Circui&incorrentealternata(AC)Grandezzealternate

correntealternata I,V:ampiezza ω:pulsazioneω=2πftensionealternata φ1,φ2faseiniziale,sfasamento

Δφ=φ1-φ2differenzadifasei-v

f=1/T(Hz) ω=2π/T(rad/s)

anAcipodifase:scorrimentoversosx

ritardodifase:scorrimentoversodx

Capitolo 2

Analisi dei circuiti in correntealternata

2.1 Grandezze alternate

Con il termine corrente o tensione alternata si indica una corrente o unatensione con una dipendenza sinusoidale dal tempo, del tipo:

i = i(t) = Isin(!t± 1)

v = v(t) = V sin(!t± 2)

dove I e V indicano l’ampiezza delle corrispondenti grandezze alternate, ! ela pulsazione, legata alla frequenza della sinusoide dalla relazione: ! = 2,1 e 2 sono le fasi iniziali ed il segno ± indica lo sfasamento dell’onda: ilsegno + indica, nel caso della tensione per esempio, che l’onda e in anticipodi 1 rispetto a V sin !t mentre il segno meno indica che l’onda e in ritardo di2 rispetto a V sin !t. Graficamente, un anticipo di fase corrisponde ad unatraslazione dell’onda lungo l’asse dei tempi verso sinistra di una quantita pariall’angolo , un ritardo di fase ad una traslazione verso destra, come indicatoin figura 2.1 nel secondo e terzo riquadro.

La di↵erenza = 1 2 indica la di↵erenza di fase tra la correntee la tensione, per esempio.

Il valor medio di una grandezza alternata e nullo:

v =1

T

ZT

0

v(t)dt =1

2

Z 2

0

V sin d = 0 = !t +

Si definisce valore ecace di una grandezza alternata la radice quadrata del

73

74CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.1:

ωT=2π

valormediodiunagrandezzaalternatasuunperiodo(osunperiodi)valoreefficacediunagrandezzaalternatarappresentazionediunagrandezzaalternata(casografico)puntosuunacirconferenzacheruotaconvelocita’angolarecostante ω

costante,insensoanAorario valoreistantaneodiv(t) proiezionedelpuntosuassey

secondoestremodiveIore inuncircuitoi,vhannolastessafdimoduloVconprimoestremo interessanosololerelazionidifaseinOinrotazioneconωcostante punArappresentaAviatfisso,t=0

Capitolo 2

Analisi dei circuiti in correntealternata

2.1 Grandezze alternate

Con il termine corrente o tensione alternata si indica una corrente o unatensione con una dipendenza sinusoidale dal tempo, del tipo:

i = i(t) = Isin(!t± 1)

v = v(t) = V sin(!t± 2)

dove I e V indicano l’ampiezza delle corrispondenti grandezze alternate, ! ela pulsazione, legata alla frequenza della sinusoide dalla relazione: ! = 2,1 e 2 sono le fasi iniziali ed il segno ± indica lo sfasamento dell’onda: ilsegno + indica, nel caso della tensione per esempio, che l’onda e in anticipodi 1 rispetto a V sin !t mentre il segno meno indica che l’onda e in ritardo di2 rispetto a V sin !t. Graficamente, un anticipo di fase corrisponde ad unatraslazione dell’onda lungo l’asse dei tempi verso sinistra di una quantita pariall’angolo , un ritardo di fase ad una traslazione verso destra, come indicatoin figura 2.1 nel secondo e terzo riquadro.

La di↵erenza = 1 2 indica la di↵erenza di fase tra la correntee la tensione, per esempio.

Il valor medio di una grandezza alternata e nullo:

v =1

T

ZT

0

v(t)dt =1

2

Z 2

0

V sin d = 0 = !t +

Si definisce valore ecace di una grandezza alternata la radice quadrata del

73

2.1. GRANDEZZE ALTERNATE 75

valore medio del quadrato:

Veff

=

s1

2

Z 2

0

V 2sin2 d =Vp2

Ieff

=Ip2

Una grandezza alternata, ad esempio v(t), e rappresentata, istante peristante, da un punto P su un cerchio di raggio V, come indicato in figura 6.2.Tale punto si muove sul cerchio con velocita angolare ! in senso antiorario;

Figura 2.2:

il valore istantaneo di v(t) e la proiezione del punto P sull’asse y. Esso puoanche essere considerato come il secondo estremo di un vettore di modulo V,con il primo estremo fisso nell’origine, in rotazione in senso antiorario convelocita angolare !.

Poiche in un circuito di solito interessano solo le relazioni di ampiezzae fase tra grandezze diverse (i, v) che hanno la stessa frequenza (e percio lastessa pulsazione), ci si puo limitare a considerare le posizioni fisse assuntedai punti rappresentativi (o vettori rappresentativi) ad un tempo scelto, peresempio a t=0.

x

y

PV

ωt+φ φO

x

y P

Oφ

a

b

V

76CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Il punto (o vettore) corrispondente ad una grandezza sinusoidale v =V sin !t puo essere rappresentato dalle sue proiezioni (o componenti) in unsistema di riferimento ad assi ortogonali (x, y), a e b, come mostrato in figura6.3.

Figura 2.3:

Il modo piu semplice per distinguere la componente y dalla compo-nente x e quello di moltiplicare il numero b per una funzione j che facciaruotare un vettore di modulo b di /2 in senso antiorario; j2 provochera unarotazione di (verso negativo dell’asse x), cioe cambiera a in a; j3 = jj2

ruotera di 3/2. Questo indica che e possibile identificare l’operatore j conil numero immaginario j =

p1 ed esprimere in forma algebrica il vettore v

come somma delle sue componenti nel piano complesso:

v = a + jb = V cos + j V sin = V ej

Le operazioni che coinvolgono grandezze alternate si possono in tal modoricondurre alla algebra dei numeri complessi.

Anche in questa rappresentazione non compare esplicitamente la ve-locita di rotazione !; in realta, poiche la fase all’istante t vale !t + , si puotenerne conto in forma piu generale esprimendo:

v = V ej(!t+) = V ejej!t

dove il fattore moltiplicativo ej!t, che tiene conto della componente tempo-rale della fase, e un numero complesso di modulo 1 e viene abitualmentesottointeso nei calcoli.

76CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Il punto (o vettore) corrispondente ad una grandezza sinusoidale v =V sin !t puo essere rappresentato dalle sue proiezioni (o componenti) in unsistema di riferimento ad assi ortogonali (x, y), a e b, come mostrato in figura6.3.

Figura 2.3:

Il modo piu semplice per distinguere la componente y dalla compo-nente x e quello di moltiplicare il numero b per una funzione j che facciaruotare un vettore di modulo b di /2 in senso antiorario; j2 provochera unarotazione di (verso negativo dell’asse x), cioe cambiera a in a; j3 = jj2

ruotera di 3/2. Questo indica che e possibile identificare l’operatore j conil numero immaginario j =

p1 ed esprimere in forma algebrica il vettore v

come somma delle sue componenti nel piano complesso:

v = a + jb = V cos + j V sin = V ej

Le operazioni che coinvolgono grandezze alternate si possono in tal modoricondurre alla algebra dei numeri complessi.

Anche in questa rappresentazione non compare esplicitamente la ve-locita di rotazione !; in realta, poiche la fase all’istante t vale !t + , si puotenerne conto in forma piu generale esprimendo:

v = V ej(!t+) = V ejej!t

dove il fattore moltiplicativo ej!t, che tiene conto della componente tempo-rale della fase, e un numero complesso di modulo 1 e viene abitualmentesottointeso nei calcoli.

richiamisuinumericomplessi2.1. GRANDEZZE ALTERNATE 77

2.1.1 Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione di un numero complesso z

– mediante la parte reale (a) e la parte immaginaria (b):

z = a + jb

– mediante il modulo (Z) e la fase ():

z = Zej

modulo e parti reale ed immaginaria sono legati dalla relazione Z2 = a2 + b2

e dalla formula di Eulero:

ej = cos + jsin

si ha che tg = b/a.Somma di due numeri complessi z1 e z2

z = z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

quindi, se z = a + jb:

a = a1 + a2 b = b1 + b2

Prodotto di due numeri complessi: x = Xej e y = Y ej

z = xy = XY ei(+)

quindi, se z = Zej:Z = XY = +

Quest’ultima relazione indica che la moltiplicazione di due numeri complessimodi-fica la fase: infatti la fase del prodotto z e diversa dalla fase di ciascunodei fattori ed e pari alla somma delle due fasi. Se uno dei fattori e reale, peresempio x, = 0 e la fase di z resta uguale a quella dell’altro fattore, y:quindi moltiplicare un numero complesso per un numero reale non modificala fase.Rapporto tra due numeri complessi: x = Xej e y = Y ej

z = x/y = X/Y ej()

quindi, se z = Zej:Z = X/Y =

2.1. GRANDEZZE ALTERNATE 77

2.1.1 Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione di un numero complesso z

– mediante la parte reale (a) e la parte immaginaria (b):

z = a + jb

– mediante il modulo (Z) e la fase ():

z = Zej

modulo e parti reale ed immaginaria sono legati dalla relazione Z2 = a2 + b2

e dalla formula di Eulero:

ej = cos + jsin

si ha che tg = b/a.Somma di due numeri complessi z1 e z2

z = z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

quindi, se z = a + jb:

a = a1 + a2 b = b1 + b2

Prodotto di due numeri complessi: x = Xej e y = Y ej

z = xy = XY ei(+)

quindi, se z = Zej:Z = XY = +

Quest’ultima relazione indica che la moltiplicazione di due numeri complessimodi-fica la fase: infatti la fase del prodotto z e diversa dalla fase di ciascunodei fattori ed e pari alla somma delle due fasi. Se uno dei fattori e reale, peresempio x, = 0 e la fase di z resta uguale a quella dell’altro fattore, y:quindi moltiplicare un numero complesso per un numero reale non modificala fase.Rapporto tra due numeri complessi: x = Xej e y = Y ej

z = x/y = X/Y ej()

quindi, se z = Zej:Z = X/Y =

78CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi mo-difica la fase: infatti la fase del rapporto z e diversa dalla fase di ciascunodei fattori ed e pari alla di↵erenza delle due fasi. Se il denominatore e reale(cioe =0), la fase di z resta uguale a quella del numeratore ( = ): quindidividere per un numero reale non modifica la fase. Se invece il numeratoree reale (cioe =0), la fase di z e uguale a quella del denominatore cambiatadi segno: quindi dividere un numero reale per un numero complesso significacambiare il segno della fase di quest’ultimo ( = ).

2.2 Componenti di circuito in regime sinusoi-

dale

ResistenzaIstante per istante la corrente che percorre una resistenza R e la

tensione ai suoi capi sono legate dalla legge di Ohm:

v = Ri

Sev = V sin (!t + )

sarai = I sin (!t + )

con I = V/R.Corrente e tensione nella resistenza sono in fase (=0)

come mostrato nella figura 2.4

CapacitaLa quantita di carica q sulle armature di un condensatore di ca-

pacita C e proporzionale alla di↵erenza di potenziale tra le armature stesse,V

C

:q = CV

C

Una variazione della tensione corrispondera ad una corrente (derivando):

iC

= CdV

C

dt

dove si e assunto che C non dipenda dal tempo, come avviene normalmente.Pertanto se:

vC

= V sin !t

Componen&dicircuitoinregimesinusoidale

78CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi mo-difica la fase: infatti la fase del rapporto z e diversa dalla fase di ciascunodei fattori ed e pari alla di↵erenza delle due fasi. Se il denominatore e reale(cioe =0), la fase di z resta uguale a quella del numeratore ( = ): quindidividere per un numero reale non modifica la fase. Se invece il numeratoree reale (cioe =0), la fase di z e uguale a quella del denominatore cambiatadi segno: quindi dividere un numero reale per un numero complesso significacambiare il segno della fase di quest’ultimo ( = ).

2.2 Componenti di circuito in regime sinusoi-

dale

ResistenzaIstante per istante la corrente che percorre una resistenza R e la

tensione ai suoi capi sono legate dalla legge di Ohm:

v = Ri

Sev = V sin (!t + )

sarai = I sin (!t + )

con I = V/R.Corrente e tensione nella resistenza sono in fase (=0)

come mostrato nella figura 2.4

CapacitaLa quantita di carica q sulle armature di un condensatore di ca-

pacita C e proporzionale alla di↵erenza di potenziale tra le armature stesse,V

C

:q = CV

C

Una variazione della tensione corrispondera ad una corrente (derivando):

iC

= CdV

C

dt

dove si e assunto che C non dipenda dal tempo, come avviene normalmente.Pertanto se:

vC

= V sin !t

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 79

Figura 2.4:

dove si considera nulla la fase iniziale della tensione in quanto si e interessatia valutare sfasamenti rispetto ad essa (essa viene cioe considerata come fase

di riferimento), sara:

iC

= !CV cos !t = Isin(!t +

2)

L’ampiezza della corrente e !C volte quella della tensione; la corrente ri-sulta in anticipo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione e nulla eviceversa, come indicato in figura 2.5.

In forma complessa si avra:

iC

= Cdv

C

dt= ! C v

C

ej/2 = j ! C vC

da cui si puo ricavare:

vC

=j

C!iC

=iC

C!ej/2

E sottointeso per entrambe un fattore di fase ei!t. Introducendo la impe-denza capacitiva z

C

:

zC

=j

C!=

1

j!C=

1

!Cej/2

ωt

VI

78CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi mo-difica la fase: infatti la fase del rapporto z e diversa dalla fase di ciascunodei fattori ed e pari alla di↵erenza delle due fasi. Se il denominatore e reale(cioe =0), la fase di z resta uguale a quella del numeratore ( = ): quindidividere per un numero reale non modifica la fase. Se invece il numeratoree reale (cioe =0), la fase di z e uguale a quella del denominatore cambiatadi segno: quindi dividere un numero reale per un numero complesso significacambiare il segno della fase di quest’ultimo ( = ).

2.2 Componenti di circuito in regime sinusoi-

dale

ResistenzaIstante per istante la corrente che percorre una resistenza R e la

tensione ai suoi capi sono legate dalla legge di Ohm:

v = Ri

Sev = V sin (!t + )

sarai = I sin (!t + )

con I = V/R.Corrente e tensione nella resistenza sono in fase (=0)

come mostrato nella figura 2.4

CapacitaLa quantita di carica q sulle armature di un condensatore di ca-

pacita C e proporzionale alla di↵erenza di potenziale tra le armature stesse,V

C

:q = CV

C

Una variazione della tensione corrispondera ad una corrente (derivando):

iC

= CdV

C

dt

dove si e assunto che C non dipenda dal tempo, come avviene normalmente.Pertanto se:

vC

= V sin !t

zR=Rnondipendedaω

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 79

Figura 2.4:

dove si considera nulla la fase iniziale della tensione in quanto si e interessatia valutare sfasamenti rispetto ad essa (essa viene cioe considerata come fase

di riferimento), sara:

iC

= !CV cos !t = Isin(!t +

2)

L’ampiezza della corrente e !C volte quella della tensione; la corrente ri-sulta in anticipo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione e nulla eviceversa, come indicato in figura 2.5.

In forma complessa si avra:

iC

= Cdv

C

dt= ! C v

C

ej/2 = j ! C vC

da cui si puo ricavare:

vC

=j

C!iC

=iC

C!ej/2

E sottointeso per entrambe un fattore di fase ei!t. Introducendo la impe-denza capacitiva z

C

:

zC

=j

C!=

1

j!C=

1

!Cej/2

80CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC

=1

C!

prende il nome di reattanza capacitiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un condensatore nella forma complessa:

vC

= zC

iC

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per la ca-pacita.

InduttanzaUna variazione della corrente che percorre una bobina di indut-

tanza L provoca, tra i terminali della bobina, una forza controelettromotrice

proporzionale alla variazione per unita di tempo della corrente:

EL

= Ldi

dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL

tende ad opporsi alla causadella variazione di corrente. Se la causa e, ad esempio, un generatore ditensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL

= V sin !t

80CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC

=1

C!

prende il nome di reattanza capacitiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un condensatore nella forma complessa:

vC

= zC

iC

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per la ca-pacita.

InduttanzaUna variazione della corrente che percorre una bobina di indut-

tanza L provoca, tra i terminali della bobina, una forza controelettromotrice

proporzionale alla variazione per unita di tempo della corrente:

EL

= Ldi

dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL

tende ad opporsi alla causadella variazione di corrente. Se la causa e, ad esempio, un generatore ditensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL

= V sin !t

ωt

VcIc

π/2

zCdipendedaω

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 81

Figura 2.6:

tale tensione sara legata ad ogni istante t alla corrente che percorre l’indut-tanza dalla relazione:

vL

= Ldi

dt

Questo valore rappresenta una caduta di tensione su una induttanza Lpercorsa dalla corrente i

L

. Integrando si ottiene:

iL

=1

L

Zt

0

vL

dt =V

!Lcos !t = I sin (!t /2)

l’ampiezza della corrente e 1/!L volte quella della tensione; la correnterisulta in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione e nulla eviceversa, come indicato in figura 2.6. In forma complessa si avra:

iL

=v

L

zL

=v

L

L!ej/2 =

jvL

L!

da cui si puo ricavare:

vL

= iL

L! ej/2 = jL! iL

E sottointeso per entrambe un fattore di fase ei!t. Introducendo la impe-denza induttiva z

L

:z

L

= jL! = L!ej/2

80CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC

=1

C!

prende il nome di reattanza capacitiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un condensatore nella forma complessa:

vC

= zC

iC

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per la ca-pacita.

InduttanzaUna variazione della corrente che percorre una bobina di indut-

tanza L provoca, tra i terminali della bobina, una forza controelettromotrice

proporzionale alla variazione per unita di tempo della corrente:

EL

= Ldi

dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL

tende ad opporsi alla causadella variazione di corrente. Se la causa e, ad esempio, un generatore ditensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL

= V sin !t

80CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC

=1

C!

prende il nome di reattanza capacitiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un condensatore nella forma complessa:

vC

= zC

iC

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per la ca-pacita.

InduttanzaUna variazione della corrente che percorre una bobina di indut-

tanza L provoca, tra i terminali della bobina, una forza controelettromotrice

proporzionale alla variazione per unita di tempo della corrente:

EL

= Ldi

dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL

tende ad opporsi alla causadella variazione di corrente. Se la causa e, ad esempio, un generatore ditensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL

= V sin !t

tensione

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:X

L

= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

vL

= zL

iL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’indut-tore.

Principi di Kirchho↵ generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed

avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi deicircuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai compo-nenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolarel’impedenza equivalente

zeq

= Zejeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delleresistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se ilpotenziale di ingresso e:

vin

= V ej!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =v

in

zeq

=V

Zej(!teq) = Iej(!teq) ! Iejeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:X

L

= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

vL

= zL

iL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’indut-tore.

Principi di Kirchho↵ generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed

avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi deicircuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai compo-nenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolarel’impedenza equivalente

zeq

= Zejeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delleresistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se ilpotenziale di ingresso e:

vin

= V ej!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =v

in

zeq

=V

Zej(!teq) = Iej(!teq) ! Iejeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:X

L

= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

vL

= zL

iL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’indut-tore.

Principi di Kirchho↵ generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed

avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi deicircuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai compo-nenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolarel’impedenza equivalente

zeq

= Zejeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delleresistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se ilpotenziale di ingresso e:

vin

= V ej!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =v

in

zeq

=V

Zej(!teq) = Iej(!teq) ! Iejeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:X

L

= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

vL

= zL

iL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’indut-tore.

Principi di Kirchho↵ generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed

avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi deicircuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai compo-nenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolarel’impedenza equivalente

zeq

= Zejeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delleresistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se ilpotenziale di ingresso e:

vin

= V ej!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =v

in

zeq

=V

Zej(!teq) = Iej(!teq) ! Iejeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 81

Figura 2.6:

tale tensione sara legata ad ogni istante t alla corrente che percorre l’indut-tanza dalla relazione:

vL

= Ldi

dt

Questo valore rappresenta una caduta di tensione su una induttanza Lpercorsa dalla corrente i

L

. Integrando si ottiene:

iL

=1

L

Zt

0

vL

dt =V

!Lcos !t = I sin (!t /2)

l’ampiezza della corrente e 1/!L volte quella della tensione; la correnterisulta in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione e nulla eviceversa, come indicato in figura 2.6. In forma complessa si avra:

iL

=v

L

zL

=v

L

L!ej/2 =

jvL

L!

da cui si puo ricavare:

vL

= iL

L! ej/2 = jL! iL

E sottointeso per entrambe un fattore di fase ei!t. Introducendo la impe-denza induttiva z

L

:z

L

= jL! = L!ej/2

ωt

VcIc

π/2

zLdipendedaω

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:X

L

= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

vL

= zL

iL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’indut-tore.

Principi di Kirchho↵ generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed

avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi deicircuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai compo-nenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolarel’impedenza equivalente

zeq

= Zejeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delleresistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se ilpotenziale di ingresso e:

vin

= V ej!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =v

in

zeq

=V

Zej(!teq) = Iej(!teq) ! Iejeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:X

L

= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si puo esprimere la relazione tratensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

vL

= zL

iL

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’indut-tore.

Principi di Kirchho↵ generalizzatiAvendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed

avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi deicircuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai compo-nenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolarel’impedenza equivalente

zeq

= Zejeq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delleresistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se ilpotenziale di ingresso e:

vin

= V ej!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i =v

in

zeq

=V

Zej(!teq) = Iej(!teq) ! Iejeq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V VR C

R C

Figura 2.7:

serie2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 83

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zC

= R j

!C

Z =

s

R2 +

1

!C

2

, tg eq

=X

C

R=

1

!RC

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zeq

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi della capacita e:

vC

= izC

= vz

C

zeq

= V1

!CZej(eq+/2)

VC

= V1

!CZ

C

= eq

/2

Circuito RL (figura 2.8)

a b c

IR L

V VR L

Figura 2.8:

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zL

= R + j!L

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 83

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zC

= R j

!C

Z =

s

R2 +

1

!C

2

, tg eq

=X

C

R=

1

!RC

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zeq

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi della capacita e:

vC

= izC

= vz

C

zeq

= V1

!CZej(eq+/2)

VC

= V1

!CZ

C

= eq

/2

Circuito RL (figura 2.8)

a b c

IR L

V VR L

Figura 2.8:

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zL

= R + j!L

serie

84CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Z =p

R2 + (!L)2, tg eq

=X

L

R=

!L

R

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zL

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi dell’induttanza e:

vL

= izL

= vz

L

zeq

= V!L

Zej(eq/2)

VL

= V!L

Z

L

= eq

+ /2

Circuito RLC in serie (figura 2.9)

a b c d

I R LC

V V VR L C

Figura 2.9:

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zL

+ zC

= R + j(!L 1

!C

Z =

s

R2 +

!L 1

!C

2

, tg eq

=X

L

+ XC

R=

!L 1!C

R

84CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Z =p

R2 + (!L)2, tg eq

=X

L

R=

!L

R

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zL

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi dell’induttanza e:

vL

= izL

= vz

L

zeq

= V!L

Zej(eq/2)

VL

= V!L

Z

L

= eq

+ /2

Circuito RLC in serie (figura 2.9)

a b c d

I R LC

V V VR L C

Figura 2.9:

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zL

+ zC

= R + j(!L 1

!C

Z =

s

R2 +

!L 1

!C

2

, tg eq

=X

L

+ XC

R=

!L 1!C

R

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 85

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zeq

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi dell’induttanza e:

vL

= izL

= vz

L

zeq

= V!L

Zej(eq/2)

VL

= V!L

Z

L

= eq

+ /2

la tensione ai capi della capacita e:

vC

= izC

= vz

C

zeq

= V1

!CZej(eq+/2)

VC

= V1

!CZ

C

= eq

/2

Circuito RLC in parallelo (figura 2.10)

IR

L C

V

V

R

LC

Figura 2.10:

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 85

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zeq

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi dell’induttanza e:

vL

= izL

= vz

L

zeq

= V!L

Zej(eq/2)

VL

= V!L

Z

L

= eq

+ /2

la tensione ai capi della capacita e:

vC

= izC

= vz

C

zeq

= V1

!CZej(eq+/2)

VC

= V1

!CZ

C

= eq

/2

Circuito RLC in parallelo (figura 2.10)

IR

L C

V

V

R

LC

Figura 2.10:

86CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Conviene calcolare prima l’impedenza equivalente zLC

del paral-lelo LC e poi sommarla a R per avere l’impedenza totale equivalente z

eq

.L’impedenza z

LC

e immaginaria pura ma la sua fase, LC

, ha un segno chedipende da !, e precisamente

LC

= /2 se !2 > 1/LC mentre LC

= +/2se !2 < 1/LC:

1

zLC

=1

zL

+1

zC

= j

1

!L !C

= j

1 !2LC

!L

zLC

= j!L

1 !2LC

ZLC

=!L

1 !2LC,

LC

= ±/2

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zLC

= R + j!L

1 !2LC

Z =

s

R2 +

!L

1 !2LC

2

, tg eq

=!L

R(1 !2LC)

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zeq

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi del parallelo e:

vLC

= izLC

= vin

zLC

zeq

= VZ

LC

Zej(eqLC)

la corrente nell’induttanza e:

iL

=v

LC

zL

= VZ

LC

Z!Lej(eqLC+/2)

86CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Conviene calcolare prima l’impedenza equivalente zLC

del paral-lelo LC e poi sommarla a R per avere l’impedenza totale equivalente z

eq

.L’impedenza z

LC

e immaginaria pura ma la sua fase, LC

, ha un segno chedipende da !, e precisamente

LC

= /2 se !2 > 1/LC mentre LC

= +/2se !2 < 1/LC:

1

zLC

=1

zL

+1

zC

= j

1

!L !C

= j

1 !2LC

!L

zLC

= j!L

1 !2LC

ZLC

=!L

1 !2LC,

LC

= ±/2

L’impedenza equivalente e:

zeq

= R + zLC

= R + j!L

1 !2LC

Z =

s

R2 +

!L

1 !2LC

2

, tg eq

=!L

R(1 !2LC)

La corrente risulta:

i =v

in

zeq

=V

Zej eq

I =V

Z,

i

= eq

la tensione ai capi della resistenza e:

vR

= iR = vin

R

zeq

= VR

Zej eq

VR

= IR = VR

Z

R

= eq

la tensione ai capi del parallelo e:

vLC

= izLC

= vin

zLC

zeq

= VZ

LC

Zej(eqLC)

la corrente nell’induttanza e:

iL

=v

LC

zL

= VZ

LC

Z!Lej(eqLC+/2)2.3. ESERCIZI 87

IL

= VZ

LC

Z!L

iL = eq

+ LC

/2

la corrente nella capacita e:

iC

=v

LC

zC

= VZ

LC

!C

Zej(eqLC/2)

IC

= VZ

LC

!C

Z

iC = eq

+ LC

+ /2

2.3 Esercizi

Vediamo alcuni esercizi sul calcolo di impedenze equivalenti e sulla applica-zione dei teoremi delle reti lineari nel caso di regime alternato.

• Esercizio 1

R

CR

L

A B

Figura 2.11:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentato infigura 2.11 , assumendo che la resistenza valga R = 500 , la capacitavalga C = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternataapplicata agli estremi A e B abbia una frequenza: a) = 50 Hz, b) = 5000 Hz, c) = 500000 Hz.

zeq

=R

j

!C

R j

!C

+R(j!L)

R + j!L

=jR

R!C j+

jR!L

R + j!L

=jR(R!L + j)

R2!2C2 + 1+

jR!L(R j!L)

R2 + !2L2

=

R

R2!2C2 + 1+

R!2L2

R2 + !2L2

+ j

R2!L

R2 + !2L2 R2!C

R2!2C2 + 1

RLCforzatorisonante

2.3. ESERCIZI 87

IL

= VZ

LC

Z!L

iL = eq

+ LC

/2

la corrente nella capacita e:

iC

=v

LC

zC

= VZ

LC

!C

Zej(eqLC/2)

IC

= VZ

LC

!C

Z

iC = eq

+ LC

+ /2

2.3 Esercizi

Vediamo alcuni esercizi sul calcolo di impedenze equivalenti e sulla applica-zione dei teoremi delle reti lineari nel caso di regime alternato.

• Esercizio 1

R

CR

L

A B

Figura 2.11:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentato infigura 2.11 , assumendo che la resistenza valga R = 500 , la capacitavalga C = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternataapplicata agli estremi A e B abbia una frequenza: a) = 50 Hz, b) = 5000 Hz, c) = 500000 Hz.

zeq

=R

j

!C

R j

!C

+R(j!L)

R + j!L

=jR

R!C j+

jR!L

R + j!L

=jR(R!L + j)

R2!2C2 + 1+

jR!L(R j!L)

R2 + !2L2

=

R

R2!2C2 + 1+

R!2L2

R2 + !2L2

+ j

R2!L

R2 + !2L2 R2!C

R2!2C2 + 1

88CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Scrivendo:z

eq

= Re(zeq

) + jIm(zeq

)

e ricordando che:

Zeq

=q

Re2(zeq

) + Im2(zeq

), tg eq

=Im(z

eq

)

Re(zeq

)

si ottiene la presente tabella.

(Hz) ! Re(zeq

) () Im(zeq

) () Z () eq

(gradi)50 102 449 -18 449 -2.3

5 103 104 500 1.6 500 0.185 105 104 500 0.016 500 0.0018

Come si puo vedere, tanto il valore del modulo dell’impedenza quantola sua fase dipendono dalla frequenza della tensione applicata.

• Esercizio 2

L

C

R

A B

Figura 2.12:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentatoin figura 2.3 , assumendo che la resistenza valga R = 500 , la capacitavalga C = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternataapplicata agli estremi A e B abbia una frequenza = 50 Hz (! =100).

zeq

= j!L +R

j

!C

R l

!C

= j!L jR

R!C j· R!C + j

R!C + j

= j!L jR2!C R

R2!2C2 + 1

88CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Scrivendo:z

eq

= Re(zeq

) + jIm(zeq

)

e ricordando che:

Zeq

=q

Re2(zeq

) + Im2(zeq

), tg eq

=Im(z

eq

)

Re(zeq

)

si ottiene la presente tabella.

(Hz) ! Re(zeq

) () Im(zeq

) () Z () eq

(gradi)50 102 449 -18 449 -2.3

5 103 104 500 1.6 500 0.185 105 104 500 0.016 500 0.0018

Come si puo vedere, tanto il valore del modulo dell’impedenza quantola sua fase dipendono dalla frequenza della tensione applicata.

• Esercizio 2

L

C

R

A B

Figura 2.12:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentatoin figura 2.3 , assumendo che la resistenza valga R = 500 , la capacitavalga C = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternataapplicata agli estremi A e B abbia una frequenza = 50 Hz (! =100).

zeq

= j!L +R

j

!C

R l

!C

= j!L jR

R!C j· R!C + j

R!C + j

= j!L jR2!C R

R2!2C2 + 1

RωC

88CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Scrivendo:z

eq

= Re(zeq

) + jIm(zeq

)

e ricordando che:

Zeq

=q

Re2(zeq

) + Im2(zeq

), tg eq

=Im(z

eq

)

Re(zeq

)

si ottiene la presente tabella.

(Hz) ! Re(zeq

) () Im(zeq

) () Z () eq

(gradi)50 102 449 -18 449 -2.3

5 103 104 500 1.6 500 0.185 105 104 500 0.016 500 0.0018

Come si puo vedere, tanto il valore del modulo dell’impedenza quantola sua fase dipendono dalla frequenza della tensione applicata.

• Esercizio 2

L

C

R

A B

Figura 2.12:

Si calcoli l’impedenza equivalente del tratto di circuito rappresentatoin figura 2.3 , assumendo che la resistenza valga R = 500 , la capacitavalga C = 5 µF , l’induttanza valga L = 1 H e che la tensione alternataapplicata agli estremi A e B abbia una frequenza = 50 Hz (! =100).

zeq

= j!L +R

j

!C

R l

!C

= j!L jR

R!C j· R!C + j

R!C + j

= j!L jR2!C R

R2!2C2 + 12.3. ESERCIZI 89

=R

R2!2C2 + 1+ j

!L R2!C

R2!2C2 + 1

= (309.2 + j71.3)

Z = 317.3 , eq

= atg71.3

309.2' 13

• Esercizio 3

Nel circuiti mostrati nelle figure 2.3 e 2.3 si ha R = 500 , C = 5 µFe L = 1 H, il generatore ha V

eff

= 120V e = 50 Hz (! = 100). Sicalcoli il valore ecace dell’intensita della corrente totale erogata e losfasamento tra quest’ultima e la tensione del generatore.

E

R

C L

Figura 2.13:

Per il circuito di figura 2.3 :

zeq

= R +j!L

1

j!C

j!L 1

!C

= R +L!

j(!2LC 1)· j

j

= R +jL!

1 !2LC= (500 + j616)

Z =p

5002 + 6162 = 793, eq

= atg616

500= 50.9

Ieff

=V

eff

Z= 0.15A,

i

= eq

= 50.9

Per il circuito di figura 2.3 , invece:

zeq

= j

!C+

R(j!L)

R + j!L= j

!C+

jR!L

R + j!L· R j!L

R j!L

j

2.3. ESERCIZI 89

=R

R2!2C2 + 1+ j

!L R2!C

R2!2C2 + 1

= (309.2 + j71.3)

Z = 317.3 , eq

= atg71.3

309.2' 13

• Esercizio 3

Nel circuiti mostrati nelle figure 2.3 e 2.3 si ha R = 500 , C = 5 µFe L = 1 H, il generatore ha V

eff

= 120V e = 50 Hz (! = 100). Sicalcoli il valore ecace dell’intensita della corrente totale erogata e losfasamento tra quest’ultima e la tensione del generatore.

E

R

C L

Figura 2.13:

Per il circuito di figura 2.3 :

zeq

= R +j!L

1

j!C

j!L 1

!C

= R +L!

j(!2LC 1)· j

j

= R +jL!

1 !2LC= (500 + j616)

Z =p

5002 + 6162 = 793, eq

= atg616

500= 50.9

Ieff

=V

eff

Z= 0.15A,

i

= eq

= 50.9

Per il circuito di figura 2.3 , invece:

zeq

= j

!C+

R(j!L)

R + j!L= j

!C+

jR!L

R + j!L· R j!L

R j!L

2.13e2.14

2.13

2.14

90CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

E

C

R L

Figura 2.14:

=R!2L2

R2 + !2L2+ j

R2!2LC R2 !2L2

!C(R2 + !2L2)= (141.5 + j411.4)

Z =p

141.52 + 411.42 = 435 , eq

= atg411.4

141.5= 71

Ieff

=V

eff

Z= 0.28A,

i

= eq

= 71

• Esercizio 4

100 120

v v

Ω Ω

1 2

v = 10 sin t V= 100 Hzν

Ω1

Figura 2.15:

Utilizzando il Principio di Sovrapposizione, calcolare modulo e fase,rispetto a v1, della di↵erenza di potenziale tra i punti A e B ai capidella resistenza da 120 nel circuito in figura 2.15, sapendo che v2 havalore di picco 8 V, e sinusoidale, ha la stessa frequenza di v1, ma e inritardo di 30, mentre v1 = 10 sin !t V e = 100 Hz (! = 200).

v1 = 10 sin !t

v2 = 8 ej30 = 8 cos 30 j 8 sin 30 = 6.92 j4

92CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

e nella eliminazione dei vari generatori indipendenti. Di questi resta-no ogni volta solo quelli che hanno frequenza uguale, mentre gli altrivengono soppressi. Con la frequenza comune si calcolano le reattanzeinduttive e capacitive per il corrispondente circuito, che viene poi ri-solto per determinare le grandezze di interesse, che vengono scritte informa sinusoidale. Il procedimento si ripete per ogni diversa frequenzadei generatori; infine, le singole risposte sinusoidali vengono sommateper ottenere la risposta totale.

• Esercizio 5

Dato il circuito rappresentato in figura 2.16, calcolare modulo e fase,rispetto a v1, della corrente che passa nel condensatore, sapendo che v2

ha valore di picco 8 V, e sinusoidale, ha la stessa frequenza di v1, ma ein ritardo di 30, mentre v1 = 10 sin !t e = 100 Hz (! = 200).

100

v v

Ω 120 Ω

µ

1 2

= 100 Hzν

Ω

20 F

v = 10 sin t V

Figura 2.16:

v1 = 10 sin !t

v2 = 8 ej30 = 8 cos 30 j 8 sin 30 = 6.92 j4

Applichiamo il teorema di Thevenin, considerando come circuito ester-no, C’, il condensatore.

100 120

10 6,92 + j4

Ω Ω

Α

Β

Figura 2.17:

2.3. ESERCIZI 93

La tensione equivalente di Thevenin, come e facile vedere in figura 2.17,sara data da:

vTh

=v1 v2

R1 + R2R2+v2 =

10 6.92 + j4

220120+6.92j4 = (8.6j1.82)V

La resistenza equivalente di Thevenin sara:

RTh

=R1R2

R1 + R2=

100 120

220= 54.5

Il circuito equivalente sara pertanto quello riportato in figura 2.18.

20 F

8.6 − j 1.82 V

54.5 Ω

µ

i

Figura 2.18:

La corrente che attraversa il condensatore risultera data da:

i =v

Th

RTh

+ zC

dove:

zC

=j

!C= j79.6

Percio:

i =8.6 j1.82

54.5 j79.6A =

(8.6 j1.82)(54.5 + j79.6)

2970 + 6336A = (65.8 + j62.8)mA

I =p

4329 + 3943.8 = 90.0mA, tg i

=62.8

65.,

i

= 43.66

• Esercizio 6

Dato il circuito rappresentato in figura 2.19, trovare la tensione delpunto A riferita al punto B, sapendo che v = 20 sin !t, = 50KHz.

2.3. ESERCIZI 95

10000 pF

0.5 kV

20 V

ΩΒ

Figura 2.21:

vB

= i2RB

i2 =v

zeq

=20

0.5 103 j

!C

=20

0.5 103 j 3.18 102A

vB

= i2RB

=20

0.5 103 j 3.18 102·0.5 103 =

10(0.5 + j 0.318)

0.52 + 0.3182= (14.24+j9.06)V

Infine:v

AB

= vA

vB

= 3.94 j3.32

VAB

= 4.97V, tg AB

=3.32

3.94,

AB

' 47

• Esercizio 7

Calcolare le correnti di maglia i1 e i2 nel circuito di figura 2.22.

10 e −j 40o

VI

1

+

_

+

_

o

V12 ej 40

8 6−j 14

Ω ΩΩ

4 Ω

10 ΩjI

2

Figura 2.22:

L’analisi di maglia per circuiti in regime alternato e una estensione diquella per i circuiti in continua. Si convertono subito in generatori di

96CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

tensione eventuali generatori di corrente, poi si assegnano dei riferi-menti orari alle correnti di maglia e si applica la LTK ad ogni singolamaglia. Alle autoresistenze e mutue resistenze verranno ora sostituitele autoimpedenze e le mutue impedenze. Conviene, prima di scrivere leequazioni di maglia, calcolare le impedenze immaginarie di condensa-tori e induttori per la frequenza (o pulsazione) del generatore, in mododa riportarsi alla situazione illustrata in figura.

Considerando la prima maglia, l’autoimpedenza (o impedenza totaledella maglia) e 8 - j14 + 4 = 12 -j14 e l’impedenza mutua con lamaglia 2 vale 4 ; la somma delle f.e.m. di generatore in direzione dii1 e:

10 ej40 + 12 ej10 = 10(cos 40 j sin 40) + 12(cos 10 + j sin 10)

= 7.66 j 6.43 + 11.82 + j 2.08 = 19.48 j 4.34 = 19.96 ej 12.6

l’equazione di maglia e:

(12 j 14)i1 4i2 = 19.48 j 4.34

Per la seconda maglia, invece, si ha:

4i1 + (10 + j 10)i2 = (11.82 + j 2.08)

Queste due equazioni costituiscono un sistema che permette di ricavarele correnti i1 e i2 applicando, per esempio, la regola di Cramer.

2.4 Filtri

2.4.1 Filtro passa basso RC

Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione alternatachiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed una capacita C,come illustrato in figura 2.23. Calcoliamo la tensione ai capi del condensatore,in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; quest’ultima e v

i

=V

i

sin !t, che in forma esponenziale e semplicemente Vi

, avendo preso la fasedi v

i

come riferimento.L’impedenza equivalente del circuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

12ej10oV

96CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

tensione eventuali generatori di corrente, poi si assegnano dei riferi-menti orari alle correnti di maglia e si applica la LTK ad ogni singolamaglia. Alle autoresistenze e mutue resistenze verranno ora sostituitele autoimpedenze e le mutue impedenze. Conviene, prima di scrivere leequazioni di maglia, calcolare le impedenze immaginarie di condensa-tori e induttori per la frequenza (o pulsazione) del generatore, in mododa riportarsi alla situazione illustrata in figura.

Considerando la prima maglia, l’autoimpedenza (o impedenza totaledella maglia) e 8 - j14 + 4 = 12 -j14 e l’impedenza mutua con lamaglia 2 vale 4 ; la somma delle f.e.m. di generatore in direzione dii1 e:

10 ej40 + 12 ej10 = 10(cos 40 j sin 40) + 12(cos 10 + j sin 10)

= 7.66 j 6.43 + 11.82 + j 2.08 = 19.48 j 4.34 = 19.96 ej 12.6

l’equazione di maglia e:

(12 j 14)i1 4i2 = 19.48 j 4.34

Per la seconda maglia, invece, si ha:

4i1 + (10 + j 10)i2 = (11.82 + j 2.08)

Queste due equazioni costituiscono un sistema che permette di ricavarele correnti i1 e i2 applicando, per esempio, la regola di Cramer.

2.4 Filtri

2.4.1 Filtro passa basso RC

Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione alternatachiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed una capacita C,come illustrato in figura 2.23. Calcoliamo la tensione ai capi del condensatore,in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; quest’ultima e v

i

=V

i

sin !t, che in forma esponenziale e semplicemente Vi

, avendo preso la fasedi v

i

come riferimento.L’impedenza equivalente del circuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

Filtri:RCpassabasso

2.4. FILTRI 97

R

C

v i vu

i

Figura 2.23:

dove si e indicato con = RC la costante di tempo del circuito. Il modulo ela fase dell’impedenza equivalente sono:

Z =

p!2 2 + 1

!C, tg

eq

=1

!

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R j

!C

=V

i

!C

! j=

Vi

!C(! + j)

!2 2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

!Cp!2 2 + 1

, tg i

=1

!

La tensione ai capi del condensatore risulta:

vu

= i · zC

=V

i

R j

!C

·j

!C

=V

i

1 + j!=

Vi

(1 j!)

1 + !2 2

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

96CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

tensione eventuali generatori di corrente, poi si assegnano dei riferi-menti orari alle correnti di maglia e si applica la LTK ad ogni singolamaglia. Alle autoresistenze e mutue resistenze verranno ora sostituitele autoimpedenze e le mutue impedenze. Conviene, prima di scrivere leequazioni di maglia, calcolare le impedenze immaginarie di condensa-tori e induttori per la frequenza (o pulsazione) del generatore, in mododa riportarsi alla situazione illustrata in figura.

Considerando la prima maglia, l’autoimpedenza (o impedenza totaledella maglia) e 8 - j14 + 4 = 12 -j14 e l’impedenza mutua con lamaglia 2 vale 4 ; la somma delle f.e.m. di generatore in direzione dii1 e:

10 ej40 + 12 ej10 = 10(cos 40 j sin 40) + 12(cos 10 + j sin 10)

= 7.66 j 6.43 + 11.82 + j 2.08 = 19.48 j 4.34 = 19.96 ej 12.6

l’equazione di maglia e:

(12 j 14)i1 4i2 = 19.48 j 4.34

Per la seconda maglia, invece, si ha:

4i1 + (10 + j 10)i2 = (11.82 + j 2.08)

Queste due equazioni costituiscono un sistema che permette di ricavarele correnti i1 e i2 applicando, per esempio, la regola di Cramer.

2.4 Filtri

2.4.1 Filtro passa basso RC

Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensione alternatachiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed una capacita C,come illustrato in figura 2.23. Calcoliamo la tensione ai capi del condensatore,in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; quest’ultima e v

i

=V

i

sin !t, che in forma esponenziale e semplicemente Vi

, avendo preso la fasedi v

i

come riferimento.L’impedenza equivalente del circuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

2.4. FILTRI 97

R

C

v i vu

i

Figura 2.23:

dove si e indicato con = RC la costante di tempo del circuito. Il modulo ela fase dell’impedenza equivalente sono:

Z =

p!2 2 + 1

!C, tg

eq

=1

!

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R j

!C

=V

i

!C

! j=

Vi

!C(! + j)

!2 2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

!Cp!2 2 + 1

, tg i

=1

!

La tensione ai capi del condensatore risulta:

vu

= i · zC

=V

i

R j

!C

·j

!C

=V

i

1 + j!=

Vi

(1 j!)

1 + !2 2

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

2.4. FILTRI 97

R

C

v i vu

i

Figura 2.23:

dove si e indicato con = RC la costante di tempo del circuito. Il modulo ela fase dell’impedenza equivalente sono:

Z =

p!2 2 + 1

!C, tg

eq

=1

!

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R j

!C

=V

i

!C

! j=

Vi

!C(! + j)

!2 2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

!Cp!2 2 + 1

, tg i

=1

!

La tensione ai capi del condensatore risulta:

vu

= i · zC

=V

i

R j

!C

·j

!C

=V

i

1 + j!=

Vi

(1 j!)

1 + !2 2

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

98CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.24:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo prende il nome di guadagnodel circuito:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore, comeriportato in figura 1.24 nel caso di = 0.001 s, si trova che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione con lastessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che decresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

2.4. FILTRI 97

R

C

v i vu

i

Figura 2.23:

dove si e indicato con = RC la costante di tempo del circuito. Il modulo ela fase dell’impedenza equivalente sono:

Z =

p!2 2 + 1

!C, tg

eq

=1

!

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R j

!C

=V

i

!C

! j=

Vi

!C(! + j)

!2 2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

!Cp!2 2 + 1

, tg i

=1

!

La tensione ai capi del condensatore risulta:

vu

= i · zC

=V

i

R j

!C

·j

!C

=V

i

1 + j!=

Vi

(1 j!)

1 + !2 2

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

98CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.24:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo prende il nome di guadagnodel circuito:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore, comeriportato in figura 1.24 nel caso di = 0.001 s, si trova che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione con lastessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che decresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

Filtri:RCpassaalto

100CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

La funzione di trasferimento G = vuvi

sara:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo, il guadagno del circuito,risulta:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.24 e, in particolare, che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta come un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

2.4.3 Filtro passa alto RC

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensio-ne alternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed unacapacita C, come illustrato in figura 2.26. Calcoliamo ora la tensione ai capidella resistenza, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente delcircuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

2.4. FILTRI 101

v i vu

i

R

C

Figura 2.26:

dove si e posto = RC, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =

p!2 2 + 1

!C, tg

eq

=1

!

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R j

!C

=V

i

!C

! j=

Vi

!C(! + j)

!2 2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

!Cp!2 2 + 1

, tg i

=1

!

La tensione ai capi della resistenza risulta:

vu

= i · R =V

i

R

R j

!C

=V

i

!

! j=

Vi

!(! + j)

1 + !2 2

con modulo e fase:

Vu

=V

i

!p1 + !2 2

, tg u

=1

!

102CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.27:

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

G =v

u

vi

=!

! j=

!(! + j)

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo (guadagno del circuito) risulta:

|G| =

v

u

vi

=!p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore, comeriportato in figura 1.27 nel caso di = 0.001 s, si trova che:

lim!!1|G| = 1 lim

!!0|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione conla stessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che cresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le alte frequenze,praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime semprepiu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sotto di un valore di taglio,definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita epari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

Filtri:RLpassaalto

2.4. FILTRI 103

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= 1!

, comeper v

u

.

2.4.4 Filtro passa alto RL – Facoltativo

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensionealternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed un in-duttanza L, come illustrato in figura 2.28. Calcoliamo ora la tensione ai capidell’ induttore, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente del

v i vu

i

R

L

Figura 2.28:

circuito e:z

eq

= R + j!L = R(1 + j!)

dove si e posto = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =p

R2 + !2L2 = Rp

1 + !2 2, tg eq

= !

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R(1 + j!)=

Vi

(1 j!)

R(1 + !2 2)

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

Rp

!2 2 + 1, tg

i

= !

La tensione ai capi dell’induttore risulta:

vu

= i · zL

=V

i

j!

1 + j!=

Vi

!(! + j)

1 + !2 2

2.4. FILTRI 103

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= 1!

, comeper v

u

.

2.4.4 Filtro passa alto RL – Facoltativo

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensionealternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed un in-duttanza L, come illustrato in figura 2.28. Calcoliamo ora la tensione ai capidell’ induttore, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente del

v i vu

i

R

L

Figura 2.28:

circuito e:z

eq

= R + j!L = R(1 + j!)

dove si e posto = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =p

R2 + !2L2 = Rp

1 + !2 2, tg eq

= !

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R(1 + j!)=

Vi

(1 j!)

R(1 + !2 2)

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

Rp

!2 2 + 1, tg

i

= !

La tensione ai capi dell’induttore risulta:

vu

= i · zL

=V

i

j!

1 + j!=

Vi

!(! + j)

1 + !2 2

2.4. FILTRI 103

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= 1!

, comeper v

u

.

2.4.4 Filtro passa alto RL – Facoltativo

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensionealternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed un in-duttanza L, come illustrato in figura 2.28. Calcoliamo ora la tensione ai capidell’ induttore, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente del

v i vu

i

R

L

Figura 2.28:

circuito e:z

eq

= R + j!L = R(1 + j!)

dove si e posto = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =p

R2 + !2L2 = Rp

1 + !2 2, tg eq

= !

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R(1 + j!)=

Vi

(1 j!)

R(1 + !2 2)

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

Rp

!2 2 + 1, tg

i

= !

La tensione ai capi dell’induttore risulta:

vu

= i · zL

=V

i

j!

1 + j!=

Vi

!(! + j)

1 + !2 2104CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

con modulo e fase:

Vu

=V

i

!p1 + !2 2

, tg u

=1

!

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

G =v

u

vi

=j!

1 + j!=

!(! + j)

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo (guadagno del circuito) e:

|G| =

v

u

vi

=!p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.27, e in particolare

lim!!1|G| = 1 lim

!!0|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione conla stessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che cresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le alte frequenze,praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime semprepiu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sotto di un valore di taglio,definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita epari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= 1!

, comeper v

u

.

2.5 Risposta dei filtri ad un gradino di ten-

sione

Si e gia visto nello studio dei circuito in corrente continua come un circuitocostituito da un generatore di tensione continua chiuso su una combinazionein serie di una resistenza ed una capacita o una resistenza ed un’induttanza emunito di un interruttore risponda alla chiusura dell’interruttore: l’operazio-ne fa cambiare bruscamente le condizioni del circuito, causando fenomeni ditipo transitorio al cui esaurimento fa seguito un regime di correnti e tensioni

104CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

con modulo e fase:

Vu

=V

i

!p1 + !2 2

, tg u

=1

!

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

G =v

u

vi

=j!

1 + j!=

!(! + j)

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo (guadagno del circuito) e:

|G| =

v

u

vi

=!p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.27, e in particolare

lim!!1|G| = 1 lim

!!0|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione conla stessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che cresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le alte frequenze,praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime semprepiu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sotto di un valore di taglio,definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita epari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= 1!

, comeper v

u

.

2.5 Risposta dei filtri ad un gradino di ten-

sione

Si e gia visto nello studio dei circuito in corrente continua come un circuitocostituito da un generatore di tensione continua chiuso su una combinazionein serie di una resistenza ed una capacita o una resistenza ed un’induttanza emunito di un interruttore risponda alla chiusura dell’interruttore: l’operazio-ne fa cambiare bruscamente le condizioni del circuito, causando fenomeni ditipo transitorio al cui esaurimento fa seguito un regime di correnti e tensioni

102CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.27:

Consideriamo la funzione di trasferimento G = vuvi

:

G =v

u

vi

=!

! j=

!(! + j)

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo (guadagno del circuito) risulta:

|G| =

v

u

vi

=!p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore, comeriportato in figura 1.27 nel caso di = 0.001 s, si trova che:

lim!!1|G| = 1 lim

!!0|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione conla stessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che cresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le alte frequenze,praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprime semprepiu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sotto di un valore di taglio,definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza in uscita epari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

Filtri:RLpassabasso

2.4. FILTRI 99

2.4.2 Filtro passa basso RL – Facoltativo

La situazione e simmetrica rispetto a quella del circuito RC.Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensio-

ne alternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed uninduttanza L, come illustrato in figura 2.25. Calcoliamo la tensione ai capidella resistenza, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima e v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicemente Vi

,avendo preso la fase di v

i

come riferimento. L’impedenza equivalente del

v i vu

i

R

L

Figura 2.25:

circuito e:z

eq

= R + j!L = R(1 + j!)

dove si e posto = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =p

R2 + !2L2 = Rp

1 + !2 2, tg eq

= !

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R(1 + j!)=

Vi

(1 j!)

R(1 + !2 2)

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

Rp

!2 2 + 1, tg

i

= !

La tensione ai capi della resistenza risulta:

vu

= i · R =V

i

1 + j!=

Vi

(1 j!)

1 + !2 2

2.4. FILTRI 99

2.4.2 Filtro passa basso RL – Facoltativo

La situazione e simmetrica rispetto a quella del circuito RC.Consideriamo un circuito costituito da un generatore di tensio-

ne alternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed uninduttanza L, come illustrato in figura 2.25. Calcoliamo la tensione ai capidella resistenza, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima e v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicemente Vi

,avendo preso la fase di v

i

come riferimento. L’impedenza equivalente del

v i vu

i

R

L

Figura 2.25:

circuito e:z

eq

= R + j!L = R(1 + j!)

dove si e posto = L/R, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =p

R2 + !2L2 = Rp

1 + !2 2, tg eq

= !

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R(1 + j!)=

Vi

(1 j!)

R(1 + !2 2)

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

Rp

!2 2 + 1, tg

i

= !

La tensione ai capi della resistenza risulta:

vu

= i · R =V

i

1 + j!=

Vi

(1 j!)

1 + !2 2100CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

La funzione di trasferimento G = vuvi

sara:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo, il guadagno del circuito,risulta:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.24 e, in particolare, che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta come un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

2.4.3 Filtro passa alto RC

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensio-ne alternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed unacapacita C, come illustrato in figura 2.26. Calcoliamo ora la tensione ai capidella resistenza, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente delcircuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

100CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

La funzione di trasferimento G = vuvi

sara:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo, il guadagno del circuito,risulta:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.24 e, in particolare, che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta come un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

2.4.3 Filtro passa alto RC

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensio-ne alternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed unacapacita C, come illustrato in figura 2.26. Calcoliamo ora la tensione ai capidella resistenza, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente delcircuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

98CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.24:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo prende il nome di guadagnodel circuito:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore, comeriportato in figura 1.24 nel caso di = 0.001 s, si trova che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta in modo da fornire in uscita una oscillazione con lastessa frequenza del generatore, ma con ampiezza che decresce all’aumentaredella frequenza. Il circuito e cioe un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

100CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

con modulo e fase:

Vu

=V

ip1 + !2 2

, tg u

= !

La funzione di trasferimento G = vuvi

sara:

G =v

u

vi

=1

1 + j!=

1 j!

1 + !2 2

essa e una funzione complessa e il suo modulo, il guadagno del circuito,risulta:

|G| =

v

u

vi

=1p

1 + !2 2

Graficando il guadagno in funzione della pulsazione ! del generatore si trovanuovamente l’andamento di figura 1.24 e, in particolare, che:

lim!!0|G| = 1 lim

!!1|G| = 0

cioe il circuito si comporta come un filtro che lascia passare le basse fre-quenze, praticamente senza modificare le ampiezze corrispondenti, e deprimesempre piu fortemente l’ampiezza delle frequenze al di sopra di un valore ditaglio, definito come quel valore della pulsazione per il quale l’ampiezza inuscita e pari a 1/

p2 volte l’ampiezza in ingresso:

!t

: |G| =1p2! !2 2 = 1! !

t

=1

da cui t

= 12

. La fase della funzione di trasferimento e tg G

= ! ,come per v

u

.

2.4.3 Filtro passa alto RC

Consideriamo nuovamente un circuito costituito da un generatore di tensio-ne alternata chiuso su una combinazione in serie di una resistenza R ed unacapacita C, come illustrato in figura 2.26. Calcoliamo ora la tensione ai capidella resistenza, in modulo e fase rispetto alla tensione del generatore; que-st’ultima sia ancora v

i

= Vi

sin !t, che in forma esponenziale e semplicementeV

i

, avendo preso la fase di vi

come riferimento. L’impedenza equivalente delcircuito e:

zeq

= R j

!C=

! j

!C

2.4. FILTRI 101

v i vu

i

R

C

Figura 2.26:

dove si e posto = RC, costante di tempo del circuito. Il modulo e la fasedell’impedenza equivalente sono:

Z =

p!2 2 + 1

!C, tg

eq

=1

!

La corrente che fluisce nel circuito e:

i =v

i

zeq

=V

i

R j

!C

=V

i

!C

! j=

Vi

!C(! + j)

!2 2 + 1

il suo modulo e la sua fase sono:

I =V

i

!Cp!2 2 + 1

, tg i

=1

!

La tensione ai capi della resistenza risulta:

vu

= i · R =V

i

R

R j

!C

=V

i

!

! j=

Vi

!(! + j)

1 + !2 2

con modulo e fase:

Vu

=V

i

!p1 + !2 2

, tg u

=1

!

Ingenerale:passabassopassaalto

Circui&oscillan&

122

+

_C L

Figura 2.47:

ed anched

2Q

dt

2+

1

LC

Q = 0

Introducendo il coeciente !0 = 1pLC

si ottiene l’equazione:

d

2Q

dt

2+ !

20Q = 0

Questa e una equazione di↵erenziale lineare, del secondo ordine e a coecienticostanti; la sua soluzione generale e una qualunque combinazione lineare didue soluzioni particolari, quali, ad esempio, le funzioni:

e

j!0t e e

j!0t

come si puo verificare sostituendole nell’equazione. La soluzione generaleavra la forma:

Q(t) = K1 e

j!0t + K2 e

j!0t

dove K1 e K2 sono due costanti, generalmente complesse, che dipendono dallecondizioni iniziali del problema. Nel nostro caso le condizioni iniziali sono:

Q(0) = Q0 e i(0) = 0

che si traducono in:

Q(0) = Q0 ! K1 + K2 = Q0

ei(0) = 0 ! j!0(K1 K2) = 0

Risolvendo queste equazioni si ricava: K1 = K2 = Q0

2 e percio:

Q(t) =Q0

2(ej!0t + e

j!0t) = Q0 cos !0t

2.9. CIRCUITI OSCILLANTI – FACOLTATIVO 121

Figura 2.46:

2.9 Circuiti oscillanti – Facoltativo

Consideriamo un circuito costituito dalla composizione in serie di un con-densatore di capacita C ed un induttore di induttanza L e dotato di uninterruttore che permette di interrompere il circuito, come indicato in figura2.47. Si supponga che all’istante di chiusura dell’interruttore, scelto cometempo t=0, su ciascuna delle armature del condensatore si trovi una caricaQ0; la corrente sara ovviamente nulla, i(0)=0, essendo il circuito aperto. Dat=0 in poi, per la LTK ad ogni istante dovra essere:

VC + VL = 0

ovvero:Q

C

+ L

di

dt

= 0

122

+

_C L

Figura 2.47:

ed anched

2Q

dt

2+

1

LC

Q = 0

Introducendo il coeciente !0 = 1pLC

si ottiene l’equazione:

d

2Q

dt

2+ !

20Q = 0

Questa e una equazione di↵erenziale lineare, del secondo ordine e a coecienticostanti; la sua soluzione generale e una qualunque combinazione lineare didue soluzioni particolari, quali, ad esempio, le funzioni:

e

j!0t e e

j!0t

come si puo verificare sostituendole nell’equazione. La soluzione generaleavra la forma:

Q(t) = K1 e

j!0t + K2 e

j!0t

dove K1 e K2 sono due costanti, generalmente complesse, che dipendono dallecondizioni iniziali del problema. Nel nostro caso le condizioni iniziali sono:

Q(0) = Q0 e i(0) = 0

che si traducono in:

Q(0) = Q0 ! K1 + K2 = Q0

ei(0) = 0 ! j!0(K1 K2) = 0

Risolvendo queste equazioni si ricava: K1 = K2 = Q0

2 e percio:

Q(t) =Q0

2(ej!0t + e

j!0t) = Q0 cos !0t

122

+

_C L

Figura 2.47:

ed anched

2Q

dt

2+

1

LC

Q = 0

Introducendo il coeciente !0 = 1pLC

si ottiene l’equazione:

d

2Q

dt

2+ !

20Q = 0

Questa e una equazione di↵erenziale lineare, del secondo ordine e a coecienticostanti; la sua soluzione generale e una qualunque combinazione lineare didue soluzioni particolari, quali, ad esempio, le funzioni:

e

j!0t e e

j!0t

come si puo verificare sostituendole nell’equazione. La soluzione generaleavra la forma:

Q(t) = K1 e

j!0t + K2 e

j!0t

dove K1 e K2 sono due costanti, generalmente complesse, che dipendono dallecondizioni iniziali del problema. Nel nostro caso le condizioni iniziali sono:

Q(0) = Q0 e i(0) = 0

che si traducono in:

Q(0) = Q0 ! K1 + K2 = Q0

ei(0) = 0 ! j!0(K1 K2) = 0

Risolvendo queste equazioni si ricava: K1 = K2 = Q0

2 e percio:

Q(t) =Q0

2(ej!0t + e

j!0t) = Q0 cos !0t

2.10. OSCILLAZIONI SMORZATE IN UN CIRCUITO RLC IN SERIE – FACOLTATIVO123

Di conseguenza VC , i e VL saranno dati da:

VC =Q

C

=Q0

C

cos !0t

i =dQ

dt

= Q0 !0 sin !0t

VL = L

di

dt

= L Q0 !

20 cos !0t

L’andamento di queste grandezze e riportato in figura 2.48: la carica Qoscilla tra le due armature del condensatore con andamento cosinusoidaledi pulsazione !0, che prende pertanto il nome di pulsazione propria delcircuito; la tensione ai capi del condensatore e in ritardo di /2 rispetto allacorrente i mentre la tensione ai capi dell’induttore e in anticipo di /2 rispettoalla corrente. In questo caso ideale, privo di elementi dissipativi, il moto dellecariche non si arresta, cosı come avviene nel caso di una molla compressa elasciata libera di oscillare attorno alla sua posizione di equilibrio in assenzadi attrito: infatti l’equazione di↵erenziale che descrive l’andamento dellacarica e analoga all’equazione di una molla, dove si sostituisca a !0 = 1p

LC

!0 =q

km , con k costante elastica della molla ed m massa della molla: e

come se il condensatore si comportasse come una molla nei confronti dellacarica elettrica, esercitando su di essa una forza di richiamo proporzionale alsuo valore.

2.10 Oscillazioni smorzate in un circuito RLC

in serie – Facoltativo

Nella realta, dato che ad ogni induttanza e sempre associata una resistenzache puo essere pensata come un elemento circuitale posto in serie, il cir-cuito considerato nel paragrafo precedente non rappresenta che una puraastrazione, mentre il circuito e↵ettivamente realizzabile e quello di figura2.49, comprendente tre elementi in serie: una capacita C, un’induttanza Led una resistenza R. Si indichi sempre con Q0 la carica inizialmente presen-te sulle armature del condensatore e sia ancora t=0 l’istante della chiusuradell’interruttore.

Per t>0 la LTK si scrivera:

VC + VL + VR = 0

ovvero:Q

C

+ L

di

dt

+ Ri = 0

124

Figura 2.48:

ed ancheQ

C

+ L

d

2Q

dt

2+ R

dQ

dt

= 0

ovverod

2Q

dt

2+ 2↵

dQ

dt

+ !

20Q = 0

avendo di nuovo introdotto la pulsazione propria del circuito !0 = 1pLC

ed

anche la costante ↵ = R2L . L’equazione ottenuta e del tutto simile all’equa-

zione di↵erenziale che si ottiene nello studio delle oscillazioni compiute da unpunto materiale soggetto ad una forza di richiamo elastica (termine dovutoalla capacita) ed a una forza di tipo viscoso (termine dovuto alla resistenza).

Una soluzione particolare dell’equazione ha la forma Q(t) = ke

t,dove la costante k viene determinata a partire dalle condizioni iniziali. So-stituendo si ottiene:

Q02e

t + 2↵Q0e

t + !

20Q0e

t = 0

2.10. OSCILLAZIONI SMORZATE IN UN CIRCUITO RLC IN SERIE – FACOLTATIVO123

Di conseguenza VC , i e VL saranno dati da:

VC =Q

C

=Q0

C

cos !0t

i =dQ

dt

= Q0 !0 sin !0t

VL = L

di

dt

= L Q0 !

20 cos !0t

L’andamento di queste grandezze e riportato in figura 2.48: la carica Qoscilla tra le due armature del condensatore con andamento cosinusoidaledi pulsazione !0, che prende pertanto il nome di pulsazione propria delcircuito; la tensione ai capi del condensatore e in ritardo di /2 rispetto allacorrente i mentre la tensione ai capi dell’induttore e in anticipo di /2 rispettoalla corrente. In questo caso ideale, privo di elementi dissipativi, il moto dellecariche non si arresta, cosı come avviene nel caso di una molla compressa elasciata libera di oscillare attorno alla sua posizione di equilibrio in assenzadi attrito: infatti l’equazione di↵erenziale che descrive l’andamento dellacarica e analoga all’equazione di una molla, dove si sostituisca a !0 = 1p

LC

!0 =q

km , con k costante elastica della molla ed m massa della molla: e

come se il condensatore si comportasse come una molla nei confronti dellacarica elettrica, esercitando su di essa una forza di richiamo proporzionale alsuo valore.

2.10 Oscillazioni smorzate in un circuito RLC

in serie – Facoltativo

Nella realta, dato che ad ogni induttanza e sempre associata una resistenzache puo essere pensata come un elemento circuitale posto in serie, il cir-cuito considerato nel paragrafo precedente non rappresenta che una puraastrazione, mentre il circuito e↵ettivamente realizzabile e quello di figura2.49, comprendente tre elementi in serie: una capacita C, un’induttanza Led una resistenza R. Si indichi sempre con Q0 la carica inizialmente presen-te sulle armature del condensatore e sia ancora t=0 l’istante della chiusuradell’interruttore.

Per t>0 la LTK si scrivera:

VC + VL + VR = 0

ovvero:Q

C

+ L

di

dt

+ Ri = 0

OscillazioniforzateinuncircuitoRLCserie:circui&risonan&2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO129

E

1 2 3 4R

CL

Figura 2.51:

In questo caso la LTK ci fornisce l’equazione:

E sin !t = L

di

dt

+ Ri +Q

C

dove ! indica la pulsazione del generatore e i tre termini a destra del segno diuguale sono le cadute di tensione sui tre elementi L, R e C in serie; ordinandoi termini:

d

2Q

dt

2+

R

L

dQ

dt

+Q

LC

=E

L

sin !t

equazione che e del tutto simile all’equazione di↵erenziale che si ottiene nellostudio delle oscillazioni compiute da un punto materiale soggetto ad una forzaelastica (termine della capacita), ad una forza di tipo viscoso (termine dellaresistenza) e ad un’altra forza, in generale periodica (termine del generatore)che e responsabile delle oscillazioni forzate del punto materiale.

Determiniamo la corrente che fluisce nel circuito utilizzando la leggedi Ohm generalizzata. L’impedenza equivalente del circuito e data da:

zeq = R + j(!L 1

!C

)

Il suo modulo vale:

Z =

s

R

2 +

!

2LC 1

!C

2

=

vuutR

2 +

!2

!20 1

!C

!2

la sua fase vale:

tg eq =!L 1

!C

R

=!

2LC 1

!CR

=

!2

!20 1

!CR

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO129

E

1 2 3 4R

CL

Figura 2.51:

In questo caso la LTK ci fornisce l’equazione:

E sin !t = L

di

dt

+ Ri +Q

C

dove ! indica la pulsazione del generatore e i tre termini a destra del segno diuguale sono le cadute di tensione sui tre elementi L, R e C in serie; ordinandoi termini:

d

2Q

dt

2+

R

L

dQ

dt

+Q

LC

=E

L

sin !t

equazione che e del tutto simile all’equazione di↵erenziale che si ottiene nellostudio delle oscillazioni compiute da un punto materiale soggetto ad una forzaelastica (termine della capacita), ad una forza di tipo viscoso (termine dellaresistenza) e ad un’altra forza, in generale periodica (termine del generatore)che e responsabile delle oscillazioni forzate del punto materiale.

Determiniamo la corrente che fluisce nel circuito utilizzando la leggedi Ohm generalizzata. L’impedenza equivalente del circuito e data da:

zeq = R + j(!L 1

!C

)

Il suo modulo vale:

Z =

s

R

2 +

!

2LC 1

!C

2

=

vuutR

2 +

!2

!20 1

!C

!2

la sua fase vale:

tg eq =!L 1

!C

R

=!

2LC 1

!CR

=

!2

!20 1

!CR

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO129

E

1 2 3 4R

CL

Figura 2.51:

In questo caso la LTK ci fornisce l’equazione:

E sin !t = L

di

dt

+ Ri +Q

C

dove ! indica la pulsazione del generatore e i tre termini a destra del segno diuguale sono le cadute di tensione sui tre elementi L, R e C in serie; ordinandoi termini:

d

2Q

dt

2+

R

L

dQ

dt

+Q

LC

=E

L

sin !t

equazione che e del tutto simile all’equazione di↵erenziale che si ottiene nellostudio delle oscillazioni compiute da un punto materiale soggetto ad una forzaelastica (termine della capacita), ad una forza di tipo viscoso (termine dellaresistenza) e ad un’altra forza, in generale periodica (termine del generatore)che e responsabile delle oscillazioni forzate del punto materiale.

Determiniamo la corrente che fluisce nel circuito utilizzando la leggedi Ohm generalizzata. L’impedenza equivalente del circuito e data da:

zeq = R + j(!L 1

!C

)

Il suo modulo vale:

Z =

s

R

2 +

!

2LC 1

!C

2

=

vuutR

2 +

!2

!20 1

!C

!2

la sua fase vale:

tg eq =!L 1

!C

R

=!

2LC 1

!CR

=

!2

!20 1

!CR

130

che implica:

eq =

2per ! ! 0

eq =

2per ! !1

In particolare, per ! = !0 = 1pLC

la fase si annulla, tg eq = 0 e il modulodell’impedenza equivalente assume il suo valore minimo, Z = R: si e cioe incondizioni di reattanza nulla, X = 0.

La corrente i sara data da i = vzeq

e pertanto risultera:

I =E

Z

e i = eq

che possono anche essere scritte nella forma:

I =V

R

r1 +

!20L2

R2

!!0 !0

!

2=

V

R

r1 + Q

2

!!0 !0

!

2

tg i = tg eq = !L 1

!C

R

= !2

!20 1

!CR

= Q

!

!0 !0

!

Allora, per ! = !0 = 1pLC

l’ampiezza della corrente risultera esse-re massima, I = max, e la corrente sara in fase con la tensione applicata,tg i = 0. Questa particolare situazione di fase prende il nome di risonanza.L’andamento della fase i in funzione della pulsazione del generatore, !, eriportato in figura 2.52. In figura 2.53 e riportato l’andamento del modulodella corrente in funzione della pulsazione del generatore, !. Dalla espressio-ne del modulo della corrente segue che il valore di I alla risonanza e maggioredel valore per ! 6= !0 ed e tanto maggiore quanto piu Q

e grande: tenutecostanti L e C la risonanza e tanto piu pronunciata quanto piu R e piccola(e quindi quanto piu e grande Q

): tolti dal circuito i resistori, l’unico limitea ulteriori riduzioni della resistenza del circuito e costituito dall’inevitabileresistenza ohmica della induttanza. Dalla stessa espressione segue anche cheil valore di I viene diminuito per un fattore 1/

p2 rispetto al valore della

risonanza quando:

Q

!1

!0 !0

!1

= 1

Q

!2

!0 !0

!2

= 1

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO131

Figura 2.52:

Figura 2.53:

cioe, sommando e sottraendo membro a membro queste due equazioni, per ivalori !1 e !2 tali che:

!2 !1 =!0

Q

L’intervallo di pulsazioni per le quali il valore di I e la potenza sviluppatanel circuito sono apprezzabili ha ampiezza !2 !1 e, dalla ultima relazione,si vede che questa ampiezza diminuisce al crescere di Q

, ossia il circuitosi comporta come un filtro che seleziona una banda di frequenze centratasu !0 e con una larghezza, che rappresenta la selettivita del filtro, data da!2!1. Come si puo vedere, tanto la bonta del filtro (ossia la ampiezza dellacorrente) quanto la sua selettivita migliorano al crescere di Q

.Consideriamo adesso una diversa disposizione di resistenza, capacita e

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO131

Figura 2.52:

Figura 2.53:

cioe, sommando e sottraendo membro a membro queste due equazioni, per ivalori !1 e !2 tali che:

!2 !1 =!0

Q

L’intervallo di pulsazioni per le quali il valore di I e la potenza sviluppatanel circuito sono apprezzabili ha ampiezza !2 !1 e, dalla ultima relazione,si vede che questa ampiezza diminuisce al crescere di Q

, ossia il circuitosi comporta come un filtro che seleziona una banda di frequenze centratasu !0 e con una larghezza, che rappresenta la selettivita del filtro, data da!2!1. Come si puo vedere, tanto la bonta del filtro (ossia la ampiezza dellacorrente) quanto la sua selettivita migliorano al crescere di Q

.Consideriamo adesso una diversa disposizione di resistenza, capacita e

130

che implica:

eq =

2per ! ! 0

eq =

2per ! !1

In particolare, per ! = !0 = 1pLC

la fase si annulla, tg eq = 0 e il modulodell’impedenza equivalente assume il suo valore minimo, Z = R: si e cioe incondizioni di reattanza nulla, X = 0.

La corrente i sara data da i = vzeq

e pertanto risultera:

I =E

Z

e i = eq

che possono anche essere scritte nella forma:

I =V

R

r1 +

!20L2

R2

!!0 !0

!

2=

V

R

r1 + Q

2

!!0 !0

!

2

tg i = tg eq = !L 1

!C

R

= !2

!20 1

!CR

= Q

!

!0 !0

!

Allora, per ! = !0 = 1pLC

l’ampiezza della corrente risultera esse-re massima, I = max, e la corrente sara in fase con la tensione applicata,tg i = 0. Questa particolare situazione di fase prende il nome di risonanza.L’andamento della fase i in funzione della pulsazione del generatore, !, eriportato in figura 2.52. In figura 2.53 e riportato l’andamento del modulodella corrente in funzione della pulsazione del generatore, !. Dalla espressio-ne del modulo della corrente segue che il valore di I alla risonanza e maggioredel valore per ! 6= !0 ed e tanto maggiore quanto piu Q

e grande: tenutecostanti L e C la risonanza e tanto piu pronunciata quanto piu R e piccola(e quindi quanto piu e grande Q

): tolti dal circuito i resistori, l’unico limitea ulteriori riduzioni della resistenza del circuito e costituito dall’inevitabileresistenza ohmica della induttanza. Dalla stessa espressione segue anche cheil valore di I viene diminuito per un fattore 1/

p2 rispetto al valore della

risonanza quando:

Q

!1

!0 !0

!1

= 1

Q

!2

!0 !0

!2

= 1

130

che implica:

eq =

2per ! ! 0

eq =

2per ! !1

In particolare, per ! = !0 = 1pLC

la fase si annulla, tg eq = 0 e il modulodell’impedenza equivalente assume il suo valore minimo, Z = R: si e cioe incondizioni di reattanza nulla, X = 0.

La corrente i sara data da i = vzeq

e pertanto risultera:

I =E

Z

e i = eq

che possono anche essere scritte nella forma:

I =V

R

r1 +

!20L2

R2

!!0 !0

!

2=

V

R

r1 + Q

2

!!0 !0

!

2

tg i = tg eq = !L 1

!C

R

= !2

!20 1

!CR

= Q

!

!0 !0

!

Allora, per ! = !0 = 1pLC

l’ampiezza della corrente risultera esse-re massima, I = max, e la corrente sara in fase con la tensione applicata,tg i = 0. Questa particolare situazione di fase prende il nome di risonanza.L’andamento della fase i in funzione della pulsazione del generatore, !, eriportato in figura 2.52. In figura 2.53 e riportato l’andamento del modulodella corrente in funzione della pulsazione del generatore, !. Dalla espressio-ne del modulo della corrente segue che il valore di I alla risonanza e maggioredel valore per ! 6= !0 ed e tanto maggiore quanto piu Q

e grande: tenutecostanti L e C la risonanza e tanto piu pronunciata quanto piu R e piccola(e quindi quanto piu e grande Q

): tolti dal circuito i resistori, l’unico limitea ulteriori riduzioni della resistenza del circuito e costituito dall’inevitabileresistenza ohmica della induttanza. Dalla stessa espressione segue anche cheil valore di I viene diminuito per un fattore 1/

p2 rispetto al valore della

risonanza quando:

Q

!1

!0 !0

!1

= 1

Q

!2

!0 !0

!2

= 1

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO131

Figura 2.52:

Figura 2.53:

cioe, sommando e sottraendo membro a membro queste due equazioni, per ivalori !1 e !2 tali che:

!2 !1 =!0

Q

L’intervallo di pulsazioni per le quali il valore di I e la potenza sviluppatanel circuito sono apprezzabili ha ampiezza !2 !1 e, dalla ultima relazione,si vede che questa ampiezza diminuisce al crescere di Q

, ossia il circuitosi comporta come un filtro che seleziona una banda di frequenze centratasu !0 e con una larghezza, che rappresenta la selettivita del filtro, data da!2!1. Come si puo vedere, tanto la bonta del filtro (ossia la ampiezza dellacorrente) quanto la sua selettivita migliorano al crescere di Q

.Consideriamo adesso una diversa disposizione di resistenza, capacita e

2.11. OSCILLAZIONI FORZATE IN UN CIRCUITO RLC: CIRCUITI RISONANTI – FACOLTATIVO131

Figura 2.52:

Figura 2.53:

cioe, sommando e sottraendo membro a membro queste due equazioni, per ivalori !1 e !2 tali che:

!2 !1 =!0

Q

L’intervallo di pulsazioni per le quali il valore di I e la potenza sviluppatanel circuito sono apprezzabili ha ampiezza !2 !1 e, dalla ultima relazione,si vede che questa ampiezza diminuisce al crescere di Q

, ossia il circuitosi comporta come un filtro che seleziona una banda di frequenze centratasu !0 e con una larghezza, che rappresenta la selettivita del filtro, data da!2!1. Come si puo vedere, tanto la bonta del filtro (ossia la ampiezza dellacorrente) quanto la sua selettivita migliorano al crescere di Q

.Consideriamo adesso una diversa disposizione di resistenza, capacita e