Vettoriapplicatiegeometriadellospazio MarcoRobutti · Capitolo 1...

Capitolo 1Vettori applicati e geometria dello spazio

Marco Robutti

Facoltà di ingegneriaUniversità degli studi di Pavia

Anno accademico 2017-2018

Tutorato di geometria e algebra lineare

Marco Robutti Capitolo 1

Definizione (Vettore applicato)Un vettore applicato nel punto O e avente il secondo estremonel punto P viene indicato con la scrittura v =

−→OP.

Un vettore è caratterizzato da:una direzione;un verso;un modulo (|v |);

O

P

~v

Figura: Un vettore.Marco Robutti Capitolo 1

Definizione (Somma tra vettori )

OA

BC

−→OC

−→OA

−→OB

Figura: La somma di due vettori −→OA e −→OB non aventi la stessadirezione si ottiene costruendo il parallelogramma OACB che ha perlati OA e OB; il vettore somma corrisponde a −→OC , ossia alla diagonaledel parallelogramma con un estremo in O e l’altro in C .


Definizione (Moltiplicazione vettore scalare)

Il segmento orientato w =−→OS = α

−→OP = αv , con α ∈ R, ha la

stessa direzione di −→OP e verso concorde a quest’ultimo se α > 0.

O

P

S

~v

−→OS = α

−→OP


Definizione (Vettore differenza)

Il vettore differenza w =−→OB −

−→OA si ottiene costruendo il

parallelogramma avente per lati i vettori −→OB e −−→OA. Setrasliamo A di un vettore pari a w , ossia −→AB, troviamo B; inaltre parole, B = A + w .

O A

BC

−A

−→OC~w =

−→OC

−→OA−

−→OA

−→OB


Definizione (Span di un vettore)Fissato un vettore non nullo u ∈ E3

O, possiamo considerarel’insieme di tutti i vettori applicati che si ottengonomoltiplicando u per un numero reale. Indichiamo tale insiemecon:

Span (u) ={

v ∈ E3O | v = αu, α ∈ R

}

x y

z

~u

~v = α~u


Definizione (Vettori linearmente indipendenti)Due vettori u e v di E3

O sono detti:

• linearmente indipendenti, se v /∈ span (u) o viceversa;• linearmente dipendenti, se v ∈ span (u) o viceversa;

x y

z

~u

~v = α~u

x y

z

~u~v

Figura: Vettori linearmente dipendenti (a sinistra) e indipendenti (adestra).


Definizione (Equazioni parametriche di una retta)Una retta r in forma parametrica in E3

O è l’insieme di tutti esoli i punti P che possono essere descritti mediante unascrittura del tipo:

P = P0 + tv , t ∈ R

detta equazione parametrica vettoriale per la retta r .

[P] =

xyz

, [P0] =

x0y0z0

, [v ] =

v1v2v3

,

xyz

=

x0y0z0

+ t

v1v2v3

=⇒

x = x0 + tv1

y = y0 + tv2

z = z0 + tv3


x y

z

r

P0

P = P0 + t · ~v

~v

t · ~v

Figura: Una retta passante per il punto P0 e avente come vettoredirettore v .


Definizione (Equazioni parametriche di una retta passante perdue punti dati)Dati due punti P0 e P1, l’equazione parametrica della retta rpassante per P0 e P1 è data da:

P = P0 + tv , t ∈ R, v = P1 − P0

[P] =

xyz

, [P0] =

x0y0z0

, [P1] =

x1y1z1

,

xyz

=

x0y0z0

+ t

x1 − x0y1 − y0z1 − z0

=⇒

x = x0 + t (x1 − x0)y = y0 + t (y1 − y0)z = z0 + t (z1 − z0)


x y

z

r

P0

P1−−−−−→P1 − P0

Figura: Una retta passante per i punti P0 e P1.


Definizione (Equazioni parametriche di un piano)Un piano π in E3

O è l’insieme di tutti e soli i punti P che sipossono descrivere nel seguente modo, che chiameremorappresentazione (o equazione) parametrica vettoriale del piano:

P = P0 + αu + βv , α, β ∈ R,

[P] =

xyz

, [P0] =

x0y0z0

, [u] =

u1u2u3

, [v ] =

v1v2v3

,

xyz

=

x0y0z0

+ α

u1u2u3

+ β

v1v2v3

=⇒

x = x0 + αu1 + βv1

y = y0 + αu2 + βv2

z = z0 + αu3 + βv3


x y

z

x

z

~u

~v

π

Figura: Un piano avente vettori generatori u e v .


Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3punti dati)Dati tre punti P0,P1 e P2, le equazioni parametriche del pianoπ contenente i punti dati sono date da:

P = P0 + αu + βv , α, β ∈ R,u = P2 − P0, v = P1 − P0

[P] =

xyz

, [P0] =

x0y0z0

, [P1] =

x1y1z1

, [P2] =

x2y2z2

xyz

=

x0y0z0

+ α

x2 − x0y2 − y0z2 − z0

+ β

x1 − x0y1 − y0z1 − z0

=⇒


Definizione (Equazioni parametriche di un piano contenente 3punti dati)

=⇒

x = x0 + α (x2 − x0) + β (x1 − x0)y = y0 + α (y2 − y0) + β (y1 − y0)z = z0 + α (z2 − z0) + β (z1 − z0)


x y

z

x

z

P2 − P0

P1 − P0

P0

P1

P2 π

Figura: Un piano passante per i punti P0,P1,P2.


Definizione (Equazioni cartesiane di una retta)Una retta scritta sotto forma di equazioni cartesiane è vistacome l’intersezione tra due piani distinti contenenti la stessaretta:

r :{

a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0


Definizione (Retta: passaggio da equazioni parametriche acartesiane)Per passare dalle equazioni parametriche di una retta a quellecartesiane bisogna usare il metodo dell’eliminazione deiparametri. Secondo tale metodo, una volta che si è proceduto ascrivere le equazioni parametriche in forma di sistema, bisognaesplicitare in una o più equazioni i parametri rispetto alle altrevariabili e poi sostituirli a turno nelle altre equazioni allo scopodi ottenere, nelle equazioni in cui si effettua la sostituzione,termini che non dipendono dal parametro ma solo dallecoordinate x , y e z .


EsempioTroviamo le equazioni cartesiane della seguente retta scritta informa parametrica:

r :

x = 2 + ty = 1 + tz = 1 + 2t

Usiamo il metodo di eliminazione dei parametri:

r :

x = 2 + tt = y − 1z = 1 + 2t

r :

x = 2 + (y − 1)t = y − 1z = 1 + 2 (y − 1)


EsempioOra che si è effettuata la sostituzione del parametro nelle altredue equazioni, non è più necessaria l’equazione iniziale, quindila si può scartare. Risolvendo i calcoli si ottiene:

r :{

x = 1 + yz = −1 + 2y

che riscritto in modo più elegante diventa:

r :{

x − y = 12y − z = 1

Queste ultime rappresentano le equazioni cartesiane della rettar.


Definizione (Retta: passaggio da equazioni cartesiane aparametriche)Per passare dalle equazioni cartesiane di una retta a quelleparametriche bisogna usare il metodo di aggiunta dei parametri.Secondo tale metodo, bisogna scegliere una tra le coordinate x ,y e z e “trasformarla” nel parametro t della retta in formaparametrica. Dopo aver fatto ciò (si tratta semplicemente dirinominare una coordinata chiamandola t anziché x , y o z) siprocede a sostituire nelle altre equazioni il parametro t laddovecompare la variabile a cui noi abbiamo assegnato il nome t.


EsempioTroviamo le equazioni parametriche della seguente retta scrittain forma cartesiana:

r :{

x − y = 12y − z = 1

Usiamo il metodo di aggiunta dei parametri. Scegliamo peresempio di porre y = t:

r :

y = tx − y = 12y − z = 1

r :

y = tx − t = 12t − z = 1


EsempioOra che si è effettuata la sostituzione del parametro, possiamoriordinare le equazioni e scriverle in modo più elegante:

r :

x = 1 + ty = tz = −1 + 2t

Queste ultime rappresentano le equazioni parametriche dellaretta r. E’ da notare che essendoci molte possibilità nelscegliere quale coordinata verrà “trasformata” nel parametro t,le varie equazioni parametriche che si possono ottenere possonoessere diverse tra di loro: pertanto trovare equazioniparametriche diverse usando coordinate diverse non vuol direche si è commesso un errore!


EsempioE’ bene stare attenti quando si vuole passare dalle equazionicartesiane a quelle parametriche che non ci sia nessuna variabile“bloccata”. Per variabile bloccata si intende una variabile checompare in un equazione in cui c’è solo lei e nella quale le vieneassegnato un valore scalare. Per esempio nel seguente caso:

r :{

x = 1y + z = 1

la variabile x è una variabile bloccata in quanto le è assegnato ilvalore 1. In questo caso non possiamo porre x uguale alparametro t in quanto ci troveremmo ad avere la scrittura t = 1che non ha senso. Quindi, quando si ha una variabile bloccata,è bene sempre ricordare che tale variabile non può essere usatanella fase di assegnamento del parametro: in tal caso bisognaper forza utilizzare una delle altre due variabili (in questo casoy o z).


Definizione (Equazione cartesiana di un piano)L’equazione cartesiana di un piano si ottiene considerando ilpiano come l’insieme dei punti dello spazio che soddisfa laseguente condizione:

π = {P ∈ ε |⟨−→OP −

−−→OP0,n

⟩= 0}

P =

xyz

, Po =

x0y0z0

, n =

abc

, vettore normale

In tal caso il piano può essere scritto equivalentemente in duemodi:

a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0


Definizione (Equazione cartesiana di un piano)Oppure in modo equivalente, eseguendo i calcoli nella formulaprecedente e raccogliendo tutti i fattori che non dipendono dax , y e z :

ax + by + cz + d = 0

con

d = − (ax0 + by0 + cz0)


Definizione (Piano: passaggio da equazioni parametriche acartesiana)Per passare dalle equazioni parametriche di un piano a quellacartesiana bisogna usare il metodo dell’eliminazione deiparametri come visto per la retta. L’unica cosa che cambia inquesto caso è che i parametri da eliminare sono due (α e β) equindi i calcoli sono leggermente più elaborati.


EsempioTroviamo l’equazione cartesiana del seguente piano scritto informa parametrica:

π :

x = α+ β

y = β

z = 1 + α+ β

Usiamo il metodo di eliminazione dei parametri:

π :

x = α+ β

β = yz = 1 + α+ β

π :

x = α+ yβ = yz = 1 + α+ y


EsempioA questo punto la seconda equazione (β = y) non serve più epuò essere trascurata. Si procede quindi con il trovare il valoredi α.

π :{α = x − yz = 1 + α+ y

Sostituendo la prima equazione nell’ultima e riscrivendo il tuttoin maniera ordinata otteniamo l’equazione cartesiana del piano:

π :{α = x − yz = 1 + x − y + y

π : z = 1 + x

π : x − z = 1Marco Robutti Capitolo 1

Definizione (Piano: passaggio da equazione cartesiana aparametriche)Per passare dall’equazione cartesiana di un piano a quelleparametriche bisogna usare il metodo di aggiunta dei parametri.Secondo tale metodo, bisogna scegliere tra le coordinate x , y e ze “trasformarne” due di esse nei parametri α e β come visto peril caso della retta. Nell’assegnare i parametri alle coordinatevale lo stesso discorso fatto per la retta riguardo alle eventuali“variabili bloccate”.


EsempioTroviamo le equazioni parametriche del seguente piano scrittoin forma cartesiana:

π : x − z = 1

Usiamo il metodo di aggiunta dei parametri. Scegliamo peresempio di porre y = α e z = β:

r :

y = α

z = β

x − z = 1

r :

y = α

z = β

x − β = 1Marco Robutti Capitolo 1

EsempioQuindi infine otteniamo:

r :

x = 1 + β

y = α

z = β


Definizione (Prodotto scalare)Il prodotto scalare tra due vettori u e v è definito come:

〈u, v〉 = ‖u‖ · ‖v‖ · cos θ

oppure, in coordinate:

u =

xyz

, v =

x ′

y ′

z ′

〈u, v〉 = xx ′ + yy ′ + zz ′


Definizione (Proiezione ortogonale di un vettore su un altro)Dati due vettori u e v , la proiezione ortogonale di v su u è datadal vettore w così definito:

w = 〈u, v〉〈u,u〉u


~u

~v

~w

Figura: La proiezione ortogonale del vettore v sul vettore u.


Definizione (Norma di un vettore)

Dato un vettore v = x i + y j + z k è definita come:

‖v‖ =√〈v , v〉 =

√x2 + y2 + z2


Definizione (Distanza tra due punti)La distanza tra due punti A e B è uguale alla norma del vettoredifferenza B − A:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2


Definizione (Distanza punto-piano)

Dati un punto A =

xAyAzA

e un piano π : ax + by + cz + d = 0,

la distanza tra il punto e il piano è pari a:

d (A, π) = |axA + byA + czA + d |√a2 + b2 + c2


Definizione (Fascio proprio di piani)E’ dato dall’insieme zr dei piani contenenti una data retta r . Ipiani appartenenti al fascio sono tutti e soli quelli la cuiequazione può essere scritta nella forma:

λ (a1x + b1y + c1z + d1) + µ (a2x + b2y + c2z + d2) = 0

(λ, µ) 6= (0, 0)

dove a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e a2x + b2y + c2z = 0rappresentano due piani π1 e π2 distinti appartenenti al fascio.


Definizione (Fascio improprio di piani)E’ dato dall’insieme zn dei piani aventi la stessa direzionenormale n. I piani appartenenti al piano sono tutti e soli quellila cui equazione può essere scritta nella forma:

a0x + b0y + c0z + d = 0,

dove [n] =

a0b0c0

6=0

00

, d ∈ R


Definizione (Posizione reciproca tra piani)Dati due piani:

π1 : ax + by + cz = d π′ : a′x + b′y + c ′z = d ′

i due piani possono essere tra loro:

• paralleli;

• coincidenti;

• incidenti.


Definizione (Piani paralleli)I piani π e π′ sono paralleli se e solo se i vettori normali n e n′

generano la stessa retta, ovvero se e solo se n′ ∈ Span (n).Quindi esiste un numero reale non nullo k tale che:

a′ = ka, b′ = kb, c ′ = kc


x y

z

~n

~n′

π

π′

Figura: Due piani paralleli hanno vettori normali linearmentedipendenti tra loro.


Definizione (Piani coincidenti)I piani π e π′ sono coincidenti se e solo se sono paralleli e sed ′ = kd . Ovvero se:

a′ = ka, b′ = kb, c ′ = kc, d ′ = kd


Definizione (Piani incidenti)I piani π e π′ sono incidenti se non sono paralleli e non sonocoincidenti; allora la loro intersezione è una retta:

r = π ∩ π′

e nessuna delle condizioni precedenti si verifica.


x y

z

~n

r

~n′

π

π′

Figura: Due piani incidenti hanno vettori normali linearmenteindipendenti tra loro e definiscono una retta in E3

O .


Definizione (Posizione reciproca tra rette)Due rette r1 e r2 aventi rispettivamente i vettori direttori v1 ev2 ∈ E3

O possono essere tra loro:

• parallele;

• incidenti;

• sghembe;

• complanari.


Definizione (Rette parallele)Le rette r1 e r2 sono parallele se e solo se hanno la stessadirezione, ovvero se e solo se i loro vettori direttori generano lastessa retta, cioè se e solo se v2 ∈ Span (v1) (o viceversa).


x y

zr1 r2

~v1

~v2

Figura: Due rette parallele hanno vettori direttori linearmentedipendenti tra loro.


Definizione (Rette incidenti)Le rette r1 e r2 sono incidenti se e solo se si intersecano in ununico punto r1 ∩ r2 = {P}.Esistono due metodi per poter determinare il punto diintersezione P.


x y

zr1

r2P

Figura: Due rette incidenti hanno un solo punto in comune. Se hannopiù di un punto in comune, allora sono coincidenti.


Algoritmo - Metodo 1

Avendo le equazioni cartesiane di r1 e r2, basta metterle asistema:

{(equazioni cartesiane di r1)(equazioni cartesiane di r2)

se il sistema ammette una soluzione, allora le due rettesono incidenti;

se il sistema ammette infinite soluzioni, allora le due rettesono coincidenti;

se il sistema non ammette soluzioni, allora le due rette nonsono incidenti;



Avendo le equazioni parametriche di r1 e l’equazione cartesianadi r2, si effettuano i seguenti passi:

Considero un generico punto P1 = P01 + t1 appartenente

alla retta r1 e lo sostituisco al posto delle coordinate

xyz

nelle equazioni cartesiane di r2:

{a1xP1 + b1yP1 + c1zP1 + d1 = 0a2xP1 + b2yP1 + c2zP1 + d2 = 0

Risolvo il sistema considerando il parametro t1 comevariabile;



Se il sistema è risolubile, allora le due rette sono incidenti eil punto di intersezione P può essere trovatodeterminandone le coordinate dalla equazioni parametrichedi r1, dando al parametro il valore t1 = t∗, dove t∗ è lasoluzione del sistema; se invece il sistema non è risolubile,allora vuol dire che le due rette non sono incidenti.


Definizione (Rette sghembe)Le rette r1 e r2 sono sghembe se non sono parallele e non sonoincidenti. In altre parole se non vi nessun piano che le contengaentrambe:

n1 /∈ span (n2) ∧ r1 ∩ r2 = ∅


x y

z r1r2

Figura: Due rette sghembe hanno come intersezione l’insieme vuoto.


Definizione (Rette complanari)Le rette r1 e r2 sono complanari se sono parallele o incidenti.


x y

z

r1 r2

π

Figura: Due rette parallele (come in figura) o incidenti sonocomplanari.


Definizione (Posizione reciproca retta-piano)Una retta r avente vettore direttore v e un piano avente vettorenormale n e giacitura {u1,u2} possono essere reciprocamentenelle seguenti posizioni:

• incidenti;

• perpendicolari (la retta r è perpendicolare al piano π);

• paralleli;

• la retta r è contenuta nel piano π.


Definizione (Retta e piano incidenti)Una retta r e un piano π sonon incidenti se e solo se siintersecano in un unico punto:

r ∩ π = {P}

Esistono tre metodi per poter determinare il punto diintersezione P.


x y

z r

Pπ

Figura: Una retta e un piano sono incidenti se hanno un punto incomune.



Avendo le equazioni parametriche di r e le equazioniparametriche di π, si ha che la retta e il piano sono incidenti see solo se:

v /∈ Span (u1,u2) ,

cioè se e solo se:

〈v ,n〉 6= 0

Questo metodo è il più comodo per poter determinare se unaretta e un piano sono incidenti.



Avendo le equazioni cartesiane di r e π,basta metterle a sistema:

{(equazioni cartesiane di r)(equazione cartesiana di π)

se il sistema ammette una soluzione, allora il piano e laretta sono incidenti;se il sistema ammette infinite soluzioni, allora la retta ècontenuta nel piano;se il sistema non ammette soluzioni, allora la retta e ilpiano sono paralleli;



Avendo le equazioni parametriche di r e l’equazione cartesianadi π, si effettuano i seguenti passi:

Considero un generico punto P1 = P01 + t1 appartenente

alla retta r1e lo sostituisco al posto delle coordinate

xyz

nell’equazione cartesiana di π:

axP1 + byP1 + czP1 + d = 0

Risolvo l’equazione considerando il parametro t1 comevariabile;



Se il sistema è risolubile, allora retta e piano sono incidentie il punto di intersezione P può essere trovatodeterminandone le coordinate dalla equazioni parametrichedi r1, dando al parametro il valore t1 = t∗, dove t∗ è lasoluzione dell’equazione; se invece il sistema non èrisolubile, allora vuol dire che la retta e il piano sonoparalleli.


Definizione (Retta perpendicolare al piano)La retta r è perpendicolare al piano π se e solo se la direzione dir coincide con la direzione normale al piano, cioè:

v ∈ Span (n)

Esistono tre metodi per poter determinare il punto diintersezione P, e sono gli stessi visti per il caso della retta epiano incidenti.


x y

z~n

r

~v

Pπ

Figura: Una retta è perpendicolare ad un piano se il vettore direttoredella prima è linearmente dipendente al vettore normale del secondo(nella figura vettore direttore e normale sono stati disegnatirispettivamente sulla retta e sul piano per ragioni di chiarezzaespositiva: in realtà si trovano tutti nell’origine O!)


Definizione (Retta e piano paralleli)La retta r e il piano π sono paralleli se e solo se:

v ∈ Span (u1,u2) ∧ r ∩ π = ∅

La prima condizione equivale a dire che:

v ⊥ n =⇒ 〈v ,n〉 = 0


x y

z ~nr

~vπ

Figura: Una retta e un piano sono paralleli se non hanno punti incomune e se il prodotto scalare tra il vettore direttore della retta e ilvettore normale del piano è nullo, cioè se tra di loro c’è un angolo di90°.


Definizione (Retta contenuta nel piano)La retta r è contenuta nel piano π se e solo se:

v ∈ Span (u1,u2) ∧ r ∩ π 6= ∅


x y

z

~u1~u2

r

~vπ

Figura: Una retta è contenuta in un piano se il suo vettore direttoreappartiene allo Span dei vettori generatori del piano e se esiste almenoun punto che appartiene sia alla retta che al piano. In questo casonell’immagine i vettori generatori del piano e il vettore direttore dellaretta sono stati disegnati a partire dall’origine come è giusto che sia...


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