· Web viewA questo punto si può piegare un semplice modello origami e calcolarne gli angoli. Se...

Questo curricolo ha lo scopo di fornire una traccia di lavoro per le insegnanti che desiderano utilizzare la tecnica origami come supporto all’insegnamento di alcuni concetti di matematica e di geometria. E’ articolato lungo i 5 anni di scuola primaria suddivisi in quadrimestri. Nulla vieta di modificare il percorso secondo le proprie esigenze e la propria programmazione di classe sia in termini di tempi di svolgimento, sia in termini di tipologia di modelli da piegare. Il lavoro risulta in alcuni punti ancora incompleto, ma è comunque fruibile e sarà quanto prima sistemato e completato. Un ringraziamento particolare va alla Professoressa Sonia Spreafico del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino ed alla professoressa Emma Frigerio che hanno fornito il materiale relativo ai modelli ed alle lezioni dialogate. Non è presente in questo lavoro una parte relativa alla valutazione, perché la tecnica origami è intesa come trasversale e quindi per la valutazione si rimanda alle singole discipline.

CLASSE PRIMA PRIMO QUADRIMESTRE

COMPETENZE SPECIFICHE

DISCIPLINARI D.M.139/07

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO

Indicazioni Nazionali 2012

NUCLEI FONDANTI

OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

CONTENUTI ATTIVITA’

SPAZIO E FIGURE

- Confrontare ed analizzare figure geometriche individuando invarianti e relazioni

Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture.Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche

Operazioni cognitive:osservare, riconoscere, denominare, descrivere, rappresentare,localizzare, eseguire percorsi, misurare, riprodurre, spiegare,tradurre, realizzare, utilizzare, costruire, produrre, classificare, confrontare, determinare, trasformare, organizzare

Individuare le principali forme nella realtà, riconoscerle e denominarle.

Il quadrato e il rettangolo

Il triangolo

Seguendo le indicazioni dell’allegato 1, piegatura di due modelli (il cuore e l’aliante), uno ottenuto a partire da un foglio quadrato e l’altro da uno rettangolare. Durante la piegatura sarà chiesto di individuare i quadrati e i rettangoli che compaiono.

Seguendo le indicazioni dell’allegato 2, piegatura

di un albero composto da 4 moduli identici molto semplici. La piegatura del primo modulo sarà l’occasione per riconoscere e contare i triangoli che compaiono. Inoltre verrà definita la diagonale del quadrato, segmento ricorrente nelle pieghe origami. La piegatura dei moduli successivi aiuterà il processo di memorizzazione e

permetterà agli studenti di migliorare la loro precisione di piegatura.

Allegato1 IL QUADRATO E IL RETTANGOLO

Il cuore e l’aliante

Modelli di M. Golan e tradizionale

Materiale utilizzato: per ogni alunno, un foglio quadrato di circa 15 cm, bianco da un lato e colorato dall’altro, e un foglio A5 o A4.

DIAGRAMMI DI PIEGATURA Cuore

Aliante

LEZIONE DIALOGATA

Il cuore

Distribuire un foglio quadrato per ogni alunno.

A.Bianco sopra. Portare un lato sul lato opposto e piegare (figura 1).

Che figura abbiamo ottenuto?Un rettangolo.

B.Riaprire il foglio (bianco sopra, figura 1). La piega centrale e il bordo superiore formanouna “T”. Piegare le bisettrici dei due angoli retti della T (figura 2; se la bisettrice non è nota, si potrà dire di portare metà parte alta della T sulla piega centrale). Si ottiene la figura 3.

Che figure compaiono?2 triangoli che formano 1 triangolo più grande, 2 quadrati che formano 1 rettangolo. 2 trapezi formati da un triangolo colorato e un quadrato bianco. La figura complessiva è 1pentagono.

N.B. Anche se l’attività riguarda il riconoscimento di quadrato e rettangolo nulla vieta di nominare ed indicare altre figure che saranno presentate più in dettaglio successivamente

C.Fare due piccole orecchie (verso l’esterno) vicino ai vertici liberi dei triangoli colorati e nasconderle (cioè ripiegarle verso l’interno; vedi figura 3). Si ottiene la figura 4.

D. Voltare la frittata. La casetta tutta colorata è divisa a metà da una linea (la prima piega fatta), che va dal pavimento alla punta del tetto. Portare il punto della piega che è sul pavimento a combaciare con la punta del tetto e piegare (figura 5).

Che figura abbiamo ottenuto? Un rettangolo che è formato da 2 quadrati.

E.Il rettangolo è diviso a metà sempre dalla piega iniziale. Portare uno dei lati corti del rettangolo su questa linea (figura 6, una sola piega)

Che figura abbiamo ottenuto?Un rettangolo più piccolo di quello di prima.

Che altre forme compaiono? 3 rettangoli, due bianchi e uno colorato e 2 quadrati, uno bianco e uno bicolore, 1 triangolo colorato, 1 trapezio colorato e 1 pentagono bicolore.

F.Portare il lato corto bianco a combaciare con la linea di cambio colore (figura 6, seconda piega).

Che figura abbiamo ottenuto? 1 quadrato.

G.Questo quadrato `e diviso a metà da una fenditura. Sullo strato superiore di carta, facendo tenere il lato con i triangolini verso l’alunno, portare il lato in alto a combaciare con quello in basso e piegare.

Che forma abbiamo ottenuto? E’ una casetta più piccola di quella di prima (pentagono). Il tetto è 1 triangolo e la base della casetta 1 rettangolo.

H. Riaprire la piega appena fatta, lasciando il rettangolo un po’ sollevato.

L. Ai vertici del pavimento della casetta, piegare due piccole orecchie schiacciando bene (figure 8 e 9).

M. Voltare la frittata e appoggiare il cuore in piedi sul tavolo (figura10).

L’aliante

Ad ogni alunno, dare un foglio di carta rettangolare formato A5o A4.

A.Portare un lato lungo sul lato opposto e piegare (figura 1, senza riaprire).

Che figura abbiamo ottenuto?1 rettangolo che è metà del rettangolo di partenza.

B.Riaprire la piega fatta in A (figura 1). La piega centrale e il bordo superiore formano una T. Piegare le bisettrici dei due angoli retti della T (stessa piega del cuore), lasciando un po’ di spazio al centro (figura 2).

Questa volta la casetta è più alta di quella ottenuta nella piegatura del cuore.

Che forme si riconoscono nella casetta?2 triangoli nel tetto. 3 rettangoli nella base, 2 trapezi ottenuti unendo un rettangolo della base e un triangolo, 1 pentagono.

C.Piegare in giù il tetto, portando la sua punta un poco più sopra del pavimento (2 o 3 cm circa; figura 3).

Che forma abbiamo ottenuto?1 rettangolo-

Che altre forme compaiono?2 rettangoli bicolori, 4 trapezi, due colorati e due bianchi, 2 pentagoni, uno convesso colorato e uno concavo bianco.

D.La piega centrale e il bordo superiore formano una T. Piegare ancora le bisettrici dei due angoli retti della T lasciando una piccola fessura al centro (figura 4).

E.Piegare sul tettodella casetta il triangolino che sporge sotto di lui (figure 5 e 6).

Che forme si riconoscono ?6 triangoli (due piccoli e la loro unione, due grandi e la loro unione), 3 rettangoli (2 piccoli e la loro unione), 1 pentagono (tutta la figura).

F.Voltare la frittata, ottenendo la figura 7 e piegare a metà lungo la linea già esistente, ottenendo la figura 8.

Che forme si riconoscono ?3 triangoli, 1 rettangolo e 1 trapezio (che è la metà del pentagono precedente).

G.Solo sullo strato superiore, portare il lato obliquo sull’ultima piega fatta e schiacciare forte (figura 8). Voltare la frittata e ripetere la piega precedente (figure 9 e 10).

Aprire le ali e far volare l’aliante!

Allegato2 IL TRIANGOLO

L’albero tridimensionale

Modello tradizionale

Materiale utilizzato: per ogni alunno, quattro fogli quadrati di circa 15 cm, bianchi da un lato e verdi dall’altro.

DIAGRAMMI DI PIEGATURA

LEZIONE DIALOGATA

Distribuire, per ogni alunno, quattro fogli quadrati, bianchi da un lato e verdi dall’altro.

A.Colore sopra. Portare un vertice sul vertice opposto e piegare (figura 1).

Che figura abbiamo ottenuto? Come sono i suoi lati? (o descrivila?)Un triangolo rettangolo isoscele. (Due suoi lati sono anche lati del quadrato di partenza e sono quindi uguali, l’altro lato è più lungo; inoltre un angolo è di 90 perché corrisponde ad uno degli angoli del quadrato).

Per gli alunni più piccoli si possono semplicemente descrivere i lati, senza introdurre la nomenclatura.

Il lato lungo del triangolo cosa rappresenta per il quadrato di partenza? Riaprire la figura per scoprirlo.Riaprendo la figura notiamo ce la piega appena fatta unisce un vertice del quadrato con quello opposto. Questo segmento viene detto diagonale del quadrato.

Quante diagonali ha il quadrato?2.

Richiudere il foglio ritornando ad avere il triangolo rettangolo isoscele bianco della figura 2.

B.Solo sul lato superiore, portare un lato corto del triangolo su quello lungo, facendo una piega che esca dal vertice come indicato nella figura 3.

Quanti triangoli appaiono?5 triangoli: quello grande formatoda tutto il modello, due verdi, uno bianco e uno bicolore bianco e verde.

C.Voltare la frittata e ripetere la stessa piega su questo lato del modello, facendola partire dallo stesso vertice, figura 4. Si ottiene la figura 5.

Quanti triangoli compaiono?3: quello grande formato da tutto il modello, uno verde e uno bianco.

D.Riaprire il modello in modo da vedere la parte bicolore, figura 5. Si ottiene la figura 6..

Quanti triangoli compaiono?8 triangoli. Due verdi e il triangolo dato dalla loro unione; due bianchi e la loro unione e due bicolori simmetrici rispetto alla linea lunga verticale.

E.Piegare ora il triangolo bianco lungo la linea di cambio colore (figura 6).

Quanti triangoli ci sono?7: quello formato da tutta la figura, le sue due metà simmetriche rispetto alla linea centrale (altezza), i quattro triangoli che a coppie formano le due metà.

F.Voltare la frittata e rifare la prima piega (figura 8). Riaprire a 90 come mostrato nella figura 9.

Abbiamo così concluso il primo modulo dell’albero. Occorre ora piegare altri tre moduli identicamente al primo. Per la prima ripetizione, si consiglia di ricordare insieme alla classe i vari passaggi, lasciano invece autonomia sul terzo e quarto modulo.

Infine si incollano insieme i quattro moduli (figura 10): ecco pronto l’albero tridimensionale.

CLASSE PRIMA SECONDO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE


Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture.Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche


Individuare le principali forme nella realtà, riconoscerle e denominarle.

Tanti poligoni Seguendo le indicazioni dell’allegato 3, piegatura di un modello abbastanza semplice (la corona), che magicamente diventa tridimensionale. Durante la piegatura compaiono numerosissimi tipi di poligoni che possono

essere riconosciuti dai bambini o nominati dall’insegnante per abituare gli alunni alla nomenclatura ed al riconoscimento visivo

Allegato 3 TANTI POLIGONI

La Corona


Materiale utilizzato: la corona può essere realizzata in dimensioni diverse per usi differenti: in piccolo per bambole e peluche o come portauovo, in grande per travestimenti. Per il laboratorio ad ogni alunno serve un foglio quadrato di circa 15 cm, bianco da un lato e colorato dall’altro.


LEZIONE DIALOGATA

N.B. Le parti evidenziate in giallo sono rimandate alla classe seconda/terza

Distribuire un foglio quadrato per ogni alunno.

A.Bianco sopra. Portare un lato sul lato opposto e piegare (figura 1).

Che figura abbiamo ottenuto?Un rettangolo.

B.Portare il lato corto del rettangolo sul lato opposto. Piegare e riaprire ( figura 1).

Che altre figure compaiono?2 quadrati congruenti.

C.Portare ognuno dei due lati corti del rettangolo sull’ultima piega fatta e riaprire (figura 3).

Che figure compaiono?Il rettangolo grande colorato che è suddiviso in 4 rettangoli piccoli. Unendo due di tali rettangoli possiamo avere un quadrato (ne possiamo individuare 3) e possiamo anche unire tre rettangoli piccoli per averne uno medio (di questo tipo ne abbiamo 2).

D. Infilare un dito tra i due strati d carta vicino alla piega più a destra, fino al bordo chiuso del foglio e, ribaltando la piega verticale a destra, portare il lato corto sulla mediana centrale; questo movimento farà comparire una parte bianca del foglio (in basso) e un triangolo colorato in alto. Quest’ultimo va schiacciato sul modello, come mostra la figura 5. Ripetere le stesse istruzioni sul lato sinistro (figura 4),

Per rispondere alla domanda successiva è meglio disegnare alla lavagna il modello, mettendo delle lettere di riferimento

Che poligoni si riconoscono?Elenchiamo le figure più semplici.

La figura complessiva (che chiameremo casetta) è un esagono. La base bianca della casetta è suddivisa in 4 quadrati, ABML, BCNM, CDON, DEFO.Questi quadrati, accostati, ci danno 6 rettangoli: ACNL, ADOL, AEFL, BDOM, BEFM, CEFN. Ci sono però altri 2 quadrati nel tetto: MNHI, NOGH e 3 rettangoli: MOGI, BCHI, CDGH. Ci sono anche numerosi triangoli: 6 congruenti a LMI, 3 congruenti a LNI. Abbiamo anche 6 trapezi rettangoli: 4 bicolori ABIL, BCNI, CDGN, DEFG e 2 solo colorati: LMHI, NFGH.

Abbiamo anche 2 parallelogrammi: LNGI e NFGI.

Ci sono poi molti poligoni concavi, come per esempio:ALIMNC.

E.Considerare ora il rettangolo bianco centrale, indicato nel disegno come BDOM, composto da un doppio strato di carta. Portare i vertici del lato lungo di base sul punto medio del lato opposto e piegare, (figura 5). Si ottiene il modello della figura 6.

Che poligoni nuovi si riconoscono?Elenchiamone alcuni. C’è un triangolo bianco, ottenuto dalla piega appena fatta. Inoltre si riconoscono due nuovi parallelogrammi, simmetrici rispetto all’esse di simmetria della figura, ognuno formato da uno dei triangoli bianchi appena piegati e da un triangolino colorato (riferendosi alla figura precedente, hanno vertici COGN e CNIM). Si vedono anche due nuovi trapezi (di vertici COGH e HIMC). Inoltre abbiamo il pentagono COGIM.

F.Piegare il triangolo bianco multistrato lungo la linea di cambio colore (figura 6). Si ottiene la figura 7.

A questo punto possiamo anche porre domande più specifiche, mirate a riconoscere solo alcuni poligoni, anche rispetto alla classe alla quale è proposto il laboratorio. Ne proponiamo alcune nelle quali terremo conto anche della simmetria della figura rispetto al suo asse di simmetria, passante per il segmento CH.

Riconosci nuovi trapezi rettangoli?Sì, il trapezio BCHM ( insieme al suo simmetrico) e il trapezio rettangolo ILMK (insieme al suo simmetrico). Per verificare che quest’ultimo trapezio sia rettangolo, possiamo sovrapporre nel vertice I l’angoloretto di un foglio quadrato o rettangolare

Riconosci nuovi parallelogrammi?S’: si è formato il parallelogramma LMHI (e il suo simmetrico).

G.Voltare la frittata e piegare i lati dell’esagono, paralleli all’asse di simmetria, sull’asse stesso (figura 8). Ora la figura è meno elaborata delle precedenti e si presta ad essere analizzata soprattutto dai più piccoli. Si vedono bene triangoli, quadrati, rettangoli e trapezi. Lasciamo all’insegnante la descrizione delle forme.

H. Considerare il rettangolo bianco e portare i due vertici bianche esterni nel punto centrale del quadrato; piegare (figura 9). Anche qui i poligoni che si formano sono facili da individuare. Si può sottolineate la formazione di due parallelogrammi.

L. Piegare il triangolo bianco sulla linea di cambio colore (figura 10), ottenendo la figura 11.

M. Infilare le dita nell’apertura alla base del modello, allargando bene la base e schiacciando un po’ verso l’interno la parte colorata: ecco la corona!

Diamo ora il diagramma per la piegatura di fogli rettangolari (va bene anche per fogli 70x100 cm che realizzano corone indossabili).

Osserviamo che nei vari passaggi si possono riformulare le domande del laboratorio descritto a partire dalla carta quadrata. Attenzione però ad alcune differenze: per esempio, nelle figura 5 non saranno più presenti i quadrati (ma solo rettangoli), nella figura 6 non vedremo né i parallelogrammi né i trapezi nuovi, mentre si forma un quadrilatero non regolare con la parte di carta piegata per ultima.

Potrebbe essere anche interessante fare piegare ad alcuni alunni corone a partire da fogli quadrati e ad altri corone a partire da fogli rettangolari, per confrontare i poligoni che appaiono durante la piegatura.

CLASSE SECONDA PRIMO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE


Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture.Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.


Riconoscere simmetrie nella realtà.Individuare e produrre figure simmetriche mediante piegature, ritagli e colorazione.

Riconoscere e denominare le principali figure geometriche piane e solide.

Simmetria nel quadrato

Simmetria nel rettangolo

Discriminazione e classificazione di forme: tanti poligoni

Seguendo le indicazioni dell’allegato 4, piegatura di 3 modelli (l’albero, la casa e il sole), attraverso i quali si scoprono e si utilizzano gli assi di simmetria del quadrato.I modelli dell’albero e della casa evidenziano, rispettivamente, la simmetria rispetto a una diagonale e a una mediana; quello del sole, invece, conserva le simmetrie rispetto ai quattro assi di simmetria del quadrato

Seguendo le indicazioni dell’allegato 5, piegatura

di 2 modelli (la scatola e la rana) attraverso i quali si scoprono e si utilizzano gli assi di simmetria del rettangolo.Entrambi i modelli vengono piegati a partire da un foglio rettangolare. Con il modello della scatola evidenzieremo le mediane del rettangolo e la loro funzione di assi di simmetria. La rana completerà il gioco

Ripetizione della lezione dialogata già svolta in prima, con una ampliamento per l’introduzione di altri poligoni. Seguendo le indicazioni dell’allegato 3, piegatura di un modello abbastanza semplice (la corona), che

magicamente diventa tridimensionale. Durante la piegatura compaiono numerosissimi tipi di poligoni che possono

essere riconosciuti dai bambini o nominati dall’insegnante per abituare gli alunni alla nomenclatura ed al riconoscimento visivo

Allegato 4 GLI ASSI DI SIMMETRIA DEL QUADRATO

L’albero, la casa e il sole


Materiale utilizzato: per ogni alunno, tre fogli quadrati: per l’albero, verde almeno da un lato; per la casa, colorato da un lato e bianco dall’altro; per il sole, giallo da un lato. Possono essere distribuiti fogli di misure diverse: dai 7 cm ai 12cm circa per l’albero, dai 15 cm ai 20 cm per la casa, di 7 cm circa per il sole (per esempio, dividendo in quattro un normale foglio 15 15 si ottengono quattro foglietti per il sole).

DIAGRAMMI DI PIEGATURA: Albero

Casa

Sole

PRELIMINARI

Vengono distribuiti dei piccoli fogli quadrati (tipo memo). Il laboratorio inizia con pieghe libere per scoprire gli assi di simmetria del quadrato: i bambini vengono invitati a cercare le pieghe che permettono, in un colpo solo, di fare sovrapporre precisamente le due parti in cui la piega divide il foglio.

In generale, alcuni bambini piegano il foglio lungo una diagonale, altri lungo una mediana; altri potrebbero piegare lungo linee non corrette.

Per prima cosa si discutono le eventuali pieghe sbagliate. L' errore più comune è ottenere una figura che ha ovunque due strati di carta, ma utilizzando più di una piega. Per esempio:

Si prende spunto da questo per osservare che va rispettata la regola del gioco che imponeva una sola piega.

Successivamente, si mostrano alla classe due fogli piegati correttamente, uno lungo la diagonale e uno lungo la mediana.

Quante diagonali e quante mediane ci sono in un quadrato?Ci sono due diagonali e due mediane.

Quindi ci sono 2 + 2 = 4 pieghe speciali, che chiamiamo assi di simmetria.

Ora si chiede ai bambini di piegare tutti e quattro gli assi sul foglietto (riaprendo dopo ogni piega) e di colorare le due diagonali di un colore e le due mediane di un altro; questo foglio potrà essere incollato sul quaderno riscrivendo il nome delle pieghe speciali.

Si mostra poi un quadrato che è stato piegato lungo una linea che passa per il suo centro e che non è un asse e anche lo stesso modello tagliato lungo la piega.

Le parti in cui è stato diviso il quadrato sono uguali?Sì, sono uguali e lo si verifica sovrapponendole dopo averne ruotata una.

La piega fatta è un asse di simmetria?No: piegando il foglio intero lungo la piega le due parti non si sovrappongono.

Questo esempio rinforza il concetto che l'asse di simmetria produce due parti non solo uguali, ma che si sovrappongono perfettamente quando si piega (figure speculari).

LEZIONE DIALOGATA

L’albero

Distribuire fogli di varie misure e verdi almeno da un lato (anche le sfumature di verde possono essere diverse).

A.Col bianco sopra, piegare lungo una diagonale e riaprire (figura 1).

La figura è simmetrica rispetto a questa piega?Certo, la piega è una delle quattro speciali per il quadrato.

B.Portare un lato del foglio sulla diagonale(figura 2).

La figura ottenuta non è simmetrica.Come possiamo fare per renderla simmetrica?Basta piegare il lato che parte dallo stesso vertice della diagonale sulla diagonale stessa.

C.Eseguiamo la piega; per verificare la simmetria, basta piegare il modello lungo la diagonale già piegata.

D.Portare il vertice bianco sulla diagonale in un punto a piacere in modo che la piega ottenuta stia sotto alla base del triangolo verde (figure 3 e 4). “Voltando la frittata”, si ottiene l’albero (figura 5).

Che tipo di simmetria presenta la figura? L'albero è simmetrico rispetto alla diagonale del quadrato di partenza.

La casa

Distribuire fogli di varie misure e colori, bianchi da un lato.

A.Col bianco sopra, piegare lungo le due mediane, riaprendo dopo ogni piega (figura 1).

Quanti quadratisi vedono?5, i quattro quadrati in cui resta suddiviso il foglio più il quadrato di partenza.

B.Portare un lato del foglio un pochino sopra la mediana ad esso parallela e piegare; la piega è arbitraria e pieghe diverse daranno luogo a tetti di misure differenti(figura 2).

La figura ottenuta è ancora simmetrica rispetto alle mediane del quadrato di partenza?Solo una delle mediane funziona da asse di simmetria.

C.Voltare la frittata ottenendo un rettangolo colorato. Piegare uno dei lati più corti sulla mediana del quadrato ad esso parallela(figura 3).

Questa figura è simmetrica rispetto alle due mediane di partenza?No, nessuna di esse funziona da asse di simmetria.

Come possiamo fare per renderla simmetrica?Potremmo piegare anche l'altro lato corto sull'asse del quadrato.

In generale i bambini suggeriscono subito la soluzione. Si può prendere spunto da questo per osservare che ai nostri occhi è gradita la simmetria e per fare esempi tratti dalla natura e dall'arte.

D.Piegare anche l'altro lato corto sull'asse del quadrato fino a farlo toccare con quello piegato in precedenza.

Tenendo i rettangoli colorati verso l'alto, osserviamo che la mediana del quadrato di partenza, che ora è in verticale, èproprio asse di simmetria.

E.Infilare l'indice sotto uno dei rettangoli colorati spingendo la carta verso l'esterno fino a quando la punta libera si sovrappone al lato lungo verticale e schiacciare. Ripetere dall'altra parte (figura 4). Il modello ora ricorda una camicia bianca con il colletto colorato.

Il modello mantiene ancora la simmetria?Sì, sempre rispetto alla mediana verticale.

Anche nelle pieghe successive, se i bambini sono sufficientemente precisi, si mantiene la simmetria assiale.

F.Piegare all'insù una punta del colletto della camicia fino ad ottenere un triangolo con il lato orizzontale che passa per il vertice esterno del colletto (figura 5, con la piega fatta a valle). Ripetere simmetricamente.

G.Una volta fatto ciò, ripiegare i due triangolini sotto al colletto (figura 5).

H.Portare la base della camicia fino all'altezza del “nodo della cravatta”; la piega deve permettere alla base di inserirsi sotto al colletto per essere bloccata (figure 6 e 7).

I.Ora “rigiriamo la frittata" (figura 8), ottenendo la casetta.

La casetta è ancora simmetrica? Certo, è simmetrica rispetto ad una delle vecchie mediane del quadrato.

Non ci sono altre pieghe di simmetria.

Il sole

Distribuire i foglietti gialli da un lato, bianchi dall’altro.

A.Col giallo sopra, piegare tutti gli assi di simmetria del quadrato, riaprendo dopo ogni piega (figura 1).

Quanti assi dobbiamo piegare?4, le due diagonali e le due mediane.

B.Portare un vertice sul centro del quadrato e, senza piegare, farlo scorrere verso l’esterno lungo la diagonale fino a che il segmento “giallo” dal centro al vertice e il segmento “bianco” sottostante sono circa uguali. A questo punto, piegare (figura 2).

C.Piegare lungo la diagonale (figura 3).

D.Piegare il triangolo giallo lungo la linea di cambio colore (figura 4).

E.Riaprire la diagonale, lasciando piegati i due triangoli bianchi (figura 5).

Gli assi di simmetria del foglio iniziale sono anche assi di simmetria del modello?Le due diagonali sì, ma non le due mediane.

F.Piegare una mediana del quadrato (figura6; la mediana può risultare più evidente ruotando un po’ il foglio).

G.Piegare il triangolo giallo lungo la linea di cambio colore. Voltare la frittata e ripetere.(figure 7 e 8).

H.Riaprire la mediana, lasciando piegati tutti i triangoli bianchi; si ottiene la figura 9.

Gli assi di simmetria del foglio iniziale sono anche assi di simmetria del modello?Sì, tutti (diagonali e mediane).

I.Riaprire tutto e voltare la frittata. Piegare portando tutti i vertici al centro (figura 10).

L.Portare i vertici del quadrato iniziale verso l’esterno piegando lungo le linee esistenti (figura 11).Voltare la frittata per ottenere il sole (figura 12).

Osserviamo che lo strato superiore di carta è un quadrato le cui mediane e diagonali corrispondono rispettivamente alle diagonali e mediane del quadrato di partenza.

Gli assi di simmetria del foglio iniziale sono anche assi di simmetria del modello? Controllare piegando il modello.Sì, tutti (diagonali e mediane).

Allegato 5 GLI ASSI DI SIMMETRIA DEL RETTANGOLO

La scatola e la rana

Modelli tradizionali

Materiale utilizzato: per ogni alunno, due fogli rettangolari: uno formato A5 (o A6) per la scatola e uno, possibilmente in carta più pesante, per la rana (possono essere utilizzati anche biglietti da visita, del treno, dei bus).


PRELIMINARI

Distribuire fogli rettangolari di varie dimensioni (anche usando carta da riciclo), uno per ogni alunno.

Che forma ha ogni foglietto? Descrivere le sue proprietàUn rettangolo.I lati sono uguali a due a due.

Si invitano gli alunni a scoprire gli assi di simmetria del rettangolo:quelle pieghe che permettono, in un colpo solo, di fare sovrapporre esattamente le due parti in cui la piega divide il foglio.

Si mostrano alla classe esempi di rettangoli piegati lungo le mediane.

Quanti assi di simmetria ha il rettangolo? E il quadrato?Il rettangolo ha 2 assi di simmetria: le due mediane.

Il quadrato ha 4 assi di simmetria, le due mediane e le due diagonali.

Per il rettangolo le sue due diagonali non sono assi di simmetria. Per spiegare meglio questo fatto, si può mostrare che piegando un rettangolo lungo una diagonale le due parti triangolari non si sovrappongono. Tuttavia è vero che i due triangoli sono uguali, ma non si sovrappongono piegando lungo la diagonale.

Per sovrapporli bisogna ruotarne uno di 180intorno al “centro” del rettangolo (per rendere realizzarlo fisicamente occorre tagliare il rettangolo lungo la diagonale).

Questo esempio mostra che, perché una retta sia un asse di simmetria, non è sufficiente che divida la figura in due parti uguali, come talvolta si trova erroneamente scritto in alcuni libri di testo.

Quindi nel rettangolo ci sono solo 2 assi di simmetria, che abbiamo chiamato mediane.

Alla fine si può fare osservare che il quadrato è un particolare rettangolo (se il laboratorio è svolto con bambini, si potrà chiamare il quadrato un “rettangolo precisino", come approccio alla classificazione dei quadrilateri).

LEZIONE DIALOGATA: La scatola

Distribuire ad ogni alunno un foglio rettangolare, per esempio A5 (metà A4), meglio se colorato da un solo lato. I fogli possono anche essere di grandezze diverse tra loro; l'importante è che il lato maggiore sia al massimo il doppio di quello minore. Quest’ultimo caso darà luogo a considerazioni diverse nelle ultime domande (nel seguito lo chiameremo “caso particolare”).

A.Col bianco sopra, piegare e riaprire lungo la mediana più lunga (figura 1).

Quanti rettangoli ci sono?3, quello grande formato da tutto il foglio e due più piccoli uguali.

Immaginate la mediana corta del rettangolo di partenza; è anche asse di simmetria dei rettangoli più piccoli?Sì.

B.Piegare lungo la mediana corta del foglio e riaprire (figura 2).

Quanti rettangoli ci sono adesso?9, quello grande, i 4 piccoli tutti uguali tra loro e i 4 formati da coppie di quelli piccoli (in orizzontale o in verticale) .

Se la classe trovasse difficoltà nel contarli, si può rimandare il conteggio dopo la piega successiva; in cui compariranno lo stesso numero di rettangoli, ma poiché alcuni sono colorati risulterà più semplice dare indicazioni per il conteggio stesso.

C.Portare un lato corto sulla mediana corta e piegare.

Anche ora possiamo vedere tanti rettangoli, alcuni bianchi, altri colorati e altri bicolore.

Sono di più o di meno di quelli di prima?Sono tanti quanti quelli trovati prima, cioè 9.

La linea che corrisponde alla mediana lunga del rettangolo iniziale èancora asse di simmetria per il rettangolo grande bicolore?

Sì; lo possiamo controllare piegando.

E la mediana corta?No. Se pieghiamo, le due parti non si sovrappongono completamente.

Che piega possiamo fare per rendere la figura simmetrica rispetto aquesta linea?

Possiamo piegare anche l'altro lato corto sulla mediana corta del rettangolo di partenza.

D.Piegare il lato corto sulla mediana corta (figura 4), ottenendo un rettangolo colorato.

Le linee corrispondenti alle mediane del rettangolo iniziale sono ora anche mediane di questo rettangolo colorato, ma l'attuale mediana lunga corrisponde alla mediana corta del rettangolo di partenza e viceversa.

E.Piegare ora un lato corto del rettangolo ottenuto sulla mediana corta e riaprire. Ripetere con l'altro lato corto (figura 5).

Quanti tipi diversi di rettangoli ci sono? Mostratene alcuni.Il rettangolo più grande risulta diviso in 8 rettangolini uguali, che possono essere combinati in più modi per ottenere altri rettangoli (vedi figura seguente). In generale questi rettangoli compaiono varie volte all’interno del rettangolo più grande. Per esempio, il rettangolo ottenuto unendo due rettangolini per il lato corto compare 4 volte, mentre quello ottenuto unendo due rettangolini per il lato lungo compare 6 volte.

F.Considerando ora uno dei rettangolini che contiene un vertice del rettangolo più grande, piegare portando il suo lato corto esterno sul suo lato lungo interno (figura6).

La figura ottenuta ha ancora come assi di simmetria gli assi precedenti?No.

Nel caso particolare in cui il rettangolo di partenza ha il lato maggiore doppio di quello minore, il rettangolo ottenuto nella figura 5 è addirittura un quadrato e, dopo la piega illustrata nella figura 6, il poligono ammette come asse di simmetria la diagonale del quadrato stesso passante per il vertice che abbiamo piegato.

Come possiamo fare a rendere la figura simmetrica rispetto ad uno dei due assi?

Possiamo piegare un altro triangolino (figura 7).

E’ preferibile non dare indicazioni su quale vertice piegare: alcuni piegheranno quello simmetrico rispetto all'asse più lungo, altri quello simmetrico rispetto all'altro asse. Se questo accade, si fanno osservare i due tipi di simmetria ottenuti. Se qualcuno piegasse il vertice diagonalmente opposto, si farà osservare che la figura risultante non ha nessun

asse di simmetria (eccetto che nel caso particolare in cui ha entrambe le diagonali come assi di simmetria): ha un centro di simmetria, ma questo concetto non è esplorato nel presente laboratorio.

G.Completiamo ora le pieghe di tutti e quattro gli angoli(figura 8).

H.Prendendo alle due estremità uno dei due lembi di carta lungo la mediana lunga, piegarlo all'esterno sopra ai triangolini. Ripetere con l’altro lembo (figura 9).

Osservare che la figura, che non è più un rettangolo (eccetto che nel caso particolare), è comunque simmetrica rispetto ai due assi del rettangolo.

I.Inserendo le dita sotto ai lembi piegati, sollevare verso l'alto ottenendo una scatolina.

Renderla più squadrata, ripassando le pieghe degli spigoli verticali.

Completiamo la scatola, piegando una rana. Questo modello non ha una specifica funzione nell’ambito dei contenuti e delle attività, ma rende divertente il risultato finale creando un gioco che i bimbi apprezzeranno sicuramente molto: far saltare la rana dentro alla scatola.

Qui di seguito il diagramma di piegatura della rana

CLASSE SECONDA SECONDO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE





Riconoscere e denominare le principali figure geometriche piane e solide.

Simmetria nel triangolo e nel rombo

Simmetria nel rombo

Discriminazione e classificazione di forme: tanti poligoni

Seguendo le indicazioni dell’allegato 6, piegatura di un modello (la decorazione girevole) nel quale si evidenziano parecchi poligoni tra i quali triangoli, quadrati, rombi. Questo darà modo di ripassare gli assi di simmetria dei quadrilateri più semplici e di verificare che alcune pieghe sono assi dei poligoni più complessi. In particolare, durante la piegatura, compaiono molti triangoli isosceli, che presentano quindi un asse di simmetria. L’insegnante potrà, in terza, fare costruire triangoli scaleni ed equilateri per proseguire le osservazioni sugli assi di simmetria dei triangoliSeguendo le indicazioni dell’allegato 6 bis, si procede alla piegatura del modello del pinguino,attraverso il quale si trovano gli assi di simmetria del rombo e si confrontano con quelli del quadrato e del rettangolo, arrivando a classificare questi quadrilateri in base ai loro assi di simmetria.

Ripetizione della lezione altri poligoni. Seguendo le indicazioni dell’allegato 3, piegatura di un modello abbastanza semplice (la corona), che magicamente diventa tridimensionale. Durante la piegatura compaiono numerosissimi tipi di poligoni che possono

essere riconosciuti dai bambini o nominati dall’insegnante per

abituare gli alunni alla nomenclatura ed al riconoscimento visivo

Allegato 6 GLI ASSI DI SIMMETRIA DI ALCUNI POLIGONI

La decorazione girevole

Modello di T. Fuse

N.B. Le parti evidenziate in giallo sono rimandate alla classe terza/quarta

Durante la piegatura di questo modello si evidenziano parecchi poligoni tra i quali triangoli, quadrati, rombi, deltoidi (per i bambini “aquiloni”), pentagoni. Questo darà modo di ripassare gli assi di simmetria dei quadrilateri più semplici e di verificare che alcune pieghe sono assi dei poligoni più complessi. In particolare, durante la piegatura, compaiono molti triangoli isosceli, che presentano quindi un asse di simmetria. L’insegnante potrà poi fare costruire triangoli scaleni ed equilateri per proseguire le osservazioni sugli assi di simmetria dei triangoli.

Materiale utilizzato: per ogni alunno, due fogli quadrati di 15 cm, possibilmente bicolori.


Decorazione girevole

LEZIONE DIALOGATA

Distribuire due fogli quadrati bicolore per ogni alunno.

A. Colore preferito sopra, piegare lungo una diagonale e riaprire (figura 1).

Che cosa rappresenta la diagonale per il quadrato?Un asse di simmetria.

Quante diagonali ci sono?2.

Piegare e riaprire anche la seconda diagonale.

B.Voltare la frittata. Piegare una mediana,portando un lato su quello opposto (figura 2).

Che cosa rappresenta la mediana per il quadrato?Un asse di simmetria.

Quante mediane ci sono?2.

Piegare e riaprire anche la seconda mediana.

Quanti assi di simmetria ha il quadrato?4, due diagonali e due mediane.

Riaprire l’ultima piega non è necessario per l’esecuzione del modello, ma permette di visualizzare tutti gli assi di simmetria del quadrato e di assicurarsi che dal centro si susseguano, alternativamente, pieghe a monte e a valle.

C.Richiudere l’ultima piega fatta(mediana)e appoggiare il modello sul tavolo in modo che formi un tetto (figure 3 e 4).

D.Posizionare indice e pollice delle due mani appena sopra le pieghe a valle (figura 4).Avvicinare tra loro i due strati di carta. Si ottengono quattro triangoli doppi, disposti a croce nello spazio. Appoggiare sul tavolo lasciando due triangoli da una parte e due dall'altra, ottenendo la figura 5.

Che forma ha la figura ottenuta? È un quadrato.

Il modello ottenuto è basilare nell’origami e si chiama “base quadrata”.

Che cosa rappresenta la piega che compare all’interno della figura?È una diagonale del quadrato, suo asse di simmetria.

Questa diagonale verrà chiamata d nel seguito.

E.Gli estremi della piega d sono diversi: in uno gli strati di carta sono liberi, nell’altro sono uniti (quest’ultimo è il centro del quadrato di partenza). Sollevando solo uno dei due triangoli superiori, fare una nuova piega che parte dall'estremo chiuso d e porta un lato del quadrato sulla diagonale (figura 5, prima piega).

Che piega dobbiamo fare per rendere la figura simmetrica?La stessa piega sull’altro triangolo superiore.

F. Fare questa piega (figura 5, seconda piega).

Quali figure hanno d come asse di simmetria?Un quadrato, due triangoli (quello formato dalle due alette appena piegate, e quello che gli sta sotto), un aquilone (deltoide),un pentagono.

Con riferimento alla figura 5, il quadrato è ABCD, i triangoli sono AEF e ECF, il deltoide è AECF, il pentagono è ABEFD. Le lettere sono state usate qui per comodità, ma con gli alunni più piccoli è preferibile indicare i poligoni percorrendone il contorno con il dito (sul modello o su un disegno alla lavagna).

Ci sono altre pieghe che sono assi di simmetria di qualche figura?Le ultime due pieghe fatte sono ciascuna asse di simmetria di un deltoide (i quali, uniti, formano il pentagono citato nella risposta precedente).

Sempre con riferimento alla stessa figura, i deltoidi sono ABEG e AGFD.

G. Piegare all'insù il triangolo monostrato (figura 6) ottenendo la figura 7.

L’ultima piega fatta è asse di simmetria per qualche figura?Sì, per il quadrato piccolo che abbiamo appena formato con il nuovo colore.

Quali sono ora le figure che hanno come asse di simmetria la piega centraled?I due quadrati(quello grande e quello più piccolo appena ottenuto), tre triangoli (i due che formano il quadrato piccolo e uno bicolore), un aquilone (figura centrale), una freccia, un cuore, un pentagono.

In riferimento alla figura 6, i quadrati sono ABCD e HECF, i triangoli sono ECF, HEF e AEF, il deltoide AECF, la freccia AEHF, il cuore ABEHFD, il pentagono ABEFD.

H. Voltare la frittata e ripetere le pieghe delle figure 4 e 5. Si otterrà il modello della figura 10.

I. Ripetere tutta la costruzione con l’altro foglio (senza domande matematiche).

Si faranno intervenire a turno gli alunni per ricordare via via le pieghe da eseguire, stimolando la loro memoria.

E. Disporre ora a croce, nello spazio, entrambi i modelli e incastrarli tra loro, infilando le due punte del colore preferito del modulo di destra sotto i triangoli del colore non preferito del modulo di sinistra e viceversa (figura 11).

Con gli alunni più giovani, potrebbe servire l'aiuto dell'insegnante.

Se ora appiattiamo sul banco il modello, di che poligoni è asse di simmetria la linea che unisce i due vertici più lontani?E’ asse di tre triangoli, una freccia, un aquilone e un rombo.

Si può mostrare questo fatto facendo chiudere le pagine del modello.

Riportare il modello in 3D. Tenendo le punte più lontane tra loro con gli indici delle due mani, si può soffiare e vederlo ruotare.

Allegato 6 bis GLI ASSI DI SIMMETRIA DEL ROMBO

Il pinguino

Modello di E. Frigerio

Materiale utilizzato: per ogni alunno, un foglio rettangolare formato A5, colorato da un lato e bianco dall’altro.

DIAGRAMMI DI PIEGATURA (sono sbagliati)

PRELIMINARI

Lo scopo è quello di costruire il rombo che occorrerà nel laboratorio origami. La costruzione qui presentata parte da un foglio rettangolare e permette di ottenere un rombo grande rispetto alle dimensioni del rettangolo di partenza.

Per costruire un rombo da incollare sul quaderno, i fogli rettangolari A6 e/o A7 vanno bene. Per avere invece un rombo adatto al modello di questo laboratorio, sono più indicati fogli A5 o A4 (meglio se bianchi da un lato e colorati dall'altro).

FIGURA

Distribuire i rettangoli. Con il bianco sopra portare un vertice su quello diagonalmente opposto e piegare (figura 1), ottenendo il pentagono bicolore della figura 2.

Portare un estremo della piega così ottenuta sopra l'altro estremo e piegare (la nuova piega risulterà l'asse di simmetria del pentagono).

Se il foglio non si presentasse come in figura 3, voltare la frittata in modo da avere il triangolo colorato sopra. Con il righello disegnare, dentro il triangolo colorato, una linea abbastanza vicina al bordo e tagliare lungo questa linea (figura 3). In questo modo il taglio risulterà più preciso rispetto a quello ottenuto tagliando direttamente sulla linea di cambio colore e si avrà poco spreco di carta.

Riaprire il triangolo (figura 4); il poligono che abbiamo ottenuto (e ogni figura che si ottiene in questo modo) si chiama rombo.

Con gli alunni più grandi, che già conoscono questo poligono, possiamo giustificare questa affermazione

B Questa figura è una delle precedenti o è nuova? Per decidere confrontiamo i suoi assi di simmetria con quelli del quadrato e del rettangolo. Quanti sono gli assi? Sono diagonali o mediane? Disegniamo alla lavagna un quadrato, un rettangolo e un rombo, per indicare le differenze.

Quanti lati ha questa figura?4, tutti uguali tra loro per come li abbiamo ottenuti.

Che altre figure conoscete con quattro lati?Il quadrato e il rettangolo.

Questa figura è una delle precedenti o una nuova? Per decidere individua i suoi assi di simmetria e confrontali con quelli del quadrato e del rettangolo.

Il quadrato ha quattro assi di simmetria: 2 mediane e 2 diagonali; il rettangolo ha solo due assi di simmetria : le 2 mediane. Questa figura ha solo due assi di simmetria: le 2 diagonali.

Per rispondere a questa domanda può essere utile disegnare alla lavagna i tre poligoni con i rispettivi assi di simmetria, come mostrato da questa figura:

FIGURA

Quindi questo poligono non è uguale ai precedenti e si chiama rombo.

Si può proseguire nella discussione (a seconda del livello della classe) con questi due spunti.

(1) Si può osservare che il quadrato è un particolare rettangolo (infatti si può “accorciare" un rettangolo fino a farlo diventare quadrato, vedi Figura a). Inoltre il quadrato µe anche un particolare rombo; infatti, se nella figura 3 tagliamo secondo una opportuna linea e riapriamo, abbiamo un quadrato (Figura b).

Figura a Figura b

Il quadrato è allora anche un rettangolo “precisino" e un rombo “precisino".

(2) Volendo, si può distribuire un altro foglio rettangolare per ogni alunno e fare rieseguire le pieghe delle figure 1 e 2 della costruzione. Successivamente, invece di tagliare il triangolo come nella figura 3, si invita ogni bambino a tagliare una linea

qualsiasi (anche mistilinea) che parta da un cateto del triangolo e arrivi sull'altro e che stia tutta all'interno del triangolo stesso (per avere i 4 strati di carta). Riaprendo il modello ritagliato si ottiene una figura strana che ha sempre 2 assi di simmetria.

Questo esempio rinforza il concetto che l'asse di simmetria produce due parti non solo uguali, ma che si sovrappongono perfettamente quando si piega (figure speculari).

LEZIONE DIALOGATA

Ogni alunno dispone del suo rombo sul quale sono già piegate le due diagonali.

A. Considerare uno dei vertici da cui parte la diagonale maggiore e due lati che partono da esso. Piegare tali lati sulla diagonale maggiore (figura 3 vecchia, senza riaprire)

Il quadrilatero che abbiamo ottenuto è un rombo?No. Infatti ha un solo asse di simmetria, quello che corrisponde alla diagonale lunga del rombo di partenza. Ma l’altra sua diagonale non è asse di simmetria.

B.Riaprire le pieghe appena fatte e portare gli altri due lati del rombo sulla diagonale più lunga (figura 3 vecchia) e riaprire.

Riuscite a riconoscere un rombo?Sì, le tracce delle pieghe fatte “disegnano un rombo al centro del foglio. Il suo asse di simmetria più lungo coincide con quello del rombo di partenza e quello più corto è una porzione dell’asse di simmetria più corto di quello di partenza.

C.Richiudere le pieghe fatte nel punto B. e voltare la frittata, arrivando al modello disegnati nella figura 5.seguiamo la piega; per verificare la simmetria, basta piegare il modello lungo la diagonale già piegata.

D.Portare il vertice bianco sulla diagonale in un punto a piacere in modo che la piega ottenuta stia sotto alla base del triangolo verde (figure 3 e 4). “Voltando la frittata”, si ottiene l’albero (figura 5).

Che tipo di simmetria presenta la figura? L'albero è simmetrico rispetto alla diagonale del quadrato di partenza.

La casa

Distribuire fogli di varie misure e colori, bianchi da un lato.

A.Colbianco sopra, piegare lungo le due mediane, riaprendo dopo ogni piega (figura 1).

Quanti quadratisi vedono?5, i quattro quadrati in cui resta suddiviso il foglio più il quadrato di partenza.

B.Portare un lato del foglio un pochino sopra la mediana ad esso parallela e piegare; la piega è arbitraria e pieghe diverse daranno luogo a tetti di misure differenti(figura 2).

La figura ottenuta è ancora simmetrica rispetto alle mediane del quadrato di partenza?Solo una delle mediane funziona da asse di simmetria.

C.Voltare la frittata ottenendo un rettangolo colorato. Piegare uno dei lati più corti sulla mediana del quadrato ad esso parallela(figura 3).

Questa figura è simmetrica rispetto alle due mediane di partenza?No, nessuna di esse funziona da asse di simmetria.

Come possiamo fare per renderla simmetrica?Potremmo piegare anche l'altro lato corto sull'asse del quadrato.

In generale i bambini suggeriscono subito la soluzione. Si può prendere spunto da questo per osservare che ai nostri occhi è gradita la simmetria e per fare esempi tratti dalla natura e dall'arte.

D.Piegare anche l'altro lato corto sull'asse del quadrato fino a farlo toccare con quello piegato in precedenza.

Tenendo i rettangoli colorati verso l'alto, osserviamo che la mediana del quadrato di partenza, che ora è in verticale, èproprio asse di simmetria.

E.Infilare l'indice sotto uno dei rettangoli colorati spingendo la carta verso l'esterno fino a quando la punta libera si sovrappone al lato lungo verticale e schiacciare. Ripetere dall'altra parte (figura 4). Il modello ora ricorda una camicia bianca con il colletto colorato.

Il modello mantiene ancora la simmetria?Sì, sempre rispetto alla mediana verticale.

Anche nelle pieghe successive, se i bambini sono sufficientemente precisi, si mantiene la simmetria assiale.

F.Piegare all'insù una punta del colletto della camicia fino ad ottenere un triangolo con il lato orizzontale che passa per il vertice esterno del colletto (figura 5, con la piega fatta a valle). Ripetere simmetricamente.

G.Una volta fatto ciò, ripiegare i due triangolini sotto al colletto (figura 5).

H.Portare la base della camicia fino all'altezza del “nodo della cravatta”; la piega deve permettere alla base di inserirsi sotto al colletto per essere bloccata (figure 6 e 7).

I.Ora “rigiriamo la frittata" (figura 8), ottenendo la casetta.

La casetta è ancora simmetrica? Certo, è simmetrica rispetto ad una delle vecchie mediane del quadrato.

Non ci sono altre pieghe di simmetria.

Il sole

Distribuire i foglietti gialli da un lato, bianchi dall’altro.

A.Col giallo sopra, piegare tutti gli assi di simmetria del quadrato, riaprendo dopo ogni piega (figura 1).

Quanti assi dobbiamo piegare?4, le due diagonali e le due mediane.

B.Portare un vertice sul centro del quadrato e, senza piegare, farlo scorrere verso l’esterno lungo la diagonale fino a che il segmento “giallo” dal centro al vertice e il segmento “bianco” sottostante sono circa uguali. A questo punto, piegare (figura 2).

C.Piegare lungo la diagonale (figura 3).

D.Piegare il triangolo giallo lungo la linea di cambio colore (figura 4).

E.Riaprire la diagonale, lasciando piegati i due triangoli bianchi (figura 5).

Gli assi di simmetria del foglio iniziale sono anche assi di simmetria del modello?Le due diagonali sì, ma non le due mediane.

F.Piegare una mediana del quadrato (figura6; la medianapuò risultare più evidente ruotando un po’ il foglio).

G.Piegare il triangolo giallo lungo la linea di cambio colore. Voltare la frittata e ripetere.(figure 7 e 8).

H.Riaprire la mediana, lasciando piegati tutti i triangoli bianchi; si ottiene la figura 9.

Gli assi di simmetria del foglio iniziale sono anche assi di simmetria del modello?

Sì, tutti (diagonali e mediane).

I.Riaprire tutto e voltare la frittata. Piegare portando tutti i vertici al centro (figura 10).

L.Portare i vertici del quadrato iniziale verso l’esterno piegando lungo le linee esistenti (figura 11).Voltare la frittata per ottenere il sole (figura 12).

Osserviamo che lo strato superiore di carta è un quadrato le cui mediane e diagonali corrispondono rispettivamente alle diagonali e mediane del quadrato di partenza.

Gli assi di simmetria del foglio iniziale sono anche assi di simmetria del modello? Controllare piegando il modello.Sì, tutti (diagonali e mediane).

CLASSE TERZA PRIMO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE

Confrontare ed analizzare figure geometriche individuando invarianti e relazioni



Individuare i vari tipi di retta in relazione ai rapporti spaziali fra rette: incidenza, parallelismo, perpendicolarità.

Riconoscere l’angolo retto e classificare gli angoli mediante il confronto rispetto all’angolo retto.

Rette incidenti, parallele, perpendicolari

Angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso

Seguendo le indicazioni dell’allegato 7, (piegatura del modello del cane) gli alunni andranno a “caccia” di coppie di rette con una determinata posizione reciproca: retteparallele, rette incidenti non perpendicolari, rette perpendicolari.

Seguendo le indicazioni dell’allegato 8, (piegatura del modello il becco) gli alunni potranno visualizzare gli angoli, classificandoli in acuti, ottusi e retti. N.B. Si prevede svolgere questo laboratorio dopo aver svolto una lezione in classe sulla classificazione e la nomenclatura degli angoli

Allegato 7 POSIZIONE RECIPROCA DI RETTE

Il cane

Materiale utilizzato: per ogni alunno, due fogli quadrati, colorati da un lato e bianchi dall’altro, meglio se con una differenza di lato di qualche centimetro (per esempio: 15 cm il lato di uno di essi e 12 cm l’altro). Possono anche avere due colori diversi.


Corpo del cane

Muso del cane

PRELIMINARI

Prima del laboratorio, occorre far riflettere gli alunni sulla differenza tra piega e retta e far loro prendere dimestichezza con l’osservazione delle rette e delle loro posizioni reciproche.

Per prima cosa, dato che la figura base è il quadrato, vogliamo che tutti siano convinti che i lati del quadrato sono a due a due perpendicolari tra loro. Prendiamo allora un foglio tipo memo (quadrato, di 10x10 cm circa), pieghiamo una sua mediana e, senza riaprire, pieghiamo la mediana corta del rettangolo ottenuto. Riapriamo il tutto

(Figura 1). Il foglio resta diviso in quattro parti uguali perché erano i quattro strati di carta che si sovrapponevano alla fine delle due pieghe. Per definizione le due mediane sono perpendicolari tra loro.

Prendiamo un quadrato e osserviamo che i lati uscenti da un vertice si possono prolungare come rette (la carta è un limite per il modello di retta, ma ci aiuta a vederla; Figura 2). Appoggiamo ora il vertice del quadrato nel centro del memo facendo in modo che un lato del quadrato sia su una mediana e l’altro lato sull’altra (Figura 3). Questo ci convince che i lati del quadrato sono tra loro perpendicolari.

A questo punto possiamo usare il foglio memo, detto “misuratore”, per misurare la perpendicolarità tra due rette tramite un vertice e i due lati uscenti da esso (si può parlare di angolo retto se noto alla classe).

Facciamo anche osservare che i lati del quadrato sono anche paralleli a due a due. Infine, lavoriamo sull’esempio illustrato qui nel seguito per far capire la differenza tra pieghe sulla carta e rette.

Prendiamo un foglio A4 sul quale abbiamo incollato un foglio colorato quadrato (Figura 1) in modo che i lati di quest’ultimo siano paralleli ai lati del rettangolo. Pieghiamo dentro al quadrato la retta “a” parallela al lato lungo del rettangolo (Figura 2). Facciamo

osservare che questa retta è parallela alle rette individuate dai due lati del quadrato e dai due del rettangolo. Però le rette individuate dai lati del quadrato non sono “disegnate”, ma dobbiamo immaginarle.

Ci sono anche altre situazioni che dobbiamo “immaginare”; per esempio, se pieghiamo la retta “b” come in figura, osservando solo la sua traccia nel quadrato non vediamo il punto di incidenza con la retta “a”. Dobbiamo prolungare il nostro sguardo su tutto il rettangolo per vedere questo punto (Figura 3).

Quindi in questo laboratorio per vedere le rette dobbiamo allungare lo sguardo, prolungando le pieghe fatte.

LEZIONE DIALOGATA

Si possono suddividere i ragazzi in gruppi di tre; in ogni gruppo ogni bambino è abbinato ad un tipo di posizione reciproca di rette (rette parallele, incidenti non perpendicolari, rette perpendicolari). Ogni studente si concentrerà prima di tutto nella ricerca delle rette che gli sono state assegnate e sarà il portavoce del risultato. Ovviamente potrà collaborare nella ricerca degli altri tipi di rette e potrà essere a sua volta aiutato dai compagni.

Durante il laboratorio, per brevità , scriveremo (e diremo) “tipi di rette” invece che “rette con un certo tipo di posizione reciproca”) e “rette incidenti” invece che “incidenti non perpendicolari”.

Il corpo del cane

Ad ogni alunno dare 2 fogli quadrati, colorati da un lato e bianchi dall’altro.

Si possono usare della stessa dimensione o con le lunghezze dei lati che differiscano di un paio di centimetri circa.

Per piegare il corpo del cagnolino, prendere ora il quadrato più grande

(se sono stati dati di misure differenti)

A.Pieghiamo una diagonale e riapriamo (figura 1).

Caccia alle rette!I lati opposti del quadrato sono paralleli e quelli che partono da uno stesso vertice sono perpendicolari. La diagonale `e incidente a tutti i lati del quadrato.

B.Piegare ora un lato del quadrato parallelamente a se stesso in modo che la parte colorata che appare sia di circa 1 ,5 cm (figura 2; eseguire solo la piega indicata dalla freccia 1).

Chefigura abbiamo ottenuto?Un rettangolo diviso in altri due rettangoli, uno bianco più grande e uno colorato più piccolo.

Caccia alle rette!Riferendosi alla figura qui sotto (e tralasciando le rette già discusse), la retta “e” è parallela a due lati del rettangolo bicolore, ortogonale agli altri due e incidente alla diagonale.

C.Piegare ora il lato verticale destro del rettangolo bicolore parallelamente a se stesso in modo che la parte colorata che appare sia di circa 1,5 cm, come prima (figura 2; freccia 2). Si ottiene la figura 3.

Caccia alle rette!Le osservazioni sono simili a quelle del punto precedente.

D.Sollevare leggermente l’ultimo strato di carta piegato e portare verso il basso il vertice del quadrato che è stato piegato all’interno (figura 3). Appiattire ottenendo il modello illustrato nella figura 4.

Caccia alle rette!Si ha solo una nuova retta: quella che sostiene il lato lungo “f” (l’ipotenusa) del triangolo che si è formato esternamente al quadrato. Questa retta è obliqua rispetto ai due lati colorati della figura. E’ interessante chiedere se “f” è ortogonale alla diagonale del quadrato che abbiano tracciato con la prima piega. Per verificarlo, facciamo usare il “misuratore” appoggiando un lato del memo sulla diagonale e facendolo scorrere fino a che l’altro lato poggi sulla retta “f”, come mostrato nella figura sottostante.

E.Voltiamo la frittata (nessuna nuova retta). Vediamo un quadrato colorato e in triangolino che spunta in basso a sinistra. Portiamo il vertice in basso a sinistra del quadrato colorato sulla diagonale del quadrato in modo che la piega passi per il punto di incontro dei due rettangoli colorati formati sul retro (figura 5). Per facilitare questa operazione diciamo ai bambini di appoggiare il vertice sul centro (circa) della diagonale, senza schiacciare; in questo modo vedranno sia parte dei rettangoli colorati, sia una parte bianca. Facciamo poi scorrere verso il basso il vertice fino a che non scompare la parte bianca. A questo punto schiacciamo.

Caccia alle rette!Alcune rette sono già state analizzate prima del “volta la frittata”. I ragazzi possono ripetere eventualmente le posizioni reciproche dato che i colori sono cambiati. Rispettoalla figura riportata qui di seguito, abbiamo:

le rette a i, per i = 1,2,3,4 sono parallele tra loro, ortogonali alle retteb j, per j = 1,2,3 e incidenti alle ck, per k = 1,2 e a d1. La retta c1è parallela alla c2ed entrambe sono perpendicolari alla d1(gli studenti se ne possono assicurare con il “misuratore”) e incidenti alle b i, per i = 1,2,3.

F.Voltiamo la frittata e pieghiamo lungo la diagonale (figura 7) ottenendo il modello della figura 8. Possiamo farlo posizionare sul banco come in figura 9.

Caccia alle rette!La discussione è abbastanza semplice. L’osservare più delicata è che i due triangoli (isosceli) in cui è divisala “codina” hanno due lati perpendicolari tra loro; possiamo sempre fare usare il “misuratore” per accertarcene.

Il muso del cane

Utilizzare ora l’altro foglio.

A.Appoggiare il quadrato sul banco con il bianco sopra. Piegare una diagonale e riaprire, piegare l’altra diagonale e lasciare chiuso il modello

(figura 1). Appoggiare sul banco come in figura 2.

Caccia alle rette!La retta alla base del triangolo è incidente a quelle dei lati obliqui. La piega verticale, che corrisponde alla prima diagonale piegata, è ortogonale alla base e incidente ai lati obliqui. Infine, i due lati obliqui sono perpendicolari tra loro. Non occorre il “misuratore” perché sono i due lati del quadrato.

B.Portare il vertice in alto del primo strato di carta sul piede dell’altezza del triangolo (cioè sul punto dove la retta verticale è incidente a quella orizzontale; figura 2). Si ottiene la figura 3.

Caccia alle rette!Qui gli alunni si possono sbizzarrire perché compare un gran numero di rette. Ne segnaliamo solo alcune tralasciano quelle elencate nel punto precedente.

Nel quadrato bianco che si è formato sono evidenti le diagonali che sono perpendicolari tra loro e alle due rette che delimitano le due zone di colori diversi. Queste ultime due rette sono tra loro perpendicolari perché lati del quadrato bianco. Inoltre ognuna di esse è parallela ad un lato obliquo del triangolo e perpendicolare all’altro.

C.Piegare un triangolo colorato lungo la linea che lo divide dal quadrato bianco e riaprire (figura 3). Ripetere anche con l’altro triangolo colorato. Non faremo nessuna discussione perché non si ottengono nuove rette.

D.Considerato un triangolo colorato, portare la sua base sul lato obliquo che lo divide dal quadrato bianco, piegare e riaprire (figura 4). Si è formata una nuova retta.

Caccia alle rette!Come si può vedere dalla figura qui sotto, questa retta è incidente nel punto A alle due rette che separano i triangoli colorati dal quadrato bianco, alle rette orizzontale e verticale per A, rispettivamente base e altezza del triangolo grande .

Inoltre, nuova retta è incidente ad entrambi i lati obliqui del triangolo grande. Per uno di essi è immediato vedere il punto di intersezione, per l’altro occorre prolungare lo sguardo, come mostrato nella prossima figura:

Ripetere la piega anche nell’altro triangolo colorato. La discussione sulle rette è analoga. Va in più osservato che le ultime due pieghe fatte sono incidenti nel punto A e non sono perpendicolari.

E.Infilare un dito sotto il primo strato di carta del triangolo colorato di destra e spingere delicatamente verso l’esterno, schiacciando a monte la linea piegata in figura 4 (figura 5). Ripetere anche con il triangolo colorato di sinistra ottenendo il modello disegnato in figura 8. Portare la base del triangolo colorato sul lato obliquo interno. Piegare e riaprire. Ripetere anche sull’altro triangolo colorato ottenendo la figura 6.

Caccia alle rette!Riferendoci alla figura di seguito:

se le pieghe sono state eseguite con cura, la retta “a” `e parallela alla “b” a perpendicolare alle rette “c”,“d” ed “e”. Lasciamo al lettore la discussione sulle rette incidenti.

F.Piegare ora a valle un triangolino sulla punta bianca in alto e a monte due triangolino sulle punte esterne colorate, come mostrato in figura 6. Il risultato è mostrato dalla figura 7.

Caccia alle rette!Qui facciamo solo osservare che la piega che ha prodotto il triangolo colorato in alto è parallela alle rette “a” e “b” del punto precedente.

G.Infilare la testa del cane sul corpo come mostrato in figura 9. Se si tocca con delicatezza il naso del cagnolino, la testa dondola.

Allegato 8 CLASSIFICAZIONE DEGLI ANGOLI

Il becco

Materiale utilizzato: per ogni alunno, un foglio quadrato, colorato da un lato e bianco dall’altro. Vanno bene i classici fogli origami di lato 15 cm.


Il becco

PRELIMINARI

Si suppone che la classe conosca le definizioni di angolo retto, acuto e ottuso.

Le osservazioni principali di questi preliminari riguardano l’angolo retto:

si chiama angolo retto una delle quattro parti nelle quali il piano resta diviso da due rette perpendicolari.

Vogliamo mostrare con la carta la definizione per osservare meglio come riconoscere e verificare che un angolo sia retto anche quando ne abbiamo uno solo e non possiamo vedere la quattro parti uguali nelle quali resta suddiviso il piano.

Pieghiamo un foglio di carta lungo una linea qualsiasi; ripiegando la piega ottenuta su se stessa otteniamo un angolo retto.

Infatti abbiamo sovrapposto 4 strati di carta uguali.

Alcuni studenti potrebbero osservare che, lontano dal vertice dell’ultimo angolo formato, gli strati di carta non si sovrappongono più.

Si ribadisce che la cosa importante è vedere cosa succede vicino al vertice. Per convincere gli alunni usiamo un goniometro e tracciamo un arco di centro il vertice e raggio abbastanza piccolo da stare negli strati completamente sovrapposti.

Ritagliamo lungo questo arco e mostriamo che abbiamo effettivamente quattro strati sovrapposti. A questo punto riapriamo la figura e vediamo un cerchio diviso in 4 parti: ognuna di esse è un angolo retto.

Per aver modo, durante il laboratorio, di misurare gli angoli retti, distribuiamo dei semplici fogli memo quadrati.

Mostriamo che, ogni foglio copre un quarto di cerchio e occorrono 4 fogli per coprirlo tutto.

Questo ci fa capire che l’angolo tra due lati del quadrato è retto.

Osserviamo che questo vale per ogni quadrato e non dipende dalla lunghezza dei suoi lati; possiamo visualizzarlo posizionando un foglio memo piccolo all’interno di un foglio quadrato più grande, come mostrato in questa figura:

Analogamente possiamo “misurare” gli angoli interni di un rettangolo, mostrando che anche in questa figura risultano tutti retti.

Per rendere più semplice le osservazioni degli angoli durante la piegatura è possibile anche visualizzare quello che succede in un rombo.

Riferendoci alla figura qui sopra, sempre utilizzando il foglio memo quadrato come “misurometro”,scopriamo che l’angolo in A è più piccolo di un angolo retto e quello in B è più grande. (Le stesse considerazioni valgono per gli angoli ad essi simmetrici). L’angolo in A si chiama acuto e quello in B ottuso.

Durante il laboratorio, il nostro “misurometro” ci permetterà allora di dire con sicurezza se un angolo è retto (uguale a quello in un suo vertice), acuto (più piccolo di quello in suo vertice) o ottuso (più grande di quello in un suo vertice).

LEZIONE DIALOGATA

È’ possibile gestire l’attività come gioco nel quale gli studenti partecipano a squadre o singolarmente.Nel caso di divisione in squadre, può essere lasciato al centro del tavolo di ogni squadra un foglio quadrato più grande che gli studenti piegheranno a turno. In questo modo verranno visualizzato meglio gli angoli dei passaggi conclusivi.

Se servisse per chiarire di quali angoli si stia discutendo, il risultato finale di ogni passaggio di piegatura può essere disegnato alla lavagna. Si può anche fare uscire a turno uno studente alla lavagna per mostrare alla classe l’angolo che ha trovato alla classe. Per non essere ripetitivi nelle osservazioni si chiede ai bambini, dopo ogni piega, di cacciare solo i nuovi angoli.

Di seguito riporteremo tutte le istruzioni sulle pieghe da effettuare, ma discuteremo indettaglio solo gli angoli di alcune delle figure che via via si formeranno.

Ad ogni alunno distribuire 1 foglio quadrato, colorato da un lato e bianco dall’altro

A.Appoggiare i quadrati sul banco con il bianco sopra. Piegare una diagonale e riaprire (figura 1).

Caccia agli angoli!La diagonale divide due angoli retti del quadrato in due angoli acuti.

B.Si porta un lato del quadrato lungo la diagonale (figura 2) e si piega ottenere il risultato mostrato nella figura 3 che qui riportiamo avendo nominato i vertici con le lettere (per comodità del lettore di queste note).

Caccia agli angoli!Gli angoliCEB ed AEB sono retti (il secondo è quello del quadrato iniziale ma molti alunni lo segnaleranno lo stesso perché ha cambiato posizione e colore). La loro somma, l’angolo CEA è piatto (se non lo si è ancora fatto in precedenza potrebbe essere uno spunto per introdurlo). Osserviamo anche che l’angolo bianco opposto a questo bicolore è sempre piatto.

Gli angoliCBE,EABe [EBA sono acuti.

Infine, l’angolo bicolore ABCè ottuso. Per misurare che si tratta effettivamente di un angolo ottuso, possiamo appoggiare il memo, internamente alla figura, con un lato sovrapposto al segmento ABe osservare che esso non copre tutto l’angolo ABC. Quindi l’angolo in questione è ottuso.

C.Eseguiamo la piega simmetrica alla precedente come indicato in figura 3. Si ottiene il risultato mostrato nella figura 4.

Caccia agli angoli!Basiamoci sulla figura che segue.

Ovviamente ci sono tutti gli angoli simmetrici a quelli ottenuti con la piega precedente, che qui non ripeteremo e l’angolo DEB (sia colorato, sia bianco), piatto.

D. Portiamo ora uno dei lati del quadrato che non abbiamo ancora piegato, sulla diagonale (una delle pieghe della fig. 4). Si ottiene il risultato mostrato in questa figura:

Caccia agli angoli!L’ angolo ACF è acuto; si può anche far notare che esso è uguale all’angolo

CAF: infatti, entrambi sono stati ottenuti facendo la metà della metà dell’angolo rettocon pieghe del tutto analoghe.Anche gli angoliFCD, GFCe AGF sono acuti.Invece, l’angoloCGFè ottuso.Infine, anche se non è semplice da vedere (ma lo si può far

verificare con il solito “misurometro”), l’angolo AFGè retto.Anche l’angoloDECè retto; peròquest’angolo era presente anche nella figura precedente anche se qui si vede meglio per il contrasto

tra la parte colorata e quella bianca.

Il punto G diventa vertice di due angoli piatti.

E.Ripetere la piega precedente in modo simmetrico rispetto alla diagonale iniziale (vedi figura 4). Si ottiene la figura 6 che riportiamo qui con segnati i vertici, senza le indicazione della piega successiva.

Come prima, utilizziamo la figura per la discussione della caccia all’angolo e non discutiamo gli angoli simmetrici rispetto a quelli della discussione precedente.

Che figura abbiamo ottenuto?Un rombo; infatti ha quattro lati e due assi di simmetria, le due diagonali.

Caccia agli angoli!L’angoloFCHè acuto ed è uguale a all’angoloHAF (possiamofarlo verificare anticipando la mossa della piega mostrata in figura 5, senza eseguirla completamente per non creare nuovi segmenti e quindi nuovi angoli).

In G si formano, tra gli altri, due angoli ottusiHGF: uno concavo (contenente il puntoC) e uno convesso (contenente il punto A).

F.Piegare ora rispetto all’asse di simmetria più corto del rombo (figura 5). Otteniamo un triangolo nel quale resta segnata l’altezza.

Caccia agli angoli!Qui la caccia è semplice e lasciamo al lettore le considerazioni sugli angoli.

G.Portiamo ora una sola punta del triangolo sul piede dell’altezza del triangolo stesso (figura 6), ottenendo il risultato visibile in figura 7.

Volendo si possono ora fare domande differenti, più precise, per abituare gli studenti a osservare meglio e a giustificare in modo più preciso.

Per la solita caccia lasciamo le osservazioni al lettore. Proseguiamo invece con una

domanda specifica, facendo riferimento alla figura che riportiamo di seguito, un poco

ingrandita e con i vertici individuati dalle lettere.

Ci sono angoli congruenti (uguali) tra loro? Trovateli e spiegate perché sono “uguali”.Si dimostra facilmente che il triangolo grande è suddiviso in quattro triangoli isosceli congruenti (HIM, MLF, ILM e CIL). Quindi, per esempio, è facile dedurre che gli angoli acuti alle basi di tali triangoli piccoli sono, a loro volta, tutti congruenti. Si possono fare considerazioni analoghe per gli angoli opposti alle basi. Da queste considerazioni discendono anche congruenze sugli angoli ottusi somma di due acuti congruenti. Nelle spiegazioni che seguono, le congruenze verranno giustificate da un punto di vista più elementare.

Osserviamo alcune uguaglianze tra gli angoli, dividendoli in retti, piatti, acuti e ottusi.

Gli angoli retti sono tutti uguali (congruenti) tra loro. Quindi i quattro

angoli retti di vertice N e i due angoli retti di vertice M sono tutti uguali.

Anche tutti gli angoli piatti sono uguali (sono la somma di due retti).

Quindi gli angoli piatti di vertice I, L ed M e gli angoli piatti che si formano in N come somma di due retti adiacenti, sono tutti uguali.

Descriviamo alcuni insiemi di angoli acuti congruenti, giustificando la loro congruenza. I ragionamenti sono sostanzialmente di due tipi: uno parte dall’osservazione che CM è asse di simmetria per la figura e l’altro

dal fatto che se due angoli di carta si sovrappongono perfettamente, gli angoli da essi formati sono congruenti. Questi due modi di ragionare sono molto preziosi anche per i laboratori futuri e sono basilari nell’approccio origami alla geometria.

Facciamo quindi osservare ai bambini che CM è asse di simmetria e quindi, angoli che si corrispondono nella simmetria (cioè angoli che si sovrappongono quando pieghiamo il modello lungo l’asse), sono congruenti.

Quindi, per esempio, CIL= CLI , CHF=CFH , HIM=MLF e HCM=FCM .

Se si fa osservare agli alunni la simmetria, non sarà difficile per loro trovare altri angoli. Non ha importanza però che li trovino tutti, altrimenti il laboratorio diventa troppo lungo e noioso.

Osserviamo adesso gli angoli che sono formati da parti di carta che si sovrappongono con una piega opportuna. Per esempio l’angoloCLI si sovrappone a ILM quando si riporta verso l’alto il triangolo di vertici I, L ed M piegato nell’ultimo passaggio. Quindi questi angoli sono uguali. (Analoga osservazione si può fare per i loro simmetrici di vertice in I). Aggiungendo questa informazione a quelle trovate nel punto precedente, abbiamo che

CLI= ILM= CIL.

Sempre per sovrapposizione possiamo dire cheFCM=CMLe quindi ancheFCM=CML = HCM , per l’uguaglianza dedotta dalla simmetria.

Lasciamo la scoperta di altri angoli acuti congruenti al lettore e agli studenti.

Per quanto riguarda gli angoli ottusi, gli alunni potrebbero fare più fatica a vederli perché, in questa figura, sono “spezzati” nella somma di due angoli acuti. In questo caso si può anche solo fare un esempio, colorando l’angolo su un disegno fatto alla lavagna. L’angoloCIM=CLMperchè sono corrispondenti nella simmetria rispetto all’asse CM (oppure perché somma di angoli

congruenti. Abbiamo anche IMF=LMH , per gli stessi motivi. In questo caso è più facile giustificare l’uguaglianza vedendoli come somma di angoli congruenti.

H.Portare la metà superiore del lato obliquo del triangolo sul segmento orizzontale formato dalla piega precedente (figura 7).

I.Portare la punta piegata in figura 6 sul punto più esterno ottenuto nella piega precedente (figura 8).

Suggeriamo ora solo una domanda interessante. Sarà l’insegnante a scegliere se proseguire la caccia a tutti gli angoli o farne cercare solo alcuni, in relazione alla lunghezza del laboratorio e all’interesse dei bambini.

Ci sono angoli retti?L’angolo di vertice il punto più esterno ottenuto con lapiega precedente è retto.Per verificarlo i bambini possono utilizzare il “misurometro” oppure si può mostrare questo fatto osservando che l’angolo è ottenuto dalla somma dei due angoli piegati nelle figure 7 e 8, ognuno dei quali vale metà di un angolo retto (per sovrapposizione di due strati di carta ottenuti dagli angoli retti del quadrato iniziale).

L.Riaprire le ultime due pieghe (figura 9; si ottiene la figura 10).

M.Ripetere a destra le pieghe che abbiamo effettuato nei punti H e I di questa lezione (figura 11).

N.Senza riaprire, voltare la frittata e piegare il modello lungo l’asse del segmento di base (figura 12).

O.Mettere in piedi il modello e dare un po’ di forma al becco.

Ora, tenendo con le due mani la base del modello e allargando e stringendo tale base, il becco del pellicano si aprirà e chiuderà . Con i più piccoli si può anche giocare a raccogliere palline di carta nel minor tempo possibile !

CLASSE TERZA SECONDO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



NUMERI

Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica

L'alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e razionali e sa valutare l'opportunità di ricorrere alla calcolatrice.

Operazioni cognitive:leggere, scrivere, cogliere, rappresentare, riconoscere, analizzare, attribuire, confrontare, ordinare, calcolare, eseguire, formulare, interpretare, costruire, stimare.

Rappresentare graficamente frazioni di un intero.Conoscere l'unità frazionaria e le frazioni complementari.Trovare la frazione che rappresenta parti di un intero. Trovare la parte corrispondente ad una frazione data.

La frazione come parte di un intero.

Seguendo le indicazioni dell’allegato 9, (piegatura del modello il pesce) gli allievi avranno la possiblità di osservare una realizzazione concreta del concetto, inizialmente non intuitivo, di frazione. Scopo del laboratorio è quello di scovare delle frazioni che rappresentino, rispetto al tutto, la parte bianca e colorata del modello che si sta piegando. Oltre che di frazioni complementari, si potrà parlare anche di frazioni equivalenti, osservando che, nel modello, esse rappresentano la stessa porzione di figura

Allegato 9 LE FRAZIONI

Il pesce fratto

Materiale utilizzato:per ogni alunno, un foglio quadrato, colorato da un lato e bianco dall'altro; possono essere distribuiti fogli di misure diverse(dai 12 cm ai 18cm circa).


LEZIONE DIALOGATA

A. Colore sopra, piegare una mediana e riaprire (figura 1).

Rispetto al quadrato di partenza, quanto vale ognuno dei due rettangoli nei quali la figura è stata divisa?Ogni rettangolo vale metà quadrato, cioè 1/2.

B.Piegare i due lati paralleli alla mediana sulla mediana e riaprire (figura 2).

Dopo aver riaperto una sola piega, possiamo chiedere

Quanto vale il rettangolo bianco rispetto al tutto? E quello colorato?Il rettangolo bianco vale 1/3 della figura, mentre quello colorato vale 2/3.

C. Piegare ora l’altra mediana e riaprire (figura 3).

Qui si possono indicare alcuni rettangoli e chiedere che frazione formino del tutto. Nella figura che segue, ne abbiamo evidenziati alcuni con colori diversi. L’educatore farà un disegno alla lavagna, indicando di volta in volta il rettangolo in gioco. Proponiamo alcune domande tra quelle possibili.

Quanto vale il rettangolo giallo?Il rettangolo giallo vale 1/8 della figura.

Quanto vale il rettangoloarancione?Il rettangolo arancione vale 2/8 della figura. Vale anche 1/4. Quindi 2/8 e 1/4 sono frazioni equivalenti perché indicano la stessa porzione di figura.

È opportuno far notare ai ragazzi che il rettangolo arancione è in effetti un quadrato.

Ci sono anche rettangoli diversi dal quadrato che valgono 2/8?Sì, quelli che avevamo ottenuto prima dell’ultima piega.

Quanto vale il rettangolo azzurro?Il rettangolo azzurro vale 4/8 della figura. Vale anche1/2. Quindi 4/8 e1/2 sono equivalenti perché indicano la stessa porzione di figura.

D.Dobbiamo finire di quadrettare il foglio. Portiamo i lati paralleli all’ultima piega fatta sulla piega stessa e riapriamo (figura 4).

Analogamente a prima, se facciamo riaprire solo una delle due pieghe, possiamo chiedere

Quanto vale la parte bianca, rispetto al tutto? E quella colorata? Se usiamo come unità di base i quadretti che si sono formati, la parte bianca vale i 4/12 del tutto, quella colorata gli 8/12.

Che cosa puoi osservare se “metti insieme” le frazioni?Le frazioni sono complementari perché la loro somma corrisponde alla figura bicolore che vediamo.

Sai esprimerle in frazioni equivalenti, aiutandoti con la figura?Possiamo pensare la figura divisa in tre rettangoli uguali (uguali a quello bianco). La parte bianca vale 1/3 e quella colorata 2/3. Dunque 1/3 è una frazione equivalente a 4/12 e 2/3 è equivalente a 8/12.

Se lo ritiene opportuno, l’educatore può anche proseguire il gioco delle frazioni equivalenti. Per esempio, si può scegliere come tassello di base il rettangolo formato da due quadretti. Volendo,può anche porre alcune domande analoghe a quelle in C, ma non ci sono nuove osservazioni. Suggeriamo di aspettare la piega successiva per continuare la discussione.

E. Le pieghe fatte formano una griglia sul foglio di partenza, dividendolo in 16 quadretti. Piegare lungo le diagonali due quadretti corrispondenti a due vertici consecutivi, portando i vertici verso l’interno della foglio (figura 5). Si ottiene la figura 6.

Quanto valgono la parte bianca e quella colorata rispetto al tutto?Scegliamo come unità il triangolino bianco t appena piegato; allora possiamo pensare l’intera figura come formata da 30 triangolini. La parte bianca vale 2/30 e quella colorata vale 28/30 (frazione complementare di 2/30). Invece,scegliendo come unità il quadretto q (che vale 2t), abbiamo che la parte bianca vale 1/15 del tutto e quella colorata vale la frazione complementare 14/15; inoltre, le frazioni 2/30 e 1/15 sono equivalenti, così come 28/30 e 14/15.

F. La forma ottenuta ha un solo asse di simmetria (una mediana del foglio di partenza).Piegare su tale asse i lati ad esso paralleli (figura 6), ottenendo la figura 7.

Quanto valgono la parte bianca e quella colorata rispetto al tutto se usiamo come unità di base il triangolo colorato?La parte colorata vale 1/8 e quella bianca vale 7/8 (frazioni complementari).

E se usiamo come unità di base uno dei quadretti bianchi?La parte colorata vale sempre 1/8 e quella bianca 7/8. Infatti il quadretto e il triangolo hanno la stessa estensione, cioè occupano lo stesso “spazio”.

Se lo si ritiene opportuno, si introduce il termine “equiestesi” riferito ai due poligoni.

Si può anche far proseguire la discussione con altre scelte dell’unità di base (per esempio, usando il triangolino t,si troveranno le frazioni 2/16 e 14/16, rispettivamente equivalenti a 1/8 e 7/8).

G.Portare ora il lato “colorato” del rettangolo sul lato corto opposto, piegando lungo la mediana corta (figura 7).

H.Piegare lo strato superiore lungo le diagonali,riaprendo dopo ogni piega (figura 8). Notare che, piegando una diagonale, si vede di nuovo, in altra posizione, il triangolo colorato della figura 7.

I.Piegare lo strato superiore lungo la mediana (figura 9). Il triangolo colorato della figura 7 riappare e si arriva alla figura 10.

Quanto valgono la parte bianca e quella colorata rispetto al tutto?Se usiamo come unità il triangolo colorato o il quadretto, valgono 3/4 e 1/4 rispettivamente (6/8 e 2/8 se usiamo il triangolino t).

I.Sollevando un po’ il rettangolo con il triangolo colorato e premendo su metà lato “bianco” alla volta,spingere i triangolini bianchi sotto il triangolo colorato, poi appiattire (figura 10). Si ottiene la figura 11.

L. Sollevando il triangolo colorato, “aprire” esternamente, metà alla volta, la parte bianca superiore, liberando così la carta bloccata all’interno, poi appiattire(figura 11). Si ottiene la figura 12.

Quanto valgono la parte bianca e quella colorata rispetto al tutto se usiamo come unità di base il triangolo colorato?La parte colorata vale 5/7 e quella bianca vale 2/7.

C’è un’altra unità di base con la quale si ottiene lo stesso risultato?Sì, il quadretto.

Se usiamo come unità il triangolino t, quali frazioni otteniamo?La parte colorata vale 10/14 e quella bianca vale 4/14.

M.Voltare la frittata e piegare portando ogni metà del lato di base sull’asse di simmetria(verticale), come mostrato in figura 13. Si ottiene la figura 14.

Questo è l’ultimo passo in cui faremo domande matematiche. Questa volta lasceremo liberi i ragazzi di scegliere l’unità di base

Quanto valgono la parte bianca e quella colorata?Scegliendo il triangolino colorato t, abbiamo che la parte colorata vale 2/9 e quella bianca vale 7/9.

N.Portare ora ogni metà del lato lungo sull’asse di simmetria verticale (figura 14).

O.Sullo strato superiore, piegare le bisettrici degli angoli di 45º che abbiamo appena “creato” (figura 15). Si ottiene la figura 16.

P.Voltare nuovamente la frittata. Ecco pronto (figura 17) il nostro pesce fratto!

CLASSE QUARTA PRIMO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE




Riconoscere e misurare i vari tipi di angolo utilizzando il goniometro.

Classificare i triangoli in base agli angoli

Angolo retto, angolo acuto, angolo ottusoIl goniometro

Triangolo rettangolo, triangolo acutangolo, triangolo ottusangolo

Seguendo le indicazioni dell’allegato 10, si procede alla costruzione di un goniometro di carta che permette di misurare angoli multipli di 15o. L’unico prerequisito richiesto è che gli studenti sappiano che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180o e che il triangolo equilatero ha gli angoli tutti uguali (di 60o)

Seguendo le indicazioni dell’allegato 11, si piegheranno, a partire da diversi tipi di triangoli, delle barche di carta. I ragazzi potranno osservare che, anche se vengono effettuate pieghe analoghe, la posizione finale reciproca delle vele delle barche dipenderà

fortemente dalla caratteristica del triangolo di partenza. Addirittura, nel caso del triangolo equilatero, particolare tipo di acutangolo, le vele scompariranno e avremo un canotto

Allegato 10 MISURAZIONE DEGLI ANGOLI

Il goniometro

Materiale utilizzato: per ogni alunno, un foglio quadrato, colorato da un lato e bianco dall’altro. Vanno bene i classici fogli origami di lato 15 cm. Per l’insegnante è consigliato un foglio quadrato, colore da un lato e bianco dall’altro, ma più grande (anche 30 cm di lato).


Il goniometro

DA INSERIRE

LEZIONE DIALOGATA

Ad ogni alunno distribuire 1 foglio quadrato, colorato da un lato e bianco dall’altro

A.Appoggiare i quadrati sul banco con il bianco sopra. Piegare una mediana e riaprire (figura 1).

B.Dobbiamo ora portare il vertice in basso a destra sulla mediana e piegare in modo che la piega passi dal vertice in basso a sinistra. Per fare questo più facilmente possiamo consigliare ai ragazzi di portare il vertice in basso a destra sul punto della mediana ad esso più lontano, senza piegare, e farlo scorrere fino a che la piega che verrebbe dall’appiattimento della carta non passi per il vertice in basso a destra (figura 2). Segniamo con una matita il punto che determiniamo sulla mediana.

C.Riapriamo la piega fatta e uniamo con una matita i due vertici alla base del quadrato con il punto segnato precedentemente sulla mediana. Consideriamo ora il triangolo che ha come lati i due segmenti disegnati e la base del quadrato.

Figura A con lettere sul vertici (ABCD quadrato E punto interno, F)

Che tipo di triangolo abbiamo?Il triangolo è evidentemente isoscele perché simmetrico rispetto alla mediana. Ma è anche equilatero perché il segmento AB è stato portato su AE dalla piega effettuata in precedenza.

Segna tutti i valori degli angoli che conosci. Partendo dal fatto che il triangolo ABE è equilatero segniamo gli angoli di 60o. Inoltre, ricordando che A=90o, abbiamo che l’angolo DAE=30o.

Poiché la piega AF realizzata nella figura 1 è bisettrice dell’angolo EAB=60o, vale anche che FAB=30o e allora, guardando il triangolo rettangolo ABF si ha che AFB=60o. Inoltre AFC=1200(basta guardare l’angolo piatto in F).

Figura A’ con lettere a angoli

D. Richiudiamo la piega della figura 2 e portiamo il lato verticale (indicato con AB nelle figura A) sulla linea di cambio colore(lato AE) (figura 3).

Basiamoci sulla figura seguente per le prossime domande e risposte. Per portare avanti la discussione l’insegnante può disegnare una figura simile alla lavagna o mostrare gli angoli sul suo foglio.

Figura B con lettere

Cosa rappresenta questa piega per l’angoloDAE?La piega rappresenta la bisettrice di tale angolo perché la carta viene sovrapposta perfettamente in due strati.

Quanto misura l’angoloGAE?Essendo stata piegata la bisettrice, l’angolo DAE=150 .

Quanto misura l’angolo AGE?Notiamo che l’angolo AEG=900perchè è l’angolo del quadrato di partenza.

Quindi AGE=1800− AEG−GAE=1800−900−150=750 .

Quanto misurano gli angoliGFC e FGC?L’angolo AFEè stato ottenuto portando il vertice B su E e quindi ha la stessa misura dell’angolo AFB=600 . In totale, il foglio bianco in F (prima di piegare) formava un angolo di 1200; ora la parte colorata ne ha coperti due strati da 600 e quindi l’angolo bianco rimanenteGFC vale 1800−2600=600.

Immediatamente abbiamo che FGC=1800−900−600=300 .

A questo punto possiamo fissare le idee sulle possibilità di misurazione di angoli che ci dà il goniometro aperto (quando sarà si perderanno alcune misure):

Figura B’ completa con lettere

Notiamo che, oltra agli angoli segnati, si possono ovviamente misurare angoli ottenuti accostando (cioè sommando) due angoli consecutivi.

Per esempio GAF=450, AGC=1050 , AFC=1200 .

Riassumendo: abbiamo angoli di 150 ,300 ,450 ,600 ,750 ,900 ,1050 ,1200 .

E.Piegare ora lungo la linea di cambio colore (figura 4; senza riaprire)..

Figura C

Che tipo di triangolo è GAC’?

Utilizzando le misure degli angoli, abbiamo che AGC=750−300=450=GAC '. Si tratta dunque di un triangolo rettangolo isoscele.

F.Riaprire un pochino la piega (figura 4) e completare il modello intascando l’ultimo triangolo piegato (figura 5). Si ottiene il goniometro tascabile della figura 6.

A questo punto si può piegare un semplice modello origami e calcolarne gli angoli. Se compaiono multipli di 150le misure possono essere fatte abbastanza precisamente. Anche se il modello presentasse angoli non multipli di 150è possibile fare un esercizio di approssimazione. che è comunque molto utile, osservando tra quali multipli di 150 si pone l’angolo scelto da misurare. Per esempio, di fronte ad un angolo acuto possiamo cominciare a chiedere se misuri più o meno di 450; se misurasse di più potremmo allora confrontarlo con l’angolo di 600 e così via.

Allegato 11 LA CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI

Barche

Materiale utilizzato: per ogni alunno, un triangolo rettangolo isoscele, metà folio quadrato di circa 15 cm, e un altro triangolo qualsiasi, entrambi colorati da un lato e bianco dall’altro. Suggeriamo di tenere stesse sfumature di colore per triangoli dello stesso tipo, per raggruppare più facilmente e con un bell’effetto visivo i triangoli della stessa famiglia.


La barca (dal triangolo rettangolo isoscele)

1 2 3

5

..

4

LEZIONE DIALOGATA

Distribuire inizialmente, per ogni alunno, un triangolo rettangolo isoscele.

Discutere con i ragazzi le caratteristiche di questo triangolo.

A. Bianco sopra. Portare un vertice della base sull’altro, piegare e riaprire(figura 1).

Cosa rappresenta per il triangolo questa piega?La piega passa per il vertice opposto al lato lungo (lato opposto all’angolo di 900; tale lato è detto ipotenusa) ed è perpendicolare all’ipotenusa stessa: è dunque l’altezza relativa all’ipotenusa e, per questo particolare triangolo, è anche asse di simmetria.

Queste osservazioni serviranno poi a capire come generalizzare le regole di piegatura per triangoli qualsiasi.

B. Portare ora il vertice relativo all’angolo retto sul piede dell’altezza appena piegata (il piede è il punto di incontro dell’altezza con il lato ad essa relativo) e piegare (figura 2).

Che figura geometrica si ottiene?Un trapezio isoscele.

Si può far notare che il triangolo colorato è congruente a ognuno dei due bianchi.

C.Piegare ognuno dei due triangoli bianchi lungo la linea di cambio colore, portando i due vertici della base maggiore verso il basso (figura 3).

D.Sotto ai due triangoli superiori compare un altro triangolo il cui lato lungo è opposto al vertice comune ai due triangoli superiori. Portare ora il vertice comune dei due triangoli (punto più in basso della figura) sul punto di tale lato lungo seminascosto in modo che la piega sia parallela a tale lato (figura 4).

E.Voltare la frittata: ecco la barca a vela.

Descriviamo le vele e la loro posizione reciproca.Le vele sono due triangoli rettangoli isosceli con due lati che combaciano lungo l’albero della barca.

Distribuiamo ora un altro triangolo qualsiasi per studente e generalizziamo la costruzione precedente discutendo con la classe le scelte fatte.

Ripetiamo la costruzione illustrandola per un triangolo ottusangolo e scrivendo le osservazioni per altri triangoli.

F.Bianco sopra. Si vuole generalizzare la prima piega fatta in A. Questa piega rappresentava l’altezza relativa al lato più lungo del triangolo. Piegare dunque tale altezza facendo una piega che passa per il vertice opposto al lato lungo ed è perpendicolare allo stesso (figura 1).

G. Portare ora il vertice opposto al lato lungo sul piede dell’altezza, in maniera del tutto analoga alla figura 2.

Che figura geometrica si ottiene?Anche partendo da un triangolo qualsiasi si ottiene sempre un trapezio. Il trapezio risulta però isoscele solo se il triangolo di partenza lo era e aveva la base come lato più lungo (infatti se assegniamo un triangolo isoscele con i lati più lunghi della base, per la scelta che abbiamo fatto nel generalizzare le pieghe, dobbiamo piegare l’altezza relativa ad un lato e, in questo caso, il risultato non sarà un trapezio isoscele).

C’è qualche relazione tra i triangoli bianchi e quello colorato?In generale non c’è nessun relazione tra i tre triangoli. Ci sono alcuni casi particolari: se in triangolo di partenza è isoscele, ottusangolo o rettangolo, oppure equilatero allora tutti e tre i triangoli che si formano sono congruenti.

H. Piegare ora i triangoli bianchi lungo le linee di cambio colore.

Ottenendo

Manca figura

Notate una differenza con l’analoga piega fatta con il triangolo rettangolo isoscele? L’insegnante può ripetere il passo della costruzione con il suo triangolo rettangolo isoscele. I ragazzi vedranno presentarsi situazioni diverse a seconda del triangolo assegnato: se il triangolo di partenza era ottusangolo allora i due triangoli piegati tendono a “separarsi”, se è acutangolo tendono a sovrapporsi e, infine, se è rettangolo i due triangoli hanno un lato (verticale) che combacia. In ogni caso, a meno di partire da un triangolo isoscele, lei due triangoli hanno dimensioni diverse.

I. Seguire le spiegazioni del punto D e , successivamente, voltare la frittata. Ecco un’altra barca.

Per concludere il laboratorio e riassumere le idee si possono inviate i ragazzi che hanno barche ottenute dallo stesso tipo di triangolo (e che, possibilmente, avranno gli scafi con sfumature dello stesso colore) a incollare i modelli vicini su un cartellone….

CLASSE QUARTA SECONDO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE





Riconoscere figure congruenti ed equicomposte confrontando le superfici.Ricercare e ricavare le formule per il calcolo della misura delle aree dei principali poligoni.

La simmetria nei poligoni

La simmetria nell’esagono

Poligoni congruenti e non, equiestesi e non.Misurazione dell’area di poligoni con unità di misura non convenzionali

Ripetere il laboratorio relativo all’allegato 6, introducendo tutti i poligoni presenti

Seguendo le indicazioni dell’allegato 12, si piegherà il modello del fiocco di neve, attraverso il quale si andranno a scoprire gli assi di simmetria dell’esagono

Seguendo le indicazioni dell’allegato 13 si piegheranno alcuni modelli (paesaggio e bomba d’acqua) il cui scopo è quello di creare l’esigenza di trovare un’unità di misura per l’area.

Allegato 12 GLI ASSI DI SIMMETRIA DELL’ESAGONO

Il fiocco di neve

Variazione kirigami di E. Frigerio su un modello di E. Kenneway

Materiale utilizzato: per ogni alunno, un foglioesagonale regolare, possibilmente argentato da un lato e bianco dall’altro, di lato almeno 9 cm; forbici e colla.

PRELIMINARI

Diremo che tutte le figure a sei lati sono dette esagoni ma che noi lavoreremo su un esagono speciale, detto esagono regolare,che ha tutti i lati lunghi uguali e gli angoli della stessa ampiezza.

Da ora in poi, durante lo svolgimento del laboratorio, chiameremo la figura semplicemente esagono.

Distribuire un esagono ad ogni bambino. Se si desidera, gli esagoni possono essere di grandezze diverse tra loro.

Quanti lati ha ogni foglio?6, tutti uguali tra loro.

Questa figura si chiama esagono.

Si invitano gli alunni a scoprire gli assi di simmetria dell’esagono:quelle pieghe che permettono, in un colpo solo, di sovrapporre esattamente le due parti in cui la piega divide il foglio.

Si mostrano alla classe esempi di esagono piegati lungo le mediane e le diagonali.

Quanti assi di simmetria ha l’esagono?6, tre diagonali (che uniscono vertici opposti) e tre mediane (che uniscono i punti medi di due lati opposti).

Avete già visto forme di questo tipo intorno a voi?Si, per esempio sono di questa forma le cellette degli alveari, alcune piastrelle, le sezioni di alcune matite, i bulloni.

L’insegnante può richiamare gli assi di simmetria di altri poligoni introdotti in precedenza.

LEZIONE DIALOGATA

Distribuire gli esagoni bicolori.

Appoggiare il foglio sul banco, con il bianco sopra. Fare numerare agli studenti i vertici dell'esagono in questo modo: con una matita grafite si segnano all'interno dell'esagono, a circa un centimetro dal vertice, i numeri 1, 2, 3 e ancora 1, 2, 3, in senso antiorario (od orario). Per chiarire meglio si fa il disegno alla lavagna (figura 1; nel disegno i numeri sono stati scritti esternamente alla figura per non interferire con le istruzioni di piegatura).

A.Col bianco sopra, piegare lungo la diagonale che passa per i vertici segnati con il numero 1 (figura1); per fare ciò, portare un lato di vertici 2 e 3 sull’altro lato di vertici 3 e 2. Riaprire il modello e ripetere, piegando e riaprendo le diagonali che passano per i vertici 2 e per i vertici 3.

Dove si incontrano tutte le pieghe fatte?Le tre pieghe fatte si incontrano in un punto, in mezzo alla figura, detto centro.

In quanti triangoli resta suddiviso l’esagono?In 6 triangoli, tutti uguali tra loro.

B.Portare ora i due vertici segnati con 1 nel centro dell'esagono senza riaprire (figura 2).

Chefigura abbiamo ottenuto?Un rettangolo composto da due triangoli colorati uguali e due bianchi uguali tra loro e diversi dai precedenti.

Che cosa rappresentano le due linee di cambio colore peril rettangolo?

Rappresentano le sue diagonali.

C.Riaprire ora le due pieghe fatte.

Che cos’è ognuna di queste pieghe per l’esagono?

Ogni piega è una diagonale dell’esagono, cioè una piega che unisce due vertici non consecutivi.

Quante diagonali ha escono da un vertice dell’esagono?Da ogni vertice dell'esagono escono 3 diagonali: una più lunga asse di simmetria (figura 1) e due più corte uguali tra loro.

Ciò è diverso da quello che succede per i quadrilateri dove da ogni vertice esce solo una diagonale.

D.Portare ora i due vertici numerati con il 2 sul centro e riaprire. Fare lo stesso anche con quelli numerati con 3. Alla fine si ha la situazione disegnata nella figura 3. Le pieghe fatte disegnano una stella a sei punte.

Quante diagonali ha l’esagono? Perché?9: da ogni vertice ne escono 3 e 36 = 18, ma così facendo ogni diagonale è contata 2 volte.

Un altro modo per giustificare il conteggio è il seguente: le pieghe fatte esauriscono le diagonali, come mostra la figura 3. Ci sono 3 diagonali maggiori, le altre sono 6 e formano due triangoli.

Che figura si è formata al centro dell’esagono?E’ un esagono più piccolo del precedente.

Che cosa rappresentano per l’esagono più piccolo le pieghe cheabbiamo fatto all’inizio?

Le pieghe iniziali, che sono le diagonali dell’esagono di partenza, sono le mediane di quello più piccolo interno.

Si può fare osservare che se all’inizio avessimo piegato le mediane dell'esagono grande, avremmo ottenuto le diagonali lunghe di quello piccolo.

E.Voltare la frittata e ripetere le pieghe della figura 2: portare cioè ogni vertici nel centro e riaprire (figura 4); questa operazione, che non produce nuove pieghe, è fatta per rendere più agevoli i passaggi successivi.

F.Voltare nuovamente la frittata. Portare un vertice si e uno no nel centro dell'esagono(figura 5). Si può dire ai ragazzi di scegliere uno dei due triangoli di vertici 1,2 e 3 e portare i suoi vertici al centro.

Che figura abbiamo ottenuto?Un triangolo equilatero.

G.Portare ora i vertici del triangolo nel centro e riaprire (figura 6).

H.Bisogna ora portare un vertice nel centro, aprendo verso l'esterno, lungo le pieghe già esistenti, i due lembi di carta che lo congiungono al centro stesso (figura. 7). Ripetere anche con gli altri due vertici ottenendo l'esagono piccolo disegnato nella figura 8.

I.Da ogni vertice dell'esagono si può sollevare (perpendicolarmente al piano del tavolo) un triangolino; schiacciando sul lato corto fino ad appiattire, si separano i due strati di carta e il triangolino schiacciato si trasforma in un rombo metà colorato (la parte vicina al vertice dell'esagono) e metà bianco (la parte verso il centro dell'esagono).

Ripetere l'operazione sugli altri cinque vertici (figura 9). Si otterrà il modello rappresentato dalla figura 10.

Gli assi di simmetria dell’esagono sono anche assi di simemtrai di questa figura?Si.

L.Portare i vertici “bicolori" di un rombo sul punto di incontro delle sue diagonali, cioè il punto medio del “lato di confine" tra iltriangolo colorato e quello bianco (figura 10). Ripetere altre cinque volte. Schiacciare bene le pieghe ottenute.

M.Aprire leggermente il modello nel centro e sporcare di colla il centro della carta sottostante e richiudere schiacciando bene. In alternativa, tenendo ben premuto il modello, si può porre un adesivo circolare nel centro, sopra la parte bianca del modello. Tagliere i triangoli colorati come indicato nella figura 11. E’consigliabile lasciare un millimetro dai triangolino appena piegati, per evitare di rompere il modello. Si otterrà il fiocco mostrato in figura 12.

Il fiocco ha ancora delle simmetrie?E’ simmetrico rispetto alle diagonali passanti per il centro e alle mediane dell’ultimo esagono piegato.

Si potrà verificare questa affermazione piegando il fiocco.

G.L'insegnante può riaprire il suo modello, che non avrà incollato, per mostrare una stella traforata che mantiene ancora le simmetrie dell'esagono.

Allegato 13 L’AREA E L’UNITA’ DI MISURA

Il paesaggio e la bomba d’acqua

Materiale utilizzato:ogni gruppo deve avere a disposizione 5 fogli quadrati di lato 10 cm circa (un rosso, uno bianco, uno blu, due verdi) e un foglio quadrato di lato 15 cm. Ogni alunno deve poi avere un foglio quadrato colorato, bianco da un lato, di lato 15 cm, per la seconda parte del laboratorio. ogni alunno, un foglio quadrato, colorato da un lato e bianco


LEZIONE DIALOGATA

Prima parte.

Prima di piegare il modello finale, giochiamo con i fogli quadrati per cominciare a introdurre il concetto di area.

Sarebbe opportuno dividere gli alunni in gruppi di 4 e distribuire, per ogni gruppo, un foglio quadrato bianco, uno rosso, uno blu e due verdi, tutti con la stessa misura di lato (vanno bene anche i fogli memo di lato 10 cm circa). Un alunno terrà il foglio rosso e quello bianco, mentre gli altri uno dei fogli rimanenti.

Facciamo notare che i fogli di partenza sono “uguali” nel senso che, appoggiati sul banco, occupano la stessa porzione di superficie; diremo che hanno la stessa area.

Diamo ora le istruzioni di piegatura a seconda dei colori dei fogli.

1. Foglio bianco: piegare una mediana (portare un lato su quello opposto e piegare).Tutti gli altri fogli: piegare un diagonale (portare un lato su quello opposto e piegare).

Cominciamo a comporre una casetta con il tetto rosso e la muratura bianca:

Chi ha l’area più grande: il tetto o la parte in muratura? Le due aree sono uguali, infatti le abbiamo ottenute “piegando” in due i quadrati iniziali che avevano la stessa estensione. Entrambe le figure sono state ottenute dal quadrato iniziale sovrapponendo perfettamente due strati di carta.

I ragazzi sono portati a rispondere che il tetto è più grande, perché il nostro occhio legge meglio le misure lineari ed è tratto in inganno dal lato lungo della base dl tetto

2. Fogli blu: riaprire la piega appena fatta riaprire la piega appena fatta epiegare l’altra diagonale. Riaprire. Portare tutti i vertici del quadrato sul centro del quadrato stesso (intersezione delle due diagonali), come mostrato nella figura che segue:

Abbiamo costruito un laghetto che metteremo vicino alla casetta.

Fogli verdi:riaprire la piega diagonale. Considerare i due lati che escono da uno dei vertici da cui parte la diagonale e portarli sulla diagonale stessa.

1)

2)

[Questo equivale a trovare la bisettrice degli angoli di 45 gradi].

Si ottengono due cipressi. Trasformiamo uno dei due cipressi in un pino piegando all’insù tutto il triangolo inferiore formato da un solo strato di carta.

Completiamo il giardino della casa con il laghetto, il cipresso e il pino:

Confrontiamo le aree delle figure della nostra composizione:

Ci sono figure che hanno la stessa area? Avevamo già visto che la parte in muratura della casetta e il suo tetto avevano la stessa area. Anche il laghetto ha la stessa area perché è sempre formato da due strati di carta perfettamente sovrapposti.

Questo altro esempio è importante perché di nuovo mostra ai bambini figure equiestese ma con forma geometriche molto diverse (rettangolo, triangolo e quadrato).

Ci sono figure che hanno aree più grandi o più piccole? Se guardiamo i due alberelli possiamo fare le seguenti osservazioni. Il cipresso è la figura con area maggiore. Infatti una parte del cipresso ha due strati e il resto ha uno strato solo. Quindi al sua estensione è più di metà del quadrato iniziale. Il pino invece ha una parte di tre strati e la restante parte di due. Quindi la sua estensione è meno di metà quadrato.

Seconda parte.

Ora che abbiamo convinto gli studenti dell’importanza di un’unità di misura per le aree, pieghiamo il cubo da soffiare (detto anche bomba d’acqua) misurandone in vari passaggi l’estensione, con l’aiuto di un “misurometro” di aree. Viene piegato un “misurometro” per ogni gruppo, durante i primi passaggi di piegatura del modello che quadrettano il foglio in 16 parti. Gli alunni di ogni gruppo faranno, a turno, una delle pieghe necessarie.

Distribuire un foglio di 15 cm di lato colorato da un lato e bianco dall’altro ad ogni alunno, più uno della stessa misura per ogni gruppo (anche tutto bianco).

A. Colore sopra, quadrettare i fogli e il “misurometro” (si piega una mediana e si riapre; si portano i due lati paralleli alla mediana sulla mediana stessa e si riapre. Si ripete con l’altra mediana).

In quanti quadrati è stato suddiviso ogni foglio? Come sono questi quadrati tra loro?Ogni quadrato è stato suddiviso in 16 quadrati più piccoli, tutti uguali tra loro.

La nostra unità di misura base sarà allora il quadrato piccolo.

Da ora in poi, per tutta la durata del laboratorio, il “misurometro” verrà lasciato sul banco a disposizione del gruppo di studenti, per effettuare le misurazioni dell’area del modello.

B. Ripiegare una mediana Quanto misura il modello? Per misurazione diretta o appoggiandolo sopra al “misurometro”, si vede facilmente che il rettangolo misura 8 unità.

C. Riaprire, voltare la frittata e piegare una diagonale. Quanto misura il triangolo ottenuto? Si può rispondere mediante strategie diverse. Per esempio: con questa piega si sono sovrapposti perfettamente due strati di carta; si deduce che l’area del triangolo sarà la metà di quella del quadrato e quindi misura 8 unità. Oppure si possono contare i quadretti interi che si vedono tracciati sul triangolo (6) e aggiungere le 4 metà che restano lungo il lato lungo, che danno le altre 2 unità.

Osserviamo che questo triangolo ha la stessa area del rettangolo del punto precedente, pur avendo una forma diversa. Diremo che le figure sono equiestese.

D. Riaprire, piegare l’altra diagonale e riaprire. Voltare la frittata e appoggiare il foglio sul banco lasciando che formi naturalmente un tetto. Dobbiamo ora piegare la base triangolare, classico punto di partenza di molti modelli origami. Prendere tra l’indice e il pollice della mano destra la metà di una diagonale (vicino al punto più alto del tetto) e con il pollice e l’indice della mano sinistra l’altra metà. Spingere delicatamente verso l’interno, formando una sorta di freccia composta da 4 triangoli. Raggruppandoli a due a due, appiattire il modello appoggiandolo. Abbiamo ottenuto la base triangolare.

Quanto misura il triangolo ottenuto?Anche qui si possono usare strategie diverse per la risposta. Per esempio, osservando che nella base triangolare si sono sovrapposti perfettamente quattro strati di carta;quindi l’area del triangolo è un quarto di quella del quadrato di partenza cioè misura 16:4=4 unità. Oppure si possono contare i quadretti interi che si vedono tracciati sul triangolo (2) e aggiungere le 4

metà che restano lungo il lato lungo, che danno le altre 2 unità. Infine, i quattro ragazzi della stessa squadra possono ricoprire il “misurometro” accostando i loro quattro triangoli.

E. Il triangolo che abbiamo ottenuto è rettangolo isoscele. Lavorando solo su uno dei due doppi strati di carta, portiamo i due vertici dell’ipotenusa sul vertice dell’angolo retto

F. Voltare la frittata e ripeterele pieghe fatte nel punto E su questa faccia, ottenendo un quadrato. Quanto misura il quadrato ottenuto?Usiamo il misurometro. Questa volta il lato del quadrato non corrisponde al lato di un quadretto del misurometro. La risposta corretta si può ottenere posizionando il quadrato del modello con i suo lati coincidenti con le diagonali di quattro quadratini del misurometro, come mostrato nella figura seguente.

Deduciamo che l’area misura 2 quadratini completi ottenuti ricomponendo i quattro mezzi quadratini che il modello copre.

Si può anche arrivare alla stessa risposta pensando che, nelle pieghe effettuate in E e in F si sono di nuovo raddoppiati gli strati di carta (da 4 ad 8) e quindi si è passati da area 4 ad area 2.

Completiamo ora il modello lasciando le domande matematiche sull’area per gli ultimi due passaggi.

G. Il quadrato ha ben evidenziata una diagonale. Portare i vertici non appartenenti alla diagonale, sul punto medio della diagonale stessa e piegare

H. Lavorrae ora sul vertice appartenente alla diagonale del quadrato dove gli strati di carta si possono muovere (il vertice opposto è invece chiuso).

Sollevando il doppio strato di carta a destra piegare il vertice su punto medio della diagonale e successivamente intascare il triangolino ottenuto in quello piegato in G

Ripetere il tutto partendo dal doppio strato a sinistra.

I. Voltare la frittata e ripetere le istruzioni di H su questo lato, ottenendo la che rappresenta un esagono (non regolare).

J. Piegare ora i vertici più lontani dell’esagono al centro (piega preparatoria) Quanto misura il quadrato ottenuto?Usiamo il misurometro si vede immediatamente che il nostro quadrato si sovrappone perfettamente ad uno dei quadratini del misurometro, quindi l’area vale 1.

K. Riaprire, voltare la frittata e ribattere le ultime due pieghe anche da questa parte.

L. Riaprire, allontanare gli strati di carta in modo da formare una sorta difreccia. Soffiare ora dall’unico dei due vertici più lontani dell’esagono che presenta un piccolo foro. Ecco che il modello diventa un cubo tridimensionale, detto bomba ad acqua.

Pensiamo ora di voler colorare tutte le facce del cubo…

Quanto misura la superficie del cubo?Ogni faccia misura 1 quadretto del misurometro. Quindi la superficie del cubo misura 6 quadretti.

CLASSE QUINTA PRIMO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE




Ricercare e ricavare le formule per il calcolo della misura delle aree dei principali poligoni.Rilevare analogie e differenze tra volumi di poliedri effettuando semplici misurazioni.

Problem solving:comprendere e progettare stimolati da un problema reale

Misurazione dell’area di poligoni con unità di misura non convenzionali.Confronto tra volumi.

Aree di poligoni

Seguendo le indicazioni dell’allegato 14 si piegherà il modello della scatolina il cui scopo è quello confrontare i valori delle aree della parte bianca del modello e di quella colorata. Per il calcolo di ognuna delle aree i ragazzi potranno scegliere figure geometriche diverse (e quindi unità di misura diverse) che si formano tra le pieghe. Si rifletterà sul fatto che, in alcuni casi potremo usare molte unità di misura diverse e questo porterà al loro confronto. In altri casi, alcune figure che appaiono non potranno essere utilizzate perché non commensurabili con le aree da misurare.Infine, il confronto diretto tra il modello (più grande) dell’insegnante e quello degli studenti, porterà a delle semplici ma fondamentali, osservazioni sui volumi.

Seguendo le indicazioni dell’allegato 15 (piegatura di una semplice busta), si lavorerà soprattutto sull’analisi del “crease pattern” cioè sull’insieme delle pieghe del modello riaperto e sulla loro relazione con il

modello finale. Analizzando infatti il crease pattern si ricostruiranno le misure che deve avere un dato foglio iniziale per ottimizzare l’utilizzo di carta ( quindi misura dell’area minore) a parità di modello finale da ottenere. Questo laboratorio è particolarmente adatto ad un’attività di gruppo.

Allegato 14 UNITA’ DI MISURA DIFFERENTI PER L’AREA

La scatolina

Materiale utilizzato:ogni studente deve avere a disposizione 1 foglio quadrato colorato su una faccia e bianco sull’altra, di lato 15 cm. L’insegnante dovrà invece lavorare con un quadrato di lato 30 cm.


LEZIONE DIALOGATA

Distribuire un foglio colorato da un lato e bianco dall’altro ad ogni studente.

3. Bianco sopra, piegare le due diagonali e riaprire; il risultato di queste Semplici pieghe è già visibile in figura 1.

4. Portare ora due vertici opposti nel centro del quadrato e piegare (figura 1).

Scegliere l’unità di misura. Quanto misura l’area della parte bianca (B) e quella della parte colorata (C)?Se scegliamo come unità di misura il quadrato bianco Q, abbiamo B=2Q e C=Q; se scegliamo come unità di misura uno dei due triangoli colorati T, abbiamo B=4T e C=2T.

5. Voltare la frittata. Osserviamo che la figura è un esagono (non regolare). Portiamo uno dei due vertici opposti più distanti tra loro al centro del modello(figura 3, solo una delle due pieghe).

Scegliere l’unità di misura. Quanto misura l’area della parte bianca (B) e quella della parte colorata (C)?Se scegliamo come unità di misura il triangolo bianco T, abbiamo B=1T e C=4T; se scegliamo come unità di misura uno dei due triangolini bianchi t nei quali è diviso T, tutti i valori raddoppiano: B=2t e C=8t.

6. Portiamo anche il secondo vertici al centro del modello (figura 3).

Scegliere l’unità di misura. Quanto misura l’area della parte bianca (B) e quella della parte colorata (C)?Con le unità di misura fissate nel punto C. abbiamo B=2T e C=2T oppure B=4t C=4t.

7. Riaprire ora entrambe i triangoli bianchi, piegare i vertici dell’angolo retto sul punto medio della piega appena fatta ad essi vicina; appariranno due triangolini bianchi. Rifare la piega fatta in C e D nascondendo i due triangolini appena piegati (figura 4). Il modello appare come in figura 5.

Scegliere l’unità di misura. Quanto misura l’area della parte bianca (B) e quella della parte colorata (C)?Per rispondere più semplicemente alla domanda basiamoci su questa figura

Notiamo che, anche se non tutte le pieghe sono tracciate, si individuano sul modello alcune figure geometriche.

Se utilizziamo il quadratino q=BCDE, abbiamo che B=6q (sono presenti 4q, simmetrici di BCDE rispetto alle mediane, e altri due q si possono realizzare unendo a due a due i triangolini simmetrici di ABE) e C=10 q (anche qui occorre “unire” due coppie di triangolini per avere 2 q).

Possiamo anche utilizzare il rettangolo r=EBHK manca il K in figura composto da 2q, il triangolino EBA.

Osserviamo che verrebbe spontaneo provare ad utilizzare il trapezio rettangolo tr=ABCD come unità di misura ma, pur essendo B=4tr, non è possibile ricoprire la parte colora con un numero intero di copie di tr o sue decomposizioni.

Invece si può calcolare l’area utilizzando il parallelogramma p=ABCE. Il conto è facile se si osserva che p è equiesteso a 2t ed a q.

8. Voltare la frittata. Riaprire i triangoli colorati e ripiegare i vertici dell’angolo retto, come spiegato nel punto E. (figura 6). Si arriva alla figura 7 dove non facciamo domande perché è la duale della precedente.

9. Piegare ora uno dei lati bianchi del quadrato sulla mediana ad esso parallela (figura 7, una sola delle due pieghe).

Scegliere l’unità di misura. Quanto misura l’area della parte bianca (B) e quella della parte colorata (C)?Anche in questo caso ci sono molte scelte per l’unità di misura: di nuovo vanno bene il quadratino q, il triangolino t, il parallelogramma p, il rettangolo r proposti nel punto E. E’ ormai chiaro come procedere e lasciamo le soluzioni al lettore.

10. Piegare ora anche l’altro lato bianco a combaciare con il precedente,completando le pieghe della figura 7. Volendo si possono fare ancora domande sull’area ma non sono particolarmente interessanti.

11. Portare uno dei due lati corti del rettangolo sulla mediana ad esso Parallela (figura 8; una sola delle due pieghe).

Scegliere l’unità di misura. Quanto misura l’area della parte bianca (B) e quella della parte colorata (C)?Vale la pena di porre qui, per l’ultima volta, questa domanda perché finalmente si può utilizzare anche il trapezio rettangolo per calcolare le aree. Infatti abbiamo B=2tr e C= 2tr (perché possiamo unire un quadratino colorato con uno dei due triangolini colorati per formare un trapezio. Volendo si possono anche calcolare le aree con q e t.

Diamo le istruzioni per completare la piegatura. Volendo l’insegnante può aggiungere alte domande sulle aree.

12. Piegare anche l’altro lato corto del rettangolo facendolo combaciare con il precedente (figura 8).

13. La figura è un quadrato colorato suddiviso in quattro quadretti. Piegare le diagonali dei quattro quadretti muovendo i vertici liberi, come mostrato in figura 9. Si ottiene la figura 10.

14. Sollevare i due triangoli colorati, sollevare i due lembi bianche interni e infilarci lo strato inferiore dei triangoli colorati, appiattendo poi il modello, come indicato nella figura 10. Si ottiene il modello della figura 11.

15. Sfogliare dapprima lo strato bianco che si a nord della figura, riaprendo la piega che è base del trapezio bianco. Piegare al centro i due vertici più lontani dell’esagono (figura 12).

16. Riportare verso l’alto il rettangolo bianco che si vede nella figura 13 e sfogliare ora verso l’alto il trapezio bianco che si trova a sud del modello (figura 14), ottenendo la figura 15.

17. Piegare i vertici più lontani dell’esagono al centro, come mostrato in figura 15, ottenendo il modello mostrato nella figura 16.

18. Ora sfogliare il rettangolo bianco verso il basso, ottenendo il quadrato bianco della figura 17.

Tirando verso l’esterno le alette bianche, magicamente il modello diventerà una scatoletta tridimensionale. Il modello presenta alcune facce colorate e altre bianche.

E’ più estesa l’area della parte colorata o quella della parte bianca?Anche qui i ragazzi possono scegliere varie unità di misura. Per esempio scegliendo il rettangolo bianco r della parte superiore di una delle due alette è facile verificare che C=B= 8r.

Ora confrontiamo il modello piegato dai ragazzi (lato del foglio di partenza 15 cm) con quello ottenuto dall’insegnante (lato del foglio di partenza 30 cm).

Che relazione c’è tra i lati dei quadrati di base delle scatole ottenute dai ragazzi e dall’insegnante?Il lato del quadrato di base dell’insegnate è 2 volte quello degli studenti; lo stesso rapporto che c’era tra i lati dei quadrati di partenza.

Che relazione c’è tra le aree delle basi delle due scatoline?L’area di base della scatola più grande è 4 volte quello della scatola più piccola.

Se dovessimo riempire di acqua la scatola grande usando come misurino quella piccola, quante volte dovremmo versare l’acqua? (Ovvero che relazione c’è tra i volumi delle due scatole?

Per riempire la scatola grande dobbiamo versare 8 volte l’acqua da quella piccola. Si può mostrare questo fatto posizionando otto scatole piccole in quella grande. Infatti sulla fondo della scatola grande ci stanno 4 scatole piccole, ma è raddoppiata anche l’altezza, permettendo di fare un ulteriore strato di scatoline.

Questa osservazione finale permette di rendere visibile il fatto che, raddoppiando la misura di uno lato di un quadrato (figura piana) l’area diventa 4 volte quella iniziale e, raddoppiamento le lunghezze degli spigoli di un parallelepipedo (solido), il volume diventa 8 volte quello di partenza.

Allegato 15 PROBLEM SOLVING SULLE AREE

La busta

Modello tradizionale di busta

Materiale utilizzato: per ogni studente occorre un rettangolo (anche di misure variabili), un foglio quadrato di lato 16 cm (si può utilizzare carta origami colorata da un lato e bianca dall’altro o anche carta colorata su entrambe le facce). Per ogni gruppo occorre distribuire un foglio protocollo a quadretti (5mm) e una copia della scheda di lavoro (che si trova nella Lezione dialogata di questo paragrafo). L’insegnante dovrà anche avere a disposizione un foglio rettangolare13cm x 18 cm.


LEZIONE DIALOGATA

Suddividere gli alunni in gruppi di 4 e distribuireper ogni alunno un rettangolo (misure variabili da un alunno ad un altro).

19. Seguendo le semplici istruzioni di piegatura, ogni alunno realizzerà il modello di busta partendo dal rettangolo che gli è stato dato (la prima piega da eseguire è sempre la mediana parallela al lato lungo).

E’ importante che siano distribuiti rettangoli diversi, perché i ragazzi dovranno poi notare che la disposizione delle pieghe del crease pattern non dipende dalle misure del rettangolo.

Controlliamo che tutti abbiano piegato e chiuso la busta, infilando quello che chiameremo “triangolo di chiusura” nella parte rettangolare.

20. Distribuire ora, per ogni gruppo un foglio protocollo a quadretti, (5mm) più una copia della scheda di lavoro (che si trova nelle due pagine seguono). Ogni gruppo ora segue le istruzioni della scheda e lavora in autonomia. L’insegnante interviene su richiesta o se vede un gruppo in difficoltà.

Riportiamo dopo la scheda da distribuire la stessa scheda con le risposte e alcune osservazioni per l’insegnante.

Nella scheda si pongono inizialmente alcune domande sulla geometria del crease pattern, perché poi sia più semplice svolgere il lavoro richiesto.

Il problema centrale che verrà posto riguarda l’ottimizzazione (relativamente alla quantità di carta da utilizzare) della chiusura della busta da produrre a parità di forma finale della busta chiusa. I ragazzi dovranno capire come e se è possibile spostare il triangolo di chiusura della busta, dal lato lungo a quello corto, per risparmiare la carta.

RAGIONAMENTI SULLA BUSTA1. Colorate il contorno della busta sulle due facce del vostro modello.

2. Estraete il triangolo che serve a chiuderla e colorate il suo contorno davanti e dietro.

3. Riaprite completamente il foglio; le pieghe formeranno un disegno simile aquello della figura qui sotto. Colorate sulla figura gli stessi contorni che avevatecolorato sulla busta.

4.Il quadrilatero EGMO è un___________________________

Che tipo di triangolo è il triangolo EOM? ________________________

E il triangolo EMN? _____________________________________

5.Immaginate che il lato AB misuri cm 16. Guardando la figura e ripensando alle pieghe fatte, trovate le lunghezze dei segmenti

AE __________ IE __________ EG __________ MN __________GM __________

6. Immaginate ora che anche il lato BC misuri cm 16, cioè che il foglio di partenza sia un quadrato con il lato lungo cm 16. Trovate le lunghezze dei segmenti MH e MP. Scrivete le operazioni che fate e ricordate che GH misura .

7.In conclusione, se il foglio di partenza è un quadrato di cm 16 di lato, la busta è un rettangolo i cui lati misurano cm ______ e cm ______ .

Sul foglio a quadretti, disegnate un quadrato di cm 16 di lato, poi rifate la figura della pagina precedente, utilizzando le misure che avete trovato. Piegate una nuova busta con i fogli quadrati ricevuti, poi controllate che il vostro disegno sia esatto, correggendolo se non lo è

8. Nella busta piegata con il foglio quadrato, il triangolo di chiusura è attaccato al lato lungo del rettangolo. Se voleste ottenere una busta con le stesse misure, ma con il triangolo di chiusura attaccato al lato corto, quali misure dovrebbe avere il foglio di partenza? Per trovare la risposta, disegnate sul foglio a quadretti un rettangolo con le misure che avete scritto qui sopra, aggiungete il triangolo di chiusura al posto giusto e completate il disegno del foglio con tutte le pieghe. Scrivete qui la risposta.

___________________________________________________________________

____________________________________________________________________

9. Guardando i disegni che avete fatto, quale dei due fogli di partenza vi sembra più grande, il primo (quello quadrato) o il secondo (quello rettangolare)?

____________________________________________________________

__________________________________________________________

Calcolate l’area dei due fogli per essere sicuri della risposta.

Area (quadrato) = ________________ Area (rettangolo) = ______________

RAGIONAMENTI SULLA BUSTA

1. Colorate il contorno della busta sulle due facce del vostro modello.

2. Estraete il triangolo che serve a chiuderla e colorate il suo contorno davanti e dietro.

3. Riaprite completamente il foglio; le pieghe formeranno un disegno simile a quello della figura qui sotto. Colorate sulla figura gli stessi contorni che avevate colorato sulla busta.

4.Il quadrilatero EGMO è unquadrato

Che tipo di triangolo è il triangolo EOM? È un triangolo rettangolo isoscele. Notiamo che EM è la diagonale del quadrato EGMO.

E il triangolo EMN? E’ sempre un triangolo rettangolo.

5.Immaginate che il lato AB misuri cm 16. Guardando la figura e ripensando alle pieghe fatte, trovate le lunghezze dei segmenti

AE 16:2=8 cmIE 8:2=4cm EG 4 cm MN4+4=8 cmGM4 cm (perché EGMO è un quadrato)

6. Immaginate ora che anche il lato BC misuri cm 16, cioè che il foglio di partenza sia un quadrato con il lato lungo cm 16. Trovate le lunghezze dei segmenti MH e MP.

M H = 1 6 - 4 = 1 2 c m

M P = 1 2 : 2 = 6 c m

7.In conclusione, se il foglio di partenza è un quadrato di cm 16 di lato, la busta è un rettangolo i cui lati misurano cm 8 (MN)e cm 6 (MP) .

Sul foglio a quadretti, disegnate un quadrato di cm 16 di lato, poi rifate la figura della pagina precedente, utilizzando le misure che avete trovato. Piegate una nuova busta con i fogli quadrati ricevuti, poi controllate che il vostro disegno sia esatto, correggendolo se non lo è.

Qui si richiede che gli alunni disegnino il crease pattern che si aspettano che venga dalla piegatura del foglio di lato 16 cm basandosi sul creasepatter generale e sulle misure che hanno appena calcolato.

8. Nella busta piegata con il foglio quadrato, il triangolo di chiusura è attaccato al lato lungo del rettangolo. Se voleste ottenere una busta con le stesse misure, ma con il triangolo di chiusura attaccato al lato corto, quali misure dovrebbe avere il foglio di partenza? Per trovare la risposta, disegnate sul foglio a quadretti un rettangolo con le misure che avete scritto qui sopra, aggiungete il triangolo di chiusura al posto giusto e completate il disegno del foglio con tutte le pieghe. Scrivete qui la risposta.

Qui si richiede che gli studenti abbiano capito bene la struttura del crease pattern e sappiano ricostruire il foglio di partenza partendo dalla busta chiusa con il triangolo di chiusura aperto. Si vede dal crease pattern disegnato sopra che, una volta disegnata la busta chiusa con aperto il triangolo, basta riportare una copia della parte rettangolare in “coda” (cioè prolungare dalla parte opposta al triangolo) e successivamente va completato il disegno con i quattro quadrati sviluppo del triangolo di chiusura e i quattro rettangoli ai lati.

Il foglio di partenza deve avere misure AB= 12 cm e BC = 19 cm.

9. Guardando i disegni che avete fatto, quale dei due fogli di partenza vi sembra più grande, il primo (quello quadrato) o il secondo (quello rettangolare)?

Non è semplicissimo confrontarli ad occhio perché una carta è quadrata mentre l’altra è rettangolare con uno dei lati più corto del lato del quadrato ed uno più lungo. Qui gli studenti si potranno esprimere liberamente e il conto che segue darà ragione o torto alla loro ipotesi.

Calcolate l’area dei due fogli per essere sicuri della risposta.

a r e a q u a d . = 1 6 x 1 6 = 2 5 6

a r e a r e t t . = 1 3 x 1 9 = 2 4 7

Area (quadrato) = 256 Area (rettangolo) = 247

A questo punto il docente avrà preparato entrambi i fogli, quadrato e rettangolare, con le esatte misure. Può allora mostrare ai ragazzi, facendo parzialmente sovrapporre i modelli, che la parte relativa al corpo centrale della busta si sovrappone completamente, mentre lo sviluppo del triangolo di chiusura è diverso e dà proprio la differenza tra le aree.

E’ interessante far notare che, in entrambi i crease pattern, gli 8 rettangoli sviluppo del corpo centrale hanno area 24 cm^2; nel caso del quadrato 24= 6x4, nel caso del rettangolo 24=8x3.

È’ possibile anche continuare il laboratorio con ulteriori domande; questo è consigliato se si hanno a disposizione altri momenti per suddividere il lavoro o come lavoro di approfondimento a casa. Per rispondere i ragazzi potranno, come in precedenza, lavorare sui fogli a quadretti.

Elenchiamo alcune domande con le relative risposte.

Se volete che la busta chiusa sia un quadrato di cm 8 di lato, quali misure dovrà avereil foglio di partenza?

Riferendosi al crease pattern riportato qui sotto,

abbiamo che MP = MN = 8 cm, MO = 4 cm. Quindi le misure del foglio saranno AB = 16 cm e BC = 20 cm.

Se volete che la busta chiusa sia un rettangolo 8 cm x18 cm, il triangolo di chiusura può essere attaccato al lato corto? E al lato lungo? Perché?

Rispetto alle domande della scheda, concentrate sul calcolo delle misure e non sulla fattibilità della piegatura, qui bisogna analizzare meglio la possibilità di piegatura.

Cominciamo a calcolare la misure delle parti del crease pattern e della carta. Se vogliamo che il triangolo di chiusura sia posto sul lato corto, dovremmo avere MP = 18 cm, MO = 4 cm. Quindi il foglio di partenza dovrà misurare

AB = 4x4 cm = 16 cm e BC = (18 x 2 + 4) cm = 40 cm.

Se invece vogliamo che il triangolo di chiusura sia attaccato al lato lungo, si avrà MP = 8 cm, MO=9 cm. Un conto acritico sulle misure del foglio di partenza porta a dire che le sue misure dovrebbero essere AB = 9x4 cm = 32 cm e BC = (8x2 + 9) cm = 25 cm. Per questa busta sorge però un problema di piegatura. Infatti il triangolo di chiusura deve essere contenuto nel rettangolo della busta chiusa. Ma l’altezza del triangolo risulta 9 cm, mentre il lato interessato del rettangolo è di soli 8 cm. Quindi non sarà possibile piegare questa busta (a meno di cambiare modello e fare un’ulteriore piega sulla punta del triangolo di chiusura).

Quest’ultima domanda è molto interessante perché va al di là del mero conto numerico, ma tiene conto della effettiva realizzazione pratica del modello.

CLASSE QUINTA SECONDO QUADRIMESTRE





NUCLEI FONDANTI



SPAZIO E FIGURE




Riconoscere figure equiestese. Ricercare e ricavare le formule per il calcolo della misura delle aree dei principali poligoni.

Riconoscere figure geometriche solide.Comprendere e realizzare lo sviluppo dei solidi con la carta.Rilevare analogie e differenze tra volumi di poliedri

Poligoni congruenti e non, equiestesi e non.Misurazione dell’area di poligoni con unità di misura non convenzionali

Piramide a base quadrata, tetraedro, ottaedro

Seguendo le indicazioni dell’allegato 16 si piegherà il modello tangram di carta. Durante la piegatura si confronterà l’estensione dei poligoni piegati. Una volta realizzato, questo gioco potrà essere utilizzato per inventare personaggi, animali o figure geometriche. La regola sarà quella di utilizzare tutti e soli i pazzi che compongono un tangram, in modo da produrre figure con la stessa area, cioè

equiestese.

Seguendo le indicazioni dell’allegato 19 sarà possibile costruire una piramide a base quadrata partendo da moduli costituiti da tertraedri e ottaedri. La dimensione della piramide sarà a scelta in funzione del numero di piani scelto dal docente. Anche il numero dei

effettuando semplici misurazioni.

moduli da piegare sarà funzione di questo. Al termine del lavoro si potrà anche procedere al calcolo di quanti moduli sono stati necessari (sia tetraedri sia ottaedri) ed eventualmente a ricavare una formula per la previsione di quanti moduli sarebbero da piegare ancora per aggiungere nuovi piani.

NUMERI

Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica

L'alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e razionali e sa valutare l'opportunità di ricorrere alla calcolatrice.

Operazioni cognitive:leggere, scrivere, cogliere, rappresentare, riconoscere, analizzare, attribuire, confrontare, ordinare, calcolare, eseguire, formulare, interpretare, costruire, stimare.

Conoscere e comprendere il concetto di potenza di un numero.

Le potenze di 2 e di 3.

Seguendo le indicazioni dell’allegato 17 e 18 si piegherà un modello di “albero Pitagorico” rispettivamente con base 2 e base 3. Esso verrà utilizzato per rivedere i prodotti di potenze con la stessa base e per dare un’idea visiva della potenze, in particolare della potenza elevata alla 0 il cui risultato è, convenzionalmente, 1.

Allegato 16 EQUIESTENSIONE

Il tangram

Materiale utilizzato:ogni alunno deva avere 2 fogli di carta A4, per realizzare il suo tangram personale.


DA INSERIRE

LEZIONE DIALOGATA

Partendo da due fogli di carta A4, suddividerli in A5 e A6, come indicato in figura:

I triangoli.

Cominciamo a piegare i 5 triangoli, che seguono lo stesso diagramma di piegatura. Distribuire 2 fogli A5 (G), 1 A6 (M) e 2 A7 (P) per ogni studente.

Che relazione c’è tra le aree dei tre tipi di rettangoli che ti sono stati consegnati? Accostando i due più piccoli ottengo un rettangolo uguale (congruente) a quello medio, che quindi ha una superficie doppia rispetto ad ognuno dei piccoli. Inoltre per ottenerne uno congruente a quello grande ne occorrono 2 piccoli e 1 medio. Quindi quello grande ha estensione pari ai 4 piccoli o 2 medi.

1. Prendere uno dei fogli rettangolari piccoli. Piegare un lato corto su un lato lungo (figura 1).

2. Si è formato un doppio strato triangolare e un rettangolo monostrato. Portare i lati corti del rettangolo sulla lato lungo interno al modello (figura 2). Questa parte piegata forma un trapezio isoscele.

3. Portare ora uno dei due lati corti del triangolo sull’altro lato corto dello stesso (figura 3).

4. Piegare il trapezio isoscele lungo la sua base maggiore e intascarlo nel triangolo (figura 5). Si ottiene il triangolo della figura 5.

5. Piegare ora l’altro rettangolo piccolo (P) e quello medio (M), seguendo le istruzioni precedenti.

Che relazione c’è tra le aree dei triangoli?Possiamo notare che il triangolo costruito con il rettangolo medio si può ricoprire con i 2 triangoli piccoli. Quindi la sua estensione è il doppio di quella di ognuno dei due piccoli. Lo potevamo anche sapere a priori perché avevamo già osservato che le estensioni dei rettangoli di partenza erano in questa relazione e abbiamo poi eseguito la stessa sequenza di piegatura.

Prendiamo come unità di misura delle aree il triangolo piccolot p: quindi la sua estensione è 1 mentre quella del triangolo costruito con il rettangolo medio, tmè 2t p.

6. Piegare ora anche i due triangoli con i rettangoli grandi (G), con la stessa sequenza di piegatura.

Che relazione c’è tra le aree di tutti i triangoli?

Ogni triangolo grande (t g) si può ricoprire con i 2 triangoli piccoli più uno medio.Quindi la sua estensione è il doppio di quella del triangolo medio e il quadruplo di quella dei piccoli: t g=2tm=t p

G G

M

M

M

p p

Il quadrato.

Distribuire l’altro rettangolo A6.

7. Piegare la mediana corta del rettangolo (figura 1).

8. Il foglio resta diviso in due rettangoli. Portare il lato corto in basso del rettangolo a destra sulla mediana. Fare lo stesso con il lato corto in alto del rettangolo a sinistra (figura 2).

9. Pensando di piegare l’altra mediana del rettangolo di partenza, portare il

10. vertice più basso del triangolo inferiore su quello più in alto di quello superiore. Non piegare tutta la mediana ma “pizzicare” nel punto centrale e riaprire (figura 3).

Che relazione c’è tra l’area del quadrato e quella dei i triangoli?

Il quadrato q si può ricoprire con 2 triangoli piccoli, cioè : q=2 t p. Ha quindi la stessa estensione di tm, pur non avendo la stessa forma.

Il parallelogramma.

Distribuire l’ultimo rettangolo A6.

A. Piegare e riaprire le due mediane del rettangolo (figura 1).

B. Il foglio resta diviso in quattro rettangoli. Portare il lato lungo in basso del rettangolo in basso a destra sulla mediana verticale.. Fare lo stesso con il lato lungo in alto del rettangolo in alto a sinistra (figura 2).

C. Si sono formati due triangoli rettangoli isosceli. Portare l’ipotenusa di uno dei due su quella dell’altro, sovrapponendole parzialmente. Piegare e riaprire (figura 3 nuova).

D. Portare ora le due ipotenuse sull’ultima piega fatta (figura 4 nuova).

E. Fare ora una piega a destra, perpendicolare ai due lati lunghi paralleli, passante per il vertice in alto a destra, come mostrato in figura 5 vecchia. Ripetere in modo simmetrico a sinistra. figura

F. Abbiamo ottenuto un rettangolo. I suoi lati corti possono essere visti come cateti di due triangoli rettangoli multistrato; piegare tali triangoli verso

l’interno, lungo le due ipotenuse (figura…)

G. Risollevare parzialmente i due triangoli e intascarli sotto le alette (figura nuova).

Che relazione c’è tra l’area del parallelogramma e quella dei triangoli?

Il parallelogramma p si può ricoprire con 2 triangoli piccoli, cioè : p=2t p. Ha quindi la stessa estensione di tm e di q, pur non avendo la stessa forma.

I pezzi che abbiamo piegato sono chiamati tangram e possono essere utilizzati per formare, accostandoli, senza sovrapporli, molte figure. Possiamo anche scrivere su ogni pezzo il suo valore rispetto a t p.

Che estensione avranno le figure ottenute giocando con il tangram?

Ogni figura sarà formata da 2 t p, 1 tm=2 t p, 2 t g=¿¿che in totale valgono 8 tm, 1 q=2 t pe 1 p=2t p. In totale l’estensione di ogni figura che costruiremo sarà uguale a 16 t p.

Sai accostare i pezzi in modo che formino un quadrato?

Osserviamo che questo triangolo ha la stessa area del rettangolo del punto precedente, pur avendo una forma diversa. Diremo che le figure sono equiestese.

H. Riaprire, piegare l’altra diagonale e riaprireVoltare la frittata e appoggiare il foglio sul banco lasciando che formi naturalmente un tetto. Dobbiamo ora piegare la base triangolare, classico punto di partenza di molti modelli origami. Prendere tra l’indice e il pollice della mano destra la metà di una diagonale (vicino al punto più alto del tetto) e con il pollice e l’indice della mano sinistra l’altra metà. Spingere delicatamente verso l’interno, formando una sorta di freccia composta da 4 triangoli. Raggruppandoli a due a due, appiattire il modello appoggiandolo. Abbiamo ottenuto la base triangolare

Quanto misura il triangolo ottenuto?Anche qui si possono usare strategie diverse per la risposta. Per esempio, osservando che nella base triangolare si sono sovrapposti perfettamente quattro strati di carta;quindi l’area del triangolo èun quarto di quella del quadrato di partenza cioè misura 16:4=4 unità. Oppure si possono contare i quadretti interi che si vedono tracciati sul triangolo (2) e aggiungere le 4 metà che restano lungo il lato lungo, che danno le altre 2 unità. Infine, i quattro ragazzi della stessa squadra possono ricoprire il “misurometro” accostando i loro quattro triangoli.

I. Il triangolo che abbiamo ottenuto è rettangolo isoscele. Lavorando solo su uno dei due doppi strati di carta, portiamo i due vertici dell’ipotenusa sul vertice dell’angolo

J. Voltare la frittata e ripeterele pieghe fatte nel punto E su questa faccia, ottenendo un quadrato.

Quanto misura il quadrato ottenuto?Usiamo il misurometro. Questa volta il lato del quadrato non corrisponde al lato di un quadretto del misurometro. La risposta corretta si può ottenere posizionando il quadrato del modello con i suo lati coincidenti con le diagonali di quattro quadratini del misurometro, come mostrato nella figura seguente.

Deduciamo che l’area misura 2 quadratini completi ottenuti ricomponendo i quattro mezzi quadratini che il modello copre.

Si può anche arrivare alla stessa risposta pensando che, nelle pieghe effettuate in E e in F si sono di nuovo raddoppiati gli strati di carta (da 4 ad 8) e quindi si è passati da area 4 ad area 2.

Completiamo ora il modello lasciando le domande matematiche sull’area per gli ultimi due passaggi.

K. Il quadrato ha ben evidenziata una diagonale. Portare i vertici non appartenenti alla diagonale, sul punto medio della diagonale stessa e piegare

L. Lavorrae ora sul vertice appartenente alla diagonale del quadrato dove gli strati di carta si possono muovere (il vertice opposto è invece chiuso).

Sollevando il doppio strato di carta a destra piegare il vertice su punto medio della diagonale e successivamente intascare il triangolino ottenuto in quello piegato in G

Ripetere il tutto partendo dal doppio strato a sinistra.

M. Voltare la frittata e ripetere le istruzioni di H su questo lato, ottenendo la che rappresenta un esagono (non regolare).

N. Piegare ora i vertici più lontani dell’esagono al centro (piega preparatoria) Quanto misura il quadrato ottenuto?Usiamo il misurometro si vede immediatamente che il nostro quadrato si sovrappone perfettamente ad uno dei quadratini del misurometro, quindi l’area vale 1.

O. Riaprire, voltare la frittata e ribattere le ultime due pieghe anche da questa parte.

P. Riaprire, allontanare gli strati di carta in modo da formare una sorta difreccia. Soffiare ora dall’unico dei due vertici più lontani dell’esagono che presenta un piccolo foro. Ecco che il modello diventa un cubo tridimensionale, detto bomba ad acqua.

Pensiamo ora di voler colorare tutte le facce del cubo…

Quanto misura la superficie del cubo?Ogni faccia misura 1 quadretto del misurometro. Quindi la superficie del cubo misura 6 quadretti.

Allegato 17 LE POTENZE – BASE 2

L’albero pitagorico

Modello di Maria Luisa Spreafico

Materiale utilizzato:per piegare l’albero in figura occorrono 1 foglio A3 e 6 fogli A4 che andranno opportunemente suddivisi in sottomultipli, come indicheremo con più precisione nel seguito. Sarebbe più efficace per la spiegazione. E più gradevole visivamente, che i fogli A4 fossero colorati, con coppie dello stesso colore. Inoltre si consiglia un A4 (o A5) anche di carta da riciclo per fare provare una volta a tutti la piegatura.


LEZIONE DIALOGATA

Per avere almeno 4 livelli di albero, si consiglia di partire dalla misura A3, come misura più grande. In questo caso occorrerà un foglio A3 e 6 fogli A4, di facile reperibilità, di cui due vanno divisi in 2 fogli A5 e due in 4 fogli A6, ciascuno, come mostrato nelle figura che segue:

Se ci fermiamo a 4 livelli, le casette da realizzare saranno 15; in questo caso, per far lavorare tutti gli studenti si potranno realizzare due alberi e creare due cartelloni o uno molto grande con gli alberi speculari.

Se invece aggiungiamo un livello (occorreranno altri 2 fogli A4 da dividere in 8 A7, ciascuno) ci saranno da piegare 31 casette.

Distribuiamo ad ogni studente un foglio A4 o A5 di carta da riciclo, per imparare il modello. Diamo le istruzioni di piegatura, senza ancora svelare il progetto dell’albero.

A. Piegare la mediana lunga e riaprire (figura 1).

B.Piegare i due lati paralleli alla mediana lunga sulla mediana appena piegata senza riaprire (figura 2).

C.Considerando uno dei sue lati corti, quello in basso nella figura, portare

ognuna delle sue due metà sulla piega centrale; piegare e riaprire (figura 3).

D.Ripetere anche sull’altro lato corto (figura 4, lato corto in alto).

E.Sempre lavorando sul lato corto in alto, spingere i triangoli piegati verso l’interno, formando così delle tasche triangolari interne (figura 5). Si ottiene il modello della figura 6 che sembra una casetta.

F.Portare la base della casetta al tetto, facendo coincidere il punto medio della base stessa con il vertice del tetto (figura 6). La figura 7 rappresenta l’ingrandimento del modello che si ottiene.

G. Ripiegare ora i due triangoli del doppio strato superiore di carta, infilandoli nelle tasche del doppio strato inferiore (figura 8). Si ottiene la casetta terminata illustrata, rimpicciolita, nella figura 9.

H.Disegniamo alla lavagna la casetta base dell’albero, che chiamiamo casetta a livello 0 perché sta al piano terra. Facciamo osservare che sulle due falde del tetto possiamo costruire altre due casette, simili alla precedente, ma un po’ più piccole. Diremo quindi che al livello 1 abbiamo 2 casette. Procediamo con il disegno:

Quante casette occorrono da appoggiare alle falde delle 2 casette che abbiamo disegnato al livello 1?Ne occorrono 2 per ogni casetta, cioè 2x2=2^2=4

Quante casette occorrono da appoggiare alle falde delle 4 casette che abbiamo disegnato al livello 2?Ne occorrono ancora 2 per ogni casetta, cioè 2x2^2=2^3=8

E se volessimo aggiungere un altro livello? Ne occorrerebbero 2x2^3=2^4=16.

Raccogliamo i dati in una tabella:

Livello Numero Casette0 11 2=2^12 4=2^23 8=2^34 16=2^4

Che regolarità trovate nel numero di casette necessarie per ogni livello?Sembra dunque di trovare una regolarità di scrittura del numero di casette necessarie nei vari livelli: il numero si esprime sempre in potenze successive di 2, dove l’esponente corrisponde al livello delle casette considerate.

Questo sembra succedere ad ogni livello, tranne a livello 0, dove la casetta è una sola.

Possiamo trovare un modo per far rientrare nella regola anche il livello 0?Basta porreporre 1=2^0!

I. Distribuiamo ora i moduli necessari per piegare l’albero (se i bambini sono più di 15, come abbiamo detto, si possono far piegare due alberi, oppure un albero fino a livello 4, che coinvolge 31 moduli o anche una “foresta di alberi” di livelli diversi).

Ripetiamo le istruzioni di piegatura per chi non le ricorda e incolliamo i moduli su un cartellone, come illustrato nella figura che segue:

Le domande successive sono opzionali perché un po’ più complesse.

Quanti moduli abbiamo dovuto piegare per ottenere un albero di livello 3?E di livello 4?Con 3 livelli dobbiamo piegare

2^0+2^1+2^2 +2^3 = 1+2+4+8=15

casette, mentre per aggiungere un livello dobbiamo piegare

2^0+2^1+2^2 +2^3 +2^4= 15 + 16 =31

casette.

C’è una regola per queste somme di potenze?Possiamo notare che 15=16-1=2^4-1, mentre 31= 32-1=2^5-1.

Sembra che la regola sia:

se vogliamo sommare da 2^0 fino a 2^n, il risultato è una potenza in più dell’ultima considerata (cioè 2^{n+1}) meno 1.

Questa formula non funziona però con le potenze con base diversa da 2: per

Generalizzarla occorre modificarla un po’.

a^0+a^1+…+a^n = a^{n+1}-1/a-1

Allegato 18 LE POTENZE – BASE 3

L’albero pitagorico

Modello di Gloria Possetti

L’albero è simile a quello dell’allegato 17, ma la “casetta” di partenza ha un tetto a 3 falde anziché a 2. Il modulo-base è un esagono piegato a metà, nel senso che si piegano solo 3 dei 6 lati.

Materiale utilizzato:per piegare l’albero in figura occorrono almeno 4 fogli quadrati con il lato di 20 cm che andranno opportunamente suddivisi in sottomultipli, come indicheremo con più precisione nel seguito. Sarebbe più efficace per la spiegazione e più gradevole visivamente, che i fogli fossero colorati, utilizzando un colore per ogni livello di potenza.


Da inserire

LEZIONE DIALOGATA

Per avere almeno 4 livelli di albero, si consiglia di suddividere il quadrato di partenza come mostrato nelle figura che segue:

Seguire poi lo schema di lezione dialogata relativo all’albero base 2.

Allegato 19 SOLIDI

La piramide


Per montare l'ottaedro, immaginarlo come la terra:per ogni modulo, un estremo della fenditura va nel polo Nord, l'altro nel polo Sud, la piega fatta al passaggio 8 va all'equatore;i moduli si rincorrono, quindi le due alette di un modulo vanno una nella fenditura del modulo alla sua destra, l'altra nella fenditura di quello alla sua sinistra.

Per montare il tetraedro: si piegano parzialmente le pieghe 8 nei due moduli (i rombi con la fenditura formano una bocca, o un becco);prendili uno in una mano, uno nell'altra con le bocche che si guardano, ma uno con la piega 8 orizzontale, l'altro con la piega 8 verticale; si avvicinano le due mani in modo che gli estremi della fenditura di un modulo combacino con gli estremi della piega 8 dell'altro modulo e viceversa; accertarsi che tutte le 4 alette siano esterne al tetraedro che si e` formato e infilarle una alla volta nella tasca disponibile.

La prima cosa da fare è decidere quanti piani formeranno la piramide. Poiché la piramide è a base quadrata, ogni piano sarà formato da LxL ottaedri e 2x[(L-1)XL] tetraedri. Dove L è il lato della base. Quindi, partendo dalla punta (piano 1), si avrà che:

PIANO 1 1 ottaedro 0 tetraedri

PIANO 2 4 ottaedri 4 tetraedri

PIANO 3 9 ottaedri 12 tetraedri

PIANO 4 14 ottaedri 24 tetraedri, ecc.

Attenzione: il numero aumenta molto velocemente! Per una piramide a 4 piani, occorrono

1 + 4 + 9 + 16 ottaedri,

0 + 4 + 12 + 24 tetraedri, poiché ogni tetraedro è composto da 2 moduli ed ogni ottaedro da 4 moduli si avrà che per questa piramide bisognerà piegare 4 + 24 + 60 + 112 moduli.

Una volta deciso il numero dei piani si procederà piegando i moduli, componendo tetraedri ed ottaedri ed infine costruendo la piramide vera e propria. E’ opportuno fissare i moduli della base su un supporto di questo tipo

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