VERIFICHE DI MASSIMA STRUTTURE IN C.A. DI MASSIMA... · Si considera il caso in cui si abbia un...
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Viale Kennedy 4
90014 Casteldaccia (PA)
www.ingegneriasolazzo.it
VERIFICHE DI MASSIMA STRUTTURE IN C.A.
Al § 10.2. del D.M. 14/01/2008, dal titolo Analisi e verifiche svolte con l’ausilio di
codici di calcolo” si legge quanto segue:
Omissis…
- “Giudizio motivato di accettabilità dei risultati: Spetta al progettista il compito
di sottoporre i risultati delle elaborazioni a controlli che ne comprovino
l’attendibilità. Tale valutazione consisterà nel confronto con i risultati di
semplici calcoli, anche di larga massima, eseguiti con metodi tradizionali e
adottati, ad esempio, in fase di primo proporzionamento della struttura.
Inoltre, sulla base di considerazioni riguardanti gli stati tensionali e
deformativi determinati, valuterà la consistenza delle scelte operate in sede di
schematizzazione e di modellazione della struttura e delle azioni.
Nella relazione (di calcolo) devono essere elencati e sinteticamente illustrati i
controlli svolti, quali verifiche di equilibrio tra reazioni vincolari e carichi
applicati, comparazione tra i risultati delle analisi e quelli di valutazione
semplificate, etc.”
Sulla base di quanto detto prima, questa dispensa riporta alcuni semplici metodi per
effettuare verifiche e predimensionamenti di massima di elementi strutturali in c.a.
Si considera il caso in cui si abbia un solaio con travetti in c.a. e pignatte costituite da
laterizi forati, ordito secondo la luce massima di LMax = 500 cm, per ricavare la sua
altezza si dovrà utilizzare la seguente espressione:
Hsolaio = 1
25LMax=
1
25*500 = 20 cm
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In pratica si considera un’altezza solaio Hsolaio = 20 = 16 + 4 cm, dove 16 cm è l’altezza
del travetto e 4 cm è lo spessore della cappa.
Tale solaio ha un peso di circa 300 kg/m2. Per tenere conto delle tramezzature
gravanti su predetto solaio si considera un carico permanente portato e distribuito
pari 100 kg/m2.
Considerando un solaio per civile abitazione secondo la tabella 3.1.II – “Valori dei
carichi d’esercizio per le diverse categorie di edifici” – si valuta un carico accidentale
pari a Qk = 200 kg/m2.
In definitiva si ha:
G1 = 300 kg/m2
G2 = 100 kg/m2
Qk1 = 200 kg/m2.
Combinazioni di carico
Per le combinazioni di carico secondo gli stati limite (gli unici previsti per le verifiche
nelle Zone sismiche I-II-III) si fa riferimento al § 2.5.3. “Combinazioni delle azioni” per
il quale è previsto quanto segue:
- Combinazione fondamentale per stati limite ultimi (S.L.U.)
Fd1 =G1 * G1 + G2 * G2 + Q1 * Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd1 =1,3 * 300 + 1,5 *100 + 1,5 * 200 = 390 + 150 + 300 = 840 kg/m2
- Combinazione caratteristica rara per stati limite di esercizio (S.L.E.)
Fd2 =G1 + G2 + Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd2 = 300 + 100 + 200 = 600 kg/m2
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- Combinazione quasi permanente per stati limite di esercizio (S.L.E.)
Fd3 =G1 + G2 + 21 * Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd3 = 300 + 100 + 0,3*200 = 460 kg/m2
Resistenze di calcolo dei materiali
Le resistenze di calcolo o di progetto del calcestruzzo e dell’acciaio si ottengono
dividendo le resistenze caratteristiche dei materiali per opportuni coefficienti per
tener conto: delle incertezze del modello e della geometria, del materiale; della
situazione di progetto e della particolare verifica in esame. Si scrive:
fd = fk
γm
dove:
fk = resistenza caratteristica del materiale;
m = coefficiente parziale per le resistenze.
Di seguito vengono riportate le resistenze di calcolo per il calcestruzzo e per l’acciaio
RESISTENZA DI CALCOLO A COMPRESSIONE DEL CALCESTRUZZO
fcd≅ 0,47 * Rck
RESISTENZA DI CALCOLO DELL’ACCIAIO
fyd = fyk
γs
dove:
fyk = tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio;
m = 1,15 è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio.
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Verifica di un pilastro in c.a. a pressione centrata allo stato limite ultimo (S.L.U.)
Supponiamo di avere un edificio a 4 elevazioni fuori terra e di volere effettuare un
verifica del pilastro n°3 di dimensione 25x50 cm (Rck = 300, armato con 314+314 e
n°2 reggi staffe 14), posto a piano terra, su cui convergono 4 travi di luce pressochè
uguale considerandolo approssimativamente nelle condizioni di lavoro a pressione
centrata.
Lo schema utilizzato per la verifica allo stato limite ultimo è il seguente:
Si ha che il peso scaricato dai quattro solai sul pilastro n°3 è pari a:
NEd = Fd1 * Ainfl* nsolai= 840 * 5,0 * 5,0 * 4 = 84000 kg
Il D.M. 14/01/2008 per tener conto di possibili imperfezioni negli allineamenti degli
assi e altre cause accidentali prescrivono di valutare NRd secondo la seguente
formula:
NRd = 0,8 * Ac * fcd + As * fyd
dove:
NRd = sforzo normale resistente
Ac = area calcestruzzo = 25 * 50 = 1250 cm2
As = area totale delle armature = 12,32 cm2
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Nel caso in esame si ha:
fcd≅ 0,47 * Rck = 0,47 * 300 = 140 kg/cm2
fyd = fyk
γs = 3910 kg/cm2
In definitiva si scrive:
NRd = 0,8 * 1250 * 140 + 12,32 * 3910 = 140000 + 48171,2 = 188171,2 kg
Poiché risulta NEd≤ NRd il pilastro risulta verificato a pressione centrata
NEd = 84000 kg ≤ NRd = 188171,2 kg (OK)
Verifica snellezza pilastro precedente
Gli elementi strutturali semplicemente compressi si intendono oggetto di instabilità
quando la loro snellezza supera il valore di 50.
La snellezza è rappresentata dal rapporto:
= 𝑙0
𝜌𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛
dove:
l0 è la lunghezza libera di inflessione come di sotto riportato:
bimin = è il raggio giratore d’inerzia minimo della sezione omogenizzata:
bimin= √𝐽𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑏𝑖
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dove:
Jbimin= è il momento di inerzia minimo della sezione di calcestruzzo (si trascura
il momento di inerzia dei singoli tondini rispetto al proprio asse baricentrico)
Abi = Ab + n*Aa
Intendendo per:
Ab = area totale di calcestruzzo;
n = coefficiente di omogeneizzazione (15)
Aa = area totale armature
Il calcolo degli elemento strutturali caricati di punta si effettua con il metodo , cioè
considerando invece di N il valore *N per cui si ha:
fc = 𝜔∗𝑁
𝐴𝑏𝑖𝑚𝑖𝑛≤ fcd
dove si ricava, con eventuale interpolazione lineare, dalla seguente tabella:
Nel caso in esame, considerando un pilastro alto 300 cm, si ha:
l0 = 0,8 * 300 = 240 cm
Jbimin= 𝐵∗𝐻3
12=
50∗253
12 = 65104,2 cm4
Abi = Ab + n*Aa= 25 *50 + 15 * 12,32 = 1250 + 184,8 = 1434,8 cm2
bimin= √𝐽𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑏𝑖 = √
65104,2
1434,8 = √45,375 = 6,73 cm
In definitiva risulta verificato il pilastro essendo:
= 𝑙0
𝜌𝑏𝑖 𝑚𝑖𝑛 =
240
6,73= 35,66< 50 (OK)
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Verifica di una trave allo stato limite ultimo (S.L.U.)
Supponiamo di volere verificare allo stato limite ultimo (S.L.U.) una trave di
dimensioni 25x50 cm (Rck = 300, armata con 314 +314) la cui luce è pari a l=5,00
ml. Per quanto si è detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di carico si ha un
carico a m2 pari a Fd1 = 840 kg/m2. Si considera una luce d’influenza pari a Linfl =
4,80
2+
4,80
2 = 4,80 ml.
Quindi il carico agente sulla trave a metro lineare è pari a:
Q1 = Fd1*Linfl = 840*4,80 = 4032 kg/ml
Per ricavare l’andamento dei momenti e quindi effettuare la verifica a flessione retta
della trave in oggetto si fa riferimento al diagramma inviluppo di seguito riportato,
considerando i seguenti vincoli:
incastro-incastro (momento massimo agli estremi Mmax1);
appoggio-appoggio (momento massimo in mezzeriaMmax2).
Quindi si ha per quanto detto sopra:
Mmax1 = Q1∗l2
12 =
4032∗5,002
12 = 8400 kg*ml = 840000 kg*cm
Mmax2 = Q1∗l2
8 =
4032∗5,002
8 = 12600 kg*ml = 1260000 kg*cm
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Una volta noti il momento massimo Mmax1agente alle estremità della trave ed il
momento massimo Mmax2 agente in mezzeria, si effettua un calcolo di verifica
calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base al diagramma sotto
riportato
A's = 3 14
As = 3 14
d =
48
0 m
m
h =
50
0 m
m
b = 250 mm
Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in
compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò
non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo
compresso per l’equilibrio.
Allora vale la seguente equazione:
(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS
′ ∗ d′) = 0
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dove:
fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2
fyd = 450
1,15 = 391 N/mm2
Es = 210000 N/mm2
AS′ = As = 462 mm2
cu = 3,5%0
Pertanto l’equazione si scrive:
(0,8*14*250)*x2+(210000*3,5%0*462-391*462)*x-(210000*3,5%0*462*20) = 0
2800x2+(339570-180642)x-6791400 = 0
2800x2+158928 x-6791400 = 0
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−158928 ± √1589282 + 4 ∗ 2800 ∗ 6791400
2 ∗ 2800=
= −158928±√25258109184+76063680000
5600=
−158928±√101321789184
5600=
−158928±318310
5600
Si scarta la radice negativa e ciò implica:
x = 28,46 mm
Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:
FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*250*28,46 = 79688 N
F’s = Es*(εcu ∗x−d′
x) ∗ As
′ = 210000*(3,5%0 ∗28,46−20
28,46) ∗ 462 = 100940,34 N
Fs = fyd*As = 391*462 = 180642 N
C = FC+ F’s = 79688+100940,34 = 180628,34 N
d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x
C=
100940,34∗20+79688∗0,4∗28,46
180628,34=
2018806,8+907168,192
180628,34 = 16,20 mm
Il momento resistente assume il seguente valore:
MR = C*(d-d’’) = 180628,34*(480-16,20) = 83775424,092 N*mm = 837754,24 kg*cm
Poiché risulta:
Mmax2 = 1260000 kg*cm > Mmax1 = 840000 kg*cm > MR = 837754,24 kg*cm
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la sezione non risulta verificata
Allora si prova a verificare la stessa trave armata con 416 + 416 come sotto
riportato:
(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS
′ ∗ d′) = 0
dove:
fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2
fyd = 450
1,15 = 391 N/mm2
Es = 210000 N/mm2
AS′ = As = 804 mm2
cu = 3,5%0
Pertanto l’equazione si scrive:
(0,8*14*250)*x2+(210000*3,5%0*804-391*804)*x-(210000*3,5%0*804*20) = 0
2800 x2+(590940-314364)*x-11818800 = 0
2800 x2+276576 x-11818800 = 0
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𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−276576 ± √2765762 + 4 ∗ 2800 ∗ 11818800
2 ∗ 2800=
= −276576±√76494283776+132370560000
5600=
−276576±√208864843776
5600=
−276576±457017
5600
Si scarta la radice negativa e ciò implica:
x = 32,22 mm
Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:
FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*250*32,22 = 90126 N
F’s = Es*(εcu ∗x−d′
x) ∗ As
′ = 210000*(3,5%0 ∗32,22−20
32,22) ∗ 804 = 224124,36 N
Fs = fyd*As = 391*804 = 314364 N
C = FC+ F’s = 90216+224124,36 = 314250,36 N
d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x
C=
224124,36∗20+90216∗0,4∗32,22
314250,36=
4482487,2+1161543,88
314250,36 = 17,96 mm
Il momento resistente assume il seguente valore:
MR = C*(d-d’’)= 314250,36*(480-17,96) = 145196263,33 N*mm = 1451962,36 kg*cm
Poiché risulta:
MR = 1451962,36 kg*cm > Mmax2 = 1260000 kg*cm > Mmax1 = 840000 kg*cm
la sezione risulta verificata
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Verifica della trave precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)
c = la massima sollecitazione di compressione nel calcestruzzo;
f = la sollecitazione di trazione nell’armatura tesa;
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𝜎𝑓′ = la sollecitazione di compressione nell’armatura compressa.
Dell’asse neutro n – n è nota la direzione, essendo normale all’asse di simmetria
coincidente con la mediana della sezione; per individuarlo è sufficiente quindi
esprimere l’annullarsi dei momenti statici rispetto ad esso:
da cui, scartando la radice negativa che porterebbe l’asse neutro fuori dalla sezione,
si ha:
Nota la posizione dell’asse neutro, è noto il momento d’inerzia della sezione
reagente rispetto ad esso. Si ha infatti:
La sollecitazione massima nel calcestruzzo vale:
La sollecitazione massima nell’acciaio vale:
f = n*M
Ici*(h-xc)
Si vuole verificare la trave precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetta
alla combinazione caratteristica rara. Per quanto detto nel paragrafo delle
combinazioni di carico si ha Fd2 = 600 kg/m2
Il carico, considerando sempre una luce d’influenza pari a Linfl = 4,80 ml, agente sulla
trave sarà pari a:
Q2 = Fd2* Linfl= 600*4,80 = 2880 kg/ml
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Per ricavare l’andamento dei momenti e quindi effettuare la verifica a flessione retta
della trave in oggetto si fa riferimento al diagramma inviluppo di seguito riportato,
considerando i seguenti vincoli:
incastro-incastro (momento massimo agli estremi Mmax1);
appoggio-appoggio (momento massimo in mezzeriaMmax2).
Quindi si ha per quanto detto sopra:
Mmax1 = Q2∗l2
12 =
2880∗5,002
12 = 6000 kg*ml = 600000 kg*cm
Mmax2 = Q2∗l2
8 =
2880∗5,002
8 = 9000 kg*ml = 900000 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
xc = 15∗2∗8,04
25*[−1 + √1 +
2∗25∗(8,04∗48+8,04∗2)
15∗(2∗8,04)2 ]=
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15
= 9,648*[−1 + √1 +50∗(385,92+16,081)
3878,496]=9,648∗ (−1 + √6,18)=9,648*(−1 + 2,485)
xc = 14,33 cm
Ici = 25∗(14,33)3
3+15*8,04*(14,33-2)2+15*8,04*(48-14,33)2
Ici = 24552,08+18334,68+136720,47 = 179607,23 cm4
c1 = 600000
25∗14,33
2∗(48−
14,33
3)+
15∗8,04
14,33∗(14,33−2)∗(48−2))
= 600000
179,125∗43,22+8,416∗12,33∗46=
= 600000
7741,78+4773,387=
600000
12515,167= 47,943 kg/cm2
Poiché risulta:
c1 = 47,943 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mmax1 è
verificata
c2= 900000
12515,167= 71,913 kg/cm2
Poiché risulta:
c2 = 71,913 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mmax2 è
verificata
Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:
f1 = n*Mmax1
Ici(h − xc) = 15*
600000
179607,23(48 − 14,33)=1687,181 kg/cm2
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Poiché risulta:
f1 = 1687,181 kg/cm2 < 0,80fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mmax1 è verificata
f2 = n*Mmax2
Ici(h − xc) = 15*
900000
179607,23(48 − 14,33)=2530,77 kg/cm2
Poiché risulta:
f2 = 2530,77 kg/cm2 < 0,80 fyk = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mmax2 è verificata
Si vuole verificare la trave precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetta
alla combinazione di carico quasi permanente.
Per quanto detto nel paragrafo delle combinazioni di carico si ha Fd3 = 460 kg/m2
Il carico, considerando sempre una luce d’influenza pari a Linfl = 4,80 ml, agente sulla
trave sarà pari a:
Q3 = Fd3*Linfl= 460*4,80 = 2208 kg/ml
Per ricavare l’andamento dei momenti e quindi effettuare la verifica a flessione retta
della trave in oggetto si fa riferimento al diagramma inviluppo di seguito riportato,
considerando i seguenti vincoli:
incastro-incastro (momento massimo agli estremi Mmax1);
appoggio-appoggio (momento massimo in mezzeriaMmax2).
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Quindi si ha per quanto detto sopra:
Mmax1 = Q3∗l2
12 =
2208∗5,002
12 = 4600 kg*ml = 460000 kg*cm
Mmax2 = Q3∗l2
8 =
2208∗5,002
8 = 6900 kg*ml = 690000 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
xc = 14,33 cm
Ici = 179607,23 cm4
c1 = 460000
12515,167= 36,755 kg/cm2
Poiché risulta:
c1 = 36,755 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mmax1 è
verificata
c2= 690000
12515,167= 55,133 kg/cm2
Poiché risulta:
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c2 = 55,133 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,60*250 = 112,5 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mmax2 è
verificata
Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:
f1 = n*Mmax1
Ici(h − xc) = 15*
460000
179607,23(48 − 14,33)=1293,505 kg/cm2
Poiché risulta:
f1 = 1293,505 kg/cm2 < 0,80fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mmax1 è verificata
f2 = n*Mmax2
Ici(h − xc) = 15*
690000
179607,23(48 − 14,33)=1940,26 kg/cm2
Poiché risulta:
f2 = 1940,26 kg/cm2 < 0,80 fyk = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mmax2 è verificata
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19
Verifica di un balcone allo stato limite ultimo (S.L.U.)
Supponiamo di volere verificare allo stato limite ultimo (S.L.U.) il balcone riportato in
figura 5.101 (Rck = 300, armato con 614+614 ogni metro lineare) la cui luce è pari
a l = 1,50 ml.
Si effettua dapprima un’analisi dei carichi:
- Peso proprio della struttura (hmed= 12,5 cm) 0,125*2500 = 313kg/m2
- Intonaco inferiore 30kg/m2
- Pavimento gres con sottof. e pendenza 70kg/m2
Somma carico permanente: 413kg/m2
Si considera un carico accidentale agente sul balcone pari a 400 kg/m2.
Per quanto detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di carico si ha (S.L.U.):
- Combinazione fondamentale per stati limite ultimi (S.L.U.)
Fd1 =G1 * G1 + G2 * G2 + Q1 * Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd1 =1,3 * 413 + 1,5 *400 = 536,9 + 600 = 1136,9 kg/m2
Il carico a metro lineare sarà pari a Q1 = Fd1*1,00 = 1136,9 kg/ml
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20
Si ha pertanto Mmax = Q1∗l2
2=
1136,9∗1,52
2= 1279,012 kg*ml = 127901,25 kg*cm
Una volta noto il momento massimo Mmax agente all’estremità del balcone, si
effettua una verifica calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base
al diagramma sotto riportato
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21
Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in
compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò
non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo
compresso per l’equilibrio.
Allora vale la seguente equazione:
(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS
′ ∗ d′) = 0
dove:
fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2
fyd = 450
1,15 = 391 N/mm2
Es = 210000 N/mm2
AS′ = As = 924 mm2
cu = 3,5%0
Pertanto l’equazione si scrive:
(0,8*14*1000)*x2 +(210000*3,5%0*924-391*924)*x-(210000*3,5%0*924*20) = 0
11200 x2+(679140-361284)*x-13582800 = 0
11200 x2+317856 x-13582800 = 0
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−317856 ± √3178562 + 4 ∗ 11200 ∗ 13582800
2 ∗ 11200=
= −317856±√101032436736+608509440000
22400=
−317856±842343,087
22400
Si scarta la radice negativa e ciò implica:
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22
x = 23,41 mm
Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:
FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*1000*23,41 = 262192 N
F’s = Es*(εcu ∗x−d′
x) ∗ As
′ = 210000*(3,5%0 ∗23,41−20
23,41) ∗ 924 = 98926,416 N
Fs = fyd*As = 391*924 = 361284 N
C = FC+ F’s = 262192+98926,416 = 361118,416 N
d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x
C=
98926,416∗20+262192∗0,4∗23,41
361118,416=
1978528,32+2455165,888
361118,416 = 12,28 mm
Il momento resistente assume il seguente valore:
MR = C*(d-d’’) = 361118,416*(130-12,28) = 42510859,93 N*mm = 425108,59 kg*cm
Poiché risulta:
MR = 425108,59 kg*cm > Mmax = 127901,25 kg*cm
la sezione risulta verificata
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23
Verifica del balcone precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)
Si vuole verificare il balcone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetto
alla combinazione caratteristica rara. Per quanto detto nel paragrafo delle
combinazioni di carico si ha:
- Combinazione caratteristica rara per stati limite di esercizio (S.L.E.)
Fd2 =G1 + G2 + Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd2 = 413 + 400 = 813 kg/m2
Il carico a metro lineare sarà pari a:
Q2 = Fd2*1,00 = 813 kg/ml
Si ha pertanto Mmax = Q2∗l2
2=
813∗1,52
2= 914,625 kg*ml = 91462,5 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
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24
xc = 15∗2∗9,24
100*[−1 + √1 +
2∗100∗(9,24∗13+9,24∗2)
15∗(2∗9,24)2 ]=
=2,772*[−1 + √1 +200∗(120,12+18,48)
5122,6560]=2,772∗ (−1 + √6,411)=2,772*(−1 +
2,532)
xc = 4,25 cm
Ici = 100∗(4,25)3
3+15*9,24*(4,25-2)2+15*9,24*(13-4,25)2
Ici = 2558,85+701,66+10611,56 = 13872,07 cm4
c = 91462,5
100∗4,25
2∗(13−
4,25
3)+
15∗9,24
4,25∗(4,25−2)∗(13−2))
= 91462,5
2461,46+807,14117=
91462,5
3268,60117= 27,98
kg/cm2
Poiché risulta:
c = 27,98 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c dovuta al momento Mmax è
verificata
Si ricava la tensione di lavoro nell’acciaio:
f = n*Mmax
Ici(h − xc) = 15*
91462,5
13872,07(13 − 4,25)=865,37 kg/cm2
Poiché risulta:
f = 865,37 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f dovuta al momento Mmax è verificata
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25
Si vuole verificare il balcone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.) soggetto
alla combinazione caratteristica quasi permanente. Per quanto detto nel paragrafo
delle combinazioni di carico si ha:
- Combinazione quasi permanente per stati limite di esercizio (S.L.E.)
Fd3 =G1 + G2 + 21 * Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd3 = 413 + 0,3*400 = 533 kg/m2
Il carico a metro lineare sarà pari a:
Q3 = Fd3*1,00 = 533 kg/ml
Si ha pertanto Mmax = Q3∗l2
2=
533∗1,52
2= 599,625 kg*ml = 59962,5 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
xc = 4,25 cm
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26
Ici = 13872,07 cm4
c= 59962,5
3268,60117= 18,345 kg/cm2
Poiché risulta:
c = 18,345 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c dovuta al momento Mmax è
verificata
Si ricava la tensione di lavoro nell’acciaio:
f = n*Mmax
Ici(h − xc) = 15*
59962,5
13872,07(13 − 4,25)=567,333 kg/cm2
Poiché risulta:
f = 865,37 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f dovuta al momento Mmax è verificata
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27
Verifica di un solettone allo stato limite ultimo (S.L.U.)
Supponiamo di avere un solettone in c.a. dello spessore di 20 cm, con ly = 4,35 ml e lx
= 3,14 ml, Rck = 300 e armato con 116+116/30 cm ad incrociare superiormente ed
inferiormente. Per quanto si è detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di
carico risulta
- Combinazione fondamentale per stati limite ultimi (S.L.U.)
Fd1 =G1 * G1 + G2 * G2 + Q1 * Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd1 =1,3 * 0,20*2500 + 1,5 *100 + 1,5 * 200 = 500 + 150 + 300 = 1100 kg/m2
Poiché vale lo schema sotto riportato:
dove:
px = p ∗ly4
K ∗ lx4 + ly
4
py = p – px
p = Fd1= 1100 kg/m2
Il valore di K=1 è stato ricavato secondo la tabella 5.14 che si porta di sotto
considerando il solettone appoggiato su tutti e 4 i lati:
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28
Allora si ha:
px =1100∗4,354
1∗3,144+4,354=
1100∗358,061
97,212+358,061=
393867,1
455,273=865,12 kg/m2
py = p – px= 1100-865,12= 234,88 kg/m2
Si verifica una striscia di un metro lineare nella direzione x e in quella y per cui la
sezione per quanto detto in premessa è quella sotto riportata
As = 4 16
b = 1000 mm
A's =4 16
h =
20
0 m
m
d =
18
0 m
m
Il carico agente in un metro lineare nelle due direzioni ortogonali sarà pari a:
Qx = px*1,00 = 865,12 kg/ml
Qy = py*1,00 = 234,88 kg/ml
Avendo considerato la piastra appoggiata su tutt’e quattro i lati si ha:
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29
Mxmax = Qx∗lx
2
8=
865,12∗3,142
8 = 1066,22 kg*ml = 106621,71 kg*cm
Mymax = Qy∗ly
2
8=
234,88∗4,352
8 = 555,564 kg*ml = 55556,46 kg*cm
Una volta noto il momento massimo Mxmax ed il momento massimo Mymax si effettua
un calcolo di verifica calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base
al diagramma sotto riportato.
Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in
compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò
non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo
compresso per l’equilibrio.
Allora vale la seguente equazione:
(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS
′ ∗ d′) = 0
dove:
fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2
fyd = 450
1,15 = 391 N/mm2
Es = 210000 N/mm2
AS′ = As = 804 mm2
cu = 3,5%0
Pertanto l’equazione si scrive:
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30
(0,8*14*1000)*x2+(210000*3,5%0*804-391*804)*x-(210000*3,5%0*804*20) = 0
11200 x2+(590940-314364)*x-11818800 = 0
11200 x2+276576 x-11818800 = 0
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−276576 ± √2765762 + 4 ∗ 11200 ∗ 11818800
2 ∗ 11200=
= −276576±√76494283776+529482240000
22400=
−276576±778444,94
22400
Si scarta la radice negativa e ciò implica:
x = 22,40 mm
Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:
FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*1000*22,40 = 250880 N
F’s = Es*(εcu ∗x−d′
x) ∗ As
′ = 210000*(3,5%0 ∗22,40−20
22,40) ∗ 804 = 63315 N
Fs = fyd*As = 391*804 = 314364 N
C = FC+ F’s = 250880+63315 = 314195 N
d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x
C=
63315∗20+250880∗0,4∗22,40
314195=
1266300+2247884,8
314195 = 11,18 mm
Il momento resistente assume il seguente valore:
MR = C*(d-d’’)= 314195*(180-11,18) = 53042399,9 N*mm = 530424 kg*cm
Poiché risulta:
MR = 530424 kg*cm > Mxmax = 106621,71 kg*cm > Mymax= 55556,46 kg*cm
la sezione risulta verificata
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31
Verifica del solettone precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)
Si vuole verificare il solettone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.)
soggetto alla combinazione caratteristica rara. Per quanto detto nel paragrafo
relativamente alle combinazioni di carico si ha:
- Combinazione caratteristica rara per stati limite di esercizio (S.L.E.)
Fd2 =G1 + G2 + Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd2 = 500 + 100 + 200 = 800 kg/m2
Per quanto si è detto prima:
dove:
px = p ∗ly4
K ∗ lx4 + ly
4
K = 1
py = p – px
p = Fd2= 800 kg/m2
Allora si ha:
px =800∗4,354
1∗3,144+4,354=
800∗358,061
97,212+358,061=
286448,805
455,273=629,18 kg/m2
py = p – px= 800-629,18= 170,82 kg/m2
Si verifica una striscia di un metro lineare nella direzione x e in quella y per cui la
sezione per quanto detto in premessa è quella sotto riportata
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32
As = 4 16
b = 1000 mm
A's =4 16
h =
20
0 m
m
d =
18
0 m
m
Il carico agente in un metro lineare nelle due direzioni ortogonali sarà pari a:
Qx = px*1,00 = 629,18 kg/ml
Qy = py*1,00 = 170,82 kg/ml
Avendo considerato la piastra appoggiata su tutt’e quattro i lati si ha:
Mxmax = Qx∗lx
2
8=
629,18∗3,142
8 = 775,433 kg*ml = 77543,3 kg*cm
Mymax = Qy∗ly
2
8=
170,82∗4,352
8 = 404,042 kg*ml = 40404,27 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
xc = 15∗2∗8,04
100*[−1 + √1 +
2∗100∗(8,04∗18+8,04∗2)
15∗(2∗8,04)2 ]=
=2,412*[−1 + √1 +200∗(144,72+16,081)
3878,496]=2,412∗ (−1 + √9,292)=2,412*(−1 +
3,048) = 4,94 cm
xc = 4,94 cm
Ici = 100∗(4,94)3
3+15*8,04*(4,94-2)2+15*8,04*(18-4,94)2
Ici = 4018,46+1042,42+20569,97 = 25630,85 cm4
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33
c1 = 77543,3
100∗4,94
2∗(18−
4,94
3)+
15∗8,04
4,94∗(4,94−2)∗(18−2))
=77543,3
4039,27+1148,385=
77543,3
5187,655= 14,95 kg/cm2
Poiché risulta:
c1 = 14,95 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mxmax è
verificata
c2= 40404,27
5187,655= 7,8 kg/cm2
Poiché risulta:
c2 = 7,8 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mymax è
verificata
Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:
f1 = n*Mxmax
Ici(h − xc) = 15*
77543,3
25630,85(18 − 4,94)=592,67 kg/cm2
Poiché risulta:
f1 = 592,67 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mxmax è verificata
f2 = n*Mymax
Ici(h − xc) = 15*
40404,27
25630,85(18 − 4,94)=308,815 kg/cm2
Poiché risulta:
f2 = 308,815 kg/cm2 < 0,80fyk = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mymax è verificata
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34
Si vuole verificare il solettone precedente allo stato limite di esercizio (S.L.E.)
soggetto alla combinazione di carico quasi permanente. Per quanto detto nel
paragrafo relativamente alle combinazioni di carico si ha:
- Combinazione quasi permanente per stati limite di esercizio (S.L.E.)
Fd3 =G1 + G2 + 21 * Qk1 + ……
Nel caso in esame si ha:
Fd3 = 500 + 100 + 0,3*200 = 660 kg/m2
Per quanto si è detto prima:
dove:
px = p ∗ly4
K ∗ lx4 + ly
4
K = 1
py = p – px
p = Fd3= 660 kg/m2
Allora si ha:
px =660∗4,354
1∗3,144+4,354=
660∗358,061
97,212+358,061=
236320,26
455,273=519,07 kg/m2
py = p – px= 660-519,07= 140,93 kg/m2
Si verifica una striscia di un metro lineare nella direzione x e in quella y per cui la
sezione per quanto detto in premessa è quella sotto riportata
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35
As = 4 16
b = 1000 mm
A's =4 16
h =
20
0 m
m
d =
18
0 m
m
Il carico agente in un metro lineare nelle due direzioni ortogonali sarà pari a:
Qx = px*1,00 = 519,07 kg/ml
Qy = py*1,00 = 140,93 kg/ml
Avendo considerato la piastra appoggiata su tutt’e quattro i lati si ha:
Mxmax = Qx∗lx
2
8=
519,07∗3,142
8 = 639,728 kg*ml = 63972,8 kg*cm
Mymax = Qy∗ly
2
8=
140,93∗4,352
8 = 333,343 kg*ml = 33334,34 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
xc = 4,94 cm
Ici = 25630,85 cm4
c1 =63972,8
5187,655= 12,33 kg/cm2
Poiché risulta:
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36
c1 = 12,33 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c1 dovuta al momento Mxmax è
verificata
c2= 33334,34
5187,655= 6,42 kg/cm2
Poiché risulta:
c2 = 6,42 kg/cm2 < 0,45 fck = 0,45*250 = 112,5 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzoc2 dovuta al momento Mymax è
verificata
Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:
f1 = n*Mxmax
Ici(h − xc) = 15*
63972,8
25630,85(18 − 4,94)=488,95 kg/cm2
Poiché risulta:
f1 = 488,95 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f1 dovuta al momento Mxmax è verificata
f2 = n*Mymax
Ici(h − xc) = 15*
33334,34
25630,85(18 − 4,94)=254,78 kg/cm2
Poiché risulta:
f2 = 254,78 kg/cm2 < 0,80 fyk = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f2 dovuta al momento Mymax è verificata
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37
Verifica di una parete S1 para terra allo stato limite ultimo (S.L.U.)
Supponiamo di voler verificare la pareste S1 para terra alta H = 3,00 ml e spessa s =
25 cm (Rck = 300, armata con 516 superiormente ed inferiormente ogni metro
lineare). Le caratteristiche geotecniche del terreno sono le seguenti:
t = 18,4 KN/m3
= 27°
c = 0,00
La spinta agente su una striscia di un metro lineare è pari a:
S = γt∗H2
2∗ Ka =
γt∗H2
2∗ tg2 (
π
4−
φ
2) =
18,4∗32
2tg2 (
3,14
4−
37
2) = 4,2 KN
Per quanto detto nel paragrafo relativo alle combinazioni di carico si ha un valore
della spinta (carico permanente) pari a S = 1,3*4,2 = 5,46 KN. Tale spinta agisce ad H
3
di S1
Il momento massimo allora sarà pari a:
Mmax = S * 1,00 = 5,46 KN = 54600 kg*cm
Una volta noto il momento massimo Mmax agente al piede della parete S1 si effettua
una verifica calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base al
digramma sotto riportato.
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38
A's = 5 16
As = 5 16h =
25
0 m
m
d =
23
0 m
m
b = 1000 mm
Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in
compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò
non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo
compresso per l’equilibrio.
Pertanto vale la seguente equazione:
Allora vale la seguente equazione:
(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS
′ ∗ d′) = 0
dove:
fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2
fyd = 450
1,15 = 391 N/mm2
Es = 210000 N/mm2
AS′ = As = 1005 mm2
cu = 3,5%0
Pertanto l’equazione si scrive:
(0,8*14*1000)*x2+(210000*3,5%0*1005-391*1005)*x-(210000*3,5%0*1005*20) = 0
11200x2+(738675-392955)x-14773500 = 0
11200x2+345720 x-14773500 = 0
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−345720 ± √3457202 + 4 ∗ 11200 ∗ 14773500
2 ∗ 11200=
= −345720±√119522318400+661852800000
22400=
−345720±√781375118400
22400=
−345720±883954,25
22400
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39
Si scarta la radice negativa e ciò implica:
x = 24,02 mm
Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:
FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*1000*24,02 = 269024 N
F’s = Es*(εcu ∗x−d′
x) ∗ As
′ = 210000*(3,5%0 ∗24,02−20
24,02) ∗ 1005 = 123624,86 N
Fs = fyd*As = 391*1005 = 392955 N
C = FC+ F’s = 269024+123624,86 = 392648,86 N
d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x
C=
123624,86∗20+269024∗0,4∗24,02
392648,86=
2472497,2+2584782,59
392648,86 = 12,88 mm
Il momento resistente assume il seguente valore:
MR = C*(d-d’’) = 392648,86*(230-12,88) = 85251920,48 N*mm = 852519,20 kg*cm
Poichérisulta:
MR = 852519,20 kg*cm > Mmax= 54600 kg*cm
la sezione risulta verificata
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40
Verifica della parete precedente agli stati limite di esercizio (S.L.E.)
Osserviamo che la spinta è un carico permanente e non essendo previsti carichi
accidentali le combinazioni di carico agli stati limite di esercizio (S.L.E) relativamente
alla combinazione caratteristica rara e quasi permanente coincidono Fd2 = Fd3 = 4,2
KN. Tale spinta agisce ad H
3 di S1
Il momento massimo allora sarà pari a:
Mmax = S * 1,00 = 4,2 KN = 42000 kg*cm
Si ricava la posizione dell’asse neutro e per quanto detto nella trattazione teorica si
ha:
xc = 15∗2∗10,05
100*[−1 + √1 +
2∗100∗(10,05∗23+10,05∗2)
15∗(2∗10,05)2 ]=
=3,015*[−1 + √1 +200∗(231,15+20,1)
6060,15]=3,015∗ (−1 + √9,29)=3,015*(−1 + 3,048)
= 6,175 cm
xc = 6,175 cm
Ici = 100∗(6,175)3
3+15*10,05*(6,175-2)2+15*10,05*(23-6,175)2
Ici = 7848,55+2627,667+42674,40 = 53150,617 cm4
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41
c = 42000
100∗6,175
2∗(23−
6,175
3)+
15∗10,05
6,175∗(6,175−2)∗(23−2)
=42000
6465,74+2140,405=
42000
8606,145= 4,88 kg/cm2
Poiché risulta:
c = 4,88 kg/cm2 < 0,60 fck = 0,60*250 = 150 kg/cm2< 0,45 fck= 112,5 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nel calcestruzzo c dovuta al momento Mmax è
verificata
Si ricavano le tensioni di lavoro nell’acciaio:
f = n*Mmax
Ici(h − xc) = 15*
42000
53150,67(23 − 6,175)=199,43 kg/cm2
Poiché risulta:
f = 199,43 kg/cm2 < 0,80 fyk = 0,80*4500 = 3600 kg/cm2
La tensione limite di esercizio nell’acciaio f dovuta al momento Mmax è verificata
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42
Verifica di una trave di fondazione allo stato limite ultimo (S.L.U.)
Supponiamo di volere verificare allo stato limite ultimo (S.L.U.) una trave di
fondazione delle dimensioni di 50x90 cm (Rck = 300, armata con 716 superiormente
ed inferiormente) il cui diagramma dei momenti massimi è sotto riportato.
Si ha:
Mmax1 = 177,2 KNxml = 1772000 kgxcm
Mmax2 = -67,67 KNxml = -676700 kgxcm
Una volta noti il momento massimo Mmax1 agente all’estremità della trave di
fondazione e il momento massimo Mmax2 agente in mezzeria, si effettua una verifica
calcolando il momento resistente offerto dalla sezione in base al diagramma sotto
riportato
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43
d =
88
0 m
m
H =
90
0 m
m
b = 500 mm
A's =7 16
A's =7 16
Innanzitutto osserviamo che essendo l’armatura simmetrica, l’armatura in
compressione risulta in fase elastica (non snervata) per il semplice motivo che se ciò
non fosse si arriverebbe all’assurdo che non ci sarebbe bisogno di calcestruzzo
compresso per l’equilibrio.
Pertanto vale la seguente equazione:
Allora vale la seguente equazione:
(0,8 ∗ fcd ∗ b) ∗ x2 + (ES ∗ cu ∗ AS′ − fyd ∗ AS) ∗ x − (ES ∗ cu ∗ AS
′ ∗ d′) = 0
dove:
fcd = 0,47*Rck = 0,47*30 = 14 N/mm2
fyd = 450
1,15 = 391 N/mm2
Es = 210000 N/mm2
AS′ = As = 1407 mm2
cu = 3,5%0
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Pertanto l’equazione si scrive:
(0,8*14*500)*x2+(210000*3,5%0*1047-391*1047)*x-(210000*3,5%0*1047*20) = 0
5600x2+(103415-550137)x-20682900 = 0
5600x2+484008 x-20682900 = 0
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
−484008 ± √4840082 + 4 ∗ 5600 ∗ 20682900
2 ∗ 5600=
= −484008±√234263744064+463296960000
11200=
−484008±√697560704064
11200=
−484008±835200,996
11200
Si scarta la radice negativa e ciò implica:
x = 31,36 mm
Nota la posizione dell’asse neutro si ricava:
FC = 0,8*fcd*b*x = 0,8*14*500*31,36 = 175616 N
F’s = Es*(εcu ∗x−d′
x) ∗ As
′ = 210000*(3,5%0 ∗31,36−20
31,36) ∗ 1407 = 374613,71 N
Fs = fyd*As = 391*1407 = 550137 N
C = FC+ F’s = 175616+374613,71= 550229,71
d’’ = F’s∗d′+Fc∗0,4∗x
C=
374613,71∗20+175616∗0,4∗31,36
550229,71=
7492274,2+2202927,104
550229,71 = 17,62 mm
Il momento resistente assume il seguente valore:
MR =C*(d-d’’) = 550229,71*(880-17,62) = 474507097,31 N*mm = 4745070,97 kg*cm
Poiché risulta:
MR = 4745070,97 kg*cm >Mmax1= 1772000 kg*cm> Mmax2= 676700 kgxcm
la sezione risulta verificata
Ingegneria Solazzo S.r.l. – Viale Kennedy 4 - 90014 Casteldaccia (PA) – Tel/Fax: 091.941857 – e-mail: [email protected]
45
Bibliografia
D.M. 14/01/2008 – “Norme Tecniche per le costruzioni”;
“Prontuario per il calcolo di elementi strutturali” – Biagio Furiozzi, Claudio
Messina e Leonardo Paolini – LE MONNIER Editore;
“Teoria e pratica delle strutture in cemento armato” – Vincenzo Nunziata –
Dario Flaccovio Editore;
“Costruzioni 2” – S. Di Pasquale, C. Messina, L. Paolini e B. Furiozzi - LE
MONNIER Editore;
“Teoria e tecnica delle costruzioni” (volume primo) - Elio Giangreco – Liguori
Editore
Casteldaccia (PA), lì 10.02.2017
Ing. Francesco Solazzo