1

6. Trasmissione Numerica in Banda 6. Trasmissione Numerica in Banda BaseBase

INFO-COM Dpt.

Dipartimento di Scienza e Tecnica

dell’Informazione e della Comunicazione

Università degli Studi di Roma La Sapienza

TELECOMUNICAZIONITELECOMUNICAZIONI

per Ingegneria Informatica (secondo anno)per Ingegneria Informatica (secondo anno)

canale Acanale A --LL

Prof. Roberto Cusani

2Modulazione e Demodulazione Modulazione e Demodulazione numericanumerica

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

modulatore numerico

demodulatore numerico

mezzo trasmissivo

segnale analogico

segnale numerico

segnale numerico

segnale analogico

...0010111001...

...0010011001...

affetto da errori

affetto da distorsioni e

rumore

3Modulazione numerica: banda base e Modulazione numerica: banda base e banda traslatabanda traslata

banda base

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenza

contiguo all’origine

Mezzi trasmissiviin banda base

(es.: linea bifilare)

banda traslata

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo all’origine

Mezzi trasmissiviin banda traslata

(es.: trasmissioni radio)

f

X(f)

f

X(f)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

4Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/6)mediante segnali analogici (1/6)

� Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico :

� Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo

� Necessità di tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

t

- 5 V

0 1 0 0 0 1 0 1 …

Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU

Potenza luminosa entrante in una fibra ottica

0 1 0 0 0 1 0 1 …

P0

0

+ 5 V

t

5Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (2/6)mediante segnali analogici (2/6)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

0 T 2T 5T

a(0)g(t)

a(1)g(t-T)

a(2)g(t-2T)

t... 0 1 0 0 0 1 0 1 …

t

t

t

t

( )

( ) ( )n

x t

a n g t nT+∞

=−∞

=

= −∑

→→→→

→→→→

→→→→

→→→→

� sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza

biunivoca: Es. +5 ⇔ 0;-5 ⇔1 )... +5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …

6Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (3/6)mediante segnali analogici (3/6)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente

� alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., α –1}

� intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T

� velocità di emissione dei simboli: fs=1/T

� Esso è rappresentabile con il segnale

dove

� g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore

� i valori a(n) sono estratti da un insieme di a ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari ), biunivocamente associati agli a simboli dell’alfabeto [ a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 ]

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

7Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (4/6)mediante segnali analogici (4/6)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.

simboli ampiezze di impulso0 a01 a1

... ...α -1 aα−1

b(n) a(n)a

+1

-1

a

+1

-1

0a

+1

-1

+1/3

-1/3

� Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.

� Esempi:

α = 2 α = 3 α = 4

[ ]

21

1 i 0, 1, 2, ... , - 1

i

ia

αα

= −−

=

8Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (5/6)mediante segnali analogici (5/6)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)

� Spettro dell’onda PAM analogo allo spettro del segnale g(t)

� Larghezza di banda dell’onda PAM uguale a larghezza di banda del segnale g(t)

onda PAM

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

9Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (6/6)mediante segnali analogici (6/6)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Esempi di onde PAM

segnale PAM x(t)Forma di impulso g(t)

Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,αααα-1)

Ordine dell’alfabeto αααα

[+1, +1/3, -1/3, -1]4

[+1, 0, -1]3

[+1 , -1]2

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

0 T 2T

0 0 1 0

0 T 2T

0 0 1 2

0 T 2T

0 1 0 3

10

Modulazione numerica in banda baseModulazione numerica in banda base

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Obiettivi :

� trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;

� ottenere elevata efficienza di banda, definita come:

� Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t)

velocità di simbolo [(simboli/sec)/Hz]

larghezza di banda del segnale modulatos

m

f

f=

11Schema di principio di un modulatore Schema di principio di un modulatore PAMPAM

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

Segnale dalla sorgente

(rappres. PAM ideale)

Filtroformatore di impulso

con risposta impulsiva g(t)

Segnale PAM ideale

( ) )nTt( )n(atun

−δ= ∑∞+

−∞=

( ) ( )tgtu)t(x ∗=

Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

0 T 2T

0 0 1 0

0 t

0 0 1 0

t

12Modello di Canale lineare e permanente Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo affetto da rumore additivo GaussianoGaussiano

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

Canalelineare e permanente

C(f) = FT [c(t)]passa-basso

C(f) = 0 per |f | > fm

+

rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza

uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)“rumore Gaussiano bianco”

Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

−= ∑∞+

−∞=

y(t) = x(t) * c(t)

n(t) z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita

dal canale

0 T 2T

0 0 1 0

13

Demodulatore PAMDemodulatore PAM

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

z(t)segnale in

uscitadal canale

Filtro di ingressoal demodulatore

GR(f)

Campionamentonegli istanti

t = kT

Decisione

criterio di decisione

w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)

= r(t) + η(t)w(kT)

rumore filtrato

componenteutile

( ) * ( )Rn t g t

â(k) sequenza

stimata delle ampiezzetrasmesse

Esempio:w(kT) → +1,21 +0,66 -1,35 +1,17

a(k) → +1 +1 -1 +1

b(k) → 0 0 1 0

w(kT) ≥ 0 → a(k) = +1 ; w(kT) < 0 → a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

14

Modulazione numerica in banda baseModulazione numerica in banda base

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

Segnaledalla sorgente

Filtro formatore di impulso G(f)

( ) )nTt( )n(atun

−δ= ∑∞+

−∞=

( ) ( )tgtu)t(x ∗=

Canalelineare e permanente

C(f)+

z(t) = y(t) + n(t) == x(t)*c(t) + n(t)

Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)

Campionamentonegli istanti t = kT

Decisione

sequenza â(k)

w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)

w(kT)

n(t)

MODULATORE DEMODULATORE

CANALE

y(t)

15Componente di segnale utile Componente di segnale utile allall ’’ ingresso del ingresso del campionatorecampionatore

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑ −∗=

∗∗∗=∗∗=

∗=

∞+

−∞=n

R

R

R

nTtnath

tgtctgtu

tgtctx

tgtytr

)( )(

)(

δ

( ) )nTt(h )n(atrn

−= ∑∞+

−∞=

w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + η(t)

segnale utilerumore(filtrato)

� h(t) è la risposta impulsiva della cascata di tre filtri:

� formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore

� La cascata dei tre filtri ha funzione di trasferimento:

� H(f) = G(f)C(f)GR(f)

16

Demodulazione in assenza di rumoreDemodulazione in assenza di rumore

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Obiettivo : ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}

� Ipotesi : assenza di rumore n(t)=0⇒ h(t)=0

( ) ( ) ( ) ( ) )( )( nTthnatrttrtwn

−∑==+=∞+

−∞=η

( )

∑ −+=

−∑=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

n

n

nTkThnahka

nTkThnakTw

)( )()0( )(

)( )(

, n ≠ k

coincide con a(k) a meno della costante

(guadagno) h(0)

componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

Interferenza intersimbolica (ISI)

17Condizioni di Condizioni di NyquistNyquist e forme di e forme di impulso limitate nel tempoimpulso limitate nel tempo

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist

si ha sempre

w(kT) = a(k)

Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

( ) ∑ −+=∞+

−∞=nnTkThnahkakTw )( )()0( )(

1, k 0( )

0, k 0

perh kT

per

== ≠

18Interferenza intersimbolica e Interferenza intersimbolica e condizione di condizione di NyquistNyquist

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la

forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo in ±T/2.

� Esempio:

Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.

� PROBLEMI

� Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).

� Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi,

� H(f)=G(f)C(f)GR(f) deve essere limitata ossia nulla per .

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

h(t)

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

w(t)

mf >f

19Condizioni di Condizioni di NyquistNyquist nel dominio della nel dominio della frequenzafrequenza

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo:

la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza

� Esempio:

1 0 ( )

0 per 0

per kh kT

k

== ≠

Tm

mH f

T

+∞

=−∞

− =

∑

f

H(f)

-1/2T 0 +1/2Tf-2/T -1/T 0 +1/T +2/T

H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T)costante T

20Banda minima per la trasmissione di Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISIsegnali PAM senza ISI

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di

� Infatti, la somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante.

2simbolo di velocità

2

f

T21

f sN ===

Banda di Nyquist

f

-1/2T 0 +1/2T

H(f)

21Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a banda a banda limitata limitata -- passapassa --bassobasso di di NyquistNyquist

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Una particolare forma di impulso h0(t)

� limitato in banda

� che soddisfa le condizioni di Nyquist

� è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T

0

sin( )

t

Th t

t

T

π =π

f

T

-1/2T 0 +1/2T

( )

>

≤=

2T1

fper 0

2T1

fper 0

TfH

22Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a banda a banda limitatalimitata

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

Esempio:

� Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)

h0(t)

t

t

r(t)

T0

+1

+1

-1

0

f

H0(f)

T

-1/2T 0 +1/2T

23Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (1/3)rialzato (1/3)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato

( ) ( )

( )

T, per 0 (1 )

T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )

2

0 per 1

N

N N N

N

f f

Tf f f f fH f

f f

≤ ≤ − γ

π− − − γ ≤ < + γ= γ

> + γ

0 fN 2fN

H(f)

Tγ = 0.3

γ = 0.6γ = 1

γ = 0

γ fattore di roll-off,

0 < γ ≤ 1

24Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (2/3)rialzato (2/3)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� All’aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1 le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano piùrapidamente.

� Minore criticità nel campionamento in ricezione.

� La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)

γ = 0.3γ = 0.6γ = 1

γ =0

0 T 2T 3T 4T

h(t)

t

1

-4T -3T -2T -T

25Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (3/3)rialzato (3/3)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

Esempio:

� Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, (γ=0 e γ = 1) h(t)

T0

+1

t

h(t)

t

T0

+1

γ = 0 γ = 1

r(t)+1

-1

0 t

r(t)+1

-1

0 t

26Ricezione in presenza di interferenza Ricezione in presenza di interferenza intersimbolointersimbolo

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

T

+1

-1

T

� Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo

Esempio:

� Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori

non nulli di h(kT), per k ≠ 0]

� Segnale PAM corrispondente [i valori campionati sono diversi dai valori

di ampiezza trasmessi ±1]

27

Segnale PAM Segnale PAM multilivellomultilivello

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli)

� Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).

velocità di simbolo binario fb

velocità di simbolo

sorgente binaria

conversione di alfabeto2 → α

modulatore PAM ad α

livelli

canale in banda base

(freq. max. fm)

≥ s bm

2

f ff =

2 2log α

bs2

ff =

log α

28Vantaggi e svantaggi del PAM Vantaggi e svantaggi del PAM multilivellomultilivello

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� All’aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato abbiamo:

� Aumento dell’efficienza spettrale : Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb.

� Aumento della probabilità di errore : in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

29Demodulazione PAM in presenza di Demodulazione PAM in presenza di rumore di canalerumore di canale

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

� Obiettivo : ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}

� Ipotesi : rumore additivo Gaussiano bianco. Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione:

� Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha

( ) ( ) ( ) ( )t)nTt(h )n(attrtwn

η+−=η+= ∑∞+

−∞=

( ) ( ) ( ) ( )kTkakTkTrkTw ηη +=+= )(

Variabile con α valori possibili

Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza ση

2

30Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussiano . . Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

w(kT)=a(k)+h(kT)

� Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ?

Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)

� Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aα-1]}.

� La decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue:

a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}

≡

≡

∧≡

∧

∧

31Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussianoDecisore a minima distanza Decisore a minima distanza EuclideaEuclidea (2/3)(2/3)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

w(kT)=a(k)+h(kT),

� Poiché la componente di rumore h(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita èequivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili a valori {a0… aα-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno) dal valore misurato w(kT) w*.

� Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:

≡∧

a(k)=argmin{(w*- ai) }2∧

IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea

32Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussianoCaso del 2Caso del 2 --PAM (3/3)PAM (3/3)

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

w(kT)=a(k)+h(kT)

� Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario)

� Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, èequivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione

a(k)= (2-PAM)

� Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:

Pe P(a(k) a(k)).

≥ ∧

∧

+1, -1,

per w(kT) 0per w(kT) 0

≥≤

≜ ≠∧

∧

33ProbabilitProbabilit àà dd’’errore in presenza di rumore errore in presenza di rumore gaussianogaussiano -- Caso 2Caso 2 --PAMPAM

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

p [w(kT) | a(k) = -1]=

+1

-1

0

w(kT)

p [w(kT) | a(k) = +1]=

w(k) > 0

a(k) = -1

η(kT) > +1

w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0↓

â(kT) = +1 ≠ a(kT) “errore”

a(k)

( )| 1

0

| 1 eP p w a k dw

+∞

− = = − = ∫

( ) ee PPdp ==∫= +∞+

1|1

ηηη

Densità di probabilità gaussiana

34ProbabilitProbabilit àà dd’’errore nel PAM errore nel PAM multilivellomultilivelloCaso 4Caso 4 --PAMPAM

R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

w(kT)

valori di ampiezza possibili→ -A -A/3 +A/3 +A

livelli di decisione → -2A/3 0 +2A/3(criterio MLD)

( ) e

3/A

*P2d p2P

e=ηη= η

∞+

∫

Probabilità d’errore:per le due ampiezze estreme →(area )

per un’ampiezza interna →(somma delle due aree )

( ) ηη= η

∞+

∫ d pP

3/A

e

( )12 2 2

12

e e e

e

P P P

P

αα

αα

= − + =

−=

Probabilità d’errore media(per simboli equiprobabili) Formula generale