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Page 1: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

APPUNTI DI MATEMATICAAPPUNTI DI MATEMATICAschema degli appunti schema degli appunti

MENU

NUMERI REALI POLINOMIFRAZIONI

ALGEBRICE

Insiemi numerici

Criteri didivisibilità

Addizione

Sottrazione

Moltiplicazione

Divisione

Potenza

Radice

EQUAZIONI

Prodotti notevoli

Divisioni

Scomposizioni

Semplificazione

Moltiplicazione e divisione

Potenza

Somma AlgebricaSviluppo

Espressionifrazionarie

Espressionicon radicali

Principi diequivalenza

Equazioni lineari

Equazioni fratte

Equazioni letterali

Equazioni di 2° grado

Equazioni parametriche

Equazioni di grado superiore

al 2°

Equazioni irrazionali

SISTEMI

Sistemi lineari

Metodo di sostituzione

Metodo di addizione

Metodo diconfronto

Metodo diCramer

Metodo grafico

Sistemi letterali

DISEQUAZIONI

Studio del segnodi primo grado

Studio del segnodi 2° grado

Principi diequivalenza

Dis. di 1° grado

Dis. di 2° grado

Dis. fratte

Sistemi di dis.

Dis. di grado superiore al 2°

Dis. con valori assoluti

GEOMETRIA

Definire e dimostrare

Principaliteoremi

Algebra applicataalla geometria

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1.1. NumeriNumeri

2.2. PolinomiPolinomi

3.3. Frazioni algebricheFrazioni algebriche

4.4. EquazioniEquazioni

5.5. Sistemi Sistemi

6.6. DisequazioniDisequazioni

7.7. GeometriaGeometria

MENUMENU

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1. NUMERI 1. NUMERI

• Insiemi numericiInsiemi numerici

• Criteri di divisibilitàCriteri di divisibilità

• AddizioneAddizione

• SottrazioneSottrazione

• MoltiplicazioneMoltiplicazione

• DivisioneDivisione

• PotenzaPotenza

• RadiceRadice MENU

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INSIEMI NUMERICIINSIEMI NUMERICI

1.1. Naturali Naturali ℕℕ=={0,1,2,3,4…}{0,1,2,3,4…}2.2. Interi Interi ℤℤ=={…-4,-3,-2,-{…-4,-3,-2,-

1,0,+1,+2,+3…}1,0,+1,+2,+3…}3.3. Razionali Razionali ℚℚ=={interi, decimali finiti, {interi, decimali finiti,

decimali illimitati periodici} decimali illimitati periodici} ℚℚ=={x|x=p/q, p{x|x=p/q, p∈ℤ∈ℤ e qe q∈ℕ∈ℕ**}}

4.4. Reali Reali ℝℝ=={razionali, irrazionali} {razionali, irrazionali} (irrazionali: decimali illimitati non periodici)(irrazionali: decimali illimitati non periodici)

5.5. ComplessiComplessiℂℂ=={reali, i}{reali, i}i=i=√-1 √-1 unità immaginariaunità immaginaria

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““+”+” positivipositivi ““-”-” negativinegativi

es. es. ℤℤ --=={-1,-2,-3…}{-1,-2,-3…} ““*”*” escluso lo zeroescluso lo zero

es. es. ℤℤ **=={…-3,-2,-{…-3,-2,-1,+1,+2,+3…}1,+1,+2,+3…}

““a”a” assolutiassoluti

es. es. ℤℤ aa=={0,1,2,3…}={0,1,2,3…}=ℕℕ ““0”0” con l’aggiunta dello zerocon l’aggiunta dello zero

es. es. ℤℤ --oo=={0,-1,-2,-3…}{0,-1,-2,-3…}

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CRITERI DI DIVISIBILITA’CRITERI DI DIVISIBILITA’2: 2: ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8)ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8)5: 5: ultima cifra multipla di 5 (0,5)ultima cifra multipla di 5 (0,5)4: 4: ultime due cifre multiplo di 4 ultime due cifre multiplo di 4

(00,04,16,52,76…sono 25)(00,04,16,52,76…sono 25)25: 25: ultime due cifre multiplo di 25 ultime due cifre multiplo di 25

(00,25,50,75)(00,25,50,75)8: 8: ultime tre cifre multiplo di 8 ultime tre cifre multiplo di 8

(000,432,520…sono 125)(000,432,520…sono 125)125: 125: ultime tre cifre multiplo di 125 ultime tre cifre multiplo di 125

(000,125,250,375,500,625,750,875)(000,125,250,375,500,625,750,875)

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3:3: somma delle cifre multiplo di 3 somma delle cifre multiplo di 3 (357,84…)(357,84…)

9:9: somma delle cifre multiplo di 9 somma delle cifre multiplo di 9 (927,801…)(927,801…)

11:11: la differenza la differenza tra la tra la somma delle cifre di posto pari somma delle cifre di posto pari con la con la somma delle cifre di posto dispari, somma delle cifre di posto dispari, multiplo multiplo di 11 (71533…)di 11 (71533…)

Nota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzataNota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzata

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ADDIZIONEADDIZIONE

1.1. Operazione internaOperazione interna

2.2. CommutativaCommutativa

3.3. AssociativaAssociativa

4.4. Esiste 0 elemento neutroEsiste 0 elemento neutro

5.5. Esiste il simmetrico di a: -a Esiste il simmetrico di a: -a (opposto)(opposto)

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SOTTRAZIONESOTTRAZIONE

1.1. Invariantiva: se si somma o si Invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia differenza non cambia

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MOLTIPLICAZIONEMOLTIPLICAZIONE

1.1. Operazione internaOperazione interna2.2. CommutativaCommutativa3.3. AssociativaAssociativa4.4. Distributiva rispetto all’addizione e alla Distributiva rispetto all’addizione e alla

sottrazionesottrazione5.5. Esiste 1 elemento neutroEsiste 1 elemento neutro6.6. Esiste il simmetrico di a (se a≠0): 1/a Esiste il simmetrico di a (se a≠0): 1/a

(reciproco)(reciproco)7.7. Esiste 0 elemento assorbenteEsiste 0 elemento assorbente8.8. Legge di annullamento del prodottoLegge di annullamento del prodotto

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DIVISIONEDIVISIONE

1.1. Invariantiva: se si moltiplicano o si Invariantiva: se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo che il dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero divisore per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto se c’è viene cambia mentre il resto se c’è viene moltiplicato o diviso per lo stesso moltiplicato o diviso per lo stesso numeronumero

2.2. Distributiva (solo da una parte)Distributiva (solo da una parte)MENU

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POTENZAPOTENZA

• DefinizioniDefinizioni

• Proprietà Proprietà

• Note Note

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aann

a base n esponente aa base n esponente ann potenzapotenza

nn∈ℤ∈ℤ• se n=0 e a≠0:se n=0 e a≠0: aa0 0 = 1= 1• se n=1: se n=1: aa1 1 = a= a• se n≥2: se n≥2: aan n = a∙a∙a∙ ∙ = a∙a∙a∙ ∙ ∙a (n volte)∙a (n volte)• se n<0 e a≠0:se n<0 e a≠0: aan n = (1/a)= (1/a)-n-n

• se n=0 e a=0:se n=0 e a=0: 0000 indeterminataindeterminata

nn∈ℚ∈ℚ • se n=p/q e q≠0: se n=p/q e q≠0: aan n = = qq√a√ap p

DEFINIZIONIDEFINIZIONI

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PROPRIETA’PROPRIETA’

1.1. Il prodotto di due o più potenze con Il prodotto di due o più potenze con ugual base è una potenza che ha per ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente base la stessa base e per esponente la somma degli esponentila somma degli esponenti

2.2. Il quoziente di due potenze con Il quoziente di due potenze con ugual base è una potenza che ha per ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente base la stessa base e per esponente la differenza degli esponentila differenza degli esponenti

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3.3. Il prodotto di due o più potenze con ugual Il prodotto di due o più potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponentestesso esponente

Oppure Oppure Proprietà distributiva della potenza Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazionerispetto alla moltiplicazione: la potenza di : la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori.potenze dei singoli fattori.

4.4. Il quoziente di due potenze con ugual Il quoziente di due potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponentestesso esponente

Oppure Oppure Proprietà distributiva della potenza Proprietà distributiva della potenza rispetto alla divisionerispetto alla divisione: la potenza di un : la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisorepotenze del dividendo e del divisore

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5.5. La potenza di una potenza è una La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto base e per esponente il prodotto degli esponentidegli esponenti

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NOTENOTE

1.1. In una espressione si applicano prima In una espressione si applicano prima le proprietà delle potenze o si le proprietà delle potenze o si calcolano con la definizione, poi si calcolano con la definizione, poi si eseguono le moltiplicazioni e le eseguono le moltiplicazioni e le divisioni, così come si presentano, e divisioni, così come si presentano, e infine le addizioni e le sottrazioni infine le addizioni e le sottrazioni Se nelle Se nelle espressioni ci sono delle parentesi espressioni ci sono delle parentesi bisogna cominciare a risolvere da bisogna cominciare a risolvere da quelle più interne quelle più interne

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2.2. Le proprietà delle potenze Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle sovvertono le priorità delle operazioni. Bisogna dare sempre la operazioni. Bisogna dare sempre la precedenza alle proprietà piuttosto precedenza alle proprietà piuttosto che alle definizioniche alle definizioni

3.3. Se non c’è la parentesi l’esponente è Se non c’è la parentesi l’esponente è riferito solo al numero riferito solo al numero immediatamente alla sua sinistraimmediatamente alla sua sinistra

4.4. Una potenza con esponente pari è Una potenza con esponente pari è sempre positiva; una potenza con sempre positiva; una potenza con esponente dispari conserva il segno esponente dispari conserva il segno della basedella base

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RADICERADICE

• DefinizioniDefinizioni

• ProprietàProprietà

• Note Note

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DEFINIZIONIDEFINIZIONI

nn√a√a

a radicando n indice a radicando n indice nn√a radicale√a radicale

nn√a = b se e solo se b√a = b se e solo se bn n = a= a

• a,ba,b∈ℝ∈ℝ nn∈ℕ∈ℕ** radicali algebriciradicali algebrici

• a,ba,b∈ℝ∈ℝa a nn∈ℕ∈ℕ** radicali aritmeticiradicali aritmetici

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• se n=0:se n=0: 00√a√a priva di significato priva di significato

• se n=1: se n=1: 11√a= a √a= a

• se n=2: se n=2: 22√a=√a √a=√a radice “quadrata”radice “quadrata”

• se n=3: se n=3: 33√a√a radice “cubica” radice “cubica”

• se n>0: se n>0: nn√0=0 √0=0

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PROPRIETA’PROPRIETA’1.1. Proprietà invariantivaProprietà invariantiva: il valore di un radicale : il valore di un radicale

aritmetico non cambia se si moltiplicano o si aritmetico non cambia se si moltiplicano o si dividono l’indice della radice e l’esponente del dividono l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0diverso da 0

2.2. Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandiindice e per radicando il prodotto dei radicandi

Oppure Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto Proprietà distributiva della radice rispetto alla moltiplicazionealla moltiplicazione: la radice di un prodotto è : la radice di un prodotto è uguale al prodotto dei singoli radicaliuguale al prodotto dei singoli radicali

Page 23: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

3.3. Il quoziente di due o più radicali aventi lo Il quoziente di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandidei radicandi

Oppure Oppure Proprietà distributiva della radice Proprietà distributiva della radice rispetto alla divisionerispetto alla divisione: la radice di un : la radice di un quoziente è uguale al quoziente dei singoli quoziente è uguale al quoziente dei singoli radicaliradicali

4.4. La potenza di un radicale è uguale a un La potenza di un radicale è uguale a un radicale che ha per indice lo stesso indice e radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza del radicandoper radicando la potenza del radicando

5.5. La radice di una radice è una radice che ha La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicandoradicando lo stesso radicando

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NOTENOTE

1.1. Sviluppare l’espressione “sotto” Sviluppare l’espressione “sotto” radiceradice

Lavorare “con” il radicaleLavorare “con” il radicale

Operare “tra” i radicaliOperare “tra” i radicali

2.2. Non si lasciano radici al Non si lasciano radici al denominatore e denominatore e denominatori sotto denominatori sotto radiceradice

MENU

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2. POLINOMI2. POLINOMI

• Prodotti notevoliProdotti notevoli

• DivisioniDivisioni

• ScomposizioniScomposizioni

MENU

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PRODOTTI NOTEVOLIPRODOTTI NOTEVOLI

1.1. Prodotto somma per differenzaProdotto somma per differenza(A+B)(A-B)=A(A+B)(A-B)=A22-B-B22

2.2. Quadrato di binomioQuadrato di binomio (A+B)(A+B)22=A=A22+2AB+B+2AB+B22

3.3. Quadrato di trinomioQuadrato di trinomio (A+B+C)(A+B+C)22=A=A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC+2AB+2AC+2BC

4.4. Cubo di binomioCubo di binomio (A+B)(A+B)33=A=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B33

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5.5. Prodotto somma (differenza) per il suo falso Prodotto somma (differenza) per il suo falso quadratoquadrato (A+B)(A(A+B)(A22-AB+B-AB+B22)=A)=A33+B+B33 (A-B)(A(A-B)(A22+AB+B+AB+B22)=A)=A33-B-B33

6.6. Potenza di binomioPotenza di binomioil polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il prodotto del coefficiente (preso dal il prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di Tartaglia) per le potenze triangolo di Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo termine (da n a 0) per decrescenti del primo termine (da n a 0) per le potenze crescenti del secondo (da 0 a n) le potenze crescenti del secondo (da 0 a n)

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DIVISIONIDIVISIONI

• Divisione tra due polinomiDivisione tra due polinomi

• Divisione con la regola di RuffiniDivisione con la regola di Ruffini

Page 29: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DIVISIONE TRA DUE DIVISIONE TRA DUE POLINOMIPOLINOMI1.1. Il dividendo deve essere ordinato e completoIl dividendo deve essere ordinato e completo2.2. Il divisore ordinatoIl divisore ordinato3.3. Il grado del quoziente è uguale alla differenza Il grado del quoziente è uguale alla differenza

dei gradi del dividendo e del divisoredei gradi del dividendo e del divisore4.4. Il grado del resto è minore del grado del divisoreIl grado del resto è minore del grado del divisore5.5. La divisione termina quando il grado del resto La divisione termina quando il grado del resto

diventa minore del grado del divisorediventa minore del grado del divisore6.6. Prova Prova BB..Q+R=A Q+R=A A dividendoA dividendo B divisoreB divisore

Q quozienteQ quoziente R restoR resto

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DIVISIONE CON RUFFINIDIVISIONE CON RUFFINI

1.1. Il dividendo A(x) deve essere ordinato e completoIl dividendo A(x) deve essere ordinato e completo2.2. Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di

primo grado con il primo coefficiente uguale a 1primo grado con il primo coefficiente uguale a 13.3. Il resto R è un termine di grado 0Il resto R è un termine di grado 04.4. Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficientiNella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficienti5.5. Teorema del restoTeorema del resto: R=A(a) (il resto è il valore che : R=A(a) (il resto è il valore che

il dividendo assume in a, cioè il valore che si il dividendo assume in a, cioè il valore che si ottiene sostituendo “a” al posto di “x”)ottiene sostituendo “a” al posto di “x”)

6.6. Se il primo coefficiente non è 1 è possibile Se il primo coefficiente non è 1 è possibile effettuare la divisione con Ruffini dopo averla effettuare la divisione con Ruffini dopo averla opportunamente modificata applicando la opportunamente modificata applicando la proprietà invariantivaproprietà invariantiva

Page 31: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SCOMPOSIZIONISCOMPOSIZIONI

• DefinizioniDefinizioni

• UsoUso

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DEFINIZIONIDEFINIZIONI

1.1. Raccoglimento a fattor comune Raccoglimento a fattor comune AM+BM+CM=M(A+B+C)AM+BM+CM=M(A+B+C)Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun termine per il MCD. È l’inverso della proprietà ciascun termine per il MCD. È l’inverso della proprietà invariantiva.invariantiva.

2.2. Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N)+N(A+B)=(A+B)(M+N)

Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.

Page 33: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

3.3. Differenza di due quadrati Differenza di due quadrati

AA22-B-B2 2 =(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B)

Regola. Si moltiplica la somma delle basi Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la loro differenza.per la loro differenza.

4.4. Trinomio quadrato di binomioTrinomio quadrato di binomio

AA22+2AB+B+2AB+B22=(A+B)=(A+B)22

5.5. Quadrinomio cubo di binomioQuadrinomio cubo di binomioAA33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B33=(A+B)=(A+B)33

6.6. Polinomio quadrato di trinomioPolinomio quadrato di trinomioAA22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)2 2

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7.7. Somma o differenza di due cubiSomma o differenza di due cubiAA33+B+B33=(A+B)(A=(A+B)(A22-AB+B-AB+B22))AA33-B-B33=(A-B)(A=(A-B)(A22+AB+B+AB+B22))

8.8. Trinomio notevoleTrinomio notevoleXX22+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B)+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B)Regola. È un trinomio ordinato in cui il Regola. È un trinomio ordinato in cui il primo termine ha grado doppio del primo termine ha grado doppio del secondo e il terzo è noto. Il primo secondo e il terzo è noto. Il primo coefficiente è 1; il secondo è la somma di coefficiente è 1; il secondo è la somma di due termini e il terzo è il prodotto degli due termini e il terzo è il prodotto degli stessi.stessi.

Page 35: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

9.9. Ruffini. Si applica in presenza di un Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato. E’ la prova di una polinomio ordinato. E’ la prova di una divisione di cui si conosce solo il dividendo divisione di cui si conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il resto R deve essere zero. resto R deve essere zero. prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0a: si cerca tra i divisori del termine noto o a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra le frazioni aventi al numeratore i tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto e al divisori del termine noto e al denominatore i divisori del primo denominatore i divisori del primo coefficiente in modo che R=0coefficiente in modo che R=0

Page 36: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

1.1. Due termini: Due termini: - raccoglimento a fattor comune- raccoglimento a fattor comune- differenza di due quadrati- differenza di due quadrati- somma o differenza di due cubi- somma o differenza di due cubi- Ruffini- Ruffini

2.2. Tre termini:Tre termini:- raccoglimento a fattor comune - raccoglimento a fattor comune - trinomio quadrato di binomio- trinomio quadrato di binomio- trinomio notevole- trinomio notevole- Ruffini- Ruffini

USOUSO

Page 37: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

NOTENOTE

1.1. Se ci sono delle frazioni spesso conviene Se ci sono delle frazioni spesso conviene fare il denominatore comune e poi fare il denominatore comune e poi scomporre il numeratorescomporre il numeratore

2.2. Si raccoglie il primo segno che si incontraSi raccoglie il primo segno che si incontra3.3. Le parentesi quadre diventano tonde e le Le parentesi quadre diventano tonde e le

tonde si eliminano facendo i calcolitonde si eliminano facendo i calcoli4.4. Per iniziare e per finire una Per iniziare e per finire una

scomposizione è necessario scomporre i scomposizione è necessario scomporre i polinomi dentro le parentesipolinomi dentro le parentesi

Page 38: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

3.3. Quattro termini:Quattro termini:- raccoglimento a fattor comune- raccoglimento a fattor comune- raccoglimenti successivi- raccoglimenti successivi- quadrinomio cubo di binomio- quadrinomio cubo di binomio- misto- misto- Ruffini- Ruffini

4.4. Cinque o più termini:Cinque o più termini:- raccoglimento a fattor comune- raccoglimento a fattor comune- raccoglimenti successivi (solo con sei, - raccoglimenti successivi (solo con sei,

otto,otto, nove termini …)nove termini …)

- polinomio quadrato di trinomio- polinomio quadrato di trinomio- misto- misto- Ruffini- Ruffini

MENU

Page 39: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

3. FRAZIONI ALGEBRICHE3. FRAZIONI ALGEBRICHE

• SemplificazioneSemplificazione

• Moltiplicazione e divisioneMoltiplicazione e divisione

• PotenzaPotenza

• Somma algebricaSomma algebrica

• Sviluppo espressioniSviluppo espressioni

• Espressioni frazionarieEspressioni frazionarie

• Espressioni con i radicaliEspressioni con i radicaliMENU

Page 40: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SEMPLIFICAZIONESEMPLIFICAZIONE

1.1. Scomporre il numeratore e il Scomporre il numeratore e il denominatoredenominatore

2.2. Individuare il dominio della frazione Individuare il dominio della frazione (cioè escludere quei valori che (cioè escludere quei valori che annullano ciascun fattore del annullano ciascun fattore del denominatore: C.E. condizioni di denominatore: C.E. condizioni di esistenza)esistenza)

3.3. Semplificare i fattoriSemplificare i fattori

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MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONEMOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE

1.1. Scomporre tutti i numeratori e tutti i Scomporre tutti i numeratori e tutti i denominatoridenominatori

2.2. Individuare il dominio della frazione Individuare il dominio della frazione (…)(…)

3.3. Semplificare un qualsiasi fattore al Semplificare un qualsiasi fattore al numeratore con un qualsiasi fattore numeratore con un qualsiasi fattore al denominatoreal denominatore

Page 42: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

POTENZAPOTENZA

1.1. Scomporre il numeratore e il Scomporre il numeratore e il denominatoredenominatore

2.2. Indicare il dominio della frazione (…)Indicare il dominio della frazione (…)

3.3. SemplificareSemplificare

4.4. Applicare la proprietà distributiva Applicare la proprietà distributiva della potenza rispetto alla della potenza rispetto alla moltiplicazione e alla divisionemoltiplicazione e alla divisione

Page 43: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SOMMA ALGEBRICASOMMA ALGEBRICA

1.1. Scomporre i denominatori “sotto”Scomporre i denominatori “sotto”2.2. Indicare il dominio della frazione (…)Indicare il dominio della frazione (…)3.3. Scomporre i numeratori “sopra” solo se Scomporre i numeratori “sopra” solo se

si vede la possibilità di semplificare la si vede la possibilità di semplificare la frazionefrazione

4.4. Individuare il m.c.m. dei denominatoriIndividuare il m.c.m. dei denominatori5.5. Fare il denominatore comuneFare il denominatore comune6.6. Fare i calcoli al numeratoreFare i calcoli al numeratore7.7. Scomporre il numeratoreScomporre il numeratore8.8. Semplificare la frazioneSemplificare la frazione

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Page 44: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SVILUPPO ESPRESSIONISVILUPPO ESPRESSIONI

1.1. Eseguire prima le operazioni dentro Eseguire prima le operazioni dentro parentesiparentesi

2.2. Ordine delle operazioni: Ordine delle operazioni: - potenze- potenze- moltiplicazioni e/o divisioni- moltiplicazioni e/o divisioni- somme e/o sottrazioni- somme e/o sottrazioni

3.3. Proprietà delle potenze e/o prodotti Proprietà delle potenze e/o prodotti notevoli hanno la precedenzanotevoli hanno la precedenza

Page 45: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

ESPRESSIONI FRAZIONARIEESPRESSIONI FRAZIONARIE

1.1. Sviluppare ogni espressione presente in Sviluppare ogni espressione presente in ciascun numeratore e in ciascun ciascun numeratore e in ciascun denominatoredenominatore

2.2. Moltiplicare il numeratore per il reciproco Moltiplicare il numeratore per il reciproco del denominatoredel denominatore

3.3. E’ possibile semplificare tra loro i E’ possibile semplificare tra loro i numeratori o i denominatori prima del numeratori o i denominatori prima del punto 2. se, scomposti, contengono punto 2. se, scomposti, contengono fattori ugualifattori uguali

Page 46: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

ESPRESSIONI CON I ESPRESSIONI CON I RADICALIRADICALI

1.1. Sviluppare l’espressione “sotto” Sviluppare l’espressione “sotto” radiceradice

2.2. Lavorare “con” il radicaleLavorare “con” il radicale

3.3. Operare “tra” i radicaliOperare “tra” i radicali

N.B. Non si lasciano radici al N.B. Non si lasciano radici al denominatore e denominatore e denominatori sotto denominatori sotto radiceradice

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Page 47: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

4. EQUAZIONI4. EQUAZIONI

• Principi d’equivalenzaPrincipi d’equivalenza

• Equazioni lineari in una incognitaEquazioni lineari in una incognita

• Equazioni fratteEquazioni fratte

• Equazioni letteraliEquazioni letterali

• Equazioni di secondo gradoEquazioni di secondo grado

• Equazioni parametricheEquazioni parametriche

• Equazioni di grado superiore al secondoEquazioni di grado superiore al secondo

• Equazioni irrazionaliEquazioni irrazionaliMENU

Page 48: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

PRINCIPI D’EQUIVALENZAPRINCIPI D’EQUIVALENZA

1.1. 1° Principio dell’addizione: sommando o 1° Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una sottraendo ad entrambi i membri di una equazione lo stesso valore o espressione equazione lo stesso valore o espressione si ottiene una equazione equivalente si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: alla data. Conseguenze:

a) principio del trasportoa) principio del trasporto

b) legge di cancellazioneb) legge di cancellazione

c) riduzione di un membro a zero P(x)=0c) riduzione di un membro a zero P(x)=0

Page 49: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

2.2. 2° Principio della moltiplicazione: 2° Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per lo stesso membri di una equazione per lo stesso valore o espressione diversi da zero si valore o espressione diversi da zero si ottiene una equazione equivalente alla ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: data. Conseguenze:

a) cambiamento del segnoa) cambiamento del segno

b) moltiplicazione per un multiplo b) moltiplicazione per un multiplo comune (eliminazione denominatori)comune (eliminazione denominatori)

c) divisione per un divisore comune c) divisione per un divisore comune (semplificazione termine a termine)(semplificazione termine a termine)

Page 50: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI LINEARI IN UNA EQUAZIONI LINEARI IN UNA INCOGNITAINCOGNITA

1.1. Una equazione in una sola incognita Una equazione in una sola incognita è di primo grado (o lineare) quando, è di primo grado (o lineare) quando, in Forma Normale, si riduce ad un in Forma Normale, si riduce ad un binomio di primo grado. In questo binomio di primo grado. In questo caso la F.N. assume tale aspetto: caso la F.N. assume tale aspetto:

ax=b aax=b a≠0 a,b costanti x ≠0 a,b costanti x variabilevariabilea si dice coefficiente dell’incognitaa si dice coefficiente dell’incognitab si dice termine notob si dice termine noto

Page 51: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

2.2. aa≠0: ax=b eq. det. 1 sol. x=b/a≠0: ax=b eq. det. 1 sol. x=b/a

a=0, b=0: 0=0 eq. indet. a=0, b=0: 0=0 eq. indet. ∀∀xx

a=0, b≠0: 0=b eq. imp. a=0, b≠0: 0=b eq. imp. ∄∄ x x

3.3. Per raggiungere la F.N. occorre Per raggiungere la F.N. occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenzeequivalenza o le loro conseguenze

4.4. Raggiunta la forma normale la soluzione Raggiunta la forma normale la soluzione è sempre data da: x= termine noto è sempre data da: x= termine noto diviso coefficiente dell’incognitadiviso coefficiente dell’incognita

Page 52: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

5.5. Si elimina un termine o un gruppo Si elimina un termine o un gruppo di termini se hanno “stesso segno e di termini se hanno “stesso segno e parti opposte” oppure “stessa parte parti opposte” oppure “stessa parte e segno opposto”e segno opposto”

6.6. Fare la verifica di un’equazione Fare la verifica di un’equazione consiste nel sostituire la soluzione consiste nel sostituire la soluzione trovata al posto dell’incognita nel trovata al posto dell’incognita nel testo e controllare che soddisfi la testo e controllare che soddisfi la definizione di soluzionedefinizione di soluzione

Page 53: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI FRATTEEQUAZIONI FRATTE

E’ necessario mettere le condizioni perchè non solo E’ necessario mettere le condizioni perchè non solo bisogna indicare il dominio di una frazione bisogna indicare il dominio di una frazione algebrica ma anche il secondo principio permette algebrica ma anche il secondo principio permette di eliminare solo denominatori diversi da zero.di eliminare solo denominatori diversi da zero.

Esse si mettono guardando i denominatori di un Esse si mettono guardando i denominatori di un qualsiasi passaggio (dal testo alla soluzione).qualsiasi passaggio (dal testo alla soluzione).

Si mettono solo sui fattori letterali non scomponibili Si mettono solo sui fattori letterali non scomponibili (*) di primo grado (**). (*) di primo grado (**).

Trovata la soluzione bisogna fare il controllo Trovata la soluzione bisogna fare il controllo dell’accettabilità.dell’accettabilità.

(*) Infatti se un polinomio di grado superiore al (*) Infatti se un polinomio di grado superiore al primo non è scomponibile non si annulla in alcun primo non è scomponibile non si annulla in alcun numero razionale (se esistesse tale numero numero razionale (se esistesse tale numero sarebbe scomponibile con Ruffini!). sarebbe scomponibile con Ruffini!).

(**) inoltre una potenza è zero solo se la sua base è (**) inoltre una potenza è zero solo se la sua base è zero.zero.

Page 54: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI LETTERALIEQUAZIONI LETTERALI

In queste equazioni oltre all’incognita In queste equazioni oltre all’incognita compare anche un’altra lettera compare anche un’altra lettera (costante o parametro) al cui (costante o parametro) al cui variare varia anche la natura variare varia anche la natura dell’equazione (determinata, dell’equazione (determinata, indeterminata, impossibile) e della indeterminata, impossibile) e della soluzione (accettabile, non soluzione (accettabile, non accettabile).accettabile).

Page 55: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

1.1. Raggiungere la F.N. mettendo le Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*)presenti al denominatore (*)

2.2. Nella F.N. scomporre sia il Nella F.N. scomporre sia il coefficiente della x che il termine coefficiente della x che il termine notonoto

3.3. Mettere le condizioni sul coefficiente Mettere le condizioni sul coefficiente della x (**)della x (**)

4.4. Risolvere l’equazione x=b/aRisolvere l’equazione x=b/a

Page 56: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

5.5. Fare la discussioneFare la discussione(*) condizioni sui denominatori(*) condizioni sui denominatori

a) solo sul parametro (C.E.): a) solo sul parametro (C.E.): eq. perde significatoeq. perde significato

b) sull’incognita (C.A.): b) sull’incognita (C.A.): sol. non accettabilesol. non accettabile

(**) condizioni sul coefficiente dell’incognita(**) condizioni sul coefficiente dell’incognitaa) annulla anche il termine noto: a) annulla anche il termine noto:

eq. indeterminataeq. indeterminatab) non annulla il termine noto: b) non annulla il termine noto:

eq. impossibile eq. impossibile

Page 57: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

6.6. C.A. Bisogna confrontare la soluzione ottenuta con i C.A. Bisogna confrontare la soluzione ottenuta con i valori che la rendono non accettabile. Si tratta di valori che la rendono non accettabile. Si tratta di risolvere piccole equazioni in cui l’incognita è il risolvere piccole equazioni in cui l’incognita è il parametroparametroa) Se l’eq. sul parametro è di grado superiore al a) Se l’eq. sul parametro è di grado superiore al primo, si scrive nella forma P(a)=0, si scompone e primo, si scrive nella forma P(a)=0, si scompone e si applica la legge di annullamento del prodottosi applica la legge di annullamento del prodottob) Se l’eq. sul parametro è impossibile: soluzione b) Se l’eq. sul parametro è impossibile: soluzione sempre accettabilesempre accettabilec) Se l’eq. sul parametro è indeterminata: soluzione c) Se l’eq. sul parametro è indeterminata: soluzione mai accettabilemai accettabile

7.7. Doppioni:Doppioni:perde significato: perde significato: “vince sempre” “vince sempre”

eq. indet. / sol. non acc. : “tutte e due” eq. indet. / sol. non acc. : “tutte e due” eq. imp. / sol. non acc. : “impossibile” eq. imp. / sol. non acc. : “impossibile”

Page 58: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI DI SECONDO EQUAZIONI DI SECONDO GRADOGRADO

Una equazione in una sola incognita è Una equazione in una sola incognita è di secondo grado quando ridotta a di secondo grado quando ridotta a Forma Normale assume tale Forma Normale assume tale aspetto: aspetto:

axax22+bx+c=0 a+bx+c=0 a≠0 ≠0

a,b,c costanti x variabilea,b,c costanti x variabile

Page 59: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

1.1. b≠0, c≠0 b≠0, c≠0 axax22+bx+c=0 +bx+c=0 eq. eq. completacompleta

discriminante: discriminante: =b=b22-4ac-4ac

>0>0 due soluzioni reali e distintedue soluzioni reali e distinte

=0=0 due soluzioni reali e coincidentidue soluzioni reali e coincidenti

<0<0 nessuna soluzione reale nessuna soluzione reale

Page 60: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

2.2. b≠0, c=0b≠0, c=0 axax22+bx=0 +bx=0 eq. incompleta eq. incompleta spuriaspuria

due soluzioni reali di cui una uguale a zerodue soluzioni reali di cui una uguale a zero

• b=0, c≠0b=0, c≠0 axax22+c=0 +c=0 eq. incompleta puraeq. incompleta pura

a, c discordi: due soluzioni reali oppostea, c discordi: due soluzioni reali opposte

a, c concordi: nessuna soluzione realea, c concordi: nessuna soluzione reale

• b=0, c=0b=0, c=0 axax2 2 =0 =0 eq. monomiaeq. monomia

due soluzioni reali uguali a zerodue soluzioni reali uguali a zero

Page 61: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

5.5. xx11, x, x22 soluzioni reali soluzioni reali

s = xs = x11+x+x22 = -b/a = -b/a

p= xp= x11∙x∙x22 = c/a = c/a

F.N. xF.N. x22-sx+p=0 -sx+p=0

• xx11, x, x22 soluzioni reali soluzioni reali

axax22+bx+c = a(x-x+bx+c = a(x-x11)∙(x-x)∙(x-x22))

Page 62: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI PARAMETRICHEEQUAZIONI PARAMETRICHESi chiamano “parametri” le lettere contenute Si chiamano “parametri” le lettere contenute

in almeno un coefficiente di una equazione in almeno un coefficiente di una equazione letterale ed “equazioni parametriche” quelle letterale ed “equazioni parametriche” quelle in cui i coefficienti dipendono da uno o più in cui i coefficienti dipendono da uno o più parametri. Nelle equazioni parametriche si parametri. Nelle equazioni parametriche si cerca di risolvere il problema di determinare cerca di risolvere il problema di determinare , se possibile, quei particolari valori da , se possibile, quei particolari valori da attribuire al parametro affinché le soluzioni attribuire al parametro affinché le soluzioni dell’equazione verifichino determinate dell’equazione verifichino determinate condizioni. Generalmente ciò si risolve condizioni. Generalmente ciò si risolve ricorrendo alle relazioni tra coefficienti e ricorrendo alle relazioni tra coefficienti e soluzioni, mai risolvendo l’equazione.soluzioni, mai risolvendo l’equazione.

Page 63: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI DI GRADO EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDOSUPERIORE AL SECONDOSono equazioni aventi una Forma Normale Sono equazioni aventi una Forma Normale

del tipo P(x)=0 dove P(x) è un polinomio del tipo P(x)=0 dove P(x) è un polinomio di grado superiore al secondo. La loro di grado superiore al secondo. La loro soluzione si riconduce a quella di soluzione si riconduce a quella di equazioni di primo o di secondo grado.equazioni di primo o di secondo grado.

1.1. Eq. abbassabili di grado: F.N. P(x)=0. Si Eq. abbassabili di grado: F.N. P(x)=0. Si scompone P(x) in fattori di primo o di scompone P(x) in fattori di primo o di secondo grado, si risolve applicando la secondo grado, si risolve applicando la legge di annullamento del prodottolegge di annullamento del prodotto

Page 64: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

2.2. Eq. binomie: F.N. axEq. binomie: F.N. axnn+b=0.+b=0.

n parin pari

a,b concordi: nessuna soluzione realea,b concordi: nessuna soluzione reale

a,b discordi: due soluzioni reali a,b discordi: due soluzioni reali opposteopposte

n disparin dispari

una soluzione realeuna soluzione reale

Page 65: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

3.3. Eq. trinomie: F.N. axEq. trinomie: F.N. ax2n2n+bx+bxnn+c=0. Si +c=0. Si risolvono con un cambio di variabile risolvono con un cambio di variabile y=xy=xnn..

Casi particolariCasi particolari

eq. biquadratiche: axeq. biquadratiche: ax44+bx+bx22+c=0+c=0

eq. del tipo: a(…)eq. del tipo: a(…)2n2n+b(…)+b(…)nn+c=0+c=0

Page 66: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

EQUAZIONI IRRAZIONALIEQUAZIONI IRRAZIONALI

Si dice irrazionale un’equazione in cui Si dice irrazionale un’equazione in cui l’incognita compare sotto radice. l’incognita compare sotto radice.

I radicali con indice pari sono da considerarsi I radicali con indice pari sono da considerarsi aritmetici, quelli con indice dispari aritmetici, quelli con indice dispari algebrici.algebrici.

Teorema: elevando ad uno stesso esponente Teorema: elevando ad uno stesso esponente i due membri di un’equazione se ne i due membri di un’equazione se ne ottiene un’altra il cui insieme soluzione ottiene un’altra il cui insieme soluzione contiene quello dell’equazione di partenza.contiene quello dell’equazione di partenza.

Page 67: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

Primo caso: un radicalePrimo caso: un radicale1.1. Isolare il radicale con il segno positivoIsolare il radicale con il segno positivo2.2. Elevare a potenza entrambi i membriElevare a potenza entrambi i membri3.3. Risolvere l’equazione ottenutaRisolvere l’equazione ottenuta4.4. Verificare l’accettabilità della soluzione Verificare l’accettabilità della soluzione

sostituendo il valore trovato nel testo.sostituendo il valore trovato nel testo.Secondo caso: due radicaliSecondo caso: due radicali1.1. Isolare un radicale con il segno positivoIsolare un radicale con il segno positivo2.2. Elevare a potenza entrambi i membriElevare a potenza entrambi i membri3.3. Proseguire come nel primo casoProseguire come nel primo caso

Page 68: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

Terzo caso: tre o quattro radicaliTerzo caso: tre o quattro radicali

1.1. Isolare due radicaliIsolare due radicali

2.2. Elevare a potenza entrambi i Elevare a potenza entrambi i membrimembri

3.3. Proseguire come nel secondo casoProseguire come nel secondo caso

MENU

Page 69: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

5. SISTEMI5. SISTEMI

• Sistemi lineariSistemi lineari

• Metodo di sostituzioneMetodo di sostituzione

• Metodo di confrontoMetodo di confronto

• Metodo di addizioneMetodo di addizione

• Metodo di Metodo di CramerCramer

• Metodo graficoMetodo grafico

• Sistemi letteraliSistemi letterali MENU

Page 70: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SISTEMI LINEARISISTEMI LINEARI

1.1. Raggiungere la Forma NormaleRaggiungere la Forma Normale2.2. Applicare un metodo di soluzione: tre metodi Applicare un metodo di soluzione: tre metodi

(sostituzione, addizione, confronto) hanno come (sostituzione, addizione, confronto) hanno come scopo quello di ottenere un’equazione con una scopo quello di ottenere un’equazione con una sola incognita; quello di Cramer è un metodo sola incognita; quello di Cramer è un metodo “meccanico”; quello grafico consiste nel “meccanico”; quello grafico consiste nel rappresentare nel piano cartesiano le equazioni rappresentare nel piano cartesiano le equazioni e la soluzione del sistema.e la soluzione del sistema.

3.3. a/aa/a11≠≠b/bb/b11 sistema determinatosistema determinato

a/aa/a11==b/bb/b11≠≠c/cc/c11 sistema impossibilesistema impossibile

a/aa/a11==b/bb/b11= c/c= c/c11sistema indeterminatosistema indeterminato

Page 71: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

METODO DI SOSTITUZIONEMETODO DI SOSTITUZIONE

1.1. Raggiungere la F.N.Raggiungere la F.N.2.2. Ricavare un’incognita in una delle Ricavare un’incognita in una delle

due equazioni (a piacere) e due equazioni (a piacere) e sostituirlasostituirla nell’altra nell’altra

3.3. Risolvere l’equazione in una sola Risolvere l’equazione in una sola incognita così ottenuta al punto 2.incognita così ottenuta al punto 2.

4.4. Ricavare l’altra incognita sfruttando Ricavare l’altra incognita sfruttando l’altra equazione ottenuta al punto 2.l’altra equazione ottenuta al punto 2.

Page 72: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

METODO DI CONFRONTOMETODO DI CONFRONTO1.1. Raggiungere la F.N.Raggiungere la F.N.2.2. Ricavare la stessa incognita in entrambe le Ricavare la stessa incognita in entrambe le

equazioniequazioni3.3. Costruire un sistema avente come prima Costruire un sistema avente come prima

equazione quella ottenuta dal equazione quella ottenuta dal confrontoconfronto delle espressioni ottenute al punto 2., delle espressioni ottenute al punto 2., come seconda una delle due equazioni del come seconda una delle due equazioni del punto 2.punto 2.

4.4. Risolvere l’equazione in una sola incognita Risolvere l’equazione in una sola incognita così ottenuta al punto 3.così ottenuta al punto 3.

5.5. Ricavare l’altra incognita utilizzando l’altra Ricavare l’altra incognita utilizzando l’altra equazione del punto 3.equazione del punto 3.

Page 73: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

METODO DI ADDIZIONEMETODO DI ADDIZIONE1.1. Raggiungere la F.N.Raggiungere la F.N.2.2. Applicando il principio della moltiplicazione Applicando il principio della moltiplicazione

fare in modo che la stessa incognita abbia fare in modo che la stessa incognita abbia coefficiente opposto nelle due equazioni coefficiente opposto nelle due equazioni (m.c.m. dei coefficienti)(m.c.m. dei coefficienti)

3.3. SommareSommare termine a termine le due termine a termine le due equazioniequazioni

4.4. Risolvere l’equazione in una sola incognita Risolvere l’equazione in una sola incognita così ottenuta al punto 3.così ottenuta al punto 3.

5.5. Ricavare l’altra incognita utilizzando una Ricavare l’altra incognita utilizzando una delle due equazioni della F.N.delle due equazioni della F.N.

Page 74: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

METODO DI CRAMERMETODO DI CRAMER1.1. Raggiungere la F.N.Raggiungere la F.N.2.2. Calcolare D il determinante della matrice Calcolare D il determinante della matrice

dei coefficientidei coefficienti

3.3. Calcolare DCalcolare Dxx il determinante della matrice il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della xnoti alla colonna dei coefficienti della x

4.4. Calcolare DCalcolare Dyy il determinante della matrice il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della ynoti alla colonna dei coefficienti della y

5.5. Risolvere:Risolvere: x= Dx= Dx x / D/ D

y= Dy= Dy y / D/ D

Page 75: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

METODO GRAFICOMETODO GRAFICO

Si dimostra che una equazione di primo grado Si dimostra che una equazione di primo grado ha come rappresentazione grafica, nel ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta.piano cartesiano, una retta.

1.1. Raggiungere la F.N.Raggiungere la F.N.2.2. Disegnare le rette nel piano cartesianoDisegnare le rette nel piano cartesiano3.3. Individuare, se esiste, il punto di Individuare, se esiste, il punto di

intersezioneintersezione4.4. rette incidenti:rette incidenti: sistema determinatosistema determinato

rette coincidenti:rette coincidenti: sistema indeterminatosistema indeterminatorette parallele:rette parallele: sistema impossibilesistema impossibile

Page 76: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SISTEMI LETTERALISISTEMI LETTERALI

1.1. Raggiungere la F.N. mettendo le Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*) presenti al denominatore (*)

2.2. Risolvere il sistema con il metodo di Risolvere il sistema con il metodo di Cramer mettendo le condizioni sul Cramer mettendo le condizioni sul determinante della matrice dei determinante della matrice dei coefficienti (**)coefficienti (**)

Page 77: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

3.3. Fare la discussioneFare la discussione(*) condizioni sui denominatori(*) condizioni sui denominatori

a) solo sul parametro (C.E.): a) solo sul parametro (C.E.): sistema perde significatosistema perde significato

b) sull’incognita (C.A.): b) sull’incognita (C.A.): sol. non accettabilesol. non accettabile

(**) condizioni sul determinante della matrice (**) condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti: sostituire nelle F.N.dei coefficienti: sostituire nelle F.N.a) a) a/aa/a11=b/b=b/b11= c/c= c/c1 1 oo un’eq. indeterminata: un’eq. indeterminata:

sistema indeterminatosistema indeterminatob) b) a/aa/a11=b/b=b/b11≠c/c≠c/c11 o un’eq. impossibile: o un’eq. impossibile:

sistema impossibile sistema impossibile MENU

Page 78: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

6. DISEQUAZIONI6. DISEQUAZIONI

• Studio del segno di primo gradoStudio del segno di primo grado• Studio del segno di secondo gradoStudio del segno di secondo grado• Principi d’equivalenzaPrincipi d’equivalenza• DisequazioniDisequazioni di primo grado di primo grado• DisequazioniDisequazioni di secondo grado di secondo grado• DisequazioniDisequazioni fratte fratte• Sistemi di Sistemi di disequazionidisequazioni• DisequazioniDisequazioni di grado superiore al secondo di grado superiore al secondo• DisequazioniDisequazioni con valore assoluto con valore assoluto

MENU

Page 79: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

STUDIO DEL SEGNO DI STUDIO DEL SEGNO DI PRIMO GRADOPRIMO GRADOSi dimostra che una equazione di primo grado Si dimostra che una equazione di primo grado

y=ax+b ha come rappresentazione y=ax+b ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. grafica, nel piano cartesiano, una retta.

1.1. Risolvere l’equazione associata per Risolvere l’equazione associata per trovare il punto di intersezione tra la retta trovare il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle x (y=0)e l’asse delle x (y=0)

2.2. Disegnare la retta:Disegnare la retta:a>0a>0 retta crescenteretta crescentea=0a=0 retta parallela all’asse delle xretta parallela all’asse delle xa<0a<0 retta decrescenteretta decrescente

Page 80: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

STUDIO DEL SEGNO DI STUDIO DEL SEGNO DI SECONDO GRADOSECONDO GRADOSi dimostra che una equazione di secondo grado Si dimostra che una equazione di secondo grado

y=axy=ax22+bx+c ha come rappresentazione +bx+c ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una parabola.grafica, nel piano cartesiano, una parabola.

1.1. Risolvere l’equazione associata per trovare il Risolvere l’equazione associata per trovare il punto di intersezione tra la parabola e l’asse punto di intersezione tra la parabola e l’asse delle x (y=0)delle x (y=0)

2.2. Disegnare la parabola:Disegnare la parabola:>0>0 due punti di intersezionedue punti di intersezione=0=0 un punto di intersezioneun punto di intersezione<0<0 nessun punto di intersezionenessun punto di intersezionea>0 a>0 concavità verso l’altoconcavità verso l’altoa<0a<0 concavità verso il basso concavità verso il basso

Page 81: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

PRINCIPI D’EQUIVALENZAPRINCIPI D’EQUIVALENZA

1.1. Principio dell’addizione: sommando o Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione lo stesso valore o disequazione lo stesso valore o espressione si ottiene una disequazione espressione si ottiene una disequazione equivalente alla data.equivalente alla data.Conseguenze: Conseguenze: principio del trasportoprincipio del trasporto

legge di cancellazionelegge di cancellazionesecondo membro=0secondo membro=0

Page 82: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

2.2. Principio della moltiplicazione: Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per lo stesso membri di una disequazione per lo stesso valore o espressione maggiore di zero si valore o espressione maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente alla ottiene una disequazione equivalente alla data.data.

Conseguenze: Conseguenze:

cambiare i segni solo cambiando versocambiare i segni solo cambiando verso

eliminare i denominatori senza eliminare i denominatori senza variabilevariabile

dividere tutti i termini per valori dividere tutti i termini per valori positivipositivi

Page 83: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DISEQUAZIONI DI PRIMO DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADOGRADO1.1. Per risolvere Per risolvere occorre utilizzare le regole occorre utilizzare le regole

dello sviluppo delle espressioni e i due dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro principi di equivalenza o le loro conseguenzeconseguenze

2.2. Casi particolari. Se giunti a F.N. non Casi particolari. Se giunti a F.N. non compare più la x, è sufficiente chiedersi compare più la x, è sufficiente chiedersi se la relazione è vera o falsa:se la relazione è vera o falsa:

VV ∀∀xx

FF ∄∄xx

Page 84: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DISEQUAZIONI DI SECONDO DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADOGRADO

1.1. Raggiungere la F.N.Raggiungere la F.N.

2.2. Risolvere l’equazione associataRisolvere l’equazione associata

3.3. Disegnare la parabolaDisegnare la parabola

4.4. Decidere la soluzione confrontando Decidere la soluzione confrontando il disegno con il verso della il disegno con il verso della disequazionedisequazione

Page 85: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DISEQUAZIONI FRATTEDISEQUAZIONI FRATTE

1.1. Raggiungere la F.N. (secondo Raggiungere la F.N. (secondo membro=0)membro=0)

2.2. Fare lo studio del segno del numeratoreFare lo studio del segno del numeratore

3.3. Fare lo studio del segno del Fare lo studio del segno del denominatoredenominatore

4.4. Riportare i Riportare i segnisegni in uno stesso grafico in uno stesso grafico

5.5. Fare il prodotto dei Fare il prodotto dei segnisegni

6.6. Decidere la soluzione confrontando i Decidere la soluzione confrontando i segni del punto 5. con il verso della F.N. segni del punto 5. con il verso della F.N. del punto 1.del punto 1.

Page 86: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

SISTEMI DI DISEQUAZIONISISTEMI DI DISEQUAZIONI

1.1. Raggiungere la F.N. di ciascuna disequazioneRaggiungere la F.N. di ciascuna disequazione2.2. Preparare il sistema per le soluzioniPreparare il sistema per le soluzioni3.3. Risolvere direttamente le disequazioni di Risolvere direttamente le disequazioni di

primo gradoprimo grado4.4. Risolvere separatamente le disequazioni di Risolvere separatamente le disequazioni di

secondo grado o frattesecondo grado o fratte5.5. Riportare le soluzioni nel sistema del punto 2.Riportare le soluzioni nel sistema del punto 2.6.6. Riportare le Riportare le soluzionisoluzioni nello stesso grafico nello stesso grafico7.7. Fare l’intersezione delle Fare l’intersezione delle soluzionisoluzioni8.8. Scrivere la soluzioneScrivere la soluzione

Page 87: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DISEQUAZIONI DI GRADO DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDOSUPERIORE AL SECONDO1.1. Raggiungere la F.N. (primo membro Raggiungere la F.N. (primo membro

polinomio o frazione)polinomio o frazione)

2.2. Fare lo studio del Fare lo studio del segnosegno di ciascun fattore di ciascun fattore

3.3. Riportare i Riportare i segnisegni in uno stesso grafico in uno stesso grafico

4.4. Fare il prodotto dei segniFare il prodotto dei segni

5.5. Decidere la soluzione confrontando i segni Decidere la soluzione confrontando i segni del punto 4. con il verso della F.N. del del punto 4. con il verso della F.N. del punto 1.punto 1.

Page 88: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DISEQUAZIONI CON VALORI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTIASSOLUTI

1.1. Tenendo conto della definizione di valore Tenendo conto della definizione di valore assolutoassoluto

a, a>0a, a>0|a| =[|a| =[

-a, a<0-a, a<0trasformare la disequazione in due o trasformare la disequazione in due o quattro sistemi di disequazioniquattro sistemi di disequazioni

2.2. Risolvere separatamente i sistemiRisolvere separatamente i sistemi3.3. Fare l’unione delle soluzioniFare l’unione delle soluzioni

MENU

Page 89: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

7. GEOMETRIA7. GEOMETRIA

• Definire e dimostrareDefinire e dimostrare

• Principali teoremiPrincipali teoremi

• Algebra applicata alla geometriaAlgebra applicata alla geometria

MENU

Page 90: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

DEFINIRE E DIMOSTRAREDEFINIRE E DIMOSTRARE

DEFINIREDEFINIREPAROLEPAROLE

(“si dice…”)(“si dice…”)

DIMOSTRAREDIMOSTRAREPROPOSIZIONI PROPOSIZIONI IMPLICAZIONIIMPLICAZIONI

(“scende…”)(“scende…”)

nono

CONCETTI PRIMITIVICONCETTI PRIMITIVI

punto-retta-pianopunto-retta-piano

movimento rigidomovimento rigido

insieme-appartenenzainsieme-appartenenza

POSTULATI O ASSIOMIPOSTULATI O ASSIOMI

(scendono dall’intuizione)(scendono dall’intuizione)

sisi DEFINIZIONIDEFINIZIONI

TEOREMI-LEMMI-TEOREMI-LEMMI-COROLLARICOROLLARI

(scendono da definizioni, (scendono da definizioni, postulati, teoremi, ecc.)postulati, teoremi, ecc.)

Page 91: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

PRINCIPALI TEOREMI DELLA PRINCIPALI TEOREMI DELLA GEOMETRIAGEOMETRIA

Principali teoremi della geometriaPrincipali teoremi della geometria

(documento word)(documento word)

Page 92: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

ALGEBRA APPLICATA ALLA ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIAGEOMETRIA1.1. Fare disegno, hp, th Fare disegno, hp, th 2.2. Attribuire la x ad un elemento della Attribuire la x ad un elemento della

figurafigura3.3. Mettere le condizioni geometricheMettere le condizioni geometriche4.4. Individuare l’equazione che risolve Individuare l’equazione che risolve

l’eserciziol’esercizio5.5. Sostituire in funzione di x o dei dati Sostituire in funzione di x o dei dati

delle hp le misure degli elementi delle hp le misure degli elementi dell’equazionedell’equazione

Page 93: APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

6.6. Risolvere l’equazione mettendo Risolvere l’equazione mettendo anche eventuali condizioni anche eventuali condizioni algebrichealgebriche

7.7. Verificare l’accettabilità delle Verificare l’accettabilità delle soluzioni confrontandole sia con le soluzioni confrontandole sia con le condizioni geometriche sia con le condizioni geometriche sia con le condizioni algebrichecondizioni algebriche

8.8. Continuare l’esercizioContinuare l’esercizioMENU