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DISPENSA DI FISICA CLASSE I A La fisica e il metodo sperimentale L'uomo, spinto dal desiderio di conoscere e, quindi, di dominare il mondo che lo circonda e anche dal senso inventivo di realizzare nuovi fatti per migliorare le sue condizioni, ha cercato nel corso dei secoli di descrivere, coordinare e spiegare i fenomeni naturali. Per fenomeno naturale non si deve intendere qualcosa di insolito e straordinario ma qualsiasi fatto che avviene in natura. Attraverso lo studio della fisica (dall'antico greco (poet; = natura) si é perseguito e si continua a perseguire come scopo ultimo la conoscenza dei fenomeni naturali. Certamente la visione che oggi si ha del mondo non é la stessa di quella di ieri, né sarà eguale a quella di domani. Se si vuole, pero, che il discorso fisico non cambi da un momento all'altro e che le grandi teorie su cui esso si basa non si riducano a semplici manifestazioni del pensiero, quali sono le vie che bisogna seguire? La risposta sta nel modo in cui vengono poste le basi del discorso fisico. Sevi é un metodo che più degli altri permette di conservare le conquiste fatte e farne delle nuove, questo é il metodo sperimentale; esso fu introdotto da Galileo Galilei (1) ed é basato sulla osservazione di ogni fenomeno, sull'esperimento e sulla misurazione. Illustriamo quanto abbiamo detto con un esempio. Si consideri la caduta dei gravi nell'aria: si trova che corpi diversi per forma e per costituzione seguono movimenti differenti. Questa prima fase dello studio di un fenomeno cosi come avviene in natura costituisce l'osservazione. Si segua il fenomeno della caduta dei gravi nel tubo di Newton, cioè in un lungo tubo svuotato dell'aria: si constata che tali corpi, nel vuoto, si muovono allo stesso modo. Questa seconda fase dello studio di un fenomeno, in condizioni provocate artificialmente, ben controllabili e ripetibili, costituisce l'esperimento o esperienza fisica. Si stabilisca, quindi, con operazioni effettuate mediante regoli metrici quali sono le posizioni, iniziale e finale, occupate da un corpo in caduta libera e con operazioni effettuate mediante orologi se ne determinino gli istanti corrispondenti. Quest'ultima fase dello studio di un fenomeno da un punto di vista quantitativo costituisce la misurazione.

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DISPENSA DI FISICA CLASSE I ALa fisica e il metodo sperimentaleL'uomo, spinto dal desiderio di conoscere e, quindi, di dominare il mondo che lo circonda e anche dalsenso inventivo di realizzare nuovi fatti per migliorare le sue condizioni, ha cercato nel corso deisecoli di descrivere, coordinare e spiegare i fenomeni naturali.Per fenomeno naturale non si deve intendere qualcosa di insolito e straordinario ma qualsiasi fattoche avviene in natura. Attraverso lo studio della fisica (dall'antico greco (poet; = natura) si éperseguito e si continua a perseguire come scopo ultimo la conoscenza dei fenomeni naturali.Certamente la visione che oggi si ha del mondo non é la stessa di quella di ieri, né sarà eguale aquella di domani. Se si vuole, pero, che il discorso fisico non cambi da un momento all'altro e che legrandi teorie su cui esso si basa non si riducano a semplici manifestazioni del pensiero, quali sono levie che bisogna seguire? La risposta sta nel modo in cui vengono poste le basi del discorso fisico. Sevié un metodo che più degli altri permette di conservare le conquiste fatte e farne delle nuove, questoé il metodo sperimentale; esso fu introdotto da Galileo Galilei (1) ed é basato sulla osservazione diogni fenomeno, sull'esperimento e sulla misurazione.Illustriamo quanto abbiamo detto con un esempio.Si consideri la caduta dei gravi nell'aria: si trova che corpi diversi per forma e per costituzioneseguono movimenti differenti. Questa prima fase dello studio di un fenomeno cosi come avviene innatura costituisce l'osservazione. Si segua il fenomeno della caduta dei gravi nel tubo di Newton,cioè in un lungo tubo svuotato dell'aria: si constata che tali corpi, nel vuoto, si muovono allo stessomodo. Questa seconda fase dello studio di un fenomeno, in condizioni provocate artificialmente, bencontrollabili e ripetibili, costituisce l'esperimento o esperienza fisica. Si stabilisca, quindi, conoperazioni effettuate mediante regoli metrici quali sono le posizioni, iniziale e finale, occupate da uncorpo in caduta libera e con operazioni effettuate mediante orologi se ne determinino gli istanticorrispondenti. Quest'ultima fase dello studio di un fenomeno da un punto di vista quantitativocostituisce la misurazione.Si riesce cosi a provare che un grave in caduta libera nel vuoto aumenta la propria velocità di circa 10metri al secondo per ogni secondo e che percorre nel primo secondo circa 5 metri, in quellosuccessivo 15 metri, nel terzo 25 metri e cosi via.Grandezze fisiche fondamentali e derivateGli elementi fondamentali del discorso fisico sono le grandezze fisiche, dal cui legame scaturiscono leLeggi Fisiche. Le grandezze fisiche vengono definite seguendo il metodo operativo, stabilendo cioèquali criteri e quali procedimenti sono necessari per misurare le grandezze stesse.Più precisamente, diciamo che le grandezze fisiche sono ogni insieme di enti per i quali é possibilestabilire, sempre mediante operazioni fisicamente effettuabili, quanto segue:1) l'eguaglianza e la diseguaglianza tra due elementi dell’insieme;2) la somma di due o più elementi dell’insieme;3) l'elemento dell’insieme che si sceglie come unita di misura.II metodo operativo su cui é basata la definizione delle grandezze fisiche trae la sua origine in granparte dai fatti comuni della vita quotidiana.Come facciamo, ad esempio, per misurare ii perimetro di una stanza? Quando stabiliamo, ad occhio,che le lunghezze delle pareti opposte sono eguali mentre quelle di due pareti consecutive sonopag. 2diverse, non facciamo altro che applicare il primo criterio, cioè il criterio di eguaglianza ediseguaglianza; se poi stabiliamo che il perimetro della stanza é dato dalla somma delle lunghezzedelle quattro pareti, applichiamo il secondo criterio, cioè il criterio della somma; se infine prendiamocome lunghezza di riferimento il metro, applichiamo il terzo criterio, cioè la scelta dell’unita dimisura.La misurazione poi viene effettuata nel modo seguente. Facciamo coincidere un estremo del metrocon l’estremità di una parete della stanza e, trasportando successivamente il metro lungo la paretesu una retta orizzontale, constatiamo quante volte vi è contenuto. II numero cosi ottenuto da lamisura della lunghezza della parete. Ripetiamo l'operazione per le altre pareti: la somma delle misure

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delle lunghezze delle quattro pareti da, infine, la misura del perimetro della stanza.Un insieme di grandezze per le quali si possono stabilire i criteri 1, 2 e 3 costituisce un insieme digrandezze omogenee.Il rapporto tra una grandezza dell’insieme ed un'altra grandezza dell’insieme stesso, scelta comeunita di misura, definisce la misura della grandezza. Il rapporto tra due grandezze omogenee,misurate con la stessa unita di misura, definisce una grandezza adimensionale.In conclusione le grandezze fisiche sono tutti gli enti misurabili per i quali cioè si può definire,operativamente, il confronto, la somma e l’unità di misura.Precisiamo che l'operazione mediante la quale si ottiene la misura di una grandezza é dettamisurazione.Le grandezze fisiche vengono generalmente distinte in grandezze fondamentali o primarie egrandezze derivate o secondarie.Sono grandezze fondamentali quelle la cui definizione non dipende da altre grandezze mentre sidicono derivate tutte quelle la cui definizione dipende dalle grandezze fondamentali.La lunghezza e la sua unità di misuraLa nozione di spazio e quella di lunghezza, ad esso strettamente legata, sono alla base di tutta lageometria.In fisica la lunghezza viene considerata grandezza fondamentale e come tale se ne dà solamente ladefinizione operativa, precisando i criteri e le operazioni che consentono la sua misura.Nei casi più comuni per misurare una lunghezza si può usare il regolo rettilineo o riga. Mediante ilregolo rettilineo si pub stabilire:1) se due lunghezze sono eguali o diverse;2) qual é la somma di due o più lunghezze.Effettuato il confronto e la somma di due o più lunghezze, occorre stabilire l'unità di misura.UNITA DI MISURA DELLA LUNGHEZZACome unità di misura della lunghezza é stato scelto il metro (m), che viene definito nel modoseguente:il metro é la distanza, alla temperatura di 0 °C. tra due tratti paralleli riportati su una particolaresbarra di platino-iridio, conservata nell'Archivio internazionale di Pesi e Misure di Sevres presso Parigi.pag. 3Il tempo e la sua unità di misuraLa nozione di tempo ha origine dalla nostra esperienza basata sulla percezione del susseguirsi deglieventi da noi osservati. Ora, anche se questa percezione ci consentisse di distribuire gli eventi stessisecondo un ordine crescente di << prima-dopo >> ovviamente, una tale scala temporale sarebbepuramente qualitativa, oltre che soggettiva (tempo fisiologico). Si rende quindi necessario eliminaredal concetto di tempo ogni elemento fisiologico e concretizzarlo in quello di grandezza fisica (tempofisico). In fisica, pertanto, il tempo si considera ente primitivo e si definisce operativamente, comegrandezza fondamentale, la durata o intervallo di tempo, cioè la differenza tra due tempi detti,rispettivamente, istante finale e istante iniziale. Ovviamente, nella scala dei tempi qualsiasi istante sipuò scegliere come riferimento e porlo, per convenzione, eguale a zero.Come unita di misura dell'intervallo di tempo é stato scelto il secondo solare medio (s)La massa e la sua unità di misuraUna caratteristica dei corpi e la loro massa che solitamente viene definita come la quantità di materiacontenuta nei corpi stessi.Per effettuare le operazioni che conducono alla misura della massa eguali o diversi intervalli ditempo. di un corpo si può usare la bilancia.Con tale strumento si pub stabilire:1) se due masse sono eguali o diverse.2) qual é la somma di due o più masse.UNITA DI MISURA DELLA MASSACome unità di misura della massa é stato scelto il chilogrammo (kg) cosi definito:il chilogrammo é la massa di un blocchetto cilindrico di platino-iridio conservato nell’Archivio

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Internazionale di Pesi e Misure di Sévres presso Parigi.Grandezze scalari e grandezze vettorialiIl numero che rappresenta la misura della grandezza seguito dall’unità di misura è detto: Modulo oIntensità della grandezza. Tali grandezze sono dette Scalari.Per tutte le grandezze per la cui definizione non occorrono altri elementi per la loro definizioneall’infuori del modulo o l’intensità sono dette Grandezze Scalari.Se per esempio consideriamo un punto materiale (rappresentazione grafica di un punto che non hadimensione) può compiere degli spostamenti. Per descrivere tale grandezza fisica c’è bisogno diintrodurre altri elementi.Per determinare lo spostamento di un punto materiale nello spazio c’è bisogno di introdurre altregrandezze oltre al modulo o intensità, questo perché nello spazio il punto materiale può compiereinfiniti spostamenti in qualsiasi direzione ed in qualsiasi verso sempre con lo stesso modulo.Quindi per definire lo spostamento di un punto materiale si introdurranno altre due elementi:la direzione ed il verso.Tutte le grandezze per le quali oltre al modulo o intensità per la loro definizione c’è bisogno anche didirezione e verso, sono dette Grandezze VettorialiDEFINIZIONE DI VETTOREIl vettore è un segmento orientato nello spazio individuato mediante i seguenti elementicaratteristici: direzione, verso, e intensità o modulo.pag. 4In conclusione possiamo dire che lo spostamento è una grandezza vettoriale.Cenni di calcolo vettorialea) SOMMA DI VETTORIDati due vettori V1=OV1 e V2=OV2 applicati ad uno stesso punto O e formanti un certo angolo, sidefinisce Vettore Somma o Risultante il vettore V=OV individuato dalla diagonale delparallelogramma che ha per lati i vettori assegnati (regola del parallelogramma).Se i vettori sono più di due il vettore somma è dato dal lato di chiusura del poligono avente come latii vettori assegnati (regola del poligono).b) DIFFERENZA DI DUE VETTORISi definisce vettore opposto al vettore dato il vettore che ha la stessa intensità, la stessa direzione,ma verso contrario. Dati due vettori V1=OV1 e V2=OV2 applicati allo stesso punto O e formanti uncerto angolo, si definisce differenza dei due vettori il vettore V=OV ottenuto dalla somma vettorialedi V1 e dell’opposto di V2.pag. 5c) PRODOTTO DI UNA GRANDEZZA SCALARE PER UN VETTOREDato un vettore V=OV ed un numero reale n (scalare) si definisce prodotto di una grandezza scalareper un vettore il U=nxV avente la stessa direzione del vettore V, lo stesso verso, e intensità = nxV.d) SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE IN DUE DI DIREZIONE ASSEGNATEDato un vettore V=OV e due direzioni Or1 ed Or2, dall’estremo V conduciamo le parallele alle duedirezioni, e i punti V1 e V2, individuati su r1 e r2 determinano i vettori V1=OV1, e V2=OV2(procedimento inverso alla somma).Metodi di misurazione delle grandezze FisicheCome si é visto, la determinazione quantitativa di una grandezza fisica si effettua attraverso lamisurazione, operazione il cui risultato é la misura che esprime il rapporto tra la grandezza damisurare ed un'altra grandezza ad essa omogenea, presa come unità di misura.La misurazione di una grandezza fisica può essere effettuata seguendo tre metodi diversi.a) Metodo di misurazione diretta: è’ detto anche metodo di misurazione relativa e consiste nelconfrontare la grandezza che si vuole misurare con un'altra della stessa specie scelta comecampione o unità di misura. Questo metodo si applica per la misurazione delle grandezzefondamentali.b) Metodo di misurazione indiretta: è detto anche metodo di misurazione assoluta e consiste neldeterminare il valore della grandezza in esame misurando direttamente le altre grandezze da cui

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essa dipende secondo una relazione ben definita.pag. 6Così, per esempio, per misurare il volume di un corpo a forma cilindrica si misurano diretta mentel'altezza h ed il raggio r del cilindro e mediante la formula V = π r2 h se ne ricava il volume.c) Metodo di misurazione con strumenti tarati: questo metodo consiste nell’impiego di strumentitarati, cioè di particolari dispositivi muniti di scale e di indici le cui indicazioni sono statecontrollate in base alla misurazione diretta o indiretta delle grandezze in esame; tale operazioneviene detta taratura dello strumento.Calcolo degli erroriPer determinare la misura delle grandezze fisiche il metodo più: diffuso é quello con strumenti taratiin quanto la misura stessa si riconduce alla osservazione della posizione di indici su scale, operazioneche si può eseguire con elevata precisione.Se si ripetono varie volte le misurazioni di una grandezza fisica, si otterranno dei valori x1, x2,,,xnche, in generale, differiscono tra loro.Seguendo il principio della media di Gauss (o aritmetica), si assumerà come valore più probabile dellagrandezza in esame il valore dato dalla media aritmeticaX=x1+x2+,,,+xn/nE bene osservare che non esistono misure esatte in quanto in ogni misurazione si commettono deglierrori che possono essere accidentali o sistematici.Gli errori accidentali dipendono da circostanze perturbatrici fortuite; essi influiscono nelle misure,ottenute eseguendo una serie di misurazioni di una grandezza fisica, ora in un senso, ora nell’altro econ intensità variabile. Dato che gli errori accidentali sono legati ad altri fenomeni non controllabiliche si sovrappongono al fenomeno in esame influenzandolo in modo del tutto casuale, essi non sipossono mai eliminare (esempio differenza di temperatura a causa della quale gli strumenti sidilatano o si restringono ecc.).Gli errori sistematici sono quelli che dipendono da difetti costruttivi degli strumenti, vizi nel metodousato, particolare comportamento dell'osservatore, ecc.. Essi influiscono sul risultato sempre nellostesso senso e con la stessa intensità e si possono eliminare o ridurre variando i metodi, gli strumentie gli osservatori.Il calcolo degli errori presuppone la conoscenza del valore vero della grandezza da misurare; poichéciò é impossibile, si ricorre ai calcolo del valore più probabile delle varie misure. Se non e richiestauna elevata precisione e se le misure sono poco numerose, é sufficiente calcolare l'errore assolutomassimo dato dalla semidifferenza tra il valore massimo XM ed il valore minimo Xm delle misureottenute:a=XM-Xm/2Tenendo conto dell'errore assoluto, la misura della grandezza in esame si esprime con la notazione:X=X+/-apag. 7Più significativo dell'errore assoluto, per stimare la precisione di una misura, é l'errore relativodefinito dal rapporto tra l'errore assoluto e il valore medio della grandezza; cioè:r=a/XSe poi si vuole l’errore relativo percentuale, basta moltiplicare per cento quello relativo.Supponiamo, ad esempio, di aver misurato la massa di un anello d'oro con una bilancia d'analisi,avente la sensibilità di un milligrammo, e di aver eseguito 6 misurazioni i cui risultati sono:m1 = 7,580 g m2 = 7,583 g m3 = 7,530 9m4 = 7,581 g m5 = 7,584 g m6 = 7,530 9La media aritmetica dei sei valori da il valore della massa del corpo:m = m1 +m2+m3+m4+m5+m6 / 6 =7,581 gl’errore assoluto massimo è: a = 7,584-7,582 / 2 = 0,002 gLa massa dell’anello sarà: m = (7,581 +/- 0,002) gL’errore percentuale sarà: 0,0026%pag. 8

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Introduzione alla meccanicaLa meccanicaLa meccanica é Ia più antica delle scienze fisiche: essa infatti si occupa del movimento e questo è unodei fenomeni naturali che per primo ha destato l'interesse dell'uomo.Di solito la meccanica si suddivide in tre parti:1. la cinematica che studia il movimento dei corpi senza tener conto delle cause che Ioproducono;2. Ia dinamica che studia il movimento dei corpi e Ie sue cause;3. la statica che studia le condizioni di equilibrio dei corpi.Nell'idea di movimento sono intimamente legati i concetti primitivi di posizione e di tempo.Un corpo é in movimento se la sua posizione, misurata dalla distanza da un altro corpo, consideratofisso, varia al variare del tempo.Cosi, per esempio, stando nel vagone di un treno, diciamo di essere in movimento quando la nostraposizione, rispetto a quella della strada ferrata, cambia istante per istante. Ma noi possiamo anchemuoverci all'interno del vagone che é in movimento rispetto alla strada ferrata, la quale, a sua volta,essendo fissata alla Terra, é in movimento rispetto al Sole e cosi via.E facile capire che se riferissimo il nostro movimento al Sole, anziché alle pareti del vagone, ilmovimento stesso risulterebbe molto complicato. D'altra parte non potendo stabilire l'esistenza diun qualcosa che occupi nell'universo sempre la stessa posizione, non ha significato parlare di motoassoluto e, pertanto, il moto di un corpo é sempre relativo, cioè riferito ad un altro corpoarbitrariamente scelto, che si considera fisso e che viene detto sistema di riferimento.Sistemi di riferimentoCome é stato precisato nel paragrafo precedente un corpo si muove relativamente ad un sistema diriferimento quando la sua posizione varia nel tempo.Ora, per determinare il movimento di un corpo, bisognerebbe conoscere il movimento di ciascunaparticella di cui esso é costituito e ciò ovviamente, è impossibile.Pertanto, in una prima trattazione del movimento di un corpo, prescinderemo dalle sue dimensioni,dalla sua forma, dalla sua costituzione chimica, eccetera, e Io considereremo come un punto, chechiameremo punto materiale o particella.Si tenga però sempre presente che il punto materiale, per definizione privo di estensione, é unaastrazione accettabile in quei casi in cui si rende necessaria una notevole semplificazione deiproblemi che si debbono risolvere.Per quanto riguarda il sistema di riferimento, sceglieremo una terna di assi cartesiani ortogonali XYZaventi l'origine in un punto O e fissa nello spazio. Ai fini pratici tale terna di assi si considera solidalecon Ia Terra e viene detta sistema di riferimento terrestre o da laboratorio.Riferendoci alla figura diciamo che un punto materiale P é in quiete o in moto quando le suecoordinate, cioè Ie distanze x, y e z, rispettivamente, dai piani YZ, X2 e XY, si mantengono costanti ovariano nel tempo.pag. 9Se il punto P é in movimento, per conoscere istante per istante la sua posizione, debbono esserenote le coordinate x, y e z dei punto stesso in funzione del tempo t.Il luogo delle posizioni occupate dal punto P durante il suo movimento é una linea a cui si da il nomedi traiettoria; questa può essere una retta o una curva. Nel primo caso il moto si dice rettilineo, nelsecondo caso curvilineo.Quando il moto del punto materiale avviene in un piano, il sistema di riferimento si riduce a due assicartesiani ortogonali XY di origine O, appartenente al piano su cui si muove il punto stesso.Se infine il moto del punto avviene lungo una retta, il sistema di riferimento si riduce ad un solo asseX di origine O.pag. 10A chiarimento di quanto detto facciamo un esempio.Supponiamo che un punto materiale si muova su un piano e che, relativamente al sistema di assicartesiani ortogonali XY di origine O, siano note le coordinate del punto in funzione del tempo:

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x=15t,y=—5t2

Moto di un punto materiale definito dalle relazioni: x = 15 t, y = — 5t2.In questo caso il movimento del punto é perfettamente individuato in quanto si può conoscere la suaposizione in qualsiasi istante.Le prime grandezze che caratterizzano il movimento:velocità e accelerazionea) Velocità.Riferito al movimento dei corpi, il concetto di velocità esprime intuitivamente la rapidità con cuivaria la loro posizione; in esso, quindi, sono contenuti i concetti primitivi di lunghezza e di tempo.Cosi, per esempio, diciamo che un'auto é tanto più veloce quanto minore e il tempo che impiega acompiere un dato percorso.Il cammino che effettivamente percorre un punto materiale in movimento si suole chiamare, anchese impropriamente, spazio percorso.Non si confonda pero Io spazio percorso da un punto materiale, che é una grandezza scalare, col suospostamento, che é una grandezza vettoriale, il cui modulo e dato dalla distanza tra una dataposizione P0 occupata dal punto materiale ed un'altra posizione P, indipendentemente dal modocome il punto passa da Po a P, e avente la direzione della retta P0-P e verso da P0 a P.Volendo precisare il concetto di velocità da un punto di vista quantitativo, si può procedere nel modoseguente. Sia L la traiettoria che descrive il punto materiale in movimento; fissato su L un punto Ocome riferimento, siano P0, e P le posizioni occupate dal punto mobile negli istanti t0 e t; poniamoOP = s0 ed OP=spag. 11Il rapporto tra la lunghezza dell'arco PP0 = (s — s0) percorso e l'intervallo di tempo (t — t0)impiegato a percorrerlo, definisce la velocità scalare media.VELOCITA SCALARE MEDIALa velocità scalare media di un punto materiale in movimento é il rapporto tra lo spazio da essopercorso ed il tempo impiegato a percorrerlo.Considerando intervalli di tempo (t — t0) via via più piccoli, le posizioni P0 e P, occupate dal puntomateriale in movimento, sono sempre più: vicine; si troveranno cosi velocità medie scalari tendentiad un valore limite che si chiama velocità scalare istantanea.Precisiamo che la velocità, cosi come é stata definita, é una grandezza fisica derivata da unalunghezza e da un intervallo di tempo; di conseguenza la sua unita di misura nel SI è il metro alsecondo (m/s)Chiariamo il concetto di velocità scalare media considerando, per esempio, il moto di un ciclistalungo una pista.Scelta la posizione O come riferimento, fissiamo mediante un orologio l'istante t0 in cui il ciclistapassa per la posizione A: sia, per esempio, t0 = 30 s. Segniamo quindi l'istante t in cui il ciclista stessopassa per la posizione B e sia, per esempio, t = 40 s.Misuriamo gli spazi so = OA ed s = OB e siano rispettivamente so = 125 m ed s = 245 m. La velocitàscalare media del ciclista nel tratto AB é:pag. 12Nella definizione di velocità scalare non vengono precisati la direzione ed il verso del movimento delpunto materiale. Per arricchire il concetto di velocita é conveniente considerare la velocità stessacome grandezza vettoriale.Sia L la traiettoria descritta dal punto materiale in movimento; fissato su L un punto O come origine escelto come verso positivo quello antiorario, siano P0 e P le posizioni occupate dal punto stesso negliistanti t0 e t. Se i vettori s0 = OP0 ed s = OP rappresentano, rispettivamente, gli spostamenti negliistanti considerati, il vettoredefinito dal rapporto tra lo spostamento P0P= (s — s0), e l'intervallo di tempo (t – t0) in cui talespostamento é avvenuto, rappresenta la velocità vettoriale media.VELOCITA VETTORIALE MEDIA

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La velocità vettoriale media di un punto materiale in movimento é il rapporto tra lo spostamentoda esso subito ed il tempo durante il quale é avvenuto lo spostamento stesso.Considerando intervalli di tempo (t — t0) via via più piccoli, le posizioni P0, e P, occupate dal puntomateriale in movimento, sono sempre più vicine; si troveranno, pertanto, velocità vettoriali medietendenti ad un valore limite V che si chiama velocità vettoriale istantanea.pag. 13La velocità vettoriale istantanea nel punto P0 si può rappresentare con un vettore V di origine in P0,avente direzione tangente alla traiettoria in P0, verso coincidente con quello del movimento eintensità eguale a quella della velocità scalare istantanea.b) Accelerazione.Il concetto di velocità da solo non basta per caratterizzare il movimento di un punto materiale;occorre anche conoscere come essa varia istante per istante. Siano v0 e v rispettivamente le velocitàdi un punto materiale nell'istante t0 in cui occupa la posizione P0, e nell'istante t quando occupa laposizione P.Il rapporto tra la variazione di velocità (v – v0), subita dal punto materiale in movimento ed ilcorrispondente intervallo di tempo (t — t0) in cui tale variazione avviene, é l'altra grandezzavettoriale che insieme alla velocità caratterizza il movimento: essa viene detta accelerazione media.ACCELERAZIONE MEDIAL'accelerazione media é il rapporto tra la variazione di velocità subita da un punto materiale inmovimento ed il tempo durante il quale é avvenuta detta variazione.Considerando intervalli di tempo (t — to) sempre più piccoli si avranno accelerazioni medie semprepiù vicine ad un valore limite che si chiama accelerazione istantanea.Precisiamo che l'accelerazione si può definire anche come la variazione di velocità subita da un puntomateriale in movimento nell'unità di tempo.La sua unità di misura nel SI é il metro al secondo al quadrato (m/s2).Poiché la velocità di un punto materiale in movimento può variare sia di intensità che di direzione, sidefiniscono due tipi diversi di accelerazione.Sia a il vettore che rappresenta l'accelerazione istantanea di un punto materiale quando occupa laposizione P della traiettoria L su cui si muove. Scomponiamo tale vettore in due vettori uno at, indirezione della tangente in P alla traiettoria ed uno an in direzione della normale in P alla traiettoriapag. 14stessa; i vettori at, ed an , vengono detti, rispettivamente, accelerazione tangenziale edaccelerazione centripeta o normale.L'accelerazione tangenziale esprime la variazione di intensità della velocità nell'unità di tempomentre l'accelerazione centripeta esprime la variazione di direzione della velocità nell'unità ditempo.pag. 15Leggi della dinamica e gravitazione universaleConsiderazioni preliminariConsideriamo una pallina di ferro appoggiata su un tavolo orizzontale e in quiete relativamente adesso. L'esperienza mostra che affinché la pallina si metta in movimento rispetto al tavolo occorre unacausa esterna, che potrebbe essere una piccola spinta, l'azione di una molia, l'attrazione di unacalamita, o semplicemente la mancanza del vincoio, che é il tavolo. In quest'ultimo caso il movimentodella pallina é dovuto all'attrazione che la Terra esercita su di essa.Supponiamo ora che la pallina si muova su una guida rettilinea. Anche questa volta l'esperienzamostra che per variare la sua velocita, o per fermarla, occorre una causa esterna che potrebbe esserel'azione esercitata da un ostacolo posto sul cammino della pallina o semplicemente l'attrito.In ogni caso, possiamo dire che la variazione di velocità della pallina non e mai un fatto spontaneo erichiede sempre una determinata causa. Osserviamo inoltre che, finché la pallina é appoggiata sultavolo, essa resta ferma non perché viene a mancare l’attrazione da parte della Terra, ma in quantoc'é il tavolo a impedirne il movimento. In questo caso si puo constatare che la causa che metterebbein movimento la pallina, se fosse libera, si manifesta, invece, attraverso Ie deformazioni che

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subiscono sia la pallina che il tavolo. Dalle osservazioni fatte, possiamo dire che:la forza é la causa della variazione di velocita o della deformazione che subisce un corpo al qualeviene applicata la forza stessa.II concetto di forza e quelli di massa e acceierazione sono alla base della dinamica, cioe del moto e lesue cause. Questa indagine si fonda su tre leggi o principi che furono enunciati dal fisico inglese IsaacNewton (1642-1727) in forma assiomatica nella sua opera <<PhiIosophiae naturalis principiamathematica» pubblicata nell'anno 1687.Occorre sottolineare che nella formulazione delle leggi della dinamica di Newton i corpi vannoconsiderati come particelle o punti materiali e la loro massa é ritenuta costante durante il loromovimento (meccanica classica o di Galilei-Newton).Il principio d’inerziaLa prima legge della dinamica di Newton è nota storicamente come legge o principio d’inerzia.Essa fu intuita da Galileo Galilei come conseguenza dei suoi studi sul moto dei gravi lungo un pianoinclinato quando, in particolare, l'angolo di inclinazione del piano stesso é nullo (piano orizzontaie).Lanciando un grave su una superficie orizzontale, il grave stesso procede con velocita gradualmentedecrescente; Galilei comprese che tale variazione di velocita era dovuta aIl'attrito e alla resistenzadell'aria. Riducendo via via tali resistenze, il moto tende sempre ad un moto rettilineo uniforme; nelcaso ideaie che queste resistenze venissero completamente eliminate, il corpo dovrebbe procederesempre con velocita costante in intensità, direzione e verso.Nei caso di un corpo inizialmente fermo su un piano orizzontaie é evidente che in assenza di forzeesso perseveri nel suo stato di quiete. Questo fatto era gia noto sin dai tempi di Aristotele per il qualenon era altrettanto evidente come un corpo si potesse mantenere in movimento senza l'intervento diuna forza esterna. Bastava pero una analisi piu approfondita per riconoscere che tutti i movimenti siestinguono, se non sono sostenuti da forze attive, a causa delle forze passive (attrito e resistenzapag. 16dell'aria). Cio fu compreso, come si è detto, prima da Galilei e successivamente da Newton, al qualesi deve la formulazione definitiva del principio d'inerzia che si puo ritenere ancora valida.PRINCIPIO D'lNERZlA (prima legge della dinamica o di Newton)Un corpo rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme sino a quando non agisconosu di esso forze esterne.Concludiamo facendo presente che il principio di inerzia non puo essere verificato sperimentalmentein quanto non si riesce ad isolare in maniera completa alcun corpo o sistema di corpi in movimento.La legge fondamentale della dinamicaCome abbiamo detto nel precedente paragrafo, se ad un corpo, inizialmente fermo o in motorettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento, non viene applicata alcuna forza, essocontinua a mantenere il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.Se pero il corpo é soggetto ad una forza, si osserva che la sua velocita cambia istante per istante; ciovuol dire che, per effetto della forza, il corpo subisce una accelerazione.Come si comportano corpi aventi massa differente quando vengono soggetti separatamenteall'azione di una stessa forza?Per rispondere a tale domanda ci serviremo del dispositivo sperimentale in figura costituito da uncarrello A che puo essere messo in movimento su una guida rettilinea ed orizzontale.Dopo aver determinato la massa m del carrello, poniamo il carrello stesso nella posizione M edapplichiamo ad esso una forza tramite il pesetto P, legato al filo f che passa per la gola della carrucolaC. Poiché il carrello é libero di spostarsi lungo la guida, esso, sotto l'azione di tale forza, si mettera inmovimento. Misuriamo l'intervallo di tempo occorrente per portare il carrello dalla posizione diquiete M in un'altra posizione N e calcoliamo la velocita del carrello stesso nell'istante in cui passaper N.In questo modo si puo determinare l'accelerazione del carrello mediante il rapporto tra la variazionedella velocita da esso subita nel passare da M ad N ed il corrispondente intervallo di tempo; sia a ilpag. 17modulo di questa accelerazione. Mettiamo ora sul carrello dei blocchetti B in modo da farne variare

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la massa e ripetiamo piu volte l'esperienza lasciando invariato il pesetto P e, quindi, la forza applicataal carrello.Se m1, m2, m3, sono, per ciascuna esperienza, Ie masse complessive (carrello più blocchetti)e se a1,a2, a3, sono i corrispondenti valori dell'accelerazione, si verifica, entro i Iimiti degli errorisperimentali, che i prodotti m1xa1, m2xa2, m3xa3, risultano tutti eguali tra loro ed al prodotto mxatrovato inizialmente; si ha quindi:m1xa1 = m2xa2 = m3xa3 = ma.Sulla base dei fatti sperimentali esaminati, possiamo stabilire che, sottoponendo corpi diversi allastessa forza, il prodotto della massa m di ciascun corpo per l'accelerazione a da esso subita simantiene costante.Tale prodotto, che indicheremo con F, si puo prendere come valore della forza stessa, cioé:F=mxa (3-1)L'esperienza mostra inoltre che la forza e l'accelerazione hanno Ia stessa direzione e Io stesso verso.Tenendo presente che la massa di un corpo è una grandezza scalare mentre la forza e l'accelerazi0nesono grandezze vettoriali, la (3-1) si scrivera:F=mxa (3-2)La (3-2) e l'equazione fondamentale della dinamica; essa esprime la Iegge fondamentale delladinamica o seconda Iegge di Newton.pag. 18LEGGE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA (seconda legge della dinamica o di Newton)La forza applicata ad un corpo libero di muoversi nella direzione della forza é uguale al prodottodella massa del corpo per I'accelerazione che esso subisce.Prima di chiudere questo paragrafo facciamo an cora due osservazioni:1) se ad uno stesso corpo si applicano successivamente forze diverse, si verifica che le accelerazionida esso subite sono direttamente proporzionali alle intensita delle forze stesse: cio vuol dire che Iamassa di un corpo si mantiene costante ed é una sua caratteristica;2) se a corpi aventi massa diversa si applicano forze eguali, le accelerazioni da essi subite sonoinversamente proporzionali alle loro masse: cio vuol dire che la massa dei corpi è un ostacolo al loromovimento o, in termini più appropriati, che la massa dei corpi é la misura della loro inerzia.Per questa sua caratteristica la massa viene detta massa inerziale mentre quella misurata con unabilancia e detta massa pesante o gravitazionale.Nel Sistema internazionale la forza e una grandezza derivata: infatti, come abbiamo visto, essa vienedefinita, in base alla relazione (3-1), come prodotto della massa per l'accelerazione.La sua unita di misura é il newton (N) del quale si puo dare la seguente definizione:il newton é l'intensita di quella forza che agendo su un corpo avente la massa di 1 kg gli imprimel'accelerazione di 1 m/s2.La legge di gravitazione universalePrendendo in esame le ieggi sul moto dei pianeti che Keplero, in seguito alle osservazioni fattedall'astronomo Tycho Brahe, aveva formulato empiricamente, Newton pervenne nel 1687 alla leggedi gravitazione universale.LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALETra due corpi aventi rispettivamente massa m1 ed m2, i cui centri si trovano alla distanza r. siesercita una forza di mutua attrazione agente in direzione della retta congiungente i centri stessi eIa cui intensità é direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamenteproporzionale al quadrato della Ioro distanza.nella quale G é una costante che viene detta costante di gravitazione universale.ll valore di tale costante fu determinato per via sperimentale Ia prima volta da Lord Cavendish nel1798; riferendoci al SI e alle misure più recenti, si ha: G = 6,673x10-11 Nm2/kg2

pag. 19Leggi di Keplero:1) Tutti i pianeti si muovono su orbite eilittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi.2) Le aree descritte dai raggi vettori congiungenti ciascun pianeta con il Sole sono direttamente

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proporzionali ai tempi impiegati a descriverle.3) I quadrati dei periodi di rivoluzione di ciascun pianeta sono direttamente proporzionali ai cubidegli assi maggiori delle Ioro orbite.La legge di gravitazione universale é stata, e continua ad essere, alla base del progresso dellameccanica astronomica e terrestre. Cosi il pianeta Nettuno fu scoperto nel 1846 in quanto la suaesistenza era stata prevista da Leverrier per spiegare, in base alla legge di gravitazione universale, Ieperturbazioni dell'orbita del pianeta Saturno; analogamente é awenuto per Ia scoperta del pianetaPlutone fatta nel 1930.Sebbene ancora oggi non si conosca l'ente fisico da cui traggono origine e si trasmettono le forzegravitazionali, la legge di Newton occupa un posto preminente nel campo della meccanica. Essa eancora alla base del calcolo delle orbite dei satelliti artificiali e della programmazione dei viaggi che leastronavi gia compiono nell'esplorazione del sistema solare.Il peso dei corpi. Differenza tra massa e peso. La massa della TerraLasciando cadere un corpo di massa m entro un Iungo tubo in cui é stato fatto il vuoto e dispostoverticalmente, si puo provare che l'accelerazione del corpo si mantiene costante.In base alla legge fondamentale della dinamica detta accelerazione non puo essere provocata che dauna forza, diretta verso ii basso secondo Ia verticale. Tale forza, come gia abbiamo avuto occasione didire, é il peso del corpo e l'accelerazione é quella di gravità.Pertanto, se P é il peso dei corpo e g l'accelerazione di gravita, in base alla (3-1) si ha:P = mg (3-16)Ma il peso dei corpo non e altro che la forza di attrazione che la Terra esercita sul corpo stesso;indicando allora con M Ia massa della Terra e con r la distanza tra il suo centro e quello dei corpo, perIa legge di gravitazione universale, dev'essere:P=GxMm/r2 (3-17)Da questa relazione si vede che il peso di un corpo e inversamente proporzionale al quadrato dellasua distanza dal centro della Terra. Per il fatto poi che la Terra non é perfettamente sferica e ruotaintorno al proprio asse, il peso di un corpo varia oltre che con l'a|titudine anche con Ia latitudine.In conclusione possiamo dire che:mentre la massa di un corpo si mantiene costante, il suo peso invece varia da luogo a luogo e diconseguenza non é una grandezza caratteristica del corpo.Dal confronto delle relazioni (3-16) e (3-17) si ha:Mg=GxMm/r2

Da cuig=GxM/r2

Pertanto i'accelerazione di gravità e indipendente dalla massa dei corpo ed e inversamenteproporzionale al quadrato della sua distanza dal centro della Terra.pag. 20Dalla relazione nota l'accelerazione di gravità g dei iuogo e Ia distanza r si puo determinare la massaM della Terra.Riferendoci, per esempio, al livello dei mare e prendendo come valori medi di g e r, rispettivamente,9,8 m/s2 e 6371x103 m, risulta:9 8. (6371x103)2/(6.67x10-11) = 5.96x1024 kg

pag. 1Introduzione alla FisicaLa fisica e il metodo sperimentaleL'uomo, spinto dal desiderio di conoscere e, quindi, di dominare il mondo che lo circonda e anche dalsenso inventivo di realizzare nuovi fatti per migliorare le sue condizioni, ha cercato nel corso deisecoli di descrivere, coordinare e spiegare i fenomeni naturali.Per fenomeno naturale non si deve intendere qualcosa di insolito e straordinario ma qualsiasi fattoche avviene in natura. Attraverso lo studio della fisica (dall'antico greco (poet; = natura) si éperseguito e si continua a perseguire come scopo ultimo la conoscenza dei fenomeni naturali.

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Certamente la visione che oggi si ha del mondo non é la stessa di quella di ieri, né sarà eguale aquella di domani. Se si vuole, pero, che il discorso fisico non cambi da un momento all'altro e che legrandi teorie su cui esso si basa non si riducano a semplici manifestazioni del pensiero, quali sono levie che bisogna seguire? La risposta sta nel modo in cui vengono poste le basi del discorso fisico. Sevié un metodo che più degli altri permette di conservare le conquiste fatte e farne delle nuove, questoé il metodo sperimentale; esso fu introdotto da Galileo Galilei (1) ed é basato sulla osservazione diogni fenomeno, sull'esperimento e sulla misurazione.Illustriamo quanto abbiamo detto con un esempio.Si consideri la caduta dei gravi nell'aria: si trova che corpi diversi per forma e per costituzioneseguono movimenti differenti. Questa prima fase dello studio di un fenomeno cosi come avviene innatura costituisce l'osservazione. Si segua il fenomeno della caduta dei gravi nel tubo di Newton,cioè in un lungo tubo svuotato dell'aria: si constata che tali corpi, nel vuoto, si muovono allo stessomodo. Questa seconda fase dello studio di un fenomeno, in condizioni provocate artificialmente, bencontrollabili e ripetibili, costituisce l'esperimento o esperienza fisica. Si stabilisca, quindi, conoperazioni effettuate mediante regoli metrici quali sono le posizioni, iniziale e finale, occupate da uncorpo in caduta libera e con operazioni effettuate mediante orologi se ne determinino gli istanticorrispondenti. Quest'ultima fase dello studio di un fenomeno da un punto di vista quantitativocostituisce la misurazione.Si riesce cosi a provare che un grave in caduta libera nel vuoto aumenta la propria velocità di circa 10metri al secondo per ogni secondo e che percorre nel primo secondo circa 5 metri, in quellosuccessivo 15 metri, nel terzo 25 metri e cosi via.Grandezze fisiche fondamentali e derivateGli elementi fondamentali del discorso fisico sono le grandezze fisiche, dal cui legame scaturiscono leLeggi Fisiche. Le grandezze fisiche vengono definite seguendo il metodo operativo, stabilendo cioèquali criteri e quali procedimenti sono necessari per misurare le grandezze stesse.Più precisamente, diciamo che le grandezze fisiche sono ogni insieme di enti per i quali é possibilestabilire, sempre mediante operazioni fisicamente effettuabili, quanto segue:1) l'eguaglianza e la diseguaglianza tra due elementi dell’insieme;2) la somma di due o più elementi dell’insieme;3) l'elemento dell’insieme che si sceglie come unita di misura.II metodo operativo su cui é basata la definizione delle grandezze fisiche trae la sua origine in granparte dai fatti comuni della vita quotidiana.Come facciamo, ad esempio, per misurare ii perimetro di una stanza? Quando stabiliamo, ad occhio,che le lunghezze delle pareti opposte sono eguali mentre quelle di due pareti consecutive sonopag. 2diverse, non facciamo altro che applicare il primo criterio, cioè il criterio di eguaglianza ediseguaglianza; se poi stabiliamo che il perimetro della stanza é dato dalla somma delle lunghezzedelle quattro pareti, applichiamo il secondo criterio, cioè il criterio della somma; se infine prendiamocome lunghezza di riferimento il metro, applichiamo il terzo criterio, cioè la scelta dell’unita dimisura.La misurazione poi viene effettuata nel modo seguente. Facciamo coincidere un estremo del metrocon l’estremità di una parete della stanza e, trasportando successivamente il metro lungo la paretesu una retta orizzontale, constatiamo quante volte vi è contenuto. II numero cosi ottenuto da lamisura della lunghezza della parete. Ripetiamo l'operazione per le altre pareti: la somma delle misuredelle lunghezze delle quattro pareti da, infine, la misura del perimetro della stanza.Un insieme di grandezze per le quali si possono stabilire i criteri 1, 2 e 3 costituisce un insieme digrandezze omogenee.Il rapporto tra una grandezza dell’insieme ed un'altra grandezza dell’insieme stesso, scelta comeunita di misura, definisce la misura della grandezza. Il rapporto tra due grandezze omogenee,misurate con la stessa unita di misura, definisce una grandezza adimensionale.In conclusione le grandezze fisiche sono tutti gli enti misurabili per i quali cioè si può definire,operativamente, il confronto, la somma e l’unità di misura.

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Precisiamo che l'operazione mediante la quale si ottiene la misura di una grandezza é dettamisurazione.Le grandezze fisiche vengono generalmente distinte in grandezze fondamentali o primarie egrandezze derivate o secondarie.Sono grandezze fondamentali quelle la cui definizione non dipende da altre grandezze mentre sidicono derivate tutte quelle la cui definizione dipende dalle grandezze fondamentali.La lunghezza e la sua unità di misuraLa nozione di spazio e quella di lunghezza, ad esso strettamente legata, sono alla base di tutta lageometria.In fisica la lunghezza viene considerata grandezza fondamentale e come tale se ne dà solamente ladefinizione operativa, precisando i criteri e le operazioni che consentono la sua misura.Nei casi più comuni per misurare una lunghezza si può usare il regolo rettilineo o riga. Mediante ilregolo rettilineo si pub stabilire:1) se due lunghezze sono eguali o diverse;2) qual é la somma di due o più lunghezze.Effettuato il confronto e la somma di due o più lunghezze, occorre stabilire l'unità di misura.UNITA DI MISURA DELLA LUNGHEZZACome unità di misura della lunghezza é stato scelto il metro (m), che viene definito nel modoseguente:il metro é la distanza, alla temperatura di 0 °C. tra due tratti paralleli riportati su una particolaresbarra di platino-iridio, conservata nell'Archivio internazionale di Pesi e Misure di Sevres presso Parigi.pag. 3Il tempo e la sua unità di misuraLa nozione di tempo ha origine dalla nostra esperienza basata sulla percezione del susseguirsi deglieventi da noi osservati. Ora, anche se questa percezione ci consentisse di distribuire gli eventi stessisecondo un ordine crescente di << prima-dopo >> ovviamente, una tale scala temporale sarebbepuramente qualitativa, oltre che soggettiva (tempo fisiologico). Si rende quindi necessario eliminaredal concetto di tempo ogni elemento fisiologico e concretizzarlo in quello di grandezza fisica (tempofisico). In fisica, pertanto, il tempo si considera ente primitivo e si definisce operativamente, comegrandezza fondamentale, la durata o intervallo di tempo, cioè la differenza tra due tempi detti,rispettivamente, istante finale e istante iniziale. Ovviamente, nella scala dei tempi qualsiasi istante sipuò scegliere come riferimento e porlo, per convenzione, eguale a zero.Come unita di misura dell'intervallo di tempo é stato scelto il secondo solare medio (s)La massa e la sua unità di misuraUna caratteristica dei corpi e la loro massa che solitamente viene definita come la quantità di materiacontenuta nei corpi stessi.Per effettuare le operazioni che conducono alla misura della massa eguali o diversi intervalli ditempo. di un corpo si può usare la bilancia.Con tale strumento si pub stabilire:1) se due masse sono eguali o diverse.2) qual é la somma di due o più masse.UNITA DI MISURA DELLA MASSACome unità di misura della massa é stato scelto il chilogrammo (kg) cosi definito:il chilogrammo é la massa di un blocchetto cilindrico di platino-iridio conservato nell’ArchivioInternazionale di Pesi e Misure di Sévres presso Parigi.Grandezze scalari e grandezze vettorialiIl numero che rappresenta la misura della grandezza seguito dall’unità di misura è detto: Modulo oIntensità della grandezza. Tali grandezze sono dette Scalari.Per tutte le grandezze per la cui definizione non occorrono altri elementi per la loro definizioneall’infuori del modulo o l’intensità sono dette Grandezze Scalari.Se per esempio consideriamo un punto materiale (rappresentazione grafica di un punto che non hadimensione) può compiere degli spostamenti. Per descrivere tale grandezza fisica c’è bisogno di

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introdurre altri elementi.Per determinare lo spostamento di un punto materiale nello spazio c’è bisogno di introdurre altregrandezze oltre al modulo o intensità, questo perché nello spazio il punto materiale può compiereinfiniti spostamenti in qualsiasi direzione ed in qualsiasi verso sempre con lo stesso modulo.Quindi per definire lo spostamento di un punto materiale si introdurranno altre due elementi:la direzione ed il verso.Tutte le grandezze per le quali oltre al modulo o intensità per la loro definizione c’è bisogno anche didirezione e verso, sono dette Grandezze VettorialiDEFINIZIONE DI VETTOREIl vettore è un segmento orientato nello spazio individuato mediante i seguenti elementicaratteristici: direzione, verso, e intensità o modulo.pag. 4In conclusione possiamo dire che lo spostamento è una grandezza vettoriale.Cenni di calcolo vettorialea) SOMMA DI VETTORIDati due vettori V1=OV1 e V2=OV2 applicati ad uno stesso punto O e formanti un certo angolo, sidefinisce Vettore Somma o Risultante il vettore V=OV individuato dalla diagonale delparallelogramma che ha per lati i vettori assegnati (regola del parallelogramma).Se i vettori sono più di due il vettore somma è dato dal lato di chiusura del poligono avente come latii vettori assegnati (regola del poligono).b) DIFFERENZA DI DUE VETTORISi definisce vettore opposto al vettore dato il vettore che ha la stessa intensità, la stessa direzione,ma verso contrario. Dati due vettori V1=OV1 e V2=OV2 applicati allo stesso punto O e formanti uncerto angolo, si definisce differenza dei due vettori il vettore V=OV ottenuto dalla somma vettorialedi V1 e dell’opposto di V2.pag. 5c) PRODOTTO DI UNA GRANDEZZA SCALARE PER UN VETTOREDato un vettore V=OV ed un numero reale n (scalare) si definisce prodotto di una grandezza scalareper un vettore il U=nxV avente la stessa direzione del vettore V, lo stesso verso, e intensità = nxV.d) SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE IN DUE DI DIREZIONE ASSEGNATEDato un vettore V=OV e due direzioni Or1 ed Or2, dall’estremo V conduciamo le parallele alle duedirezioni, e i punti V1 e V2, individuati su r1 e r2 determinano i vettori V1=OV1, e V2=OV2(procedimento inverso alla somma).Metodi di misurazione delle grandezze FisicheCome si é visto, la determinazione quantitativa di una grandezza fisica si effettua attraverso lamisurazione, operazione il cui risultato é la misura che esprime il rapporto tra la grandezza damisurare ed un'altra grandezza ad essa omogenea, presa come unità di misura.La misurazione di una grandezza fisica può essere effettuata seguendo tre metodi diversi.a) Metodo di misurazione diretta: è’ detto anche metodo di misurazione relativa e consiste nelconfrontare la grandezza che si vuole misurare con un'altra della stessa specie scelta comecampione o unità di misura. Questo metodo si applica per la misurazione delle grandezzefondamentali.b) Metodo di misurazione indiretta: è detto anche metodo di misurazione assoluta e consiste neldeterminare il valore della grandezza in esame misurando direttamente le altre grandezze da cuiessa dipende secondo una relazione ben definita.pag. 6Così, per esempio, per misurare il volume di un corpo a forma cilindrica si misurano diretta mentel'altezza h ed il raggio r del cilindro e mediante la formula V = π r2 h se ne ricava il volume.c) Metodo di misurazione con strumenti tarati: questo metodo consiste nell’impiego di strumentitarati, cioè di particolari dispositivi muniti di scale e di indici le cui indicazioni sono statecontrollate in base alla misurazione diretta o indiretta delle grandezze in esame; tale operazioneviene detta taratura dello strumento.

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Calcolo degli erroriPer determinare la misura delle grandezze fisiche il metodo più: diffuso é quello con strumenti taratiin quanto la misura stessa si riconduce alla osservazione della posizione di indici su scale, operazioneche si può eseguire con elevata precisione.Se si ripetono varie volte le misurazioni di una grandezza fisica, si otterranno dei valori x1, x2,,,xnche, in generale, differiscono tra loro.Seguendo il principio della media di Gauss (o aritmetica), si assumerà come valore più probabile dellagrandezza in esame il valore dato dalla media aritmeticaX=x1+x2+,,,+xn/nE bene osservare che non esistono misure esatte in quanto in ogni misurazione si commettono deglierrori che possono essere accidentali o sistematici.Gli errori accidentali dipendono da circostanze perturbatrici fortuite; essi influiscono nelle misure,ottenute eseguendo una serie di misurazioni di una grandezza fisica, ora in un senso, ora nell’altro econ intensità variabile. Dato che gli errori accidentali sono legati ad altri fenomeni non controllabiliche si sovrappongono al fenomeno in esame influenzandolo in modo del tutto casuale, essi non sipossono mai eliminare (esempio differenza di temperatura a causa della quale gli strumenti sidilatano o si restringono ecc.).Gli errori sistematici sono quelli che dipendono da difetti costruttivi degli strumenti, vizi nel metodousato, particolare comportamento dell'osservatore, ecc.. Essi influiscono sul risultato sempre nellostesso senso e con la stessa intensità e si possono eliminare o ridurre variando i metodi, gli strumentie gli osservatori.Il calcolo degli errori presuppone la conoscenza del valore vero della grandezza da misurare; poichéciò é impossibile, si ricorre ai calcolo del valore più probabile delle varie misure. Se non e richiestauna elevata precisione e se le misure sono poco numerose, é sufficiente calcolare l'errore assolutomassimo dato dalla semidifferenza tra il valore massimo XM ed il valore minimo Xm delle misureottenute:a=XM-Xm/2Tenendo conto dell'errore assoluto, la misura della grandezza in esame si esprime con la notazione:X=X+/-apag. 7Più significativo dell'errore assoluto, per stimare la precisione di una misura, é l'errore relativodefinito dal rapporto tra l'errore assoluto e il valore medio della grandezza; cioè:r=a/XSe poi si vuole l’errore relativo percentuale, basta moltiplicare per cento quello relativo.Supponiamo, ad esempio, di aver misurato la massa di un anello d'oro con una bilancia d'analisi,avente la sensibilità di un milligrammo, e di aver eseguito 6 misurazioni i cui risultati sono:m1 = 7,580 g m2 = 7,583 g m3 = 7,530 9m4 = 7,581 g m5 = 7,584 g m6 = 7,530 9La media aritmetica dei sei valori da il valore della massa del corpo:m = m1 +m2+m3+m4+m5+m6 / 6 =7,581 gl’errore assoluto massimo è: a = 7,584-7,582 / 2 = 0,002 gLa massa dell’anello sarà: m = (7,581 +/- 0,002) gL’errore percentuale sarà: 0,0026%pag. 8Introduzione alla meccanicaLa meccanicaLa meccanica é Ia più antica delle scienze fisiche: essa infatti si occupa del movimento e questo è unodei fenomeni naturali che per primo ha destato l'interesse dell'uomo.Di solito la meccanica si suddivide in tre parti:1. la cinematica che studia il movimento dei corpi senza tener conto delle cause che Ioproducono;2. Ia dinamica che studia il movimento dei corpi e Ie sue cause;

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3. la statica che studia le condizioni di equilibrio dei corpi.Nell'idea di movimento sono intimamente legati i concetti primitivi di posizione e di tempo.Un corpo é in movimento se la sua posizione, misurata dalla distanza da un altro corpo, consideratofisso, varia al variare del tempo.Cosi, per esempio, stando nel vagone di un treno, diciamo di essere in movimento quando la nostraposizione, rispetto a quella della strada ferrata, cambia istante per istante. Ma noi possiamo anchemuoverci all'interno del vagone che é in movimento rispetto alla strada ferrata, la quale, a sua volta,essendo fissata alla Terra, é in movimento rispetto al Sole e cosi via.E facile capire che se riferissimo il nostro movimento al Sole, anziché alle pareti del vagone, ilmovimento stesso risulterebbe molto complicato. D'altra parte non potendo stabilire l'esistenza diun qualcosa che occupi nell'universo sempre la stessa posizione, non ha significato parlare di motoassoluto e, pertanto, il moto di un corpo é sempre relativo, cioè riferito ad un altro corpoarbitrariamente scelto, che si considera fisso e che viene detto sistema di riferimento.Sistemi di riferimentoCome é stato precisato nel paragrafo precedente un corpo si muove relativamente ad un sistema diriferimento quando la sua posizione varia nel tempo.Ora, per determinare il movimento di un corpo, bisognerebbe conoscere il movimento di ciascunaparticella di cui esso é costituito e ciò ovviamente, è impossibile.Pertanto, in una prima trattazione del movimento di un corpo, prescinderemo dalle sue dimensioni,dalla sua forma, dalla sua costituzione chimica, eccetera, e Io considereremo come un punto, chechiameremo punto materiale o particella.Si tenga però sempre presente che il punto materiale, per definizione privo di estensione, é unaastrazione accettabile in quei casi in cui si rende necessaria una notevole semplificazione deiproblemi che si debbono risolvere.Per quanto riguarda il sistema di riferimento, sceglieremo una terna di assi cartesiani ortogonali XYZaventi l'origine in un punto O e fissa nello spazio. Ai fini pratici tale terna di assi si considera solidalecon Ia Terra e viene detta sistema di riferimento terrestre o da laboratorio.Riferendoci alla figura diciamo che un punto materiale P é in quiete o in moto quando le suecoordinate, cioè Ie distanze x, y e z, rispettivamente, dai piani YZ, X2 e XY, si mantengono costanti ovariano nel tempo.pag. 9Se il punto P é in movimento, per conoscere istante per istante la sua posizione, debbono esserenote le coordinate x, y e z dei punto stesso in funzione del tempo t.Il luogo delle posizioni occupate dal punto P durante il suo movimento é una linea a cui si da il nomedi traiettoria; questa può essere una retta o una curva. Nel primo caso il moto si dice rettilineo, nelsecondo caso curvilineo.Quando il moto del punto materiale avviene in un piano, il sistema di riferimento si riduce a due assicartesiani ortogonali XY di origine O, appartenente al piano su cui si muove il punto stesso.Se infine il moto del punto avviene lungo una retta, il sistema di riferimento si riduce ad un solo asseX di origine O.pag. 10A chiarimento di quanto detto facciamo un esempio.Supponiamo che un punto materiale si muova su un piano e che, relativamente al sistema di assicartesiani ortogonali XY di origine O, siano note le coordinate del punto in funzione del tempo:x=15t,y=—5t2

Moto di un punto materiale definito dalle relazioni: x = 15 t, y = — 5t2.In questo caso il movimento del punto é perfettamente individuato in quanto si può conoscere la suaposizione in qualsiasi istante.Le prime grandezze che caratterizzano il movimento:velocità e accelerazionea) Velocità.

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Riferito al movimento dei corpi, il concetto di velocità esprime intuitivamente la rapidità con cuivaria la loro posizione; in esso, quindi, sono contenuti i concetti primitivi di lunghezza e di tempo.Cosi, per esempio, diciamo che un'auto é tanto più veloce quanto minore e il tempo che impiega acompiere un dato percorso.Il cammino che effettivamente percorre un punto materiale in movimento si suole chiamare, anchese impropriamente, spazio percorso.Non si confonda pero Io spazio percorso da un punto materiale, che é una grandezza scalare, col suospostamento, che é una grandezza vettoriale, il cui modulo e dato dalla distanza tra una dataposizione P0 occupata dal punto materiale ed un'altra posizione P, indipendentemente dal modocome il punto passa da Po a P, e avente la direzione della retta P0-P e verso da P0 a P.Volendo precisare il concetto di velocità da un punto di vista quantitativo, si può procedere nel modoseguente. Sia L la traiettoria che descrive il punto materiale in movimento; fissato su L un punto Ocome riferimento, siano P0, e P le posizioni occupate dal punto mobile negli istanti t0 e t; poniamoOP = s0 ed OP=spag. 11Il rapporto tra la lunghezza dell'arco PP0 = (s — s0) percorso e l'intervallo di tempo (t — t0)impiegato a percorrerlo, definisce la velocità scalare media.VELOCITA SCALARE MEDIALa velocità scalare media di un punto materiale in movimento é il rapporto tra lo spazio da essopercorso ed il tempo impiegato a percorrerlo.Considerando intervalli di tempo (t — t0) via via più piccoli, le posizioni P0 e P, occupate dal puntomateriale in movimento, sono sempre più: vicine; si troveranno cosi velocità medie scalari tendentiad un valore limite che si chiama velocità scalare istantanea.Precisiamo che la velocità, cosi come é stata definita, é una grandezza fisica derivata da unalunghezza e da un intervallo di tempo; di conseguenza la sua unita di misura nel SI è il metro alsecondo (m/s)Chiariamo il concetto di velocità scalare media considerando, per esempio, il moto di un ciclistalungo una pista.Scelta la posizione O come riferimento, fissiamo mediante un orologio l'istante t0 in cui il ciclistapassa per la posizione A: sia, per esempio, t0 = 30 s. Segniamo quindi l'istante t in cui il ciclista stessopassa per la posizione B e sia, per esempio, t = 40 s.Misuriamo gli spazi so = OA ed s = OB e siano rispettivamente so = 125 m ed s = 245 m. La velocitàscalare media del ciclista nel tratto AB é:pag. 12Nella definizione di velocità scalare non vengono precisati la direzione ed il verso del movimento delpunto materiale. Per arricchire il concetto di velocita é conveniente considerare la velocità stessacome grandezza vettoriale.Sia L la traiettoria descritta dal punto materiale in movimento; fissato su L un punto O come origine escelto come verso positivo quello antiorario, siano P0 e P le posizioni occupate dal punto stesso negliistanti t0 e t. Se i vettori s0 = OP0 ed s = OP rappresentano, rispettivamente, gli spostamenti negliistanti considerati, il vettoredefinito dal rapporto tra lo spostamento P0P= (s — s0), e l'intervallo di tempo (t – t0) in cui talespostamento é avvenuto, rappresenta la velocità vettoriale media.VELOCITA VETTORIALE MEDIALa velocità vettoriale media di un punto materiale in movimento é il rapporto tra lo spostamentoda esso subito ed il tempo durante il quale é avvenuto lo spostamento stesso.Considerando intervalli di tempo (t — t0) via via più piccoli, le posizioni P0, e P, occupate dal puntomateriale in movimento, sono sempre più vicine; si troveranno, pertanto, velocità vettoriali medietendenti ad un valore limite V che si chiama velocità vettoriale istantanea.pag. 13La velocità vettoriale istantanea nel punto P0 si può rappresentare con un vettore V di origine in P0,avente direzione tangente alla traiettoria in P0, verso coincidente con quello del movimento eintensità eguale a quella della velocità scalare istantanea.

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b) Accelerazione.Il concetto di velocità da solo non basta per caratterizzare il movimento di un punto materiale;occorre anche conoscere come essa varia istante per istante. Siano v0 e v rispettivamente le velocitàdi un punto materiale nell'istante t0 in cui occupa la posizione P0, e nell'istante t quando occupa laposizione P.Il rapporto tra la variazione di velocità (v – v0), subita dal punto materiale in movimento ed ilcorrispondente intervallo di tempo (t — t0) in cui tale variazione avviene, é l'altra grandezzavettoriale che insieme alla velocità caratterizza il movimento: essa viene detta accelerazione media.ACCELERAZIONE MEDIAL'accelerazione media é il rapporto tra la variazione di velocità subita da un punto materiale inmovimento ed il tempo durante il quale é avvenuta detta variazione.Considerando intervalli di tempo (t — to) sempre più piccoli si avranno accelerazioni medie semprepiù vicine ad un valore limite che si chiama accelerazione istantanea.Precisiamo che l'accelerazione si può definire anche come la variazione di velocità subita da un puntomateriale in movimento nell'unità di tempo.La sua unità di misura nel SI é il metro al secondo al quadrato (m/s2).Poiché la velocità di un punto materiale in movimento può variare sia di intensità che di direzione, sidefiniscono due tipi diversi di accelerazione.Sia a il vettore che rappresenta l'accelerazione istantanea di un punto materiale quando occupa laposizione P della traiettoria L su cui si muove. Scomponiamo tale vettore in due vettori uno at, indirezione della tangente in P alla traiettoria ed uno an in direzione della normale in P alla traiettoriapag. 14stessa; i vettori at, ed an , vengono detti, rispettivamente, accelerazione tangenziale edaccelerazione centripeta o normale.L'accelerazione tangenziale esprime la variazione di intensità della velocità nell'unità di tempomentre l'accelerazione centripeta esprime la variazione di direzione della velocità nell'unità ditempo.pag. 15Leggi della dinamica e gravitazione universaleConsiderazioni preliminariConsideriamo una pallina di ferro appoggiata su un tavolo orizzontale e in quiete relativamente adesso. L'esperienza mostra che affinché la pallina si metta in movimento rispetto al tavolo occorre unacausa esterna, che potrebbe essere una piccola spinta, l'azione di una molia, l'attrazione di unacalamita, o semplicemente la mancanza del vincoio, che é il tavolo. In quest'ultimo caso il movimentodella pallina é dovuto all'attrazione che la Terra esercita su di essa.Supponiamo ora che la pallina si muova su una guida rettilinea. Anche questa volta l'esperienzamostra che per variare la sua velocita, o per fermarla, occorre una causa esterna che potrebbe esserel'azione esercitata da un ostacolo posto sul cammino della pallina o semplicemente l'attrito.In ogni caso, possiamo dire che la variazione di velocità della pallina non e mai un fatto spontaneo erichiede sempre una determinata causa. Osserviamo inoltre che, finché la pallina é appoggiata sultavolo, essa resta ferma non perché viene a mancare l’attrazione da parte della Terra, ma in quantoc'é il tavolo a impedirne il movimento. In questo caso si puo constatare che la causa che metterebbein movimento la pallina, se fosse libera, si manifesta, invece, attraverso Ie deformazioni chesubiscono sia la pallina che il tavolo. Dalle osservazioni fatte, possiamo dire che:la forza é la causa della variazione di velocita o della deformazione che subisce un corpo al qualeviene applicata la forza stessa.II concetto di forza e quelli di massa e acceierazione sono alla base della dinamica, cioe del moto e lesue cause. Questa indagine si fonda su tre leggi o principi che furono enunciati dal fisico inglese IsaacNewton (1642-1727) in forma assiomatica nella sua opera <<PhiIosophiae naturalis principiamathematica» pubblicata nell'anno 1687.Occorre sottolineare che nella formulazione delle leggi della dinamica di Newton i corpi vannoconsiderati come particelle o punti materiali e la loro massa é ritenuta costante durante il loro

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movimento (meccanica classica o di Galilei-Newton).Il principio d’inerziaLa prima legge della dinamica di Newton è nota storicamente come legge o principio d’inerzia.Essa fu intuita da Galileo Galilei come conseguenza dei suoi studi sul moto dei gravi lungo un pianoinclinato quando, in particolare, l'angolo di inclinazione del piano stesso é nullo (piano orizzontaie).Lanciando un grave su una superficie orizzontale, il grave stesso procede con velocita gradualmentedecrescente; Galilei comprese che tale variazione di velocita era dovuta aIl'attrito e alla resistenzadell'aria. Riducendo via via tali resistenze, il moto tende sempre ad un moto rettilineo uniforme; nelcaso ideaie che queste resistenze venissero completamente eliminate, il corpo dovrebbe procederesempre con velocita costante in intensità, direzione e verso.Nei caso di un corpo inizialmente fermo su un piano orizzontaie é evidente che in assenza di forzeesso perseveri nel suo stato di quiete. Questo fatto era gia noto sin dai tempi di Aristotele per il qualenon era altrettanto evidente come un corpo si potesse mantenere in movimento senza l'intervento diuna forza esterna. Bastava pero una analisi piu approfondita per riconoscere che tutti i movimenti siestinguono, se non sono sostenuti da forze attive, a causa delle forze passive (attrito e resistenzapag. 16dell'aria). Cio fu compreso, come si è detto, prima da Galilei e successivamente da Newton, al qualesi deve la formulazione definitiva del principio d'inerzia che si puo ritenere ancora valida.PRINCIPIO D'lNERZlA (prima legge della dinamica o di Newton)Un corpo rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme sino a quando non agisconosu di esso forze esterne.Concludiamo facendo presente che il principio di inerzia non puo essere verificato sperimentalmentein quanto non si riesce ad isolare in maniera completa alcun corpo o sistema di corpi in movimento.La legge fondamentale della dinamicaCome abbiamo detto nel precedente paragrafo, se ad un corpo, inizialmente fermo o in motorettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento, non viene applicata alcuna forza, essocontinua a mantenere il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.Se pero il corpo é soggetto ad una forza, si osserva che la sua velocita cambia istante per istante; ciovuol dire che, per effetto della forza, il corpo subisce una accelerazione.Come si comportano corpi aventi massa differente quando vengono soggetti separatamenteall'azione di una stessa forza?Per rispondere a tale domanda ci serviremo del dispositivo sperimentale in figura costituito da uncarrello A che puo essere messo in movimento su una guida rettilinea ed orizzontale.Dopo aver determinato la massa m del carrello, poniamo il carrello stesso nella posizione M edapplichiamo ad esso una forza tramite il pesetto P, legato al filo f che passa per la gola della carrucolaC. Poiché il carrello é libero di spostarsi lungo la guida, esso, sotto l'azione di tale forza, si mettera inmovimento. Misuriamo l'intervallo di tempo occorrente per portare il carrello dalla posizione diquiete M in un'altra posizione N e calcoliamo la velocita del carrello stesso nell'istante in cui passaper N.In questo modo si puo determinare l'accelerazione del carrello mediante il rapporto tra la variazionedella velocita da esso subita nel passare da M ad N ed il corrispondente intervallo di tempo; sia a ilpag. 17modulo di questa accelerazione. Mettiamo ora sul carrello dei blocchetti B in modo da farne variarela massa e ripetiamo piu volte l'esperienza lasciando invariato il pesetto P e, quindi, la forza applicataal carrello.Se m1, m2, m3, sono, per ciascuna esperienza, Ie masse complessive (carrello più blocchetti)e se a1,a2, a3, sono i corrispondenti valori dell'accelerazione, si verifica, entro i Iimiti degli errorisperimentali, che i prodotti m1xa1, m2xa2, m3xa3, risultano tutti eguali tra loro ed al prodotto mxatrovato inizialmente; si ha quindi:m1xa1 = m2xa2 = m3xa3 = ma.Sulla base dei fatti sperimentali esaminati, possiamo stabilire che, sottoponendo corpi diversi allastessa forza, il prodotto della massa m di ciascun corpo per l'accelerazione a da esso subita si

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mantiene costante.Tale prodotto, che indicheremo con F, si puo prendere come valore della forza stessa, cioé:F=mxa (3-1)L'esperienza mostra inoltre che la forza e l'accelerazione hanno Ia stessa direzione e Io stesso verso.Tenendo presente che la massa di un corpo è una grandezza scalare mentre la forza e l'accelerazi0nesono grandezze vettoriali, la (3-1) si scrivera:F=mxa (3-2)La (3-2) e l'equazione fondamentale della dinamica; essa esprime la Iegge fondamentale delladinamica o seconda Iegge di Newton.pag. 18LEGGE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA (seconda legge della dinamica o di Newton)La forza applicata ad un corpo libero di muoversi nella direzione della forza é uguale al prodottodella massa del corpo per I'accelerazione che esso subisce.Prima di chiudere questo paragrafo facciamo an cora due osservazioni:1) se ad uno stesso corpo si applicano successivamente forze diverse, si verifica che le accelerazionida esso subite sono direttamente proporzionali alle intensita delle forze stesse: cio vuol dire che Iamassa di un corpo si mantiene costante ed é una sua caratteristica;2) se a corpi aventi massa diversa si applicano forze eguali, le accelerazioni da essi subite sonoinversamente proporzionali alle loro masse: cio vuol dire che la massa dei corpi è un ostacolo al loromovimento o, in termini più appropriati, che la massa dei corpi é la misura della loro inerzia.Per questa sua caratteristica la massa viene detta massa inerziale mentre quella misurata con unabilancia e detta massa pesante o gravitazionale.Nel Sistema internazionale la forza e una grandezza derivata: infatti, come abbiamo visto, essa vienedefinita, in base alla relazione (3-1), come prodotto della massa per l'accelerazione.La sua unita di misura é il newton (N) del quale si puo dare la seguente definizione:il newton é l'intensita di quella forza che agendo su un corpo avente la massa di 1 kg gli imprimel'accelerazione di 1 m/s2.La legge di gravitazione universalePrendendo in esame le ieggi sul moto dei pianeti che Keplero, in seguito alle osservazioni fattedall'astronomo Tycho Brahe, aveva formulato empiricamente, Newton pervenne nel 1687 alla leggedi gravitazione universale.LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALETra due corpi aventi rispettivamente massa m1 ed m2, i cui centri si trovano alla distanza r. siesercita una forza di mutua attrazione agente in direzione della retta congiungente i centri stessi eIa cui intensità é direttamente proporzionale al prodotto delle masse ed inversamenteproporzionale al quadrato della Ioro distanza.nella quale G é una costante che viene detta costante di gravitazione universale.ll valore di tale costante fu determinato per via sperimentale Ia prima volta da Lord Cavendish nel1798; riferendoci al SI e alle misure più recenti, si ha: G = 6,673x10-11 Nm2/kg2

pag. 19Leggi di Keplero:1) Tutti i pianeti si muovono su orbite eilittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi.2) Le aree descritte dai raggi vettori congiungenti ciascun pianeta con il Sole sono direttamenteproporzionali ai tempi impiegati a descriverle.3) I quadrati dei periodi di rivoluzione di ciascun pianeta sono direttamente proporzionali ai cubidegli assi maggiori delle Ioro orbite.La legge di gravitazione universale é stata, e continua ad essere, alla base del progresso dellameccanica astronomica e terrestre. Cosi il pianeta Nettuno fu scoperto nel 1846 in quanto la suaesistenza era stata prevista da Leverrier per spiegare, in base alla legge di gravitazione universale, Ieperturbazioni dell'orbita del pianeta Saturno; analogamente é awenuto per Ia scoperta del pianetaPlutone fatta nel 1930.Sebbene ancora oggi non si conosca l'ente fisico da cui traggono origine e si trasmettono le forze

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gravitazionali, la legge di Newton occupa un posto preminente nel campo della meccanica. Essa eancora alla base del calcolo delle orbite dei satelliti artificiali e della programmazione dei viaggi che leastronavi gia compiono nell'esplorazione del sistema solare.Il peso dei corpi. Differenza tra massa e peso. La massa della TerraLasciando cadere un corpo di massa m entro un Iungo tubo in cui é stato fatto il vuoto e dispostoverticalmente, si puo provare che l'accelerazione del corpo si mantiene costante.In base alla legge fondamentale della dinamica detta accelerazione non puo essere provocata che dauna forza, diretta verso ii basso secondo Ia verticale. Tale forza, come gia abbiamo avuto occasione didire, é il peso del corpo e l'accelerazione é quella di gravità.Pertanto, se P é il peso dei corpo e g l'accelerazione di gravita, in base alla (3-1) si ha:P = mg (3-16)Ma il peso dei corpo non e altro che la forza di attrazione che la Terra esercita sul corpo stesso;indicando allora con M Ia massa della Terra e con r la distanza tra il suo centro e quello dei corpo, perIa legge di gravitazione universale, dev'essere:P=GxMm/r2 (3-17)Da questa relazione si vede che il peso di un corpo e inversamente proporzionale al quadrato dellasua distanza dal centro della Terra. Per il fatto poi che la Terra non é perfettamente sferica e ruotaintorno al proprio asse, il peso di un corpo varia oltre che con l'a|titudine anche con Ia latitudine.In conclusione possiamo dire che:mentre la massa di un corpo si mantiene costante, il suo peso invece varia da luogo a luogo e diconseguenza non é una grandezza caratteristica del corpo.Dal confronto delle relazioni (3-16) e (3-17) si ha:Mg=GxMm/r2

Da cuig=GxM/r2

Pertanto i'accelerazione di gravità e indipendente dalla massa dei corpo ed e inversamenteproporzionale al quadrato della sua distanza dal centro della Terra.pag. 20Dalla relazione nota l'accelerazione di gravità g dei iuogo e Ia distanza r si puo determinare la massaM della Terra.Riferendoci, per esempio, al livello dei mare e prendendo come valori medi di g e r, rispettivamente,9,8 m/s2 e 6371x103 m, risulta:9 8. (6371x103)2/(6.67x10-11) = 5.96x1024 kg

pagina - 1 -___________________________________________________________________________________ForzeMassa e PesoIl *peso* P di un oggetto è la forza gravitazionale che attira l'oggetto stesso. SullaTerra il peso è equivalente alla forza con la quale la Terra attira a sè un oggetto; èequivalente alla *massa* M di un oggetto per l'accelerazione locale di gravità g.Massa:M* Accelerazione dovuta alla gravità *:g = 9.81msec2Peso:P M.gChe massa ha un astronauta, che pesa 687.newton sulla Terra?P 687.newtonPer trovare la massa di un oggetto dal suo peso, dovete semplicemente dividere per g:M

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PgM = 70 kgQual è il peso dell’astronauta sulla Luna?pagina - 2 -___________________________________________________________________________________Sulla superficie della luna, l'accelerazione dovuta alla gravità è:g luna 1.62.msec2Così, mentre la massa dell'astronauta sulla luna è la stessa, il suo peso è diverso:P M.g lunaP = 113 newtonpagina - 3 -___________________________________________________________________________________ForzeForze di attritoLa forza di attrito è una forza *tangenziale* che si oppone allo scorrimento di unasuperficie sopra un'altra superficie. La massima forza di opposizione, che ostacola unoggetto nello *scivolamento* su di una superficie, è chiamata forza di attritostatico f s. La forza contraria che deve essere vinta per trattenere l'oggetto che scivolaè la forza di attrito dinamico f k.Le forze di attrito sono proporzionali alla forza normale N che agisceperpendicolarmente alle superfici di scivolamento; le costanti di proporzionalità sonochiamate rispettivamente *coefficiente di attrito statico* μ s e *coefficiente diattrito dinamico* μ k.Coefficiente di attrito statico:μ sCoefficiente di attrito dinamico:μ kForza normale:NMassa:MMassima forza di attrito statico:pagina - 4 -___________________________________________________________________________________f s μ s.NForza di attrito dinamico:f k μ k.NPeso:W M.gState cercando di spingere un frigorifero di 70.kg su un pavimento di linoleum doveil coefficiente di attrito statico è 0.6 ed il coefficiente di attrito dinamico è 0.4.Quanto forte dovrete spingere (in una direzione orizzontale) per ottenere lospostamento del frigorifero? Quanto dovrete spingere per mantenere il movimento?M 70.kgμ s 0.6μ k 0.4Il pavimento è una superficie piana e le sole forze che agiscono verticalmente sulfrigorifero sono il suo peso e la forza normale del pavimento che sostiene ilfrigorifero. Queste due forze devono essere uguali e la forza normale è uguale alpeso. Al punto in cui il frigorifero sta per scivolare, la forza orizzontale che esercitate

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deve equivalere esattamente alla forza dell'attrito statico opposta allo scivolamento,così:W M.gN WF μ s.NF = 412 newtonPer mantenere il movimento del frigorifero, dovete esercitare una forza più grandedella forza dell'attrito dinamico, che è:F μ k.NF = 275 newtonpagina - 5 -___________________________________________________________________________________ForzeCubo su di un piano inclinato senza attritoUn cubo posato su un piano inclinato privo di attrito incontra due forze. Una è laforza di gravità (il peso del cubo), che agisce sul cubo stesso in direzione verticale.La seconda è la forza normale del piano, che spinge sul cubo in una direzioneperpendicolare alla superficie del piano inclinato. In assenza di attrito, il cubosemplicemente scorre lungo il piano, in base alla Seconda Legge di Newton. Latecnica per determinare l'accelerazione del cubo lungo il piano è molto comune emolto usata sia in fisica che in ingegneria.Massa dell'oggetto che scivola:MAccelerazione dell'oggetto che scivola lungo il piano:a xAngolo del piano inclinato:θUn cubo di massa 50.kg è posizionato su una superficie priva di attrito, inclinata conun angolo di 40.deg in orizzontale. Qual è lo spostamento del cubo?M 50.kgθ 40.degIl primo passo è disegnare un *diagramma di un corpo-libero* che mostra le forzeche agiscono sul cubo.pagina - 6 -___________________________________________________________________________________Conviene scegliere le coordinate degli assi nelle direzioni lungo il piano inclinato eperpendicolare al piano. Lungo la direzione y (perpendicolare al piano) lacomponente del peso del cubo è in discesa e la forza normale è verso l'alto. Affinchéil cubo non scappi via né sprofondi attraverso il piano inclinato, la somma di questeforze deve essere uguale a zero:N M.g.cos θ 0Nella direzione x (lungo il piano) la sola forza agente sul cubo è l'altra componentedel suo peso. Questa forza fornisce al cubo una accelerazione a x lungo il piano:M.g.sin θ M.a xRisolvendo questa equazione per a x avremo:a x g.sin θa x = 6.3msec2pagina - 7 -___________________________________________________________________________________ForzeCubo su un piano inclinato, con attrito

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Un cubo che scivola lungo un piano inclinato incontra tre forze. Una è la forza digravità (peso) che agisce sul cubo in direzione verticale. La seconda è la forzanormale del piano, che spinge sul cubo in una direzione che è perpendicolare allasuperficie del piano inclinato. La terza forza è l'attrito, che si oppone al moto.L'accelerazione a x della massa che scivola lungo un piano (inclinato ad un angolo θ)è determinata dalla componente dell'accelerazione di gravità lungo il piano menol'effetto dell'attrito.Massa dell'oggetto che scivola:MAccelerazione dell'oggetto che scivola lungo il piano:a xAngolo del piano inclinato:θCoefficiente dell'attrito dinamico:μ kForza d'attrito:fForza Normale:NUn cubo di massa 50.kg è posizionato su una superficie piana inclinata ad un angolodi 40.deg in orizzontale. Il coefficiente dell'attrito dinamico tra il cubo e la superficieè 0.6. Qual è lo spostamento del cubo?M 50.kgθ 40.degpagina - 8 -___________________________________________________________________________________μ k 0.6Il primo passo è disegnare un *diagramma di un corpo-libero* che mostra le forzeche agiscono sul cubo.Il cubo scivola lungo il piano a destra, così la forza di attrito che si oppone al motodeve agire verso l'alto lungo il piano a sinistra. Nella direzione y (perpendicolare alpiano) la componente del peso del cubo è verso il basso e la forza normale è versol'alto. Affinché il cubo non scappi via né sprofondi attraverso il piano inclinato, lasomma di queste forze deve risultare zero:N M.g.cos θ 0Nella direzione x (lungo il piano) bisogna includere la forza di attrito f lungo lacomponente del peso del cubo. La risultante di queste forze equivale alla massa delcubo moltiplicato per la sua accelerazione lungo il piano:M.g.sin θ f M.a xL'altra importante equazione che ci serve viene dalla sezione sulle forze di attrito,che relaziona la forza di attrito f al coefficiente di attrito μ k moltiplicato la forzanormale N:pagina - 9 -___________________________________________________________________________________f μ k.Nf μ k. M.g.cos θSostituendo nell'equazione delle forze nella direzione x, avremo:M.g.sin θ μ k. M.g.cos θ M.a xda cui l'accelerazione a x lungo il piano può allora essere trovata:

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a x g.sin θ μ k.g.cos θa x = 1.8msec2pagina - 10 -___________________________________________________________________________________ForzeMomentoIl Momento è una misura di come effettivamente una forza applicata può causare unarotazione attorno a un asse di un * corpo rigido *.Un momento che causa una rotazione antioraria è di segno positivo ed un momentoche causa una rotazione in senso orario è di segno negativo. Il momento τ è ilprodotto di una forza F, della distanza radiale r dall'asse di rotazione dell'oggetto alpunto di applicazione della forza e del seno dell'* angolo * θ tra r e F.Forza:FDistanza radiale:rAngolo:θMomento:τ r.F.sin θSupponete di spingere una porta con una forza di 20.newton nella direzione mostratadalla figura. Qual è la risultante del momento τ?F 20.newtonr 60.cmθ 20.degpagina - 11 -___________________________________________________________________________________τ r.F.sin θτ = 4.1 newton.mNel precedente esempio, cosa accade se θ 90.deg ? E' più facile o più difficileaprire la porta?τ r.F.sin θτ = 12 newton.mLa porta è più facile da aprire.Nell'esempio 1 (con θ 20.deg), cosa accade se r 10.cm ? E' più facile o piùdifficile aprire la porta?τ r.F.sin θτ = 0.68 newton.mLa porta è più difficile da aprire.pagina - 12 -___________________________________________________________________________________Quantità di motoLa quantità di moto p di un oggetto è il prodotto della sua massa m per la sua velocità v. In assenzadi forze esterne (come la gravità), la quantità di moto misura la quantità di fatica necessaria percambiare la velocità di un corpo di una massa specificata.E' più difficile cambiare la velocità di un oggetto che ha una grande quantità di moto di quella di unoggetto con una quantità di moto più piccola.Massa:mVelocità:

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vQuantità di moto:p m.vUn proiettile di massa m è sparato da un'arma con una velocità di v proiettile:v proiettile 500.msecm 6gmQuanto veloce deve camminare un uomo di media corporatura (massa M 68.kg) per avere la stessaquantità di moto del proiettile?La quantità di moto p del proiettile èp m.v proiettilep = 3 kg m sec 1Per avere la stessa quantità di moto del proiettile l'uomo dovrà camminare ad una velocità div uomopMv uomo = 0.044 m sec 1(una lenta camminata!)Notate che, siccome la massa dell'uomo è molto più grande di quella del proiettile, egli deve muoversiad una bassissima velocità per avere la stessa quantità di moto del proiettile.pagina - 13 -___________________________________________________________________________________Quantità di motoConservazione della quantità di motoSe due o più oggetti sono isolati da tutte le forze esterne così che le sole forze cheagiscono su di essi sono quelle che essi esercitano l'uno sull'altro, la somma vettorialedelle quantità di moto di questi oggetti è costante nel tempo. Così, in un sistemameccanico isolato, la quantità di moto totale è conservata. Questo concetto è spessoapplicato alle collisioni dove la quantità di moto totale prima dell'impatto è ugualealla quantità di moto totale dopo l'impatto.Massa del corpo 1: M 1Massa del corpo 2: M 2Velocità del corpo 1 prima dell'impatto: U 1Velocità del corpo 2 prima dell'impatto: U 2Velocità del corpo 1 dopo l'impatto: V 1Velocità del corpo 2 dopo l'impatto: V 2Quantità di moto iniziale del corpo 1:P U1 M 1.U 1Quantità di moto iniziale del corpo 2:P U2 M 2.U 2Quantità di moto finale del corpo 1:P V1 M 1.V 1Quantità di moto finale del corpo 2:P V2 M 2.V 2Conservazione della quantità di moto:P V1 P V2 P U1 P U2pagina - 14 -___________________________________________________________________________________Due corpi stanno collidendo, come mostrato nella seguente figura:Quando si assegnano i valori mostratinella figura alle attuali variabili,bisogna ricordare di prestare

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attenzione ai segni delle velocità.Definiamo la velocità positiva esserenella direzione di destra e la velocitànegativa essere nella direzione disinistra:M 1 10.kgU 1 20.msecV 2 5.msecM 2 5.kgU 2 12.msecV 1 — da trovarePer risolvere rispetto a V1, dovremo usare la legge della conservazione della quantitàdi moto. La quantità di moto di questi due sistemi (corpi) prima dell'impatto dovrebbeessere uguale alla quantità di moto dopo l'impatto:M 1.U 1 M 2.U 2 M 1.V 1 M 2.V 2Risolvendo rispetto a V1 avremo:V 1 U 1 .M 2M 1U 2 V 2Il segno positivo di questo risultato indica che il corpo 1 si sta muovendo versodestra.V 1 = 11.5msecpagina - 15 -___________________________________________________________________________________Un proiettile di massa M proiettile è sparato da un cannone di massa M cannone conuna velocità di V proiettile :M proiettile 10.kgM cannone 4.tonV proiettile 500.msecLa velocità del contraccolpo del cannone V cannone deve essere calcolata dallaconservazione della quantità di moto. Prima che il cannone sia attivato, le quantità dimoto sia del cannone che del proiettile sono zero. Dopo che il cannone ha sparato, laquantità di moto totale (cannone + proiettile) è ancora zero per la conservazione dellaquantità di moto:V cannone.M cannone M proiettile.V proiettile 0Risolvendo rispetto a V cannone avremo:V cannoneM proiettile.V proiettileM cannoneIl segno negativo di V cannone indica che il cannone ed il proiettile si muovono indirezioni opposte uno rispetto all'altro.V cannone= 1.38

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msecpagina - 16 -___________________________________________________________________________________Lavoro, Energia e PotenzaIl lavoroPer un oggetto che si muove in una dimensione, il lavoro W fatto sull'oggetto da unaforza costante applicata F è uguale al prodotto della componente della forza nelladirezione del moto dell'oggetto F x e lo spostamento Δx.Intensità della forza:FAmpiezza dello spostamento:ΔxAngolo tra la forza e il vettore spostamento:θComponente della forza nella direzione del moto dell'oggetto:F x F.cos θLavoro:W F x.Δxpagina - 17 -___________________________________________________________________________________Per questo esempio, avrete bisogno di ricordare che i e j sono vettori unità rispettivamentenelle direzioni x ed y:dimensione nella direzione x è unodimensione nella direzione y è zeroi10dimensione nella direzione x è zerodimensione nella direzione y è unoj01Un oggetto, sotto l'influenza di una forza vettore F, si muove dal punto P 1 al puntoP 2, come mostrato nella figura. Trovare il lavoro W compiuto sull'oggetto.F 10.i 20.j .newtonP 1 1.2.i 3.j .mP 2 4.i 6.j .mIl lavoro W compiuto sull'oggetto può essere calcolato indue modi.Soluzione usando il calcolo vettorialeIl vettore spostamento èΔr P 2 P 1Il lavoro compiuto dalla forza sull'oggetto èW F.ΔrW = 88 newton. mpagina - 18 -___________________________________________________________________________________Soluzione usando Angoli ed AmpiezzeL'angolo della forza vettore èθ F atan

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F.jF.iL'angolo del vettore spostamento èθ s atanP 2 P 1 .jP 2 P 1 .iL'angolo tra la forza ed il vettore spostamento èθ θ F θ sL'ampiezza dello spostamento ès P 2 P 1Il lavoro è, quindi, uguale aW F .s.cos θW = 88 newton. ms = 4.104 mθ = 16.46 degθ s = 46.975 degθ F = 63.435 degpagina - 19 -___________________________________________________________________________________Lavoro, Energia e PotenzaEnergia cineticaL'energia cinetica K di un oggetto è l'energia posseduta dall'oggetto e dovuta al suomoto. La variazione di energia cinetica di un oggetto è uguale al lavoro totalecompiuto su un oggetto.Velocità dell'oggetto:vMassa dell'oggetto:MLavoro compiuto sull'oggetto:W netEnergia cinetica dell'oggetto:K . . 12M v2Quantità di moto dell'oggetto:p M.vEnergia cinetica dell'oggetto:Kp22.MVariazione dell'energia cinetica dell'oggetto:ΔK WnetUn ciclotrone accelera protoni a velocità molto alte come 2.107metri al secondo.Come comparare la loro energia cinetica a quella di una piuma portata lentamente involo attraverso l'aria?Per prima cosa, dobbiamo consultare la lista, nelle Tabelle di Riferimento specifiche,delle Costanti fisiche fondamentali per trovare la massa di un protone:M protone 1.6726231.10 27.kgpagina - 20 -___________________________________________________________________________________v protone 2.107. msec

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Usando questi parametri, troviamo l'energia cinetica K protone di ogni protone.K protone . . 12M protone v protone2K protone = 3.3 10Facciamo ora un calcolo analogo per la piuma che scende lentamente:M piuma 1.gmv piuma 10.cmsecK piuma . . 12M piumav piuma2K piuma= 5 10 6Da notare che l'energia cinetica perfino di una leggerissima piuma è ancora molto piùgrande di quella del protone, anche se il protone è accelerato ad una velocitàestremamente alta. Questo è perché anche la più piccola piuma è composta di bilionidi bilioni di bilioni di protoni ed altre particelle elementari.pagina - 21 -___________________________________________________________________________________Lavoro, Energia e PotenzaEnergia potenziale gravitazionaleL'energia potenziale gravitazionale U è l'energia posseduta da un oggetto a causadella sua posizione verticale in un campo gravitazionale (come quello della Terra).Più in alto è portato l'oggetto, più alta è la sua energia potenziale.Questa energia è chiamata potenziale perché può essere convertita in energiacinetica semplicemente lasciando cadere l’oggetto.Altezza sopra il livello di riferimento:hMassa di un oggetto:MAccelerazione dovuta alla gravità:gEnergia potenziale gravitazionale:U M.g.hUna persona solleva un bilanciere di massa M dal suolo ad una posizione al di sopradella sua testa ad altezza h.M 100.kgh 8.mL'incremento nell'energia potenziale gravitazionale U del bilanciere è:U M.g.hU = 7845 joulepagina - 22 -___________________________________________________________________________________Lavoro, Energia e PotenzaEnergia potenziale di una mollaL'energia potenziale U immagazzinata in una molla (Legge di Hooke) èproporzionale al quadrato della lunghezza x della quale la molla è deformata rispettoalla sua posizione di riposo.Variazione di allungamento (o compressione):x

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Costante di elasticità della molla:kEnergia potenziale della molla:U . . 12k x2Ci sono un paio di cose da tenere in mente quando si considera il moto armonicosemplice di una molla. Per prima cosa, l'energia potenziale della molla è convertita inenergia cinetica, che è poi riconvertita in energia potenziale, riconvertita ancora inpagina - 23 -___________________________________________________________________________________energia cinetica, e così via. Seconda cosa, un oggetto in moto armonico sempliceraggiunge un punto di massima velocità in cui tutta la sua energia è cinetica, ed unpunto di velocità zero in cui tutta la sua energia è potenziale. Illustriamo questi puntiusando il seguente disegno:1. Quando la molla raggiunge il suo puntodi allungamento (a metà del suo scatto),tutta la sua energia potenziale è stataconvertita in energia cinetica, ed haraggiunto la massima velocità.2. Quando la molla è tutta allungata asinistra, essa ha la massima energiapotenziale.3. Quindi quando la biglia si muove versodestra, converte l'energia potenziale inenergia cinetica.4. Quando la biglia raggiunge il latoestremo del suo scatto, la molla ècompressa. La forza esercitata a causadella compressione fornisce la biglia dienergia potenziale. Tutta l'energia cineticaè stata convertita in energia potenziale, ela velocità della biglia è zero.Una cassetta di massa M è lasciata cadere da una altezza h su unamolla la cui costante di elasticità è k. Qual è la massima distanzay per la quale la molla è compressa?M 50.kgh 3.mk 800.joulem2Abbiamo affrontato questo problema usando i principi dellapagina - 24 -___________________________________________________________________________________conservazione dell'energia.L'incremento in energia potenziale della molla dopo che è compressa da una distanzay è:1. .2k y2La diminuzione in energia potenziale gravitazionale della cassa dopo che cade dauna distanza h sulla molla è:M.g.h

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La diminuzione in energia potenziale gravitazionale della cassa quando essa dinuovo cade in altezza per una distanza y di cui si comprime la molla è:M.g.yUsando il principio della conservazione dell'energia, per equilibrare l'aumento inenergia potenziale della molla con il decremento in energia potenziale gravitazionaledella cassa, ricaviamo:M.g. h y 1. .2k y2Possiamo risolvere l'equazione relativa alla conservazione dell'energia rispetto allospostamento y:y soluzione1.k. M g . M2 g2 . . . .2 g h M k1.k. M g . M2 g2 . . . .2 g h M ky soluzione=1.42.626mLa soluzione fisica pertinente per y è:y ysoluzione1y = 1.4 mpagina - 25 -___________________________________________________________________________________Lavoro, Energia e PotenzaPotenzaLa Potenza P è il rapporto tra il lavoro fatto da una forza e l'intervallo di tempoimpiegato per compierlo. L'unità di misura SI per la potenza è1.watt = 1joulesec .Lavoro fatto:ΔWIntervallo di tempo impiegato a compiere il lavoro W:ΔtPotenza:PΔWΔtI 500 fari allo stadio richiedono 500.000 Watt per funzionare. Quanto lavoro deveessere fatto per far funzionare queste luci per una partita della durata di quattro ore?P 5.105.wattt 4.hrW P.tW = 7.2 109 jouleUn bel po' di lavoro. Quanto alto dovete portare un container di 5 tonnellate per farela stessa quantità di lavoro?W m.g.hM 5.tonh

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W.M gh = 162 kmpagina - 26 -___________________________________________________________________________________Una automobile di massa M sta salendo una collina che ha una pendenza di 30 gradiad una velocità costante v. Qual è la potenza spesa dal motore dell'auto?M 1.tonv 55.mphθ 30.degIl motore applica una forza per far muovere l'auto a velocità costante su per il pendio.La forza applicata F applicata è:F applicata M.g.sin θF applicata= 4.4 103 newtonPer un oggetto che si muove in una certa direzione a causa di una forza, il lavoroΔW fatto sull'oggetto dalla forza costante applicata F è uguale al prodotto dellacomponente della forza nella direzione del moto dell'oggetto F x e lo spostamentoΔx. Siccome la forza applicata e la velocità sono paralleleF x F applicataeΔW F applicata.Δxpossiamo scrivere la potenza P come.PΔWΔtF applicata.ΔxΔtF applicata.vdove v è la velocità mediaLa potenza P può essere ora calcolataP F applicata.vP = 1.1 105 wattpagina - 27 -___________________________________________________________________________________Lavoro, Energia e PotenzaConservazione dell'energiaL'energia non può essere né creata né distrutta, ma solo trasformata da una forma inun'altra. Questo principio ha conseguenze di vasta portata in molte aree della fisica.Un caso speciale di questo principio è la conservazione dell'energia meccanica, comel'equilibrio dell'energia potenziale gravitazionale U e l'energia cinetica K di unoggetto che cade, come descritto in questa sezione. Una più estesa spiegazione diquesto equilibrio verrà presentata nella sezione "Esplorazioni" della Fisica .Si può anche esplorare una più generale implicazione della legge sulla conservazionedell'energia, l'equivalenza di massa ed energia, incapsulata nella famosa equazionedi Einstein E m.c2.Energia cinetica:KEnergia potenziale:UConservazione della energia meccanica:

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ΔK ΔU 0K U costanteUna automobile, inizialmente ferma, di massa M comincia a discendere una collinainclinata ad un angolo θ rispetto al piano orizzontale. La lunghezza della collina è L.Qual è la velocità v dell'auto in fondo alla collina?M 1000.kgθ 40.degL 10.mPer trovare v, usiamo il principio dellaconservazione dell'energia meccanica.La variazione in energia potenzialegravitazionale ΔU dell'auto dipendepagina - 28 -___________________________________________________________________________________dall'abbassamento della quota verticale h corrispondente alla distanza L lungo lacollina:h L.sin θh = 6.43 mΔU U finale U iniziale 0 M.g.hΔU M.g.hΔU = 6.3 104 jouleIl segno negativo di ΔU indica che l'energia potenziale gravitazionale dell'auto èdiminuita.Dall'equazione della conservazione dell'energia meccanica, l'aumento in energiacinetica ΔK dell'auto deve essere uguale alla diminuzione nell'energia potenzialegravitazionale ΔU:ΔK ΔUΔK = 6.3 104 jouleSiccome l'energia cinetica è definita comeΔKE 1. .2M v2Possiamo risolvere l’equazione precedente rispetto a v e trovare la velocità v:v2.ΔKMv = 25.1 mphpagina - 29-___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiDensitàLa densità ρ di un oggetto è direttamente proporzionale alla sua massa M ed inversamenteproporzionale al suo volume V. Maggiore è la massa dentro una data quantità di spazio, piùelevata la densità.Massa:MVolume:VDensità:ρ MVLa densità dell'acqua è 1 grammo per centimetro cubo. Quanto pesa una tanica d'acqua diventi galloni?

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Un centimetro cuboρ 1.gmcm3pagina - 30 -___________________________________________________________________________________V 20.gal1 gal = 3.785 10 3 m320 gal = 0.076 m3Usando la densità risulta:M V.ρM = 75.7 kgpagina - 31 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiPressione idrostaticaLa pressione su un oggetto immerso in un liquido è direttamente proporzionale alla profonditàdi immersione h e alla densità del liquido ρ. La costante di proporzionalità è g, la accelerazionedi gravità.Profondità del fluido:hDensità del fluido:ρAccelerazione di gravità:g = 9.807msec2Pressione idrostatica:p ρ.h.gIn un lago, a che profondità dovete immergervi affinché la pressione che l'acqua esercita su divoi sia uguale a quella atmosferica?Sulla superficie, un tuffatore è soggetto ad una atmosfera di pressione:p 1.atmche, in unità SI, equivale a:p = 1.013 105 PaPer calcolare la profondità che il tuffatore dovrebbe raggiungere perché la pressione esercitatasu di lui dall'acqua uguagli p = 1 atm è necessario conoscere la densità dell'acqua:ρ 1000.kgm3Rivedendo l'equazione per la pressione idrostatica, possiamo ora calcolare la profondità h:pagina - 32 -___________________________________________________________________________________hp.ρ gh = 10.332 m h = 1.033 104 mmQuanto deve essere alta una colonna di mercurio per esercitare una pressione equivalenteall'atmosfera? Comparate la risposta a quella vista nell'esempio 1.La pressione e la densità, in questo caso, sonop 1.atmρ 13600.kg

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m3Usando l'equazione per la pressione idrostatica avremo:hpρ.gh = 759.7 mmNotate che, siccome il mercurio è più denso dell'acqua, serve una minore quantità di esso perraggiungere la stessa pressione idrostatica (es. 1.atm, come in questi esempi).pagina - 33 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiSpinta idrostatica e galleggiamentoUn solido immerso in un fluido subisce una forza diretta verso l'alto, chiamata forzadi spinta, che è proporzionale alla densità del fluido ρ f ed al volume dell’acquaspostata V s dal solido galleggiante.Densità del fluido: ρ fDensità del solido: ρ sVolume del solido: V sPrincipio di ArchimedePeso del solido:P s ρ s.V s.gForza di spinta:F S ρ f.V s.gUna sfera di acciaio di raggio R è sommersa in acqua. Qual è la grandezza della forzadi spinta che agisce sulla sfera? Qual è il peso apparente della sfera?ρ acciaio 9.gmcm3ρ acqua 1.gmcm3r 10.cmPrima cosa è trovare il volume V della sfera:pagina - 34 -___________________________________________________________________________________V . . 43π r3La forza di spinta che agisce sulla sfera è quindiF S ρ acqua.V.gIl peso apparente W della sfera è il “vero” peso della sfera meno la forza di spintaesercitata sulla sfera stessa dal fluido:W apparente ρ acciaio.V.g F SW apparente = 328.6 newtonF S = 41.1 newtonV = 4189 cm3

pag. - 1 -___________________________________________________________________________________Energia termicaPropagazione del calore per Conduzione

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La conduzione è la propagazione di energia (calore) termica, attraverso una sostanza,da una regione più calda ad una più fredda. Il calore si propaga attraverso unasostanza come risultato delle collisioni tra le molecole. Quando c'è una differenza ditemperatura ΔT tra sostanze a contatto, le molecole di energia più elevata dellasostanza più calda trasferiranno energia alla sostanza più fredda attraverso lacollisione molecolare, creando un flusso di calore Φ .Conducibilità termica:kTemperatura calda:T caldaTemperatura fredda:T freddaArea perpendicolare alla propagazione di calore:ADistanza tra la faccia calda e la faccia fredda:LPropagazione di calore:Φ quantità_di_calore_trasmessotempo_trascorsoΔQΔtDifferenza di temperatura:ΔT T calda T freddaPropagazione di calore per conduzione:Φ k.A.ΔTLUn piatto di metallo di spessore d e di area rappresentativa A, è esposto ad unafiamma su un lato e ad acqua corrente sull'altro lato. La temperatura del lato vicino alpag. - 2 -___________________________________________________________________________________fuoco è costante a T calda; il lato vicino all'acqua corrente è costante a T fredda.d 5.mmA 8000.cm2T calda 573.KT fredda 293.KSe il calore si propaga, il flusso Φ attraverso il piatto è misurato comeΦ 600.kcalsecLa conducibilità termica k del metallo èk Φ. dA. T calda T fredda(Un metallo con questo valore approssimativo di k è l'acciaio.)k = 56.073pag. - 3 -___________________________________________________________________________________Energia termicaPrima legge della TermodinamicaSe una quantità di calore Q è assorbita da un sistema ed il sistema fa un lavoro Lsull’ambiente esterno, allora la variazione in energia interna ΔU del sistema è ugualealla differenza Q L. Questa legge, conosciuta come prima legge dellatermodinamica, è un’altra formulazione della legge della conservazione dell'energia.

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Trasferimento di calore al sistema:QLavoro fatto dal sistema:LVariazione di energia interna del sistema:ΔU Q WQuando l'acqua bolle e si converte in vapore, sta assorbendo energia Q dalla stessafonte (molto probabilmente la vostra cucina), ed il calore compie un lavoro Wsull'acqua per convertirla in vapore. Possiamo calcolare questi valori e trovare lavariazione di energia interna ΔU dell'acqua.Se supponiamo di essere sulla Terra e al livello del mare, la pressione èp 1.atmPer definizione, il calore Q, richiesto per convertire una quantità di acqua in vapore, èuguale alla massa dell'acqua moltiplicata per quello che è chiamato il calore divaporizzazione L v dell'acqua:M 5.gmL v 539.calgmQ M.L vQ = 11283 joulepag. - 4 -___________________________________________________________________________________Perché la pressione rimanga costante, il lavoro fatto dal sistema deve essere uguale aP(V2 - V1), ovvero la pressione per la differenza tra il volume dell'acqua ed il volumedel vapore:ρ w 1.gmcm3ρ s 5.984.10 4. gmcm3V wMρ wV sMρ s= V w 5 cm 3Il lavoro fatto dal sistema è:W p. V s V we la variazione in energia interna del sistema è quindi:ΔU Q WΔ U = 10437.3 jouleW = 202.1 calV s = 8356 cm3pag. - 5 -___________________________________________________________________________________Energia TermicaSeconda legge della TermodinamicaIn molte trasformazioni fisiche si è notato che una stessa sorgente scambia con uncorpo, che subisce il processo, una quantità di calore maggiore o minore a secondache la trasformazione avvenga con o senza dispersione di energia in attriti, cioè inmodo irreversibile o reversibile: il risultato è prevedibile, dal momento che nel caso

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in cui avvengano dispersioni energetiche la sorgente deve scambiare una maggiorequantità di calore per produrre lo stesso lavoro.Esiste una nuova grandezza che viene assunta come indice della perdita di capacitàdi un sistema di compiere lavoro quindi di produrre energia, come indice dellaprobabilità di uno stato termodinamico. Essa è stata chiamata entropia (da unvocabolo greco che significa trasformazione) da Clausius.La seconda legge della termodinamica afferma che tutti i processi naturali vanno inuna certa direzione ossia nella direzione secondo cui si incrementa l'entropia totaledell'universo. Un altro modo di definire la seconda legge della termodinamica èquello di dire che il calore passa spontaneamente da un corpo più caldo ad uno piùfreddo, ma non viceversa.Calore entrato nel sistema:QTemperatura assoluta:TVariazione dell'entropia:ΔSQTCinquanta grammi di ghiaccio stanno fondendo in un liquido a 0°C (o 273 K).M 50.gmT 273.KL f 80.calgmLa quantità di energia può essere calcolata così:Q M.L fpag. - 6 -___________________________________________________________________________________Con i dati sull'energia e sulla temperatura, l'entropia viene calcolata come:ΔSQTL'entropia aumenta, così c'è molto disordine nel sistema. Una delle cose piùinteressanti sull'entropia è cheΔS universo>0Cioè, l'entropia nell'universo va sempre più aumentando, ossia il numero dicondizioni possibili sta aumentando, e il livello di ordine sta diminuendo.Δ S = 61.345jouleKQ = 4000 calpag. - 7 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiTensione superficialeMentre le molecole all'interno di un liquido vengono attratte in tutte le direzioni, lemolecole sulla superficie hanno una azione di richiamo verso l'interno, che provocala tensione superficiale.Consultate Le Tabelle di Riferimento specifiche per trovare la tensionesuperficiale di molti liquidi comuni.La tensione superficiale di un oggetto sferico (come una goccia d'acqua) può esseredeterminata dal suo diametro e dalla sua pressione relativa interna.

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Pressione relativa dentro una goccia sferica di liquido:p relativaDiametro della goccia d'acqua:dTensione superficiale di una goccia sferica di liquido:σ 1. .4p relativadpag. - 8 -___________________________________________________________________________________Qual è la tensione superficiale di una goccia d'acqua del diametro di 1.mm, se lapressione relativa è uguale a 200.Pa ?d 1.mmp relativa 200.PaUsando la formula per la tensione superficiale di una goccia sferica, avremo:σ 1. .4p relativadNota che più piccola è la gocciolina, più grande sarà la pressione.σ = 0.05newtonmpag. - 9 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiCalore di vaporizzazioneIl calore di vaporizzazione L v è la quantità di calore necessaria per trasformareuna massa unitaria dallo stato liquido allo stato gassoso.Il passaggio vaporizzazione/condensazione si visualizza più facilmente usando il"diagramma cambiamento di fase".Massa di liquido evaporato:MQuantità di calore usato per la vaporizzazione:QCalore di vaporizzazione:L vQMQuanta acqua sarete in grado di convertire in vapore acqueo usando un bollitore di1.kW per cinque minuti? (Assumiamo che tutta la potenza del bollitore sia usata pergenerare calore.) Quanto alcool si dovrebbe vaporizzare in identiche condizioni?P 1kWΔt 5.minPer prima cosa calcoliamo quanto calore è generato dal bollitore nel tempo Δt :Q P.ΔtPoi guardiamo il calore di vaporizzazione per l'acqua e per l'alcool:acqua:L acqua_v 2.26.106. joulekgQ = 3 105 joulepag. - 1 0 -___________________________________________________________________________________alcool:

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L alc_v 8.79.105. joulekgPossiamo ora usare la definizione di calore di vaporizzazione per trovare la quantità(massa) d'acqua ed alcool vaporizzati dal bollitore:M acquaQL acqua_vM alcQL alc_vDa notare che, siccome il calore di vaporizzazione dell'acqua è più alto di quellodell'alcool, dalla stessa quantità di calore viene vaporizzata una maggiore quantitàd'alcool che di acqua.M alc = 341.3 gmM acqua = 132.7 gmpag. - 1 1 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiCalore di fusioneIl calore di fusione è la quantità di calore necessaria per portare una massa unitariadi sostanza da solida a liquida. La temperatura alla quale questa trasformazioneavviene è chiamata punto di fusione. Potete trovare una tabella dei punti di fusionedi molti metalli nelle Tabelle di Riferimento specifiche.Il passaggio fusione/solidificazione è meglio visualizzato usando il "diagrammacambiamento di fase".Massa del solido fuso:MQuantità di calore usato per la fusione:QCalore di fusione:L fQMTrovare l'energia necessaria per fondere un blocco di rame di 1.kg al suo punto difusione.M 1.kgDallo standard di riferimento, troviamo che il calore di fusione per il rame è:L f 2.05.105. joulekgLa quantità di calore necessario per fondere il blocco è quindi:Q L f.MQ = 2.05 105 joulepag. - 1 2 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiDilatazione termicaTutti i solidi ed i liquidi cambiano la loro densità (massa per volume unitario)quando sono riscaldati o raffreddati. Possiamo caratterizzare il cambiamento delvolume di una sostanza in relazione alla sua temperatura con il suo coefficiente didilatazione del volume β. Quando vogliamo sapere come una dimensione linearedi un solido cambia con la temperatura, parliamo di coefficiente di dilatazionelineareα. Questi coefficienti, per parecchi metalli, sono elencati nelle Tabelle diRiferimento specifiche.

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Lunghezza iniziale del solido:LVolume iniziale del solido:VVariazione di temperatura:ΔTCoefficiente di dilatazione lineare:αCoefficiente della dilatazione di volume:βVariazione in lunghezza:ΔL α.L.ΔTVariazione di volume:ΔV β.V.ΔTRelazione tra volume e coefficiente di dilatazione lineare:β 3.αpag. - 1 3 -___________________________________________________________________________________Un nastro d'acciaio misura la lunghezza L 1 di un tubo di alluminio alla temperatura T 1:L 1 50.cmT 1 273.KAlla temperatura T 1 le misure del nastro rappresentano la reale lunghezza del tubo.Quale lunghezza L 2 misura il nastro alla temperatura T 2 323.K ?Per prima cosa bisogna cercare i coefficienti di dilatazione lineare per l'acciaio el'alluminio.Alluminio:Acciaio:α st 12.0.10 6. 1KVariazione di temperatura:ΔT T 2 T 1La lunghezza reale del tubo a temperatura T 2 èL al L 1. 1 α al.ΔTLa lunghezza reale di 1.cm del nastro di acciaio alla temperatura T 2 èL st 1.cm. 1 α st.ΔTCosì il numero di centimetri N rilevato sul nastro saràNL alL stN = 50.029L st = 1.0006 cmL al = 50.0595 cmΔ T = 50 Kα al 23.8. 10 6. 1Kpag. - 1 4 -___________________________________________________________________________________Solidi e LiquidiStruttura cristallinaComparati ai gas, i solidi ed i liquidi sono molto più densi perché le particelle, neisolidi e nei liquidi, sono ‘a contatto’ l'una con l'altra.Mentre i solidi mantengono la loro forma propria, i liquidi ed i gas prendono laforma del loro contenitore. I solidi possono essere approssimativamente divisi in

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due tipi: cristallini (con particelle che hanno un modello regolare; per esempio, ilrame ed il sale da tavola) e amorfi (ad esempio il vetro e la gomma). Questa sezionetratta la struttura microscopica dei solidi cristallini.La disposizione delle particelle in un cristallo è chiamata a reticolo. Allo stessomodo, i blocchi fondamentali di costruzione che ripetono se stessi senza un reticolosono chiamati celle elementari o unitarie. Tre tipi di reticoli saranno descritti qui:cubico semplice, cubico a facce centrate, e cubico a corpo centrato. Moltesostanze cristalline comuni hanno uno di questi reticoli.Dimensione cella elementare:aDistanza tra i gli ioni immediatamente a contatto in cristalli con differenti tipi direticolo (leggete le note esplicative riguardanti i sottostanti diagrammi):Cristallo cubico semplice (CS):d apag. - 1 5 -___________________________________________________________________________________Cristallo cubico a facce centrate (CFC):da2Cristallo cubico a corpo centrato(CCC):d3.a2L'oro metallico forma un cristallo cubico a facce centrate, nel quale la dimensionedella cella unitaria è 4.07 Angstrom.Qual è la distanza tra i gli atomi che si trovano a immediato contatto in un cristallod'oro, e quanti di questi hanno qualche atomo d'oro?Notate che le distanze atomiche sono spesso misurate in Angstrom, allora, per primacosa, definiamo questa unità di lunghezza:Angstrom 10 10.ma oro 4.07.AngstromPer trovare la distanza tra i gli atomi a immediato contatto in un cristallo d'oro,usiamo la formula per i reticoli CFC:d oroa oro2d oro = 2.878 AngsQuando un cristallo d'oro è cubico a facce centrate, ciascun atomo d'oro nel cristallone ha 12 a immediato contatto.