7/26/2019 1.1 Logica Matematica
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Lgica Matemtica
Docente: Ing. Gustavo Ramrez Zambrano
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Se dice que para sacar unaconclusin, hay que tener lainformacin, pero se puedeconcluir solo a partir de datos?
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Cada mano dibujaentre si una mangade camisa?
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Qu observas?Hay operarios arreglando la cerca y el piso, o estn reparando
la terraza y hay gente que intenta subir?
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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La lgica nos permite ir ms all de la informacin que
nos proporcionan nuestros sentidos y en un contexto
determinado.
Son posibles esas imgenes?
Por qu?
Qu ocurre si solo nos dejamos llevar por nuestros
sentidos?
Es necesario tener la informacin en un contexto ?
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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QU ES LA LGICA?
Es una disciplina que mediante reglas y tcnicas estudia la
forma del razonamiento.
En matemtica se emplea para demostrar teoremas; en
computacin, para validar un programa; en fsica, para dar
conclusiones de experimentos y, en la vida cotidiana, para
cualquier trabajo que se realiza ya que tiene un
procedimiento lgico.
Gracias a ella, el ser humano distingue la realidad de la
percepcin y defiende sus puntos de vista con argumentos
basados en hechos y datos. Esto lo logra utilizando su
inteligencia y con la ayuda de los conocimientos adquiridos.
La lgica es
un mtodo derazonamiento
que no acepta
conclusiones
errneas
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Qu es una proposicin?
Es un enunciado coherente que posee un valor de
verdad: verdadero (v) o falso (f), sinambigedades y en determinado contexto.E j . :
(2+3) = 4 + 9 (falso)
Manta es una ciudad de la costa de Ecuador.(verdadero)
Se simbolizan con letras minsculas (p; q; r; etc.)
Las Oraciones exclamativas, interrogativas oimperativas por naturaleza no son proposiciones.
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Ejemplos:
1. Guayaquil es la capital de Ecuador
2. 2 + 2 = 3
3. Qu hora es?
4. x + y = z
Proposicin
Proposicin
No es una Proposicin; oracin interrogativa
No es una Proposicin; desconocemos x, y, z
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Ejemplos:
5. Tome una taza de caf
Nota: Tom una taza de caf. Si es una proposicin
6. Alex Rodrguez es mejor jugador debeisbol que Dereck Jeter.
No es una Proposicin
No es una Proposicin; oracin imperativa
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Cules son los tipos de proposiciones?
Simples: Son aquellas que tienen una nica idea, esdecir una sola afirmacin, siempre en positivo.
Ejem. -6 es un nmero entero
Los universitarios tienen carnet de
medio pasaje.
Compuestas: Son aquellas que tienen dos o msproposiciones usando conectivos lgicos.
Ejem. Cusco est en el Per y el Per est enSudamrica
Si x = 4 x=2 o x=-2Gustavo Ramrez Zambrano
Ing. Civil10
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VAMOS A EJERCITARNOS Identifica si la proposicin es compuesta (C) o simple
(S).
Pablo es culto. Tres no es mayor que 5. Los cuadrilteros tienen cuatro lados. Ana y Jos son esposos. Rosa tiene 20 aos. Ana y Jos estn casados. No es cierto que 34 sea igual a 243.
S
C
C
S
S
C
CGustavo Ramrez Zambrano
Ing. Civil11
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Los conectores y sus respectivossmbolos son:
.............
.......
sisoloysi
entoncessi
negacin
o
y
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Ejemplos de proposicionescompuestas
Leo un libro y leo el Vocero.
Si l lo dijo, entonces es cierto.
Maana ser Domingo.
Nota: Maana no ser Domingo.Aunque no consta de dos proposiciones, para
conveniencia se considera compuesta ya que su valorde verdad depende de una proposicin diferente.Maana ser Domingo.
Compuesta; conectivo y
Compuesta; conectivo sientonces
No es compuesta
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Ejemplos de proposicionescompuestas
La firma de abogados que atendi el caso sellam Goldman Antonetti y Cordva, P.S.C
No es compuesta; y no es un conectivo en este caso porque y es parte del nombre de la firma de abogados
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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CONECTORES LGICOSLlamados tambin operadoreslgicos , son palabras que sirven para
enlazar proposiciones simples ocambiar el valor de verdad de unaproposicin.
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Conectores Logicos
;qp ,qop Disyunc in inc lus i va p y q: proposicincompuesta que es falsa cuando ambasp yqsonfalsas y verdadera en otro caso.
p q
F F F
qp
;qp ,qyp conjunc in p yq: proposicin compuesta quees verdadera cuando tanto comop yq sonverdadera y falsa en otro caso.
p q
V V V
qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Conectores Logicos
;qp ,qp Disyunc in exc lus iva p y q: proposicincompuesta que es verdadera cuando solamenteunap yqsea verdadera y falso en otro caso.
p q
V F V
F V V
qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Conectores Logicos
;p ,pno negac in de p: proposicin formada al escribirno es el caso que o es falso que antes depoal insertar la palabra no de manera adecuadaenp.
;qp si p en tonces q: proposicin compuestacondicional la cual es falsa cuando p esverdadera yqes falsa, y verdadera en otro caso
p
V F
p
p q
V F F
qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Conectores Logicos
;qp
;BA A y Bson lgicamente equivalentes:Las formas proposicionales
son lgicamente equivalentes si tienen tablas de
verdad idnticas. A esto es lo que se le conocecomo una tautologa.
p s i y slo s i q : proposicin compuestabicondicional la cual es verdadera cuandopyqtienen los mismos valores de verdad y falsa encaso contrario.
nppppA ,...,,, 321 nqqqqB ,...,,, 321
p q
V V V
F F V
qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Conectores Logicos
por lo tanto
para todo
existe
Cuantificadores
Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno
Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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CONECTORES LGICOS
CONECTOR EXPRESIONES EQUIVALENTES
CONJUNCIN
Sin embargo, aunque, tambin, pero, adems, a la vez,no obstante, mas, etc.
Tambin con signos de puntuacin como: la coma, elpunto, y el punto y coma.
DISYUNCION EXCLUSIVA o, o slo, o solamente, o.., o.
CONDICIONALPor consiguiente, puesto que, porque, ya que,
si p, entonces q, o cualquier expresin que denotecausa y efecto.
NEGACIN
No es cierto que, es falso que, no es el caso que, no, ni,
no es verdad que, etc.
BICONDICIONALp si y solo si q, p si y solamente si q, p implica q y q
implica p, p cuando y solo cuando bGustavo Ramrez Zambrano
Ing. Civil21
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Uso de conectores lgicos
Sean p que representa Hoy estamos a 80F,q que representa Hoy es martes.
Transcriba cada proposicin simblica en palabras
:)1 qp Hoy estamos a 80F o es martes.
:)2 qp Hoy no estamos a 80F y es martes.
:)3 qp No es el caso que hoy estemos a80F o que sea martes.
sta proposicin se puede traducir como ni p ni q o qp Gustavo Ramrez Zambrano
Ing. Civil22
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Uso de conectores lgicos
Sean p que representa Hoy estamos a 80F,q que representa Hoy es martes.
Transcriba cada proposicin simblica en palabras
:)4 qp
qp
No es el caso que hoy estemos a80F y sea martes.
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EJEMPLIFICANDO
Dadas las siguientes proposiciones: p : Estudio sistemticamente q : Obtendr buenas calificaciones en lgebra
r : Voy a bailar todos los fines de semana s : Me sentir felizEscriba con palabras la siguiente proposicin:
(~ p r ) ~ qSi no estdio sistemticamente y voy a bailartodos los fines de semana entonces no obtendrbuenas calificaciones en lgebra.
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EJEMPLIFICANDO
Dadas las siguientes proposiciones: p : a es un nmero par q : 2a es un nmero par
r : a es un mltiplo de 6 s : a < 10
Escribe con smbolos la siguiente proposicin:
Si a es un nmero par y mltiplo de 6, entonces 2a
es par o a es menor que 10(p r) (q s)
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EJEMPLIFICANDO
Determina el valor de verdad de las siguientesexpresiones, si sabes que: (V) p: Mara es doctora.
(F) q: Mara es casada. (V) r: Mara vive con sus padres. (F) s: Mara viajar a Espaa.
(q r) s (p r) (p q)
(F F) F (V V) (V F)
V F V F
F V
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Veamos otrasaplicaciones de la lgica
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EL ACERTIJO DEL REY
Un rey plantea a los pretendientes de su hija
lo siguiente: Se casa con mi hija quien determine en cual
de los cofres se encuentra mi retrato
Si se sabe que de las inscripciones solo una esfalsa, en cul de los cofres se encuentra elretrato?
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EL ACERTIJO DEL REY
A
EL RETRATO ESTA EN ESTECOFRE
BEL RETRATO NO ESTA EN
ESTE COFRE
CEL RETRATO ESTA EN ELCOFRE DEL CENTRO
Recuerda solo unainscripcin es falsa
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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SOLUCION
Analizando lo escrito en el cofre A: Si A es verdadero, entonces B es verdadero y C es falso.
Analizando lo escrito en el cofre B: Si B es verdadero, entonces C es falso y A es verdadero.
Analizando lo escrito en el cofre C: Si C es verdadero, entonces A es falso y B es falso.
Por lo tanto, el retrato se encuentra en el cofre: A
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Orden de prioridad de los conectoreslgicos
Se usar generalmente parntesis paraespecificar el orden en que se aplicarn losoperadores lgicos.
De no haber parntesis, se adopta el siguienteorden de prioridad.
Conectivo Prioridad
1
2
3
4
5
Gustavo Ramrez Zambrano
Ing. Civil31
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Tablas de verdad
Una proposicin lgica con ncomponentes tendr renglones en sutabla de verdad.
n2
V F
F V
pp Nota: p proposicin (1 componente):
renglones.
renglones.
renglones.
221
42 2
82
3
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Tablas de verdad
V V V
V F F
F V FF F F
p q qp
V V V
V F V
F V V
F F F
p q qp
disyunc in p yq: proposicin compuesta quees falsa cuando ambasp yq son falsas yverdadera en otro caso.
conjunc in p yq: proposicin compuesta quees verdadera cuando tanto comop yq sonverdadera y falsa en otro caso.
42 2 renglones
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Tablas de verdad
V V V
V F F
F V V
F F V
p q qp
V V V
V F F
F V FF F V
p q qp
s i p entonces q : proposicin compuestacondicional la cual es falsa cuando p esverdadera yqes falsa, y verdadera en otro caso
p s i y slo s i q : proposicin compuestabicondicional la cual es verdadera cuandopyqtienen los mismos valores de verdad y falsa encaso contrario.
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Tautologa y Contradiccin
Una proposicin compuesta
Se denominatautologa si es verdadera para todaasignacin de verdad, y ycontradiccin si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
V
F
p p pp pp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Tautologa y Contradiccin
Una proposicin compuesta
Se denominatautologa si es verdadera para todaasignacin de verdad, ycontradiccin si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
V F
F V
p p pp pp
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Tautologa y Contradiccin
Una proposicin compuesta
Se denominatautologa si es verdadera para todaasignacin de verdad, y ycontradiccin si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
V F V
F V V
p p pp pp
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Tautologa y Contradiccin
Una proposicin compuesta
Se denominatautologa si es verdadera para todaasignacin de verdad, y ycontradiccin si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
V F V F
F V V F
p p pp pp
pp Es una tautologapp Es una contradiccin
Contingencia:
si existieran valores deverdad verdaderos yfalsos para las formasproposicionales.
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Proposiciones equivalentes
V V
V F
F V
F F
p q qp qp p q qp
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Proposiciones equivalentes
V V V
V F V
F V V
F F F
p q qp qp p q qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Proposiciones equivalentes
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
p q qp qp p q qp
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Proposiciones equivalentes
V V V F F
V F V F F
F V V F V
F F F V V
p q qp qp p q qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Proposiciones equivalentes
V V V F F F
V F V F F V
F V V F V F
F F F V V V
p q qp qp p q qp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Proposiciones equivalentes
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
p q qp qp p q qp
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Proposiciones equivalentes
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
p q qp qp p q qp
entonces qpqp
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Leyes del lgebra de proposiciones
1. Ley de idempotencia
2. Ley de identidad
Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces
Suponga que p es falso, entonces
pppppp ,
pVppFp ,
p
V
FV
Fp
p
F
FF
Fp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Leyes del lgebra de proposiciones
3. Ley dominante
Prueba:
,VVp
V
VV
Vp
V
VF
Fp
F
FV
Vp
F
FF
Fp
FFp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Leyes del lgebra de proposiciones
4. Ley de complemento
5. Ley conmutativa
6. Ley asociativa
Vpp
Fpp
pqqp
pqqp
rqprqp
rqprqp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Leyes del lgebra de proposiciones
7. Ley distributiva
8. Ley de absorcin
9. Ley de Morgan pqqp
pqqp
pqpp
pqpp
rpqprqp
rpqprqp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Leyes del lgebra de proposiciones
10. Ley de la negacin
11. Ley Involutiva
12. Ley contrarecproca
13. Ley de implicacin
VF
FV
pp )(
)()( pqqp
)()(
)()(
)()(
qpqp
qpqp
qpqp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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Leyes del lgebra de proposiciones
13. Ley de implicacin
14. Ley de exportacin
15. Reduccin al absurdo
16. Ley de equivalencia
) ]([) ]()[(
])[() ]()[(
rqprpqp
rqprqrp
) ]([])[( rqprqp
])[()( Fqpqp
)()(
) ]()[()(
pqqp
pqqpqp
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EJEMPLO
ppqp )(
Sin tabla de verdad, y utilizando las propiedades demostrar que:
)()()( Fpqppqp
)( Fqp
Fp
p
Desarrollo:
Por leyes de identidad
Propiedad distributiva
Por identidad
Por identidad
Gustavo Ramrez ZambranoIng. Civil
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EVALUNDONOS
Qu aprendimos?
Cmo lo aprendimos?
Por qu es til lo aprendido?Gustavo Ramrez Zambrano
Ing. Civil53
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