1
MODELLI DI SERIE STORICHEApproccio Classico
Modelli di composizione:
- componenti trend ciclo stagionalità
comp.accidentale
- tipi di composizione :
1) additività
2) moltiplicatività
3) misto
1) ipotesi di indipendenza tra le componenti
modello additivo
2) non indipendenza tra le componenti
modello moltiplicativo
ttttt aSCTZ
ttttt aSCTZ
2
Il caso 2) si riduce al caso 1) considerando i log , cioè :
3) modello:
pregi difetti
-semplicità -pluralità di soluzioni
-serie anche corte -assunzione modellistica
prima approssimaz. troppo rigida
-visione settorizzata
ttttt alogSlogClogTlogZlog
ttttt aCSTZ
3
Modelli stocastici o di Box-Jenkins(approccio moderno post 1925)
1. Modello autoregressivo (AR)
2. Modello a media mobile (MA)
3. Modello misto (ARMA)
1.
residuo o disturbo
coefficienti
AR(p) - modello autoregressivo di ordine p
2. Media mobile :
è una media aritmetica che si sposta, ad ogni iterazione, dall’inizio alla fine della successione di dati.
t
tptp2t21t1t
a
aZ...ZZZ
)p,...,1i(i
4
Esempio: MA a tre termini
In generale termini
dispari . MA centrata.
Può essere: - semplice - ponderata
n
n1n2n1n1n
2n
54345
4
43233
32122
1
z3
zzzzz
z...
3
zzzzz
z3
zzzzz
3
zzzzz
z
3
zzzz 1tt1t
t
5
Modelli a MA:
costanti
Modello MA(q) di ordine q
3. Modelli misti
Modello ARMA (pq)
I modelli Box-Jenkins essendo di tipo stocastico stocastico generano un processo stocastico
Analizzare una serie empirica con i modelli Box-Jenkins significa scegliere, tra i molti modelli possibili, quello più adatto e stimarne i parametri
2 fasi di analisi: _ identificazione _ stima
qtq1t1tptp1t1t a...aaZ...ZZ
)q,...,1i(
a...aaZ
i
qtq1t1tt
6
Operatori, funzioni generatrici, equazioni alle differenze finite
Operatore all’indietro (backward) B
Data una sequenza
l’operatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti. Quindi :
oppure
Operatore in avanti (forward) F
Stessa definizione, salvo che F trasforma in avanti, cioè
oppure
Ovviamente :
2t1tt1t2t z,z,z,z,z
jttj
1tt zzBzzB
jttj
1tt zzFzzF
1BF
7
Operatore alle differenze finite .
oppure
Ma:
cioè :
Poi:
jtttj
tj
ttt
zzzz
zzz
1
1
ttt1ttt zB1zBzzzz
B1
2t1tttt2 zz2zzz
8
PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p AR(p)
(*)
Somma ponderata di valori passati cui si aggiunge un disturbo calcolato sul valore attuale . Riscrivendo la (*) si ha:
che diviene, con l’operatore B:
Ponendo la quantità in parentesi uguale a , nota anche come operatore AR(p) , si ha:
tptp2t21t1t az...zzz
tz
ta
tptp2t21t1t az...zzz
ttp
p2
21 azB...BB1
B
tt azB
disturbo
9
Nella (*) può essere aggiunta una costante
che misura il livello del processo che, se il processo è stazionario, è uguale alla sua media, quindi in generale AR(p) ha forma:
Le condizioni di stazionarietà del processo si ottengono dalle radici della sua equazione caratteristica, cioè ponendo , quindi
Si dimostra (Box & Jenkins) che la stazionarietà di AR(p) si ottiene quando le radici della equazione caratteristica sono in modulo > 1, o in altre parole sono esterne al cerchio di raggio unitario
tptp1t1t az...zz
0B
0B...BB1 pp
221
1
10
Media.
Se , nel caso del modello completo:
Siccome
Quindi
Ovviamente nel modello ridotto in cui
0az t
tptp
2t21t1
tptp
2t21t1
t
aEzE...
zEzE
az...
zzEzE
0aEe....zEzEzE t2t1tt
p21t ...1zE
p21
t ...1zE
0
0zE t
11
Autocovarianza
Ma per k > 0 , quindi:
k = 1,2,..p
Varianza:
analogamente si dimostra che
Le di AR(p) sono in numero infinito; per i valori di j > p si può ricorrere alla forma:
Che è nota come equazione di Yule-Walker
kttktptpktt
kttkttk
zaEzzEzzE
zzEzzE
...22
11
0azE kkt
pkp2k21k1k ...
2app22110 ...zvar
k
pjp2j21j1j ...
12
Tale relazione consente di :
1. conosciuto un certo AR(p), cioè una volta
noti i , si possono calcolare le autocov.
teoriche corrispondenti;
2. se non si conoscono i si possono
stimare sostituendo ai valori teorici delle
autocov. i corrispondenti valori
campionari ci ottenuti dalla serie storica
osservata.
Autocorrelazione
Dividendo si ha:
k = 1,2,3,…
In cui partendo da si ottengono in
forma ricorsiva tutti i coefficienti di
autocorrelazione teorica.
i
i
k
0k
pkp2k21k1k ...
10
13
Ovviamente vale quanto detto in 1. e 2.
Correlogramma
Dalla si vede come il corr. di AR(p) è costituito da infiniti termini.
Si dimostra che tali termini, a seconda dei valori dei parametri, tendono a zero monotonicamente oppure con oscillazioni.
Casi particolari.
AR(1)
Il valore della serie al tempo t è pari ad una frazione del valore precedente aumentato (algebricamente) dell’errore .
k
t1t1t azz
ta
14
Es: supponiamo .
Allora graficamente:
innovazione
Stazionarietà
Dal caso generale, siccome le radici dell’equazione caratteristica, cioè
sono esterne al cerchio unitario, allora : AR(1) è stazionario se e solo se
5,01
tz
t1 2 3
1z5,02z5,0
3a
1z212 az5,0z
2a
323 az5,0z
0aE,.c.va tt
0B1B 1
11
15
Media
Se allora
Varianza
Dalle relazioni di e di AR(p) si ricava
da cui risulta che, siccome allora
, cioè , come rilevato per la condizione di stazionarietà.
Autocovarianza
Si dimostra (Nelson, Piccolo) che
0aE t 0zE t
k 0
2
2a
0 1
00 12 1
k2
2a
k 1
16
che utilizzando la relazione per diviene:
Autocorrelazione
Correlogramma
A seconda del segno di si ha:
Autocorrelazione parziale
Si dimostra (Kendall) che
0k
0k
kk
0
1
1
1
00
1k01k11
kk
17
Non stazionarietà
La stazionarietà si ha per
Se allora Random Walk (non stazion. omogenea (*))
Se allora il processo assume un
andamento esplosivo tipo reazione nucleare.
(*) considerando successivi intervalli temporali questi hanno dei componenti sostanzialmente uguali.
11
11 t1tt azz
11
18
Random walk stazionarietà non omogenea
Stazionario
Esplosivo
t1tt azz
t1tt az35,0z
t1tt az2,1z
19
Simula-
zione
AR(1)
t a t z t t a t z t
0 1
10
20
-1 -1,6 -0,4 1,3 -0,4 0,7 1,2 0,4 0,9 -0,1 -0,3 -0,1 0,2 -0,6 -0,4 -0,4 -0,9 0,0 0,3 -1,6 -0,4 -0,8 -0,1 0,0 1,2 -0,1 0,4 -0,8 -0,2 0,8
0,5-1,4-0,96 0,92-0,03 0,68 1,47 0,99 1,29 0,42-0,13-0,15 0,14-0,54-0,62-0,64-1,16-0,46 0,11-1,55-1,02-1,21-0,58-0,23 1,11 0,34 0,54-0,58-0,43 0,63
30 31
40
50
60
-1,2 0,3 0,6 1,5 -0,9 -0,3 -0,4 -1,2 1,0 -1,3 0,4 0,0 0,5 2,1 -0,5 2,1 0,4 0,8 0,6 0,1 0,4 0,5 -0,4 3,3 0,4 -0,1 1,4 1,1 -3,7 -1,1 -0,1
-0,95-0,08 0,57 1,73-0,21-0,38-0,55-1,42 0,43-1,13-0,05-0,02 0,49 2,29 0,41 2,26 1,30 1,32 1,13 0,55 0,62 0,75 0,1 3,26 1,70,58 1,63 1,75-3,0-2,3-1,02
-3-2-101234
1 11 21 31 41 51 61
t
Zt
20
molto vicini
non vicini
oscilla
17,0z;0zE t k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4
0,16
0,064
0,0256
0,01024
0,0041
0,00164
0,0007
0,0003
0,0001
0,486
0,341
0,281
0,029
-0,011
-0,149
-0,002
0,054
0,095
0,066
kkr
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0,2-0,1
00,1
0,20,3
0,40,5
0,6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k kr
21
Processo autoregressivo di 2° ordine
parametri
Stazionarietà
Le radici dell’equazione caratteristica devono essere esterne al cerchio unitario.
Equazione caratteristica
Si dimostra che per soddisfare tale condizione si devono verificare, come vedremo poco sotto (correlogramma) le seguenti disuguaglianze
tsu,0Na,,
azzz
2at21
t2t21t1t
0BB1B 221
1111
2
12
12
22
Le disuguaglianze individuano nel piano
la seguente regione triangolare:
1
0
-1
-2 0 2
Media
Modello completo (con costante )
Si può facilmente dimostrare che
, cioè gli scarti dalla media,
siccome:
Sono anch’essi AR(2), senza costante
21 ,
t2t21t1t aEzEzEzE
21
2t21t1t
1
zEzEzE
tt*t zEzz
21t*t 1zz
12
23
Varianza
Piccolo (1970) ha dimostrato che
varianza
autocov. lag 1,2
e che…… k > 2 , è ottenibile dalla usuale relazione di Yule-Walker
autocov. gen.
Quindi:
autocorr.
02112
12011
222110
a
k
2k21k1k
2j21j1j
2112
2111
24
Correlogramma
Essendo l’eq. cartesiana di 2° grado, infatti:
Il correlogramma può assumere forme più numerose di AR(1), perché le radici possono essere:
• reali e disuguali
• reali e coincidenti
• complesse e coniugate.
La forma del correlogramma dipende dai valori assunti dalle soluzioni dell’equazione Caratteristica. Box & Jenkins hanno dimostrato che in caso di radici reali si ha:
andamenti smorzati
0BB1 221
25
In caso di radici complesse: andamenti sinusoidali smorzati
Autocorrelazione parziale
Box & Jenkins dimostrano che:
Questi due soli valori hanno andamenti diversi a seconda che le radici siano reali o complesse
0,1
, kk21
212
22111
26
-2
-1
0
1
2
3
4
1 10 19 28 37 46 55
t
Zt
t a t z t t a t z t
0 1
10
20
-1 -1,6 -0,4 1,3 -0,4 0,7 1,2 0,4 0,9 -0,1 -0,3 -0,1 0,2 -0,6 -0,4 -0,4 -0,9 0,0 0,3 -1,6 -0,4 -0,8 -0,1 0,0 1,2 -0,1 0,4 -0,8 -0,2 0,8
0,5 0,5-0,6 1,76-1,576 1,998-0,314 0,988 0,244-0,048 0,039-0,133 0,288-0,799 0,137-0,642-0,488 0,164 0,495 0,104-0,363-0,561 0,164-0,211 1,359-0,957 1,246-1,738 1,092-0,203
30 31
40
50
60
-1,2 0,3 0,6 1,5 -0,9 -0,3 -0,4 -1,2 1,0 -1,3 0,4 0,0 0,5 2,1 -0,5 2,1 0,4 0,8 0,6 0,1 0,4 0,5 -0,4 3,3 0,4 -0,1 1,4 1,1 -3,7 -1,1 -0,1
-0,861 0,776-0,038 1,678-1,915 1,185-1,494-0,067 1,339-2,116 1,938-1,586 1,84-1,329 0,661 1,439-0,331 1,285-0,237 0,499 0,054 0,568-0,73 3,852-2,057 1,904-0,154 1,574-4,675 2,02-2,247
27
Simulazione di un AR(2)
partenza
Condizioni di stazionarietà:
è quindi stazionario.
Utilizzando scarti normali standardizzati si ottengono i valori tabulati con il relativo andamento grafico.
Poi, utilizzando le relazioni viste per
Si calcoli la funzione di autocorrelazione e dai valori simulati la
campionaria.
t2t1tt az2,0z6,0z
5,0zz 10
si
si
si
12,01
18,0
14,0
12
21
tz
k21 ,,
kr
28
Correlogrammi
Autocorrelazione parziale
k kr k kr k k
1
2
3
4
5
-0,75
0,65
-0,56
0,45
-0,38
-0,68
0,52
-0,24
0,22
-0,15
6
7
8
9
10
0,32
-0,27
0,22
0,19
0,16
0,01
0,10
-0,17
0,18
-0,15
k kr
095,0r;674,0r
2,0;75,0
2211
2211
29
PROCESSO A MEDIA MOBILE MA(q)
Il processo MA(q) è solamente costituito da un numero finito di q termini, cioè:
Introducendo l’operatore B si ha:
che diviene:
Dove
Denota il cosiddetto operatore MA(q).
qtq1t1tt a...aaz
tq
q2
21t aB...BB1z
tt aBz
221 B...BB1B
30
Stazionarietà
Siccome l’operatore MA(q) è una serie finita, non esistono particolari restrizioni per assicurare la stazionarietà
Invertibilità (vedi dopo per maggior dettaglio)
Un MA(q) è invertibile quando le radici dell’equazione caratteristica
sono esterne al cerchio unitario.
Media
Se le hanno media nulla, è nulla pure la media del processo, quindi:
0B...BB1B qq
221
ta
0zE t
31
Autocovarianza, varianza e autocorrelazione
Tenendo conto delle relazioni già viste per il processo lineare si ha:
con k = 1,2,…,q.
Da cui la varianza:
e quindi la autocorrelazione:
Se i valori sono noti, oppure stimati, si possono ricavare i parametri .
Ovviamente essendo non lineare la relazione funzionale, occorre utilizzare metodi iterativi.
qkper0... 2
akqq2k21k1kk
2a
2q
22
210 ...1
qkper0
q,...,2,1k;...1
...2q
21
kqqk1k
k
k...,2,1ii i
32
Si noti che siccome sono
indipendenti da t , MA(q), come prima
visto, è sempre stazionario.
Invertibilità di AR(p) e invertibilità di
MA(q)
Condizione di invertibilità
Tale condizione è molto importante soprattutto a proposito dei modelli MA(q), dal momento che questi ultimi, a differenza degli AR(p), sono caratterizzati dal problema della molteplicità dei modelli.
Invertibilità per AR(p)
Invertendo si ha:
k0k ,,
ttp
p2
21 azB...BB1
tpp
221
t aB...BB1
1z
33
Sviluppando in serie il rapporto evidenziato in rosso si ha:
per cui:
che altro non è (come vedremo fra poco) se non un .
Quindi: un AR(p) è sempre trasformabile in un .
Invertibilità di MA(q)
Sviluppando in serie
Quindi:
che è un
...BB1 22
t22
t a...BB1z
)(MA
)(MA
tt aB
z
...BB1B
1 221
tt2
21 az...BB1
)(AR
34
Il processo MA(q) si dice allora invertibile se i pesi formano una serie convergente e questo si ottiene se e solo se le radici di
sono esterne al cerchio unitario.
La condizione di invertibilità, pertanto, ha per i processi MA(q) la stessa importanza che ha la condizione di stazionarietà per i processi AR(p).
Processo MA(1)
Stazionarietà sempre
Media: se anche:
Varianza
Autocovarianza
i B
1ttt aaz
0aE t 0zE t
220 1 a
1k,0; k2a1
35
Autocorrelazione
Correlogramma
1 1
k k
-1 -1
Una sola ordinata positiva o negativa, a
seconda del segno di .
1,0;1 2
0
11
kk
kk
36
Invertibilità
Si considerino due MA(1), uno con parametro e un altro con , cioè:
Calcoliamo . Si ha:
Quindi i due processi, pur diversi, hanno la stessa , quindi esiste un problema di molteplicità di modelli.
Per risolverlo si consideri:
1
1ttt1ttt a1
azeaaz
k
22121 111
1z;
1z
k
...z1
z1
za
...zzza
2t21ttt
2t2
1ttt
37
Ricorrendo all’operatore B si ha:
Se la prima serie converge, mentre la seconda no.
Allora se si dice che la prima serie è invertibile, mentre la seconda non lo è.
Quindi la condizione assicura l’esistenza di un unico modello MA(1).
Tale condizione equivale a dire che le radici
della equazione caratteristica:
siano esterne al cerchio unitario.
t2
2t
t22
t
z...B1
B1
1a
z...BB1a
1
1
1
0B1
38
Autocorrelazione parziale
Box & Jenkins dimostrano che
Da cui si vede come i coefficienti di autocorrelazione parziale hanno un andamento smorzato, anche con oscillazioni di segno.
Processo MA(2)
Stazionarietà sempre stazionario
Invertibilità
Il processo è invertibile se le radici dell’equazione caratteristica
sono in valore assoluto maggiori di uno.
3,2,1k,
1
11k2
2k
kk
2t21t1tt aaaz
01 221 BB
39
Si dimostra che tale condizione si verifica se:
che individuano il seguente triangolo isoscele
0
-2 -1 2
Media
Se anche
1111
2
12
12
2
1
0zE0aE tt
40
Varianza, autocovarianza, autocorrelazione
Radici reali
correlo-
gramma
Radici complesse
00
1
11
kk
2a22
22
21
22
2a2111
22
21
2111
2a
22
210
01 01
01 01
41
Autocorrelazione parziale espressione formale in Anderson
Radici reali:
Radici complesse:
42
Principio di dualità tra AR(p) e MA(q)
1)
2) Un AR(p) può essere sempre espresso come
una media mobile di infiniti termini, cioè
Un MA(q) può essere espresso, se invertibile, come un processo autoregressivo infinito, cioè
.
3) I coefficienti di autocorrelazione totale di un MA(r ) si comportano analogamente ai coeff. di autocorrelazione parziale di un AR(r ).
Stazionarietà invertibilità
MA incondizionata
Le radici dell’eq.
devono essere esterne al cerchio unitario
AR
Le radici dell’eq.
devono essere esterne al cerchio unitario
incondizionata
0B
0B
)(MA
)(AR
k
kk
43
I coefficienti di un MA(r) si comportano
in modo analogo ai coefficienti di un
AR(r)
Esempi: AR(1) MA(1)
AR(2) MA(2)
kk
k
kk
kk kk
k k
kk kk
44
Processo ARMA(pq)
(*)
residuo o “innovazione” , indipend.
Se non segue tali ipotesi, ma invece si comporta come una media mobile di ordine q e quindi risulta:
Sostituendo in (*) si ha:
( )
che è un processo misto autoregressivo di ordine p, con media mobile di ordine q, cioè un ARMA(pq).
tptp1t1t az...zz)p(AR
2,0N
ta
qtq1t1t a...aa
qtq1t1t
ptp1t1t
a...aa
z...zz
45
Usando l’operatore B si ottiene:
dove
Stazionarietà
Per la condizione di stazionarietà della componente AR(p), le radici dell’equazione
devono essere esterne al cerchio unitario.
Invertibilità
Analogamente, per MA(q) le radici di
devono anch’esse essere esterne al cerchio unitario.
tt aBzB
221
pp
221
B...BB1B
B...BB1B
0B...B1B pp1
0B...B1B qq1
46
Media
Se ARMA(pq) è completo, cioè è presente anche una costante :
da cui:
Per cui se
Autocovarianza
Si indichi con la covarianza tra e
, quindi:
qtq1t1t
ptp1t1t
aE...aEaE
zE...zEzE
p1
t ...1zE
0zE,0 t
kaz tz
ta
aazzEk tktaz
47
Moltiplicando ( ) per e considerando la media, si ha:
( )
Siccome dipende dai valori generati fino a j = t-k , segue che:
Quindi se k>q le e allora la
relazione ( ) si riduce a:
ktz
qk,qk
1kk...
azq
az1azpkp1k1k
ktz ja
0j,0zaE
0j,0zaE
jtt
jtt
0za
pkp2k21k1k ...
48
Varianza per k=0
Autocorrelazione
Autocorrelazione parziale
Se ARMA(pq) è invertibile,
Siccome la serie è infinita, anche l’autocorrelazione parziale è infinita, con un andamento simile all’autocorrelazione parziale di un MA(q).
q
...1...
azq
az12app110
pkp2k21k1k ...
tt zB
Ba
B1
49
Modelli Box & Jenkins per serie non stazionarie in media (modelli ARIMA)
Quando le condizioni di stazionarietà richieste per i modelli BJ non sono presenti si possono avere due forme di non stazionarietà:
quella esplosiva
quella omogenea
Si ha la prima quando almeno una radice dell’equazione caratteristica è in modulo < 1.
Si ha la seconda quando almeno una delle radici dell’equazione caratteristica è unitaria (cioè sul cerchio di raggio unitario).
I fenomeni socio-economici ben difficilmente presentano non stazionarietà esplosiva, limitandosi a forme omogenee, così dette perché a parte variazioni nel livello e/o nell’andamento di fondo (trend), la serie è di tipo stazionario.
50
In altri termini la serie non è temporaneamente costante nel suo livello medio, ma comunque tende a disporsi stabilmente intorno a tale livello medio.
Trasformazioni stazionarizzanti.
Una serie storica in cui è presente una non stazionarietà omogenea è facilmente trasformabile in una di tipo stazionario prendendo un adeguato numero di differenze successive.
Esempio:
non stazion. omogenea
stazion.
tz
1tt
t
zz
z
51
Un possibile modo di rappresentare una serie storica non stazion. omogenea è introdurre in un modello ARMA(pq) un operatore alle differenze finite di ordine opportuno.
Integrando le componenti AR(p) e MA(q) con la componente I(d) si ha il modello ARIMA(p,d,q).
Per definire formalmente tale modello si deve prima definire l’operatore autoregressivo generalizzato
che è un polinomiale di grado p+d con d radici uguali ad 1 e le altre p radici maggiori di 1.
Pertanto:
dpdp
221 B...BB1B
dp
p2
21
dpdp
221
B1Br1,...,Br1Br1
Br1,...,Br1Br1B
52
Questo perché d radici sono unitarie.
I fattori della parte destra dell’equazione meno l’ultimo sono niente altro che l’operatore di un AR(p) stazionario.
Quindi:
Cioè:
*
che scritto per esteso diviene:
B
dB1BB
t
td
td
t
aB
zB
zB1BzB
qtq1tt
dptdp1tt
a...aa
z...zz
53
Pertanto se
La * diviene:
che altro non è se non un ARMA sulle differenze di ordine d dei valori .
Quindi sostituendo con il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile si riduce ad un ARMA(pq) sulla variabile .
Allora il processo non stazionario è esprimibile come combinazione del processo stazionario e dell’operatore alle differenze .
Tale combinazione determina il processo integrato ARIMA(p,d,q) che pertanto è parte di una classe di processi più ampia di quelli ARMA che da essa discendono.
td
t zw
tt aBwB
tz
td z tw
tz
tw
B
B dd B1
54
La terminologia “integrato” deriva poi dalla seguente notazione:
siccome abbiamo definito
ed evidentemente
Allora:
cioè la serie risulta essere la somma di tutte “le variazioni“ del fenomeno fino al tempo t compreso.
Ciò determina, in analogia con le funzioni continue, una sorta di integrazione sulla variabile .
Il processo ARIMA(p,d,q) è poi caratterizzato dall’essere di tipo “omogeneo”, indipendente cioè dal livello assunto da .
1ttt zzw
...zzzzz 2t1t1ttt
...wwwz 2t1ttt
tz
tw
tz
55
Si aggiunga infatti nel modello che esprime
una costante arbitraria a tutti i termini fino a quello di ordine t-1 ; in altri termini:
che è come dire:
Cioè con l’aumento di tutti i termini della costante c, anche risulta aumentato di c.
Quindi una serie non stazionaria ma omogenea si comporta come una serie stazionaria, poiché il suo andamento è indipendente dal livello della serie.
tz
qtq1t1
t2tptp
2t1t11tt
a...a
aczcz
...czczczz
c
a...aa
zz...zzz
z
qtq1t1t
1ptptp2t1t11t
t
tz
56
Casi particolari di ARIMA(p,d,q)
Assegnando valori particolari ai parametri si determinano casi di notevole interesse applicativo.
caso completo ARIMA(1,1,1)
Modello:
riscrivibile come
Il grafico che segue è relativo ad una configurazione simulata con e
; la riproduzione di configurazioni empiriche di carattere socio-economico è abbastanza evidente.
t1t1 aB1zB1
t1t1 aB1wB1
8,01
4,01
57
t
Caso incompleto ARIMA(1,1,0) ARI
Modello
Una rappresentazione simulata, con
mostra anch’essa l’aderenza a possibili configurazioni empiriche.
tz
tt1 azB1
3,0
58
caso incompleto ARIMA(0,1,1) IMA
Modello
caso incompleto con costante
Se in un ARIMA(p,d,q) le differenze prime:
sono stazionarie, la presenza di una costante in AR provoca una media diversa da 0 data da:
6,0
aB1z
1
t1t
1ttt zzw
p21
t ...1wE
59
Se ciò significa che la media delle differenze prime tende a crescere o a decrescere.
Quindi la costante introduce un trend crescente o decrescente
Modello ARIMA(1,1,1) con e
parametri .
Ponendo nella * :
0
5,0
8,03,1 11
tt
td
t
aBwB
zw
60
Che è un ARMA applicato alle differenze di ordine d degli , invece che ai valori
medesimi.
In altri termini, sostituendo con , il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile
si riduce ad un processo ARMA(p,q) applicato alla variabile .
In questo modo il processo non stazionario è espresso in funzione dell’operatore stazionario e dell’operatore alle differenze finite .
Ovviamente la classe di modelli ARIMA(p,d,q), essendo ancor più generale di quella ARMA, include gli stessi.
tz tz
tdz tw
tz
tw
B dd B1
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