GIANCARLO BUCCELLA

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CONSIGLI PER LA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI

Riguardo alla soluzione dei problemi di Fisica, si consiglia quanto segue:

1) Leggere attentamente il testo del problema.

2) Preparare un elenco complete delle quantit date (note) e di quelle cercate (incognite).

3) Disegnare uno schema o un diagramma accurato della situazione. Nei problemi didinamica, assicurarsi di aver disegnato tutte le forze che agiscono su un dato corpo(diagramma di corpo libero).

4) Dopo aver deciso quali condizioni e principi fisici utilizzare, esaminare le relazionimatematiche che sono valide nelle condizioni date. Assicurarsi sempre che tali relazionisiano applicabili al caso in esame. E' molto importante sapere quali sono le limitazioni divalidit di ogni relazione o formula.

5) Molte volte le incognite sembrano troppe rispetto al numero di equazioni. In tal caso ebene chiedersi, ad esempio:a) esistono altre relazioni matematiche ricavabili dalle condizioni del problema?b) possibile combinare alcune equazioni per eliminare alcune incognite?

6) E' buona norma risolvere tutte le equazioni algebricamente e sostituire i valori numericisoltanto alla fine. Conviene anche mantenere traccia delle unita di misura, poich questo puservire come controllo.

7) Controllare se la soluzione trovata e dimensionalmente corretta.

8) Arrotondare il risultato finale allo stesso numero di cifre significative che compaiono neidati del problema.

9) Ricordare che per imparare a risolvere bene i problemi e necessario risolvene tanti: larisoluzione dei problemi spesso richiede creativit, ma qualche volta si riuscir a risolvere unproblema prendendo spunto da un altro gi risolto.

Alanno - giugno 2002

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INDICEVOLUME 1

Introduzione: Capitolo 2 - Il metodo scientifico Pag. 4

Introduzione: Capitolo 3 Le grandezze fisiche Pag. 6

Introduzione: Capitolo 4 Gli errori di misura Pag. 14

Meccanica: Capitolo 1 Il moto uniforme Pag. 26

Meccanica: Capitolo 2 Il moto uniformemente acceletaro Pag. 42

Meccanica: Capitolo 3 I vettori Pag. 59

Meccanica: Capitolo 4 I moti nel piano e nello spazio Pag. 77

Meccanica: Capitolo 5 Le forze Pag. 101

Meccanica: Capitolo 6 I principi della dinamica Pag. 125

Meccanica: Capitolo 7 Le forze e il movimento Pag. 137

Meccanica: Capitolo 8 La conservazione dellenergia meccanica Pag. 156

Meccanica: Capitolo 9 La conservazione della qdm e del momento angolare Pag. 174

Meccanica: Capitolo 10 La gravitazione Pag. 201

Meccanica: Capitolo 11 Gas e liquidi in equilibrio Pag. 219

Meccanica: Capitolo 12 - Gas e liquidi in movimento Pag. 241

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VOL. 1 Introduzione - CAP. 2Il metodo scientifico

11) Il rubinetto della cucina perde e lascia cadere una goccia ogni 45 s. Scrivi unaformula che esprima la legge empirica appena enunciata.

12) Certamente conosci la formula matematica per calcolare l'area di un trapezio.Dopo aver assegnato esplicitamente a ogni grandezza geometrica un nome di variabile,scrivi la formula con le variabili fissate e mostra un esempio di sua applicazione.

13) Nello studio di un fenomeno si trova che due grandezze x e y sono legate dallarelazione y = a / (b + x)Quali relazioni approssimate si possono utilizzare rispettivamente nei casi x > b ?

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Soluzioni

11)

Cade una goccia ogni 45 s dunque n gocce t (s)

0 01 452 90

Si ricordi leq. di una retta: y = mx + qleq. della retta nel nostro caso N = kt poich passa per lorigine;per determinare la costante di proporzionalit diretta,ossia il coefficiente angolare basta scrivere leq. stessa perdue valori noti di N e t, avendosi: (per N=1 e t=45)

1 = k 45 da cu i k = 1/45 allora leq. diviene: N= (1/45) t

N

2

1

0 45 90 t

12)B+b dove B la base maggiore, b quella minore e h laltezza

Area trapezio = h2

indichiamo con x.y e z le tre variabili(x + y) z

Area trapezio = 2 da cui posiamo ricavare una variabile in funzione dellealtre due. Ad es. noti y e z possiamo ricavarci x:

2Ax = - y dove A ovviamente larea del trapezio

z

13)Per xb b+x x da cui y = a/x

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VOL. 1 Introduzione - CAP. 3Le grandezze fisiche

1) Lintervallo di tempo tra due noviluni (mese sinodico) non costante a causa delmoto complicato della Terra e della Luna e varia tra 29 e 30 giorni. Per determinarneun valore medio s possono utilizzare osservazioni fatte su un periodo lungo. In unavecchia agendina si trova che il primo novilunio del 1993 fu il 22 gennaio, mentrel'ultimo novilunio del 1996 capita il 10 dicembre. Calcola la durata media del mesesinodico.

3) In un litro di aria (press'a poco la quantit contenuta in una normale bottiglia diacqua minerale) ci sono 30 000 000 000 000 000 000 000 molecole. Traduci questonumero nella notazione esponenziale con base 10.

4) Scrivi il numero 0,000000015. utilizzando la notazione esponenziale con base 10.

5) Un atomo d'argento ha una massa di 1,79 x 10-22 g. Quanto vale la massa di 6 x1023 atomi d'argento?

6) La luce che arriva dalla galassia Andromeda partita 30 000 000 000 000 secondifa. Traduci questo numero nella notazione esponenziale con base 10. A quanti annicorrisponde? Quanti anni-luce distante Andromeda?

7) II raggio dell'Universo visibile (che puoi immaginare come una sfera) e di circa1,5 x 1010 anni luce. Calcola il volume dell'Universo in (anni luce)3 e in m3.

8) Quanti secondi dura in media la vita di un uomo? Qual l'ordine di grandezza diquesto tempo?

9) La massa del Sole Ms = 1,989 x 1030 kg. La massa d un protone mp = 1.673 x10-27 kg. Qual l'ordine di grandezza del rapporto Ms/mp?

10) Quanto misura lo spessore di un foglio di questo libro? Esprimi questo numero conla notazione esponenziale in base 10. Suggerimento: misura lo spessore del libro.

11) La massa di un elefante in media di 3.5 t. mentre quella di un topo di 25 g.Quante volte la massa di un topo minore di quella di un elefante?

12) Le dimensioni di un'asse di legno di quercia sono rispettivamente di 2.0 cm. 30 cme 1,50 m e la sua massa di 7,0 kg. Calcola la densit del legno di quercia, cio ilrapporto tra la sua massa e il suo volume.

13) Il raggio di una sferetta di acciaio (la cui densit 7800 kg/m3) misura 1,5 cm.Qual la massa della sferetta? (La densit di una sostanza definita nell'esercizio12.)

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14) In un floppy disc da 3"1/2 i dati sono registrati sulle due superfici magnetichecomprese all'incirca tra 2 e 4 cm dal centro. Sul dischetto possono essere memorizzatifino a un milione e mezzo di caratteri.Quanto grande, in media, l'area occupata da un carattere, in mm2?

15) Determina le dimensioni fisiche dell'accelerazione a, sapendo che esiste la formulaa = 2s/t2

16) Determina, a meno di una costante adimensionale, l'espressione dell'accelerazionecentripeta in un moto circolare uniforme, se questa dipende solo dalla velocit e dalraggio di curvatura. (Le dimensioni fisiche dell'accelerazione sono calcolatenell'esercizio 15.)

17) Come nell'esercizio precedente, determina il periodo di un pendolo (matematico)sapendo che questo potrebbe dipendere dalla lunghezza , dalla massa m edall'accelerazione d gravita g. (Le dimensioni fisiche dell'accelerazione sono calcolatenell'esercizio 15.)

18) Per un determinato sistema dinamico, la grandezza denominata energia totale data dalla somma di due termini: E = k1 x2 + k2v2

dove x una lunghezza e v una velocit. In che unit si misura la costante =(k2/k1)1/2 nel SI?

19) La velocit delle navi si esprime di solito in nodi, cio in miglia nautiche all'ora.Per ottenere la velocit in m/s quanto vale il fattore di conversione, se un miglio nauticovale circa 1853 m ?

20) Due rotoli di filo di rame hanno lo stesso peso. Il primo filo ha un diametro di 1mm, l'altro di 0,4 mm. Che rapporto c' tra le lunghezze? Se il primo lungo 100 m,quanto lungo il secondo?

21) Il progetto di un complesso edilizio ha richiesto una confezione di mine per idisegni, una scatola di acquerelli per le vedute, 3 hg di polistirolo per la realizzazione diun plastico. Si decide di rifare l'intero progetto in scala 4 volte maggiore; quantomateriale occorrer?

22) Si legge spesso che il fenomeno delle maree dovuto alla presenza della Luna, inrealt tutti i corpi celesti contribuiscono con un termine proporzionale alla propriamassa e inversamente proporzionale al cubo della distanza dalla Terra. Nella tabellache segue le masse sono date in unit della massa della Terra e le distanze sono espresseattraverso il tempo impiegato dalla luce a percorrerle.

(*) nella posizione pi vicina

Oggetto Massa Distanza

Luna 1,2 x 10-2 1,3 s

Sole 3,3 x 105 8 min

Giove (*) 3,2 x 102 32 min

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Posto uguale ad 1 (in opportune unit di misura) l'effetto dovuto alla Luna,determinare gli effetti dovuti al Sole e a Giove.

23) Una finestra larga 140 cm, e dista 4,5 m dalla parete opposta di una stanza.Stando accostati alla parete opposta, si osserva, in direzione perpendicolare alla parete,un campanile lontano, proprio allineato al bordo destro della finestra. Per vedere lostesso campanile allineato con il bordo sinistro bisogna spostarsi di 143 cm. A chedistanza si pu stimare sia il campanile?

24) Una certa sostanza assorbe l'umidit dell'aria in proporzione alla sua superficie.Avendone a disposizione un volume cubico di spigolo l, per ottenere un maggior effettodeumidificante, conviene o no tagliare il cubo in N cubetti pi piccoli?

25) Versando una goccia di acido oleico (fortemente diluito in un solvente volatile) suuna superficie d'acqua, questo galleggia e si espande formando uno strato superficialeapprossimativamente circolare. Si pu ritenere che l'espansione termini quando lospessore dello strato dell'ordine di grandezza delle dimensioni molecolari, mentre ilsolvente completamente evaporato. Sia q la frazione in volume di acido oleico nellasoluzione, r il raggio della goccia ed R il raggio dello strato superficiale. Scrivil'espressione che esprime l'ordine di grandezza delle dimensioni molecolari dell'acidooleico.

26) Un barra di ferro a sezione quadrata di 20 cm di lato viene passata in unlaminatoio ove, con successive operazioni, viene ridotta a una lamina di 1 m di lar-ghezza e 0.5 mm di spessore. La produzione a ciclo continuo: quindi le barre entranoed escono una dopo l'altra senza interruzioni. La lamina viene successivamentearrotolata attorno a un rocchetto di legno di raggio R e forma una bobina.Se la barra entra nel laminatoio a 30 cm/s, a che velocit deve uscirne?Considerato che la superficie laterale della bobina si arrugginisce e rester quindiinutilizzata, converrebbe aumentare o diminuire l'altezza della lamina?

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Soluzioni

1)1993 novilunio 22 gen1996 novilunio 10 dic

Intervallo temporale di 1417 giorni(4 anni = 1460 giorni) la distanza temporale tra il 10 dic e il 22 gen di 43 giorniquindi basta fare 1460-43=1417 giorni

Se la periodicit fosse stata di 30 giorni si avrebbe avuto un tempo totale di 1440giorni, allora 1440:30=1417:x da cui x=29.52 giorni

Oppure:1 anno = 365 g +( ) g = 365.25 g ora dal 22/1/93 al 10/12/96 ci sono 1418.0 gSupponendo il mese lunare di 29 si avrebbe 29 x 48 = 1392 dove 48 il numerointero che fa avvicinare il risultato a 1418, il che significa che anticiperebbe di 26 g,quindi dobbiamo aggiungere questi 26 g a tutte le mensili (29x48) e poii dividre per48 al fine di ottenere il mese effettivo:

((29x48) + 26)/48 = 29.54 g

3)3x1022 molecole

4)1.5x10-8

5)m(Ag)=1.79x10-22

M=massa di una mole di atomii di Ag ossia di 6x10^23 atomi di AgM=1.79x10-22 x 6 x 1023 = 1.07 x 10^2 g

6)30.000.000.000.000 s = 3x1013 s1 anno = 12 mesi = 365 giorni = 8766 ore = 525 960 minuti = 31.5 x 106 s ossia

ossia 31.5 Ms (M=mega=106)

7)R=1.5x1010 a.l.Il volume di una sfera V=(4/3)R3 = 1.41x1031 (a.l.)3

Un anno luce vale come si sa 9.5x1015 m dunque 1(a-l-)3 = (9.5x1015)3 m3

= 8.57x1047 m3

Dunque il volume sar V=1.41x1031x8.57x1047 = 12x1078 m3

8)Vita media uomo = 75 anni = 75x3.15x107 s = 2.4x109 s

il cui ordine di grandezza 109 s

9)Ms = 1.989x1030 kgMp = 1.673x10-27 Ms / Mp = 1.19x1057

9

S

10)s = 1.6 cm spessore del libro n pagine = 210

spessore di un foglio 1.6/210 = 80 m ossia poco meno di 1/10 di mm

11)Me = 3.5 t mt= 25 x 10

-3 kg da cui Me/mt = 1.4 x 105 cio la massa dellelefante

circa 100 000 volte la massa del topo.

12)

l=0.02 m l1=0.3 m l2=1.5 m V = l l1 l2 = 0.02 0.3 1.5 = 0.009 m3

37 778 /0.009

Md kg m

V

13)R=1.5 cm d= 7800 kg/ m3

M = dV = 78001.41310-5 = 0.11 kg(Essendo V=(4/3) R3=1.41310-5 m3)

14)d= 3.5 pollici R1 = 2 cmN=1.5106 caratteri R2 = 4 cm

A= S/N S= Sup. effettiva di registrazione

A larea occupata da un carattereS=area totale area centrale =

area della corona circolareS=(R2-R1)2 = 3.77103 mm2

A= 23.77103/45100 = 510-3 mm2

15)a=2s/t2 a=LT-2

16)a = LT-2 = k v R essendo k dimensionale dovr essere =2 e = -1infatti L2 T-2/L = LT-2 quindi sar a= k v2/R

10

17)

T =(?) lunghezza massa acc. gravit = l m g = L M LT-2 acc. di gravit = LT-2

Si nota subito che T non pu dipendere dalla massaDeve quindi risultare L LT-2 = T basta prendere alfa uguale a -1 in modo che sisemplifica con L e per ricondurre poi T-2 al valore di T basta prendere la sua radicequadrata: dunque

2

-2

LT T T

LT dunque

lP k

g (k una cost. adimensionale)

18)E=k1x

2 + k2 v2 Joule = M L2 T-2

(ad es. si ricordi la formula dellen. cinetica (massa (M) per velocit (L/T) al quadrato))k1 L

2 = M L2 T-2 da cui k1 = M T-2

k2 L2 T-2= M L2 T-2 da cui k2 = M dunque k2 / k1 = M/M T

-2=T2

allora = k2 / k1 = T si misura quindi in secondi

19)1 miglia nautico = 1853 metri1 nodo = 1 miglia nautico/1 ora = 1853 m/ 3600 s = 0.515 m/s

20)Nulla vieta di pensare a due fili rettilinei li lunghezza l1 ed l2 , massa M1 e M2 e raggio

R1 ed R2Allora possiamo scrivere : M1= M2=M; d = M/V1 = M/V2 ma V2/ V1=1 cio V2= Vinoltre

R12 l1 = R2

2 l2 da cui l1/ l2 = (R2/ R1)2 = 0.16

Se l1=100 m allora sar l2 = 100/0.16 = 625 m

21)Le linee (unidimensionale) vanno moltiplicate per 4, quindi 4 confezioni di mine,

si dovranno disegnare linee 4 volte pi lunghe,le vedute (bidimensionali) vanno elevate al quadrato, quindi 42=16 scatole di acquerelli --- sidovranno colorare aree 42 volte pi grandiInfine il plastico (tridimensionale) dimensionalmente un volume cio una lunghezza alcubo, quindi 43=64 --- si dovranno riempire spazi 43 volte maggiori e siccome la massa proporzionale al volume la massa del nuovo plastico sar 430.3=19.2 kgIn formule con ovvi significati dei simboli:A1= l1

2 A2=l22 =(4 l1)

2=42 l12=42 A1 si ricordi che abbiamo l1=4 l2 e h1=4 h2( l una generica linea del piano e h laltezza del plastico)

V1=A1h1 V2= A2h2= A2 4h1= 42 A1 4h1 = 4

3 V1Infine per la massa si pu scrivre la seguente proporzione M1 : V1 = M2 : V2da cui M1 = 0.3 V2/ V1 = 0.3 4

3 V1 / V1 = 0.364 = 19.2 kg

11

22)

3 3

3

3 8

0.0120.0055

1.3

3300000.00298

480

320 4.52

1920 10

luna

sole

giove

MF k

R

F k

F k

3 3

3

3

0.0120.0055

1.3

3300000.00298

480

3204.52

1920

luna

sole

giove

MF k

R

F k

F k

0.5s

L

F

F G

L

F

F 810-6

23)campanile finestra parete

C --------------------------------------- -----------------

AB = 4.5 m il rettangolo ACD simile al triangolo BCE pertantoAD=1.43mBE=1.4m AD:BE=AC:BC 1.43/1.4 = (AB+BC)/BC = 4.5/BC + 1

da cui BC = 210 m

24)Beh! ovviamente SI. Infatti tagliando il cubo di partenza in N cubetti si aumenta la

superficie della sostanza e quindi il suo effetto deumidificante.

25)r

r il raggio della goccia di acido oleico diluitoq = frazione di ac. oleico presente nella gocciaR il raggio dello strato superficiale di altezza h

Rh Il volume dello strato superficiale tutto di acido

oleico e deve essere uguale al volume iniziale presente nella goccia

q((4/3) r3) = R2 h da cui h = q (4/3) r3/ R2

B

E

A

D

12

26)

l1 S1=0.22= 4 10-2 m2

a S1

l3 = 1m d=5 10-4

l2l3 S2= l3 d = 5 10

-4 m2 v=0.3 m/sd

a) V 0 cost. Sl=k l=k/S nello stesso tempo deve entrare eduscire un certo volume;

t1 = v1/l1 e t2= v2/l2 da cui v1/l1 = v2/l2v2= (l2/ l1) v1 = ((k / S2)/( k / S1)) v1 =( Sl / S2) v1

= (4 10-2 /5 10-4 ) 0.3 = 24 m/s

b)

Il volume del pezzo di ferro area di base per hh

R V = (R2 R02) h da cui ricaviamo R:

R02 20 0

1( R ) R

h

V VR

h h

La superficie laterale Sp = 2R h

Sp = 2h 20Rh

V = 2 2 204 4RpS V h h

2 2 204 4RpS V h h

Siccome V fissato e pure R0 , Sp dipende solo da hallaumentare di h aumenta anche Sp, dunque per diminuire le perdite dovute alla

ruggine occorre diminuire h

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VOL. 1 Introduzione - CAP. 4Gli errori di misura

1) Considera la formula che consente di calcolare la lunghezza di una circonferenza Cdi raggio r. Assegnando una serie di valori al raggio, compila una tabella con i valoridell'area e traccia il grafico corrispondente.

2) Dal grafico qui riportato, che rappresenta il legame fra l'istante di tempo e laposizione dell'estremit di una molla che oscilla su e gi, determina il valore della po-sizione in tre istanti di tempo a tua scelta.L'istante di tempo rappresentalo sull'asse orizzontale e ad ogni lacca corrisponde undecimo di secondo. La posizione rappresentata sull'asse verticale e ogni taccacorrisponde a mezzo centimetro.

3) Lanciando ripetutamele 6 monete, conta il numero di teste che escono. Traccia unistogramma delle frequenze (per i = 0. 1.....6) e confrontalo con quello teorico (si pufacilmente calcolare che le frequenze che si ottengono dopo un numero grandissimo dilanci, cio le probabilit di uscita dei diversi ii sono proporzionali ai numeri 1. 6. 15.20, 15.6, 1),

4) Due grandezze sono tra loro inversamente proporzionali: y = k / x. Si eseguono 4misure ottenendo la seguente tabellax) 1.20 ; 2.15; 3,00; 4,10; e y) 2.68; 1.48; 1.08; 0,77.Stima il valore della costante k.Suggerimento: conviene riportare in un grafico il prodotto xy e stimarne il valoremedio.

5) La distanza tra Milano e Roma, rilevata da una tabella di un atlante stradale, di574 km. Quali possono essere i fattori di indeterminazione? Che significato ha questonumero?

6) Un orologio va avanti di 10 minuti al giorno. Quale errore si compie misurando conquesto orologio, subito dopo averlo regolato, una durata di 3 ore? una misurasbagliala per eccesso o per difetto? Si tratta di un errore casuale o sistematico?

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7) Per determinare il volume medio di un fagiolo si pu pensare di riempire di fagioliun vasetto di capacit nota (V V) e successivamente di contare i fagioli contenuti(N), Quali tipi di errore si commettono? Come si pu ovviare?

8) noto che misurando l'intervallo di tempo tra un lampo e il tuono si pu stimare ladistanza del temporale. Discuti la precisione della misura, gli eventualierrori casuali e quelli sistematici.

9) Quale delle seguenti misure pi precisa: (5730 1)m. (34.5 0,1) m,(10,25 0,01) m?

10) Quale delle due misure di tempo pi precisa: (12,0 0,2) oppure(2400 30) s? Calcola l'errore relativo percentuale delle due misure.

11) Due studenti misurano la lunghezza di due matite con due strumenti diversi. Ilprimo studente trova che la sua matita misura (15.0 0,5) cm, l'altro studente af-ferma di aver misurato (14,80 0.25) cm. Calcola l'errore relativo percentuale delledue misure

12) II tachimetro di un'automobile funziona attraverso la misura del tempo dirotazione delle ruote. Se le ruote non sono gonfiate in modo corretto che tipo dierrore si produce? Stima tale errore.

13) II diametro di un palloncino viene misurato per tre giorni consecutivi, utilizzandometodi e strumenti diversi. Il primo giorno si trova (32,2 0,8) cm;il secondo (31,1 0,8) cm; il terzo {30,7 1.5) cm. Si pu affermare con certezza che

il palloncino si sta sgonfiando?

14) Con riferimento alla misura del mese lunare (esercizio 1 del capitolo 3) conquale accuratezza si determina il risultato?

15) Nel misurare una lunghezza il cui valore 12 m, si compiuto un errore relativopercentuale del 5%, Qual l'intervallo di incertezza della misura?

16) La misura di un intervallo di tempo ha dato come risultato 15,6 s con un errorerelativo percentuale del 2%. Calcola l'intervallo di incertezza associato a questa misura.

17) Supponi di aver misurato dieci volte la durata del periodo di oscillazione di unpendolo e di aver trovato i seguenti valori (in secondi):15,21; 15,43; 15,32; 15,50: 15,61; 15,45; 15,61; 15,24; 15,55;15,48.Calcola il valore pi attendibile della misura, l'intervallo di incertezza associato allamisura e l'errore assoluto.

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18) Il tempo di caduta di un oggetto viene misurato 50 volte con un sistema capace diapprezzare il centesimo di secondo. La tabella indica quante volte si ottenuto unostesso valore:valori (in s) 1,18 1.19 1.20 1.21 1,22 1.23 1,24 1,25 1,26n. di volte 2 5 7 9 10 7 6 3 1Disegna listogramma delle frequenze e determina il valore medio del tempo di caduta el'errore massimo relativo.

19) Le dimensioni a, b, e di un parallelepipedo vengono misurate con un errore relativopercentuale del 9% e la sua massa m con un errore del 15%. I valori misurati sono: a= 0,24 m, b = 0,21 m. e = 0,28 m, m = 14 kg.Calcola l'incertezza di ogni misura e la densit del parallelepipedo. (Per la definizionedi densit vedi l'esercizio 12 del capitolo 3.)

20) II volume di un piccolo oggetto pesante pu essere misurato lasciando caderel'oggetto in una provetta graduata in mm e contenente acqua. Il diametro interno dellaprovetta misura 30 mm e il livello dell'acqua sale da 98 a 112 mm. Con quale errorepercentuale si determina il volume del piccolo oggetto se valori dati sono affetti da unerrore di 0,5 mm?

21) Due grandezze X e Y sono legale dalla relazione Y = k Xn. Verifica che, se X nota con un errore relativo r allora l'errore relativo su Y n r . Applica il risultato alcalcolo del volume di un cubo il cui spigolo (12 0,3) cm.

22) Il pavimento di una stanza misura 4,71 m in una direzione e 6,12 m nell'altra.Calcola la sua area con il numero corretto di cifre significative.

23) Il lato di un quadrato misura 0,135 m. Come si esprime la lunghezza della suadiagonale con il corretto numero di cifre significative?

24) Un giornale sportivo, riportando la vittoria di un ciclista, dice che questi hapercorso i 113 km della tappa in 2 ore 36 minuti e 41 secondi, alla media di 43.272km/h. corretta questa affermazione?

25) Un'aiuola ha la forma d un triangolo rettangolo molto allungato. Il catetomaggiore slato misurato con cura: lungo 32,4 m. a meno di 10 cm. cio con un errorerelativo dello 0.3%: l'ipotenusa lunga 33.2 m con lo stesso errore. Con qualeprecisione relativa si pu calcolare l'area dell'aiuola?Suggerimento: utilizza una calcolatrice per calcolare il cateto minore in vari casipossibili e ricavane una misura dell'errore.

26) Riferendoti nuovamente agli strumenti di misura esaminati nell'esercizio 2 delcapitolo 3. confronta le loro caratteristiche di portata, precisione e sensibilit.

27) Come per l'esercizio precedente, confronta le caratteristiche di una bilancia dacucina e d una bilancia pesapersone.

16

28) Una sfera rotola lungo un piano inclinato. La lunghezza del piano, misurata conun'asta graduata in mm, risulta 1.780 m. Il tempo impiegato dalla sfera per percorrereil piano viene misuralo con un cronometro: per maggiore precisione, la misura vieneripetuta 20 volte, ottenendo i seguenti valori (in secondi):0,70 0.69 0,68 0.74 0,71 0,71 0,69 0,70 0.71 0,68 0,69 0,70 0,70 0.66 0,700.71 0,68 0,69 0,69 0,72Qual l'errore relativo percentuale commesso nel determinare la lunghezza del piano?Qual il valore pi probabile del tempo impiegato e con quale incertezza ha tale valore?Qual il valore della velocit media della sfera (ottenuta dividendo la lunghezza delpiano per il tempo impiegato), espresso con il numero corretto di cifre significative?

30) Un automobilista viaggia in autostrada mantenendo costante la velocit: iltachimetro indica 120 km/h con un'indeterminazione del 5%. La lunghezza delpercorso desumibile da una carta stradale, sommando un certo numero di distanzeparziali espresse in km: 5, 20.15, 38, 7, 25, 21. 14, 37, 8. Quanto tempo impiegherl'automobilista?

31) Si usa una livella a bolla lunga 30 cm per stabilire se la superficie di un tavolo da150 cm piana. La bolla, per un angolo di 0,5 rispetto all'orizzontale, si sposta di 1mm. Se spostamenti della bolla minori di 1/5 mm sono inapprezzabili, quanto puessere il dislivello tra i due estremi del tavolo, se la livella appare sempre in piano?

32) Si ipotizza che tra due grandezze x e y valga la relazione y = k x3 con k costante,pari a 5,0. Si misurano quindi i seguenti valori delle due grandezze, in un sistemacoerente di unit di misura, intendendo che tutte le cifre riportate siano significative:

x y

1,23 9.23

2,46 73,8

5,8 1,01 x103

12,1 8,36 x 103

Che cosa si pu dire circa la verifica sperimentale della legge?

33) Un signore molto metodico segue sempre la stessa strada per recarsi in ufficio etornare a casa, annotandosi di giorno in giorno il tempo impiegato e il numero di passifatti.

Andata Ritorno

Luned(min)12,3

(passi)1312

(min)12,0

(passi)1237

Marted 11,9 1267 12,2 1280

Mercole 12,1 1222 11,8 1256

Gioved 11,7 1278 12,2 1187

Venerd 12,3 1199 12.4 1230

Una domenica, su una strada di campagna, mentre cammina con lo stesso ritmo diogni giorno, constata che in un km d strada ha fatto 1528 passi. Cosa pu dire -sulladistanza tra casa e ufficio? -sulla sua velocit media in km/h? Determina poi l'errorequadratico medio e l'errore relativo con cui si determinata la distanza tra casa e uf-ficio.

17

Soluzioni

1)

C=2R A=R2 R (m) A(m2)

1 3.142 12.56

A 3 28.264 50.24

40

30Larea aumenta in modo proporzionale

20 al quadrato del raggio, graficamente

10 ci si traduce nella figura mostrata

1 2 3 4 R fianco che si chiama: parabola.

2)y(cm)

t1 = 3 s y1 = -8 cm8 t2 = 1.5 s y2 = 6 cm---------

t3 = 4 s y3 = 0 cm

1 2 3 4 t(s)

-8 ----------------------------

3)Istogramma

Lanci n di teste

1 32 43 24 3

ripetizioni

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 n di teste

18

4)y=k/x x ) 1.2 ; 2.15 ; 3.00 ; 4.10

y) 2.68 ; 1.48 ; 1.08 ; 0.77ki=yi xi

k1=1.2 2.68 = 3.22 k2=2.155 1.48 = 3.18 k3= 3 1.08 =3.24 k4=4.1 0.77=3.16kmedio = (3.22+3.18+3.24+3.16) / 4 = 3.2 s

5)Fattore di indeterminazione = strada effettivamente seguita per la misura non unica:qual il punto di partenza? e quello di arrivo?Il numero puramente una stima della distanza, accurata al km.

6)

10 min/giorno = 600 s / 24 ha) 600(s) : 24(h) = x(s) : 3(h) da cui x(s) = 600 3/24 = 75 sQuindi ogni 3 ore il tempo in eccesso segnato dallorologio di 75 s.b) Lerrore chiaramente di tipo sistematico

7)Il volume del barattolo non completamente riempito dai fagioli ma c anche dellaria.Si pu ovviare a ci mettendo dellacqua e misurando tale volume in modo da poter risalireal volume dei fagioli.

8)a) Errore casuale quello dovuto al via e allo stop del cronometro.b)Errore sistematico quello dovuto al tempo di reazione dellosservatore (in genere

qualche frazione di secondo)

9)1 misura 5730 1 r = 1/5730 = 0.00017 questa la misura pi precisa2 misura 34.5 0.1 r = 0.1/34.5 = 0.00293 misura 2400 30 r = 30/2400 = 0.012

10)1 misura 12.0 0.2 r = 0.2/12 = 0.17 = 1.7 %2 misura 2400 30 r = 30/2400 = 0..012 = 1.2 % questa la pi precisa

11)

15.0 0.5 r = 0.5/15 = 0.33 = 3.3%14.80 0.25 r = 0.25/14.8 = 0.017 = 1.7% questa la pi precisa

12)Il tempo di rotazione della ruota a parit di potenza impegnata - minore se sgonfia

perch maggiore lattrito e quindi va pi piano rispetto alla ruota gonfia. Ma la velocitindicata dal tachimetro comunque sempre quella della ruota!

19

13)d1 = 32.2 0.8 cmd2 = 31.1 0.8 cmd3 = 30.7 1.5 cm

Ora come si vede non si pudire con certezza che ilpalloncino si sta sgonfiandoin quanto le misure hanno incomune lintervallo compreso tra 31.4 e 32.2 cm in cui potrebbe cadere il valore vero deldiametro del palloncino. La probabilit che il valore vero sia comprso fra 31.4 e 32.2 bassa.

14)Lerrore della stima della durata del mese sinodico 0.01 giorni ossia circa 15 min.Laccuratezza il doppio di r : accuratezza = 2r = 20.01= 0.02 giorni ora(cf. es. 17)

15)

r= m /x=5%=0.05 m=120.05=0.6 Quindi intervallo di certezza 0.6

16)

T=15.6 s r= m /x=2%=0.02 m =0.0215.6=0.312 pertanto lerrore daassociare a t 0.3 quindi: t=15.63 s

17)

___ iT

NT = 15.21+.+15.48/10=15.44 s

m = (Tmax - Tmin) /2 = (15.61 15.21)/2 = 0.2

T T =15.4 0.2

Lincertezza della misura il doppio di m: in questo caso vale 0.4 s

d3

d2

d1

29 30 31 32 33

ZONA di sovrapposizione

___

T

15,2 15,3 15,4 15,5 15,6

20

18)

t = (21.18+51.19+71.2+91.21+101.22+71.23+61.24+31.25+11.26)/50 = 1.22 s

m=tmax - tmin / 2 = 0.04 t=_

t t cio, nel nostro caso: t= 1.220.04 s

19)

a=0.240.02 m m = 0.240.09 = 0.02 r =9%b=0.210.02 m m = 0.210.09= 0.02 r=9%c=0.280.03 m m = 0.280.09= 0.03 r=9%

m = 14 2 kg m=140.15=2 r=15%

d = M/V = (MM) / (VV)

V = abc = 0.014 m3 (2 cifre significative) V= S c c S = 0.04

S = ab = 0.05 S a b b a =0.240.02+0.0210.02=0.009

V = 0.0140.004 m3 r=2.9%

d = (142) / (0.0140.004) = 1000 1000 (2/14 + 0.004/0.014) = 1000 428 kg

d = 1000 428 kg r = 4.3%

N di ripetizioni

10

8

6

4

2

1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 valore della misura

21

20)

d = 2R = 3010-3 m

112 h = 112 98 = 1410-3 mh m

RR d = 30 0.5 mm R = 15 0.5 mm98

h = (112 0.5) (980.5) = 14 1 mm

lerrore si somma

S = R2 = 707 mm2

S = 2R R = 2.150.5=15 V = S h = 70714 = 9898 mm2

V = Sh + hS =7071 + 1415 = 917

V = 9898 917 mm3 r= 917/ 9898 = 0.093 = 9.3% ossia circa il 10%

21)Errore assoluto:

Prodotto di due grandezze (ab) = a b + b aProdotto di tre grandezze (abc) = (dc) dove d =a b e d = a b+ b a

(dc) = c d + d c = c (a b + b a) + ab c (abc) = ac b + cb a + ab c

a) (a a a a a a a) = an = a a a a + a a a a + a a a a + .. + a a a a =

n volte n-1 volte

= n (a a a a) = n an-1 aNel caso dellesercizio y = k x n

y = k n x n-1 x in definitiva si ha (r )y = y /y = k n x n-1 x / k x n = n x-1 x

= n x / x = n (r)x

b) = 120.3 cm

V = 3 = 123 =1728 cm3 (r)V = n (r)l = 3 03/12 = 0.075

(a)V = V(r)V = 1728 0.075 = 130

Dunque V = 1728 130 cm3

22)

1 = 4.71 m2 = 6.12 m A = 1 + 2 = 28.8 m

2

22

23) = 0.135 d =2 = 0.191 m

24)d = 113103 m t = 2h36m41s = 9401 s

Gli errori salvo avviso contrario vanno sempre intesi sullultima cifra significativa.

d =(1131)103 m t = (941) s

v = d/t = 12.02 0.11 m/s essendo a

( )d d v

vt d v

=0.11 m/s

v = 43.3 0.4 km/h

Se si ipotizza invece un errore di 500 m nella misura di d:

( )

d d vv

t d v = 12.02 (05/113 + 1/9401) = 0.05 m/s = 0.2 km/h : v = 43.3 0.2 km/h

25)

c a = (c2 b2)a

b

a) Calcoliamo il valore stremale di a nel caso di massima divaricazione dei valoridi c e b:

amax = (c2

max - b2

min) = (33.32-32.32)1/2 =8.10

valore medio, pi probabile, di a:2 2-a c b = 33.22 32.42)1/2 = 7.24

La distanza fra a ed amax ci da una stima dellincertezza da associare ad a,

a amax - a = 8.10 7.24 =0.9 oppure amin = (c2

min - b2

max) = (33.12 32.52 )1/2 = 6.27

Con a = (amax - amin) / 2 = 0.9 per cui a = 7.2 0.9 mb)A = ab/2 = 7.232.4/2 = 116.6 m2 A = (ba + ab)/2 =14.9 A = 116.6 14.9 m2 con errore relativo r =13%

26)Si ricordi che laprecisione lerrorefratto il valor mediomisurato

portata sensibilit precisione

righello 20 cm 0,1 cm 1%

riga 1 m 0,1 cm 1%

metro 2 m 0,5 cm 0,5%

decametro (fettuccia) 20 m 10 cm 0,5%

23

27)

bilancia da cucina 5 kg 50 g 1%

bilancia pesa persone 100 kg 0,5 kg 0,5%

28)

Si pu stimare come errore la mezzatacca ossia 0.5 mm.

a) = 1.780 0.0005 m r = 0.0005/1.780 = 0.03 %

b) 0.70 ... 072

0.7020

ittN

(2 cifre significative)

si potrebbe essere tentati di usare, per lerrore assoluto, la relazione della semidispersione:

t = max min- 0.74-0.68

0.042 2

t t

Ma in questo caso avendo a disposizione 20 misureconviene usare lo scarto quadratico medio:

2 2( - ) (0.70-0.70) ... (0.72-0.70) 0.02

20ix x

N

che una stima migliore!

Pertanto avremo: t = 0.70 0.02 s con r = 3%

c) v= /t = 1.780/0.70 = 2.6 m/s

( )t

vt t

=0.1; v= 2.6 0.1 m/s con r = 4%

30)

v= 120 km/h r = 5% v = 120 0.05 = 6 km/h; v=1206 km/h

1 = 5 ; 2=20; 3=15; 4= 38 ; 5=7 ; 6=25 ; 7=21; 8=14; 9=37; 10=8( i = 0.5)

= i = 190 km = ( i) = 0.5 10 = 5 km = 190 5 km

t = /v = 190/120 = 1.58

( )v

yv v

= 0.12

per cui t = 1h 35m 7m o anche 1h 28m t 1h 42m

24

31)

s

= 0.3 m = 0.5L = 1.5 m s = 1 mm

d Calcoliamo langolo minimo sotto il quale la bolla

non si muove: (10-3 / 5) : x = 10-3 : 0.5 da cui x = 0.1L Quindi per 0.1 la bolla appare ferma.

Se la bolla appare ferma vuol dire che su 30 cm il dislivellodel tavolo pu essere al massimo di 0.1 ossia d=30 sin 0.1 = 0.05 cm e su 1.5 m sard = (150/30) 0.05 = 0.25 cm = 2.5 mm

32)

X X3 kX3 Y

1.23 1.86 9.30 9.23 0.07

2.46 14.88 74.4 73.8 0.6

5.8 195 0.976103 1.01103 0.03

12.1 1771 8.66103 8.36103 0.5

Dunque si pu dire che entro un errore di 0.5 la legge Y = kX3 rispettata.

33)

12.3 ... 12.412.1

10itt

N

n passi = (1312 ++1230) / 10 = 1247

103 : 1528 passi = xpassi : 1 xpassi = 0.654 m: distanza Casa-Ufficio = 1247 0.654= 816 m

v= d/t = 816(m) / 21.1 (min) = 816 (m) / 726 (s) = 1.12 m/s = 4.05 km/h

Stimando lerrore come passo e per il tempo il decimo di secondo

( - ) 1313-1247 36.6

10ix x passi

N n passi Casa-Ufficio = 1247 37

Essendo un passo = 0.654 m lerrore sulla distanza di 36.8 0.654 = 24 m; quindi

d = 816 24 m con r =3%Oppure:

n passi Casa-Ufficio = 124737 1 passo = 103 / (15280.5) = 0.654

(1passo) 3

3 3

(10 ) 0.5 0 0.50.654( ) 0.654( ) 0.00021

10 1528 10 1528

d(casa-Uff)= (124737 ) (0.6540.00021) = 816 m

d = 816 (37/1247 + 0.00021/0.654) = 24 m d = 816 24 m con r = 3%

25

VOL. 1 Meccanica - CAP. 1Il moto uniforme

1) Come puoi definire un sistema di riferimento all'interno della tua aula?

2) La seguente tabella indica i tempi fatti registrare da un pilota in una garaautomobilistica:

distanza intervallo di tempo

primo giro 40,3 s

secondo giro 40,8 s

terzo giro 40,0 s

quarto giro 40,4 s

In un diagramma cartesiano riporta sull'asse delle ordinate le posizioni successive delpilota e. sull'asse delle ascisse, gli istanti corrispondenti, sapendo che la pista lunga1500 m.

3) I grafico seguente rappresenta lo spostamento di un'automobile che parte da Bolognaalle ore 10 per Roma. A quale ora l'automobile passa per Firenze?

4) La seguente uguaglianza mette in relazione la posizione x occupata da un treno (apartire, per esempio, dalla stazione di Milano) con l'istante t nel quale raggiunge taleposizione: x = 20 t dove x espresso in metri e r in secondi.Rappresenta questa legge del moto in un diagramma cartesiano.

5) Un aeroplano percorre con moto uniforme 1800 km in 2 ore e 15 minuti. Calcola lasua velocit in km/h e in m/s.

6) Un fulmine cade a 1 km di distanza. Sia la luce che il suono viaggiano di motouniforme alla velocit, rispettivamente, di 3.0 x 105 km/s e 344 m/s. Quanto tempopassa prima di vedere il lampo? E prima di sentire il tuono?

26

7) Quale distanza percorre in 1,00 minuti un'automobile che s sta muovendo a 100km/h?

8) La Luna dista dalla Terra 3.8 x 108 m. Sapendo che la luce viaggia alla velocitcostante di 3.0 x 105 km/s, quanto tempo impiega per percorrere la distanza Terra-Luna? Quanti secondi-luce dista la Luna dalla Terra?

9) Il rintocco di una campana lontana 1 km indica che mezzogiorno in punto. Inrealt quando sento il suono che ore sono?Suggerimento: per arrivare dalla campana al mio orecchio il suono impiega un certotempo, visto che s muove nell'aria alla velocit di 344 m/s.

10) Un concerto per violino viene trasmesso alla radio. Due persone seguono il concerto,il primo in sala, seduto a 30 metri dal violinista, il secondo alla radio, a 8000 km didistanza, A che distanza dalla radio seduto il secondo ascoltatore perch i due odanosimultaneamente un accordo? La velocit di propagazione delle onde radio di 3,0 x108 m/s e quella del suono, supposta uguale nella sala da concerto e nella sede dove sitrova l'apparecchio radio, di 344 m/s,

11) In una citt due localit periferiche sono collegate da una linea di metropolitana eda un autobus urbano. Per compiere il percorso di andata e ritorno in autobus siimpiegano 1 ora e 10 minuti; andando in metropolitana e ritornando in autobus, iltempo necessario si riduce a tre quarti d'ora.Quanto tempo ci vorrebbe usando la metropolitana sia all'andata che al ritorno? Risolvinell'ipotesi che tutti i mezzi impieghino sempre lo stesso tempo per il percorso e che itempi di andata e di ritorno siano eguali.

12) Un viaggiatore osserva dal finestrino del treno in corsa il passaggio di un treno cheprocede in senso inverso. Sapendo che su quel tratto di linea tutti treni tengono unavelocit di 120 km/h, valuta la lunghezza del treno visto dal finestrino se ha impiegato4,0 secondi per passare.

13) In un aeroporto un nastro trasportatore consente, a chi sta fermo in piedi su di esso,di percorrere il corridoio di separazione fra due edifici in 2.0 minuti. Camminandonormalmente, il corridoio pu essere percorso in 5,0 minuti: quanto tempo necessarioper compiere il tragitto a un viaggiatore che ha fretta e che cammina lungo il nastrotrasportatore?

14) Un corridore si allena su pista mantenendo costante la propria velocit. A un certopunto (origine delle posizioni) fa partire il cronometro per controllare la velocittenuta. Dopo 25 s ha percorso 75 m. Determina la velocit del corridore, scrivi la leggedel suo moto e calcola la posizione che avr raggiunto all'istante 65 s.

15) In un intervallo di 12 s un punto materiale in moto rettilineo uniforme percorreuna distanza di 32 m. Il punto passa per l'origine delle posizioni all'istante 3.2 s.Scrivi la legge del molo del punto. Determina l'istante in cui il punto transita a 7.4 m

27

dopo l'origine. Determina la posizione del punto rispetto all'origine quando ilcronometro stato avviato.

16) Un carrello viene fatto procedere a velocit costante lungo una rotaia rettilinea,sucui stato posto un indicatore dell'origine delle posizioni. Per rilevare le caratteristichedel moto del carrello uno studente fa partire il suo cronometro quando il fronte delcarrello ha superato l'origine di 20 cm: inoltre osserva che il fronte del carrello passa a140 cm dall'origine all'istante 4.0 s. Scrivi la legge del moto del carrello e determinal'istante in cui il fronte del carrello si trover a 200 cm dall'origine.

17) Un punto materiale si muove su traiettoria rettilinea a velocit, costante, di 4.5m/s. Si comincia a rilevare il moto del punto all'istante 5,2 s. quando esso haoltrepassato l'origine di 15 m. Scrivi la legge del moto e determina dove si trovava ilpunto all'istante t = 0,0 s e l'istante in cui passato per l'origine delle posizioni.

18) Un autobus urbano oltrepassa la linea di un se maforo posto su un rettilineo,procedendo a velocit costante di 40 km/h. Dopo 10 s un'automobile, che procede a 45km/h, raggiunge la linea del semaforo e la oltrepassa senza modificare la propriavelocit. Riesce l'automobile, senza aumentare la velocit, a raggiungere l'autobusprima del semaforo successivo, posto a 500 metri dal primo? (Considera la distanza frala parte frontale dell'auto e quella posteriore dell'autobus.)

19) Disegna in un diagramma spazio-tempo le posizioni occupate successivamente dauna bicicletta che si muove di moto uniforme alla velocit di 50 km/h per 40 minuti.Sull'asse delle ascisse riporta gli istanti in minuti.

20) Che cosa succede nel punto in cui si incrociano le due rette mostrate nella figurariportata nella colonna seguente? Calcola la velocit delle due automobili.

21) II grafico seguente rappresenta il moto di due ciclisti, il ciclista A parte daBologna verso Modena alle ore 10. Il ciclista B parte alla stessa ora da Modena versoBologna. Calcola la velocit dei due ciclisti e l'istante in cui si incontrano. In base algrafico determina la legge del moto di ciascuno dei due ciclisti.

28

22) Le posizioni di due ciclisti a istanti successivi sono registrate nella tabella sotto.

t(s) x1(m) x2(m)

0 2 -

5 42 -

10 82 0

15 122 50

20 162 100

25 202 150

Disegna un grafico che rappresenti il moto dei due ci clisti, scrivi la legge del moto diciascuno di essi e sta bilisci l'istante di tempo in cui il secondo ciclista supera il primo.

23) Nel diagramma spazio-tempo rappresentato il moto di due veicoli. In base allascala indicata per ciascun asse, determina la legge del moto di ciascun veicolo. Se valida l'ipotesi che il moto fosse uniforme anche prima dell'inizio delrilevamento, quanto tempo prima di tale inizio i due veicoli si trovavano nella stessaposizione?

24) Carlo e Filippo decidono di fare una gara, partendo simultaneamente dagli estremiopposti di una pista lunga 100 m rettilinea. Carlo percorre il primo tratto di pista allavelocit di 3.4 m/s in 15 s e il secondo tratto alla velocit di 4,9 m/s in 10 s. Filippo,invece, mantiene una velocit costante lungo tutto il percorso, pari alla velocit mediadi Carlo.Chi dei due vince la gara? Dopo aver disegnato il grafico della posizione di Carlo eFilippo in funzione del tempo, determina quanto tempo dopo la partenza i due amici siincontrano.

29

25) Anna e Lucia, che abitano a 15 km di distanza su strada, decidono di incontrarsi epartono dalle rispettive case in bicicletta, Anna parte alle 16 e 18 minuti e tiene unavelocit di 20 km/h: Lucia parte da casa alle 16 e 24 minuti e tiene una velocit di 25km/h. A che ora si incontrano e in quale posizione?

26) La pantera, per brevi tratti, pu tenere una velocit di 100 km/h, ma poi devefermarsi. L'antilope, invece, pu raggiungere in corsa una velocit massima di 85km/h, ma riesce a mantenerla piuttosto a lungo. A che distanza dall'antlope devescattare la pantera se vuole prenderla? Supponi che la pantera tenga la sua massimavelocit durante tutto l'inseguimento e che debba fermarsi dopo 20 secondi di corsa.

27) In un cortometraggio il topo armato di arco e frecce minaccia il gatto che fugge.Quando il gatto ha solo 10 metri davanti a s per raggiungere la salvezza, il topo siferma, a 40 m dal gatto, e scocca una freccia. La freccia vola dritta verso il bersaglio, a65 m/s: quale velocit deve superare il gatto per salvarsi?

28) Un automobilista in autostrada inizia il sorpasso di un veicolo quando si trova a10 m di distanza da esso e inizia il rientro nella corsia di destra quando la parteanteriore del suo veicolo si trova a 20 m di distanza dalla parte anteriore di quelloappena sorpassato. Tutta la manovra ha richiesto 12 s di tempo ed stata condotta allavelocit di 120 km/h. Sapendo che l'altra macchina lunga 4 m. determina la suavelocit.

29) Due macchine sono collegate via radio. A un primo collegamento risulta che ladistanza fra le due di 30 km e che una di esse procede alla velocit di 80 km/h. A unsecondo collegamento, dopo mezz'ora, risulta che la distanza fra le due macchine ancora di 30 km. Sapendo che per tutto il tempo la velocit stata mantenuta costante,quale la velocit dell'altra macchina? (Distingui i due casi: la macchina della qualesi vuoi conoscere la velocit precede (1) o segue (2) l'altra auto.)

30) Un treno regionale lungo 180 m e viaggia alla velocit di 84 km/h. Sul binarioparallelo a quello su cui procede il primo treno passa un altro treno lungo 120 m cheviaggia alla velocit di 110 km/h. Quanto tempo necessario perch il binario accantoal primo treno sia completamente libero?

31) Si narra che, nell'antichit, un re dovesse fare un lungo viaggio in carrozza, ma chenon volesse rimanere senza notizie dalla sua capitale. Dispone allora che, ogni giornoall'alba, cominciando dopo 2 giorni, un cavaliere parta dalla capitale per raggiungerlo.La carrozza percorre ogni giorno 50 km (le strade erano disagiate) mentre il cavaliereriesce a percorrere 100 km. Determina il tempo che deve aspettare il re, fra l'arrivo di uncavaliere e l'arrivo del successivo.

30

32) Due ragazzi devono raggiungere nello stesso momento una localit a 40 km didistanza, percorrendo una strada asfaltata nel pi breve tempo possibile. Hanno unpaio di pattini a rotelle, che decidono di usare a turno: quando uno pattina l'altrocammina: dopo un po' il primo lascia i pattini e si mette a camminare mentre il se-condo, quando trova i pattini, li indossa e raggiunge il primo. E cos via. Quandocamminano tengono una velocit v1 = 5 km/h, quando pattinano una velocit v2= 16 km/h. Quale sar la velocit inedia che potranno tenere sull'intero percorso e perquanto tempo i pattini rimarranno fermi?

33) (Dalla rivista ungherese Komal. n. 7, 1992.) Una bobina da registratore puessere ascoltata completamente in 30 minuti alla velocit di 4.75 cm/s. Quando la bo-bina completamente avvolta, il suo diametro esterno di 4,5 cm e quello interno di 2.0cm. Stima lo spessore del nastro.

34) (Dalla rivista ungherese Komal, n. 10, 1994.) Due ragazzi si allenano in piscina:si tuffano insieme dagli estremi opposti della vasca e procedono a velocit costante:giunti in fondo, invertono il percorso e continuano a nuotare, ciascuno sempre con lapropria velocit iniziale. Il primo incontro dei due avviene a 22 metri dall'estremo suddella vasca e il secondo incontro a 16 metri dall'estremo nord. Quanto pu essere lungala vasca?

31

Soluzioni

1) Ad es. i tre spigoli, a partire da un vertice: due lati del pavimento ed uno della parete.

2)

s(m)

s = vt (v = tg )Come si vede il moto uniforme.

4500v = x / t = cost.

2000 = cost

1500

40 80 120 t(s)

3)

Poich si legge che lautomobile passa per Firenze 1 ora e mezza dopo la partenza, avvenutaalle 10, in quellistante saranno le 11,30

4)

Trattasi delleq, di una retta che passa per lorigine con coeff. ang. pari a 20 (che ci diceche linclinazione maggiore di 45)

x = 20 t

40Per t=1 x=20

20 t=2 x= 40

1 2

5)

v = s / t = 1800(km) / 2h15m = 800km/h = 222.2 m/s

6)

t1 = 1 km / (3105) km/s = 3.3 10-6 s Prima di vedere il lampo passano circa

3s

t1 = 1 km / 344 m/s = 1000 m / 344 m/s = 2.9 s Prima di udire il tuono passano circa 3 s

32

7)

s = 100 (1000 m / 3600 s) 60 s = 1.67 103 m = 1670 km

8)

a) t = s / v = 3.8108 m / 3105 105 m/s = 1.27 s = 1.3 s b) 1.3 secondi/luce

9)

t = 1000 m / 344 m/s = 2.9 s questo tempo va sommato allora indicata dallorologio

12h 00m 00s + 0h 0m 2.9s = 12h 0m 3s

10)

E necessario che sia t1 = t2 dove t1 = s1 / v1 (tempo impiegato dal suono pergiungere alla prima persona)

e t2 = (s2 / v2 ) + (s3 / v1 )

31 2

1 2 1

ss s=

v v v dove il primo addendo il tempo impiegato dalle onde radio per arrivare

alla radio e il secondo addendo il tempo impiegato dal suono per andare dalla radio allaseconda persona.

31 2

1 2 1

ss s=

v v v 3s =

1 2

1 2

s s( - )

v vv1 = 21 m

11)

Lautobus impiega 32 min per una corsa di andata o di ritorno con la metropolitana siimpiega 10 min (45 35) perci per landata e ritorno in metro occorrono 20 min.

12)

s = v t = 240 (100/3600) = 270 m

13)

s1 = v1 t1 con il nastro deve risultare s1 = s2 = s3 v1 =s/2s2 = v2 t2 a piedi v2=s/5s3 = (v1+ v2) t3 con entrambi

s = (s/2 + s/5) t3 da cui t3 = 10/7 = 1.4 min

14)

v = s / t = 75/25 = 3 m/s ; s = 3 t se t = 65 s allora s = 365 = 195 m

33

15)v = 32/12 = 2.7 m/s s = v (t to) s = 2.7 t 23.2 = 2.7 t 8.6Se s = 7.4 m allora t = (7.4 + 8.6)/2.7 = 5.9 sSe invece t=0 allora s = -8.6 m

16)v = (s1 s0) / t = 0.3 m/s ; s = s0 + vt = 0.2 + 0.3 t ; se s=2 t = (2-0.12)/0.3 = 6 s

17)s = so + v(t to) da cui s = 15 + 4.5 (t-5.7) = 15 + 4.5 t 23.4 = 4.7t 8.4se t = 0 allora si avr s = -8.4 m e se s= 0 allora t = 1.9 s

18)Autobus s = 11 tAuto s = 12.5 t 12.510 (affinch lauto raggiunga lautobus deve essere t1=t2)

Da cui:s = 11 ts = 12.5 t 125 la cui soluzione t = 83 s ed s = 913 m

Quindi lauto non raggiunger lautobus prima del semaforo. Pi precisamente quandolautobus arriva al semaforo, lauto dista ancora 55 m.

19)s(m)

2000

1000

10 20 30 40 t(min)

20)In quel punto le auto occupano la stessa posizione rispetto allorigine, nel medesimo

istante di tempo, ovvero si incontrano:

s 1 = 1 km (4 km 3 km)t 1 = 2 min e quindi v1 = s 1 / t 1 = 1 km/2 min = 0.5 km/min

s 2 = 1 km (2 km 1 km)t 1 = 2 min e quindi v2 = s 2 / t2 = 1 km/1 min = 1 km/min

21)Dal grafico si legge che i due ciclisti si incontrano a t = 1h 30 m dalla partenza, quindi

alle ore 11h e 30m

Da cui si ha: s B = - 40 km (10 km 50 km) t B = 24 per cui: vB = - 40/24 = - 20 km/h

s A = 39 km e t A = 34 s per cui vA = 39/34 = 13 km/hDunque le leggi del moto saranno: sB = - 20 t + 50 e sA = 13 t

34

22)vA = s A/t A = 2000825 = 8 m/s s A = 2 + 8 t e vB = 100/10 = 10 m//s

Per cui si ha : s B = 10 t 1010 = 10 t 100

s (m)risolvendo il sistema:

200t = 51 s

100

10 20 25 50 t(s)

Dunque il ciclista A raggiunger e superer B a t= 51 s

23)

Dal grafico si ha : s 1 = 40 m e t 1 = 20s quindi v = 1.8 m/s e s 1 = 1.8 t + 10e si ha anche s 2 = 40 m e t 2 = 40s con v2 = 1 m/s quindi s 2 = t

Dovendo essere s 1 = s 2 cio 10 + 1.8 t = t si avr t = 13 s

24)s (m)100

50

10 20 t (s)

Carlo cambia velocit quando ha percorso uno spazio pari a sc1 = vc1 tc1 = 3.415 = 51 mQuindi avremo due eq. del moto:

1) s1 = v2 t = 3.4 t2) s2 = s0 + v2 ( t t0) = 4.9t 22.5Mentre Filippo viagger ad una velocitvf = (3.4+4.9) / 2 = 4.15 m/s (e la mantiene per tutta la gara)s = s0 vt = 100 4.15 t

Essendo la legge oraria di Carlo divisa in due parti, bisogna mettere a sistema quella diFilippo con una delle due di Carlo, se non si ottiene un risultato accettabile alloraoccorrer considerare laltra eq.

s= 3.4 ts = 100 4.15 t da cui t = 13.2 s

Il risultato accettabile quindi non occorre considerare laltra eq. del moto di Carlo. I duesi incontreranno a 13.2 s dalla partenza quando il percorso si s = 51 m

35

A A'

B

(34 m di meno rispetto ad A)

20 m

spazio percorso da B

10 m 4m 4m

25)

Anna sA = vA t = 20 tLucia sL = vL (t t0) + s0 = 15 25 t + 250.1 = 17.5 25 tImponendo sA = sL si ha t = 23 min. Quindi si incontreranno alle ore 16

h 41m e ladistanza sar s = 200.3 = 7.8 km Si incontreranno a 7.8 km dalla casa di Anna.

26)s1 = 27.8 ts2 = 23.6 t + s0

s1 = 27.8 20s2 = 23.6 20 + s0 A

da cui s = 556 m e s0 = 84 m s0

27)

T=F G F=Gsf = vf t e sg = s0 + vg t

s0 = 40m 10m

50 = 65 t50 = 40 + vg t da cui t = 0.77 s e vg = 13 m/s

Quindi il gatto per salvarsi deve superare la velocit di 13 m/s

28)

sb = vA tsb = vb t + s0

ma sb = s0 + 4 + 20 + vb t

s0 = 33.3 12 = 400 m400 = 10 + 4 + 20 + vb12

Da cui vb = 30.5 m/s = 110 km/h

36

29)

Tre sono i casi possibili:a) A e B nella stessa direzione con B davanti e va incognito

s = 30 kmt = 0 A s B vb = 80 km/h

sb B At = 0.5h

dopo mezzora B ha percorso uno spazio pari a sb = vb t = 800.5=40 km/hed A si trova ora davanti a B di s = 30 km, dunque avr percorso s + sb = 100 km inmezzora e la sua velocit sar va = 100/0.5 = 200 km/h ( va e vb sono concordi).

b) A e B nella stessa direzione con B davanti e vb incognito s = 30 kmva = 80 km/h

sb =vb t ed sa = 2s + vb t ; va = sa /t = (2s + vb t) / tda cui vb = - 40 km/h (va e vb sono discordi)

c)va e vb nella stessa direzione e verso ma con posizione relativa immutata s = 30 km

va = 80 km/hIn questo caso evidente che va = vb = 80 km/h ( va e vb sono concordi).

d)A e B nella stessa direzione con B davanti e va incognito

va = vb = 80 km/h ( va e vb sono concordi)

30)v1

A

v2 t = 0

B 1= 180 m2= 120 m

sv1 = 23.3 m/sv2 = 30.6 m/s

At = t

Bv2 t

a) Dopo il tempo t, A ha percorso uno spazio pari a s - 1 con v1 = (s- 1 ) / t B s + 2 con v2 = (s+ 2) / t

la velocit relative dei due treni sar v2 v1 =7.22 m/s

Da cui ricaviamo t = (1 + 2) / (v2 v1) = 41.5 sSe i due treni invece viaggiano uno verso laltro (velocit discordi) si avr v1 + v2e quindi t = (1 + 2) / (v1 + v2) = 5.6 s

37

31)

inizio giorno 0 parte il Re inizio giorno 2 parte Cinizio giorno 1 s1= 50 km inizio giorno 3 s3= 100 kminizio giorno 2 s2=100 km inizio giorno 4 s4=200 km

Graficamente

s(km)

250

200

100

50

1 2 3 4 6 t(giorni)

leq. oraria del 1 cavaliere sc = vc (t t0) = 100 (km/giorni) (t 2 ) (giorni) Re sr = vr t

Essi si incontreranno quando sr = sc ; 100 (t 2 ) = 50 t da cui t = 4 g

Per il secondo cavaliere la situazione la seguente sc = vc (t 3) e sr = vr t da cui t = 6 g

Da questi risultati si evince che i cavalieri incontreranno il Re ogni due giorni.

38

32)

s = 40 km/hv1 = 5 km/hv2 = 16 km/h

Poich il numero dei cambi arbitrario, ossia ininfluente ai fini della soluzione delproblema, nulla ci vieta per semplicit immaginare che avvenga un solo cambio:

s(m) CEssendo ABCD un parallelogrammo si

ha:

s1 B D AB = DC t1 = t3 t2BC = AD t2 = t3 t1

At1 t2 t3 t(h)

Leq. oraria di Moe sar v2 t1 + v1 t2 = s (1)

che uneq. con due incognite, t1 e t2Ora occorre chiedersi che relazione c tra t1 e t2Basta considerare le due eq. s1 = v2 t1 e s1 = v1 t2 ; cio si ha: t1 = (v1/ v2) / t2

Allora la (1) diventa: v2 (v1 t2)/ v2 + v1 t2 = s ; 2 v1 t2 = s cio t2 = s/2v1 =4 hed allora t1 sar: t1 = (v1 / v2 ) t2 = 5/16 = 1.25 hIn definitiva il tempo totale di Moe che anche quello di Joe : t = 5.25 hla velocit media vave = stot / ttot = 40/5025 = 7.6 km/h

Invece il tempo in cui i pattini sono fermi dato da t2 - t1 , come si evince dal grafico,che vale 2.75 h cio 2 ore e 45 min.

33)

D = 4.5 cm t = 30 minD d = 2.0 cm v = 4.75 cm/s

d

La lunghezza del mastro sars = v t =4.75 1800 = 8550 cm = 85.5 m

dLarea del settore circolare cio larea occupata dal nastro A = (R2 r2) = 12.75 cm2

Il nastro srotolato una fettuccia di spessore s A = s

s = 12.76 / 8550 = 15 10-6 m = 0.015 mm cio circa 2/100 di mm!!

39

16 m34) sud 22 m nord

A B xL

I caso)1 tratto

Le eq. di A e B sono: sA = vA t e sB = so vB t (con so = L); graficamente

s

t = sA / vA22 sB = L vB sA/ vA da cui

L - 16vB = (L-22) vA / 22 (essendo sA = sB=22m)

t1 t t

2 tratto

sA = L - vA (t-t) sA = L - vA ((L sB)/ vB t) con sA = sB = L - 16sB = L vB t t = (L - sB) / vB

29.7 L2 6L 704 = 0 L =

- 23.7 NON ACCETTABILE

Dunque la prima soluzione L = 30 m

II caso)1 tratto

sA = vA tL - 16 sB = L - vB t

22 vB = ((L 2L) /22 ) vA

t1 t t22 tratto

sA = vA t t= sA/ vA con sA = sB = L -16 . L2 82 L + 704 = 0

sB = vB (t-t) sB = vB (sA/ vA t)

72.2 mL =

9.7 m - non accettabile.Quindi al seconda soluzione L = 72 m

40

III caso)L

2LL - 16

t1 t t t21 tratto

vB = vA (L -2L) / 222 tratto

sA = L - vA (t - t) t = (L sA) / vA

sB = vB (t t) L 16 = .

da cui si ha L2 50 L = 0 L=0 e L = 50

Quindi la terza soluzione L = 50 m