1
Numeri complessi
Nel corso dello studio della matematica si assiste ad una progressiva estensione delconcetto di numero. Dall’insieme degli interi naturali N si passa a quello degli interirelativi Z per poi giungere ai razionali Q e ancora ai reali R. Spesso questi ampliamentivengono giustificati con l’incapacita di risolvere in un certo insieme un determinatoproblema. Ad esempio l’equazione
x2 = 2
non ha soluzione nell’insieme dei razionali, mentre ne ha ben due nell’estensione R,ossia
√2 e −
√2. La necessita di ampliare ulteriormente i numeri reali si presenta
invece quando si prova a risolvere un’altra equazione di secondo grado:
x2 = −1.
Il problema in questo caso e comune a tutte le risoluzioni di equazioni di secondo gradocon discriminante negativo e consiste nel fatto che la funzione reale radice quadratanon e definita per numeri negativi. Come vedremo l’insieme dei numeri complessi, chedenoteremo con il simbolo C, permettera di dare una risposta a questo problema.
1. La definizione di numero complesso e le sue rappresentazioni
L’estensione consiste nel passaggio dalla dimensione uno della retta (reale) alla dimen-sione due del piano (complesso). Un numero complesso z si identifica dunque comeun punto nel piano e comunemente viene rappresentato in due modi: nella formacartesiana e nella forma esponenziale.Nella forma cartesiana il numero complesso z viene individuato dalle sue coordinate(reali) x e y e si puo scrivere
z = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy
dove i particolari numeri complessi (1, 0) e (0, 1) sono stati identificati rispettivamentecon l’unita reale 1 e l’unita immaginaria i.
b
b
b
1
i
z = x + iy
x
y
2 Roberto Tauraso - Analisi 2
La coordinata x e la parte reale di z mentre y e la parte immaginaria di z:
x = Re(z) , y = Im(z).
Nella forma esponenziale il numero complesso z viene invece individuato dal modulo
|z|, ossia la distanza del punto z dall’origine, e dall’argomento, ossia l’angolo θ com-preso tra la direzione positiva dell’asse delle x e la semiretta uscente dall’origine epassante per z. Tale angolo viene espresso in radianti e non e definito quando z = 0,mentre per z 6= 0 e determinato a meno di multipli di 2π (che corrisponde ad un angologiro). In questo modo possiamo scrivere
z = |z| eiθ
dove il simbolo eiθ e definito come il numero complesso di modulo unitario cos θ+i sin θ.
b
b
b
b
1
i
eiθ
z = |z| eiθ
|z|θ
⋄
Esempio 1.1 Rappresentiamo nel piano il numero complesso z1 =√
3 + i, scritto informa cartesiana, e il numero complesso z2 = 2 ei 3π
4 , scritto in forma esponenziale.
b
b
z1 =√
3 + iz2 = 2ei 3π
4
Si osservi che la forma esponenziale di z2 non e unica:
z2 = 2 ei 3π
4 = 2 ei( 3π
4+2π) = 2 ei 11π
4 = ei( 3π
4−2π) = 2 e−i 5π
4 .
La seguente figura ci aiuta a capire come passare da una forma all’altra
Numeri complessi 3
b
b
b
1
i
z = x + iy = |z|eiθ
x
y
|z|
θ
Il passaggio dalla forma cartesiana a quella esponenziale e complicato dall’indetermi-nazione dell’argomento:
Dalla forma cartesiana alla forma esponenziale
Se z = x + iy 6= 0 allora
|z| =√
x2 + y2 e θ =
{arccos( x
|z|) se y ≥ 0
− arccos( x|z|) se y < 0
In questo modo viene calcolato solo uno degli infiniti argomenti associati a z e pre-cisamente quello compreso nell’intervallo (−π, π]. L’insieme completo dei possibiliargomenti e dato da: θ + 2kπ con k ∈ Z.
Il passaggio inverso e piu semplice:
Dalla forma esponenziale alla forma cartesiana
Se z = |z| eiθ allora
x = Re(z) = |z| cos θ e y = Im(z) = |z| sin θ.
⋄
Esempio 1.2 Proviamo a convertire i numeri complessi dell’esempio precedente.
(1) Per z1 =√
3 + i
|z1| =
√(√
3)2 + (1)2 =√
4 = 2 e θ1 = arccos
(√3
2
)=
π
6
quindi z1 = 2 ei π
6 .
(2) Per z2 = 2 ei 3π
4
x2 = 2 cos
(3π
4
)= −
√2 e y2 = 2 sin
(3π
4
)=
√2.
quindi z2 = −√
2 + i√
2.
4 Roberto Tauraso - Analisi 2
2. La somma
L’operazione di somma di due numeri complessi e piuttosto semplice: si tratta discrivere gli addendi in forma cartesiana e di sommare separatamente le parti reali e leparti immaginarie.
Somma
Se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 allora
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
⋄
Esempio 2.1. Se z1 = −2 + 32i e z2 = 3 + i allora
z1 + z2 =
(−2 +
3
2i
)+ (3 + i) = (−2 + 3) + i
(3
2+ 1
)= 1 +
5
2i
Nel piano la somma si puo individuare costruendo un parallelogramma di lati z1 e z2.
b
b
b
z1
z2
z1 + z2
3. Il prodotto
La definizione dell’operazione di prodotto tra due numeri complessi e un po’ piu deli-cata: per moltiplicare z1 = x1 + iy1 per z2 = x2 + iy2 ci comportiamo come il prodottodi due binomi:
(x1 + iy1) · (x2 + iy2) = x1(x2 + iy2) + iy1(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i2y1y2.
In questo modo la definizione di prodotto dipende dal risultato di i · i = i2. Datoche l’introduzione dei numeri complessi e motivata proprio dal desiderio di risolverel’equazione z2 = −1, “decidiamo” che il numero complesso i sia una delle soluzionecercate, ossia che i2 = −1. Con questa scelta la definizione completa di prodottodiventa:
Prodotto in forma cartesiana
Se z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 allora
z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
Numeri complessi 5
Proviamo a riprendere i numeri dell’esempio precedente e a farne il prodotto.
⋄
Esempio 3.1 Se z1 = −2 + 32i e z2 = 3 + i allora
z1 · z2 =
(−2 · 3 − 1 · 3
2
)+ i
(−2 · 1 + 3 · 3
2
)= −15
2+
5
2i
L’interpretazione geometrica del prodotto diventa piu evidente se i fattori sono scrittiin forma esponenziale:
Prodotto in forma esponenziale
Se z1 = |z1|eiθ1 e z2 = |z2|eiθ2 allora
z1 · z2 = |z1||z2|ei(θ1+θ2).
Dunque nel prodotto di due numeri complessi i moduli si moltiplicano mentre gli argo-menti si sommano (e questo giustifica la scelta del simbolo esponenziale). Verifichiamoquesta proprieta ricordando ancora una volta che i2 = −1:
z1 · z2 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) · |z2|(cos θ2 + i sin θ2)
= |z1||z2| ((cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2))
= |z1||z2| (cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))
= |z1||z2|ei(θ1+θ2).
Un caso particolare molto interessante e il prodotto di un numero complesso z per i.Per quanto detto, la moltiplicazione per i = ei π
2 corrisponde a una rotazione di 90gradi in senso antiorario.
b
b
z
iz
Proviamo a calcolare un altro prodotto descrivendo i passi dell’operazione nel pianocomplesso.
⋄
6 Roberto Tauraso - Analisi 2
Esempio 3.2. Calcoliamo il prodotto di z1 = −12
+ i per z2 = 3 + i:
z1 · z2 =
(−1
2+ i
)· z2 = −1
2z2 + iz2 =
(−3
2− 1
2i
)+ (3i − 1) = −5
2+
5
2i
b b
b
b
b
z1 z2
iz2
−12z2
z1 · z2
4. Il coniugato e il quoziente
Il coniugato z di un numero complesso z = x + iy e definito nel modo seguente
z = x − iy
e corrisponde al punto simmetrico di z rispetto all’asse reale. Quindi in forma espo-nenziale: se z = |z|eiθ allora z = |z|e−iθ
b
b
z
z
θ
−θ
⋄Esempio 4.1 Determiniamo l’insieme dei numeri complessi z tali che
z2 + z2 = 0.
Riscriviamo l’equazione ponendo z = x + iy
(x + iy)2 + (x − iy)2 = (x2 + 2ixy − y2) + (x2 − 2ixy − y2) = 2(x2 − y2) = 0.
Quindi le coordinate dei punti del piano complesso C richiesti sono tali che
(x2 − y2) = (x + y)(x− y) = 0
ossia le rette y = −x e y = x.
Numeri complessi 7
⋄
Notiamo che
z · z = (x + iy)(x − iy) = x2 + ixy − ixy − i2y2 = x2 + y2 = |z|2.
Questa relazione permette di calcolare il quoziente di due numeri complessi ricon-ducendolo ad un prodotto:
Quoziente
Se z2 6= 0 alloraz1
z2=
z1 · z2
z2 · z2=
z1 · z2
|z2|2.
⋄
Esempio 4.2 Calcoliamo il quoziente di z1 = −1 + i e z2 = 3 + i:
z1
z2=
z1 · z2
|z2|2=
(−1 + i) · (3 − i)
32 + 12=
(−1 + i) · (3 − i)
10= −1
5+ i
2
5.
Nel caso in cui i numeri siano in forma esponenziale, anche per il quoziente si ottieneuna formula significativa: se z1 = |z1| eiθ1 e z2 = |z2| eiθ2 allora
z1
z2
=z1 · z2
|z2|2=
|z1| eiθ1 · |z2| e−iθ2
|z2|2=
|z1||z2|
ei(θ1−θ2).
Dunque nel quoziente di due numeri complessi i moduli si dividono mentre gli argo-menti si sottraggono.
⋄
Esempio 4.3. Calcoliamo il quoziente di z1 = 2 ei π
3 e z2 = 3 ei π
4 :
z1
z2=
2
3ei(π
3−π
4) =
2
3ei π
12 .
5. Potenza di un numero complesso
Come abbiamo visto, la forma esponenziale risulta particolarmente comoda quandosi devono effettuare prodotti o quozienti. Per esempio il calcolo del quadrato di unnumero complesso z = |z|eiθ si svolge nel seguente modo
z2 = |z| eiθ · |z| eiθ = |z|2ei(θ+θ) = |z|2ei2θ.
Piu in generale il calcolo della potenza n-esima con n intero positivo diventa
zn = |z|neinθ
ossia bisogna elevare il modulo alla n e moltiplicare per n l’argomento (se z = 0 allorazn = 0).
8 Roberto Tauraso - Analisi 2
⋄
Esempio 5.1 Calcoliamo le potenze di z =√
2 ei π
3 per n = 1, 2, 3:
z =√
2 ei π
3 , z2 = 2 ei 2π
3 , z3 = 2√
2 eiπ = −2√
2.
Questi punti sono riportati nella figura seguente evidenziando la loro posizione rispettoalla circonferenza unitaria.
b
b
b
z
z2
z3
Ora facciamo un altro esempio, questa volta partendo da un numero in forma carte-siana.
⋄
Esempio 5.2 Calcoliamo le potenze di z = 12− 1
2i per n = 1, 2, 3. Per agevolare il
calcolo riscriviamo il numero in forma esponenziale:
|z| =√
x2 + y2 =1√2
e θ = − arccos
(x
|z|
)= − arccos
(1√2
)= −π
4.
Quindi determiniamo le potenze richieste
z =1√2
e−i π
4 , z2 =1
2e−i π
2 = − i
2, z3 =
1
2√
2e−3i π
4 .
Questi punti sono riportati nella figura seguente evidenziando la loro posizione rispettoalla circonferenza unitaria.
bb
b
zz2z3
⋄
Numeri complessi 9
Da questi esempi si puo osservare che, facendo le successive potenze di un numerocomplesso z, i punti corrispondenti “girano” attorno all’origine. Se inoltre |z| > 1allora i punti si allontanano indefinitamente (|z|n → +∞), se |z| = 1 i punti rimangonosulla circonferenza unitaria (|z|n = 1) e infine se |z| < 1 i punti si avvicinano all’origine(|z|n → 0). Se riprendiamo il punto z dell’esempio precedente e proviamo a disegnarenel piano le prime 10 potenze otteniamo:
bb
b
b
b bbbbb
z
6. Radici di un numero complesso
Passiamo ora all’analisi del problema inverso: se conosciamo la potenza n-esima diun numero complesso, come facciamo a calcolare il numero originale? Ossia dato unnumero complesso z quante e quali sono le soluzioni w dell’equazione wn = z? Sez = 0 la risposta e banale: l’unica soluzione possibile e proprio w = 0. Supponiamoquindi che z 6= 0 e iniziamo a ragionare nel caso particolare in cui z = 1.
Se n = 2 l’equazione da risolvere e w2 = 1. Se esprimiamo l’incognita in formaesponenziale otteniamo: w = |w| eiϕ e
w2 = |w|2ei2ϕ = 1 ei0 = 1.
Dato che due numeri complessi in forma esponenziale sono uguali se e solo se i loromoduli sono uguali e i loro argomenti differiscono di un multiplo di 2π, abbiamo che
|w|2 = 1 e 2ϕ = 0 + 2kπ con k ∈ Z.
Questo vuol dire che |w| = 1 (il modulo e un numero reale non negativo) e i possibiliargomenti di w sono
ϕ =0 + 2kπ
2= kπ con k ∈ Z.
Quindi l’insieme delle soluzioni si scrive come{wk = eikπ : k ∈ Z
}.
Apparentemente questo insieme contiene infiniti elementi che dipendono dal parametrok ∈ Z. Se pero esaminiamo gli elementi con piu attenzione ci accorgiamo che
eikπ = 1 se k e pari e eikπ = −1 se k e dispari
10 Roberto Tauraso - Analisi 2
ossia {wk = eikπ : k ∈ Z
}={wk = eikπ : k = 0, 1
}= {1,−1} .
Cosı le soluzioni sono esattamente 2 e sono quelle che potevamo determinare gianell’ambito dei numeri reali: w0 = 1 e w1 = −1.
Proviamo ora a vedere cosa succede per n = 3. L’equazione da risolvere e w3 = 1e se ripercorriamo i passaggi del caso precedente otteniamo:
w3 = |w|3ei3ϕ = 1,
che equivale a
|w| = 1 e ϕ =2kπ
3con k ∈ Z.
e l’insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come
{wk = ei 2kπ
3 : k ∈ Z
}={wk = ei 2kπ
3 : k = 0, 1, 2}
={
1, ei 2π
3 , ei 4π
3
}.
Dunque le soluzioni sono esattamente 3: oltre a quella che ci aspettavamo dal casoreale, w0 = 1, abbiamo ottenuto anche w1 = ei2π
3 e w2 = ei 4π
3 . Riportando i punti nelpiano possiamo notare che queste soluzioni stanno tutte sulla circonferenza unitaria eindividuano i vertici di un triangolo equilatero.
b
b
b
w0
w1
w2
Ora dovrebbe essere chiaro cosa si ottiene per z = 1 quando n e un intero positivoqualunque: le soluzioni dell’equazione
wn = 1
sono n e precisamente
{wk = ei 2kπ
n : k = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}
={
1, ei 2π
n , ei 4π
n , . . . , ei2(n−1)π
n
}.
Nel piano questi numeri, dette radici n-esime dell’unita, sono disposti ai vertici di unpoligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza unitaria e con un vertice in 1.
⋄
Numeri complessi 11
Esempio 6.1 Calcoliamo le radici quarte dell’unita. Risolvendo l’equazione w4 = 1otteniamo
{wk = ei 2kπ
4 : k = 0, 1, 2, 3}
={
1, ei π
2 , eiπ, ei 3π
2
}= {1, i,−1,−i} .
b
b
b
b
w0
w1
w2
w3
⋄
Il caso piu generale, quando z e un generico numero complesso diverso da zero, siaffronta nello stesso modo e la conclusione e la seguente:
Radici n-esime
Se z = |z|eiθ 6= 0 allora l’insieme delle soluzioni dell’equazionewn = z e costituito da n numeri distinti dette radici n-esime di z:
{wk = n
√|z| ei( θ
n+ 2kπ
n) : k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
}.
Nel piano i punti corrispondenti a ogni wk sono disposti ai vertici di un poligonoregolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio n
√|z| centrata in 0 e con un
vertice in ei θ
n .
⋄
Esempio 6.2 Risolviamo l’equazione w2 = −1. Si tratta di determinare le due radiciquadrate del numero z = −1 = eiπ:
{wk = ei(π
2+kπ) : k = 0, 1
}= {i,−i} .
In questo caso, il poligono regolare e costituito dai due punti opposti i e −i.
⋄
12 Roberto Tauraso - Analisi 2
Esempio 6.3 Calcoliamo le radici quinte di z = 2i = 2ei π
2 :
{wk =
5√
2 ei( π
10+ 2kπ
5 ) : k = 0, 1, 2, 3, 4}
.
b
b
b
b
b
b
w0 = 5√
2 ei π
10
b2i
Quindi otteniamo un pentagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio 5√
2centrata in 0. L’argomento del vertice w0 e π
10ossia 1
5dell’argomento di 2i che e
uguale a π2.
⋄
Esempio 6.4 Calcoliamo l’area del poligono di vertici
{z ∈ C : z4 = 4
√5(1 + 2i)
}.
I vertici sono le radici quarte del numero 4√
5(1 + 2i) e quindi, per quanto detto,individuano un quadrato centrato nell’origine.
b
b
b
b
z0
z1
z2
z3
Per calcolare l’area di questo quadrato e necessario sapere solo il raggio r della circon-ferenza circoscritta ovvero il modulo delle radici:
r = (4√
5|1 + 2i|)1/4 = (4√
5√
12 + 22)1/4 = (20)1/4.
Numeri complessi 13
Quindi sapendo che il lato del quadrato e√
2r, l’area e uguale a
(√
2r)2 = 2r2 = 2(20)1/2 = 4√
5.
⋄Esempio 6.5 Calcoliamo il limite lim
n→∞pn, dove pn e il perimetro del poligono di vertici
{z ∈ C : z2n = 4n
}.
L’equazione z2n = 4n = 22n individua i vertici di un poligono regolare di 2n latiinscritto nella circonferenza centrata in 0 e di raggio 2. Al crescere di n, il numero dilati aumenta e e la successione di poligoni tende alla circonferenza in cui sono iscritto.Quindi il limite della successione dei loro perimetri e la lunghezza di tale circonferenzaossia 4π.
7. Equazione di secondo grado in C
In quest’ultima parte vogliamo discutere la risoluzione di una generica equazione disecondo grado
az2 + bz + c = 0.
quando i coefficienti a, b, c ∈ C (a 6= 0). Si puo verificare che la formula per determinarele soluzioni nel caso reale e ancora valida nel caso complesso
z1,2 =−b ±
√∆
2a,
dove il simbolo ±√
∆ rappresenta le due radici quadrate del numero complesso ∆ =b2 − 4ac. Quindi, a differenza del caso reale, un’equazione di secondo grado in C
ammette sempre due soluzioni (eventualmente coincidenti).
⋄Esempio 7.1 Risolviamo l’equazione z2 − 4z + 4 − 1
2i = 0: in questo caso
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(4 − 1
2i) = 2i.
Le due radici quadrate di 2i sono
w1 =√
2 ei π
4 = 1 + i e w2 =√
2 ei 5π
4 = −1 − i = −w1.
Quindi
z1 =−b + w1
2a=
4 + 1 + i
2=
5
2+
1
2i e z2 =
−b − w1
2a=
4 − 1 − i
2=
3
2− 1
2i.
Provate a ottenere lo stesso risultato dopo aver osservato che l’equazione data puoessere riscritta nel seguente modo:
(z − 2)2 =1
2i.
14 Roberto Tauraso - Analisi 2
⋄
La situazione descritta per un’equazione polinomiale di grado 2 si generalizza alcaso di un’equazione polinomiale di grado n:
Teorema fondamentale dell’algebra
Sia P (z) = an zn + · · · + a1 z + a0 un polinomio di grado n > 0a coefficienti in C. Allora l’equazione P (z) = 0 ha n soluzionicomplesse z1, z2, · · · , zn (tenendo conto delle molteplicita) e inoltre
P (z) = an · (z − z1) · (z − z2) · · · (z − zn).
⋄
Esempio 7.2 Risolviamo l’equazione
P (z) = z4 + (1 − 2i)z2 − 2i = 0
e poi fattorizziamo il polinomio P (z).Poniamo w = z2:
w2 + (1 − 2i)w − 2i = 0.
In questo caso ∆ = (1−2i)2 +8i = −3+4i = 5eiθ. Possiamo determinare le due radiciquadrate di ∆ senza determinare θ ∈ [0, 2π), ricordando le formule di bisezione:
cos(θ/2) = ±√
1 + cos θ
2, sin(θ/2) =
√1 − cos θ
2
dove il segno e positivo se θ ∈ [0, π] ovvero se sin θ ≥ 0. Nel nostro caso cos θ = −3/5e sin θ = 4/5, cosı
cos(θ/2) =
√1
2
(1 − 3
5
)=
1√5
, sin(θ/2) =
√1
2
(1 +
3
5
)=
2√5
e±√
∆ = ±√
5eiθ/2 = ±√
5(cos(θ/2) + i sin(θ/2)) = ±(1 + 2i).
Dunque le soluzioni sono w1 = −1 e w2 = 2i e
w2 + (1 − 2i)w − 2i = (w − (−1)) · (w − 2i) = (z2 + 1) · (z2 − 2i) = 0.
Ora basta risolvere le equazioni che si ottengono uguagliando a zero i singoli fattori:
z2 = −1 e z2 = 2i.
Quindi le 4 soluzioni dell’equazione data sono:
z1 = i, z2 = −i e z3 = 1 + i, z4 = −1 − i
Inoltre, il polinomio dato puo essere fattorizzato nel seguente modo
P (z) = z4 + (1 − 2i)z2 − 2i = (z − i) · (z + i) · (z − 1 − i) · (z + 1 + i).
Numeri complessi 15
⋄
Esempio 7.3 Determiniamo il numero di elementi dell’insieme delle soluzioni dell’e-quazione
P (z) = (z4 − 1)2 · (z3 − 1) = 0.
Il polinomio P (z) ha grado 4·2+3 = 11 quindi per il teorema fondamentale dell’algebraci aspettiamo 11 soluzioni (non necessariamente distinte). Nell’insieme delle soluzionigli elementi multipli contano pero una sola volta e quindi la domanda equivale adeterminare il numero di soluzioni distinte.Il fattore (z4 − 1)2 ha quattro zeri distinti ciascuno con molteplicita 2:
1 , i , −1 , −i.
Il fattore (z3 − 1) ha tre zeri distinti ciascuno con molteplicita 1:
1 , (−1 + i√
3)/2 , (−1 − i√
3)/2.
Quindi l’insieme delle soluzioni dell’equazione P (z) = 0 e:{
1, i,−1,−i, (−1 + i√
3)/2, (−1 − i√
3)/2}
e il numero dei suoi elementi e 6.
⋄
Esempio 7.4 Determiniamo il perimetro e l’area del poligono i cui vertici soddisfanol’equazione
P (z) = (z2 − 2z + 10) · (z2 − 6z + 13) = 0.
Le soluzioni del polinomio di quarto grado P (z) sono ottenute risolvendo i due fattoridi secondo grado:
z1 = 1 + 3i , z2 = 1 − 3i e z3 = 3 + 2i , z4 = 3 − 2i.
Le due coppie di numeri complessi coniugati individuano i vertici di un trapezio:
b
b
b
b
z1
z2
z3
z4
16 Roberto Tauraso - Analisi 2
Calcoliamo le lunghezze dei lati
|z1 − z2| = |6i| = 6, |z1 − z3| = |z2 − z4| = | − 2 + i| =√
5 , |z3 − z4| = |4i| = 4
quindi il perimetro e 10 + 2√
5. L’area invece e uguale a
1
2(|z1 − z2| + |z3 − z4|) · |Re(z3 − z1)| =
1
2(6 + 4) · |3 − 1| = 10.
Numeri complessi 17
Esercizi
1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z = i +3
2 − i.
2. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z =1 + 2i
−3 + i.
3. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z = (1 + 2i)4 − (1 − 2i)4.
4. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z =(1 + i)10
(1 − i)8.
5. Sia z = i. Calcolarez7 e z2002.
6. Sia z = 1 + i. Calcolare(z2005 + z2005)/21002.
7. Sia z = 12− i
√3
2. Calcolare
z8!−1.
8. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z + z = 0.
9. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z2(z + 2) = 2z(z + 1).
10. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z4 + |z|4 = 0.
11. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
|z − 2| = |Re(z + 2)|.
12. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z2 + z2 = 0.
18 Roberto Tauraso - Analisi 2
13. Determinare il minimo dell’insieme
{|z| : (z + 2 + 2i)2 = −1
}.
14. Determinare il massimo dell’insieme
{Re(w) : w3 = 8i
}.
15. Risolvere l’equazione
z2 − 2iz + 3 = 0.
16. Risolvere l’equazione
z2 − 3z + 3 + i = 0.
17. Risolvere l’equazione
(z2 + i)2 + 1 = 0.
18. Risolvere l’equazione||z| − 2i|2 = 4.
19. Risolvere l’equazione
|z|2 = 12 − |z|.20. Risolvere l’equazione
Im(z2) = |z|2.21. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione
z9 = z3|z|5.
22. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
(z4 − 1)/(z3 + 1)2 = 0.
23. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
z(z + 2|z|) + 4 = 2|z|(z + 1).
24. Determinare il massimo e il minimo dell’insieme
{|z − w| : z4 = 1 e w4 = −4
}.
25. Risolvere la disuguaglianza
Re ((z − 1)(z − 2i)) ≥ Re(z − 1) · Re(z − 2i).
26. Risolvere la disuguaglianza
|z − 2i|2 − 8 > |z|2 − |z + 2i|2
Numeri complessi 19
27. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme
{|z − w| : |z − 2| ≤ 1 e Re(w − iw) = 0} .
28. Determinare il massimo e il minimo dell’insieme
{|z − w| : |z + 2 − 3i| ≤ 3 e |w − 4 − 4i| ≤ 4} .
29. Calcolare il perimetro del poligono di vertici
{z ∈ C : z6 = 1/(3 − 2i)6
}.
30. Determinare per quali z ∈ C si ha che
|Re((z + 1)(z − 3))| ≥ |z + 1||z − 3|.
31. Rappresentare nel piano complesso C l’insieme
{z ∈ C : (1 + i)z =
√2|z|}
32. Quanti sono i numeri z ∈ C tali che
{z10 = 3 + 8iz5 = 8 − 3i
.
20 Roberto Tauraso - Analisi 2
Soluzioni
1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z = i +3
2 − i.
R.
z = i +3 · 2 − i
|2 − i|2 = i +3 · (2 + i)
4 + 1= i +
6
5+
3
5i
=6
5+
(1 +
3
5
)i =
6
5+
8
5i.
Quindi Re(z) = 6/5 e Im(z) = 8/5.
⋄
2. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z =1 + 2i
−3 + i.
R.
z =1 + 2i
−3 + i=
(1 + 2i) · (−3 + i)
| − 3 + i|2 =(1 + 2i) · (−3 − i)
10= − 1
10− 7
10i.
Quindi Re(z) = −1/10 e Im(z) = −7/10.
⋄
3. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z = (1 + 2i)4 − (1 − 2i)4.
R. Sia w = (1 + 2i)4 allora z = w − w = 2iIm(w) e
z = 2iIm((1 + 2i)4) = 2iIm(1 + 4(2i) + 6(2i)2 + 4(2i)3 + (2i)4)
= 2iIm(4(2i) + 4(2i)3) = 2i(8 + 32(−1)) = −48i.
Quindi Re(z) = 0 e Im(z) = −48.
⋄
Numeri complessi 21
4. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso
z =(1 + i)10
(1 − i)8.
R. Conviene scrivere i numeri 1 + i e 1 − i in forma esponenziale:
1 + i =√
2 ei π
4 e 1 − i =√
2 e−i π
4 .
Quindi
z =(1 + i)10
(1 − i)8=
(√
2)10 ei 10π
4
(√
2)8 e−i 8π
4
= (√
2)2 ei(10+8)π
4 = 2 ei 9π
2 = 2 ei(4+ 12)π = 2i.
⋄
5. Sia z = i. Calcolarez7 e z2002.
R. Sapendo che i4 = i2 · i2 = (−1) · (−1) = 1 allora
i4n = (i4)n = 1n = 1.
Quindi per calcolare le potenze richieste basta considerare solo il resto della divisionedell’esponente per 4:
z7 = i7 = i4+3 = i4 · i3 = i3 = −i;
z2002 = i2002 = i4·500+2 = i4·500 · i2 = i2 = −1.
⋄
6. Sia z = 1 + i. Calcolare(z2005 + z2005)/21002.
R. Scriviamo z in forma esponenziale
z = 1 + i =√
2eiπ/4
e poi calcoliamo z2005 (notando che ei501π = −1)
z2005 = 22005/2ei2005π/4 = 21002√
2ei(501+1/4)π = 21002√
2ei501πeiπ/4 = −21002z.
Infine dato che z2005 = z2005 = −21002z
(z2005 + z2005)/21002 = (−21002z − 21002z)/21002 = −(z + z) = −2Re(z) = −2.
⋄
22 Roberto Tauraso - Analisi 2
7. Sia z = 12− i
√3
2. Calcolare
z8!−1.
R. Scriviamo prima z in forma esponenziale:
|z| =√
x2 + y2 = 1 e θ = − arccos(x
|z|) = − arccos(1
2) = −π
3.
Dunque z = e−i π
3 e quindi z6 = e−i 6π
3 = 1. Dato che 8! e un multiplo di 6 z8! = 1 e
z8!−1 = z8! · z−1 = z−1 = ei π
3 =1
2+ i
√3
2.
⋄8. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z + z = 0.
R. Riscriviamo l’equazione ponendo z = x + iy
(x + iy) + (x − iy) = 2x = 0
Quindi i punti del piano complesso richiesti sono quelli della retta x = 0.
⋄9. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z2(z + 2) = 2z(z + 1).
R. Dato che |z|2 = z · z allora
z2(z + 2) − 2z(z + 1) = z|z|2 + 2z2 − 2z2 − 2z = z(|z|2 − 2) = 0.
Quindi i punti del piano complesso richiesti sono tali che
z = 0 oppure |z|2 = 2
ossia il punto z = 0 e la circonferenza di centro 0 e raggio√
2.
⋄10. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z4 + |z|4 = 0.
R. Dato che |z|2 = z · z allora
z4 + |z|4 = z4 + z2 z2 = z2(z2 + z2) = 0
Quindi i punti del piano complesso richiesti sono tali che
z2 = 0 oppure z2 + z2 = 0
ossia il punto z = 0 e le rette y = −x e y = x. Dato che il punto 0 appartiene alle duerette nel descrivere l’insieme ottenuto possiamo semplicemente dire che e costituitodalle due rette y = −x e y = x.
Numeri complessi 23
⋄
11. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
|z − 2| = |Re(z + 2)|.
R. Posto z = x + iy ed elevando al quadrato otteniamo l’equazione equivalente
|(x − 2) − iy|2 = |x + 2|2
ossia
(x − 2)2 + (−y)2 = (x + 2)2.
Svolgendo e semplificando troviamo che le coordinate dei punti dell’insieme cercatosoddisfano l’equazione
y2 = 8x
che rappresenta la seguente parabola
⋄
12. Determinare l’insieme dei numeri z tali che
z2 + z2 = 0.
R. Riscriviamo l’equazione ponendo z = x + iy
(x + iy)2 + (x − iy)2 = (x2 + 2ixy − y2) + (x2 − 2ixy − y2) = 2(x2 − y2) = 0.
Quindi le coordinate dei punti del piano complesso richiesti sono tali che
(x2 − y2) = (x + y)(x − y) = 0
ossia le rette y = −x e y = x.
⋄
24 Roberto Tauraso - Analisi 2
13. Determinare il minimo dell’insieme{|z| : (z + 2 + 2i)2 = −1
}.
R. Troviamo intanto le soluzioni dell’equazione di secondo grado
(z + 2 + 2i)2 + 1 = 0
Ricordando che z2 + 1 = (z + i)(z − i) allora
(z + 2 + 2i)2 + 1 = ((z + 2 + 2i) + i) ((z + 2 + 2i) − i) = (z + 2 + 3i)(z + 2 + i)
Dunque le radici di questo polinomio sono
z1 = −(2 + 3i) = −2 − 3i e z2 = −(2 + i) = −2 − i.
Ora calcoliamo i moduli ovvero gli elementi dell’insieme dato:
|z1| =√
(−2)2 + (−3)2 =√
13 e |z2| =√
(−2)2 + (−1)2 =√
5.
Quindi il minimo richiesto e√
5.
⋄14. Determinare il massimo dell’insieme
{Re(w) : w3 = 8i
}.
R. Troviamo intanto le radici terze di 8i = 8 ei π
2
w0 = 2 ei π
6 = 2 (
√3
2+
1
2i) =
√3 + i,
w1 = 2 ei(π
6+ 2π
3) = 2 ei 5π
6 = −√
3 + i,
w2 = 2 ei(π
6+ 4π
3) = 2 ei 3π
2 = −2i.
Quindi
max{Re(w) : w3 = 8i
}= max
{√3,−
√3, 0}
=√
3.
⋄15. Risolvere l’equazione
z2 − 2iz + 3 = 0.
R. Cominciamo con il calcolo di ∆:
∆ = b2 − 4ac = (−2i)2 − 4(3) = −16.
Le due radici quadrate di ∆ = −16 = 16 eiπ sono
w1 = 4 ei π
2 = 4i e w2 = 4 ei 3π
2 = −w1.
Quindi
z1 =−b + w1
2a=
2i + 4i
2= 3i e z2 =
−b − w1
2a=
2i − 4i
2= −i.
Numeri complessi 25
⋄
16. Risolvere l’equazionez2 − 3z + 3 + i = 0.
R. Calcolo di ∆:
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4(3 + i) = −3 − 4i = 5 eiθ.
Cosı cos θ = −3/5, sin θ = −4/5 e
cos(θ/2) = −√
1
2(1 − 3
5) = − 1√
5, sin(θ/2) =
√1
2(1 +
3
5) =
2√5.
Quindi le due radici quadrate di ∆ = −3 − 4i = sono
±√
∆ = ±√
5eiθ/2 = ±√
5(cos(θ/2) + i sin(θ/2)) = ±(−1 + 2i),
e possiamo determinare le soluzioni:
z1 = (3 + (−1 + 2i))/2 = 1 + i e z2 = (3 − (−1 + 2i))/2 = 2 − i.
⋄
17. Risolvere l’equazione(z2 + i)2 + 1 = 0.
R. Il primo membro e un polinomio di quarto grado in C e dunque ci aspettiamoquattro soluzioni (tenendo conto della molteplicita). Poniamo w = z2 + i e intantorisolviamo l’equazione w2 = −1. Questa ha due soluzioni w1 = i e w2 = −i e quindil’equazione proposta e equivalente a trovare le soluzioni delle due equazioni
z2 + i = w1 = i, z2 + i = w2 = −i.
La prima equivale a z2 = 0 e quindi le soluzioni sono z1 = z2 = 0 (la soluzione 0 hamolteplicita 2). La seconda invece equivale a
z2 = −2i = 2 e−i π
2
e dunque otteniamo
z3 =√
2 e−i π
4 = 1 − i z4 = −z3 = −1 + i.
⋄
18. Risolvere l’equazione||z| − 2i|2 = 4.
R. Abbiamo che
||z| − 2i|2 = (Re(|z| − 2i))2 + (Im(|z| − 2i))2 = |z|2 + (−2)2 = |z|2 + 4 = 4.
ossia |z|2 = 0 che e risolta solo per z = 0.
26 Roberto Tauraso - Analisi 2
⋄
19. Risolvere l’equazione
|z|2 = 12 − |z|.
R. Si tratta di un’equazione di secondo grado nella variabile ρ = |z|:
ρ2 + ρ − 12 = 0.
che ha come soluzioni ρ1 = 3 e ρ2 = −4. Dato che |z| ≥ 0, possiamo accettare solo lasoluzione ρ1 = 3. Quindi l’equazione iniziale e risolta da tutti i punti z tali che |z| = 3ossia la circonferenza centrata in 0 di raggio 3.
⋄
20. Risolvere l’equazione
Im(z2) = |z|2.
R. Ponendo z = x + iy si ottiene
Im(z2) = Im((x + iy)2) = Im(x2 − y2 + 2ixy) = 2xy e |z|2 = x2 + y2.
Quindi l’equazione iniziale e equivalente a 2xy = x2 +y2 ossia (x−y)2 = 0 ed e dunquerisolta da tutti i punti sulla bisettrice y = x.
⋄
21. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione
z9 = z3|z|5.
R. Se calcoliamo il valore assoluto di entrambi i membri otteniamo
|z|9 = |z|9 = |z3|z|5| = |z|8,
ossia
|z|9 − |z|8 = |z|8(|z| − 1) = 0.
e quindi |z| = 0 oppure |z| = 1. Se |z| = 0 allora otteniamo una prima soluzione:z = 0. Se invece |z| = 1 allora z9 = z−9 e l’equazione iniziale diventa z−9 = z3 ossiaz12 = 1 che ha 12 soluzioni. Dunque in totale le soluzioni sono 13.
⋄
Numeri complessi 27
22. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
(z4 − 1)/(z3 + 1)2 = 0.
R. Il numeratore (z4 − 1) ha quattro zeri distinti (ciascuno con molteplicita 1):
1 , i , −1 , −i.
Il denominatore (z3 + 1)2 ha tre zeri distinti (ciascuno con molteplicita 2):
−1 , (1 + i√
3)/2 , (1 − i√
3)/2.
Il rapporto e uguale a zero se e solo se il numeratore si annulla e il denominatore ediverso da zero (altrimenti il rapporto non e definito!). Quindi l’insieme richiesto ha3 elementi (gli elementi multipli contano una sola volta): {1, i,−i} .
⋄
23. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
z(z + 2|z|) + 4 = 2|z|(z + 1).
R. Svolgendo si ottiene
|z|2 + 2z|z| + 4 = 2|z|z + 2|z|
ossia|z|2 − 2|z| + 4 = 0.
Se si risolve rispetto a |z| si ottiene che
|z| = 1 + i√
3 oppure |z| = 1 − i√
3
e nessuna delle due equazioni ammette soluzioni perche |z| deve essere un numero realemaggiore o uguale a 0. Quindi il numero di soluzioni dell’equazione data e 0.
⋄
24. Determinare il massimo e il minimo dell’insieme
{|z − w| : z4 = 1 e w4 = −4
}.
R. L’equazione z4 = 1 individua un primo quadrato di vertici:
z0 = 1, z1 = i, z2 = −1, z3 = −i.
L’equazione w4 = −4 individua un secondo quadrato di vertici:
w0 = 1 + i, w1 = −1 + i, w2 = −1 − i, w3 = 1 − i.
28 Roberto Tauraso - Analisi 2
L’insieme dato e dunque costituito dalla misure delle distanze tra zj e wk con j, k =1, 2, 3, 4. Dal disegno possiamo facilmente vedere che la distanza massima e ottenutaper esempio tra z3 e w0:
max{|z − w| : z4 = 1 e w4 = −4
}= |z3 − w0| = | − i − (1 + i)| = | − 1 − 2i| =
√5.
La distanza minima e ottenuta invece per esempio tra z1 e w1:
min{|z − w| : z4 = 1 e w4 = −4
}= |z1 − w1| = |i − (−1 + i)| = 1.
b
bb
b b
bb
b
w0
w3
w1
w2
z0
z1
z2
z3
⋄
25. Risolvere la disuguaglianza
Re ((z − 1)(z − 2i)) ≥ Re(z − 1) · Re(z − 2i).
R. Poniamo z = x + iy e svolgiamo i calcoli
Re ((z − 1)(z − 2i)) = Re(z2 − z − 2iz + 2i
)= x2 − y2 − x + 2y
eRe(z − 1) · Re(z − 2i) = (x − 1) · x = x2 − x.
Quindi la disuguaglianza iniziale e equivalente a
x2 − y2 − x + 2y ≥ x2 − x
ossia−y2 + 2y = y(2 − y) ≥ 0
e dunque y ∈ [0, 2] e x puo assumere qualunque valore. Cosı l’insieme dei numericomplessi che risolve la disuguaglianza sono quelli contenuti nella striscia R × [0, 2].
⋄
Numeri complessi 29
26. Risolvere la disuguaglianza
|z − 2i|2 − 8 > |z|2 − |z + 2i|2
R. Poniamo z = x + iy e svolgiamo i calcoli
|z − 2i|2 − 8 = |x + i(y − 2)|2 − 8 = x2 + (y − 2)2 − 8 = x2 + y2 − 4y − 4
e
|z|2 − |z + 2i|2 = |x + iy|2 − |x + i(y + 2)|2 = x2 + y2 − x2 − (y + 2)2 = −4y − 4
Quindi la disuguaglianza iniziale diventa
x2 + y2 − 4y − 4 > −4y − 4
ossia x2 + y2 > 0 e dunque l’insieme delle soluzioni e C \ {0}.
⋄
27. Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme
{|z − w| : |z − 2| ≤ 1 e Re(w − iw) = 0} .
R. La disequazione |z − 2| ≤ 1 individua il cerchio di centro 2 e raggio 1. Postow = x + iy, abbiamo che
Re(w − iw) = Re((x + iy) − i(x − iy)) = x − y = 0
e quindi l’equazione Re(w − iw) = 0 rappresenta la retta y = x.
w0
z0
b
b
L’insieme dato e cosı costituito dalla misure delle distanze tra i punti del cerchio e dellaretta. Quindi la distanza minima e ottenuta togliendo il raggio della circonferenza alladistanza tra il punto w0 = 1 + i sulla retta e il centro z0 = 2 :
min {|z − w| : |z − 2| ≤ 1 e Re(w − iw) = 0} =√
2 − 1.
L’estremo superiore delle distanze e invece +∞ perche la retta non e limitata.
30 Roberto Tauraso - Analisi 2
⋄
28. Determinare il massimo e il minimo dell’insieme
{|z − w| : |z + 2 − 3i| ≤ 3 e |w − 4 − 4i| ≤ 4} .
R. Le disequazioni |z + 2 − 3i| ≤ 3 e |w − 4 − 4i| ≤ 4 individuano rispettivamente ilcerchio di centro z0 = −2 + 3i e raggio 3 e il cerchio di centro w0 = 4 + 4i e raggio 4.
z0 w0b
b
Dato che la distanza tra i centri |z0 − w0| =√
(−2 − 4)2 + (3 − 4)2 =√
37 e minoredella somma dei raggi 3 + 4 = 7, i due cerchi si intersecano e il minimo richiesto e 0mentre il massimo e uguale a
√37 + 7 ossia alla distanza dei centri piu la somma dei
due raggi.
⋄
29. Calcolare il perimetro del poligono di vertici{z ∈ C : z6 = 1/(3 − 2i)6
}.
R. I vertici sono le radici seste del numero 1/(3−2i)6 e quindi individuano un esagonoregolare centrato nell’origine.
b
b
b
b
b
b
z0
z1
z2
z3
z4
z5
Per calcolare il perimetro di questo esagono e necessario sapere solo il raggio r dellacirconferenza circoscritta ovvero il modulo delle radici:
r =(∣∣1/(3 − 2i)6
∣∣)1/6=(1/ |3 − 2i|6
)1/6= 1/ |(3 − 2i)| = 1/
√32 + (−2)2 = 1/
√13.
Quindi sapendo che il lato dell’esagono e uguale al raggio r, il perimetro e 6r = 6/√
13.
Numeri complessi 31
⋄
30. Determinare per quali z ∈ C si ha che
|Re((z + 1)(z − 3))| ≥ |z + 1||z − 3|.
R. Intanto vediamo quando vale la disuguaglianza |Re(w)| ≥ |w|. Posto w = x + iysi ha che
|Re(w)| = |x| ≥ |w| =√
x2 + y2
equivale a|x|2 = x2 = x2 + y2
ossia y = 0. Dunque |Re(w)| ≥ |w| e soddisfatta se e solo se Im(w) = 0. Quindi perconcludere l’esercizio basta trovare per quali z ∈ C
Im((z + 1)(z − 3)) = 0.
Di nuovo poniamo z = x + iy cosı
Im((z+1)(z−3)) = Im(((x+1)+iy)((x−3)+iy)) = y(x+1)+y(x−3) = 2y(x−1) = 0.
Quindi la disuguaglianza vale per tutti i punti sulle rette y = 0 e x = 1.
⋄
31. Rappresentare nel piano complesso C l’insieme{z ∈ C : (1 + i)z =
√2|z|}
R. Poniamo z = x + iy, cosı l’equazione diventa
(1 + i)z = (1 + i)(x + iy) = (x − y) + i(x + y) =√
2|z| =√
2√
x2 + y2.
Separando la parte reale e immaginaria otteniamo le due equazioni{
x − y =√
2√
x2 + y2
x + y = 0.
Dalla seconda otteniamo che y = −x e sostituendo la y nella prima si ha che
x + x =√
2√
x2 + (−x)2
ossiax =
√x2 = |x|
che e risolta per x ≥ 0. Quindi l’insieme cercato e la semiretta
y = −x per x ≥ 0.
32 Roberto Tauraso - Analisi 2
⋄
32. Quanti sono i numeri z ∈ C tali che
{z10 = 3 + 8iz5 = 8 − 3i
.
R. L’equazione z10 = 3 + 8i individua 10 punti sulla circonferenza di raggio
r1 = 10√|3 + 8i| = 731/20.
L’equazione z5 = 8 − 3i invece individua 5 punti sulla circonferenza di raggio
r2 = 5√|8 − 3i| = 731/10.
Dato che r1 < r2 (non occorre calcolare numericamente r1 e r2 per stabilire questarelazione!) le due equazioni non possono avere soluzioni in comune e quindi la rispostae 0.
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