2x − 3 = 9
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
x + 5 = 6
(x − 1) 2 = x 2 + 2x + 1
2x = 12 + x
“Se a un numero addizioniamo 5 e poi sottraiamo il numero stesso, otteniamo 5”.
Questa frase può essere tradotta in un’uguaglianza. Infatti, se indichiamo con x il numero, possiamo scrivere:
Questa uguaglianza è vera per qualsiasi valore attribuito alla lettera x, per esempio:
x + 5 − x = 5
• se x = 2 allora 2 + 5 − 2 = 5 5 = 5• se x = 0 allora 0 + 5 − 0 = 5 5 = 5
Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità.
L’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi
valore attribuito alle lettere che in essa figurano.
• “Il doppio di un numero relativo addizionato al numero stesso dà come somma il triplo del numero.”
In termini matematici:2x + x = 3x 3x = 3x
Tale uguaglianza è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore venga attribuito alla lettera x.
• “Il triplo di un numero aumentato del suo doppio è uguale alquintuplo del numero.”Traduci questa frase in una espressione letterale: ...................
È una identità? ……
• L’uguaglianza (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 è un’identità perché è verificata per qualsiasi valore delle lettere a e b; per esempio:
se a = 0 e b = 1 allora (0 + 1)2 = 02 + 2 × 0 × 1 + 12, cioè 1 = 1;se a = 3 e b = 1 allora (3 + 1)2 = 32 + 2 × 3 × 1 + 12, cioè 16 = 16.
3x +2x = 5x 5x = 5x è una identità
“Se a un numero naturale addizioniamo 5, otteniamo 6”.
In termini matematici: x + 5 = 6
Tale uguaglianza è vera solo per un particolare valore attribuito alla lettera x, e cioè il valore 1. Infatti se x = 1 allora 1 + 5 = 6 6 = 6 (vero)
Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione e la lettera x si dice incognita. Incognita vuol dire “non conosciuta”.
Se invece, per esempio: x = 0 allora 0 + 5 = 6 5 = 6 (falso) x = 3 allora 3 + 5 = 6 8 = 6 (falso)
Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo
per particolari valori attribuiti all’incognita o alle incognite che in essa figurano.
• Se a un numero relativo aggiungiamo 8, otteniamo 5. Qual è il numero?
• Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze indicano un’identità(I) e quali un’equazione (E).2x + 3x = 5x ...... 2x + 3x = 5 ...... 2x = 0 ......0 • x = 0 ...... (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 ......
Indicando con y il numero che non conosciamo (l’incognita), l’equazione che traduce il problema è: y + 8 = 5L’uguaglianza è vera quando a y attribuiamo il valore −3. Infatti: −3 + 8 = 5
• Troviamo quel numero relativo che, elevato al quadrato, dà 25.x2 = 25
L’uguaglianza è vera quando a x attribuiamo due valori: 5 o −5. Infatti: (5)2 = 25 e (−5)2 = 25
I
I E E
E
Indicando con x l’incognita, l’equazione è:
Nelle equazioni l’espressione scritta a sinistra dell’uguale si dice 1° membro; quella a destra 2° membro:
2x = 25
1°membro
2° membro
1°membro
1°membro
2° membro
2° membro
y + 8 = 5 x2 = 25
• La lettera che compare nelle equazioni, ed esprime un valore numerico variabile, si dice incognita.
• Il numero che moltiplica l’incognita si dice coefficiente dell’incognita.
• I termini che non contengono incognite si dicono termini noti.
• Il valore che attribuito all’incognita rende vera l’uguaglianza, se esiste, si dice soluzione o radice dell’equazione. Un’equazione può avere più soluzioni o nessuna soluzione.
Risolvere un’equazione significa trovare le sue soluzioni.
La soluzione di un’equazione si indica solitamente con una semplice uguaglianza tra l’incognita utilizzata e il valore trovato.
2x = 25 y + 8 = 5 x2 = 25 a2 = −36
y = − 3 nessuna soluzionex = 5x = 2
25
Il grado di un’equazione a un’incognita è dato dall’esponente massimo con cui essa appare.
Se l’incognita compare con l’esponente 1 si ha un’equazione di 1° grado a un’incognita → y = 2
Se l’incognita compare con l’esponente 2 si ha un’equazione di 2° grado a un’incognita → x2 − 4 = 0
Avrai anche studiato le equazioni di Galileo (1564-1642) per il moto, che legano posizione e velocità di un corpo:
Lo sviluppo del saperescientifico è disseminatodi equazioni famose.
Sicuramente ti saràcapitato di leggere daqualche parte la celebreequazione di Albert Einstein(1879-1955), che lega l’energia alla massa:
E = mc2
Gli scienziati per descrivere ogni genere di situazione utilizzano spesso equazioni complicatissime.
x = x0 + v • t + a • t212
x • y = 24 è un’equazione di 2° grado perché il termine x • y è un monomio di 2º grado;
le incognite sono x e y e il termine noto è 24. I valori che rendono vera l’uguaglianza sono
infinite coppie ordinate: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (6, 4), ……..
• Indica le incognite, i termini noti e il grado delle seguenti equazioni.6x − 1 = 15 2 = 4 + 3a 3xy = 1
2x − 3 = 9
l’incognita è x i termini noti sono −3 e 9
è un’equazione di 1° grado
L’uguaglianza è vera per x = 6.
L’uguaglianza è vera per x = 5 e x = − 5.
x2 = 25
l’incognita è x il termine noto è 25
è un’equazione di 2° grado
L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica con S.
2x = 25 y + 8 = 5 x2 = 25 a2 = −36Nel caso delle equazioni:
S = {− 3} S = { + 5; −5 } S =
S = 2
25
È sempre importante considerare l’insieme in cui si opera.
Quando per un’equazione abbiamo S = , l’equazione si dice impossibile.
Allora diciamo che l’equazione è impossibile.
Infatti può accadere che:
non esista alcun valore che verifichi l’equazione.
il valore esista ma non sia accettabile perché non appartiene all’insieme di esistenza.
• Troviamo quel numero intero relativo che è uguale a se stesso aumentato di 2.
x = x + 2 x ∈ Z
La frase che esprime il problema ci fa capire che non può esistere alcun numero che verifichi questa uguaglianza: quindi l’equazione è impossibile non solo in Z ma in un qualsiasi altro insieme numerico.
• Troviamo quel numero naturale il cui doppio è uguale a 25.2x = 25 x ∈ N
L’uguaglianza risulta vera quando a x attribuiamo il valore2
25
infatti 2 • = 25 25 = 25 2
25
L’equazione è impossibile nell’insieme dei numeri naturali.
• in N □ x +1 = 3 □ 5x + 5 = 5 □ 3x = 5
• in Qa □ 5 + x = 0 □ 5x = 9 □ 4x = 1
• in R □ x2 = 4 □ x2 = −49
Tale valore però non è accettabile perché operiamo in N e 2
25 ∉N
Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono impossibili.
x
x
x
Una equazione è una ....................... fra due espressioni algebriche
di cui ........................ letterale, verificata solo per ..........................
attribuiti alla lettera o alle lettere che in essa figurano.
• Completa le frasi scegliendo tra i termini particolari valori, almeno due, disuguaglianza, uguaglianza, almeno una, qualsiasi valore.
Una identità è una ............................ fra due espressioni algebriche di
cui ................................ letterale, verificata per ..............................
attribuito alle lettere che in essa figurano.
uguaglianza
almeno una qualsiasi valore
particolari valori
uguaglianza
almeno una
• Verifica che l’uguaglianza x2 − 2x + 1 = (1 − x)2 è una identità attribuendo alla lettera x almeno quattro valori a piacere.
Se x = ...... allora ........................ Se x = ...... allora ........................Se x = ...... allora .......................Se x = ...... allora ........................
• Considera l’equazione 4x + 3 = 13x − 2 e i suoi vari elementi.
L’equazione assegnata è di primo o di secondo grado? ..................
Come riconosci se è di primo o di secondo grado? .........................…………………………………………………….• Scrivi:a) una equazione di primo grado con la sola incognita x: ...................
b) una equazione di primo grado con le incognite x e y: .....................
c) una equazione di secondo grado con la sola incognita y: ...............
primo
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