VERIFICHE DI MASSIMA STRUTTURE IN C.A. DI MASSIMA... · Si considera il caso in cui si abbia un...

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Ingegneria Solazzo S.r.l. – Viale Kennedy 4 - 90014 Casteldaccia (PA) – Tel/Fax: 091.941857 – e-mail: [email protected] 1 Viale Kennedy 4 90014 Casteldaccia (PA) www.ingegneriasolazzo.it VERIFICHE DI MASSIMA STRUTTURE IN C.A. Al § 10.2. del D.M. 14/01/2008, dal titolo Analisi e verifiche svolte con l’ausilio di codici di calcolo” si legge quanto segue: Omissis… - “Giudizio motivato di accettabilità dei risultati: Spetta al progettista il compito di sottoporre i risultati delle elaborazioni a controlli che ne comprovino l’attendibilità. Tale valutazione consisterà nel confronto con i risultati di semplici calcoli, anche di larga massima, eseguiti con metodi tradizionali e adottati, ad esempio, in fase di primo proporzionamento della struttura. Inoltre, sulla base di considerazioni riguardanti gli stati tensionali e deformativi determinati, valuterà la consistenza delle scelte operate in sede di schematizzazione e di modellazione della struttura e delle azioni. Nella relazione (di calcolo) devono essere elencati e sinteticamente illustrati i controlli svolti, quali verifiche di equilibrio tra reazioni vincolari e carichi applicati, comparazione tra i risultati delle analisi e quelli di valutazione semplificate, etc.” Sulla base di quanto detto prima, questa dispensa riporta alcuni semplici metodi per effettuare verifiche e predimensionamenti di massima di elementi strutturali in c.a. Si considera il caso in cui si abbia un solaio con travetti in c.a. e pignatte costituite da laterizi forati, ordito secondo la luce massima di LMax = 500 cm, per ricavare la sua altezza si dovrà utilizzare la seguente espressione: Hsolaio = 1 25 LMax= 1 25 *500 = 20 cm

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Ingegneria Solazzo S.r.l. – Viale Kennedy 4 - 90014 Casteldaccia (PA) – Tel/Fax: 091.941857 – e-mail: [email protected]

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Viale Kennedy 4

90014 Casteldaccia (PA)

www.ingegneriasolazzo.it

VERIFICHE DI MASSIMA STRUTTURE IN C.A.

Al § 10.2. del D.M. 14/01/2008, dal titolo Analisi e verifiche svolte con l’ausilio di

codici di calcolo” si legge quanto segue:

Omissis…

- “Giudizio motivato di accettabilità dei risultati: Spetta al progettista il compito

di sottoporre i risultati delle elaborazioni a controlli che ne comprovino

l’attendibilità. Tale valutazione consisterà nel confronto con i risultati di

semplici calcoli, anche di larga massima, eseguiti con metodi tradizionali e

adottati, ad esempio, in fase di primo proporzionamento della struttura.

Inoltre, sulla base di considerazioni riguardanti gli stati tensionali e

deformativi determinati, valuterà la consistenza delle scelte operate in sede di

schematizzazione e di modellazione della struttura e delle azioni.

Nella relazione (di calcolo) devono essere elencati e sinteticamente illustrati i

controlli svolti, quali verifiche di equilibrio tra reazioni vincolari e carichi

applicati, comparazione tra i risultati delle analisi e quelli di valutazione

semplificate, etc.”

Sulla base di quanto detto prima, questa dispensa riporta alcuni semplici metodi per

effettuare verifiche e predimensionamenti di massima di elementi strutturali in c.a.

Si considera il caso in cui si abbia un solaio con travetti in c.a. e pignatte costituite da

laterizi forati, ordito secondo la luce massima di LMax = 500 cm, per ricavare la sua

altezza si dovrà utilizzare la seguente espressione:

Hsolaio = 1

25LMax=

1

25*500 = 20 cm

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In pratica si considera un’altezza solaio Hsolaio = 20 = 16 + 4 cm, dove 16 cm è l’altezza

del travetto e 4 cm è lo spessore della cappa.

Tale solaio ha un peso di circa 300 kg/m2. Per tenere conto delle tramezzature

gravanti su predetto solaio si considera un carico permanente portato e distribuito

pari 100 kg/m2.

Considerando un solaio per civile abitazione secondo la tabella 3.1.II – “Valori dei

carichi d’esercizio per le diverse categorie di edifici” – si valuta un carico accidentale

pari a Qk = 200 kg/m2.

In definitiva si ha:

G1 = 300 kg/m2

G2 = 100 kg/m2

Qk1 = 200 kg/m2.

Combinazioni di carico

Per le combinazioni di carico secondo gli stati limite (gli unici previsti per le verifiche

nelle Zone sismiche I-II-III) si fa riferimento al § 2.5.3. “Combinazioni delle azioni” per

il quale è previsto quanto segue:

- Combinazione fondamentale per stati limite ultimi (S.L.U.)

Fd1 =G1 * G1 + G2 * G2 + Q1 * Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd1 =1,3 * 300 + 1,5 *100 + 1,5 * 200 = 390 + 150 + 300 = 840 kg/m2

- Combinazione caratteristica rara per stati limite di esercizio (S.L.E.)

Fd2 =G1 + G2 + Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd2 = 300 + 100 + 200 = 600 kg/m2

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- Combinazione quasi permanente per stati limite di esercizio (S.L.E.)

Fd3 =G1 + G2 + 21 * Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd3 = 300 + 100 + 0,3*200 = 460 kg/m2

Resistenze di calcolo dei materiali

Le resistenze di calcolo o di progetto del calcestruzzo e dell’acciaio si ottengono

dividendo le resistenze caratteristiche dei materiali per opportuni coefficienti per

tener conto: delle incertezze del modello e della geometria, del materiale; della

situazione di progetto e della particolare verifica in esame. Si scrive:

fd = fk

γm

dove:

fk = resistenza caratteristica del materiale;

m = coefficiente parziale per le resistenze.

Di seguito vengono riportate le resistenze di calcolo per il calcestruzzo e per l’acciaio

RESISTENZA DI CALCOLO A COMPRESSIONE DEL CALCESTRUZZO

fcd≅ 0,47 * Rck

RESISTENZA DI CALCOLO DELL’ACCIAIO

fyd = fyk

γs

dove:

fyk = tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio;

m = 1,15 è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio.

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Verifica di un pilastro in c.a. a pressione centrata allo stato limite ultimo (S.L.U.)

Supponiamo di avere un edificio a 4 elevazioni fuori terra e di volere effettuare un

verifica del pilastro n°3 di dimensione 25x50 cm (Rck = 300, armato con 314+314 e

n°2 reggi staffe 14), posto a piano terra, su cui convergono 4 travi di luce pressochè

uguale considerandolo approssimativamente nelle condizioni di lavoro a pressione

centrata.

Lo schema utilizzato per la verifica allo stato limite ultimo è il seguente:

Si ha che il peso scaricato dai quattro solai sul pilastro n°3 è pari a:

NEd = Fd1 * Ainfl* nsolai= 840 * 5,0 * 5,0 * 4 = 84000 kg

Il D.M. 14/01/2008 per tener conto di possibili imperfezioni negli allineamenti degli

assi e altre cause accidentali prescrivono di valutare NRd secondo la seguente

formula:

NRd = 0,8 * Ac * fcd + As * fyd

dove:

NRd = sforzo normale resistente

Ac = area calcestruzzo = 25 * 50 = 1250 cm2

As = area totale delle armature = 12,32 cm2

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Nel caso in esame si ha:

fcd≅ 0,47 * Rck = 0,47 * 300 = 140 kg/cm2

fyd = fyk

γs = 3910 kg/cm2

In definitiva si scrive:

NRd = 0,8 * 1250 * 140 + 12,32 * 3910 = 140000 + 48171,2 = 188171,2 kg

Poiché risulta NEd≤ NRd il pilastro risulta verificato a pressione centrata

NEd = 84000 kg ≤ NRd = 188171,2 kg (OK)

Verifica snellezza pilastro precedente

Gli elementi strutturali semplicemente compressi si intendono oggetto di instabilità

quando la loro snellezza supera il valore di 50.

La snellezza è rappresentata dal rapporto:

= 𝑙0

𝜌𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛

dove:

l0 è la lunghezza libera di inflessione come di sotto riportato:

bimin = è il raggio giratore d’inerzia minimo della sezione omogenizzata:

bimin= √𝐽𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛

𝐴𝑏𝑖

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dove:

Jbimin= è il momento di inerzia minimo della sezione di calcestruzzo (si trascura

il momento di inerzia dei singoli tondini rispetto al proprio asse baricentrico)

Abi = Ab + n*Aa

Intendendo per:

Ab = area totale di calcestruzzo;

n = coefficiente di omogeneizzazione (15)

Aa = area totale armature

Il calcolo degli elemento strutturali caricati di punta si effettua con il metodo , cioè

considerando invece di N il valore *N per cui si ha:

fc = 𝜔∗𝑁

𝐴𝑏𝑖𝑚𝑖𝑛≤ fcd

dove si ricava, con eventuale interpolazione lineare, dalla seguente tabella:

Nel caso in esame, considerando un pilastro alto 300 cm, si ha:

l0 = 0,8 * 300 = 240 cm

Jbimin= 𝐵∗𝐻3

12=

50∗253

12 = 65104,2 cm4

Abi = Ab + n*Aa= 25 *50 + 15 * 12,32 = 1250 + 184,8 = 1434,8 cm2

bimin= √𝐽𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛

𝐴𝑏𝑖 = √

65104,2

1434,8 = √45,375 = 6,73 cm

In definitiva risulta verificato il pilastro essendo:

= 𝑙0

𝜌𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛 =

240

6,73= 35,66< 50 (OK)

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Verifica di una trave allo stato limite ultimo (S.L.U.)

Supponiamo di volere verificare allo stato limite ultimo (S.L.U.) una trave di

dimensioni 25x50 cm (Rck = 300, armata con 314 +314) la cui luce è pari a l=5,00

ml. Per quanto si è detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di carico si ha un

carico a m2 pari a Fd1 = 840 kg/m2. Si considera una luce d’influenza pari a Linfl =

4,80

2+

4,80

2 = 4,80 ml.

Quindi il carico agente sulla trave a metro lineare è pari a:

Q1 = Fd1*Linfl = 840*4,80 = 4032 kg/ml

Per ricavare l’andamento dei momenti e quindi effettuare la verifica a flessione retta

della trave in oggetto si fa riferimento al diagramma inviluppo di seguito riportato,

considerando i seguenti vincoli:

incastro-incastro (momento massimo agli estremi Mmax1);

appoggio-appoggio (momento massimo in mezzeriaMmax2).

Quindi si ha per quanto detto sopra:

Mmax1 = Q1∗l2

12 =

4032∗5,002

12 = 8400 kg*ml = 840000 kg*cm

Mmax2 = Q1∗l2

8 =

4032∗5,002

8 = 12600 kg*ml = 1260000 kg*cm

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Una volta noti il momento massimo Mmax1agente alle estremità della trave ed il

momento massimo Mmax2 agente in mezzeria, si effettua un calcolo di verifica

calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base al diagramma sotto

riportato

A's = 3 14

As = 3 14

d =

48

0 m

m

h =

50

0 m

m

b = 250 mm

Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in

compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò

non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo

compresso per l’equilibrio.

Allora vale la seguente equazione:

(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS

′ ∗ d′) = 0

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dove:

fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2

fyd = 450

1,15 = 391 N/mm2

Es = 210000 N/mm2

AS′ = As = 462 mm2

cu = 3,5%0

Pertanto l’equazione si scrive:

(0,8*14*250)*x2+(210000*3,5%0*462-391*462)*x-(210000*3,5%0*462*20) = 0

2800x2+(339570-180642)x-6791400 = 0

2800x2+158928 x-6791400 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−158928 ± √1589282 + 4 ∗ 2800 ∗ 6791400

2 ∗ 2800=

= −158928±√25258109184+76063680000

5600=

−158928±√101321789184

5600=

−158928±318310

5600

Si scarta la radice negativa e ciò implica:

x = 28,46 mm

Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:

FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*250*28,46 = 79688 N

F’s = Es*(εcu ∗x−d′

x) ∗ As

′ = 210000*(3,5%0 ∗28,46−20

28,46) ∗ 462 = 100940,34 N

Fs = fyd*As = 391*462 = 180642 N

C = FC+ F’s = 79688+100940,34 = 180628,34 N

d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x

C=

100940,34∗20+79688∗0,4∗28,46

180628,34=

2018806,8+907168,192

180628,34 = 16,20 mm

Il momento resistente assume il seguente valore:

MR = C*(d-d’’) = 180628,34*(480-16,20) = 83775424,092 N*mm = 837754,24 kg*cm

Poiché risulta:

Mmax2 = 1260000 kg*cm > Mmax1 = 840000 kg*cm > MR = 837754,24 kg*cm

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la sezione non risulta verificata

Allora si prova a verificare la stessa trave armata con 416 + 416 come sotto

riportato:

(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS

′ ∗ d′) = 0

dove:

fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2

fyd = 450

1,15 = 391 N/mm2

Es = 210000 N/mm2

AS′ = As = 804 mm2

cu = 3,5%0

Pertanto l’equazione si scrive:

(0,8*14*250)*x2+(210000*3,5%0*804-391*804)*x-(210000*3,5%0*804*20) = 0

2800 x2+(590940-314364)*x-11818800 = 0

2800 x2+276576 x-11818800 = 0

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𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−276576 ± √2765762 + 4 ∗ 2800 ∗ 11818800

2 ∗ 2800=

= −276576±√76494283776+132370560000

5600=

−276576±√208864843776

5600=

−276576±457017

5600

Si scarta la radice negativa e ciò implica:

x = 32,22 mm

Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:

FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*250*32,22 = 90126 N

F’s = Es*(εcu ∗x−d′

x) ∗ As

′ = 210000*(3,5%0 ∗32,22−20

32,22) ∗ 804 = 224124,36 N

Fs = fyd*As = 391*804 = 314364 N

C = FC+ F’s = 90216+224124,36 = 314250,36 N

d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x

C=

224124,36∗20+90216∗0,4∗32,22

314250,36=

4482487,2+1161543,88

314250,36 = 17,96 mm

Il momento resistente assume il seguente valore:

MR = C*(d-d’’)= 314250,36*(480-17,96) = 145196263,33 N*mm = 1451962,36 kg*cm

Poiché risulta:

MR = 1451962,36 kg*cm > Mmax2 = 1260000 kg*cm > Mmax1 = 840000 kg*cm

la sezione risulta verificata

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Verifica della trave precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)

c = la massima sollecitazione di compressione nel calcestruzzo;

f = la sollecitazione di trazione nell’armatura tesa;

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𝜎𝑓′ = la sollecitazione di compressione nell’armatura compressa.

Dell’asse neutro n – n è nota la direzione, essendo normale all’asse di simmetria

coincidente con la mediana della sezione; per individuarlo è sufficiente quindi

esprimere l’annullarsi dei momenti statici rispetto ad esso:

da cui, scartando la radice negativa che porterebbe l’asse neutro fuori dalla sezione,

si ha:

Nota la posizione dell’asse neutro, è noto il momento d’inerzia della sezione

reagente rispetto ad esso. Si ha infatti:

La sollecitazione massima nel calcestruzzo vale:

La sollecitazione massima nell’acciaio vale:

f = n*M

Ici*(h-xc)

Si vuole verificare la trave precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetta

alla combinazione caratteristica rara. Per quanto detto nel paragrafo delle

combinazioni di carico si ha Fd2 = 600 kg/m2

Il carico, considerando sempre una luce d’influenza pari a Linfl = 4,80 ml, agente sulla

trave sarà pari a:

Q2 = Fd2* Linfl= 600*4,80 = 2880 kg/ml

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Per ricavare l’andamento dei momenti e quindi effettuare la verifica a flessione retta

della trave in oggetto si fa riferimento al diagramma inviluppo di seguito riportato,

considerando i seguenti vincoli:

incastro-incastro (momento massimo agli estremi Mmax1);

appoggio-appoggio (momento massimo in mezzeriaMmax2).

Quindi si ha per quanto detto sopra:

Mmax1 = Q2∗l2

12 =

2880∗5,002

12 = 6000 kg*ml = 600000 kg*cm

Mmax2 = Q2∗l2

8 =

2880∗5,002

8 = 9000 kg*ml = 900000 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

xc = 15∗2∗8,04

25*[−1 + √1 +

2∗25∗(8,04∗48+8,04∗2)

15∗(2∗8,04)2 ]=

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15

= 9,648*[−1 + √1 +50∗(385,92+16,081)

3878,496]=9,648∗ (−1 + √6,18)=9,648*(−1 + 2,485)

xc = 14,33 cm

Ici = 25∗(14,33)3

3+15*8,04*(14,33-2)2+15*8,04*(48-14,33)2

Ici = 24552,08+18334,68+136720,47 = 179607,23 cm4

c1 = 600000

25∗14,33

2∗(48−

14,33

3)+

15∗8,04

14,33∗(14,33−2)∗(48−2))

= 600000

179,125∗43,22+8,416∗12,33∗46=

= 600000

7741,78+4773,387=

600000

12515,167= 47,943 kg/cm2

Poiché risulta:

c1 = 47,943 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mmax1 è

verificata

c2= 900000

12515,167= 71,913 kg/cm2

Poiché risulta:

c2 = 71,913 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mmax2 è

verificata

Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:

f1 = n*Mmax1

Ici(h − xc) = 15*

600000

179607,23(48 − 14,33)=1687,181 kg/cm2

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Poiché risulta:

f1 = 1687,181 kg/cm2 < 0,80fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mmax1 è verificata

f2 = n*Mmax2

Ici(h − xc) = 15*

900000

179607,23(48 − 14,33)=2530,77 kg/cm2

Poiché risulta:

f2 = 2530,77 kg/cm2 < 0,80 fyk = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mmax2 è verificata

Si vuole verificare la trave precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetta

alla combinazione di carico quasi permanente.

Per quanto detto nel paragrafo delle combinazioni di carico si ha Fd3 = 460 kg/m2

Il carico, considerando sempre una luce d’influenza pari a Linfl = 4,80 ml, agente sulla

trave sarà pari a:

Q3 = Fd3*Linfl= 460*4,80 = 2208 kg/ml

Per ricavare l’andamento dei momenti e quindi effettuare la verifica a flessione retta

della trave in oggetto si fa riferimento al diagramma inviluppo di seguito riportato,

considerando i seguenti vincoli:

incastro-incastro (momento massimo agli estremi Mmax1);

appoggio-appoggio (momento massimo in mezzeriaMmax2).

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17

Quindi si ha per quanto detto sopra:

Mmax1 = Q3∗l2

12 =

2208∗5,002

12 = 4600 kg*ml = 460000 kg*cm

Mmax2 = Q3∗l2

8 =

2208∗5,002

8 = 6900 kg*ml = 690000 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

xc = 14,33 cm

Ici = 179607,23 cm4

c1 = 460000

12515,167= 36,755 kg/cm2

Poiché risulta:

c1 = 36,755 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mmax1 è

verificata

c2= 690000

12515,167= 55,133 kg/cm2

Poiché risulta:

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18

c2 = 55,133 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,60*250 = 112,5 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mmax2 è

verificata

Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:

f1 = n*Mmax1

Ici(h − xc) = 15*

460000

179607,23(48 − 14,33)=1293,505 kg/cm2

Poiché risulta:

f1 = 1293,505 kg/cm2 < 0,80fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mmax1 è verificata

f2 = n*Mmax2

Ici(h − xc) = 15*

690000

179607,23(48 − 14,33)=1940,26 kg/cm2

Poiché risulta:

f2 = 1940,26 kg/cm2 < 0,80 fyk = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mmax2 è verificata

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19

Verifica di un balcone allo stato limite ultimo (S.L.U.)

Supponiamo di volere verificare allo stato limite ultimo (S.L.U.) il balcone riportato in

figura 5.101 (Rck = 300, armato con 614+614 ogni metro lineare) la cui luce è pari

a l = 1,50 ml.

Si effettua dapprima un’analisi dei carichi:

- Peso proprio della struttura (hmed= 12,5 cm) 0,125*2500 = 313kg/m2

- Intonaco inferiore 30kg/m2

- Pavimento gres con sottof. e pendenza 70kg/m2

Somma carico permanente: 413kg/m2

Si considera un carico accidentale agente sul balcone pari a 400 kg/m2.

Per quanto detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di carico si ha (S.L.U.):

- Combinazione fondamentale per stati limite ultimi (S.L.U.)

Fd1 =G1 * G1 + G2 * G2 + Q1 * Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd1 =1,3 * 413 + 1,5 *400 = 536,9 + 600 = 1136,9 kg/m2

Il carico a metro lineare sarà pari a Q1 = Fd1*1,00 = 1136,9 kg/ml

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20

Si ha pertanto Mmax = Q1∗l2

2=

1136,9∗1,52

2= 1279,012 kg*ml = 127901,25 kg*cm

Una volta noto il momento massimo Mmax agente all’estremità del balcone, si

effettua una verifica calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base

al diagramma sotto riportato

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21

Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in

compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò

non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo

compresso per l’equilibrio.

Allora vale la seguente equazione:

(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS

′ ∗ d′) = 0

dove:

fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2

fyd = 450

1,15 = 391 N/mm2

Es = 210000 N/mm2

AS′ = As = 924 mm2

cu = 3,5%0

Pertanto l’equazione si scrive:

(0,8*14*1000)*x2 +(210000*3,5%0*924-391*924)*x-(210000*3,5%0*924*20) = 0

11200 x2+(679140-361284)*x-13582800 = 0

11200 x2+317856 x-13582800 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−317856 ± √3178562 + 4 ∗ 11200 ∗ 13582800

2 ∗ 11200=

= −317856±√101032436736+608509440000

22400=

−317856±842343,087

22400

Si scarta la radice negativa e ciò implica:

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22

x = 23,41 mm

Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:

FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*1000*23,41 = 262192 N

F’s = Es*(εcu ∗x−d′

x) ∗ As

′ = 210000*(3,5%0 ∗23,41−20

23,41) ∗ 924 = 98926,416 N

Fs = fyd*As = 391*924 = 361284 N

C = FC+ F’s = 262192+98926,416 = 361118,416 N

d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x

C=

98926,416∗20+262192∗0,4∗23,41

361118,416=

1978528,32+2455165,888

361118,416 = 12,28 mm

Il momento resistente assume il seguente valore:

MR = C*(d-d’’) = 361118,416*(130-12,28) = 42510859,93 N*mm = 425108,59 kg*cm

Poiché risulta:

MR = 425108,59 kg*cm > Mmax = 127901,25 kg*cm

la sezione risulta verificata

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23

Verifica del balcone precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)

Si vuole verificare il balcone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetto

alla combinazione caratteristica rara. Per quanto detto nel paragrafo delle

combinazioni di carico si ha:

- Combinazione caratteristica rara per stati limite di esercizio (S.L.E.)

Fd2 =G1 + G2 + Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd2 = 413 + 400 = 813 kg/m2

Il carico a metro lineare sarà pari a:

Q2 = Fd2*1,00 = 813 kg/ml

Si ha pertanto Mmax = Q2∗l2

2=

813∗1,52

2= 914,625 kg*ml = 91462,5 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

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24

xc = 15∗2∗9,24

100*[−1 + √1 +

2∗100∗(9,24∗13+9,24∗2)

15∗(2∗9,24)2 ]=

=2,772*[−1 + √1 +200∗(120,12+18,48)

5122,6560]=2,772∗ (−1 + √6,411)=2,772*(−1 +

2,532)

xc = 4,25 cm

Ici = 100∗(4,25)3

3+15*9,24*(4,25-2)2+15*9,24*(13-4,25)2

Ici = 2558,85+701,66+10611,56 = 13872,07 cm4

c = 91462,5

100∗4,25

2∗(13−

4,25

3)+

15∗9,24

4,25∗(4,25−2)∗(13−2))

= 91462,5

2461,46+807,14117=

91462,5

3268,60117= 27,98

kg/cm2

Poiché risulta:

c = 27,98 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c dovuta al momento Mmax è

verificata

Si ricava la tensione di lavoro nell’acciaio:

f = n*Mmax

Ici(h − xc) = 15*

91462,5

13872,07(13 − 4,25)=865,37 kg/cm2

Poiché risulta:

f = 865,37 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f dovuta al momento Mmax è verificata

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25

Si vuole verificare il balcone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetto

alla combinazione caratteristica quasi permanente. Per quanto detto nel paragrafo

delle combinazioni di carico si ha:

- Combinazione quasi permanente per stati limite di esercizio (S.L.E.)

Fd3 =G1 + G2 + 21 * Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd3 = 413 + 0,3*400 = 533 kg/m2

Il carico a metro lineare sarà pari a:

Q3 = Fd3*1,00 = 533 kg/ml

Si ha pertanto Mmax = Q3∗l2

2=

533∗1,52

2= 599,625 kg*ml = 59962,5 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

xc = 4,25 cm

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26

Ici = 13872,07 cm4

c= 59962,5

3268,60117= 18,345 kg/cm2

Poiché risulta:

c = 18,345 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c dovuta al momento Mmax è

verificata

Si ricava la tensione di lavoro nell’acciaio:

f = n*Mmax

Ici(h − xc) = 15*

59962,5

13872,07(13 − 4,25)=567,333 kg/cm2

Poiché risulta:

f = 865,37 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f dovuta al momento Mmax è verificata

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27

Verifica di un solettone allo stato limite ultimo (S.L.U.)

Supponiamo di avere un solettone in c.a. dello spessore di 20 cm, con ly = 4,35 ml e lx

= 3,14 ml, Rck = 300 e armato con 116+116/30 cm ad incrociare superiormente ed

inferiormente. Per quanto si è detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di

carico risulta

- Combinazione fondamentale per stati limite ultimi (S.L.U.)

Fd1 =G1 * G1 + G2 * G2 + Q1 * Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd1 =1,3 * 0,20*2500 + 1,5 *100 + 1,5 * 200 = 500 + 150 + 300 = 1100 kg/m2

Poiché vale lo schema sotto riportato:

dove:

px = p ∗ly4

K ∗ lx4 + ly

4

py = p – px

p = Fd1= 1100 kg/m2

Il valore di K=1 è stato ricavato secondo la tabella 5.14 che si porta di sotto

considerando il solettone appoggiato su tutti e 4 i lati:

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28

Allora si ha:

px =1100∗4,354

1∗3,144+4,354=

1100∗358,061

97,212+358,061=

393867,1

455,273=865,12 kg/m2

py = p – px= 1100-865,12= 234,88 kg/m2

Si verifica una striscia di un metro lineare nella direzione x e in quella y per cui la

sezione per quanto detto in premessa è quella sotto riportata

As = 4 16

b = 1000 mm

A's =4 16

h =

20

0 m

m

d =

18

0 m

m

Il carico agente in un metro lineare nelle due direzioni ortogonali sarà pari a:

Qx = px*1,00 = 865,12 kg/ml

Qy = py*1,00 = 234,88 kg/ml

Avendo considerato la piastra appoggiata su tutt’e quattro i lati si ha:

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29

Mxmax = Qx∗lx

2

8=

865,12∗3,142

8 = 1066,22 kg*ml = 106621,71 kg*cm

Mymax = Qy∗ly

2

8=

234,88∗4,352

8 = 555,564 kg*ml = 55556,46 kg*cm

Una volta noto il momento massimo Mxmax ed il momento massimo Mymax si effettua

un calcolo di verifica calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base

al diagramma sotto riportato.

Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in

compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò

non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo

compresso per l’equilibrio.

Allora vale la seguente equazione:

(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS

′ ∗ d′) = 0

dove:

fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2

fyd = 450

1,15 = 391 N/mm2

Es = 210000 N/mm2

AS′ = As = 804 mm2

cu = 3,5%0

Pertanto l’equazione si scrive:

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30

(0,8*14*1000)*x2+(210000*3,5%0*804-391*804)*x-(210000*3,5%0*804*20) = 0

11200 x2+(590940-314364)*x-11818800 = 0

11200 x2+276576 x-11818800 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−276576 ± √2765762 + 4 ∗ 11200 ∗ 11818800

2 ∗ 11200=

= −276576±√76494283776+529482240000

22400=

−276576±778444,94

22400

Si scarta la radice negativa e ciò implica:

x = 22,40 mm

Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:

FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*1000*22,40 = 250880 N

F’s = Es*(εcu ∗x−d′

x) ∗ As

′ = 210000*(3,5%0 ∗22,40−20

22,40) ∗ 804 = 63315 N

Fs = fyd*As = 391*804 = 314364 N

C = FC+ F’s = 250880+63315 = 314195 N

d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x

C=

63315∗20+250880∗0,4∗22,40

314195=

1266300+2247884,8

314195 = 11,18 mm

Il momento resistente assume il seguente valore:

MR = C*(d-d’’)= 314195*(180-11,18) = 53042399,9 N*mm = 530424 kg*cm

Poiché risulta:

MR = 530424 kg*cm > Mxmax = 106621,71 kg*cm > Mymax= 55556,46 kg*cm

la sezione risulta verificata

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31

Verifica del solettone precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)

Si vuole verificare il solettone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.)

soggetto alla combinazione caratteristica rara. Per quanto detto nel paragrafo

relativamente alle combinazioni di carico si ha:

- Combinazione caratteristica rara per stati limite di esercizio (S.L.E.)

Fd2 =G1 + G2 + Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd2 = 500 + 100 + 200 = 800 kg/m2

Per quanto si è detto prima:

dove:

px = p ∗ly4

K ∗ lx4 + ly

4

K = 1

py = p – px

p = Fd2= 800 kg/m2

Allora si ha:

px =800∗4,354

1∗3,144+4,354=

800∗358,061

97,212+358,061=

286448,805

455,273=629,18 kg/m2

py = p – px= 800-629,18= 170,82 kg/m2

Si verifica una striscia di un metro lineare nella direzione x e in quella y per cui la

sezione per quanto detto in premessa è quella sotto riportata

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32

As = 4 16

b = 1000 mm

A's =4 16

h =

20

0 m

m

d =

18

0 m

m

Il carico agente in un metro lineare nelle due direzioni ortogonali sarà pari a:

Qx = px*1,00 = 629,18 kg/ml

Qy = py*1,00 = 170,82 kg/ml

Avendo considerato la piastra appoggiata su tutt’e quattro i lati si ha:

Mxmax = Qx∗lx

2

8=

629,18∗3,142

8 = 775,433 kg*ml = 77543,3 kg*cm

Mymax = Qy∗ly

2

8=

170,82∗4,352

8 = 404,042 kg*ml = 40404,27 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

xc = 15∗2∗8,04

100*[−1 + √1 +

2∗100∗(8,04∗18+8,04∗2)

15∗(2∗8,04)2 ]=

=2,412*[−1 + √1 +200∗(144,72+16,081)

3878,496]=2,412∗ (−1 + √9,292)=2,412*(−1 +

3,048) = 4,94 cm

xc = 4,94 cm

Ici = 100∗(4,94)3

3+15*8,04*(4,94-2)2+15*8,04*(18-4,94)2

Ici = 4018,46+1042,42+20569,97 = 25630,85 cm4

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33

c1 = 77543,3

100∗4,94

2∗(18−

4,94

3)+

15∗8,04

4,94∗(4,94−2)∗(18−2))

=77543,3

4039,27+1148,385=

77543,3

5187,655= 14,95 kg/cm2

Poiché risulta:

c1 = 14,95 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mxmax è

verificata

c2= 40404,27

5187,655= 7,8 kg/cm2

Poiché risulta:

c2 = 7,8 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mymax è

verificata

Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:

f1 = n*Mxmax

Ici(h − xc) = 15*

77543,3

25630,85(18 − 4,94)=592,67 kg/cm2

Poiché risulta:

f1 = 592,67 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mxmax è verificata

f2 = n*Mymax

Ici(h − xc) = 15*

40404,27

25630,85(18 − 4,94)=308,815 kg/cm2

Poiché risulta:

f2 = 308,815 kg/cm2 < 0,80fyk = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mymax è verificata

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34

Si vuole verificare il solettone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.)

soggetto alla combinazione di carico quasi permanente. Per quanto detto nel

paragrafo relativamente alle combinazioni di carico si ha:

- Combinazione quasi permanente per stati limite di esercizio (S.L.E.)

Fd3 =G1 + G2 + 21 * Qk1 + ……

Nel caso in esame si ha:

Fd3 = 500 + 100 + 0,3*200 = 660 kg/m2

Per quanto si è detto prima:

dove:

px = p ∗ly4

K ∗ lx4 + ly

4

K = 1

py = p – px

p = Fd3= 660 kg/m2

Allora si ha:

px =660∗4,354

1∗3,144+4,354=

660∗358,061

97,212+358,061=

236320,26

455,273=519,07 kg/m2

py = p – px= 660-519,07= 140,93 kg/m2

Si verifica una striscia di un metro lineare nella direzione x e in quella y per cui la

sezione per quanto detto in premessa è quella sotto riportata

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35

As = 4 16

b = 1000 mm

A's =4 16

h =

20

0 m

m

d =

18

0 m

m

Il carico agente in un metro lineare nelle due direzioni ortogonali sarà pari a:

Qx = px*1,00 = 519,07 kg/ml

Qy = py*1,00 = 140,93 kg/ml

Avendo considerato la piastra appoggiata su tutt’e quattro i lati si ha:

Mxmax = Qx∗lx

2

8=

519,07∗3,142

8 = 639,728 kg*ml = 63972,8 kg*cm

Mymax = Qy∗ly

2

8=

140,93∗4,352

8 = 333,343 kg*ml = 33334,34 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

xc = 4,94 cm

Ici = 25630,85 cm4

c1 =63972,8

5187,655= 12,33 kg/cm2

Poiché risulta:

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36

c1 = 12,33 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mxmax è

verificata

c2= 33334,34

5187,655= 6,42 kg/cm2

Poiché risulta:

c2 = 6,42 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mymax è

verificata

Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:

f1 = n*Mxmax

Ici(h − xc) = 15*

63972,8

25630,85(18 − 4,94)=488,95 kg/cm2

Poiché risulta:

f1 = 488,95 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mxmax è verificata

f2 = n*Mymax

Ici(h − xc) = 15*

33334,34

25630,85(18 − 4,94)=254,78 kg/cm2

Poiché risulta:

f2 = 254,78 kg/cm2 < 0,80 fyk = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mymax è verificata

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37

Verifica di una parete S1 para terra allo stato limite ultimo (S.L.U.)

Supponiamo di voler verificare la pareste S1 para terra alta H = 3,00 ml e spessa s =

25 cm (Rck = 300, armata con 516 superiormente ed inferiormente ogni metro

lineare). Le caratteristiche geotecniche del terreno sono le seguenti:

t = 18,4 KN/m3

= 27°

c = 0,00

La spinta agente su una striscia di un metro lineare è pari a:

S = γt∗H2

2∗ Ka =

γt∗H2

2∗ tg2 (

π

4−

φ

2) =

18,4∗32

2tg2 (

3,14

4−

37

2) = 4,2 KN

Per quanto detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di carico si ha un valore

della spinta (carico permanente) pari a S = 1,3*4,2 = 5,46 KN. Tale spinta agisce ad H

3

di S1

Il momento massimo allora sarà pari a:

Mmax = S * 1,00 = 5,46 KN = 54600 kg*cm

Una volta noto il momento massimo Mmax agente al piede della parete S1 si effettua

una verifica calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base al

digramma sotto riportato.

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38

A's = 5 16

As = 5 16h =

25

0 m

m

d =

23

0 m

m

b = 1000 mm

Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in

compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò

non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo

compresso per l’equilibrio.

Pertanto vale la seguente equazione:

Allora vale la seguente equazione:

(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS

′ ∗ d′) = 0

dove:

fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2

fyd = 450

1,15 = 391 N/mm2

Es = 210000 N/mm2

AS′ = As = 1005 mm2

cu = 3,5%0

Pertanto l’equazione si scrive:

(0,8*14*1000)*x2+(210000*3,5%0*1005-391*1005)*x-(210000*3,5%0*1005*20) = 0

11200x2+(738675-392955)x-14773500 = 0

11200x2+345720 x-14773500 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−345720 ± √3457202 + 4 ∗ 11200 ∗ 14773500

2 ∗ 11200=

= −345720±√119522318400+661852800000

22400=

−345720±√781375118400

22400=

−345720±883954,25

22400

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39

Si scarta la radice negativa e ciò implica:

x = 24,02 mm

Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:

FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*1000*24,02 = 269024 N

F’s = Es*(εcu ∗x−d′

x) ∗ As

′ = 210000*(3,5%0 ∗24,02−20

24,02) ∗ 1005 = 123624,86 N

Fs = fyd*As = 391*1005 = 392955 N

C = FC+ F’s = 269024+123624,86 = 392648,86 N

d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x

C=

123624,86∗20+269024∗0,4∗24,02

392648,86=

2472497,2+2584782,59

392648,86 = 12,88 mm

Il momento resistente assume il seguente valore:

MR = C*(d-d’’) = 392648,86*(230-12,88) = 85251920,48 N*mm = 852519,20 kg*cm

Poichérisulta:

MR = 852519,20 kg*cm > Mmax= 54600 kg*cm

la sezione risulta verificata

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40

Verifica della parete precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)

Osserviamo che la spinta è un carico permanente e non essendo previsti carichi

accidentali le combinazioni di carico agli stati limite di esercizio (S.L.E) relativamente

alla combinazione caratteristica rara e quasi permanente coincidono Fd2 = Fd3 = 4,2

KN. Tale spinta agisce ad H

3 di S1

Il momento massimo allora sarà pari a:

Mmax = S * 1,00 = 4,2 KN = 42000 kg*cm

Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si

ha:

xc = 15∗2∗10,05

100*[−1 + √1 +

2∗100∗(10,05∗23+10,05∗2)

15∗(2∗10,05)2 ]=

=3,015*[−1 + √1 +200∗(231,15+20,1)

6060,15]=3,015∗ (−1 + √9,29)=3,015*(−1 + 3,048)

= 6,175 cm

xc = 6,175 cm

Ici = 100∗(6,175)3

3+15*10,05*(6,175-2)2+15*10,05*(23-6,175)2

Ici = 7848,55+2627,667+42674,40 = 53150,617 cm4

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41

c = 42000

100∗6,175

2∗(23−

6,175

3)+

15∗10,05

6,175∗(6,175−2)∗(23−2)

=42000

6465,74+2140,405=

42000

8606,145= 4,88 kg/cm2

Poiché risulta:

c = 4,88 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2< 0,45 fck= 112,5 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c dovuta al momento Mmax è

verificata

Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:

f = n*Mmax

Ici(h − xc) = 15*

42000

53150,67(23 − 6,175)=199,43 kg/cm2

Poiché risulta:

f = 199,43 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2

La tensione limite di esercizio nell’acciaio f dovuta al momento Mmax è verificata

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42

Verifica di una trave di fondazione allo stato limite ultimo (S.L.U.)

Supponiamo di volere verificare allo stato limite ultimo (S.L.U.) una trave di

fondazione delle dimensioni di 50x90 cm (Rck = 300, armata con 716 superiormente

ed inferiormente) il cui diagramma dei momenti massimi è sotto riportato.

Si ha:

Mmax1 = 177,2 KNxml = 1772000 kgxcm

Mmax2 = -67,67 KNxml = -676700 kgxcm

Una volta noti il momento massimo Mmax1 agente all’estremità della trave di

fondazione e il momento massimo Mmax2 agente in mezzeria, si effettua una verifica

calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base al diagramma sotto

riportato

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43

d =

88

0 m

m

H =

90

0 m

m

b = 500 mm

A's =7 16

A's =7 16

Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in

compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò

non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo

compresso per l’equilibrio.

Pertanto vale la seguente equazione:

Allora vale la seguente equazione:

(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS

′ ∗ d′) = 0

dove:

fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2

fyd = 450

1,15 = 391 N/mm2

Es = 210000 N/mm2

AS′ = As = 1407 mm2

cu = 3,5%0

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Pertanto l’equazione si scrive:

(0,8*14*500)*x2+(210000*3,5%0*1047-391*1047)*x-(210000*3,5%0*1047*20) = 0

5600x2+(103415-550137)x-20682900 = 0

5600x2+484008 x-20682900 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−484008 ± √4840082 + 4 ∗ 5600 ∗ 20682900

2 ∗ 5600=

= −484008±√234263744064+463296960000

11200=

−484008±√697560704064

11200=

−484008±835200,996

11200

Si scarta la radice negativa e ciò implica:

x = 31,36 mm

Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:

FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*500*31,36 = 175616 N

F’s = Es*(εcu ∗x−d′

x) ∗ As

′ = 210000*(3,5%0 ∗31,36−20

31,36) ∗ 1407 = 374613,71 N

Fs = fyd*As = 391*1407 = 550137 N

C = FC+ F’s = 175616+374613,71= 550229,71

d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x

C=

374613,71∗20+175616∗0,4∗31,36

550229,71=

7492274,2+2202927,104

550229,71 = 17,62 mm

Il momento resistente assume il seguente valore:

MR =C*(d-d’’) = 550229,71*(880-17,62) = 474507097,31 N*mm = 4745070,97 kg*cm

Poiché risulta:

MR = 4745070,97 kg*cm >Mmax1= 1772000 kg*cm> Mmax2= 676700 kgxcm

la sezione risulta verificata

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Bibliografia

D.M. 14/01/2008 – “Norme Tecniche per le costruzioni”;

“Prontuario per il calcolo di elementi strutturali” – Biagio Furiozzi, Claudio

Messina e Leonardo Paolini – LE MONNIER Editore;

“Teoria e pratica delle strutture in cemento armato” – Vincenzo Nunziata –

Dario Flaccovio Editore;

“Costruzioni 2” – S. Di Pasquale, C. Messina, L. Paolini e B. Furiozzi - LE

MONNIER Editore;

“Teoria e tecnica delle costruzioni” (volume primo) - Elio Giangreco – Liguori

Editore

Casteldaccia (PA), lì 10.02.2017

Ing. Francesco Solazzo