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Appunti su

Equazioni Differenziali Ordinarie

Daniele AndreucciDipartimento di Scienze di Base e Applicate

per l’IngegneriaSapienza Università di Roma

via Antonio Scarpa 16 00161 Roma, [email protected]

a.a. 2016–2017versione definitiva

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note_edo 20161217 19.53c© 2015, 2016, 2017 Daniele AndreucciTutti i diritti riservati–All rights reserved

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Introduzione

0.1. Nota.

Questa è la versione definitiva degli Appunti per il corso di Analisi Ma-tematica 2, tenuto per il Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale del-l’Università La Sapienza di Roma, anno accademico 2016-2017. Eventualicorrezioni a questa versione definitiva verranno segnalate in una ErrataCorrige, che apparirà sul sito del corso.

0.2. PROGRAMMA D’ESAME

La nota (s.d.) significa che può essere omessa la dimostrazione del risul-tato. La dimostrazione può anche essere omessa se non appare sul testoindicato.

Funzioni di più variabili

Il programma consiste, con riferimento al testo Analisi Matematica 2 diM.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa, 2013, di:

• Capitolo 2 Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità, Sezioni:1;2;3.

• Capitolo 3 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili, Sezioni:1;2, meno: la Definizione 3.2 e la Sottosezione 2.2;3, meno: la Definizione 3.7, la Proposizione 3.1, il Teorema 3.3, il Teo-rema 3.5, tutte le dimostrazioni.4, meno: la dimostrazione del Teorema 3.8, la Sottosezione Gradientedi una funzione radiale, la Sottosezione Equazione del trasporto, il Teore-ma 3.13;5:* 5.1, solo: il Teorema 3.14(s.d.), la Definizione 3.16;* 5.2, meno: il Teorema 3.15, la dimostrazione del Teorema 3.16;6, meno: il Teorema 3.19, la dimostrazione del Teorema 3.20, tutta laparte dalla Sottosezione Perturbazione di una forma quadratica compre-sa fino alla fine;8, meno: tutte le dimostrazioni.

• Capitolo 4 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vetto-riali, Sezioni:3, solo: la Sottosezione Superfici cartesiane e la Sottosezione Superfici dirotazione;

iii

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iv DANIELE ANDREUCCI

6, meno: la Sottosezione Significato economico del moltiplicatore, la Sot-tosezione 6.3; la Sottosezione 6.2 è richiesta solo per funzioni in R

3

vincolate a superfici (cioè per n = 3, m = 1).

Equazioni differenziali ordinarie

Il programma consiste, con riferimento ai presenti Appunti, di:• Capitolo 1, Sezioni:

1;2;3;4, meno: passo C) e dimostrazione della (1.28) nella dimostrazione delTeorema 1.13 (passaggio al limite sotto integrale);5, meno: la dimostrazione del Teorema 1.16, la dimostrazione del Teo-rema 1.17; la dimostrazione del Teorema 1.20 è richiesta solo nel casoγ(s) = As + B;6, meno: la dimostrazione del Teorema 1.25.

• Capitolo 2, tutto, meno: la dimostrazione della Proposizione 2.14.• Capitolo 3, Sezioni:

1;2, meno: il Lemma 3.8, la Proposizione 3.12;3.

Forme differenziali e serie

Il programma consiste, con riferimento al testo Analisi Matematica 2 diM.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa, 2013, di:

• Capitolo 6 Campi vettoriali, Sezioni:1:* 1.3;* 1.4, meno: la dimostrazione del Teorema 6.2;* 1.5;* 1.7.

• Capitolo 7 Serie di potenze e serie di Fourier, Sezioni:2: meno: il punto 1. del Teorema 7.6, la dimostrazione del Teorema 7.6,la Sottosezione Comportamento di una serie di potenze agli estremi . . . .

Fanno altresì parte del programma, per tutti gli argomenti, le tecnicherisolutive degli esercizi pubblicati sul sito del corso:https://www.sbai.uniroma1.it/˜daniele.andreucci/didattica/

analisi2/analisi2_index.html

e gli esempi svolti a lezione contenuti nel Diario del Corso pubblicato sullostesso sito.

0.3. Testi alternativi

In alternativa riportiamo il programma degli argomenti non compresi nel-le presenti note secondo il testo: Analisi Matematica di M.Bertsch, L.Giacomelli,R.Dal Passo (II edizione), McGraw-Hill:Funzioni di più variabili

• Capitolo 10 Limiti e continuità, Sezioni:1;2, meno: la Sottosezione 2.3, la Sottosezione 2.4;

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0.4. AVVERTENZE v

3, meno: il Teorema 10.11, la Definizione 10.12, il Teorema 10.13;4, solo: la Definizione 10.15.

• Capitolo 11 Calcolo differenziale . . . , Sezioni:1;2, meno: la Sottosezione 2.1, la Sottosezione 2.2;3;4, meno: la dimostrazione del Teorema 11.12, la Definizione 11.13, ilTeorema 11.14;6.

• Cap 13 Funzioni implicite ed estremi vincolati, Sezioni:1, solo: il Teorema 13.3, la parte dalla definizione di curva di livellocompresa fino alla fine della Sottosezione 1.5;2;3, solo: la Sottosezione 3.1;4.

Forme differenziali e serie

• Capitolo 4 Serie numeriche . . . , Sezioni:6;7;8, meno: il Teorema 4.18, la Sottosezione 8.2, la dimostrazione delTeorema 4.21;9, meno: il Teorema 4.24, la dimostrazione del Teorema 4.25.

• Capitolo 9 Complementi su successioni e serie, Sezioni:3, meno: le serie di potenze complesse.4, meno: il Teorema 9.12.

• Capitolo 12 Curve e integrali curvilinei, Sezioni:1, meno: la Sottosezione 1.1;Nota: la dimostrazione del Teorema 12.4 fa parte del programma: vediil Diario del Corso, lezione 4.4, meno: il Teorema 12.14, il Teorema 12.22.

Per altri riferimenti ai testi indicati si rimanda al Diario del Corso, pubbli-cato sul sito del Corso citato sopra.

0.4. Avvertenze

Il simbolo |·| denota sia il valore assoluto di numeri reali che la normaeuclidea di vettori di R

N , N > 1. Con il simbolo · indichiamo sia l’ope-razione di prodotto scalare tra vettori di R

N , che talvolta il prodotto tranumeri reali.Per N ≥ 1, J ⊂ R intervallo, n ∈ N,

Cn(J) = y : J → RN | y , y′ , . . . , y(n) continue in J .

I vettori sono sempre intesi come vettori colonna, anche qualora per co-modità tipografica vengano rappresentati come vettori riga.I vettori non vengono indicati con un carattere specifico, mentre le matricivengono indicate con questo carattere: A.

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Indice

Introduzione iii0.1. Nota. iii0.2. PROGRAMMA D’ESAME iii0.3. Testi alternativi iv0.4. Avvertenze v

Capitolo 1. Il problema di Cauchy 11.1. Notazione fondamentale e prime definizioni 11.2. Sistemi di ordine superiore. 21.3. Alcuni risultati preliminari 21.4. Teoria generale delle soluzioni locali 41.5. Estendibilità di soluzioni. 71.6. Dipendenza continua 10

Capitolo 2. Sistemi di equazioni differenziali lineari 132.1. Lo spazio delle soluzioni 132.2. Matrici risolventi 152.3. Matrici risolventi per sistemi a coefficienti costanti 172.4. Il caso delle equazioni di ordine n 20

Capitolo 3. Stabilità 233.1. Sistemi autonomi. 233.2. Punti di equilibrio 243.3. Il caso dei sistemi lineari a coefficienti costanti 263.4. I teoremi di stabilità di Liapunov 273.5. Il caso dei sistemi di secondo ordine 293.6. Rappresentazioni nel piano delle fasi 32

Appendice A. Serie esponenziale 39A.1. Complementi: La serie esponenziale 39

vii

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CAPITOLO 1

Il problema di Cauchy

1.1. Notazione fondamentale e prime definizioni

1.1.1. Definizioni. Nel seguito useremo sempre questa notazione: sia Ω ⊂R

N un insieme aperto e sia F : Ω → RN una funzione continua.

Definizione 1.1. Una funzione di classe C1, y : J → RN , ove J ⊂ R è un

intervallo, si chiama soluzione locale in J dell’equazione differenziale z = F(t, z)se (t, y(t)) ∈ Ω per ogni t ∈ J e

y(t) = F(t, y(t)) , per tutti i t ∈ J. (1.1)

Definizione 1.2. Prefissato (α, β) ∈ Ω, una soluzione locale del problema diCauchy

z = F(t, z) ,z(α) = β ,

(1.2)

è definita come una soluzione locale y di (1.1) tale che α ∈ J e y(α) = β.Una soluzione locale di (1.2) si denota a volte y(t; α, β). Il dato z(α) = β sidice dato di Cauchy, o dato iniziale, e il punto (α, β) punto iniziale. Il valoret = α si dice istante iniziale.

Osservazione 1.3. In generale possono esistere più soluzioni, diverse traloro, dello stesso problema (1.2). Naturalmente è interessante sapere quan-do la soluzione è unica. Trattando di soluzioni di equazioni differenziali èopportuno per chiarezza distinguere tra soluzioni che differiscono anchesolo per il dominio di definizione.Per esempio, il problema scalare

z = z ,z(0) = 1 ,

ha le due soluzioni

y1(t) = et , t ∈ R ; y2(t) = et , t ∈ [0,2) .

Questa è una delle ragioni per introdurre la Definizione 1.4.

Definizione 1.4. Una soluzione massimale di (1.2) è una soluzione locale di(1.2), definita su un intervallo J, tale che per ogni altra soluzione localedello stesso problema definita su un intervallo I, valga I ⊂ J.

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2 DANIELE ANDREUCCI

1.2. Sistemi di ordine superiore.

Sono interessanti anche i sistemi di ordine superiore al primo. Essi tuttaviasono coperti, in parte, dalla teoria dei sistemi del primo ordine in virtùdell’argomento seguente.

Metodo 1.5. (Riduzione di un sistema del secondo ordine al primo)Consideriamo un sistema del secondo ordine

z = f (z, z, t) , (1.3)

e i relativi problemi ai valori iniziali

z = f (z, z, t) , (1.4)

z(t0) = z0 , (1.5)

z(t0) = z0 . (1.6)

In molti casi tuttavia sarà possibile limitarsi a trattare in modo esplicitosolo il caso del sistema del primo ordine, perché il sistema del secondoordine si riduce a quello del primo con il cambiamento di variabili

y := (z, z) ∈ R2N , (1.7)

e introducendo la nuova funzione costitutiva

F(y, t) :=(

y2, f (y1, y2, t))

, (1.8)

ove si denotay = (y1, y2) , y1 , y2 ∈ R

N . (1.9)In questo modo il problema (1.4)–(1.6) si riduce a

y = F(y, t) , (1.10)

y(t0) = (z0, z0) . (1.11)

Nel seguito, le definizioni si intendono estese a sistemi del secondo ordinein quanto si applicano ai sistemi del primo ordine cui essi si riducono conla trasformazione (1.7), (1.8).

Osservazione 1.6. È chiaro che quanto detto per sistemi del secondoordine si estende a sistemi di ordine superiore.

1.3. Alcuni risultati preliminari

Per dimostrare i risultati di unicità e dipendenza continua di soluzioniuseremo la disuguaglianza di Gronwall (Lemma 1.8 sotto), la cui dimo-strazione è una semplice applicazione della tecnica di integrazione perseparazione delle variabili.

Osservazione 1.7. (Integrazione per separazione delle variabili) Sia-no f , g, x ∈ C1(R) tre funzioni scalari, e supponiamo che valga, per ognit ∈ R,

x(t) f ′(x(t)) = g′(t) . (1.12)

È allora chiaro, per i teoremi fondamentali del calcolo, che, fissato arbitra-riamente t0 ∈ R, vale

f (x(t)) = g(t)− g(t0) + f (x(t0)) ; (1.13)

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1.3. ALCUNI RISULTATI PRELIMINARI 3

se poi f è invertibile, quest’uguaglianza permette di ricavare la funzionex in modo esplicito. È anche ovvio che le uguaglianze in (1.12)–(1.13)possono essere sostituite da disuguaglianze; in questo caso, la (1.13) dàsolo una stima unilaterale per f (x).La tecnica di integrazione qui accennata viene detta per separazione dellevariabili, perché di fatto è spesso applicata a uguaglianze del tipo

x = ϕ(x)ψ(t) ,

che (sotto ovvie ipotesi sulle funzioni ϕ, ψ) possono essere ricondotte fa-cilmente alla forma (1.12), “separando” la ϕ(x) dalla ψ(t) (cioè portandoϕ(x) a primo membro).

Lemma 1.8. (Disuguaglianza di Gronwall) Sia y ∈ C1([α1, α2]).Se vale

|y| ≤ λ(|y|+ σ) , in [α1, α2],

con λ ≥ 0, σ ≥ 0 costanti, allora

|y(t)|+ σ ≤ eλ|t−a|(|y(a)|+ σ) , per ogni α1 ≤ a, t ≤ α2. (1.14)

Dimostrazione. Per i t per cui y(t) 6= 0, si ha che |y| è derivabile, e

ddt

|y(t)|∣

=

ddt

y(t) · y(t)

=

2y(t) · y(t)

2√

y(t) · y(t)

≤ |y(t)| . (1.15)

Possiamo poi supporre senza perdita di generalità che t > a.Supponiamo anche per il momento che y(τ) 6= 0 per tutti i a ≤ τ ≤ t.Allora possiamo scrivere

ddτ

|y(τ)| 1|y(τ)| + σ

≤ |y(τ)||y(τ)|+ σ

≤ λ , a < τ < t .

Integrando su [a, t] si ottiene

ln|y(t)| + σ

|y(a)|+ σ≤ λ(t − a) ,

da cui la (1.14).Resta da discutere il caso in cui y(τ) = 0 per qualche τ ∈ [a, t]. Se y(t) = 0ovviamente la (1.14) è vera e non c’è niente da dimostrare. Se y(t) 6= 0,definiamo τ0 come l’estremo superiore dei τ ∈ [a, t) tali che y(τ) = 0.Vale y(τ0) = 0, e y(τ) 6= 0 in [τ0 + ε, t], per ogni 0 < ε < t − τ0. Si puòallora ripetere la prima parte della dimostrazione nell’intervallo [τ0 + ε, t],ottenendo

|y(t)|+ σ ≤ eλ(t−τ0−ε)(|y(τ0 + ε)|+ σ) .

Prendendo il limite ε → 0 si arriva alla stima cercata

|y(t)|+ σ ≤ eλ(t−τ0)σ ≤ eλ(t−a)(|y(a)|+ σ) .

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4 DANIELE ANDREUCCI

1.4. Teoria generale delle soluzioni locali

1.4.1. Definizioni.

Definizione 1.9. Diremo che F : Ω → RN , Ω ⊂ R

N+1, è localmente lipschi-tziana (nelle ultime N variabili) se e solo se per ogni compatto C contenutoin Ω è possibile trovare una costante L > 0 tale che

|F(t, ξ) − F(t, η)| ≤ L|ξ − η| , per ogni (t, ξ), (t, η) ∈ C. (1.16)

La L si dice allora costante di Lipschitz di F in Ω.

Per esempio f (x) = 1/x è localmente Lipschitziana in (0,1).Supporremo salvo diverso avviso che F sia localmente lipschitziana in Ωnelle ultime N variabili.

1.4.2. Unicità. L’ipotesi di locale lipschitzianità permette di dimostrarecon notevole facilità il seguente risultato, che implica (quasi) la dipendenzacontinua nel senso della Definizione 1.23.

Teorema 1.10. Siano y(·; a, b) e y(·; α, β) due soluzioni locali dei corrispondentiproblemi di Cauchy, come in (1.2). Allora, se tali soluzioni sono definite entrambe(almeno) su un intervallo J, a, α ∈ J, ed entrambi i loro grafici sono contenuti inun compatto C ⊂ Ω, si ha

|y(t; a, b) − y(t; α, β)| ≤ eL|t−a|(|b − β|+ M|a − α|)

, per ogni t ∈ J.(1.17)

Qui L è la costante di Lipschitz che appare in (1.16) relativa al compatto C eM = maxC|F|.Dimostrazione. Sottraendo l’una dall’altra le equazioni differenziali sod-disfatte rispettivamente da u = y(·; a, b) e v = y(·; α, β), si ha

|u − v| = |F(t, u)− F(t, v)| ≤ L|u − v| , (1.18)

ove denotiamo u = u(t), v = v(t), t ∈ J. Per Lemma 1.8, si ha, per t ∈ J,

|u(t)− v(t)| ≤ eL|t−a||u(a)− v(a)|≤ eL|t−a|(|u(a)− v(α)|+ |v(α)− v(a)|

)

≤ eL|t−a|(|b − β|+ M|a − α|)

(usando |v| = |F(t, v)| ≤ M).

Osservazione 1.11. a) Il precedente Teorema non dà esattamente la dipen-denza continua nel senso che verrà introdotto nel seguito, perché assume(e non dimostra) che le due soluzioni siano definite in uno stesso intervallo;questo verrà provato sotto.b) È interessante notare che la (1.17) ha la natura di una cosiddetta “stimaa priori”, ossia può essere provata senza conoscere l’esistenza effettiva del-le soluzioni in questione, e vale per tutte le soluzioni indipendentementeda come siano state costruite.

Un immediato e importantissimo corollario di Teorema 1.10 si ottieneprendendo a = α, b = β:

Corollario 1.12. (Unicità) Siano y e z due soluzioni locali dello stesso pro-blema di Cauchy (1.2). Valga la condizione di Lipschitz (1.16). Allora y = znell’intervallo intersezione dei domini di definizione di y e z.

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1.4. TEORIA GENERALE DELLE SOLUZIONI LOCALI 5

Dimostrazione. Sia I l’intersezione dei domini delle due soluzioni. Èchiaro che basta dimostrare che le due soluzioni coincidono su ogni com-patto contenuto in I perché I è l’unione di questi compatti.Sia dunque J uno di essi. Allora i grafici di y e di z su J sono sottoinsiemicompatti di Ω e dunque esiste un compatto C che li contiene entrambi. Siapplica ora il Teorema 1.10 con a = α, b = β e si ottiene y = z su J.

1.4.3. Esistenza. Introduciamo la seguente notazione: sia Ih = [a − h, a +h], a, h ∈ R, h > 0 un intervallo chiuso di R, e sia Bk ⊂ R

N la sfera chiusadi R

N di raggio k > 0 e centro b ∈ RN ; assumiamo che K := Ih × Bk ⊂ Ω.

Poniamo anche Ko = (a − h, a + h) × |ξ − b| < k (cioè Ko è l’interno diK).Diamo ora il risultato locale di esistenza.

Teorema 1.13. (Esistenza locale) Ponendo

δ = min(

h,k

M,

12L

)

> 0 ,

il problema di Cauchy

z = F(t, z) ,z(a) = b ,

(1.19)

ha una soluzione in [a − δ, a + δ]. Qui L è la costante di Lipschitz che appare in(1.16) relativa al compatto K e M = maxK|F|.Dimostrazione. A) Approssimazione per ricorrenza. Per ogni n ∈ N e t ∈J := [a − δ, a + δ] definiamo

y0(t) = b , (1.20)

yn+1(t) = b +

t∫

a

F(τ, yn(τ))dτ . (1.21)

Affinché l’integrale in (1.21) sia ben definito occorre intanto che yn(τ) ∈ Bk

per ogni τ ∈ J, e poi che yn ∈ C(J) in modo che l’integrando sia continuo.Dimostriamolo per induzione; entrambe le affermazioni sono vere se n = 0per la definizione (1.20). Se poi sono vere per n, si ha da (1.21)

|yn+1(t)− b| ≤

t∫

a

|F(τ, yn(τ))| dτ

≤ δM ≤ k ,

per la scelta di δ, e quindi yn+1(t) ∈ Bk per ogni t ∈ J. Infine la (1.21) stessaimplica che yn+1 ∈ C(J) concludendo la dimostrazione per induzione.B) Continuità. In effetti la (1.21) mostra inoltre, per il Teorema fondamen-tale del calcolo, che yn+1 ∈ C1(J) e

yn+1(t) = F(t, yn(t)) , t ∈ J . (1.22)

Quindi|yn+1(t)| = |F(t, yn(t))| ≤ M , t ∈ J , (1.23)

per cui per ogni n ∈ N

|yn(t)− yn(τ)| ≤ M|t − τ| , t, τ ∈ J . (1.24)

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6 DANIELE ANDREUCCI

C) Convergenza. Vogliamo ora dimostrare la convergenza della successioneyn(t)∞

n=1 per t ∈ J fissato ad arbitrio. A questo scopo dimostreremo cheè una successione di Cauchy in R.Definiamo

Yn = maxJ

|yn+1 − yn| , n ∈ N .

Allora per n ≥ 1 fissato e per ogni t ∈ J si ha

|yn+1(t)− yn(t)| =

t∫

a

[F(τ, yn(τ))− F(τ, yn−1(τ))]dτ

t∫

a

|F(τ, yn(τ))− F(τ, yn−1(τ))| dτ

t∫

a

L |yn(τ)− yn−1(τ)| dτ

≤ LδYn−1 ,

e dunque

Yn ≤ LδYn−1 , n ≥ 1 . (1.25)

Applicando iterativamente la (1.25) si arriva a

Yn ≤ LδYn−1 ≤ (Lδ)2Yn−2 ≤ · · · ≤ (Lδ)nY0 ≤ (Lδ)nk , (1.26)

ove si è usato nell’ultimo passaggio che y1(t) ∈ Bk, t ∈ J. Come conse-guenza della (1.26) si ha fissato ε > 0, e per m > n

|ym(t)− yn(t)| ≤m−1

∑i=n

|yi+1(t)− yi(t)| ≤m−1

∑i=n

Yi

≤m−1

∑i=n

(Lδ)ik ≤ k∞

∑i=n

(Lδ)i = k(Lδ)n

1 − Lδ≤ ε ,

(1.27)

per m, n ≥ nε opportuno. Si è usato che per la scelta di δ vale Lδ ≤ 1/2 <

1.Perciò la successione yn(t)∞

n=1 è di Cauchy e quindi converge per ognifissato t ∈ J. Definiamo

y(t) = limn→∞

yn(t) , t ∈ J .

D) La y è soluzione. Intanto vale che y(J) ⊂ Bk, poiché Bk è chiuso e valeyn(J) ⊂ Bk per ogni n. Inoltre la y : J → R

N è continua: infatti prendendoil limite n → ∞ nella (1.23) si ottiene

|y(t)− y(τ)| ≤ M|t − τ| , t, τ ∈ J .

Vogliamo ora prendere il limite nella (1.21). Osserviamo in via preliminareche prendendo il limite m → ∞ nella (1.27) si ottiene per ogni n ≥ 1 e t ∈ J

|y(t)− yn(t)| ≤ k(Lδ)n

1 − Lδ.

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1.5. ESTENDIBILITÀ DI SOLUZIONI. 7

Pertanto∣

t∫

a

F(τ, y(τ))dτ −t

a

F(τ, yn(τ))dτ

t∫

a

|F(τ, y(τ))− F(τ, yn(τ))| dτ

t∫

a

L |y(τ)− yn(τ)| dτ

≤ k(Lδ)n+1

1 − Lδ.

Quindi per n → ∞ dalla (1.21) si ha

y(t) = b +

t∫

a

F(τ, y(τ))dτ . (1.28)

La (1.28) mostra che y ∈ C1(J), poiché sappiamo già che è continua, e inparticolare

y(t) = F(t, y(t)) , t ∈ J .La (1.28) implica anche che y(a) = b, concludendo la dimostrazione.

Osservazione 1.14. I precedenti risultati di esistenza, unicità e dipenden-za continua, valgono in realtà anche se il dato di Cauchy è assegnatoper t = a − h o t = a + h; ovviamente si otterrà una soluzione defini-ta solo in un intorno destro o sinistro dell’istante iniziale. Questo segueimmediatamente dalle dimostrazioni date.

1.5. Estendibilità di soluzioni.

1.5.1. Soluzioni massimali. In questo paragrafo ci poniamo il problemadel comportamento globale delle soluzioni di un sistema differenziale. Cioè,in termini intuitivi, cerchiamo di capire “cosa può succedere” a una solu-zione locale del problema di Cauchy (1.2) per t che si allontana dal valoreα.Abbiamo bisogno per procedere nello studio delle soluzioni massimali delseguente risultato di prolungabilità:

Lemma 1.15. Sia F ∈ C(Ω) e localmente lipschitziana nelle ultime N variabili.Sia z una soluzione locale di (1.1), definita su (t0, t1], con t1 < ∞. Allora esisteuna soluzione z che coincide con z su (t0, t1] ed è definita su (t0, t1 + σ), conσ > 0 opportuno.

Dimostrazione. Sia z1 = z(t1). Per il teorema di esistenza locale, ilproblema di Cauchy

w = F(t, w) , w(t1) = z1 ,

ha una soluzione locale w definita in qualche intervallo aperto (t1 − σ, t1 +σ). La funzione

z(t) =

z(t) , t ∈ (t0, t1] ,w(t) , t1 < t < t1 + σ ,

è una soluzione di (1.2): l’unica cosa da dimostrare è che ha derivatacontinua in t = t1. Ma

limt→t1−

˙z(t) = limt→t1−

F(t, z(t)) = F(t1, z1) = limt→t1+

F(t, w(t)) = limt→t1+

˙z(t) .

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8 DANIELE ANDREUCCI

Teorema 1.16. Sia F ∈ C(Ω) e localmente lipschitziana nelle ultime N variabili.Allora per ogni (α, β) ∈ Ω esiste una unica soluzione massimale di (1.2); inoltreil suo intervallo di definizione è aperto.

Dimostrazione. L’unicità segue subito dal Corollario 1.12, se si nota chedue soluzioni, entrambe massimali, devono essere definite sullo stessointervallo.Per l’esistenza, definiamo l’intervallo aperto J come l’unione di tutti gliintervalli aperti su cui è definita una soluzione locale di (1.2). Definiamopoi, per ogni t ∈ J, Y(t) = y(t), ove y è una soluzione locale di (1.2)definita in un intervallo cui appartiene t. Sicuramente una tale y esiste perogni t ∈ J (per definizione di J); inoltre la definizione di Y non dipendedalla scelta di y, ed è quindi ben data, a causa del Corollario 1.12. Perdimostrare che la Y è una soluzione, osserviamo che Y(α) = β è ovvio;inoltre, fissato t ∈ J ad arbitrio, esiste una soluzione locale y : I → R

N cont ∈ I (I aperto). Perciò in un intorno di t vale Y ≡ y: questo implica che Yrisolve il sistema differenziale.Mostriamo infine che Y è massimale. Sia z una qualunque soluzione di(1.2), con intervallo di definizione I. Se I è aperto, si ha I ⊂ J per costru-zione di J. Se per assurdo, I non è aperto e I 6⊂ J, si ha che l’interno di Iè comunque incluso in J, e dunque, al più, un estremo di J, sia γ (γ 6∈ J,come è chiaro perché J è aperto) è anche un estremo di I, γ ∈ I. Sia peresempio γ il secondo estremo di J e I (il caso in cui γ è il primo estremosi tratta in modo analogo). Sia z0 = z(γ) ∈ Ω. Per il Lemma 1.15, esisteuna soluzione z di (1.2) definita su un intervallo aperto non contenuto inJ, assurdo.

Il seguente risultato dà le informazioni più rilevanti sulle soluzioni massi-mali.

Teorema 1.17. Sia F : Ω → RN come in Teorema 1.16. Sia y : (σ, Σ) → R

N

una soluzione massimale di un problema di Cauchy relativo a (1.1). Allora perogni compatto C contenuto in Ω esiste un [ε, η] ⊂ (σ, Σ), ε, η ∈ R, tale che(t, y(t)) ∈ Ω \ C per σ < t < ε, η < t < Σ.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano un compatto C ⊂Ω e una successione tn, tn → Σ− tale che (tn , yn) ∈ C, ove yn = y(tn)(questo implica in particolare che Σ < ∞). Dato che C è compatto possia-mo assumere che (tn, yn) → P0 := (Σ, y0) ∈ C per n → ∞. Dimostriamoche in effetti

(t, y(t)) → P0 , t → Σ − . (1.29)

Dato che P0 ∈ Ω, si può assumere che esista una palla B2θ di raggio 2θ > 0e centro P0 contenuta in Ω e su cui |F| ≤ M. Eventualmente prendendo θpiù piccolo, si può assumere, se (1.29) non vale, che esista una successionet′n, t′n → Σ−, tale che (t′n, y(t′n)) non appartenga alla palla B2θ per n ≥ 1.Dato che invece (tn, yn) ∈ Bθ per n sufficientemente grande, si ha, per talin,

0 < θ ≤ |yn − y(t′n)| ≤ M|tn − t′n| .

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1.5. ESTENDIBILITÀ DI SOLUZIONI. 9

Questa è ovviamente una contraddizione con tn, t′n → Σ ∈ R. Dunque vale(1.29), e si può definire y(Σ) = y0. Ma allora, per il Lemma 1.15, si puòprolungare la soluzione y oltre t = Σ, contro la sua asserita massimalità.

Specializzando le ipotesi di Teorema 1.17 a un paio di casi interessanti, siha subito il

Corollario 1.18. Con le ipotesi e con la notazione di Teorema 1.17, si ha:

(1) Se Ω è limitato, allora per t → Σ−, la distanza tra (t, y(t)) e la frontiera diΩ tende a 0.

(2) (Caso della striscia) Se Ω = (r, s) × RN , allora se Σ < s, deve essere

|y(tn)| → ∞ per una opportuna successione tn → Σ−.

Osservazione 1.19. In particolare, da Corollario 1.18, (2) segue che se si saa priori che |y| si mantiene limitata su tutto il suo intervallo di definizione(σ, Σ), allora (r, s) = (σ, Σ).

Nel caso della striscia è spesso utilizzabile il seguente criterio.

Teorema 1.20. Sia F : Ω := (r, s) × RN → R

N una funzione continua elocalmente lipschitziana nelle ultime N variabili. Sia anche

|F(t, ξ)| ≤ γ(|ξ|) , ∀(t, ξ) ∈ Ω ,

dove γ : R+ → R

+ è una funzione continua soddisfacente

+∞∫

1

γ(ρ)= +∞ . (1.30)

Allora le soluzioni massimali dei problemi di Cauchy (1.2) sono definite su tutto(r, s).

Dimostrazione. Se per esempio una soluzione massimale y è definitain (σ, Σ), con Σ < s, allora per il Corollario 1.18 (2), la funzione |y(t)|deve diventare ilimitata per t → Σ−. Ma, da |y| = |F| ≤ γ(|y|), segue,ragionando come in Lemma 1.8,

Σ − a > t − a ≥|y(t)|∫

|y(a)|

γ(ρ). (1.31)

Qui σ < a < t < Σ sono arbitrari. Per (1.30), la (1.31) implica che esisteuna costante C dipendente da a e da Σ, ma non da t tale che |y(t)| ≤ C perogni t ∈ (a, Σ). Per quanto sopra, si deve dunque avere Σ = s. In modosimile si prova σ = r.

Osservazione 1.21. Come caso di particolare importanza, si può prenderein Teorema 1.20 γ(ρ) = costante · ρ. È questo il caso dei sistemi lineari,cioè della forma z = Az, ove A è una matrice reale N × N a coefficientilimitati.

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10 DANIELE ANDREUCCI

Osservazione 1.22. Se N = 1, e se F ∈ C(R2), F(t, ξ) ≥ γ(ξ) > 0, per

ξ > 1, con+∞∫

1

γ(ρ)< +∞ ,

si potrebbe far vedere, con tecniche analoghe a quelle usate sopra, che, sey(a) > 1, allora y(t) diverge per t → Σ < ∞.

1.6. Dipendenza continua

1.6.1. Definizioni. Qui assumiamo sempre che F : Ω → RN sia conti-

nua in Ω e localmente lipschitziana in Ω nelle ultime N variabili. Inoltredenotiamo con y(·; α, β) la soluzione massimale del problema di Cauchy(1.2).Introduciamo nella definizione seguente una nozione più forte dell’unici-tà, la dipendenza continua dai dati, rilevante nelle applicazioni.

Definizione 1.23. Si dice che la soluzione di (1.2) dipende con continui-tà dal dato z(α) = β in Ω se per ogni (α, β) ∈ Ω sono soddisfatte lecondizioni:(1) Se I ∋ α è un intervallo compatto su cui è definita la soluzione

massimale di (1.2), esiste un d > 0 tale che se

|α − α′| < d , |β − β′| < d ,

allora (α′, β′) ∈ Ω e la soluzione massimale y(·; α′ , β′) è definita(almeno) su I.

(2) Per ogni ε > 0 esiste un 0 < σ < d tale che

|α − α′| < σ , |β − β′| < σ , (1.32)

implica

|y(t; α, β) − y(t; α′ , β′)| < ε , per ogni t ∈ I.

Si osservi che in Definizione 1.23, d deve essere scelto abbastanza “piccolo”(se la definizione è soddisfatta da d è soddisfatta anche da ogni d′ < d). Insostanza in (1) si richiede che per tutti i punti iniziali abbastanza vicini aun (α, β) prefissato, le corrispondenti soluzioni massimali siano definite suun intervallo comune. Questo è necessario per dare significato alla parte(2), ove si richiede che, su tale intervallo, due soluzioni si possano rendereuniformemente vicine prendendo i loro punti iniziali abbastanza vicini.

Osservazione 1.24. È essenziale che l’intervallo I nella Definizione 1.23sia compatto; se non lo è il Teorema 1.25 non vale. Basti osservare il casodell’equazione

y′ = y ,ove la differenza tra due soluzioni diverse diverge a ∞ se t → +∞ e quindinon soddisfa (2) nella Definizione, per nessuna scelta di σ.

Teorema 1.25. Sia F ∈ C(Ω) e localmente lipschitziana nelle ultime N variabili.Allora la soluzione massimale del problema di Cauchy dipende con continuità daidati.

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1.6. DIPENDENZA CONTINUA 11

Dimostrazione. Sia (α, β) ∈ Ω e sia I un intervallo compatto della cor-rispondente soluzione massimale y di (1.2). Possiamo assumere eventual-mente estendendo I e quindi senza perdita di generalità che α appartengaall’interno di I.Poiché il grafico di y su I che denotiamo Γy(I) è un compatto contenutonell’aperto Ω, esiste un ρ > 0 tale che

Cρ := (t, z) | dist(

(t, z), Γy(I))

≤ ρ ⊂ Ω .

In sostanza, Cρ è un intorno compatto di Γy(I); basta prendere qui ρ <

dist(Γy(I), ∂Ω). L’idea è di ottenere che le altre soluzioni massimali nonescano da Cρ.Sia dunque z la soluzione massimale di

z = F(t, z) , z(α′) = β′ ,

con intervallo di definizione H; qui assumiamo

|α − α′| < d , |β − β′| < d . (1.33)

Come prima limitazione su d, imponiamo che sia scelto in modo tale cheda (1.33) segua α′ ∈ I; questo ovviamente è possibile perché α appartieneall’interno di I.Poi definiamo Hd come il più grande subintervallo di H ∩ I contenente α′

e tale che Γz(Hd) ⊂ Cρ. Dato che per t ∈ H ∩ I si ha

dist(

(t, z(t)), Γy(I))

≤ dist(

(t, z(t)), (t, y(t)))

= |z(t)− y(t)| , (1.34)

si vede che Hd 6= ∅ perché in effetti α′ ∈ Hd se d ≤ ρ.Sia ora L la costante di Lipschitz di F in Cρ, e sia M = maxCρ

|F|. IlTeorema 1.10 garantisce che per ogni t ∈ Hd vale

|y(t)− z(t)| ≤ eL|t−α|(|β − β′|+ M|α − α′|) ≤ eLλ(M + 1)d , (1.35)

ove λ è la lunghezza di I. Dunque se oltre alle limitazioni già imposte sud imponiamo anche che

eLλ(M + 1)d ≤ ρ

2,

si ottiene usando ancora (1.34) che per ogni t ∈ Hd

dist(

(t, z(t)), Γy(I))

≤ |y(t)− z(t)| ≤ ρ

2.

Dato perciò che in sostanza il grafico di z non può avvicinarsi a menodi ρ/2 alla frontiera di Cρ e quindi non può uscirne, si ha Hd = H ∩ I.D’altronde per il Teorema 1.17 si sa che per t → sup H− e t → inf H+il grafico di z deve uscire dal compatto Cρ. Pertanto si deve avere che gliestremi di H non appartengono a I, ossia I ⊂ H. Abbiamo così dimostratoche è possibile scegliere d come nella parte (1) della Definizione 1.23.Per controllare la parte (2) fissiamo ε > 0 e invochiamo ancora la primadisuguaglianza in (1.35) che ora sappiamo valere per ogni t ∈ Hd = H ∩I = I, e che subito implica

|y(t)− z(t)| < ε ,

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12 DANIELE ANDREUCCI

se assumiamo (1.32) con σ tale che

σ ≤ e−Lλ

M + 1ε .

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CAPITOLO 2

Sistemi di equazioni differenziali lineari

2.1. Lo spazio delle soluzioni

Un sistema N × N lineare omogeneo di equazioni differenziali ordinarie è

y′1 = a11(t)y1 + a12(t)y2 + · · ·+ a1N(t)yN ,

y′2 = a21(t)y1 + a22(t)y2 + · · ·+ a2N(t)yN , (2.1). . .

y′N = aN1(t)y1 + aN2(t)y2 + · · ·+ aNN(t)yN ,

ove le aij sono assegnate funzioni continue su un certo intervallo J di R, ela soluzione (y1, . . . , yN) è una N-upla di funzioni C1(J).Con una notazione più compatta, possiamo riscrivere (2.1) come

y′ = A(t)y , (2.2)

ove

A(t) =

a11(t) a12(t) . . . a1N(t)a21(t) a22(t) . . . a2N(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aN1(t) aN2(t) . . . aNN(t)

y = y(t) =

y1(t)y2(t). . .

yN(t)

, t ∈ J .

Osservazione 2.1. Si noti che tutte le soluzioni di (2.2) sono definite sututto J per il Teorema 1.20 e l’Osservazione 1.21. Anzitutto infatti se Jnon è aperto, le aij si possono estendere come funzioni continue su unaperto (r, s) che contiene J, prendendo poi Ω = (r, s) × R

N . Se le aij sonolimitate su (r, s) si applicano direttamente i risultati suddetti. Altrimentil’esistenza globale su tutto (r, s) e quindi su tutto J si ritrova applicando ilrisultato precedente su una successione di intervalli compatti che invade(r, s).

Le soluzioni di (2.2) costituiscono uno spazio vettoriale rispetto alle usualioperazioni di somma tra vettori e prodotto per scalari. Più specificamente

Proposizione 2.2. Siano yi, i = 1, . . . , p, soluzioni di (2.2). Allora anche

∑pi=1 ciyi lo è, per ogni scelta di scalari ci ∈ R.

Dimostrazione. Ovviamente

ddt

p

∑i=1

ciyi =p

∑i=1

ciy′i =

p

∑i=1

ciA(t)yi = A(t)p

∑i=1

ciyi .

Dunque lo spazio vettoriale S delle soluzioni di (2.2) deve avere una ba-se, la cui cardinalità coincide—per definizione—con la dimensione dello

13

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14 DANIELE ANDREUCCI

spazio medesimo. Ricordiamo che p elementi y1,. . . , yp di S si diconolinearmente indipendenti se e solo se da

c1y1 + c2y2 + · · ·+ cpyp = 0 , ci ∈ R , i = 1 , . . . , p ,

segue ci = 0 per ogni i. Si osservi però che gli elementi dello spazio vet-toriale S sono funzioni; dunque l’elemento nullo 0 nell’uguaglianza soprava inteso come funzione identicamente nulla. Possiamo quindi enunciarela definizione di lineare indipendenza di funzioni in S così: y1,. . . , yp in Ssi dicono linearmente indipendenti se e solo se da

c1y1(t) + c2y2(t) + · · ·+ cpyp(t) = 0 , per ogni t ∈ J,

ove i ci sono scalari, segue ci = 0 per ogni i.Il nostro prossimo passo sarà la determinazione di una base di S , e quindidella sua dimensione. Useremo il

Lemma 2.3. Siano yi, i = 1,. . . , p soluzioni di (2.2). Allora le yi sono linear-mente indipendenti in S se e solo se i loro valori yi(t0) in un arbitrario fissato

t0 ∈ J sono linearmente indipendenti come vettori di RN .

Dimostrazione. Equivalentemente, dimostriamo che le yi sono linear-mente dipendenti in S se e solo se i vettori yi(t0) sono linearmente di-pendenti in R

N .Siano le yi linearmente dipendenti; allora esistono p scalari, ci, non tuttinulli, tali che

c1y1(t) + c2y2(t) + · · ·+ cpyp(t) = 0 , per ogni t ∈ J.

Sostituendo in questa uguaglianza t = t0 si ottiene che i vettori yi(t0) sonolinearmente dipendenti in R

N .Viceversa, supponiamo che i vettori yi(t0) siano linearmente dipendenti inR

N . Allora esistono p scalari, ci, non tutti nulli, tali che

c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · ·+ cpyp(t0) = 0 .

Definiamo, per questa scelta degli scalari ci, la funzione

y(t) =p

∑i=1

ciyi(t) , t ∈ J .

La y è una soluzione di (2.2), per la Proposizione 2.2, ed assume il dato diCauchy nullo in t0. Quindi, per il teorema di unicità, deve essere nulla perogni t ∈ J. Ma, visto che i ci non sono tutti nulli, questo implica che le yi

sono linearmente dipendenti in S .

Possiamo ora dimostrare

Teorema 2.4. Sia vi | i = 1, . . . , N una base di RN (ossia i vi siano N vettori

di RN linearmente indipendenti). Allora le N soluzioni dei problemi di Cauchy:

y′1 = A(t)y1 ,y1(t0) = v1 ;

y′2 = A(t)y2 ,y2(t0) = v2 ;

. . .

y′N = A(t)yN ,yN(t0) = vN ;

(2.3)

costituiscono una base di S . Qui t0 ∈ J è fissato ad arbitrio (ma è lo stesso inognuno degli N problemi di Cauchy).

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2.2. MATRICI RISOLVENTI 15

Dimostrazione. Per il Lemma 2.3, le yi, i = 1, . . . , N, sono linearmenteindipendenti, e occorre pertanto solo dimostrare che generano tutto S . Inaltri termini, vogliamo mostrare che ogni soluzione y di (2.2) si può scri-vere come combinazione lineare a coefficienti costanti di y1, . . . , yN .Fissiamo allora una y soluzione di (2.2). Dato che per ipotesi i vi costi-tuiscono una base di R

N , esisteranno certamente N scalari ci, . . . , cN taliche

y(t0) =N

∑i=1

civi =N

∑i=1

ciyi(t0) .

Sia z definita da z(t) = ∑Ni=1 ciyi(t), per ogni t ∈ J. Allora sia z che y

risolvono

w′ = A(t)w ,w(t0) = y(t0) .

Per il teorema di unicità deve quindi valere z ≡ y in J, ossia

y(t) =N

∑i=1

ciyi(t) , per ogni t ∈ J.

Segue subito

Corollario 2.5. La dimensione di S è uguale a N.

Abbiamo quindi dimostrato che tutte e sole le soluzioni di (2.2) si possonoscrivere come

y(t) =N

∑i=1

ciyi(t) , t ∈ J , (2.4)

ove le yi sono una N-upla fissata di soluzioni linearmente indipendenti(cioè una base di S), e le ci variano ad arbitrio in R. La (2.4) è perciò unintegrale generale di (2.2).

2.2. Matrici risolventi

Osservazione 2.6. Ricordiamo che, per la definizione del prodotto righeper colonne, le colonne della matrice prodotto

P = AB , A matrice N × N e B, P matrici N × p,

sono combinazioni lineari delle colonne di A. Più specificamente, sedenotiamo con colj(P) = (pij)

Ni=1 la j-esima colonna della matrice P , e

A = (aij), B = (bij), vale

colj(P) = (pij)Ni=1 =

( N

∑h=1

aihbhj

)N

i=1=

N

∑h=1

bhj(aih)Ni=1 =

N

∑h=1

bhj colh(A) .

Ne segue che l’integrale generale (2.4) può essere messo nella forma vet-toriale

y = Y(t)C , (2.5)

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16 DANIELE ANDREUCCI

ove Y è una matrice le cui colonne siano N soluzioni linearmente indipen-denti di (2.2), e C ∈ R

N è un arbitrario vettore colonna di scalari. Poniamoallora la

Definizione 2.7. Una matrice Y le cui colonne costituiscano una base diS si dice matrice risolvente del sistema (2.2).Se inoltre Y soddisfa Y(t0) = id, per un t0 ∈ J, Y si dice matrice risolventecanonica, o di transizione, in t0.

Il seguente lemma, di dimostrazione quasi banale, risulta di grande im-portanza, perché mostra che data una qualunque matrice risolvente Y sipuò subito ricavare una matrice di transizione come Y(t)Y (t0)−1.

Lemma 2.8. Sia Y una matrice risolvente di (2.2), e sia B una matrice nonsingolare N × N (cioè det(B) 6= 0) a coefficienti reali. Allora anche YB è unamatrice risolvente di (2.2).

Dimostrazione. Visto che ovviamente YB è non singolare perché

det(Y(t)B) = det(Y(t))det(B) 6= 0 ,

basterà dimostrare che tutte le colonne di YB sono soluzioni di (2.2). Maquesto segue subito dall’Osservazione 2.6 e dalla Proposizione 2.2.

Una conseguenza importante di questo risultato è il seguente teorema,che dà un modo canonico di scrivere le soluzioni di problemi di Cauchydi (2.2).

Teorema 2.9. Sia t0 ∈ J; sia Φ(t, t0) una matrice di transizione per (2.2) in t0.Allora l’unica soluzione di

y′ = A(t)y , y(t0) = u0 , (2.6)

u0 ∈ RN , è data da

y(t) = Φ(t, t0)u0 , t ∈ J . (2.7)

Inoltre se Φ0(t, t0) è un’altra matrice con la proprietà di fornire tutte le soluzionidi (2.6) secondo (2.7), questa coincide con Φ(t, t0). In particolare la matrice ditransizione è unica.

Dimostrazione. Che la y definita in (2.7) sia una soluzione di (2.2) seguesubito dall’Osservazione 2.6 e dal Lemma 2.8. Inoltre

y(t0) = Φ(t0, t0)u0 = id u0 = u0 .

Dunque la y è effettivamente l’unica soluzione di (2.6).Siano poi Φ(t, t0), Φ0(t, t0) come nell’enunciato; per quanto sopra le duefunzioni

y1(t) = Φ(t, t0)u0 , y2(t) = Φ0(t, t0)u0 , t ∈ J ,

sono entrambe soluzioni di (2.6). Per il teorema di unicità, esse devonocoincidere per ogni t ∈ J, ossia per ogni fissato t ∈ J,

Z := Φ(t, t0)− Φ0(t, t0) ,

deve soddisfare Zu0 = 0 per ogni u0 ∈ RN . Ne segue che Z è la matrice

nulla.

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2.3. MATRICI RISOLVENTI PER SISTEMI A COEFFICIENTI COSTANTI 17

2.3. Matrici risolventi per sistemi a coefficienti costanti

In questa sezione ci occupiamo del caso in cui la matrice A ha tutti icoefficienti costanti, ossia aij ∈ R per ogni ij. Il sistema diviene allora

y′ = Ay , A matrice costante. (2.8)

Diamo senza dimostrazione il seguente fondamentale

Teorema 2.10. Sia A una qualunque matrice reale N × N. La matrice esponen-ziale etA

etA :=∞

∑i=0

tiAi

i!= id+tA+

t2A2

2!+

t3A3

3!+ . . . , (2.9)

risulta definita per ogni t ∈ R, e vale

ddt

etA = AetA , per ogni t ∈ R. (2.10)

Si ricordi che la derivazione di matrici, come anche la convergenza di unaserie di matrici, va intesa elemento per elemento, come nel caso dei vettori.In (2.9) le potenze Ai vanno calcolate secondo l’usuale prodotto righe percolonne. Si osservi che per t = 0

e0A =∞

∑i=0

0iAi

i!= id .

La serie di matrici in (2.9) è formalmente ricopiata dallo sviluppo in seriedella funzione esponenziale di numeri reali: vedi il paragrafo A.1 sot-to. Alternativamente, proprio la (2.10) permetterebbe di definire etA comel’unica soluzione di Y ′ = AY con Y(0) = id.Il teorema asserisce che la serie in (2.9) converge in modo tale da rendererigoroso lo scambio delle operazioni di serie e di derivazione (qui intesosolo formalmente)

ddt

etA =ddt

∑i=0

tiAi

i!=

∑i=0

ddt

tiAi

i!=

∑i=1

iti−1Ai

i!=

∑i=1

Ati−1Ai−1

(i − 1)!= A

∑j=0

tjAj

j!= AetA .

Usando la formula (2.10) possiamo dimostrare il

Teorema 2.11. La matrice di transizione di (2.8) in t = 0 è etA. Quindi lasoluzione di

y′ = Ay , y(0) = u0 , (2.11)u0 ∈ R

N , è data day(t) = etAu0 , t ∈ R . (2.12)

Dimostrazione. Vale infatti per ogni u0 ∈ RN e t ∈ R:

ddt

y(t) =ddt

(etAu0) =

(

ddt

etA

)

u0 = AetAu0 = Ay(t) ;

inoltrey(0) = e0Au0 = id u0 = u0 .

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18 DANIELE ANDREUCCI

Dunque la matrice esponenziale coincide con l’unica matrice risolventecanonica di (2.8), secondo il risultato di Teorema 2.9.

Osservazione 2.12. È facile verificare che la matrice risolvente canonicaper (2.8) in t = t0 è e(t−t0)A.

2.3.1. Calcolo effettivo di un integrale generale. In genere la matrice etA

non può essere calcolata esattamente senza sommare la serie infinita in(2.9). Tuttavia esiste un metodo che permette di trovare (basandosi su que-sta serie) N soluzioni linearmente indipendenti, evitando il calcolo dellaserie completa. Con queste soluzioni si costruisce subito l’integrale gene-rale del sistema, come spiegato sopra. Una volta trovata così una matricerisolvente Y(t), la matrice di transizione in t = 0 è data da Y(t)Y(0)−1

(vedi Teorema 2.9).Si noti però che i calcoli necessari sono comunque di solito troppo com-plessi per essere svolti a mano.L’idea. Fissata una base (ξ1, . . . , ξN) di R

N , e assegnato un qualunque datodi Cauchy u0, con u0 = ∑

Nh=1 chξh, ch ∈ R, la soluzione di (2.11) si può

scrivere

y(t) = etAu0 = etAN

∑h=1

chξh =N

∑h=1

ch(etAξh) =

N

∑h=1

ch

∑i=0

tiAi

i!ξh . (2.13)

L’idea consiste nello scegliere opportunamente la base ξh, in modo chetutte le N serie ∑

∞i=0

tiAi

i! ξh, h = 1, . . . , N possano, in sostanza, esserecalcolate sommando solo un numero finito di termini diversi da 0, ossia siriducano a somme finite.Autovettori reali. Cominciamo con l’osservare che questa proprietà è senzadubbio goduta dagli autovettori della matrice: sia ξ ∈ R

N , ξ 6= 0, unautovettore di A corrispondente a un autovalore λ ∈ R, ossia

Aξ = λξ , ossia (A− λ id)ξ = 0 . (2.14)

Allora vale

et(A−λ id)ξ =∞

∑i=0

ti(A− λ id)i

i!ξ =

id ξ + t(A− λ id)ξ +t2(A− λ id)2ξ

2!+

t3(A− λ id)3ξ

3!+ . . . = id ξ = ξ .

Quindi se per esempio la matrice A ha una base di autovettori ξh comesopra (con autovalori λh ∈ R), le N soluzioni linearmente indipendentisono1

etAξh = et(λh id+A−λh id)ξh = etλh idet(A−λh id)ξh = etλh idξh = eλhtξh . (2.15)

Si noti che ragionando come sopra, si dimostra che etAξ è una soluzione(complessa), anche se ξ è un autovettore corrispondente a un autovalorecomplesso. Poiché a noi interessano soluzioni reali, il caso di autovaloricomplessi viene trattato a parte nel seguito.

1La seconda e l’ultima uguaglianza in (2.15) richiederebbero una dimostrazione, che èfacile nel caso dell’ultima uguaglianza, ma lo è meno nel caso della seconda.

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2.3. MATRICI RISOLVENTI PER SISTEMI A COEFFICIENTI COSTANTI 19

Autovettori generalizzati. Poiché però non tutte le matrici hanno una base diautovettori, occorre in generale cercare i vettori linearmente indipendentiξh non solo tra gli autovettori, ma tra gli autovettori generalizzati di A:per definizione si dice che ξ ∈ C

N , ξ 6= 0, è un autovettore generalizzatodi A se esistono un autovalore λ ∈ C di A e un m ∈ N tali che

(A− λ id)mξ = 0 . (2.16)

Più precisamente, si dice che ξ è un autovettore m-generalizzato corri-spondente a λ. Chiaramente, se m = 1 l’autovettore generalizzato è unautovettore in senso tradizionale.Se ξ è un autovettore m-generalizzato di A corrispondente a λ, vale

et(A−λ id)ξ =∞

∑i=0

ti(A− λ id)i

i!ξ =

m−1

∑i=0

ti(A− λ id)i

i!ξ

= id ξ + t(A− λ id)ξ +t2(A− λ id)2ξ

2!

+ · · ·+ tm−1(A− λ id)m−1ξ

(m − 1)!=: Q(t; λ, ξ) ,

(2.17)

ove Q è un polinomio di grado m − 1 in t (naturalmente con coefficientivettoriali). Dunque

etAξ = et(λ id+A−λ id)ξ = etλ idet(A−λ id)ξ = etλ idQ(t; λ, ξ) = eλtQ(t; λ, ξ) .(2.18)

Osserviamo per inciso che Q(t; λ, ξ) = ξ se m = 1. Dunque anche gliautovettori generalizzati danno luogo a soluzioni che si possono calcolaresommando solo un numero finito di termini nella serie etAξ. Se si trovauna base di autovettori generalizzati reali, è a questo punto chiaro comeprocedere per scrivere un integrale generale di (2.8).Il caso di autovalori complessi. Tuttavia, si noti che in generale gli autovaloripossono essere complessi. Dato che gli autovalori di A sono tutte e sole leradici dell’equazione polinomiale a coefficienti reali

det(A− λ id) = 0 , (2.19)

se λ = β + iγ (β, γ ∈ R, γ 6= 0) è un autovalore, anche il suo coniugatoλ = β − iγ lo è. In questo caso, con la notazione di (2.18), osserviamo che

etAξ = eβt(cos γt + i sin γt)[Q1(t) + iQ2(t)] , (2.20)

ove Q1(t) = Re Q(t; λ, ξ), Q2(t) = Im Q(t; λ, ξ). Svolte le moltiplicazioni,la (2.20) si riscrive come

etAξ = eβt(Q1(t) cos γt − Q2(t) sin γt) + ieβt(Q2(t) cos γt + Q1(t) sin γt)

=: y1(t) + iy2(t) ,

con yi, i = 1, 2 funzioni reali. È facile verificare che y1 e y2 sono separata-mente soluzioni del sistema differenziale. Infatti, sappiamo la che etAξ èuna soluzione e dunque:

[y1(t)+ iy2(t)]′ = [etAξ]′ = AetAξ = A[y1(t)+ iy2(t)] = [Ay1(t)+ iAy2(t)] .

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20 DANIELE ANDREUCCI

Dato che A è una matrice reale, uguagliando le parti reale e immaginariadei membri di destra e di sinistra si ottiene y′i = Ayi, i = 1, 2. Perciòda ogni soluzione complessa si estraggono due soluzioni reali del sistema;questo è il motivo per cui nello schema illustrato sotto, considereremosolo uno degli autovalori complessi λ per ogni coppia di coniugio λ, λ disoluzioni di (2.19).

Metodo 2.13. Ecco infine il metodo di calcolo, che diamo senza dimostra-zione:1) Si determinino tutti gli autovalori di A, ossia tutte le radici distinteλk ∈ C, k = 1, . . . , p dell’equazione (2.19); quindi 1 ≤ p ≤ N. Sia νk lamolteplicità algebrica di λk; dunque ∑

pk=1 νk = N.

2) Per ogni autovalore reale λk, e per uno tra λk e λk in ogni coppia diautovalori complessi coniugati: si trovino tutti gli autovettori linearmenteindipendenti con autovalore λk. Se questi sono in numero inferiore a νk,si cerchino gli autovettori 2-generalizzati corrispondenti a λk, poi quelli3-generalizzati, e così via. Ad ogni passo si troverà almeno un autovet-tore generalizzato linearmente indipendente dai precedenti, finché se nesaranno trovati esattamente νk.3) Per ogni autovalore reale λk: siano ξkh, h = 1, . . . , νk autovettori ge-neralizzati (reali) corrispondenti a λk e linearmente indipendenti; allorale

eλk tQ(t; λk, ξk1) , eλktQ(t; λk, ξk2) , . . . eλktQ(t; λk, ξkνk) ,

sono νk soluzioni linearmente indipendenti di (2.8). Si noti che i Q(t; λk, ξkh)(definiti in (2.17)) sono polinomi in t di gradi (in genere) diversi tra di loro,ma comunque inferiori a νk.4) Per ogni coppia di autovalori complessi coniugati λk = βk + iγk, λk =βk − iγk: siano ξkh, h = 1, . . . , νk autovettori generalizzati corrispondenti aλk e linearmente indipendenti; allora, posto per ogni ξkh

Q(t; λk, ξkh) = Q1(t; λk, ξkh) + iQ2(t; λk, ξkh) ,

con Q1 e Q2 polinomi reali, le

eβkt[Q1(t; λk , ξkh) cos(γkt)− Q2(t; λk , ξkh) sin(γkt)] ,

eβkt[Q2(t; λk , ξkh) cos(γkt) + Q1(t; λk , ξkh) sin(γkt)] ,

sono 2νk soluzioni linearmente indipendenti di (2.8). Si noti che i Qi(t; λk, ξkh)sono polinomi in t di gradi (in genere) diversi tra di loro, ma comunqueinferiori a νk.5) Le soluzioni trovate nei punti 3) e 4) sono in numero complessivo diN e sono linearmente indipendenti; dunque danno un integrale genera-le del sistema differenziale a coefficienti costanti (2.8). In altri termini, lamatrice Y le cui colonne sono le N soluzioni trovate sopra è una matricerisolvente.

2.4. Il caso delle equazioni di ordine n

Consideriamo sistemi che provengono da equazioni lineari a coefficienticostanti, nella forma

y(n) + a1y(n−1) + a2y(n−2) + · · ·+ an−1y′ + any = 0 , (2.21)

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2.4. IL CASO DELLE EQUAZIONI DI ORDINE n 21

con a1, . . . an numeri reali, e n ≥ 1.Con le posizioni

y1 = y , y2 = y′ , y3 = y′′ , . . . yn = y(n−1) ,

la (2.21) può essere scritta nella forma vettoriale, o di sistema,

y′1 = y2 ,

y′2 = y3 ,. . .

y′n−1 = yn ,

y′n = −any1 − an−1y2 − · · · − a1yn .

(2.22)

La corrispondente matrice dei coefficienti è data da

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1

−an −an−1 −an−2 . . . −a1

. (2.23)

Seguendo le idee del paragrafo 2.3.1, siamo interessati a trovare gli auto-valori di A. Vale

Proposizione 2.14. Per ogni λ ∈ R si ha

(−1)n det(A− λ id) = λn + a1λn−1 + a2λn−2 + · · ·+ an−1λ + an . (2.24)

Dimostrazione. Procediamo per induzione. Per n = 2

det(A− λ id) =∣

−λ 1−a2 −a1 − λ

= λ2 + a1λ + a2 .

Quindi la (2.24) è verificata in questo caso.Supponiamo poi lo sia nel caso n − 1. Allora vale

det(A− λ id) =

−λ 1 0 . . . 00 −λ 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1

−an −an−1 −an−2 . . . −a1 − λ

= −λ

−λ 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1−an−1 −an−2 . . . −a1 − λ

+ (−1)nan

1 0 . . . 0−λ 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

= −λ(−1)n−1(λn−1 + a1λn−2 + a2λn−3 + · · ·+ an−1) + (−1)nan

= (−1)n(λn + a1λn−1 + a2λn−2 + · · ·+ an−1λ + an) .

Si è usata qui l’ipotesi di induzione.

Definizione 2.15. Il polinomio nel termine di destra della (2.24) si dicepolinomio caratteristico dell’equazione (2.21), mentre l’equazione

λn + a1λn−1 + a2λn−2 + · · ·+ an−1λ + an = 0 (2.25)

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22 DANIELE ANDREUCCI

si dice equazione caratteristica.

Procedendo come indicato nel paragrafo 2.3.1 si perviene al seguente me-todo di calcolo dell’integrale generale della (2.21):(1) Determinare tutte le radici dell’equazione caratteristica (2.25); indi-

chiamo con λ1, . . . λr le radici reali distinte, e con α1 ± iβ1, . . . αs ± iβs

le radici complesse coniugate distinte (i è l’unità immaginaria, e αk,βk sono reali).

(2) Ad ogni radice reale λk, di molteplicità algebrica 1 ≤ νk ≤ n siassociano le νk funzioni

eλk t , teλk t , t2eλkt , . . . tνk−1eλkt . (2.26)

(3) Ad ogni coppia di radici complesse coniugate αk ± iβk, di molteplicitàalgebrica 1 ≤ νk ≤ n si associano le 2νk funzioni

sin(βkt)eαk t , t sin(βkt)eαkt , . . . tνk−1 sin(βkt)eαk t ,

cos(βkt)eαkt , t cos(βkt)eαk t , . . . tνk−1 cos(βkt)eαkt .(2.27)

(4) Le funzioni in (2.26) e in (2.27) sono in numero di

ν1 + · · ·+ νr + 2ν1 + · · ·+ 2νs = n ,

e costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni di (2.21), ossiaogni soluzione di quest’ultima si esprime come combinazione linearea coefficienti costanti di tali funzioni.

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CAPITOLO 3

Stabilità

3.1. Sistemi autonomi.

Consideriamo nel seguito il problema di Cauchy

y = F(t, y) , (3.1)

y(t0) = y0 . (3.2)

Definizione 3.1. Il sistema (3.1) si dice autonomo se F non dipende dat.

Osservazione 3.2. Il valore di t0 nella formulazione del problema ai valoriiniziali (3.1)–(1.4) è in sostanza ininfluente, se il sistema è autonomo. Infatti,la soluzione ϕ di

˙ϕ = F(ϕ) , ϕ(t0) = y0 (3.3)

è data daϕ(t) = ϕ(t − t0 + t0) , t ∈ J − t0 + t0 ,

ove ϕ è la soluzione di (3.1)–(3.2).

Osservazione 3.3. In particolare, se la soluzione ϕ del problema ai valoriiniziali (3.1)–(3.2), che supponiamo autonomo, soddisfa per un T > 0

ϕ(T + t0) = ϕ(t0) ,

segue dall’Osservazione 3.2, e dall’unicità di soluzioni, che

ϕ(T + t) = ϕ(t) , t ∈ R ,

ossia che ϕ è periodica con periodo T.

Esempio 3.4. Consideriamo il sistema di e.d.o.x1 = x2 ,x2 = −x1 .

(3.4)

con la condizione iniziale

x1(0) = x10 , x2(0) = x20 . (3.5)

Esso può essere risolto per sostituzione, derivando la prima equazione epoi sostituendo la seconda:

x1 = x2 = −x1 .

Si ottiene quindi un problema di Cauchy per una e.d.o. lineare di secondoordine per x1, che si può risolvere facilmente tenendo presenti i valori ini-ziali prescritti; si noti infatti che le (3.5) insieme al sistema stesso implicano

23

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24 DANIELE ANDREUCCI

che x1(0) = x20. Poi usando la prima equazione delle (3.4) si ottiene x2:

x1(t) = x10 cos t + x20 sin t , (3.6)

x2(t) = −x10 sin t + x20 cos t . (3.7)

Da qui segue subito la periodicità della soluzione.Vale la pena di fare la seguente osservazione: moltiplicando la prima delle(3.4) per x1 e la seconda per x2 e poi sommandole membro a membro siottiene

x1 x1 + x2 x2 = 0 ,da cui

x21 + x2

2 = x210 + x2

20 , (3.8)il che implica che l’immagine della funzione (x1, x2) giace su una cir-conferenza, ossia una curva chiusa. Tuttavia questo argomento da so-lo non implica che essa coincida con la circonferenza: potrebbe esserneun arco aperto. Dunque neppure implica la periodicità (si veda anche ilTeorema 3.29).

3.2. Punti di equilibrio

Definizione 3.5. Un punto yeq ∈ Ω si dice di equilibrio per il sistemaautonomo

y = F(y) , (3.9)se e solo se

F(yeq) = 0 . (3.10)

Osservazione 3.6. La Definizione 3.5 è motivata dal fatto che, se yeq èdi equilibrio, il problema di Cauchy (3.9), (3.2) ha come soluzione quellacostante

ϕ(t) = yeq , t ∈ R . (3.11)Questa soluzione è l’unica (massimale) sotto le ipotesi del Teorema 1.16.

Il comportamento di un sistema autonomo intorno a un punto di equili-brio è piuttosto diverso da quello intorno ad altri punti, come mostrano idue Lemmi seguenti, che verranno usati nella Sezione 3.6.

Lemma 3.7. Se ϕ è una soluzione del sistema autonomo (3.9), definita su (α, β),e

limt→β−

ϕ(t) = yeq , ϕ(t) 6= yeq per qualche t, (3.12)

allora β = ∞.

Dimostrazione. Se per assurdo fosse β < ∞, potremmo definire la fun-zione

ϕ(t) =

ϕ(t) , α < t < β ,

yeq , β ≤ t < ∞ .

È facile verificare che ϕ è una soluzione di classe C1((α, ∞)) del problema

y = F(y) , y(β) = yeq ,

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3.2. PUNTI DI EQUILIBRIO 25

mentre per il teorema di unicità di soluzioni, l’unica soluzione deve esserequella costante.

Lemma 3.8. Se ϕ è una soluzione del sistema autonomo (3.9), definita almeno su(α, β), e

limt→β−

ϕ(t) = y0 , F(y0) 6= 0 , (3.13)

allora β < ∞. Inoltre se ϕ è massimale risulta definita anche in β e y0 = ϕ(β).

Dimostrazione. Poiché Fi(y0) 6= 0 per almeno una componente di F(y0),segue che

limt→β−

ϕi(t) = αi := Fi(y0) 6= 0 .

Quindi, assumendo per esempio che αi > 0, si ha

ϕi(t)− ϕi(t) =

t∫

t

ϕi(τ)dτ ≥ αi

2(t − t) ,

per ogni t > t, se t è opportuno. Questo evidentemente conduce a unassurdo se β = ∞.A questo punto ragionando come nella dimostrazione del Lemma 3.7 sipuò vedere che se ϕ non fosse definita in β, si contraddirebbe il Teoremadi esistenza e unicità di soluzioni al problema di Cauchy.

Definizione 3.9. Il punto di equilibrio yeq si dice stabile se:per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che, se

|y0 − yeq| < δ ,

allora l’unica soluzione massimale di (3.9), (3.2), risulta definita (almeno)su [t0, ∞), e soddisfa

∣ϕ(t)− yeq∣

∣ < ε , t0 < t < ∞ . (3.14)

Altrimenti, il punto di equilibrio si dice instabile.

Definizione 3.10. Un punto di equilibrio si dice asintoticamente stabile seè stabile, e se inoltre esiste un σ > 0 tale che se |y0 − yeq| < σ allora lasoluzione di (3.9), (3.2) soddisfa

limt→∞

ϕ(t) = yeq . (3.15)

Osservazione 3.11. La definizione di equilibrio asintotico richiede quindiche la soluzione ϕ si avvicini per tempi grandi al punto di equilibrio;questo esclude che il moto possa essere periodico. L’equilibrio asintoticoè spesso collegato a fenomeni dissipativi come l’attrito.

Un collegamento interessante tra equilibrio stabile ed equilibrio asintoticoè dato dal seguente risultato.

Proposizione 3.12. Sia yeq un punto di equilibrio stabile, e sia ϕ una soluzionedi (3.9) che abbia yeq come punto di accumulazione, ossia tale che

ϕ(tn) → yeq , n → ∞ , (3.16)

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26 DANIELE ANDREUCCI

per una successione tn → ∞. Allora tutta la soluzione converge a yeq, ossia

limt→∞

ϕ(t) = yeq . (3.17)

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che per ogni ε > 0 esiste un t taleche

∣ϕ(t)− yeq∣

∣ ≤ ε , t ≥ t .Basta scegliere, per la Definizione 3.9, t = tn, con n scelto in modo che

∣ϕ(tn)− yeq∣

∣ < δ ,

ove δ > 0 è appunto scelto in corrispondenza di ε in modo che valga la(3.14).

3.3. Il caso dei sistemi lineari a coefficienti costanti

Dal Metodo 2.13 e dalle definizioni 3.9 e 3.10 di equilibrio stabile e diequilibrio asintotico, segue subito il seguente risultato sulla stabilità diyeq = 0 per

y′ = Ay , (3.18)ove A è una matrice reale costante N × N.

Teorema 3.13. A) Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale strettamentenegativa, yeq = 0 è stabile e asintoticamente stabile per (3.18).B) Se almeno un autovalore di A ha parte reale strettamente positiva, yeq = 0 èinstabile per (3.18).C) Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla, allora yeq = 0è stabile per (3.18) se e solo se in corrispondenza di ciascun autovalore λk conparte reale nulla si trovano autovettori linearmente indipendenti in numero parialla molteplicità algebrica di λk.

Dimostrazione. Dato che secondo il Metodo 2.13 le soluzioni che costi-tuiscono l’integrale generale hanno la forma di un esponenziale exp(t Re λk)moltiplicato per un polinomio in t ed eventualmente per una funzionetrigonometrica, i punti A) e B) dell’enunciato sono ovvi.Per dimostrare C) basta osservare che in questo caso le soluzioni corri-spondenti a un autovalore λk con parte reale nulla rimangono limitate pert → +∞ se se solo se il polinomio che contengono è costante, ossia senon è necessario ricorrere ad autovettori generalizzati corrispondenti a λk.Questo avviene se e solo se appunto λk ammette un numero di autovettorilinearmente indipendenti pari alla sua molteplicità algebrica.

Esempio 3.14. Al sistema (3.4) si può applicare il caso C) del Teorema 3.13,dimostrando la stabilità di yeq = 0. Peraltro la stabilità era chiara per laforma esplicita delle soluzioni trovata in (3.6), (3.7), o anche per la (3.8).Invece il Teorema 3.13 implica instabilità per

x′1 = x2 , (3.19)

x′2 = 0 . (3.20)

Infatti in questo caso

A =

(

0 10 0

)

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3.4. I TEOREMI DI STABILITÀ DI LIAPUNOV 27

ha autovalore λ1 = 0 con molteplicità algebrica ν1 = 2, ma il solo autovet-tore indipendente (1,0). In effetti l’integrale generale è dato da

y(t) = k1

(

10

)

+ k2

(

t1

)

.

Si noti che il sistema (3.19), (3.20) proviene dall’equazione scalare delsecondo ordine

x′′ = 0secondo il metodo della Sezione 1.2.

3.4. I teoremi di stabilità di Liapunov

Consideriamo in questa Sezione il sistema

y = F(y) , F(yeq) = 0 . (3.21)

Definizione 3.15. Una funzione W a valori reali si dice funzione di Liapunov

per (3.21) in yeq, se valgono, per una sfera aperta B ⊂ RN di centro yeq:

(1) W ∈ C(B) ∩ C1(B \ yeq);(2) W(y) > 0 per y ∈ B \ yeq; W(yeq) = 0;(3) ∇W(y) · F(y) ≤ 0 per y ∈ B \ yeq.

Osservazione 3.16. In sostanza quindi la funzione di Liapunov è una fun-zione con un minimo isolato in yeq, e che non cresce lungo le soluzioni ϕdel sistema autonomo:

ddt

W(

ϕ(t))

= ∇W(

ϕ(t))

· F(

ϕ(t))

≤ 0 . (3.22)

La (3.22) è la conseguenza della terza proprietà nella Definizione 3.15 cheviene davvero usata, e che potrebbe perciò sostituirla nella definizionestessa.

Teorema 3.17. (Liapunov) Se il sistema (3.21) ammette una funzione di Lia-punov in yeq, allora yeq è un punto di equilibrio stabile.

Dimostrazione. Fissiamo ε > 0; possiamo supporre che

Bε(yeq) ⊂ B . (3.23)

Dobbiamo dimostrare che esiste un δ > 0 che soddisfi la Definizione 3.9.Definiamo

m = min∂Bε(yeq)

W > 0 .

Per la continuità di W in yeq, possiamo trovare un δ > 0 tale che

0 ≤ W(y) ≤ m

2,

∣y − yeq∣

∣ ≤ δ .

Questo è il δ che soddisfa la (3.9): se |y0 − yeq| < δ, deve valere∣

∣ϕ(t)− yeq∣

∣ < ε , t > t0 .

Infatti se invece fosse per qualche t > t0∣

∣ϕ(t)− yeq∣

∣ = ε ,

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28 DANIELE ANDREUCCI

per definizione di m, e per l’Osservazione 3.16 si avrebbe

m ≤ W(

ϕ(t))

≤ W(

ϕ(t0))

= W(y0) ≤m

2,

assurdo.

Teorema 3.18. Se il sistema (3.21) ammette una funzione di Liapunov in yeq, ese inoltre

∇W(y) · F(y) < 0 , y ∈ B \ yeq , (3.24)allora yeq è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

Dimostrazione. La stabilità di yeq segue dal Teorema 3.17.Dimostriamo che vale anche la (3.15), per σ = δ, con δ scelto come nelladefinizione di stabilità, in corrispondenza di un ε > 0 qualunque tale chevalga la (3.23). Sia dunque ϕ una soluzione che soddisfa

∣ϕ(t0)− yeq∣

∣ < σ .

Dobbiamo dimostrare che

limt→∞

ϕ(t) = yeq . (3.25)

Se vale ϕ(tn) → yeq per una successione tn → ∞, allora per la Proposizio-ne 3.12, vale anche la (3.25).Nel caso contrario, la curva ϕ(t), per t ≥ t0, sarebbe separata da yeq dauna distanza positiva η, cioè

ϕ(t) ∈ K := Bε(yeq) \ Bη(yeq) , t ≥ t0 . (3.26)

Poiché K è un compatto, e la funzione ∇W · F è continua in K, ammette-rebbe un massimo

maxy∈K

∇W(y) · F(y) = −γ < 0 ,

per la (3.24). Dunque si avrebbe per ogni t > t0

W(

ϕ(t))

−W(

ϕ(t0))

=

t∫

t0

dW(

ϕ(τ))

dτdτ

=

t∫

t0

∇W(

ϕ(t0))

· F(ϕ(t0))

dτ ≤ −γ(t − t0) → −∞ ,

per t → ∞. Questo conduce all’assurdo ricercato e conclude la dimostra-zione.

Il risultato seguente, di dimostrazione meno immediata, garantisce peròl’asintotica stabilità sotto ipotesi più generali di quelle del Teorema 3.18.

Teorema 3.19. Assumiamo che il sistema (3.21) ammetta una funzione di Lia-punov W in yeq, che sia strettamente decrescente su tutte le soluzioni contenutein B, diverse dalla costante yeq; ossia assumiamo che per ϕ 6= yeq

W(

ϕ(t1))

> W(

ϕ(t2))

, per ogni t1 < t2. (3.27)

Allora yeq è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

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3.5. IL CASO DEI SISTEMI DI SECONDO ORDINE 29

Dimostrazione. Intanto si possono svolgere le medesime considerazionigià viste all’inizio della Dimostrazione del Teorema 3.18, fino alla (3.26).Dimostreremo che la (3.26) conduce a un assurdo. Infatti, in questo casola curva ϕ(t) ha un punto di accumulazione y, con

η ≤∣

∣y − yeq∣

∣ ≤ ε .

Sia tn → ∞ una successione tale che ϕ(tn) → y. Per il Teorema 1.25 didipendenza continua dai dati iniziali, la successione di funzioni ϕ(·+ tn)converge alla soluzione ϕ di

y = F(y) , y(0) = y ,

su un intervallo opportuno [0, s]. Si noti che, per l’ipotesi che W siastrettamente decrescente sulle soluzioni,

W(

ϕ(s))

< W(

ϕ(0))

= W(y) . (3.28)

In particolare quindi, per n opportuno e fissato, e per ogni t > s + tn, siavrà anche, per continuità, e di nuovo per l’ipotesi di stretta monotonia,

W(

ϕ(t))

< W(

ϕ(s + tn))

< W(y) , (3.29)

e quindi

W(y) = limn→∞

W(

ϕ(tn))

≤ W(

ϕ(s + tn))

< W(y) ,

assurdo.

3.5. Il caso dei sistemi di secondo ordine

Consideriamo in questa Sezione un sistema del secondo ordine, come nelMetodo 1.5, però autonomo:

z = f (z, z) , (3.30)

z(t0) = z0 , (3.31)

z(t0) = z0 . (3.32)

Come già mostrato, mediante la trasformazione di variabili

y = (y1, y2) := (z, z) ∈ R2N , (3.33)

questo problema può essere trasformato nel problema del primo ordine

y = F(y) :=(

y2, f (y1, y2))

, (3.34)

y(t0) = (z0, z0) . (3.35)

Quindi un punto di equilibrio zeq ∈ RN per (3.30) corrisponde al pun-

to (zeq,0) ∈ R2N di equilibrio per (3.34). Riportiamo per convenienza

le definizioni di equilibrio stabile e asintoticamente stabile tradotte nellaterminologia dei sistemi del secondo ordine.

Definizione 3.20. Il punto di equilibrio zeq si dice stabile se:per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che, se

∣z0 − zeq∣

∣+ |z0| < δ , (3.36)

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30 DANIELE ANDREUCCI

allora l’unica soluzione massimale ψ di (3.30)–(3.32), risulta definita (al-meno) su [t0, ∞), e soddisfa

|ψ(t)− zeq|+ |ψ(t)| < ε , t0 < t < ∞ . (3.37)

Altrimenti, il punto di equilibrio si dice instabile.

Definizione 3.21. Un punto di equilibrio si dice asintoticamente stabile se èstabile, e se inoltre esiste un σ > 0 tale che se

∣z0 − zeq∣

∣+ |z0| < σ , (3.38)

allora la soluzione ψ di (3.30)–(3.32) soddisfa

limt→∞

ψ(t) = zeq , limt→∞

ψ(t) = 0 . (3.39)

Teorema 3.22. (Dirichlet) Supponiamo che f non dipenda da z, e che per

y1 ∈ Ω1 ⊂ RN aperto,

f (y1) = ∇U(y1) , (3.40)

ove U ∈ C1(Ω1). Supponiamo anche che U abbia un massimo isolato in zeq ∈Ω1. Allora zeq è un punto di equilibrio stabile per (3.30).

Dimostrazione. È chiaro che zeq è un punto di equilibrio, perché

f (zeq) = ∇U(zeq) = 0 .

Dimostriamo poi che

W(y1, y2) = −U(y1) + U(zeq) +12|y2|2 , (3.41)

è una funzione di Liapunov in zeq. Le richieste di regolarità e positivitàsono soddisfatte per y1 ∈ B ⊂ Ω1, B sfera opportuna, per le ipotesi su U:

W(y1, y2) ≥12|y2|2 > 0 , y2 6= 0 ,

W(y1, y2) ≥ −U(y1) + U(zeq) > 0 , y1 6= zeq .

Infine∇W(y) · F(y) = −∇U(y1) · y2 + y2 · f (y1) = 0 ,

per l’ipotesi (3.40).

Osservazione 3.23. Il precedente teorema viene applicato allo studio dellastabilità di sistemi meccanici sottoposti a forze conservative, ossia espressedal gradiente di un potenziale scalare, come in (3.40).

Controesempio 3.24. Nel Teorema 3.22 l’ipotesi che il punto di massimoper U sia isolato è necessaria, nel senso che non può essere rimossa. È fa-cile costruire un controesempio: basta considerare il caso di un potenzialeidenticamente uguale al suo valore massimo in un intorno di zeq.

Esempio 3.25. Nel Teorema 3.22 l’ipotesi che il punto di massimo per Usia isolato è necessaria, ma non insostituibile, come ora mostreremo. Sidefinisca

U(x) = −x6 sin2 1x

, x 6= 0 , U(0) = 0 .

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3.5. IL CASO DEI SISTEMI DI SECONDO ORDINE 31

Ovviamente U è continua in R. Poiché poi

U′(x) = −6x5 sin2 1x+ x4 sin

2x

, x 6= 0 ,

si ha U′(x) → 0 per x → 0 e dunque, come è noto, U ∈ C1(R) conU′(0) = 0. Nello stesso modo si verifica che U ∈ C2(R).Per la e.d.o.

x = U′(x) (3.42)

valgono dunque tutti gli usuali risultati richiamati nella Sezione 1.2.Dato che U(x) ≤ 0 per ogni x ∈ R, x = 0 è un punto di massimo assoluto.Tuttavia non è isolato perché si ha per esempio

U(±xn) = 0 , xn =1

nπ, n ≥ 1 , (3.43)

e xn → 0. Pertanto il Teorema 3.22 non si può applicare. Tuttavia x = 0 èdavvero un punto di equilibrio stabile per (3.42).Definiamo infatti

W(x1, x2) =12

x22 − U(x1) ≥ |U(x1)| .

Allora se ψ è una soluzione di (3.42)

ddt

W(ψ(t), ψ(t)) = ψ(t)ψ(t)− ψ(t)U′(ψ(t)) = 0 .

Fissiamo ε > 0. Si noti che può essere U(ε) = 0 (vedere la (3.43)), macertamente esiste ε/2 < x < ε con

0 < m := |U(x)| = |U(−x)| .

Scegliamo quindi δ > 0 tale che δ < min(ε/2,√

m) e

|U(x1)| ≤m

2, per ogni |x1| < δ.

Sia dunque|ψ(0)|+ |ψ(0)| < δ ,

e per assurdo valga |ψ(t)| = ε per qualche t > 0. Allora si avrebbe |ψ(t)| =x per qualche 0 < t < t e

m = |U(ψ(t))| ≤ W(ψ(t)) = W(ψ(0)) ≤ δ2

2+

m

2< m ,

assurdo.

Teorema 3.26. Supponiamo che per (y1, y2) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ R2N aperto,

f (y1, y2) = ∇U(y1) + a(y2) , (3.44)

ove U ∈ C1(Ω1), a ∈ C1(Ω2). Supponiamo anche che U abbia un unico puntocritico zeq ∈ Ω1, e che esso sia un massimo isolato. Inoltre sia 0 ∈ Ω2, e valga

a(y2) · y2 < 0 , y2 6= 0 . (3.45)

Allora zeq è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per (3.30).

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32 DANIELE ANDREUCCI

Dimostrazione. Il punto zeq è l’unico punto di equilibrio in Ω1; infatti da(3.45) segue subito che

a(0) = 0 .Per il Teorema 3.19, basterà dimostrare che la funzione W definita in(3.41) è una funzione di Liapunov, strettamente decrescente sulle soluzionidiverse dall’equilibrio.La regolarità e positività della W si dimostrano come nel Teorema 3.22.Inoltre

ddt

W(

ψ(t), ψ(t))

= −∇U(

ψ(t))

· ψ(t) + ψ(t) · ψ(t)

= ψ(t) · a(

ψ(t))

< 0 ,(3.46)

ove nell’ultima disuguaglianza abbiamo assunto ψ(t) 6= 0.Dunque, per t1 < t2 possiamo scrivere

W(

ψ(t2), ψ(t2))

− W(

ψ(t1), ψ(t1))

=

t2∫

t1

ψ(t) · a(

ψ(t))

dt .

Pertanto, se nell’intervallo [t1, t2] esiste almeno un t tale che ψ(t) 6= 0, la(3.27) resta dimostrata. Se viceversa, su tale intervallo la ψ(t) si annullaidenticamente, questo implica che per t1 < t < t2

ψ(t) = z , ψ(t) = f (z,0) = 0 .

Questo però implica che z = zeq, ossia che l’unica soluzione su cui W nonè strettamente decrescente è l’unico equilibrio.Abbiamo verificato quindi tutte le ipotesi del Teorema 3.19, e ne seguel’asintotica stabilità.

Osservazione 3.27. Nelle applicazioni meccaniche, ove N = 3, il terminea in (3.44) è dovuto all’attrito e prende la forma

a(y2) = −∇R(y2) , R(x1, x2, x3) =3

∑h=1

αhx2h , αh > 0 . (3.47)

La funzione R si dice funzione di Rayleigh.

3.6. Rappresentazioni nel piano delle fasi

Definizione 3.28. La curva

ϕ(t) | t ∈ J ⊂ RN ,

ove ϕ è una soluzione massimale di (3.1) definita nell’intervallo J, si diceorbita del sistema differenziale.

Noi saremo interessati soprattutto al caso dei sistemi differenziali autono-mi

y = F(y) . (3.48)

Teorema 3.29. Se un’orbita del sistema autonomo (3.48) si autointerseca, cioè se

ϕ(t1) = ϕ(t2)

per due diversi istanti t1, t2 ∈ J, allora corrisponde a una soluzione periodica.

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3.6. RAPPRESENTAZIONI NEL PIANO DELLE FASI 33

Dimostrazione. Basta prendere nell’Osservazione 3.3

t0 = t1 , T = t2 − t1 ,

se per esempio t2 > t1.

Teorema 3.30. Se due orbite del sistema autonomo (3.48) si intersecano, alloracoincidono.

Dimostrazione. Siano ϕ1 e ϕ2 le due soluzioni corrispondenti alle dueorbite γ1 e γ2 che si intersecano nel punto

ϕ1(t1) = ϕ2(t2) .

Per l’Osservazione 3.2, le due funzioni

t 7→ ϕ1(t) , t 7→ ϕ2(t + t2 − t1) ,

sono soluzioni dello stesso problema di Cauchy, con istante iniziale t1 edato iniziale ϕ1(t1). Dunque, per il teorema di unicità di soluzioni si ha

ϕ1(t) = ϕ2(t + t2 − t1) ,

per ogni t nel comune intervallo di definizione. Quindi, visto che ϕ1 èmassimale, si ha γ2 ⊂ γ1.Ragionando in modo simmetrico si conclude γ1 ⊂ γ2 e si conclude ladimostrazione.

Nel caso di sistemi differenziali con due incognite scalari, ossia nel caso incui N = 2 nella notazione precedente, l’orbita è una curva piana.In questo caso si ricade partendo da un’equazione autonoma del secondoordine

mx = F(x) , (3.49)e riconducendola a un sistema del primo ordine, come nel Metodo 1.5. Inquesto contesto, è tradizionale indicare le coordinate cartesiane nel pianoin cui si tracciano le orbite con (x, p), con p che corrisponde a x. Questopiano viene detto piano delle fasi, e il diagramma delle orbite in esso ritrattodi fase; spesso dalla sua osservazione si trae un’idea intuitivamente chiaradel comportamento delle soluzioni del sistema.In particolare, definiamo il potenziale

U(x) =

x∫

x0

F(s)ds ,

ove x0 è fissato ad arbitrio nel dominio della F.

Proposizione 3.31. Se ϕ è una soluzione di (3.49), la funzione

E(t) := −U(

ϕ(t))

+12

mϕ(t)2 (3.50)

si mantiene costante nell’intervallo di definizione di ϕ.

La E si dice energia.

Dimostrazione. Deriviamo in t

E (t) = −U′(ϕ(t))

ϕ(t) + mϕ(t)ϕ(t) = ϕ(t)[

mϕ(t)− F(

ϕ(t))

]

= 0 .

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34 DANIELE ANDREUCCI

Per la Proposizione 3.31, sulle orbite di (3.49) deve valere

− U(x) +12

mp2 = E , (3.51)

ove E indica il valore costante assunto da E sull’orbita in questione. Sinoti che tale valore varia al variare dell’orbita. Risolvendo la (3.51) in p siottiene

p = ±√

2m

[

E + U(x)]

. (3.52)

−2π −π π 2π

x

p

Figura 3.1. Le orbite di 2x = − sin x. Sono disegnate leorbite corrispondenti a E = 0.5, E = 1, E = 2, e i punti diequilibrio stabili e instabili.

L’ambiguità di segno nella (3.52) merita una discussione. Sia dunque(x0, p0) un punto del piano per cui passa un’orbita γ. Questa è unicaper il Teorema 3.30. Si hanno i casi seguenti:

• p0 > 0: in questo caso γ è contenuta, almeno in un intorno di (x0, p0)nel semipiano p > 0, e quindi nella (3.52) va preso il segno positivo,almeno in questo intorno. Tale scelta va mantenuta nell’intervallo oveil termine all’interno della radice in (3.52) si mantiene positivo.

• p0 < 0: caso simmetrico del precedente: qui va scelto il segno negati-vo, in tutto l’intervallo ove il termine all’interno della radice in (3.52)si mantiene positivo.

• p0 = 0– F(x0) = 0: l’orbita corrisponde a un punto di equilibrio per il

sistema, e coincide quindi con il punto (x0,0).– F(x0) 6= 0: l’orbita passa per il punto (x0,0), ma ha un ramo

in p > 0, e uno in p < 0, che si ottengono prendendo i segniopportuni in (3.52).

La quantità −U si dice energia potenziale; il dominio di definizione diun’orbita corrispondente al livello di energia E coincide dunque con unintervallo massimale su cui l’energia potenziale è minore o uguale a E.

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3.6. RAPPRESENTAZIONI NEL PIANO DELLE FASI 35

Osservazione 3.32. I punti di equilibrio corrispondono a orbite degeneri,cioè puntiformi, nel piano (x, p). Sia (x0,0) una di queste. Se un’altraorbita (ϕ, ϕ) soddisfa

(ϕ(t), ϕ(t)) → (x, p) , t → β ,

allora β = ∞, o β = −∞, per il Lemma 3.7.È chiaro che se esiste un orbita che si allontana da (x0,0) il punto non puòessere di equilibrio stabile.

Osservazione 3.33. I Lemmi 3.7 e 3.8 implicano che due curve date dagrafici delle funzioni in (3.52), se la loro unione è connessa, fanno partein realtà della stessa orbita, con l’unica eccezione delle curve (degeneri)costituite da punti di equilibrio.

Esempio 3.34. Tracciare il diagramma delle orbite relative al potenziale

U(x) = ax3e−bx , x ∈ R .

Qui a, b > 0 sono assegnati. Conviene tracciare intanto il grafico dell’e-nergia potenziale, vedi la Figura 3.2. I punti critici dell’energia potenzialecorrispondono a punti di equilibrio. In questo caso ne abbiamo due:

x′ = 0 , x′′ =3b

.

In corrispondenza di essi possiamo tracciare nel piano delle fasi due orbitedegeneri (cioè due punti).Le altre orbite si trovano fissando il corrispondente livello di energia E, inmodo che l’intervallo ove −U ≤ E non sia vuoto, e quindi ricavandoneil grafico mediante la (3.52). Nel nostro caso il livello minimo di energiaammissibile è E = min(−U), che corrisponde al punto critico x′′. Altrepossibili scelte sono indicate in Figura 3.2.L’orbita corrispondente al livello E1 è chiusa e quindi periodica per i ri-sultati discussi sopra. In tal senso simili ad essa sono tutte le orbite conE0 < E < E2; questa proprietà geometrica implica che x′′ è di equilibriostabile. Questo si può anche dedurre dal fatto che x′′ è un punto di mas-simo isolato per il potenziale.Le orbite corrispondenti a E = E2 = 0 sono tre: il punto di equilibriox′ = 0, e due orbite aperte, quella superiore che si allontana da esso per tcrescente, e quella inferiore che invece tende a esso per t → +∞ (si ricordil’Osservazione 3.33). Questo implica in particolare che x′ è di equilibrioinstabile.Infine tutte le orbite con E > E2 sono simili al caso E3, e corrispondono amoti non periodici.

Alcune proprietà cinematiche del moto sono esprimibili in termini delleproprietà geometriche delle orbite nel piano delle fasi. Per esempio vale ilseguente risultato.

Teorema 3.35. Sia ϕ una soluzione di (3.49), tale che ϕ > 0 nell’intervallo[t1, t2]. Allora, se ϕ(ti) = xi, vale

t2 − t1 =

x2∫

x1

1√

2m

[

E + U(x)]

dx . (3.53)

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36 DANIELE ANDREUCCI

−U

x

x′′x′

E0

E1

E3

p

x

E1

E2

E2

E3

E0

Figura 3.2. Il caso dell’Esempio 3.34. Il livello E2 = 0 nonè tracciato nella parte superiore della figura per motivi dileggibilità.Si noti che in corrispondenza di questo livello esistono treorbite: le due indicate nella parte inferiore, e il punto diequilibrio x′ = 0, instabile.L’altro punto di equilibrio in x′′ è stabile.

Dimostrazione. In un intervallo di tempi in cui ϕ > 0 la funzione ϕ(t) èinvertibile, ossia si può scrivere

t = τ(x) ,

condτ

dx(x) =

1ϕ(τ(x))

=1

2m

[

E + U(x)]

.

La (3.53) segue subito integrando su (x1, x2).

Nel caso ϕ < 0 vale un risultato simmetrico a (3.53). In particolare il perio-do relativo a un’orbita periodica (come quella con energia E1 in Figura 3.2)

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3.6. RAPPRESENTAZIONI NEL PIANO DELLE FASI 37

sarà dato da

2xmax∫

xmin

1√

2m

[

E + U(x)]

dx ,

ove [xmin, xmax] è l’intervallo massimale su cui è definita l’orbita (intesacome funzione p(x) data dalla (3.52)).

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APPENDICE A

Serie esponenziale

A.1. Complementi: La serie esponenziale

Per ogni t ∈ R vale

et = 1 +t

0

eτ1 dτ1 = 1 +t

0

(

1 +

τ1∫

0

eτ2 dτ2

)

dτ1

= 1 + t +

t∫

0

τ1∫

0

eτ2 dτ2 dτ1 = 1 + t +

t∫

0

τ1∫

0

(

1 +

τ2∫

0

eτ3 dτ3

)

dτ2 dτ1

= 1 + t +

t∫

0

τ1 dτ1 +

t∫

0

τ1∫

0

τ2∫

0

eτ3 dτ3 dτ2 dτ1

= 1 + t +t2

2+

t∫

0

τ1∫

0

τ2∫

0

(

1 +

τ3∫

0

eτ4 dτ4

)

dτ3 dτ2 dτ1

= 1 + t +t2

2+

t∫

0

τ212

dτ1 +

t∫

0

τ1∫

0

τ2∫

0

τ3∫

0

eτ4 dτ4 dτ3 dτ2 dτ1

= 1 + t +t2

2+

t3

2 · 3+

t∫

0

τ1∫

0

τ2∫

0

τ3∫

0

eτ4 dτ4 dτ3 dτ2 dτ1 .

(A.1)

È chiaro che procedendo in questo modo si arriva a dimostrare per ognin ≥ 0

et = 1 + t +t2

2!+

t3

3!+ · · ·+ tn

n!+ Rn+1(t) , (A.2)

ove Rn+1 è dato dagli n + 1 integrali ripetuti

Rn+1(t) =

t∫

0

τ1∫

0

· · ·τn∫

0

eτn+1 dτn+1 . . . dτ2 dτ1 . (A.3)

Vale

|Rn+1(t)| ≤|t|∫

0

τ1∫

0

· · ·τn∫

0

e|t| dτn+1 . . . dτ2 dτ1 = e|t||t|n+1

(n + 1)!.

39

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40 DANIELE ANDREUCCI

Sia k ≥ 1 il più grande intero minore o uguale a |t| se |t| ≥ 1, o k = 1altrimenti. Quindi per n → ∞ si ha

|Rn+1(t)| ≤ e|t||t|1|t|2

. . .|t|k· |t|

k + 1. . .

|t|n + 1

= C(t)|t|

k + 1. . .

|t|n + 1

≤ C(t)

( |t|k + 1

)n+1−k

→ 0 ,

perché |t| < k + 1. Qui C(t) risulta definita dall’uguaglianza sopra e nondipende da n perché k non dipende da n.Dunque prendendo il limite n → ∞ in (A.2) si ottiene per ogni t ∈ R

et = 1 + t +t2

2!+

t3

3!+ · · ·+ tn

n!+ · · · =

∑n=0

tn

n!. (A.4)

Questo sviluppo in serie di et vale, di fatto, anche per tutti i numericomplessi t.