Progetto MEMO

PORTFOLIO DELL’INSEGNANTEClemente Petrone

Petrone430@gmail.com

Istituto Comprensivo Sassuolo 4 Ovest “G. Cavedoni”Via Largo Bezzi 6, Sassuolo (MO)Scuola secondaria di primo grado

a.s. 2014/2015

DocentiProf. Nicolina A. MalaraProf. Giancarlo Navarra

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Indice

1. Novembre 2014, classe prima (pag. 3)Microepisodio 1: Tradurre dal linguaggio naturale al matematico e viceversa.

2. Dicembre 2014, classe prima (pag. 5)Microepisodio 2: Soluzione di un problema.

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1. Novembre 2014, classe prima (pag. 3)Microepisodio 1: Tradurre dal linguaggio naturale al matematico e viceversa.Traduci in linguaggio

matematico

Risposte degli alunni Commenti insegnante Commenti tutor

1.Togli tre da sette 7–3=4

La traduzione da linguaggio naturale in chiave procedurale a linguaggio matematico non ha destato alcun dubbio nei ragazzi. Tutti hanno dato la stessa risposta.

Suppongo che la classe condivida il significato dei termini ‘relazionale’ e ‘procedurale’; se non fosse così, sarebbe opportuno farlo.

2.Prodotto di 10 e 5

10×510×5=50 10+5

La traduzione da linguaggio naturale in chiave relazionale a linguaggio matematico ha fatto sì che le risposte si diversificassero e nascesse anche qualche incomprensione. Quasi tutti, comunque, hanno dato la prima risposta. La maggior parte degli alunni ha evitato di scrivere il risultato dell’operazione in quanto nelle lezioni precedenti è stata discussa la differenza tra l’opacità del prodotto e la trasparenza del processo. La discussione è iniziata facendogli scrivere sul quaderno alcuni numeri a piacere e tutti hanno scritto numeri naturali.

3.Il doppio di 13

13×213 +1326

Solo due persone hanno risposto scrivendo il risultato.

4.Il doppio della somma di 3 e 5

(3+5)×23+5×2 8×23 +5=8 ×2=16(3+5)×2=8×2=16

Tanti alunni hanno dato la prima risposta, segno che alla primaria hanno lavorato bene sulle parentesi ma soprattutto hanno lavorato con le parentesi.

Quando condivideremo questa microsituazione, il commento farà piacere agli insegnanti della scuola primaria.L’aspetto delle parentesi si è evoluto molto alla primaria da quando il loro uso non è solo subordinato all’apprendimento meccanico di alcune regolette relative alle precedenze, ma rientra nell’evoluzione di una didattica per problemi. Gli alunni vengono portati a sviluppare in modo autonomo, in linguaggio matematico, il loro processo risolutivo di un problema e quindi ad usare liberamente le parentesi, per esempio per isolare provvisoriamente una parte di una frase matematica per controllarne meglio il significato. La conquista di un uso economico delle parentesi va quindi negoziata e condivisa lentamente con la classe durante lo sviluppo del balbettio

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algebrico.

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Traduci in linguaggio naturale

Risposte degli alunni Commenti insegnante Commenti tutor

5.a+b=12

- a sommato a b mi dà 12

- Aggiungi a 8 il numero 4

- Per avere 12, devo sommare due numeri che mi diano 12; ad esempio 6+6=12

- Sommo due lettere che mi danno 12 come risultato

- Addiziono due cifre diverse che mi danno 12 come risultato

- Sommo a 6 lo stesso numero

- Devo trovare due addendi che sommati mi danno 12

La presenza delle lettere ha inizialmente disorientato i ragazzi. Successivamente, alcuni hanno tradotto in linguaggio naturale, prevalentemente, di tipo procedurale. Altri si sono maggiormente concentrati sulla ricerca di due numeri che potessero sostituire le due lettere e dare come risultato 12. Sono prevalse, quindi, definizioni procedurali e attenzione al risultato.

Oltre all’esito generale al quale si riferisce l’insegnante nel suo commento qui a latere, sarebbe interessante sapere: le proposte sono state analizzate collettivamente? Come ha organizzato l’insegnante la discussione? Gli alunni conoscevano i concetti di ‘procedurale’ e ‘relazionale’ (v. Comm 1)? Se sì, hanno riconosciuto le due tipologie di risposte? Se no, l’insegnante li ha guidati verso questa prospettiva? Come si è sviluppato il ‘discorso sulle lettere? E così via.

6.4×10 +2×5

- Bisogna moltiplicare 4×10, aggiungere 2 e poi moltiplicare ancora per 5

- Moltiplicare 4×10, moltiplicare 2×5 e sommare i prodotti

- A 4×10 aggiungo 2×5- Per scoprire il

risultato, devo prima moltiplicare e poi sommare

- 4 volte 10 e poi sommo il doppio di 5

Si è fatto ricorso spesso al verbo “aggiungere” che ha un significato generale. Spesso compare il termine “volte”. Gli alunni hanno tradotto in chiave procedurale.

Valgono le stesse domande poste in (5). Intendo dire che gli esiti di queste prove, se la classe non ha mai incontrato l’early algebra, sono noti e, per molti aspetti, scontati. Una volta rotto il ghiaccio, diventa importante il modo in cui l’insegnante guida la riflessione sulle proposte. A questo scopo, in un prossimo futuro sarebbe interessante che l’insegnante registrasse e trascrivesse un microepisodio relativo alla discussione.

7.350:(16+14)

- Per trovare il risultato, devo sommare quello che c’è in parentesi e poi dividere 350 per questo numero

- Dividere 350 per 30- Divido 350 per la

somma di 16 + 148.

350 : 16 + 14- Divido 350 per 16 e

poi aggiungo 14- Divido 350 : 16 e poi

addiziono 14- Divido 350 per 16 e

poi sommo 14- Divido il 350 per 16

volte e poi aggiungo 7×2

In questa fase, così come nella precedente, prevale nettamente un linguaggio procedurale in cui non compare minimamente il termine “quoziente”. A questo punto ho cercato di capire instaurando una discussione sulla divisione e la prima cosa che i ragazzi mi hanno detto è che c’è differenza tra quoto e quoziente.

Anche il nodo quoto-quoziente è noto: come lo ha affrontato l’insegnante? Suggerisco la lettura di: Forma euclidea della divisione.In conclusione: invito ad inviarmi un microepisodio che mostri almeno una parte di una discussione su traduzioni come quelle presentate in questo caso,

5

commentata dall’insegnante.

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2. Dicembre 2014, classe primaMicroepisodio 2: Tradurre Soluzione di un problema.

dicembre 2014 Microepisodio 2________________________________________________________________________________________________

Commenti Docente di classeCommenti Nicolina MalaraCommenti Giancarlo Navarra

PresentazioneIl problema è stato discusso in una classe prima. Il gruppo classe è costituito da 19 alunni e il livello della classe è buono. Alcuni di loro fanno ancora un po' di fatica ad esporre le proprie idee ai propri compagni anche se, rispetto all'inizio dell'anno, la situazione è migliorata e sempre più alunni condividono idee e pensieri con il resto della classe. Il cammino è ancora lungo e si è solo agli inizi.

Testo del problema:Un commerciante ha comprato 8 dozzine di fazzoletti e 110 paia di calzettoni. Ogni fazzoletto gli è costato come un paio di calzettoni. Se la spesa complessiva è stata di 618 Euro, quanto è costata 1 dozzina di fazzoletti?1 .2

1. I: Leggiamo attentamente il testo del problema3. Il nostro obiettivo è quello di rappresentare questa situazione problematica con linguaggio matematico attraverso una generalizzazione della situazione 4. Ora leggiamo il testo e cerchiamo di comprenderne il significato. Come possiamo procedere?

2. Matteo: Secondo me, innanzitutto, bisogna dare un nome ai dati5.3. I: Il vostro compagno dice che bisogna dare un nome ai dati. Però io chiedo a Matteo di esplicitare più chiaramente

questo suo pensiero.4. Silenzio...

1 Mi permetto di fare un commento a parte sulla situazione: i fazzoletti non si usano più e questo rende poco realistica la situazione. La dozzina come quantità standard è forse oggi all'esperienza di tutti associata unicamente alle doppie confezioni di uova. Il dato 110 paia di calzettoni non è molto rispondente ad acquisti in grosse quantità. Che un fazzoletto costi quanto un paio di calzettoni, non è realistico. Sarebbe meglio evitare queste situazioni.Questa formulazione potrebbe indurre una conversione immediata della quantità di fazzoletti (8×12) in quantità di calzettoni e trasformare il problema in acquisto di oggetti di uguale costo unitario.Si avrebbe che:la quantità di fazzoletti è uguale a 8×12 calzettonicosto unitario = costo totale : quantità totale oggettinumero di oggetti = 8×12+110=96+110=206Il problema si risolve nella divisione: 618:206=3.Il costo di un paio di calzettoni o di un fazzoletto è 3 euro (poco per un paio di calzettoni).2 Il 100% dei problemi dei libri di testo più diffusi nella scuola primaria e secondaria di primo grado si conclude con domande che chiedono di trovare un risultato. La prospettiva dell’early algebra nella quale stiamo lavorando tende invece a sostituire l’invito a risolvere con quello di rappresentare. Su questo tema abbiamo impostato delle situazioni problematiche attorno alla competenza C1 (Confrontare come cambia il testo di un problema verbale se cambiano le consegne) del Curricolo di matematica sui temi dell’aritmetica e dell’algebra per la scuola primaria e secondaria di primo grado nella prospettiva di un approccio precoce all’algebra. L’invito che rivolgo agli insegnanti è di modificare la consegna; per esempio, in questo caso: ‘Rappresenta la situazione in modo che Brioshi (o chi per lui) possa trovare il costo di una dozzina di calzettoni’. Mi chiedo infine se l’insegnante abbia elaborato un’analisi a priori del problema prima di proporlo.3 Il problema viene proiettato alla LIM e l'insegnante legge il problema più di una volta e lentamente.4 Questa frase "Il nostro obiettivo è quello di rappresentare questa situazione problematica con linguaggio matematico attraverso una generalizzazione della situazione" è ridondante, non c'è nulla da generalizzare. Occorre invece isolare e rappresentare le relazioni in gioco. Concordo. Inoltre: perché l’insegnante ha sentito il bisogno di specificare la richiesta come se non ci fosse già una consegna? Perché non ha lascito che fossero gli alunni ad interpretare il testo? Rifacendomi al mio commento precedente evidenzio inoltre il conflitto fra la consegna de problema e quella dell’insegnante: il problema chiede di risolvere, l’insegnante di rappresentare. Sono cose del tutto diverse.5 Continua la sovrapposizione fra risolvere e rappresentare. Nel primo caso, come dice Matteo (2) e ribadisce l’insegnante (3), gli enti del problema sono visti come ‘portatori di nature diverse’: siccome dovrò cercare delle operazioni, ho bisogno di numeri (i dati) sui quali operare per trovare il risultato; nel secondo dovrò cercare delle relazioni (v. anche commento 4 di Malara), indipendentemente dal fatto che esse colleghino enti noti o sconosciuti. L’approccio alla soluzione del problema è di tipo aritmetico, non algebrico.

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5. Marco: Sì, perché se vogliamo generalizzare, dobbiamo indicare i dati con delle lettere. Per esempio io indicherei con “df” le 8 dozzine di fazzoletti e con “pc” le 110 paia di calzettoni.

6. I: Ok, marco intende indicare con “df” le dozzine di fazzoletti e con “pc” le paia di calzettoni. Teniamo presente, però, il testo del problema. Diciamo di nuovo di cosa tratta il testo.

7. Kalili: Un negoziante ha comprato fazzoletti e calzettoni ed ha speso 618 Euro.8. Silenzio.9. I: E quindi? Di cosa tratta?6

10. Sergio: Forse si tratta del costo dei fazzoletti e dei calzettoni e quindi bisogna considerare la spesa dei fazzoletti e dei calzettoni.7

11. I: Sergio dice che bisogna incentrare l'attenzione sui costi dei fazzoletti e dei calzettoni e quindi quel df e pc di cui parlava Marco potrebbero essere lettere che potrebbero riferirsi a cosa?8

12. Ludovica, Stocchi e altri: ...: ai costi dei fazzoletti e dei calzettoni...13. Sergio: Io darei un nome anche alla spesa totale, per esempio “s”.14. I: Sergio dice che indicherebbe con “s” la spesa totale. A questo punto mi dite cosa scrivere alla lavagna in modo

che tutti possano ragionarci su?9

15. Marco: 8×12×f... (viene interrotto da Sergio).16. Sergio: f+c=s, possiamo indicare il costo dei fazzoletti e dei calzettoni con f e c10

17. Elisa: No, prof., non sono d'accordo con Sergio, in quanto f+c non danno la spesa totale, non in termini numerici ma non so come risolvere.11

18. I: Vi chiederei di non ragionare in termini di numeri e di risultati perché abbiamo detto che il nostro obiettivo è quello di trovare una rappresentazione matematica di questa situazione problematica12.

19. Elisa: Possiamo scrivere ‘Aperta parentesi tonda, 8×12, chiusa tonda, ×f... (8×12)×f+110c=s.13

20. I: Sono necessarie le parentesi tonde?14

21. Giorgia: No, scriviamo direttamente 96f+110c=s.22. Ludovica, Elisa, Riccardo, ... : Ragionando in termini di costi dei fazzoletti e dei calzettoni va bene.

6 Qui forse l'insegnante poteva dire qualcosa di diverso, indirizzando i ragazzi ad enucleare le relazioni. Es. OK, quali sono le relazioni che possiamo trarre dal testo? Concordo. Aggiungo una frase di John Mason che citiamo spesso: ‘ogni professionista, indipendentemente dall'ambito in cui opera, desidera saper cogliere le possibilità, essere sensibile alle situazioni e rispondere in modo appropriato. Ma ciò che si considera appropriato dipende da ciò a cui si attribuisce valore, che dipende sua volta da ciò che si è capaci di notare. Nel caso dell’insegnante, notare ciò che gli alunni fanno o come rispondono, valutare ciò che dicono anche contro le proprie aspettative e i propri criteri di valutazione e considerare ciò che potrebbe essere detto o fatto in seguito. È sin troppo ovvio dire che non si può intervenire su ciò che non si nota; non si può scegliere di fare qualcosa se non si ravvisa l'opportunità di farlo’ . La metodologia delle trascrizioni pluricommentate intende favorire proprio questo aspetto: migliorare la sensibilità degli insegnanti verso ciò che dovrebbe notare l’insegnante.7 Unitari o totali? Sarebbe stato meglio farlo chiarire. Spesa e costo sono qui sinonimi, ma il costo è oggettivo, la spesa è di chi compra.8 Vediamo l'entrata in scena delle lettere come abbreviazioni: df = dozzine fazzoletti (quantità totali), pc = paia di calzettoni (qui si poteva far riflettere che la rappresentazione è semplificabile: non si possono comprare calze singole). Il significato è comunque di quantità totali dei due generi di acquisto.9 "Tutti possano ragionarci su". Meglio: "Tutti noi possiamo ragionarci su".10 Qui ancora f e c sono i costi totali delle singole cose.11 Elisa, tenendo presente il significato del segno dell'uguale, facendo un rapido calcolo mentale, si accorge che qualcosa non quadra. L’insegnante si riferisce ad un uso procedurale dell'uguale? Certo qui non c'è alcun risultato. Non so che tipo di calcolo mentale può fare la ragazza. Vuoi dire che la ragazza fa 'mente locale' sulla situazione? Come rappresentazione della relazione di per sé va bene. La spesa totale o costo totale è la somma delle due spese/costi parziali. Qui piuttosto la ragazza esprime un disagio perché questa rappresentazione di per sé non consente alcuna operatività. Occorre esprimere i singoli costi. Va comunque tenuto conto che la spesa è un dato del problema e come tale può essere utilizzato.12 Cerco di spostare l'attenzione dai numeri e dal calcolo anche se il testo del problema non aiuta. Qui forse si può esplicitare che la rappresentazione della situazione si cerca perché consente l'oggettivazione delle relazioni note e favorisce l'individuazione del processo di soluzione. Dal mio punto di vista permane la contraddizione fra la consegna presente nel testo del problema e quella che sta portando avanti l’insegnante. Mi chiedo se sia stato megoziato con gli alunni il significato della dualità risolvere/rappresentare all’interno di un quadro teorico esplicitato e condiviso. Non sono concetti intuitivi.13 Scrivo alla lavagna quanto dettato da Elisa. In questa rappresentazione c’è un uso diverso delle lettere f e c: sono i costi unitari dei due oggetti, che per di più il testo dice essere uguali.14 L'insegnante si limita agli aspetti formali senza curare gli aspetti interpretativi, andava rilanciata la cosa alla classe.

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23. I: A questo punto io chiedo a tutti voi: la relazione scritta alla lavagna, e cioè 96f+110c=s, rappresenta effettivamente la nostra situazione problematica? Rileggiamo il problema.15

24. Silenzio...25. I: Per esempio... si vede nella relazione 96f+110c=s che il costo di un fazzoletto è uguale al costo di un paio di

calzettoni? Cosa capirebbe il bambino giapponese che non conosce l'italiano ma solo il linguaggio matematico leggendo questa relazione?16

26. Sergio: Ah, ho capito. Utilizziamo una sola lettera perché il costo di una fazzoletto e di un paio di calzettoni è uguale.

27. Voci confuse: Ah sì...28. I: Cosa capirebbe il bambino giapponese?29. Giorgia: Che si tratta di due cose diverse.30. Sergio: Sì, infatti, volevo dirlo che f=c e quindi potremmo indicare il costo di un fazzoletto e di 1 paio di calzettoni

allo stesso modo.31. I: Siete d'accordo?32. Tutti: Sì... voci confuse...33. I: Se proprio vogliamo soddisfare la nostra sete di calcolo in che modo possiamo ragionare?17

34. Elisa (e qualche altra voce): Qual è il valore di a affinché a destra e a sinistra dell'uguale ci sia lo stesso valore.35. I: Quindi... ?36. Tutti: (voci confuse) ... 3.37. Elisa: A questo punto una dozzina 36.

.18

15 I ragazzi hanno rappresentato i fazzoletti e i calzettoni in modo diverso non rispecchiando il problema che invece diceva il contrario. Più che rappresenta, effettivamente la nostra situazione problematica si poteva dire 'questa rappresentazione tiene conto di tutte le informazioni offerte dal testo o ce ne sono altre da considerare?' Invito a condividere costantemente con la classe il fatto che le lettere rappresentano dei numeri. Per l’insegnante è scontato, ma il concetto è opacizzato da frasi gergali (frequentissime peraltro nelle trascrizioni che commentiamo) del tipo ‘le lettere rappresentano fazzoletti e calzettoni’. Per esempio: poco dopo Giorgia (29) a cosa allude quando dice che si tratta di cose diverse?Che messaggio viene veicolato nella classe? In questi casi suggerisco agli insegnanti di chiedere all’autore della frase cosa intenda dire, per evitare ambiguità nell’attribuzione dei significati da parte sua e da parte dei compagni. L’intervento di Sergio (30) che parla di costi favorirebbe il confronto e quindi il chiarimento.16 Troppo esplicito, andavano indirizzati all'esame del testo ed a tirare fuori da soli l'uguaglianza f=c.17 Qui si poteva rappresentare il processo di calcolo scrivendo 206×a=618, a=618:206 e agire a livello interpretativo riconoscendo che 618=600+18=3×200+3×6=3×(200+6)=3×206.La nostra relazione diventa: 206×a=3×206; per cancellazione ad entrambi i lati del termine 206 (diverso da zero), si ha a=3 (anche questo è early algebra); si può ancora dire che:costo totale fazzoletti = 3×12×8costo totale calzettoni = 110×3 (o anche = 618-3×12×8).18 Commento generale:L'ultima parte andava sviluppata in senso relazionale per soddisfare la 'sete di calcolo' (mi piace l'espressione).Come ulteriore esplorazione del problema, poteva essere interessante far discutere i ragazzi se si poteva ragionare in termini di 'dozzine', visto che una dozzina di fazzoletti equivale ad una dozzina di calzettoni. Si doveva riflettere sulla proposta e concludere che non è possibile ragionare sul problema convertendo le relazioni in termini di ‘dozzine di fazzoletti’ perché 110 non è un multiplo di 12. Un nuovo problema poteva essere ‘è possibile alterare il dato 110 con un multiplo di 12' e risolvere il problema per dozzine? I ragazzi avrebbero dovuto scoprire che andava alterato anche il costo totale perché la spesa totale doveva essere un multiplo di 12.Terzo problema: Aggiustare i due dati e riformulare un problema che ammetta la risoluzione per dozzine.Esempio: quanto deve essere la spesa totale se mutiamo la quantità di calzettoni acquistati in 120?Il costo di 8 dozzine di fazzoletti e di 120 paia di calzettoni diventa 8 dozzine di fazzoletti e 10 dozzine di calzettoni ha una spesa totale di 18 dozzine di calzettoni a 36 euro a dozzina la spesa totale è 36×18= 648.Problema riformulato:Un commerciante ha comprato 8 dozzine di fazzoletti e 120 paia di calzettoni. Ogni fazzoletto gli è costato come un paio di calzettoni. Se la spesa complessiva è stata di 648 Euro, quanto è costata 1 dozzina di fazzoletti?Questo secondo problema è più interessante perché con questi dati numerici è più economico impostare la modellizzazione per dozzine di oggetti.Potrebbe essere interessante far risolvere questo secondo problema liberamente, vedere se qualcuno lo risolve per dozzine di pezzi o per singoli pezzi, ma attivare entrambe le strategie e confrontarle.

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