VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI
Transcript of VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI
Glava 8
VIŠEDIMENZIONALNI KONTINUALNI SIGNALI
Višedimenzionani signali opisuju fizičke pojave koje zavise od dvije ili više nezavisnih varijabli. N-dimenzionalni signal je matematička funkcija N nezavisnih varijabli. Nezavisne varijable se zapisuju u obliku uređenih N -torki
( )1 2, , , Nt t t ili vektora [ ]1 2, , , T NNt t t= ∈t , gdje T označava operaciju
transponovanja. Shodno usvojenom stilu označavanja nezavisnih varijabli, N-dimenzionalni signal zapisujemo sa ( )1 2, , , Nx t t t ili ( )x t . N-dimenzionalni signal je kontinualan ako su sve njegove nezavisne varijable kontinualne. Ako su sve nezavisne varijeble diskretne i N-dimenzionalni signal je diskretan. Ukoliko su neke nezavisne varijable kontinualne a druge diskretne, kažemo da se radi o mješovitom N-dimenzionalnom signalu. Radi lakšeg pisanja u nastavku ćemo koristiti skraćenicu „ND“ za „N-dimenzionalni“.
GLAVA 8
282
U praksi su od posebnog značaja 2D i 3D signali. Slike su 2D signali koji opisuju promjenu svjetline u prostoru. Umjesto oznake ( )1 2,t t za nezavisne varijable češće se kod 2D signala koji opisuju prostornu zavisnot neke fizičke veličine koriste oznake ( )1 2,x x ili ( ),x y za nezavisne varijable, a sam signal
označava sa ( )1 2,f x x ili ( ),f x y . Kao primjere 3D signala možemo navesti 3D holografske slike i video signale. Za razliku od 3D slika koje su funkcije tri prostorne nezavisne varijable i najčešće označene sa ( ), ,f x y z , video signal je funkcija dvije prostorne i jedne vremenske nezavisne varijable, pa je pogodan način označavanja ( ), ,f x y t .
8.1 Osnovni višedimenzionalni signali
U analizi i obradi višedimenzionalnih signala značajnu ulogu imaju ND jedinični odskočni signal, ND pravougaoni impuls, ND Dirakov impuls, te ND eksponencijalni i sinusni signali. Posebnu klasu čine separabilni višedimenzionalni signali koji se formiraju u obliku proizvoda više 1D signala.
8.1.1 ND jedinični odskočni signal
ND jedinični odskočni signal se definiše sa:
( ) 1,0,
N
Nu +
−
∈= ∈
tt
t
, (8.1)
gdje je N+ skup vektora čije su sve komponente pozitivne, dok je N
− skup vektora čije su sve komponente negativne. Vrijednosti signala za vektore čija je bar jedna komponenta jednaka nuli nisu definisane.
2D jedinični odskočni signal je definisan sa:
i d
8
N
gd
priefin
8.1.
ND p
dje
ikaznisa
2
pra
je
zanane
N
avou
e
n nae.
ND
ugao
N+T
a S
D p
oni i
s
Slici
pra
imp
kup
Sl
i 8.
avo
puls
p v
lika
u
.1.V
oug
se
vekt
a 8.
(u x
Vrij
gao
def
p
tora
1
), y
edn
oni
fini
(p t
a č
2D
) =
nos
i im
še s
) =t
čije
D jed
1,0,
sti s
mp
sa:
1,0
su
din
x
x
sign
pul
,,t
t
u s
ničn
00
x
x
><
nala
ls
∈∈t
t
sve
ni od
00 y
∧∨
a z
N
NT
T
ko
V
dsk
y
y
><
a x
N
N+
−
,
omp
Više
kočn
00
><
x =
pon
edim
ni s
0 ∧
nent
men
sign
y∧ ≥
te
nzio
nal.
0≥
ogr
ona
i
rani
lni
x ≥
ičen
kon
0≥ ∧
ne
ntinu
y∧
tak
ualn
0=
ko
ni s
2
(8
0 ni
(8
da
siste
283
8.2)
isu
8.3)
je
emi
GLLAVA
28
it
og
čij
2D
Ox
de
A 8
84
<
gran
ja je
KD p
vaj0=
efin
,2
iT
niče
e ba
Kao ravo
p0∧
nisa
i =
ene
ar j
pouga
rav0 ≤ne.
1,2=
tak
edn
primaon
vougy ≥
2,
ko d
na k
mjei im
gaoY≥ ,
, N
da j
kom
er mpul
oni , x
,N T
e t
mpo
Nls d
p
imx X=
Slik
iT >
it >
one
ND defin
(p x
mpuX ∧
ka 8
0> ,
2iT>
enta
pnisa
),x y
uls 0∧ ≤
8.2
a
, i
a it
pravan s
)=
je y≤
2
1,=
0=
vousa:
1,
0,
prY≥
2D p
N−T
,2,
0 il
ugao
x
x
rikaY ,
pra
s
, N
li it
ono
x
x
<
>
azan0 ≤
avou
skup
,N
= ±
og
2
2
X
X
<
>
n nx≤ ≤
uga
p v
iT >
2iT±
im
∧
∨
na X≤
aon
vek
0>
ni
mp
y
y
<
>
SlicX ∧
ni im
ktora
. V
isu
puls
2
2
Y
Y
<
>
ci y =
mpu
a č
Vrije
def
a
.
8.20=
uls.
čije
edn
fini
po
2. Vi
e s
nost
isan
osm
Vrij0 ≤
u
ti si
ne.
matr
jednx≤ ≤
sve
ign
rajm
nosX≤
e k
ala
mo
sti X y∧
kom
za
k
sigy =
mpon
vek
kau
gnalY=
nen
kto
uzal
(8.
la ni
nte
ore
lni
.4)
za su
8
Nd
sa
2D
je
8.1.
ND ok
a os
∞
−∞ −
D D
e pr
3
Dije z
sob
∞
−∞
Dir
rika
N
irakza s
bino
∞
−∞
rako
azan
ND
kov isve
om
(tδ
ov im
n na
D D
impos
da
1 2,t t
mpu
a Sl
Dir
puls tale
je:
2 ,
uls d
−
lici
rak
je Ne vr
Nt
defi
∞ ∞
−∞ −∞
8.3
kov
NDrijed
)dt
finis
δ
(δ∞
∞
3.
v im
D sidno
1 2t dt
san
( ,xδ
( ,x y
Slik
mp
ignaosti
(δ
2
sa:
)y
)y d
ka 8
pul
al ki ve
( ) =t
Ndt
:
=
dxdy
8.3
ls
koji ekto
∞=
N =
,0,∞
y =
2D
zaora
,
0,
∞
0 0
0 0
+ +
− −
x
x
0 0
0 0
+ +
− −
D D
=tt j
=
≠
t
t
+
−
00
x
x
=≠
(δ+
−
Dir
0=
edn
0
0
=
≠
0
0
δ+
−
00
∧∨
,x y
rako
V
imnak
,
( 1tδ
y
y
=≠
)y d
ov i
Više
ma bk nu
2, ,t
00
=≠
,
dxdy
imp
edim
beskuli:
, t
,
y =
pul
men
kon
)Nt
1 ,
s.
nzio
načn
1dt d
ona
no
2dt
lni
vel
d
kon
liku
Ndt
ntinu
u vr
1=
ualn
rijed
.
ni s
2
dno
(8
(8
(8
(8
siste
285
ost,
8.5)
8.6)
8.7)
8.8)
emi
GLAVA 8
286
8.1.4 ND kompleksni eksponencijalni i sinusni signali
Kako bismo opisali ND kompleksne eksponencijalne signale, definišimo ND vektor kompleksnih učestanosti sa:
[ ]1 2, , , NNs s s= ∈s , (8.9)
gdje je , 1,2, ,i i is j i Nσ= + Ω = . Vektor ugaonih učestanosti je definisan sa:
[ ]1 2, , , NN= Ω Ω Ω ∈Ω . (8.10)
ND kompleksni eksponencijalni signal se definiše sa:
( )x Cα= stt , (8.11)
gdje su C i α u opštem slučaju kompleksne konstante. Za ,C α ∈ signal dat sa (8.11) postaje ND realni eksponencijalni signal. Primjer 2D realnog eksponencijalnog signala je dat sa:
( )
2 , 0 02 , 0 0
,2 , 0 02 , 0 0
x y
x y
x y
x y
x y
x yf x y
x y
x y
− −
− +
−
+
> ∧ > > ∧ <=
< ∧ > < ∧ <
, (8.12)
ND eksponencijalni signal:
( ) jx Ce= 0Ω tt (8.13)
je periodičan po svakoj nezavisnoj varijabli sa osnovnim periodom 00
2i
i
Tπ=
Ω.
Uz jC C e θ= (8.12) možemo zapisati u obliku:
( ) ( ) ( ) ( )cos sinjx C e C j Cθ θ θ+= = + + +0Ω t0 0t Ω t Ω t . (8.14)
Opšti oblik ND sinusnih signala je dat sa:
( ) ( )cosx C θ= +0t Ω t . (8.15)
Si2Dknp
ignD njizosm
nal dsin
zi kmat
dat nusnkortrat
sa nogrišćti ka
(8.g sieneao a
S
12)ignae napr
Slik
Sl
) prala.
numroks
ka 8
lika
rika N
merisim
8.4
a 8.
azanNapo
ičkemaci
2D
5
n jeome mije s
D e
Pri
e namenimetstva
eksp
imj
a Slimotodarni
pon
er 2
lici o d
de, ih k
nen
2D
8.4da ste
kon
ncija
sin
4, dsu sig
ntin
V
alni
nusn
dokpri
gnalnual
Više
i sig
nog
k je ilikole lnih
edim
gna
g si
na ompri
h sig
men
al (8
gna
Slim ge
kazgna
nzio
8.15
ala.
ici 8enezanala
ona
5).
8.5 erisae nkoj
lni
pranjana je p
kon
ikaza slslik
pred
ntinu
zanlikakamdsta
ualn
n pra uma avlj
ni s
2
rimu ov
treaju
siste
287
mjer voj eba u.
emi
GLAVA 8
288
8.1.5 Separabilni ND signali
Ako se višedimenzionalni signal može napisati u obliku proizvoda jednodimenzionalnih signala, takve višedimenzionalne signale nazivamo separabilnim signalima. U obradi višedimenzionalnih signala posebno su interesantni separabilni sinusni signali definisani sa:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2, , , sin sin sinN N Nx t t t t t t= Ω Ω Ω . (8.16)
Realni i imaginarni dijelovi ND kompleksnih signala definisanih sa (8.13) sačinjeni su od separabilnih sinusnih signala. Pokazaćemo to na primjeru 2D signala:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
cos sin cos sin .
x y yxj x y j yj x
x x y y
f x y e e e
x j x y j y
Ω +Ω ΩΩ= = =
= Ω + Ω Ω + Ω (8.17)
Realni i imaginarni dijelovi ovog signala su dati sa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Re , cos cos sin sinx y x yf x y x y x y= Ω Ω − Ω Ω , (8.18)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Im , sin cos cos sinx y x yf x y x y x y= Ω Ω + Ω Ω . (8.19)
Oblik 2D separabilnog sinusnog signala ( ) ( ) ( ), sin sinf x y x y= prikazan je na Slici 8.6.
Na sličan način se definiše separabilni sinc signal:
( ) ( ) ( ), sinc sincf x y x y= . (8.20)
Oblik 2D separabilnog sinc signala prikazan je na Slici 8.7.
Sl
S
lika
Slik
a 8.6
ka 8
6 S
8.7
Sep
Se
para
epa
abil
arab
lni
biln
2D
ni 2D
V
D sin
D s
Više
nus
sinc
edim
sni s
c sig
men
sign
gna
nzio
nal.
al.
ona
.
lni konntinuualnni s
2
siste
289
emi
GLAVA 8
290
8.2 Obrada višedimenzionalnih signala u vremenskom domenu
Višedimenzionalni kontinualni sistem transformiše višedimenzionalni kontinualni ulazni signal u višedimenzionalni kontinualni izlazni signal. Za ND sistem tu transformaciju zapisujemo sa:
( ) ( ) 1 2 1 2, , , ,N Ny t t t x t t t= T , (8.21)
ili kraće sa:
( ) ( ) y x=t tT , (8.22) odnosno:
( ) ( ) y x=t tT , (8.23)
Blok dijagram višedimenzionalnog kontinualnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom prikazan je na Slici 8.8.
( )x t ( )y t T
Slika 8.8 Blok dijagram višedimenzionalnog kontinualnog sistema
sa jednim ulazom i jednim izlazom.
Višedimenzionalni sistem je linearan ako vrijedi da je:
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , ,ax bx a x b bx a b+ = + ∀ ∈t t t t T T T . (8.24)
Ako pomak ulaznog signala za vektor 0t uzrokuje samo pomak izlaznog signala za isti vektor, bez promjene oblika signala, kažemo da je višedimenzionalni sistem invarijantan na pomak. To formalno zapisujemo sa:
( ) ( ) ( ) ( )x y x y→ − → −0 0t t t t t t , (8.25)
a takve sisteme kratko zovemo LSI (Linear shift-invariant) sistemi.
Višedimenzionalni kontinualni sistemi
291
Višedimenzionalni sistemi se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Uz poznatu pobudu, odziv sistema je moguće odrediti njihovim rješavanjem.
Osim rješavanjem parcijalnih diferencijalnih jednačina, odziv LSI ND sistema sa impulsnim odzivom ( )1 2, , Nh t t t na pobudni signal ( )1 2, , Nx t t t se može odrediti koristeći višedimenzionalnu konvoluciju:
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2 1 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2
, ,
, , , ,
, , , , .
N
N N N N
N N N N
y t t t
x h t t t d d d
h x t t t d d d
τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
=
= − − − =
= − − −
(8.26)
Kratko pišemo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y h x x h= ∗ = ∗t t t t t . (8.27)
Primjer konvolucije 2D signala prikazan je na Slici 8.9, pri čemu je rezultat konvolucije normalizovan po amplitudi.
8.3 Višedimenzionalni Furijeov red
Višedimenzionalni periodični signali mogu se razviti u višedimenzionalni Furijeov red, koji za ND signale ima oblik:
( )1 2
1 2
, , N
N
jk k k
k k k
x C e∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
= 0kΩ tt , (8.28)
00
2i
iT
πΩ = , [ ]0 1 01 2 02 0, , , N Nk k k= Ω Ω ΩkΩ , sa koeficijentima:
( )01 02 0
1 201 02 0
1 ,N
j Nk N
N T T T
C x e dt dt dtT T T
−= ∈ 0kΩ tt k
. (8.29)
GLLAVA
29
Sl
8.
ZaFude
A 8
92
lika
.4
a anurijeefin
a 8.
V
nalieovu
niše
9
Viš
izu u tr
sa:
Pri
še
višransf:
imje
edi
šedisform
er k
me
imermac
X
(a
kon
en
enzciju.
(X Ω
)
nvo
nzi
zion N
) =Ω
oluc
on
nalnND
∞
−∞
=
cije
nal
nih di
∞
∞ −∞
2D
lna
neirek
∞
−∞
D sig
a F
perktna
(x∞
∞
gna
Fur
rioda i
( )et
(c)
ala:
rije
dičnin
je− Ω
)
(a,b
eo
nihnver
dtΩt
b) s
ova
sigrzn
1 2dt
sign
a tr
gnalna F
2
nali
ran
la kFur
Ndt
(
i; (c
ns
koririjeo
N ,
(b)
c) re
sfo
istimova
ezu
orm
moa tr
ultat
ma
o višran
t ko
cij
šedimsfo
onv
ja
imenorm
volu
nziomaci
(
ucij
onalija
(8.3
e.
lnu se
30)
Višedimenzionalni kontinualni sistemi
293
( )( )
( ) 1 21
2j
NNx X e d d d
π
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= Ω Ω Ω Ωtt Ω . (8.31)
ND Furijeova transformacija ima slične osobine kao 1D Furijeova transformacija. Njihovo razmatranje izlazi van okvira ove knjige. Naglasićemo samo da je prilikom odmjeravanja višedimenzionalnih sistema neophodno zadovoljiti Nikvistov kriterij tako da učestanost odmjeravanja signala po svakoj nezavisnoj varijabli it bude bar dva puta veća od odgovarajuće gornje granične učestanosti giΩ
spektra signalu. Ispunjenje ovog uslova garantuje idealnu
rekonstrukciju signala. Ako učestanost odmjeravanja označimo sa 2si
it
πΩ =Δ
,
pri čemu je itΔ korak odmjeravanja po nezavisnoj varijabli it , Nikvistov kriterij se može zapisati sa:
2si giΩ ≥ Ω . (8.32)
ND Furijeova transformacija omogućava obradu signala u ND frekvencijskom domenu. Označimo sa NDF ND Furijeovu transformaciju, a sa 1−NDF inverznu ND Furijeovu transformaciju. Neka je sistem za obradu ND signala sa impulsnim odzivom ( )h t pobuđen signalom ( )x t . Slično kao kod 1D signala, obrada ND signala u frekvencijskom domenu se provodi kroz sljedeći niz koraka:
( ) ( ) H h=Ω tNDF , (8.33)
( ) ( ) X x=Ω tNDF , (8.34)
( ) ( ) ( )Y H X=Ω Ω Ω , (8.35)
( ) ( ) 1y Y−=t ΩNDF . (8.36)
Frekvencijska karakteristika ND sistema se može izraziti kao:
( ) ( )( ) ( ) Y
H hX
= =Ω
Ω tΩ
NDF . (8.37)
Primjeri 2D neperiodičnih signala i njihovih amplitudnih spektara prikazani su na slikama 8.10-23.
GLLAVA
29
A 8
94
SSlika
Sl
a 8.
lika
.11
a 8.
A
10
Amp
2D
plit
D s
tudn
sign
ni s
nal
spe
pra
kta
avo
ar 2D
uga
D s
aon
sign
nog
nala
g ob
a sa
blika
a Sli
a.
ike 8.99.
SSlikaa 8.
Slik
.13
ka 8
A
8.12
Amp
2 2
plit
2D
tudn
D sig
ni s
gna
spe
al pi
kta
iram
ar 2D
V
mid
D s
Više
daln
sign
edim
nog
nala
men
g ob
a sa
nzio
blika
a Sli
ona
a.
ike
lni
8.1
kon
11.
ntinuualnni s
2
siste
295
emi
GLLAVA
29
A 8
96
Sllikaa 8.1
Sli
15
ika
A
8.1
Amp
14
plitu
2D
udn
D si
ni sp
ign
pek
nal v
ktar
valj
r 2D
kas
D si
stog
ign
g ob
nala
blik
sa
ka.
Slikke 8.13.
SSlikaa 8.
S
.17
Slika
A
a 8
Amp
.16
plit
2
tudn
2D
ni s
sign
spe
nal
kta
ku
ar 2D
V
upas
D s
Više
stog
sign
edim
g ob
nala
men
blik
a sa
nzio
ka.
a Sli
ona
ike
lni
8.1
kon
15.
ntinuualnni s
2
siste
297
emi
GLLAVA
29
A 8
98
SSlikka 88.19
Sli
9 A
ika
Am
8.1
mplit
18
tud
2D
dni
D G
spe
Gau
ekta
usov
ar 2
va f
2D
fun
Ga
nkci
auso
ija.
ovee fuunkccijee.
Sl
S
lika
Slika
a 8.2
a 8.
20
.21
2D
A
D s
Amp
ign
plit
nal f
tudn
form
ni s
mir
spe
ran
kta
od
ar 2D
V
d 2D
D s
Više
D G
sign
edim
Gau
nala
men
usov
a sa
nzio
vih
a Sli
ona
fun
ike
lni
nkc
8.1
kon
cija.
19.
ntinu
.
ualnni s
2
siste
299
emi
GLLAVA
30
A 8
00
Sllika
Slik
a 8.2
ka 8
23
8.22
A
2
Amp
2D
plitu
D sig
udn
gna
ni sp
al ek
pek
ksp
ktar
pon
r 2D
enc
D si
cijal
ign
lno
nala
og o
sa
obli
Slik
ika.
ke
8.21.
Višedimenzionalni kontinualni sistemi
301
8.5 Višedimenzionalna Laplasova transformacija
Za višedimenzionalne kontinualne signale definiše se direktna i inverzna višedimenzionalna Laplasova transformacija sa:
( ) ( ) 1 2 NX x e dt dt dt∞ ∞ ∞
−
−∞ −∞ −∞
= sts t , (8.38)
( )( )
( ) 1 21
2NN
x X e ds ds dsπ
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= stt s . (8.39)
Označimo sa NDL ND Laplasovu transformaciju, a sa 1−NDL inverznu ND Laplasovu transformaciju i posmatrajmo sistem za obradu ND signala sa impulsnim odzivom ( )h t na čiji ulaz je doveden signal ( )x t . Prelaskom u domen ND Laplasove transformacije, umjesto rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina, traženje odziva ovog sistema se svodi na sljedeći niz koraka:
( ) ( ) H h=s tNDL , (8.40)
( ) ( ) X x=s tNDL , (8.41)
( ) ( ) ( )Y H X=s s s , (8.42)
( ) ( ) 1y Y−=t sNDL . (8.43)
Funkcija prenosa ND sistema se može izraziti kao:
( ) ( )( ) ( ) Y
H hX
= =s
s tsNDL . (8.43)