)
(+6,93)
(-6,93)
(+5,29)
(-5,29) 0
(+8)
(-8)
(+7,75)
(-7,75)
(+6,93)
(-6,93)
(+5,29)
(-5,29) 0
Tarea.
Graficar las siguientes circunferencias de radio: 5, 4, 6,
Encontrar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el punto: (4,3) y que tiene su
centro en el origen (0,0)
Para este caso aplicaremos la formula de distancia, que en este caso se convierte en
el radio:
𝑟 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 = √(4 − 0)2 + (3 − 0)2 = √16 + 9 = √25 = 5
Quedandonos la ecaucion de la circunferencia asi:
𝑥2 + 𝑦2 = 25
Geometria Analitica
64 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Tarea.
Encontrar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los
siguientes puntos y tiene centro en el origen. Y realizar su grafica
para cada caso.
1) (2,-2).
2) (7,3)
3) (6,-2)
4) (-2, 3)
5) (-3,-5)
Ecuacion de la Circunferencia que no tiene centro en el origen. Se procede de la misma forma que en los casos anteriores, utilizamos
la formula para el calculo de la distancia entre dos puntos, la misma
que en este caso nos permitira encontrar la ecuacion de la
circunferencia para esto, se tiene el radio y el centro.
Por Ejemplo: Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su
centro C(2,4) y su radio es igual a 4.
Para esto usamos la formula siguiente:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Donde: h y k son las coordenadas del
centro C(h,k)-
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 42
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 16 esta es la
ecuacion ordinaria, si desarrollamos
los binomios, tenemos:
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 16
Arreglamos los terminos para darle
la forma de la ecuacion general de la
circunferencia:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 4 = 0
Foro.
La circunferencia
Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro en el punto (-4,-1) y es
tangente a la recta: 3x + 2y – 12 = 0.
De la informacion que se da tenemos que C(-4,-1), partimos de la idea grafica de
una Circunferencia y una recta tangente
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 65
Como se trata de una recta tangente, entonces
es perpendicular al radio, por loque aplicaremos
la formula de distancia que para este caso sera:
𝑑 = |𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶
√𝐴2+𝐵2|;
como esta distancia es desde
el centro de la circunferencia al
punto que toca la recta tangente, entonces lo que vamos a obtener
es el radio.
De la ecuacion de la recta dada sacamos los valores siguientes:
A = 3; B = 2 y C = -12 y del punto dado: 𝑥1 = −4 𝑦 𝑦1 = −1.
Reemplazando en la formula obtenemos:
𝑟 = |𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
√𝐴2 + 𝐵2| = |
3(−4) + 2(−1) + (−12)
√32 + 22| = |
−12 − 2 − 12
√9 + 4|
𝑟 = |−26
√13|
Pero como estamos trabajando en valor absoluto para garantizar que la distancia sea
positiva, entonces:
𝑟 =26
√13; racionalizando para eliminar el radical del denominador tenemos:
𝑟 =26
√13∗
√13
√13=
26√13
(√13)2 =
26√13
13= 2√13 ; entonces: r =2√13.
Todos los valores encontrados los reemplazamos en la formula:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2; del centro C(-4,-1) obtenemos: h = - 4; k = -1.
(𝑥 − (−4))2 + (𝑦 − (−1))2 = 2√132
(𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 ∗ 13
(𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 1)2 = 52
que seria la ecuacion de la circunferencia en la forma canonica
si la queremos expresar en la forma general debemos resolver los binomios.
𝑥2 + 8𝑥 + 16 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 52
Trasladando todos los terminos al primer miembro y ordenando tendriamos:
𝑥2 + 𝑦2 + 8𝑥 + 2𝑦 − 35 = 0
Geometria Analitica
66 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Tarea.
En cada caso realizar el grafico respectivo.
1) Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro
en el punto (3,-1) y es tangente a la recta: 2x + 3y – 5 = 0.
2) Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro
en el punto (-2,5) y es tangente a la recta: 4x + 5y – 15 = 0.
3) Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro
en el punto (6,3) y es tangente a la recta: 3x + 2y – 8 = 0.
Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia:
4𝑥.2+ 4𝑦2 + 8𝑥 + 4𝑦 − 47 = 0
Con 𝑚 = −3
2.
Por definicion el radio de la circunferencia y la recta tangente son perpendiculares.
Iniciamos dividiendo la ecuacion de la circunferencia para cuatro para darle la forma
general. 𝑥.2+ 𝑦2 + 2𝑥 + 𝑦 −47
4= 0.
Para encontrar el centro de la circunferencia, obtenemos de la ecuacion:
D = 2; E = 1; F = −47
4 C(-
𝐷
2; −
𝐸
2); 𝐶(−
2
2; −
1
2); 𝐶(−1; −
1
2);
El radio se lo puede encontrar con la siguiente formula:
𝑟 =√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
2=
√22 + 12 − 4 (−474 )
2=
√4 + 1 + 47
2=
√52
2=
√4.13
2=
2√13
2
𝑟 = √13
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 67
El radio es la distancia que existe entre el centro de la circunferencia y el punto de la
recta tangente, por lo que para el siguiente calculo, tomaremos como:
𝑑 = √13
Inicialmente planteamos la ecuacion de la recta ya que tenemos su pendiente, para
esto usaremos la forma: pendiente intercepcion:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 = −3
2𝑥 + 𝑏.
Trasladando todos lo terminos al primer miembro para darle la forma:
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 = 0 ; quedandonos entonces: 3
2𝑥 + 𝑦 − 𝑏 = 0.
Donde: 𝐴 =3
2; 𝐵 = 1; 𝐶 = −𝑏; de las coordenadas del centro de la circunferencia
obtenemos: 𝑥1 = −1; 𝑦1 = −1
2
𝑑 = |𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
√𝐴2 + 𝐵2| = ||
32
(−1) + 1 (−12) + (−𝑏)
√(32)
2
+ 12
|| = ||−
32 −
12 − 𝑏
√94 + 1
||
√13 = ||−2 − 𝑏
√134
|| = |−2 − 𝑏
√132
|
Como estamos considerando valor absoluto en el segundo miembro entonces no
hay valores negativos, obteniendo lo siguiente:
√13 =2(2+𝑏)
√13=
4+2𝑏
√13,
Para encontrar (b) que es el objetivo:
√13 ∗ √13 = 4 + 2𝑏
13 = 4 + 2𝑏 ∴ 𝑏 =13−4
2=
9
2.
Por lo que nuestra recta tangente sera:
𝑦 = −3
2𝑥 +
9
2
Geometria Analitica
68 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Taller.
Para cada caso realizar el grafico.
1) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la
circunferencia: 5𝑥2 + 6𝑦2 + 7𝑥 + 8𝑦 − 27 = 0
Con 𝑚 = −1
2.
2) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la
circunferencia: 2𝑥2 + 3𝑦2 + 9𝑥 + 5𝑦 − 30 = 0
Con 𝑚 = 2.
3) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la
circunferencia: 4𝑥2 + 7𝑦2 + 5𝑥 + 9𝑦 − 36 = 0
Con 𝑚 = −1.
Como hemos observado para encontrar la ecuacion de la
circunferencia, seguimos un proceso casi similar en cualquiera de sus
casos o formas, aplicando conceptos basicos como el de la distancia
y la ecuacion general de la circunferencia.
La manera de elaborar su grafica y en la recta tangente recordar que
tienen un punto comun entre la recta tangente y la circunferencia, y
este punto es perpendicular al radio de la circunferencia, la clave es
utilizar los conceptos, formulas y graficacion correcta.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 69
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V. 1) Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro
en el punto (8,3) y es tangente a la recta: 4x + 5y – 9 = 0.
Realizar la grafica
2) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la
circunferencia:7𝑥2 + 8𝑦2 + 9𝑥 + 7𝑦 − 26 = 0. Con:
𝑚 = −3
2. Realizar la grafica respectiva
3) Encontrar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el
punto (-8,-2) y tiene centro en el origen. Y realizar su grafica
4) Graficar las siguientes circunferencias de radio: 2 y 7
Actividad Final Unidad V.
1. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia:
2𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑥 + 7𝑦 − 25 = 0 Con 𝑚 = 5. realizar el grafico.
2. Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene su centro
en el punto (10,-3) y es tangente a la recta: 3x + 4y – 7 = 0.
Realizar la grafica respectiva..
3. Encontrar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el
punto (-8,-2) y tiene centro en el origen. Y realizar su grafica.
4. Graficar las siguientes circunferencias de radio: 4 y 6
Geometria Analitica
70 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didactica VI. Parabola
Introduccion. En esta unidad revisaremos algunas partes importantes de la Parabola que es el
conjunto de puntos que equidistan del foco y de la directriz, esta figura es simetrica y
al elaborar la tabla de valores obtendremos dos valores ya que es una funcion
cuadratica y tiene diversas posiciones o rotaciones, de ahí que hay parabolas,
acostadas, rotadas, concavas y convexas.
Si pudieramos observar la trayectoria de un balon que rebota observariamos que se
recorrido es una parabola.
El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas
conicas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad
del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar
la propiedad plana que las definía.
Las famosas antenas parabolicas usadas en telecomunicaciones, como su nombre lo
indica utilizan la bondad de esta forma conica llamada parabola.
Objetivo: Encontrar la ecuación de la parábola, a través de la formulación respectiva,
para su aplicación en la vida profesional con disciplina
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de
una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina
foco.
De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir
una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la
siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta
directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la
mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF.
La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como
resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para
diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea
necesario.
La Parabola
Ecuaciones
de la parabola
de la recta tangente
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 71
De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a
la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de
la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice
de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre
el vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio focal.
El lado recto mide 4 veces la distancia focal, Al segmento de recta comprendido por
la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado
recto.
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje
de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en
dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en
el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del
vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y
foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la
directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa
Geometria Analitica
72 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el
segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única
sección cónica que tiene excentricidad: e = 1.
La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la
misma forma, salvo su escala.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las
ordenadas, tiene una ecuación de la forma:
𝑦 = 𝑎𝑥2
donde el parámetro (a) especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita
como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen
la misma forma.
Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo
se abre hacia abajo.
Foro.
La Parabola, aplicaciones en las telecomunicaciones.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma.
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero
intercambiando (y) por (x) y viceversa. Así tendríamos:
𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es
𝑦 =𝑥2
4𝑝
Es de notar que el coeficiente: 4p es precisamente la longitud del
lado recto de la parábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren
hacia arriba. La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es
similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería: (0,-p)
y de esta forma:
La ecuación de una parábola con vértice en: (0,0) y foco en: (0,-p) es:
𝑥2 = −4𝑝𝑦
Cuando la parábola es horizontal hacia la derecha, se obtiene una ecuación similar
intercambiando los roles de x, y:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es:
𝑦2 = 4𝑝𝑥
obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la
izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen
mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene:
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 73
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y.
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es:
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) .
Ecuación general de una parábola
Hasta ahora hemos visto parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de
coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola
puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas
ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe
cualquier posición en un plano es:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0
Si y sólo si: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0
Para que exista una parábola los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente
nulos
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el
que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Donde a es distinto de cero.
Tangentes A La Parabola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Ejercicio.
Encontrar la ecuacion de la parabola de directriz: x = 4 y foco F(-2,0).
Por deduccion encontramos el vertice que viene a ser el punto medio entre el foco y
la directriz, por lo tanto: 𝑉 = (−2+4
2; 0) = (1,0)
Geometria Analitica
74 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Como su eje focal es x entonces aplicamos esta formula:
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)
El parametro (p) sera la diferencia en (x) del vertice y la directriz.
𝑝 = 1 − 4 = −3
Reemplazando en la formula para encontrar la ecuacion se tiene:
(𝑦 − 0)2 = 4(−3)(𝑥 − 1)
𝑦2 = −12(𝑥 − 1)
Para graficar despejamos
(y) y elaboramos una
tabla.
x 𝑦 = √−12(𝑥 − 1)
0 ±3,46
-1 ±4,90
-2 ±6,00
-3 ±6,93
-4 ±7,75
-5 ±8,49
-6 ±9,17
Taller.
1. Encontrar la ecuacion de la parabola de directriz:
x = 5 y foco F(3,0).
2. Encontrar la ecuacion de la parabola de directriz:
x = 7 y foco F(1,0).
3. Encontrar la ecuacion de la parabola de directriz:
x = 3 y foco F(2,0).
Ejemplo:
Dada la parábola:𝑦2 = 8𝑥 , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es:
2𝑝 = 8 𝑝
2= 2
Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen.
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 → 𝑉(0,0)
El término cuadrático en la ecuación es la (y) así que el eje de la parábola coincide
con el eje (OX). Además, la parábola se encuentra en el lado positivo del eje (OX),
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 75
ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la (x)) es
8 que es positivo, por lo que:
𝐹𝑜𝑐𝑜 → 𝐹 (𝑝
2, 0) = 𝐹(2,0)
La gráfica de la parábola: 𝑦2 = 8𝑥, es
Para graficar elaboramos una
tabla.
x 𝑦 = √8𝑥
0 ± 0,00
2 ± 4,00
4 ± 5,66
6 ± 6,93
Tarea:
1. Dada la parábola:𝑦2 = 6𝑥 , calcular su vértice, su foco y la
recta directriz.
2. Dada la parábola:𝑦2 = 10𝑥 , calcular su vértice, su foco y la
recta directriz.
3. Dada la parábola:𝑦2 = 7𝑥 , calcular su vértice, su foco y la
recta directriz.
Dada la parábola: 𝑦2 = −6𝑥; calcular su vertice, su foco y su recta directriz.
Por ser una ecuación reducida su vértice está en el origen. V(0,0).
𝐹𝑜𝑐𝑜 → 𝐹(−𝑝
2, 0)
−2𝑝 = −6
𝑝
2=
3
2; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎: 𝐹(−
3
2; 0)
La directriz seria: 𝑥 =3
2.
Geometria Analitica
76 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Para graficar despejamos (y) y nos damos
cuenta que en el interior del radical nos queda
negativo, entonces es preferible darle valores
negativos a (x).
x 𝑦 = √−6𝑥
0 ± 0,00
-2 ± 3,46
-4 ± 4,90
-6 ± 6,00
Tarea.
1. Dada la parábola: 𝑦2 = −12𝑥; calcular su vertice, su foco y su
recta directriz.
2. Dada la parábola: 𝑦2 = −9𝑥; calcular su vertice, su foco y su
recta directriz.
3. Dada la parábola: 𝑦2 = −16𝑥; calcular su vertice, su foco y su
recta directriz
Ejemplo: Dada la parábola: 𝑥2 = −6𝑦 ; encontrar el foco,el vertice y la recta directriz.
Entonces: −2𝑝 = −6 ∴𝑝
2=
3
2; el foco estaría en: 𝐹(0; −
𝑝
2) → 𝐹(0; −
3
2)
La directriz seria: 𝑦 =3
2
La tabla para la graficacion la podemos hacer despejando (y) por comodidad, y
podemos darle valores positivos y negativos a (x)
x 𝑦 = −𝑥2
6
±0 0,00
±2 - 0,67
±4 - 2,67
±6 -6,00
x 𝑦 = −𝑥2
6
±0 0,00
±2 - 0,67
±4 - 2,67
±6 -6,00
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 77
Tarea.
1) Dada la parábola: 𝑥2 = −12𝑦; calcular su vertice, su foco y su
recta directriz.
2) Dada la parábola: 𝑥2 = −9𝑦; calcular su vertice, su foco y su
recta directriz.
3) Dada la parábola: 𝑥2 = −16𝑦; calcular su vertice, su foco y su
recta directriz
Ejercicio. Dada la parábola: (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 − 3).
Calcular su vértice, el foco y la recta directriz.
El parámetro para este caso sería:
2𝑝 = 8 ∴ 𝑝
2= 2
En este caso ya no se trata de una ecuación reducida por lo tanto el vértice estará
en: 𝑥 − 3 = 0 ∴ 𝑥 = 3 ; 𝑦 − 2 = 0 ∴ 𝑦 = 2.
Por lo tanto, el vértice es: 𝑉(3,2).
El foco se encuentra en: 𝐹 (𝑥 +𝑝
2; 𝑦) → 𝐹(3 + 2; 2) → 𝐹(5,2).
La directriz está en: 𝑥 = 3 −𝑝
2= 3 − 2 ∴ 𝑥 = 1
Si resolvemos el binomio de la ecuación original y el producto y además despejamos
por comodidad de cálculo (x), tendríamos lo siguiente:
y 𝑥 =
𝑦2 − 4𝑦 + 28
8
-1 4,13
-2 5
-3 6,13
1 3,13
2 3
3 3,13
Tarea.
1. Dada la parábola: (𝑦 − 3)2 = 6(𝑥 − 4). Calcular su vértice, el
foco y la recta directriz.
2. Dada la parábola: (𝑦 − 6)2 = 9(𝑥 − 5). Calcular su vértice, el
foco y la recta directriz.
3. Dada la parábola: (𝑦 − 5)2 = 7(𝑥 − 6). Calcular su vértice, el
foco y la recta directriz.
Ejercicio. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola: 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6,
que es paralela a la recta . 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
En la ecuacion de la recta despejamos (y):
Geometria Analitica
78 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
𝑦 = −3𝑥 + 2
Como la ecuacion tiene la forma: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; la pendiente de la recta seria: m = - 3.
Como se plantea que la son paralelas entonces tienen pendientes iguales, por lo que
para encontrar la pendiente de la funcion cuadratica debemos derivar: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 − 5.
Igualamos las pendientes: -3 = 2x – 5.
Encontramos el valor de x: x = 1; este valor de (x) lo reemplazamos en la
ecuacion de la parabola: 𝑦 = 12 − 5.1 + 6 = 1 − 5 + 6 = 2
De esta manera encontramos las coordenadas del punto P(1,2).
Aplicamos la rectaca de la forma punto pendiente:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 2 = −3(𝑥 − 1)
𝑦 − 2 = −3𝑥 + 3
𝑦 = −3𝑥 + 5
Para la parabola
Para la recta paralela
Para la recta tangente
La parabola juega un papel importante en la geometria, ya que
algunos objetos de las telecomunicaciones tiene su forma, de ahí
que es necesario, realñizar sus calculos y graficas con precision,
usar la formula adecuada y no parar de practicar que es la clave
para su aprendizaje.
x 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
0 6,00
1 2,00
2 0,00
2,50 -0,25
3 0,00
4 2,00
x 𝑦 = −3𝑥 + 2
0 2,00
1 -1,00
x 𝑦 = −3𝑥 + 5
2 -1,00
1 2,00
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 79
Reconocer las parabolas, horizontale, verticales, con vertice en el
origen y fuera del origen y la forma de la ecuacion en cada caso
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad VI. 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola:
𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 7, que es paralela a la recta .
4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0.
2. Dada la parábola: (𝑦 − 2)2 = 6(𝑥 − 2) . Calcular su
vértice, el foco y la recta directriz.
3. Dada la parábola: 𝑥2 = −16𝑦 ; calcular su vertice, su
foco y su recta directriz.
4. Dada la parábola: 𝑦2 = −16𝑥 ; calcular su vertice, su
foco y su recta directriz.
5. Dada la parábola:𝑦2 = 7𝑥 , calcular su vértice, su foco
y la recta directriz.
6. Encontrar la ecuacion de la parabola de directriz:
x = 2 y foco F(4,0).
Actividad final de la Unidad VI 1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la
parábola: 𝑦 = 𝑥2 − 9𝑥 + 14, que es paralela a la
recta . 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0.
2) Dada la parábola: (𝑦 − 5)2 = 9(𝑥 − 8). Calcular su
vértice, el foco y la recta directriz.
3) Dada la parábola: 𝑥2 = −22𝑦; calcular su vertice, su
foco y su recta directriz.
4) Dada la parábola: 𝑦2 = −10𝑥; calcular su vertice, su
foco y su recta directriz.
5) Dada la parábola:𝑦2 = 7𝑥 , calcular su vértice, su foco
y la recta directriz.
6) Encontrar la ecuacion de la parabola de directriz:
x = 5 y foco F(3,0).
Geometria Analitica
80 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didactica VII. Elipse.
INTRODUCCION.
La elipse es otra de las figuras que se encuentra entre las conicas y que se resuelven
a traves de ecuaciones de segundo grado, esta curva geometrica fue estudiada por
Menecmo, investigada por Euclides y el nombre se lo atribuyen a Apolonio de Perge,
mientras que Pappus desarrollo el estudio del foco y de la directriz de la seccion conica
Se le dan muchas aplicaciones en el mundo de la ciencia, es una curva cerrada que
tiene dos ejes de simetria que son el resultado de cortar la superficie de un cono por
un plano oblicuo al eje de simetria, se la considera la imagen afin a la circunferencia
Objetivo: Encontrar la ecuación de la elipse, a través de la formulación respectiva,
para su aplicación en la vida profesional con disciplina
Definicion.- La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales
que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la Elipse
La Elipse
Elementos
Ecuaciones
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 81
1- Focos
Son los puntos medios de la elipse y el centro de toda su
geometría, ya que de ellos parten todos los demás
elementos de la figura.
La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos siempre es
constante, normalmente se denotan con las letras:
F y F’.
2- Eje focal.-También conocido como eje mayor, es una recta horizontal que atraviesa
la elipse tocando los dos focos y formando dos vértices. Divide la figura en 2 partes
iguales.
3- Eje secundario.- El eje secundario o eje menor es una mediatriz entre los focos de
la elipse, por lo que puede definirse como una recta vertical que divide la figura por la
mitad justo en su centro.
Entre el eje focal y el eje secundario se forma un ángulo de 90 grados.
4- Centro.- Es el lugar donde se cruzan los ejes focal y secundario, aunque también
puede precisarse como el punto medio entre los 2 focos de una elipse.
5- Distancia focal.- Es la distancia existente entre los 2 focos de una elipse. Suele
denotarse como 2C. Al mismo tiempo, C es la distancia semifocal, que va desde uno
de los focos hasta el centro.
6- Semieje mayor.- Corresponde a la distancia entre el centro y uno de los lados de la
elipse (vértice) unidos con una línea recta horizontal.
Su valor es la suma de las distancias de un punto cualquiera a los focos dividido entre
2, de la forma a = (d1 + d2) / 2, donde a es el semieje mayor y d la distancia de un
punto de la elipse a un foco.
7- Semieje menor.- El semieje menor es el opuesto del semieje mayor. Este cruza la
elipse de forma vertical pasando por el centro y tocando la figura en 2 puntos.
8- Radios vectores.- Son las líneas que unen a un punto cualquiera con los focos.
9- Vértices.- Son los 4 puntos donde los ejes focal y secundario se interceptan con la
elipse.
Foro.
La Elipse.
Relación entre la distancia focal y los semiejes.
Como se puede observar entre el semieje OB
y la distancia del centro al foco se forma un
triángulo rectángulo que se lo puede resolver
por Pitágoras.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Geometria Analitica
82 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Excentricidad de la elipse.- La excentricidad es un número que
mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al
cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
se la calcula mediante la relacion:
𝑒 =𝑐
𝑎, donde: 𝑐 ≤ 𝑎. 0 ≤ 𝑒 ≤ 1
Ejercicio.Hallar la ecuación de una elipse con focos F1(1,–1) y F2(1,3) y
excentricidad e=0,4.
Calculamos el centro de la elipse que son los puntos medios de los focos:
𝐶 = (1 + 1
2;−1 + 3
2) = (1,1)
Esto nos indica que el centro no esta en el origen, osea que el eje se traslado a (1,1),
por lo tanto:
𝑥′ = 𝑥 − ℎ = 𝑥 − 1 y 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘 = 𝑦 − 1
La distancia (c), del foco al centro es: 𝑐 = |𝑦2 − 𝑦1| = |−1 − 1| = 2.
De la formula de la excentricidad encontramos el valor de (a)
𝑒 =𝑐
𝑎∴ 𝑎 =
𝑐
𝑒=
2
0,4= 5
Por pitagoras encontramos el valor de (b):
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √25 − 4 = √21
Como el eje se traslado debemos actualizar la formula basica que es:
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1 a la siguiente: (𝑥−ℎ)2
𝑎2 +(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
(𝑥 − 1)2
𝑎2+
(𝑦 − 1)2
𝑏2= 1
(𝑥 − 1)2
25+
(𝑦 − 1)2
21= 1
x 𝑦 = √21(1 −(𝑥 − 1)2
25) + 1
0 ±5,49
-1 ±5,20
1 ±5,58
2 ±5.49
-2 ±4,67
4 ±4,67
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 83
Que vendria a ser la ecuacion solicitada.
La grafica queda asi:
Tarea.
Hallar la ecuación de una elipse con focos F1(2,–1) y F2(2,3) y
excentricidad e=0,6.
Hallar la ecuación de una elipse con focos F1(4,–3) y F2(4,2) y
excentricidad e=0,5.
Hallar la ecuación de una elipse con focos F1(2,–1) y F2(2,3) y
excentricidad e=0,4.
Representar graficamente la elipse: 𝑥2
16+
𝑦2
12= 1; y determinar las coordenadas de los
focos, de los vertices y de la excentricidad.
Como podemos observar la ecuacion ya esta en la forma canonica, los valores de las
coordenadas de los vertices.
Las coordenadas de los focos, se los encuentra por el teorema de Pitagoras:
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √16 − 12 = √4 = ±2
Las coordenadas del foco son: 𝐹(2,0) 𝑦 𝐹′(−2,0)
Para encontrar las coordenadas del vertice: 𝑎2 = 16 ∴ 𝑎 = ±4
Por lo que el eje mayor tendra como vertices: 𝑉(4,0) 𝑦 𝑉′(−4,0)
Mientras que las coordenadas del eje menor seran: 𝑏2 = 12 ∴ 𝑏 = ±2√3.
Por lo tanto las coordenadas del vertice menor son: 𝐵(0,2√3) 𝑦 𝐵′(0, −2√3)
La excentricidad la calculamos con la formula:
𝑒 =𝑐
𝑎=
2
4=
1
2= 0,50
Taller.
1) Representar graficamente la elipse: 𝑥2
9+
𝑦2
4= 1 ; y
determinar las coordenadas de los focos, de los
vertices y de la excentricidad.
2) Hallar la ecuación de una elipse con focos:
F1(3,–2) y F2(2,5) y excentricidad e=0,5.
5 ±3,75
-4 ±1,00
Geometria Analitica
84 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Ejemplo: Encontrar la ecuacion de la elipse de foco F(7,2); y cuyo vertice es: A(9,2) y
de centro: C(4,2).
Los valores de las coordenadas del centro nos indican que los ejes
se traslasdan, por lo que la forma ordinaria se transforma en:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
Donde: h y k son las coordenadas del centro.
Necesitamos encontrar los valores de: a, b y c.
a es la distancia en (x), desde el vertice al centro.
𝑎 = 9 − 4 = 5.
c es la distancia en (x) del foco al centro
𝑐 = 7 − 4 = 3
Por lo tanto: (b) lo encontramos por el teorema de Pitagoras.
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √25 − 9 = √16 = 4
Ahora que ya tenemos todos los valores reemplazamos en la formula para encontrar
la ecuacion de la elipse:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
(𝑥 − 4)2
25+
(𝑦 − 2)2
16= 1
Que es la ecuacion solicitada.
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 85
Tarea.
Encontrar la ecuacion de la elipse de foco F(5,3); y cuyo vertice es:
A(7,3) y de centro: C(3,3).
Encontrar la ecuacion de la elipse de foco F(9,5); y cuyo vertice es:
A(5,4) y de centro: C(5,3).
Encontrar la ecuacion de la elipse de foco F(3,3); y cuyo vertice es:
A(5,6) y de centro: C(4,3).
Ejercicio: Hallar la ecuacion de la elipse conociendo: C(0,0); F(0,4) y V(0,5).
De acuerdo a la informacion que tenemos nos damos cuenta que el foco, esta sobre
el eje (y), por lo que la formula de la ecuacion de la elipse en este caso sera:
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
Observando que los denominadores cambiaron.
Ahora vamos a calcular los valores de: a,b y c
a distancia en este caso de (y) del vertice al centro
𝑎 = 5 − 0 = 5
c distancia en (y) del foco al centro:
𝑐 = 4 − 0 = 4
Igual que en los casos anteriores por Pitagoras encontramos el valor de (b).
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 = √25 − 16 = √9 = 3.
Por lo que nuestra ecuacion queda:
Geometria Analitica
86 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
𝑥2
9+
𝑦2
25= 1
La elipse al igual que las otras conicas juega un papel importante en
la geometria, realizar sus calculos y graficas con precision, usar la
formula adecuada y no parar de practicar que es la clave para su
aprendizaje.
Reconocer las elipses, con focos en el origen y fuera del origen y la
forma de la ecuacion en cada caso.
Recurrir a la aplicación de Geogebra para la obtencion de graficas
digitales, sin embargo no dejar de realizar las graficas de manera
manual utilizando los metodos tradicionales, esto nos dara agilidad y
habilidad para sus trazos y determinar sus trazos según sus formas.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad VII. 1) Hallar la ecuación de una elipse con focos F1(7,2) y F2(7,3) y
excentricidad e=0,5.
2) Representar graficamente la elipse: 𝑥2
36+
𝑦2
25= 1; y determinar
las coordenadas de los focos, de los vertices y de la
excentricidad.
3) Hallar la ecuación de una elipse con focos:
F1(3,–2) y F2(3,7) y excentricidad e=0,4.
4) Encontrar la ecuacion de la elipse de foco F(5,3); y cuyo
vertice es: A(7,3) y de centro: C(3,3).
Geometria Analitica
Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 87
Actividad final de la Unidad VII
5) Hallar la ecuación de una elipse con focos F1(5,4) y F2(-5,2) y
excentricidad e=0,5.
6) Representar graficamente la elipse: 𝑥2
25+
𝑦2
16= 1; y determinar
las coordenadas de los focos, de los vertices y de la
excentricidad.
7) Hallar la ecuación de una elipse con focos:
F1(7,4) y F2(-7,1) y excentricidad e=0,5.
8) Encontrar la ecuacion de la elipse de foco F(-3,3); y cuyo
vertice es: A(5,3) y de centro: C(1,1).
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DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didactica VIII. La Hiperbola
Introduccion. Concluimos esta guia con el estudio de la hiperbola, otra figura de la seccion de las
conicas, y fue igual estudiada por Menecmo, en su estudio del problema de la
duplicacion del cubo, donde demuestra que existe una solucion, mediante el corte de
una parabola con una hiperbola, lo cual con el transcurso del tiempo fue demostrado,
aunque hay otros, quienes le dedicaron tiempo y las relacionaron con el movimiento
de los cuerpos celestes, y la creacion de leyes y propiedades que son muy utiles en
la matematica moderna.
Pero finalmente fue Apolonio de Perge, quien termina dandole el nombre de hiperbola
Su estudio nos ayuda a desarrollar habilidades necesarias en nuestra vida profesional.
Objetivo: Encontrar la ecuación de la hipérbola a través de los algoritmos
matemáticos para su aplicación en problemas de la vida diaria con responsabilidad.
Definicion.-
Representa un lugar geometrico de un punto que se mueve en un plano tal que
el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano
llamados focos, es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia
entre los focos.
Elementos de la Hiperbola
La Hiperbola
Elementos
Ecuaciones
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Focos: Son los puntos fijos F y F’
Radios vectores: Son los segmentos PF’ y PF
Centro de la hipérbola: Punto O donde se cortan los ejes.
Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’. A y A’,
A y A’ son los puntos de corte del eje real con la hipérbola. Sus coordenadas son
(a,0) y (-a,0) respectivamente.
B y B’ son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro en el
punto A y radio «c». Sus coordenadas son (b,0 ) y (-b,0) respectivamente.
Eje real: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2ª.
Eje imaginario: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b.
Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c.
Semieje real: Es la longitud «a».
Semieje imaginario: Es la longitud «b».
Semidistancia focal: Es la longitud «c».
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje real.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’.
Relación entre las longitudes a, b y c de la hipérbola Las longitudes de los semiejes, a y b, están relacionadas con la C
semidistancia focal, c, están relacionadas entre sí.
Como hemos visto en los elementos de la hipérbola, los puntos B y
B’ son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de
centro en el punto A y radio «c», por tanto, el segmento que une el
punto A con el punto B es igual a c, que corresponde con el radio de
la circunferencia.
Entre los puntos O, A y B se forma un triángulo rectángulo, cuyos catetos son «a» y
«b» y su hipotenusa es «c»:
Por lo tanto, los valores de a, b y c, igual que en los casos anteriores se relacionan con el teorema de Pitágoras
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90 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Excentricidad de la Hipérbola.- se la encuentra con la fórmula:
𝑒 =𝑐
𝑎
El valor de la excentricidad es mayor que uno, y en una hipérbola mientras la excentricidad se acerca más a uno es más cerrada y mientras se aleja de uno es más abierta.
Para encontrar la ecuación de la hipérbola que tiene centro en el origen aplicamos la
siguiente formula:
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1
Donde:
a es la longitud del semieje real.
b es la longitud del semieje imaginario.
C es el centro con coordenadas (0,0).
Asíntotas de la Hipérbola. Son las rectas que más se acercan a la
hipérbola y pasan por el origen, pero nunca llegan a tocarla.
Para encontrar las ecuaciones de la asíntota de la hipérbola se
aplican las siguientes formulas:
𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 𝑦 𝑦 = −
𝑏
𝑎𝑥.
Para encontrar la recta tangente a la hipérbola se aplica la siguiente
formula:
𝑦 − 𝑦1 =𝑏2𝑥1
𝑎2𝑦1(𝑥 − 𝑥1)
Donde: 𝑥1 𝑦 𝑦1 , 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜.
Ejercicio.
Encontrar las coordenadas de los focos, las longitudes de los semiejes, las
coordenadas de los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la siguiente hipérbola.
𝑥2
36−
𝑦2
64= 1
La fórmula o la ecuación de la hipérbola es:
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1
De la ecuación sacamos que: 𝑎2 = 36 ∴ 𝑎 = 6
Entonces las coordenadas de los vértices: A,A’, serian: A(6,0) y A’(-6,0)
𝑏2 = 64 ∴ 𝑏 = 8
Estas serían las coordenadas del eje secundario: B(8,0) y B’(-8,0).
Por lo tanto: c será, por Pitágoras:
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Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz 91
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √36 + 64 = √100=10.
Entonces las coordenadas del foco son: F(10,0) y F’(-10,0).
La excentricidad es:
𝑒 =𝑐
𝑎=
10
6= 1,67
Entonces las ecuaciones de las asíntotas serán:
Para graficar las asíntotas
𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 𝑦 𝑦 = −
𝑏
𝑎𝑥
𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 =
8
6𝑥 =
4
3𝑥
𝑦 = −𝑏
𝑎𝑥 = −
8
6𝑥 = −
4
3𝑥
para graficar la hiperbola
x 𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 𝑦 = −
𝑏
𝑎𝑥
3 4 -4
-3 -4 4
x ±6 ±8 ±10 ±12
𝑦 =4
3√𝑥2 − 36 0 ±7,06 ±10,67 ±13,86
Geometria Analitica
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Foro.
La Hipérbola.
Taller.
En cada caso graficar lo que se solicita.
1. Encontrar las coordenadas de los focos, las longitudes
de los semiejes, las coordenadas de los vértices, la
excentricidad y las asíntotas de la siguiente hipérbola.
𝑥2
49−
𝑦2
25= 1
2. Encontrar las coordenadas de los focos, las longitudes de los semiejes, las
coordenadas de los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la siguiente
hipérbola. 𝑥2
25−
𝑦2
16= 1
3. Encontrar las coordenadas de los focos, las longitudes de los semiejes, las
coordenadas de los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la siguiente
hipérbola. 𝑥2
36−
𝑦2
25= 1
Ejercicio. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal de la
hipérbola del ejercicio anterior x, en el punto de abscisa: x = 8, y considerando que el
punto se encuentra en el primer cuadrante:
𝑥2
36−
𝑦2
64= 1
En esta ecuación reemplazamos el valor de la abscisa y procedemos a encontrar el
valor de (y).
𝑥2
36−
𝑦2
64= 1, despejando y, se tiene: 𝑦 =
4
3√𝑥2 − 36; si observamos en la tabla de
valores del ejercicio anterior obtenemos: 𝑦 = ±7,06.
De los dos valores de (y), solo consideramos el positivo puesto que se plantea que
se encuentra en el primer cuadrante, por lo que las coordenadas del punto son:
P(8,7,06).
Para encontrar la recta tangente aplicamos la siguiente formula:
𝑦 − 𝑦1 =𝑏2𝑥1
𝑎2𝑦1(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 7,06 =64 ∗ 8
36 ∗ 7,06(𝑥 − 8)
𝑦 − 7,06 =512
254,16(𝑥 − 8)
𝑦 − 7,06 = 2,01(𝑥 − 8)
𝑦 = 2,01𝑥 − 16,08 + 7,06
𝑦 = 2,01𝑥 − 9,02
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Ahora calcularemos la recta normal, para esto utilizaremos la siguiente formula:
𝑦 − 𝑦1 =−𝑎2𝑥1
𝑏2𝑦1(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 7,06 =−36 ∗ 8
64 ∗ 7,06(𝑥 − 8)
𝑦 − 7,06 = −0,64(𝑥 − 8)
𝑦 = −0,64𝑥 + 5,10 + 7,06
𝑦 = −0,64𝑥 + 12,16
Para graficar, solamente nos queda encontrar los valores para la recta tangente y la
recta normal, que son ecuaciones de primer grado y se definen con dos puntos.
Tarea.
1. Realizar el respectivo gráfico.
2. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal de la
hipérbola en el punto de abscisa: x = 6, y considerando que el punto
se encuentra en el primer cuadrante:
𝑥2
64−
𝑦2
36= 1
3. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal de la
hipérbola en el punto de abscisa: x = 4, y considerando que el punto
se encuentra en el primer cuadrante:
𝑥2
49−
𝑦2
36= 1
Ejercicio. Encontrar la ecuación de una hipérbola, conociendo su centro C(1,2); su
vértice: V(5,2) y su foco F(6,2).
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Para esto primeramente identificamos que su centro no se encuentra en el origen,
ósea se produce una traslación de ejes por lo que la formula se transforma de la
siguiente manera. 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1. En: (𝑥−ℎ)2
𝑎2 −(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1.
Ahora procedemos a encontrar los parámetros:
a distancia en (x) del vértice al centro. 𝑎 = 5 − 1 = 4
c distancia en 8X9 del foco al centro. 𝑐 = 6 − 1 = 5.
b lo encontramos por Pitágoras: 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 = √25 − 16 = √9 = 3
Entonces queda la ecuación de la hipérbola de la siguiente manera: (𝑥−ℎ)2
𝑎2 −(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1.
(𝑥−1)2
16−
(𝑦−2)2
9= 1.
Tarea.
1. Encontrar la ecuación de una hipérbola, conociendo su centro
C(3,4); su vértice: V(7,3) y su foco F(3,3).
2. Encontrar la ecuación de una hipérbola, conociendo su centro
C(2,3); su vértice: V(6,4) y su foco F(8,4).
3. Encontrar la ecuación de una hipérbola, conociendo su centro
C(4,1); su vértice: V(5,1) y su foco F(6,1).
La Hiperbola al igual que las otras conicas juega un papel importante
en la geometria, realizar sus calculos y graficas con precision, usar la
formula adecuada y no parar de practicar que es la clave para su
aprendizaje.
Reconocer las Hiperbolas, con los focos, vertices y focos en el origen
y fuera del origen y la forma de la ecuacion en cada caso.
Recurrir a la aplicación de Geogebra para la obtencion de graficas
digitales, sin embargo no dejar de realizar las graficas de manera
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manual utilizando los metodos tradicionales, esto nos dara agilidad y
habilidad para sus trazos y determinar sus trazos según sus formas.
Encontrar las asintotas y la excentricidad, nos permite ver graficas
intresantes, y poder trasladar ejes, es una operación que nos ayuda
en el analisis y criterios matematicos.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad VIII. 1. Encontrar la ecuación de una hipérbola, conociendo su centro
C(8,2); su vértice: V(7,1) y su foco F(4,1).
2. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal
de la hipérbola en el punto de abscisa: x = 3, y considerando
que el punto se encuentra en el primer cuadrante:
𝑥2
81−
𝑦2
49= 1
Realizar el respectivo gráfico.
3. En cada caso graficar lo que se solicita.
Encontrar las coordenadas de los focos, las longitudes de los
semiejes, las coordenadas de los vértices, la excentricidad y
las asíntotas de la siguiente hipérbola.
𝑥2
81−
𝑦2
36= 1
Actividad final de la Unidad VIII
1) Encontrar la ecuación de una hipérbola, conociendo su
centro C(9,3); su vértice: V(4,3) y su foco F(7,3).
2) Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal
de la hipérbola en el punto de abscisa: x = 9, y considerando
que el punto se encuentra en el primer cuadrante:
𝑥2
49−
𝑦2
36= 1
Realizar el respectivo gráfico.
3) En cada caso graficar lo que se solicita.
Encontrar las coordenadas de los focos, las longitudes de los
semiejes, las coordenadas de los vértices, la excentricidad y
las asíntotas de la siguiente hipérbola.
𝑥2
121−
𝑦2
100= 1
Geometria Analitica
96 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
BIBLIOGRAFÍA
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