Verità è bellezza, bellezza è verità

25
Un viaggio multidisciplinare per capire quanto Yeats abbia avuto ragione

description

La mia tesina delle superiori: Verità è bellezza, bellezza è verità: un viaggio tra matematica e tutto ciò che le se è connessa col tempo.

Transcript of Verità è bellezza, bellezza è verità

Page 1: Verità è bellezza, bellezza è verità

Un viaggio multidisciplinare per capire quanto Yeats abbia avuto ragione

Page 2: Verità è bellezza, bellezza è verità

Introduzione

Innanzitutto vorrei chiarire il motivo principale per cui mi avvio a trattare questo particolare quanto vasto argomento, ovvero l'analisi delle corrispondenze tra verità e bellezza che l'uomo può riscontrare nei suoi pellegrinaggi mentali e fisici, nel mondo dell'arte come in quello della scienza, e infine nella Natura, che è un po' principio e fine delle due attività umane sopra citate. L'uomo si è sempre mosso alla ricerca della felicità, e questa ricerca è stata spesso accompagnata da una tensione verso la bellezza, l'armonia delle forme, come verso la verità, la ricerca di leggi che muovano l'universo, per comprendere un po' di più come è fatto il mondo esterno, ma soprattutto come siamo fatti noi. In questa tesina vorrei esporre come le due distinte ricerche abbiano spesso trovato dei paralleli, se non dei punti di contatto, e addirittura in un particolare anfratto dello scibile umano si trovi una scienza che non distingue spesso fra le due, e sto parlando della matematica, regina e serva di tutte le scienze. Qualunque tentativo dell'uomo di raggiungere la retta via, il sapere completo, la perfezione delle forme, la bellezza assoluta, ha conosciuto strade tortuose, falsi arrivi, periodi bui, deviazioni e passi indietro; c'è però una scienza che, malgrado non possa mai definirsi in dirittura d'arrivo, continua lentamente ma inesorabilmente il suo cammino in avanti, senza mai discutere le sue fondamenta, e questa è la Matematica, scienza dell'ordine e del rigore, che in prima istanza trae la sua solidità dalla sua incorporeità: ogni quadro non ritrae la bellezza assoluta se qualcuno non ce la vede; una legge fisica non è più considerata vera se una prova sperimentale riesce a smentirla; un teorema matematico, però, sarà vero per sempre, in quanto tutto ciò che può decidere la sua verità o falsità sono un numero limitato di assiomi, inventati dall'uomo (come il concetto di unità e di punto) e che sono tutti conosciuti in partenza, e se un assunto non le contraddice, allora è certamente vero. Molte sono state le scoperte dell'antica Grecia, molti gli scienziati, molti i filosofi; le teorie filosofiche del tempo, però, mano mano sono state discreditate e ora nessuna viene più considerata valida; matematici come Eratostene, Archimede o Pitagora, invece, rimarranno nell'albo dei matematici come scopritori di verità indiscusse. Talete non è più ricordato per la sua filosofia che attribuiva all'acqua l'archè, l'origine di tutte le cose, ma semmai per il suo grande contributo nell'avanzamento delle scienze fisiche e matematiche, come ad esempio il suo noto teorema geometrico.

Bellezza matematica

Il nostro viaggio è cominciato dal verso della poesia Ode di una urna greca “Bellezza è verità, verità è bellezza;/ questo è tutto ciò che sai al mondo/ e tutto ciò che devi sapere”. Ma cosa voleva dire il poeta Keats? T.S.Eliot ha descritto quella riga come "priva di significato", una "seria macchia su un altresì magnifico poema". L’estetismo, il movimento artistico cui Keats apparteneva, non intendeva porre la bellezza a verità ontologica: quella degli estetisti era più una fuga, una chiusura rispetto alla crudele realtà dei tempi, avversa agli intellettuali, per rifugiarsi in un ideale perfetto e illusorio di bellezza. Stewart, un distinto matematico all'università di Warwick in Inghilterra, comunque si preoccupa di far sapere nel suo angolo informativo di un famoso giornale britannico come il verso di Keats si applichi perfettamente alla matematica.

Page 3: Verità è bellezza, bellezza è verità

La matematica non è solo “trasformare caffeina in teoremi” come diceva Littlewood, matematico inglese, ma è molto di più: molti matematici traggono piacere estetico dal loro lavoro, e dalla matematica in generale. Loro esprimono questo piacere descrivendo la matematica (o almeno qualche aspetto della matematica) come stupenda, estatica. Qualche volta i matematici descrivono la matematica come una forma d'arte, o, perlomeno, come attività creativa. Spesso vengono fatte similitudini con la musica e la poesia. Bertrand Russel ha espresso il suo senso della bellezza matematica in queste parole: "La matematica, vista nella giusta luce, possiede non soltanto verità ma anche suprema bellezza - una bellezza fredda e austera, come quella della scultura; una bellezza che non fa appello ai nostri sentimenti più grossolani, che non ha gli ornamenti sgargianti della musica o della pittura; una bellezza pura e sublime, capace della rigorosa perfezione, propria solo della più grande arte. Il vero senso di piacere, l'esaltazione, il sentirsi più di semplici uomini, che è il segno principale della eccellenza più alta, si possono trovare nella matematica come sicuramente nella poesia." Paul Erdıs espresse le sue vedute sull'ineffabilità della matematica quando disse: "Perchè i numeri sono meravigliosi? E' come chiedere perchè è meravigliosa la Nona sinfonia di Beethoven. Se non vedi perchè, non te lo può dire qualcun'altro. Io so che i numeri sono meravigliosi. Se non lo sono loro, nient'altro lo è". Se trovare schemi e strutture nel mondo della matematica è una parte di quello che può fare un matematico, l'altra parte è dimostrare che una certa struttura rimarrà sempre valida. Il concetto di dimostrazione segna forse il vero inizio della matematica come arte della deduzione invece che come semplice osservazione numerologica, il punto in cui l'alchimia matematica cede il passo alla chimica matematica. Gli antichi greci furono i primi a comprendere che era possibile dimostrare che certi fatti rimangono veri per quanto lontano ci si spinga a contare, per quanti esempi si esamino. Hardy, nella sua Apologia di un matematico, soleva paragonare il processo della scoperta della dimostrazione matematiche al lavoro di un cartografo che studia paesaggi lontani: "ho sempre pensato a un matematico in primo luogo come un osservatore,un uomo che scruta una remota catena di montagne e annota le proprie osservazioni". Una volta che il matematico ha osservato la montagna in lontananza il suo compito successivo è spiegare agli altri come raggiungerla. Coloro che leggeranno una dimostrazione sperimenteranno lo stesso emergere della comprensione che ha sperimentato il suo autore. Non solo vedranno finalmente la strada che conduce alla vetta, ma capiranno anche che nessuno sviluppo futuro potrà compromettere quel nuovo percorso. Molto spesso una dimostrazione non cerca di mettere tutti i puntini sulle i. È una descrizione del viaggio e non necessariamente la ricostruzione di ogni singolo passo compiuto. Le argomentazioni che matematici forniscono come dimostrazioni si propongono di produrre un afflusso di sangue della mente del lettore. Hardy usava descrivere le argomentazioni che i matematici forniscono come "gas, svolazzi retorici ideati per colpire la psicologia, figura sulla lavagna durante la lezione, strumenti per stimolare l'immaginazione degli allievi". Il matematico è ossessionato dalla dimostrazione, e la semplice prova sperimentale di un'ipotesi matematica, per quante prove si facciano, non lo soddisfa. Quest'atteggiamento e spesso oggetto di stupore e persino di scherno in altre discipline scientifiche, ma molti sono i matematici che rabbrividirebbero al solo pensiero di una tale eresia. Per dirla con le parole di Andè Weil, matematico francese, "il rigore è per i matematici quello che la moralità é per gli uomini". Avendo a che fare con forme geometriche di otto dimensioni o numeri primi così grandi che superano il numero di atomi esistenti dell'universo, la mente matematica potrebbe giocare strani scherzi, e senza una dimostrazione c'è rischio di creare un castello di carte. Nelle altre discipline scientifiche l'osservazione fisica e l'esperimento rassicurano sulla realtà di un oggetto di studio. Ma se altri scienziati possono usare gli occhi per vedere questa realtà fisica, i matematici si affidano alla dimostrazione matematica, come un sesto senso, per venire a capo del loro invisibile oggetto di studio. Ma forse l'argomento più convincente per spiegare perché la cultura della matematica dia tanto valore al fatto di dimostrare che una asserzione è vera è che, a differenza delle altre scienze, essa concede il lusso di poterlo fare. In quante altre discipline esiste qualcosa di paragonabile alla possibilità di affermare che la formula di Gauss per i numeri triangolari non mancherà mai di dare la risposta corretta? Forse la matematica è una materia eterea, circoscritta alla mente, ma la sua mancanza di realtà tangibile è più che compensata dalle certezze che forniscono le dimostrazioni. La matematica è una piramide su cui ogni generazione edifica sulle realizzazioni di quella che l'ha preceduta senza dover temere che ci sia un crollo, anche pochi passi alla volta, anche ad opera di persone comuni, ma irresistibilmente avanti. I matematici chiamano un metodo dimostrativo elegante se: - utilizza come ipotesi una minima parte di assunzioni aggiuntive o risultati precedenti. - è molto succinto; - fa derivare un risultato in un modo sorprendente (es. da un teorema o un gruppo di teoremi apparentemente scollegati) - è basata su vedute nuove e originali sull'argomento - può essere facilmente generalizzato per risolvere una famiglia di problemi simili.

Page 4: Verità è bellezza, bellezza è verità

In cerca di prove eleganti, i matematici spesso ricercano in parallelo per diverse vie per giungere ad risultato, in quanto la prima dimostrazione potrebbe non essere la migliore. Il teorema per cui è stata trovato il maggior numero di dimostrazioni è stato il teorema di Pitagora, del quale sono state pubblicate centinaia di dimostrazioni. D’altra parte, si sta ancora cercando una seconda dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat: la prima, nel 1995, di Andrew Wiles, consiste in 200 pagine di geometria algebrica, non esattamente godibili da un principiante appassionato; allo stesso modo altri teoremi logicamente corretti ma che richiedono calcoli laboriosi, metodi molto elaborati, approcci molto convenzionali, o che richiedono per ipotesi un grande numero di potenti assiomi o notevoli risultati precedenti per essere dimostrati possono essere definiti orribili, o maldestri. Bellezza nei risultati Alcuni risultati nel campo della matematica sono belli per ancora altri motivi, ovvero per le connessioni che riescono a stabilire tra branche che prima apparivano totalmente scollegate. Tali risultati sono chiamati profondi. Per stabilire se un teorema è profondo o meno, spesso si deve ricorrere a degli esempi, e il più citato è l'identità di Eulero: eiπ+1=0

Richard Feynman la ha chiamata "la più notevole formula in tutta la matematica"; ma ci torneremo in seguito. Una delle tante notevoli disuguaglianze è quella di Cauchy-Schwarz : prese due n-uple di numeri reali ai e bi

ma la sua dimostrazione è molto più semplice (e geniale) di quello che possa sembrare: consideriamo il polinomio in variabile x

Questo polinomio di secondo grado è sempre positivo in quanto somma di quadrati, quindi ∆≤0. Ponendo questa condizione si ottiene

esattamente la disuguaglianza cercata. Inoltre l’uguaglianza si verifica solo quando il discriminate è 0, e ciò

avviene solo se tutti i quadrati possono valere 0 contemporaneamente � Matematica e misticismo Qualche matematico è dell'opinione che fare matematica è più vicino alla scoperta che all'invenzione. Questi matematici credono che dettagliati e precisi risultati della scienza possono essere presi ragionevolmente per veri senza alcuna dipendenza dall'universo in cui viviamo. Per esempio loro porterebbero come argomento che la teoria dei numeri naturali è fondamentalmente valida, in una maniera che non richiede alcuno contesto specifico. Qualche matematico ha estrapolato questo punto di vista e lo hanno portato fino al misticismo. Pitagora (e l'intera scuola filosofica dei pitagorici) credeva nella realtà ontologica e letterale di numeri, per cui la scoperta dell'esistenza di numeri irrazionali fu uno shock per loro, essendo impossibilitati a esprimerli come rapporto di due numeri naturali, e credendo quindi che questi numeri fossero una falla nella perfezione della Natura. Nella filosofia di Platone esistevano due mondi, quello fisico nel quale viviamo e un altro mondo astratto, quello delle idee, che conteneva le verità immutabili, tra cui quelle matematiche. Galilei ha detto " la matematica è il linguaggio con il quale Dio ha scritto l'universo", un'affermazione che (non considerando l'implicito teismo) è in linea con le basi matematiche di tutta la fisica moderna. Il matematico ungherese Paul Erdıs, anche se ateista, parlava di un libro immaginario, nel quale Dio aveva trascritto tutte le migliori dimostrazioni matematiche. quando infatti voleva esprimere un particolare

Page 5: Verità è bellezza, bellezza è verità

apprezzamento per una dimostrazione, esclamava " questa qui viene dritta dal Libro!!". Questo punto di vista esprime l'idea che la matematica, in quanto la vera e intrinseca base sulla quale sono costruite le leggi dell'universo, è un candidato naturale per quello che è stato personificato come Dio dalle differenti religioni mistiche. Il filosofo francese del ventesimo secolo Alain Badiou afferma che l'ontologia è la matematica. Anche Badiou crede nella profonda connessione tra matematica, poesia e filosofia. L’immortalità matematica Il più grande incentivo che spinge un matematico ad andare a caccia di uno dei problemi del millennio, ideati originalmente dal britannico Hilbert, non è la ricompensa in denaro ma la prospettiva inebriante di raggiungere l'immortalità che la matematica può conferire. È vero che risolvendo uno dei problemi di Clay ti metti in tasca $ 1 milione, ma questo non è niente paragonato al fatto di scolpire il tuo nome sulla mappa intellettuale della civiltà. L'ipotesi di Riemann, l'ultimo teorema di Fermat, la congiuntura di Goldbach, lo spazio di Hilbert, la funzione tau di Ramanujan, l'algoritmo di Euclide, il metodo del cerchio di Hardy - Littlewood, le serie di Fourier, la numerazione di Goedel, uno zero di Siegel, la formula della traccia di Selberg, il crivello di Eratostene, i numeri primi di Mersenne, il prodotto di Eulero, gli interi gaussiani: sono tutte scoperte che hanno reso immortali i matematici responsabili di aver dissepolto quei tesori nel corso dell'esplorazione della teoria dei numeri. I loro nomi sopravvivranno quando ci saremo ormai dimenticati da tempo di quelli di Eschilo, Goethe e Shakespeare. Come spiegava G.H. Hardy, " le lingue muoiono ma le idee matematiche no." Immortalità è forse una parola ingenua, ma un matematico ha più probabilità di chiunque altro di raggiungere quello che questa parola designa".

I numeri primi

I numeri primi sono i veri e propri atomi dell'aritmetica. Definiscono primi i numeri interi indivisibili, cioè quelli che non possono essere scritti come prodotto di due numeri interi più piccoli. Ai matematici i numeri primi infondono un senso di meraviglia: 2,3,5,7,11,13,17,19... , numeri senza tempo che esistono in un mondo indipendente dalla nostra realtà fisica. Sono un dono che la Natura ha fatto il matematico. La loro importanza per la matematica deriva dal fatto che hanno il potere di costruire tutti altri numeri: ogni numero intero che non sia primo può essere costruito moltiplicando questi elementi di base primari, così come ogni molecola esistente nel mondo fisico può essere costruito utilizzando gli atomi della tavola periodica degli elementi chimici. Un elenco di numeri primi è la tavola periodica del matematico. I numeri primi 2, 3 e 5 sono l’idrogeno, l'elio e il litio del suo laboratorio. Padroneggiare questi elementi di base offre il matematico la speranza di poter scoprire nuovi metodi per costruire la mappa di un percorso che attraversa le smisurate complessità del mondo matematico. Eppure, a dispetto della loro apparente semplicità e della loro natura fondamentale, i numeri primi restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. In una disciplina che si dedica a trovare andamenti regolari e ordine, i numeri primi presentano la sfida estrema. Provate a esaminare l'elenco di numeri primi. Scoprirete che è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. L'elenco sembra caotico, casuale, e non fornisce alcun indizio riguarda il modo di determinare il suo prossimo elemento.

I matematici non sopportano di dover ammettere che non esiste una spiegazione del modo in cui la Natura ha scelto i numeri primi. Se la matematica non avesse una struttura, se non possedesse la sua meravigliosa semplicità, non varrebbe la pena di studiarla. Come scrisse il matematico francese Henrì Poincarè, "lo scienziato non studia la Natura perché è utile farlo; la studia perchè ne trae diletto, e ne trae diletto perché la Natura è bella. Se non fosse bella, non varrebbe la pena di conoscerla, e se non valesse la pena di conoscere la Natura, la vita non sarebbe degno di essere vissuta". E’ vero che i fisici si stanno sempre abituando all'idea che un dado quantistico decida del destino dell'universo e che ogni lancio di questo dado dei termini dove gli scienziati troveranno della materia, ma provoca un certo imbarazzo dover ammettere che i numeri fondamentali su cui si basa la matematica siano stati dispiegati dalla Natura gettando una moneta, decidendo con ciascun lancio il destino di un numero. Casualità e caos sono anatemi per il matematico. A dispetto della loro casualità, tuttavia, i numeri primi e possiedono -più di ogni altra parte del nostro retaggio matematico- un carattere immutabile, universale. I

Page 6: Verità è bellezza, bellezza è verità

numeri primi esisterebbero anche se noi non ci fossimo evoluti a sufficienza per poterli riconoscere. Come affermò il matematico di Cambridge G.H. Hardy nel suo famoso libro Apologia di un matematico: “317 è un numero primo non perché noi pensiamo che sia così, perché la nostra mente è conformata in un modo piuttosto che in un altro, ma perché è così, perché la realtà matematica è fatta così". La matematica, dichiara Connes, "è indiscutibilmente il solo linguaggio universale". Si può immaginare che dall'altra parte dell'universo esistano una chimica o una biologia differenti, ma i numeri primi rimarranno numeri primi in qualsiasi galassia si conti. A riguardo di questi elementi fondamentali, i numeri primi, per secoli poco si era detto in più rispetto a quello che già i greci avevano trovato: la dimostrazione della loro infinità da parte di Euclide e il metodo di Eratostene detto “crivello” per trovarli, armati di una tabella e di un po’ di pazienza. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) si è distinto fin da giovanissimo per le sue spiccate abilità matematiche. Nel 1791 ricevette in regalo un libro di logaritmi, molto usati all’epoca per semplificare i conti di grandi moltiplicazioni, in fondo al quale si trovava una tavola di numeri primi. Per Gauss, il fatto che numeri primi e logaritmi comparissero insieme che aveva qualcosa di misterioso. Dopo molti calcoli egli aveva successivamente notato che fra questi due oggetti apparentemente indipendenti sembrava esserci infatti una connessione. Quando Gauss e si interrogò sui numeri primi, si pose una domanda diversa dai suoi predecessori, che invano cercavano la formula risolutiva, il polinomio dove immettendo n usciva fuori l’n-esimo primo. Invece di cercare di prevedere la posizione precisa di un numero primo rispetto a quello precedente, egli tentò di capire se fosse possibile prevedere quanti fossero i numeri primi inferiori a un certo numero n (la corrispondente equazione si chiama π(x)), tentando così di vedere le cose un po’ più dall’alto. Facendo un po' di conti scoprì che il rapporto fra un certo numero n e il numero di numeri primi fino quel numero n aumentava in modo molto regolare: ogni volta che Gauss moltiplicava il tetto n per 10, doveva aggiungere 2,3 alla rapporto fra n e i suoi numeri primi. Detto in altro modo, scoprì che per contare i numeri primi si possono usare logaritmi in base e (il cosiddetto numero di Nepero, pari a 2,71828…): e tra i numeri compresi tra uno e n, ogni ln(n) numeri ce ne sarà grosso modo uno che è primo, quindi i numeri primi prima di n saranno circa n/ln(n). Le sue congetture matematiche si spinsero ancora più in là e arrivò a ipotizzare teoricamente che i numeri primi, quando vennero generati da madre Natura, fossero stati scelti a sorte: ogni numero primo sarebbe risultata la testa di una moneta con probabilità dipendente dal numero stesso e pari a p(n)=1/ln(n) e formulò in accordo con questa congettura una nuova approssimazione di π(x), detta logaritmo integrale:

molto più precisa della precedente. Qui una tabella per il confronto numerico: notiamo come tutte le approssimazioni si vadano allontanando dall’effettivo numero di primi, ma il rapporto con π(x) si vada sempre avvicinando a 1,

x π(x) π(x) − x / ln x π(x) / (x / ln

x) Li(x) − π(x) π(x) / Li(x) x / π(x)

10 4 −0.3 0.921 2.2 0.64516129 2.500

102 25 3.3 1.151 5.1 0.830564784 4.000

103 168 23 1.161 10 0.943820225 5.952

104 1,229 143 1.132 17 0.98635634 8.137

105 9,592 906 1.104 38 0.996053998 10.425

106 78,498 6,116 1.084 130 0.998346645 12.740

107 664,579 44,158 1.071 339 0.999490163 15.047

108 5,761,455 332,774 1.061 754 0.999869147 17.357

109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 0.999966548 19.667

1010

455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 0.999993179 21.975

1011

4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 0.999993179 24.283

1012

37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 0.999997186 26.590

Page 7: Verità è bellezza, bellezza è verità

1013

346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 0.999998983 28.896

1014

3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 0.999999685 31.202

1015

29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 0.999999902 33.507

1016

279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 0.999999965 35.812

1017

2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 0.999999988 38.116

1018

24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 0.999999997 40.420

1019

234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 0.999999999 42.725

1020

2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 1,000000000 45.028

La sua era solo una congettura, ma qualche anno più tardi arriverà il matematico che seguirà le sue orme e si spingerà ancora più addentro all’apparente caos dei primi per trovarne ordine. (decine di anni più tardi le congetture gaussiane saranno tutte dimostrate, tranne una, smentita, quella secondo cui la sua approssimazione tramite logaritmo integrale sarebbe sempre rimasta sopra l'effettivo valore di π(x))

Notiamo nel grafico a destra l’andamento di π(x) (rosso), di x/ln(x) (verde) e Li(x) (blu).

La funzione zeta

L’esplorazione dell’armonia delle frazioni dell'unità ci perviene per la prima volta da Pitagora: egli aveva riempito un'urna d'acqua e l'aveva percossa con un martelletto per produrre una nota. Quand'aveva rimosso metà dell'acqua e aveva percossa di nuovo l'urna, la nota era salita di un'ottava. Ogni volta che rimuoveva altra acqua in modo da lasciare l'urna piena per un terzo, per un quarto e così via, si accorgeva che le note che si producevano apparivano in armonia con la prima nota che aveva ottenuto. Queste frazioni contenevano una bellezza che si poteva ascoltare. L'armonia che Pitagora aveva scoperto di numeri 1, ½, 1/3 , ¼ ,... lo indusse a credere che l'intero universo fosse controllato dalla musica ed è per questo che coniò l'espressione "La musica delle sfere". Le armoniche che un qualsiasi strumento suona, dopo tutto, non sono altro che sovrapposizioni di varie onde fondamentali, ognuna con una frazione unitaria della lunghezza d'onda fondamentale generata da quello strumento, come dimostrato da Fourier.

La somma infinita prende appunto il nome di serie armonica. Strettamente collegata ad

essa è la funzione zeta, definita come , di cui la serie armonica è semplicemente il caso particolare per x=1. La funzione appare poi come strettamente collegata con i numeri primi se si pensa che si può riscrivere

Page 8: Verità è bellezza, bellezza è verità

come in quanto ogni numero non primo è prodotto di primi, quindi la moltiplicazione tra tutti i fattori primi a tutti i possibili esponenti (invertiti) da tutti i possibili numeri (sempre invertiti).

I numeri immaginari e il piano gaussiano

Al tempo i numeri immaginari stavano facendo il loro stentato e criticato ingresso nella mentalità matematica, proprio come lo fecero i numeri irrazionali al tempo di Pitagora. I numeri complessi oggigiorno sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (e notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche.

La costante i nacque nel sedicesimo secolo per risolvere equazioni di Tartaglia; formalmente si definisce come soluzione dell'equazione x2+1=0 ( insieme al suo opposto) e vale √-1. i matematici del tempo si chiedevano però se ci fosse stato bisogno di nominare altre variabili, come le soluzioni di x4+1=0, ma nel 1799 Gauss nella sua tesi di dottorato dimostrò che i era l'unica unità necessaria. La sua agilità nel districarsi in questo nuovo ambito stava nell'avere generato un nuovo grafico, detto complesso, nel quale i numeri complessi venivano rappresentati come punti del piano: la coordinata x ne determinava la parte reale, quella y la parte immaginaria. In questo modo sommare due numeri complessi si riduceva nel piano a una somma di vettori (che partono dall'origine e arrivano ai punti scelti). E' particolarmente utile poi per le moltiplicazioni scrivere numeri sotto forma di coordinate polari: c1=r1(cosθ+isenθ), c2=r2(cosφ+isenφ) in questo modo si può vedere che c1c2=r1r2(cosθ cosφ -senθsenφ +icosφsenθ+isenφcosθ)= =r1r2(cos(θ+φ) +isen(θ+φ)) e quindi i valori assoluti si moltiplicano mentre gli argomenti (l’angolo che la retta passante per l’origine e il punto forma con l’asse delle x) si sommano. Eulero nel 1748 provò a inserire numeri complessi nelle funzioni esponenziali. Ovviamente sapeva che quando si inserivano di numeri ordinari x della funzione 2x si otteneva un grafico che saliva rapidamente. Ma quando provò a inserire di numeri immaginari della funzione, il risultato che ottenne fu alquanto inaspettato. Invece di un grafico che cresceva in modo esponenziale vide comparire delle onde, associabili alla funzione seno. Da qui la famosa equazione che fa corrispondere in qualunque punto del piano

complesso a un esponenziale:

che ha come corollario . La dimostrazione è semplice se prendiamo in considerazione la funzione

e la deriviamo (è sempre possibile in quanto il denominatore ha valore assoluto costante e pari a 1):

. La funzione è dunque

Page 9: Verità è bellezza, bellezza è verità

costante e se da qui la tesi. Benjamin Peirce, matematico di Harvard del XIX sec. Dopo averla dimostrata agli studenti disse "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo provata, e quindi sappiamo che deve essere la verità." Richard Feynman chiamò giustamente questa formula "la più straordinaria formula in matematica", perché unifica molti settori della matematica prima ritenuti scollegati: la somma, la moltiplicazione, l'esponenziazione, la trigonometria e i numeri complessi riunendo in un'unica formula le loro unità (rispettivamente 0 è l’elemento neutro della addizione, l'uno quello della moltiplicazione, e è la base degli esponenti e dei logaritmi naturali, π è la base della trigonometria e i è l’unità immaginaria) Con questa formula si può far corrispondere ad ogni punto del piano complesso una precisa onda, con ampiezza dipendente dalla parte reale e frequenza dipendente dalla parte immaginaria. Riemann (1826-1866), schivo matematico di Gottinga, nota università tedesca del tempo, conobbe la funzione zeta solo quando era già completamente immerso nel mondo immaginario che Cauchy aveva teorizzato, e per questo cominciò ad esplorare la funzione immettendovi dentro numeri complessi. Questa ne è un’immagine vista dall’alto, in cui l’asse x rappresenta la parte immaginaria, l’asse y quella reale del dominio e i colori il valore della parte reale dell’output, più bianca se è più elevato il risultato.

Tramite un'estensione analitica Riemann riuscì a disegnare il paesaggio zeta (a quattro dimensioni, due per i numeri complessi in entrata e due per i numeri complessi in uscita) con parte reale in input minore di 1 e maggiore di 0 (è impossibile infatti ottenere un valore finito sostituendo valori con parte reale minore di 1 nell’equazione). Una seconda scoperta portò Riemann a dedurre che l'intera mappa poteva essere ricostruita semplicemente tramite la conoscenza di tutti gli zeri della funzione, un po' come i chimici risalgono alla composizione di una stella analizzando i suoi spettri di emissione. Non dimenticando però che la stessa formula poteva anche essere generata da tutti numeri primi, sicuramente doveva esserci una connessione tra le due cose, e Riemann trovò quella connessione. Riemann trovò una nuova funzione per approssimare π(x), chiamata R(x), pari a

dove

Essenzialmente, la curva era all'inizio sinuosa come quella di Gauss, (e quindi diversa dall’effettivo π(x) che è fatto a scale, in quanto aumenta bruscamente di 1 ogni volta che si sorpassa un nuovo primo) anche se forniva un'approssimazione molto più accurata, ma la vera rivoluzione sta in quel xp, dove p è uno zero non banale della funzione zeta. Mettendolo ad esponente, appunto, lo zero diventa un'onda da sommare alla curva approssimante, e Riemann aveva dimostrato che sommando tutte le onde degli zeri avrebbe ricreato perfettamente l'irregolare scalinata dei numeri primi. Riemann, come guardando dall'altra parte dello specchio di Alice nel paese delle meraviglie, trovò l'ordine dietro al caos, una lieta orchestra dietro al battito cardiaco irregolare dei numeri primi, e ora al celebre matematico toccava determinare quella musica.

Page 10: Verità è bellezza, bellezza è verità

Esaminando l'effettiva posizione degli zeri della funzione zeta, Riemann si chiedeva se qualche zero avesse avuto parte reale maggiore delle altre, se avesse suonato con maggiore intensità rispetto agli altri strumenti, quindi avrebbe avuto una maggiore preponderanza nel conteggio di numeri primi, e qui scoprì il miracolo. Tutti gli zeri avevano la stessa parte reale, pari a ½ , e quindi potevano essere disposti lungo una retta, giustamente chiamata retta magica di Riemann o retta critica. Questa rigorosa disposizione degli zeri era l'ordine nascosto che tanti matematici cercavano negli elusivi numeri primi: l'orchestra degli zeri era talmente

bilanciata che nessuno strumento aveva un ruolo più preponderante degli altri. Riemann, schivo com'era, criptò questa favolosa scoperta all'interno della sua unica pubblicazione (volta negli intenti, peraltro, solo a dar ragione a Gauss sulle sue congetture sui numeri primi) e anche se il matematico affermò successivamente di aver dimostrato la sua ipotesi, morì prima di pubblicare il teorema e le sue carte furono bruciate per la maggior parte da una governante troppo zelante. Dopo che venne effettivamente compresa la portata di questa scoperta, fatto avvenuto ben due secoli dopo, ogni matematico interessato alla teoria dei numeri ebbe necessariamente che fare con questa ipotesi, dal sapore dolce della vittoria della ragione sul caos di numeri primi ma anche amaro, per la presunta perdita della dimostrazione. G.H.Hardy, matematico inglese, dopo ben due secoli di disinteresse britannico per le idee matematiche del continente, dimostrò che un numero infinito di zeri si allineava sulla presunta retta critica, anche se ciò ovviamente non bastava dimostrare che tutti giacessero

sulla retta (un po' come i numeri pari sono infiniti, ma non sono tutti i numeri naturali). più tardi, nel 1933,uno studente di Cambridge di nome Stanley Skewes diede origine a una lunga serie di particolari teoremi: dimostrò infatti che la congettura di Gauss Li(x)> π(x) per ogni x era falsa, anche se stimò che solo quando

si fossero contati i numeri primi non inferiori a sarebbe stato finalmente possibile assistere a tale smentita (un numero inimmaginabile: scrivendo 1 e mettendo uno 0 su ogni atomo dell'universo, non avvicineremo questo numero neanche di un passo): il punto, però, è che questa dimostrazione cominciava con la premessa “supponiamo che l'ipotesi di Riemann sia vera”. Effettivamente, i recenti grandi progressi nella teoria dei numeri sono stati possibili solo accettando per fede che questa ipotesi sia vera (tuttora continua infatti la ricerca della dimostrazione di quest'ipotesi) e se così non fosse, migliaia di teoremi crollerebbero come un castello di carte, costringendoci a ricominciare da molto indietro e deludendo fortemente le nostre aspettative di comprendere la Natura con il nostro raziocinio. Della sua stima del numero di numeri primi, Gauss aveva preso a modello il lancio di una moneta speciale. La probabilità che all’n-esimo lancio questa teorica moneta desse come risultato testa -ovvero che n fosse un numero primo- non era uguale a ½ , ma a 1/ln(n). tuttavia, così come l'esito dei lanci di una moneta convenzionale non è esattamente per metà delle volte testa e per metà croce, la moneta di numeri primi lanciata dalla Natura non forniva l'esatto numero di numeri primi che Gauss aveva previsto. Ma quali caratteristiche aveva l'errore? Restava dentro i limiti dello scostamento dal valore atteso di una moneta che si comporta in modo casuale, oppure mostrava una forte tendenza a produrre numeri primi in particolari aree numeriche e a lasciare altre aree sguarnite? la risposta si trova nell'ipotesi di Riemann e nei modi in cui essa predice l'ubicazione degli zeri. Questi punti al livello del mare controllano gli errori presenti nella stima del numero di numeri primi data da Gauss. Ogni zero con coordinata reale uguale a ½ produce un errore massimo pari a n1/2=√n, perciò se Riemann aveva ragione sulla posizione degli zeri, allora lo scostamento fra la stima del numero di numeri primi cioè n/ln(n) data da Gauss e il loro vero numero risulta al più dell'ordine della radice quadrata di n. Questo è il margine d'errore previsto dalla teoria della probabilità nel caso di una moneta equa, il cui comportamento non è affetto da deviazioni sistematiche. Se invece l'ipotesi di Riemann è falsa ed esistono degli zeri posizionati più a est della retta critica passante per ½ (ovvero con parte reale maggiore), questi zeri produrranno un errore molto più grande della radice quadrata di n e sbilanceranno la moneta dei numeri primi. Una moneta equa produce un comportamento realmente casuale, mentre una moneta sbilanciata produce un andamento riconoscibile. Grazie alla sua brillante intuizione, Riemann era riuscito a ribaltare completamente questa casualità scoprendo il nesso fra gli zeri del suo passaggio e i numeri primi. Per dimostrare che la distribuzione di numeri primi è realmente casuale, è

Page 11: Verità è bellezza, bellezza è verità

necessario dimostrare che oltre lo specchio di Riemann gli zeri sono disposte ordinatamente lungo la sua retta magica. Nel secondo dopoguerra Hugh Montgomery, nella speranza di trovare indizi per far luce sulla funzione zeta, studio la distribuzione degli zeri sulla retta critica (infatti in pochi si erano realmente preoccupati di determinare questi zeri: a molti importava solo che si trovassero o meno sulla retta): ma invece di trovare una distribuzione casuale, come quella di numeri primi, trovò qualcosa di molto più ordinato, anche se non uniforme, in cui gli zeri tendevano a respingersi.

il grafico di correlazione di coppia che ottenne (che riporta ovvero le distanze fra due zeri consecutivi) non assomigliava affatto a una curva a campana, firma di una distribuzione casuale.

Per un incontro puramente fortuito, venne a sapere dal fisico quantistico Dyson che “è esattamente lo stesso comportamento degli autovalori delle matrici casuali hermitiane!”, ovvero i livelli energetici che un nucleo di un atomo pesante assume quando lo si bombarda con neutroni a bassa energia. Il legame andò sempre più rafforzandosi con nuove conferme statistiche, come i valori energetici assunti da un elettrone collocato in un “biliardo” costruito su misura su di un semiconduttore) fino ad essere ritenuto oggi indissolubile. L’archè della materia si univa al archè della teoria dei numeri, legati dalla stessa sinfonia di zeri.

Page 12: Verità è bellezza, bellezza è verità

Con un po' di fantasia, si può pensare che sia stata questa l'idea per generare la teoria delle stringhe, e afferma che ogni particella sia in realtà una corda vibrante, ognuna con la sua particolare musica e quindi le sue caratteristiche; in effetti, però, la vera origine parte da Gabriele Veneziano, fisico teorico italiano che ha scoperto che certi comportamenti degli adroni rispetto alla forza nucleare forte possono venire interpretati tramite la funzione beta di Eulero e ha spiegato questo ipotizzando che le particelle fossero corde oscillanti lungo una dimensione, ma certo idee del genere sarebbero difficilmente saltate fuori se il retroscena matematico non si fosse spinto fino ad annettere la fisica quantistica e la musica come parti integranti di sé.

Escher

Lo scomparso professor G.H.Hardy affermò una volta che la "matematica reale" ha "un altissimo livello di imprevedibilità, unita a inevitabilità e economia". Queste parole possono descrivere altrettanto bene l'opera di Escher. Come egli stesso ha detto, "confrontando attentamente gli enigmi che ci circondano, e analizzando le osservazioni da me compiute, sono finito nel regno delle matematiche. Anche se sono assolutamente digiuno di studi di conoscenze nel campo delle scienze esatte, sembra spesso che io abbia più cose in comune con i matematici che con gli altri artisti."

Escher e i solidi platonici Al pari di Leonardo da Vinci e di Albrecht Durer, è aveva un accentuato interesse cinque solidi platonici: il tetraedro regolare, l'ettaedro, il cubo, l'icosaedro e il dodecaedro. "Essi simbolizzano," scrisse Escher, "il desiderio di armonia e di ordine dell'uomo , ma nello stesso tempo la loro perfezione desta non in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolari non sono invenzioni della mente umana, perché esistevano molto tempo prima che l'uomo comparisse sulla scena”. Planetoide tetraedrico è essenzialmente un tetraedro, e Planetoide doppio è il composto di due tetraedri reciproci che Keplero aveva denominato stella octangula. Platelminti rappresenta il tetraedro e il ettaedro, e mostra come l'intero spazio essere riempito da uno schema di duplicati di questi due solidi. Stelle mostra una combinazione di tre o tetraedri concentrici in una stortura i cui bordi appaiono come sbarre. Anche Leonardo disegnò molte strutture simili all'inizio del sedicesimo secolo, quando illustrò la De divina proportione di Luca Pacioli. In Cubo con nastri magici,una struttura cubica rinforzata da diagonali in quattro delle sei facce. (si noti anche il contrasto tra la realtà delle sbarre l'impossibile bizzarria di due nastri senza fine, sui quali le protuberanze simili a bottoni possono apparire concave e convesse.) Divisione spaziale cubica rappresenta una grata o traliccio cubico, che dà con la sua prospettiva dà un meraviglioso senso di spazio infinito. Ordine e caos e Gravità sono basati sul piccolo dodecaedro stellato di Keplero, un poliedro a stella che ha le stesse facce del dodecaedro e gli stessi vertici dell'icosaedro. Nella

xilografia Rettili gli animaletti della tassellazione che hanno preso vita operano un percorso in salita, fisica e metaforica, fino al culmine, un dodecaedro, dove uno dei rettili emette uno sbuffo di fumo, e poi discendendo fino a tornare nel disegno di partenza.

Page 13: Verità è bellezza, bellezza è verità

Escher e la cristallografia Nel 1891 il cristallografo russo E.Fedorov dimostrò che tutti gli schemi della carta da parati, delle piastrelle per pavimenti, dei mosaici ecc. sono ripetuti sistematicamente sulla base di uno dei 17 gruppi di isometri. Ognuno di questi gruppi può essere considerato come un gruppo simmetrico di una tassellatura di piastrelle congruenti (e isometriche), in cui una piastrella potrebbe essere trasformata in ogni altra da un isometria che lascia immutato l'intero schema. Lo studio è stato compiuto da un cristallografo in quanto nei cristalli le molecole fondamentali tendono a riempire lo spazio del cristallo con schemi svariati ma ripetuti, facilmente generalizzabili e analizzabili. Successivamente in uno studio del 1963 intitolato Flächenshluss, Heinrich Heesch e Otto Kienzle descrivevano modi matematicamente possibili in cui la forma di una regione fondamentale per ciascuno dei 17 gruppi potrebbe essere modificata. Proseguivano poi considerando le varie applicazioni pratiche di quest'idea, per esempio il modo più economico per ritagliare suole per scarpe da un grande pezzo di cuoio. Ma non sapevano che

Escher lavorava già da molti anni lungo le stesse linee, usando ingegnosamente come regione fondamentale un pesce o una lucertola,un uccello o un cavaliere. Per citare le parole dello stesso Escher, “la linea di confine tra deformi adiacenti aventi una duplice funzione, il tracciare una simile linea è una cosa complicata. Sui due lati di essa, contemporaneamente, prende forma qualcosa di riconoscibile. Ma l'occhio e la mente umani non possono essere impegnati da due cose nello stesso momento, e quindi deve esserci un rapido e continuo passaggio da una parte all'altra... questa difficoltà costituisce forse la molla della mia perseveranza.” Nel 1951 e negli anni successivi vari scienziati russi, studiando la diffrazione ai raggi x e i vari tipi di cristalli, ampliarono la teoria dei gruppi cristallografici, associando la ripetizione sistematica delle forme con una ripetizione sistematica di colori. Questa teoria della simmetria aggiunge 17 gruppi ipotizzati da Fedorov 46 estensioni a due colori, 6 a tre colori, 6 a quattro colori e 3 a sei colori. Quasi certamente i russi non sapevano che Escher, servendosi della sua intuizione artistica e senza alcun aiuto della matematica, aveva anticipato molti dei loro risultati. Escher e le pubblicazioni scientifiche Escher ha parlato spesso del suo interesse per le scienze, in particolare per la matematica e la cristallografia, anche se era il primo a riconoscere i limiti delle sue conoscenze in questi campi. Ha scritto una volta in una lettera: "La mia affinità con lo studio esatto delle scienze naturali è probabilmente dovuta all'ambiente in cui sono cresciuto da ragazzo: mio padre e tre miei fratelli si sono tutti specializzati nelle scienze esatte o nella tecnica, e io ho sempre avuto un enorme rispetto per queste cose. E ora, di nuovo,

i miei tre figli tentano di formarsi un pensiero scientifico, cioè onestamente, e non confusamente, intuitivamente, sentenziosamente come fanno gli artisti." Appare (e apparve) evidente la possibilità di utilizzare alcune opere di Escher come

materiale illustrativo per la matematica. Basti pensare soltanto ai poliedri di Stelle, o alle figure topologiche di Striscia di Moebius I e di Nodi. Nell'insegnamento della matematica, la funzione di queste opere consiste nella rivelare allo studente gli aspetti divertenti e imprevisti della matematica, e il fascino che possono avere le figure geometriche più semplici quando sono elaborate dall'artista.

Page 14: Verità è bellezza, bellezza è verità

Non soltanto i matematici, ma anche dei ricercatori di altre discipline scientifiche usano le opere di Escher come materiale illustrativo. La combinazione di un'elaborazione logica, da una parte, con la comprensibilità, favorita dall'uso di motivi realistici, dall'altra, rende alcune incisioni particolarmente efficaci come modelli ipotetici diretti di una data scienza o come delucidazioni visive, didattiche, di una teoria astratta. la xilografia Cielo e acqua I ha trovato impiego in fisica, biologia, chimica, in psicologia, nello studio della percezione visiva. Basti pensare alle numerose coppie di concetti associati a questa immagine: luce-ombra, alto-basso, piatto-tondo, figura-sfondo, elementi pittorici intrecciati-elementi pittorici indipendenti, struttura geometrica-forma realistica, in relazione ad un soggetto dell'opera, uccelli-pesci, cielo-acqua, immobilità-movimento. La fascia di confine tra uccelli e pesci ha riscosso particolare successo tra i cristallografi:

Jan de Boer l’ha usata per porre la domanda: “nella struttura di un cristallo, che cosa maggior importanza fisica, di atomi che formano le componenti della struttura o gli spazi tra gli atomi?". il chimico sudafricano L.Glasser là ha usata per spiegare come sulla superficie di un cristallo (i pesci) nuovi atomi in accumulazione

possano incominciare a generare un cristallo di diverso tipo (gli uccelli). Il matematico Herman Weyl nel suo studio intitolato Symmetry, che racconta di come l'uomo, usando il principio della simmetria, “ha tentato, nel tempo, di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione", non poteva non figurare una tassellazione del piano di Escher come copertina. il fisico premio Nobel Chen Ning Yang, volendo trattare il principio

della simmetria nella meccanica dei quanti, l'opposizione speculare tra materia e antimateria, ha scelto come copertina i cavalieri di Escher in quanto quelli neri e quelli bianchi sono gli uni i speculari degli altri. Melvin Calvin ha usato la litografia Verbum come illustrazione conclusiva in una recensione sulle nuove idee del ciclo evolutivo della chimica, atomi-molecole-polimeri-materia vivente. Per usare le sue parole, "la graduale fusione delle figure, l'una nell'altra, e le trasformazioni che alla fine divengono manifeste, mi sembrano rappresentare l'essenza non soltanto della vita, ma dell'intero universo". Le opere più popolari di Escher, ovvero le figure impossibili e i mondi improbabili, hanno spesso tratto spunto da articoli scientifici dell'epoca o contatti con scienziati: ad esempio, l'articolo dei fratelli

Penrose sulle illusioni ottiche sugli oggetti impossibili ha suggerito lo spunto di Salita e discesa e di Cascata. Le xilografie Limite del cerchio I, Limite del cerchio III e Limite del cerchio IV sono state concepite da Escher nel corso di una scambio epistolare con il matematico H.S.M. Coexter. dalle discussioni con una J.W. Wagenaar sullo scambio di funzioni tra figure sfondo ha avuto origine la xilografia

Page 15: Verità è bellezza, bellezza è verità

policroma a Sole e luna. il fisico sperimentale H. De Waard richiamò l'attenzione di Escher sui problemi trattati dalla topologia, dai quali ha avuto origine la xilografia Nodi. Escher è stato successivamente incluso nell'arte ribelle degli anni 60 e Thomas Albright ha commentato così la sua popolarità: "il principale motivo dell'improvviso successo di Escher è la stretta analogia della sua visione con i temi della contemporanea arte psichedelica e il fatto che nulla è realmente come appare, che tutto è governato dalle leggi superiori della logica e dalle leggi matematiche che uniscono insieme l'universo e tutti i suoi contrapposti elementi in una misteriosa, inconsapevole armonia." Pur rimanendo saldamente in contatto con la materia del mondo reale, Escher ha creato altri universi fantastici, del tutto immaginari. Ma sono forse più fantastici dello spazio non euclideo o della radice quadrata di meno uno?

Piet Mondrian

"Costruisco combinazioni di linee e di colori su una superficie piatta, in modo di esprimere una bellezza generale con una somma coscienza. La Natura (o ciò che ne vedo) mi ispira, mi mette, come ogni altro pittore, in uno stato emozionale che mi provoca un'urgenza di fare qualcosa, ma voglio arrivare più vicino possibile alla verità e astrarre ogni cosa da essa, fino a che non raggiungo le fondamenta (anche se solo le fondamenta esteriori!) delle cose... Credo sia possibile che, attraverso linee orizzontali e verticali costruite con coscienza, ma non con calcolo, guidate da un'alta intuizione, e portate all'armonia e al ritmo, queste forme basilari di bellezza, aiutate se necessario da altre linee o curve, possano divenire un'opera d'arte, così forte quanto vero." Con Mondrian la semplice geometria e l'intreccio dei colori primari diventa arte. Se infatti come diceva Galilei "l'universo è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche" e tutti i colori dell'iride possono essere generati da una combinazione di giallo, rosso e blu, disegnare rettangoli di tali colori significa tentare di dare uno sguardo sull'essenza più profonda e remota delle cose, sulla loro natura più nascosta e vera. “L'aspetto delle forme naturali si modifica mentre la realtà rimane costante.” “Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori e superfici. Solo in modo più nitido e più forte.” Non è difficile riscontrare l’influenza della matematica delle opere di Mondrian, anche se non portava la semplificazione, la geometrizzazione delle opere all’estremo, ma faceva qualche linea storta o marcava un po’ più il pennello in altre parti, per far notare il contributo umano all’opera. In questa opera, ad esempio, Mondrian ha immesso il rapporto aureo come discrimine di bellezza: molte rettangoli sono infatti aurei e si trovano usualmente vicini a quadrati.

Page 16: Verità è bellezza, bellezza è verità

Dante: la visione, la conoscenza, la matematica “Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza” E’ certamente noto che nella Divina Commedia l’intero viaggio assume molteplici significati oltre a quello apparente della redenzione del poeta: il viaggio assume carattere universale, diventa il peregrinare dell’umanità in cerca di Dio e in quanto tale assume spesso toni elevati, addirittura autoritari o profetici, mentre il testo, in modo particolare nel Paradiso, diventa ricercato e si carica di metafore, o meglio allegorie: in particolare, vorrei esaminare lo stretto collegamento che sussiste tra il viaggio fisico di Dante, quello intellettivo e quello spirituale; ciò sussiste in ogni cantica, ma è nel Paradiso che questo legame si fa più forte e viene esplicitato. Secondo Dante misura del vedere è il merito prodotto dalla grazia dalla buona volontà nelle anime; cioè la loro vicinanza a Dio è proporzionata al loro merito, e la beatitudine paradisiaca ha il suo fondamento nell’ atto del vedere Dio, nella visione di Dio, e non nell'amore che l'uomo porta a Dio, che segue o viene dopo la conoscenza di Dio. Ed è la tesi tomistica che semplicemente vuol dire: se l'uomo non conosce prima Dio, non può amarlo. La commedia dantesca intesa come itinerario della mente fino a Dio, e specie il Paradiso, si fonda su questa ambivalenza della visione-conoscenza di Dio. Dio inteso come ricerca, conoscenza e visione. Da quinci innanzi il mio veder fu maggio che ‘l parlar mostra, ch’a tal vita cede, e cede la memoria a tanto oltraggio. (Par. Canto I) Già da primi versi si stabilisce un intimo legame tra la conoscenza e i sensi: Dante ha conosciuto, ma prima di tutto ha visto. La vista, come era il senso attraverso cui passava l’amore terreno nella Vita nuova, diventa nella Commedia il principale mezzo per il quale Dante conosce e si eleva gradualmente a Dio, canto dopo canto. Come è ovvio, il senso della vista nel Paradiso, dopo l’oscurità infernale e il cielo mite del Purgatorio, non può che essere inondato di luce: la luce diventa per Dante elemento essenziale del Paradiso, della bellezza della verità divina, autentico linguaggio metaforico della fede, superamento di quelle angosce medievali nate dalla consapevolezza della precarietà della condizione umana, punto di riferimento e di sicurezza assoluta di contro alle insidie misteriose del vivere umano (che è sempre un correre alla morte). La novità del suon e ‘l grande lume di lor cagione m’accesero un disio mai non sentito di cotanto acume. (Par,Canto I) In quanto il poema dantesco voleva servire come guida dell’umanità, è chiaro che il sommo poeta voglia trasmettere le bellezze, le verità di un Paradiso tanto ineffabile attraverso delle metafore più comprensibili: luce accecante e suoni armoniosi, che accompagnano l’assillante desiderio dell’uomo Dante di conoscerne razionalmente la cagione. Pertanto la visione paradisiaca percepita da Dante come luce e suono, anzi come trapasso dal visivo al sonoro, diventa man mano suggestione e stimolo alla comprensione razionale e alla conoscenza, in quanto si istituisce una sorta di compensazione e modificazione nell'interno della sua coscienza tra ciò che gli vede e sente e ciò che riesce a conoscere. Dante ebbe il merito di aver trasformato la cultura visiva pittorica del medioevo in cultura concettuale, la teologia tomistica in canti. Beatrice stessa, che accompagnerà Dante nella sua ascesa fino al XXXI canto, è essa stessa creatura bellissima e piena di luce, e gia dal primo canto, in quanto svolgerà il ruolo importantissimo di guida-maestro, tramite per la conoscenza, si rivela tramite per la luce: Beatrice tutta ne l’etterne rote Fissa con li occhi stava; e io in lei le luci fissi, di la su remote. (Par. canto I)

Page 17: Verità è bellezza, bellezza è verità

La visione di Dio si pone nella mente di Dante come conoscenza, ricerca, ansia di liberazione, conquista dello spirito. Una sorta di itinerario delle tenebre verso la luce, realizzato dall'intelletto attraverso una graduale conoscenza della verità. Pertanto la luce, tema essenziale del paradiso dantesco, è figurazione visiva emblematica della verità; la stessa architettura dell'oltretomba del poeta si risolve sempre in un sentimento di cose meravigliose agli occhi; persino la musica, i cori angelici, il sonoro in genere, si risolvono in potenza visiva. La capacità visiva del pellegrino aumenta man mano che i ascende di cielo in cielo, come aumenta la sua conoscenza delle verità celesti. Il Getto scrive “Il motivo della luce è solo in apparenza, nel più estrinseco significato, un tema paesistico, ma, nella sua più riposta e autentica sostanza, esso si carica di una vasta responsabilità, di ordine schiettamente teologico”. In questo senso si può parlare di poesia dell'esperienza mistica, dato che l'ansia della verità anima il sentimento dantesco fino alla contemplazione di Dio. L'ascesa di cielo in cielo e conseguente intensificarsi della luce in qualche modo scandisce le tappe di questa ascesa verso la verità, seguendo le tracce di un salire sensibile, di cui di volta in volta egli ha coscienza. La conquista di una verità-luminosità lo mette in condizione di poterne conquistare un'altra ancor più luminosa, fino a raggiungere la verità assoluta. In tal senso la luce è una metafora della realtà spirituale di Dante a lui congeniale attraverso la tradizione mistica e teologica. La luce e il cielo che tante volte Dante descrive non è tanto paesaggio, quanto luce e cielo interiore, visione sensibile della verità che si fa nella sua coscienza anche visione intellettuale; ed è poetica perché insieme può esser sensibile e intellettuale. Figure di fiori e giardini nella Candida Rosa son pur esse metafore del mondo sensibile, che riescono a trascrivere in tono poetico conquiste di verità ansiosamente ricercate e poi contemplate anche sul piano teologico. Il Paradiso è l'epopea della massima conquista dell'intelletto caratterizzata da un estremo entusiasmo umano per la vita, da un sentimento determinato e costante della dignità dell'intelligenza, che si può innalzare fino a Dio. La dignità della volontà umana, l’eroicità della virtù umana è condizione indispensabile per raggiungere il cielo. Piccarda, per non aver resistito eroicamente fino al sacrificio della sua vita ai suoi violentatori, ha meritato la minore beatitudine. Cacciaguida avendo offerto la sua vita in difesa di Cristo, ucciso dai nome da anni in una crociata, giunse alla pace celeste dal martirio della terra, in un grado maggiore di beatitudine. La sua chiarezza seguita l’ardore; l’ardor la visione,e quella è tanta, quant’ha di grazia sovra suo valore. Dante, essendo assurto dal vivo alla contemplazione celeste per merito di Beatrice, può offrire a Dio soltanto l'impegno del suo messaggio rivelatore e della renovatio mundi che il suo poema promette. E potrà realizzare ciò, soltanto se riuscirà a rendere sensibile-visibile al lettore la verità che tanto ci soblima. Di qui l'impegno retorico, stilistico, linguistico, artistico, culturale, teologico che dovrà rendere intelligibile e comprensibile all'uomo della terra l’epico sentimento dell'anima che partecipa dell'infinito e che canta la presenza di Dio in noi e nell'universo, attraverso simboli e metafore mistiche e teologiche, verificate direttamente da emozioni spirituali riguardanti la vita dell'intelligenza e l'ansia-gioia del conoscere, da vicini di luce e di cieli movimento in stretta analogia con le più belle forme della terra, fiori, paesaggi, esseri viventi, in continua dissolvenza musicale in abissi infiniti di luce. Solo attraverso l'arte poetica il paradiso di Dante poteva essere d'un tempo il canto trionfale della gloria di Dio e la più alta celebrazione della dignità dell'uomo, fatto somiglianza di Dio.

Dante e la matematica Un numero infinitamente grande “L’incendio suo seguiva ogne scintilla; ed eran tante, che’l numero loro piu che’l doppiar de li scacchi s’inmilla”. (Paradiso XXVIII, 91-93) L'origine dell'aneddoto risale a tempi molto addietro: Sissa Nassir diede in dono il gioco degli scacchi al sovrano di Persia, e come ricompensa chiese un chicco di grano sulla prima casella, 2 sulla seconda,4 sulla terza, 8 sulla quarta e via raddoppiando fino alla sessantaquattresima. La somma darebbe 264– 1 chicchi, ovvero il quantitativo che si produrrebbe in 10 anni se si seminasse l'intera superficie terrestre a grano. Dante acuisce di molto il paragone, sostituendo il raddoppio con la moltiplicazione per 1000, generando un numero incontabile che però non è semplicemente un numero infinito e quindi soddisfa parzialmente la necessità del lettore di visualizzare questa immagine.

Page 18: Verità è bellezza, bellezza è verità

Cerchi e circonferenze: il problema della quadratura del cerchio “Qual e il geometra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige, tal era io a quella vista nova; veder volea come si convenne l’imago al cerchio e come vi si indova;” (Par. XXXIII 133-138) Non è la prima occasione in cui Dante rievoca l’antichissimo problema della quadratura del cerchio, che diventa un altro dei simboli dell’impossibilita della conoscenza. Possiamo pensare alla geometria di cui parla Dante nel Convivio II xiii 27 (“ e ‘l cerchio per lo suo arco e impossibile a quadrare perfettamente”) e nel De Monarchia III iii (“ infatti lo studioso di geometria ignora la quadratura del cerchio”). il problema, che al tempo sembrava ed effettivamente è irrisolvibile con solo riga e compasso, era quanto mai adatto a rendere il paragone con l'ineffabilità di Dio: così come l'uomo non riesce a far quadrare il cerchio, è impossibile penetrare completamente il mistero divino della Trinità, la sola razionalità umana non può arrivare a comprendere le verità ultime, anche se effettivamente la matematica è fonte di verità e fondamenta dell’universo: vediamo infatti che, Padre Figlio e Spirito Santo si sono infine mostrati sottoforma di tre cerchi (non a caso il cerchio!), di diverso colore e uguale raggio. Certezze incrollabili “O cara piota mia, che si t’insusi, che come veggion le terrene menti non capere in triangol due ottusi, cosi vedi le cose contingenti anzi che sieno in se, mirando il punto a cui tutti li tempi son presenti;” (Par. XVII 13-15) e pochi versi più avanti “[…] avvegna ch’io mi senta ben tetragono ai colpi di ventura” (Par. XVII 23-24) L'incontro di Dante con il trisavolo Cacciaguida non manca di contenere numerosi rimandi alla matematica, oltre ad essere uno dei canti più vissuti, emotivamente intensi dell'opera. Per Dante il teorema diventa simbolo del massimo livello di verità cui la mente umana può assurgere. Con la stessa sicurezza con cui l’uomo è in grado di “vedere” che in un triangolo non possono essere due angoli ottusi, su un piano decisamente più elevato il beato è in grado di “vedere” passato, presente e futuro. In realtà l’immagine è più raffinata e complessa di quello che voglia sembrare: nella fantasia del lettore si affiancano infatti due figure di segno opposto; da un lato il triangolo che nella chiusura del suo perimetro, nella sua “finitudine”, non può contenere gli spaziosi ed aperti angoli ottusi; dall’altro un elemento di ancora maggiore finitudine, anzi di finitudine per eccellenza, il punto, che pure riesce ad accogliere in se l’infinito dell’eternità. E’ lo scacco della ragione umana, l’abisso incolmabile tra finito e infinito, la sconfitta persino della matematica stessa. Che Dante pero adombra, in termini allusivi e metaforici, sfruttando la stessa geometria. Con un lieve scarto, ma sulla stessa linea di significati, si colloca il riferimento geometrico di poco successivo. La certezza che infonde la scienza non è solo desunta dall’infallibilità dei suoi ragionamenti, ma a un livello più superficiale e immediato sono le sue forme stesse a suggerirlo. E chi non vorrebbe affrontare gli sferzanti colpi del destino con la sicura stabilità di un tetraedro?

Page 19: Verità è bellezza, bellezza è verità

I cristalli: dirette testimonianze dell’ordine naturale I cristalli sono essenzialmente composti di natura ben definita, ovvero con una composizione chimica precisa (nei limiti degli errori dovuti alle impurità) e caratterizzati da una disposizione precisa degli atomi che la compongono, regolare e ordinata nello spazio, al punto da poter identificare una cella elementare che, ripetuta nello spazio, compone l'intero cristallo. Un cristallo si forma a partire da un nucleo di condensazione (quale può essere una ruvida roccia o un granello di polvere) attorno al quale un preciso elemento che ha raggiunto la saturazione nel fluido nel quale è disciolto si aggrega, formando precisi reticoli nelle tre dimensioni dello spazio e crescendo via via. Più cristalli in formazione incontrandosi nel crescere possono eventualmente unirsi nella loro espansione o, se il loro reticolo è sfasato, possono formare una coppia di cristalli che crescono indipendentemente in simmetria. I cristalli, spaccati della perfezione della natura, meravigliano sempre lo spettatore e non fanno che mostrarci che la regolarità, la perfezione non sono state inventate dall'uomo, bensì queste esistevano ben prima di lui, e che lui le ha solo scoperte. I cristalli sono una delle prove più immediate ed evidenti della regolarità geometrica della natura. E' certo difficile pensare che costruzioni del genere siano frutto della spontanea sedimentazione di particolari elementi, che da soli si sono organizzati a formare cubi, ottaedri, icosaedri, rombododecaedri e chissà quante altre figure sorprendentemente regolari. Struttura cristallina Un minerale assume un determinato abito in funzione della simmetria del reticolo cristallino degli elementi che lo compongono ed alle modalità di accrescimento, quali: 1) temperatura 2) pressione 3) tempo a disposizione 4) composizione chimica e tipo di apporto del materiale mineralizzante 5) spazio a disposizione

L'abito di un cristallo può quindi fornire delle indicazioni (oltre che sulla simmetria del minerale) sull'ambiente genetico e sui processi geologici che hanno interessato un minerale durante la sua lunga esistenza. Le possibili celle elementari, o reticoli cristallini, sono 14 e sono stati individuati da Bravais: � Colore

I diversi tipi di colori sono il risultato di tre cause di colorazione principali: 1) elementi chimici - alcuni elementi chimici, in piccole percentuali nella struttura cristallina (Ti, V, Fe, Cr, Co, Mn, Ni): sono detti cromofori o elementi di transizione. Se un cromoforo entra nella

formula chimica di un minerale (ad es. Mn in rodocroisite, MnCO3), tale minerale si dice idiocromatico (è sempre dello stesso colore), altrimenti è allocromatico (cambia colore a seconda della percentuale di impurezze presenti) 2) difetti reticolari (Fig. 2) - si possono creare all'interno delle strutture cristalline alcuni difetti puntuali come (a) degli atomi o ioni interstiziali, (b) delle buche elettroniche (formatesi per riscaldamento o per irraggiamento), (c) degli atomi che sostituiscono quelli originari avendo però un raggio diverso. Questi difetti reticolari possono far variare la capacità di una pietra di assorbire la luce; ciò causa variazioni cromatiche anche nell'ambito di una stessa specie mineralogica.

Page 20: Verità è bellezza, bellezza è verità

3) inclusioni (Fig. 3) - ci sono alcuni minerali incolori che assumono una colorazione a causa delle numerose inclusioni di altre specie mineralogiche (ad es. il quarzo varietà avventurina, che è verde, si colora a causa delle inclusioni di mica). Il colore di un minerale è molto importante poiché è un primo indice della purezza, inoltre in alcuni casi è anche un elemento diagnostico per il riconoscimento di un minerale. Bifrangenza

La luce che attraversa un cristallo birifrangente, si scompone in generale in due fasci: uno segue la legge della rifrazione di Cartesio-Snell (associato al raggio ordinario), l'altro si comporta in modo anomalo. Entrambi i fasci risultano polarizzati secondo piani mutuamente ortogonali. Se la luce incidente è polarizzata linearmente le intensità dei due fasci che si trasmettono nel cristallo sono diverse a seconda del piano di polarizzazione della luce incidente. Se detto piano coincide con quello di uno dei due fasci nel cristallo si propaga solo il fascio che ha quella

definita polarizzazione, mentre si estingue l'altro. Filtrando la luce in uscita con una pellicola polarizzante, come una polaroid, vediamo solo una delle due immagini, ovvero quella il cui piano di oscillazione coincide con la direzione di polarizzazione della pellicola. Pleocorismo Il fenomeno secondo il quale un cristallo può variare la sua capacità di assorbire la luce incidente, a seconda dell'orientazione che il raggio di luce assume rispetto alle direzioni cristallografiche del cristallo, è detto pleocroismo. Per il verificarsi di tale fenomeno è necessario che il reticolo cristallografico del minerale in questione non sia equivalente per simmetria in tutte e tre le direzioni, ciò ci porta ad escludere tutti i cristalli monorifrangenti; quindi il pleocroismo potrà verificarsi solo in alcuni cristalli birifrangenti. Fenomeni di luminescenza propria Quando un minerale viene sottoposto a una fonte di radiazioni ultraviolette, gli elettroni degli atomi costituenti le molecole che lo compongono vengono costantemente eccitati dando informazioni caratteristiche di ciascun minerale, che può quindi risultare: 1) Fluorescente, se gli elettroni eccitati riemettono una luce che rientra nello spettro del visibile e che cessa al cessare della sorgente di eccitazione 2) Fosforescente, se tale fenomeno prosegue per un determinato periodo anche al cessare della sorgente di eccitazione 3) Termoluminescente, se il fenomeno di riemissione luminosa nel campo del visibile é dovuto a riscaldamento del minerale 4) Non fluorescente, se le emissioni del minerale cadono fuori dallo spettro del visibile (é come se il nostro pallone invece che emettere rumore cadendo in terra si insaccasse silenziosamente nella rete della porta francese durante una finale mondiale). Usi e funzioni I cristalli, o i minerali più in generale, sono stati sempre di aiuto alla causa dell'uomo, fin dalle lance di selce usate dall'uomo preistorico per cacciare. un minerale può essere utilizzato in diversi modi: 1) tal quale, non alterato, come i diamanti nelle lame, il quarzo negli apparecchi elettronici, il rubino nei laser; 2) trattato, ossia fuso, polverizzato, ha dichiarato ad altri componenti, impiegati miscele;un minerale può essere quindi in molti casi un componente indispensabile di cementi, vernici, ceramiche, smalti, materiali refrattari, medicine, fungicidi, antiparassitari, veleni, fuochi d'artificio ed infinite altre applicazioni;

Page 21: Verità è bellezza, bellezza è verità

3)Minerale utilizzato per l'estrazione di uno o più elementi, é questo un caso molto comune: certi elementi hanno caratterizzato addirittura epoche come il rame, lo stagno, il ferro, il piombo, l'oro, l'uranio fino ad arrivare ad oggigiorno, dove il silicio é presente in ogni microchip.

To the lighthouse I have chosen to focus my attention on "To the lighthouse" by Virginia Woolf because, as a deep writer as she is, in the final action of the book, the completion of the painting, she condensed a lot of different meanings, enclosing the whole set of topics from the book in one single illumination-gesture. But first, rather than go directly to the point, i shall explain briefly the content of the whole book. Part I: The Window The novel is set in the Ramsays' summer house in the Hebrides, on the Isle of Skye. The section begins with Mrs Ramsay assuring James that they should be able to visit the lighthouse on the next day. This prediction is denied by Mr Ramsay, who voices his certainty that the weather will not be clear, an opinion that forces a certain tension between Mr and Mrs Ramsay, and also between Mr Ramsay and James. This particular incident is referred to on various occasions throughout the chapter, especially in the context of Mr and Mrs Ramsay's relationship. The Ramsays have been joined at the house by a number of friends and colleagues, one of them being Lily Briscoe who begins the novel as a young, uncertain painter attempting a portrayal of Mrs. Ramsay and her son James. Briscoe finds herself plagued by doubts throughout the novel, doubts largely fed by the statements of Charles Tansley, another guest, claiming that women can neither paint nor write. Tansley himself is an admirer of Mr Ramsay and his philosophical treatises. The section closes with a large dinner party. Mr Ramsay nearly snaps at Augustus Carmichael, a visiting poet, when the latter asks for a second serving of soup. Mrs Ramsay, who is striving for the perfect dinner party is herself out of sorts when Paul Rayley and Minta Doyle, two acquaintances whom she has brought together in engagement, arrive late to dinner, as Minta lost her grandmother’s brooch on the beach. Part II: Time Passes The second section is employed by the author to give a sense of time passing. Woolf explained the purpose of this section, writing that it was 'an interesting experiment [that gave] the sense of ten years passing.'. This section's role in linking the two dominant parts of the story was also expressed in Woolf's notes for the novel, where above a drawing of an "H" shape she wrote 'two blocks joined by a corridor.' During this period Britain begins and finishes fighting World War I. In addition, the reader is informed as to the fates of a number of characters introduced in the first part of the novel: Mrs Ramsay passes away, Prue dies from complications of childbirth, and Andrew is killed in the war. Mr Ramsay is left adrift without his wife to praise and comfort him during his bouts of mortal fear and his anguish over doubts regarding his self worth. Part III: The Lighthouse In the final section, The Lighthouse, some of the remaining Ramsays return to their summer home ten years after the events of Part I, as Mr Ramsay finally plans on taking the long-delayed trip to the lighthouse with his son James and daughter Camilla. The trip almost doesn’t happen, as the children hadn't been ready, but they eventually take off. En route, the children give their father the silent treatment for forcing them to come along. James keeps the sailing boat steady, and rather than receiving the harsh words he has come to expect from his father, he hears praise, providing a rare moment of empathy between father and son; Cam's attitude towards her father has changed as well. They are being accompanied by the sailor Macalister and his son, who catches fish during the trip. The son cuts a piece of flesh from a fish he has caught to use for bait, throwing the injured fish back into the sea.

Page 22: Verità è bellezza, bellezza è verità

While they set sail for the lighthouse, Lily attempts to complete her long-unfinished painting. She reconsiders Mrs Ramsay’s memory, grateful for her help in pushing Lily to continue with her art, yet at the same time struggling to free herself from the tacit control Mrs Ramsay had over other aspects of her life. Upon finishing the painting and seeing that it satisfies her, she realizes that the execution of her vision is more important to her than the idea of leaving some sort of legacy in her work - a lesson Mr Ramsay has yet to learn. The painting Lily Briscoe is herself a complicated character - a young lady with desire for freedom and independence in the first English years of the XX century, where women were still partly suffering for the social restrictions of the Victorian Age and most prestigious academies and schools did not allow women to their courses. She is unwilling to accept her role of good maiden and instead she dedicates herself to painting, thus trying to take a place in society similar to that of a male: Lily can be therefore called an androgynous mind, as her mentality reunites the two differentiated parts of male and female, vastly and deeply characterized by Woolf, into one being. She is moreover the character with which Woolf recognizes herself the most, and in the struggling for completing a good painting we can see the metaphor of the writer that is indeed troubled in recording reality and writing it down as she sees it. In that sense, we can certainly read the line drawn during a "moment of being", of true self-realization, on the painting as vertical, since it resembles the settling of the author in the search for the perfect narration: with Woolf the real narrator is the single character, the formidable "I" drawn in the middle of the painting: Lily's vision reflects Woolf's vision of the ideal voice, wherein the two split parts of the painting, masculine and feminine, combine; the truth of telling a wonderful story merges with the truth of describing pure human thoughts, as they are, without any filters of some sorts: being both female and male, the narrator will not interfere with thoughts of the other sex. The novel must let the human mind talk for itself, since it is in its deepest corners where truth and beauty become a single concept. The paining, moreover, contains many other hidden meanings: one, for example, is the celebration of Art, as a form of salvation: Art is, perhaps, the only hope of surety in a world destined and determined to change: for, while mourning Mrs. Ramsay’s death and painting on the lawn, Lily reflects that "nothing stays, all changes; but not words, not paint." Art is not only a search for beauty, but also a lifetime-long quest, a deep exploration of reality in search of worthy pieces to save from the cruel passage of time, in order to find some truth to serve us as reference point in the struggle of life. In this sense I see the vertical line of the painting is ascending, as it represents the developing of men as single entities with culture and of the whole humanity. The line also represents the lighthouse itself, order in-between the chaos of the abstract painting, union of light and dark like our whole lives are, and last but not least, the painting reflects the structure of the poem: two side parts (the first and the third) where normal actions and thoughts are played, and the middle one, narrating, among other things, the horror of the war, but still informing the reader of years of happenings over a short time (only a night), resembling the union of knowledge and ignorance of man, the light and dark of the lighthouse.

Page 23: Verità è bellezza, bellezza è verità

KANT e la sua sfaccettata visione del mondo

Filosofo a cavallo tra ‘700 e ‘800 e a cavallo nello stesso modo tra illuminismo e romanticismo, Kant ha tentato con la sua filosofia di porre dei limiti definiti alla spropositata esplosione di ottimismo circa le possibilità umane data dall'illuminismo e contemporaneamente inscrivere il sentimento romantico in un quadro razionale, che gli permettesse di trovare il suo posto accanto all'intelletto. Con queste premesse, Kant apre un quadro molto interessante circa l'interazione dell'uomo con la realtà che lo circonda: All'uomo è preclusa la possibilità di conoscere se una verità univoca esiste: infatti i sensi dell'uomo possono percepire solo un'immagine di un oggetto esterno, una sua ombra chiamata fenomeno, mentre l'oggetto in sè, visto in ogni sua sfaccettatura, il noumeno, non è accessibile alla mente umana. Anche se dunque non ci è accessibile la verità propria, l'uomo, con la sua appercezione trascendentale (e quindi universale ed esistente a priori nell'individuo), ne ha costruito una sua visione condivisibile con l'altro uomo e, soprattutto, a MISURA D'UOMO: infatti gli schemi trascendentali che ognuno applica ai fenomeni piegano la realtà all'intendere dell'uomo, ne estrapolano il contenuto leggibile, anche se è parziale, e lo rendono così interpretabile. Nella tortuosa strada verso la conoscenza, sono di particolare aiuto le scienze pure e a priori, ovvero la matematica e la geometria, le uniche scienze capaci di generare nuove verità autonomamente (ricordiamo gli esempi 5+7=12, in cui il 12 è un concetto che non era contenuto né nel 5 né nel 7 presi separatamente, oppure la distanza tra due punti che si rivela essere una linea retta senza che questa proprietà si inclusa propriamente nel concetto di linea retta). Nella ragion pratica la verità morale non è assoluta come contenuti, ma la forma può essere definita in modo preciso e grazie a questa l'uomo può elaborare autonomamente il proprio codice di condotta (sotto forma di imperativi categorici) grazie alla sua ragione e alla guida delle idee (anima, mondo, Dio). In questo senso l'uomo ha la possibilità di crearsi autonomamente la propria verità in senso morale (sempre seguendo certi binari e postulando certi assunti necessari) e di scegliere come dirigere la propria vita, mentre paradossalmente dalla Critica della ragion pura l'uomo ne era uscito sotto tutta un'altra luce, vittima del suo stesso principio di causa-effetto, che lo costringe ad agire in modo deterministico e meccanico. La frattura che si era così aperta tra ragion pura e pratica viene richiusa con la critica del giudizio, in cui l'uomo romantico scopre la sua sproporzione con l'infinito, e trova la sua vera essenza nella sua libertà e nel suo privilegiato rapporto con la natura. E' interessante notare che, nel rapportarsi con la Natura, i postulati di Kant si allarghino: la Natura non viene solo vista attraverso i normali vetri colorati degli schemi trascendentali, ma anche sotto una nuova interpretazione, che ci porta a leggere la sua complessità in nome di una sostanziale unità del suo fine, delle sue forme, dei suoi metodi, della sua ingegnosità. E' proprio questa contemplazione che è capace di generare in noi dei sentimenti, emozioni che nascono dalla scoperta della armonia delle forme inventate da animali, piante, e oggetti inanimati, dalla semplicità efficace della Natura, della sua sostanziale unità che è la sua maggior bellezza. Non stupisce dunque che un giudizio estetico possa essere universale come postula Kant stesso. Particolarmente bella è la definizione stessa di Natura da parte di Kant: "una cosa esiste come fine nella natura quando è la causa e l'effetto di se stessa". Così come i rami di un albero sono nati per causa dell'albero stesso ma ne sono anche il fine, in quanto gli serviranno per mantenersi in vita, la Natura è caratterizzata da un particolare gioco delle parti, in cui ogni singolo non solo svolge il suo compito per mezzo delle altre parti (cosa che può essere detta anche degli ingranaggi di un orologio, però), ma esiste anche per causa delle altre parti (le cellule si autoreplicano, ma un orologio non può in alcun modo riprodursi o accrescersi). In questo caso, la bellezza che l'uomo prova è causata non solo dalla conoscenza della verità, ma anche della sua estrema semplicità e praticità, qualità che le hanno permesso di colonizzare ogni anfratto di questo variopinto pianeta. Altro sentimento che è possibile sperimentare confrontandosi con la natura è di ben altro tipo, il sublime: questo misto di ammirazione e paura deriva dalla contemplazione dell'infinitamente grande, come l'oceano (sublime matematico) o dell'infinitamente potente, come un vulcano in eruzione (sublime dinamico), soggetti che tanto stridono con la piccolezza umana (nell'estetico il soggetto è a misura d'uomo, interpretabile comodamente), e che creano in lui un armonico contrasto tra intelletto e ragione (il cielo stellato sopra di me, la morale infinita dentro di me) Uomo come fine ultimo della natura perchè scopo finale ("non richiede nessun altro come condizione della sua possibilità"), l'uomo "la cui esistenza ha in se stessa lo scopo supremo”.

Page 24: Verità è bellezza, bellezza è verità

Yoga: unione dell’uomo con Dio

Ecco la visione di Dio del grande scienziato Albert Einstein: "La più profonda e magnifica emozione che possiamo sentire è lo stato ineffabile del mistero, dove esiste il germe di ogni vera scienza. Colui al quale quest'emozione è sconosciuta e non sa immergersi nel proprio Sé, in estasi, lasciandosi prendere dall'ammirazione, è già un uomo morto. Sapere che l'enigmatico e l'impenetrabile esistono, e si manifestano come la più alta saggezza e la più radiosa bellezza, percepite però dalle nostre facoltà ottuse soltanto in forma primitiva; capire che questa certezza e questo sentimento inebriante diventano il centro di ogni stato di sublime verità. La sperimentazione profonda e intima del sublime infinito cosmico è la più potente ed antica sorgente della ricerca scientifica. Il mio stato interiore più elevato consiste in un' umile ammirazione trasfiguratrice dello Spirito Superiore illimitato, che si rivela nei più piccoli dettagli che possono essere percepiti dai nostri fragili spiriti. Questa convinzione, di ordine profondamente emozionale, che ho verso la presenza di una potenza razionale superiore, svelata dal nostro incomprensibile Universo, è ciò che forma la mia idea dell'Assoluto o Dio." Nel senso della ricerca del singolo di Dio si inserisce lo yoga, disciplina tanto vasta quanto uniforme nel traguardo: il raggiungimento dell'unione tra corpo e anima, tra umano e divino. La parola Yoga proviene dalla radice sanscrita Yuj = unione, fusione. Genericamente esprime la reintegrazione dell'individuale (jiva) nell'universale (atman): quindi esprime uno stato in cui sparisce ogni nozione di dualismo e di differenza. Yoga non è soltanto una filosofia ma anche un insieme di mezzi operativi, o sadhana, idonei a realizzare l'unione con l'Assoluto o il Divino. Lo Yoga parla di un sentimento profondo e universale del sacro che può essere svegliato e amplificato gradualmente nell'uomo e che alla fine lo condurrà verso lo stesso Dio. Nello Yoga, Dio è paragonato alla cima di una montagna e ogni religione o via spirituale autentica rappresenta un sentiero che porta verso di Lui (Dio).Theilard de Chardin, ispirato da questa visione orientale ha detto: "Tutto ciò che si eleva, alla fine converge". Proprio per questo i grandi yogi hanno promosso sempre la tolleranza, l'amore, la pace, l'eliminazione dei conflitti tra le religioni. Per esempio: il saggio Ramakrishna, dopo aver raggiunto la suprema realizzazione del Sé sulla via tantrica e vedantica, ha sperimentato poi la via cristiana. Il termine di Yoga appare per la prima volta in TITTIRIYA UPANISHAD e KATHA UPANISHAD. Come dottrina cristallizzata, il sistema Yoga viene attribuito a Patanjali, che ha riunito in "Yoga Sutras" gli scritti trovati fino a quel tempo . Quindi lo Yoga è un sistema unitario che si è sviluppato da più di 2500 anni, come risultato naturale dell'esperienza millenaria e dell'espansione della coscienza umana. Al di là della "moda Yoga" e delle tendenze superficiali che portano nei nostri giorni a volgarizzare e a privare lo Yoga dalla sua straordinaria ricchezza, esiste comunque un filone autentico che si è mantenuto dai tempi antichi fino ad oggi. In più, il sistema Yoga può essere adattato alla mentalità delle persone, sia che questi siano orientali oppure occidentali, dell'antichità o del nostro secolo: in questo modo lo Yoga dimostra il suo carattere universale. Il rapportarsi costantemente a tutto ciò che è sacro, essenziale, atemporale, universale, e la ricerca dei principi e delle leggi generali dell'Universo proteggono lo Yoga dal degrado e dalla routine. Tra le varie forme di yoga praticate, sicuramente la più conosciuta è lo HATHA YOGA: Comprende posture (asanas) che vanno dalle semplici (l'albero) alle più famose (il loto) alle complicate (l'arco, o il pavone) abbinate alla concentrazione sulle energie sottili e sui centri sottili di forza (chakras), tecniche di respirazione (pranayama), tecniche di rilassamento ecc. L'unione di postura, respirazione, rilassamento e concentrazione porta all'equilibrio delle polarità fondamentali dell'essere, dell'energia solare (Yang, +) e lunare ( Yin, -) e ha come scopo il controllo perfetto del corpo, il mantenimento o il miglioramento della salute, il controllo delle energie vitali. Nell'Hatha Yoga, la postura è un’unione simultanea del corpo e dell'anima per vibrare in sintonia con l'infinito. In questo modo la pratica porta a un graduale miglioramento della bellezza esteriore (forma fisica) come quella interiore, lo sviluppo del benessere come quello della religiosità.

Page 25: Verità è bellezza, bellezza è verità

Bibliografia

L’enigma dei numeri primi (Marcus de Sutoy, edizioni Bur 2005) Il mondo di Escher (a cura di J.L. Locher, Garzanti 1978) La Divina Commedia , Paradiso (a cura di G.Giacalone, Zanichelli 1997) Il testo filosofico (Fabio Cioffi, Giorgio Luppi, Amedeo Vigorelli, Emilio Zanette, Edizioni scolastiche Bruno Mondatori 2002) www.mcescher.com http://en.wikipedia.org http://t.wikipedia.org Vignette di xkcd http://xkcd.com/ Voices in time: Virginia Woolf’s To the Lighthouse http://www.suite101.com/article.cfm/british_literature/93116/1 www.minerali.it Progetto polymath, Letteratura della scienza e scienza della letteratura http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Giu_04/APPUNTI.HTM Platonic Realms Minitexts, The mathematical art of M.C. Escher, http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/ Scuola internazionale di yoga Tripura Sundari http://www.tripurasundari.it/