UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PADOVA________________________________

Facoltà di IngegneriaCorso di laurea in Ingegneria MeccanicaDipartimento di Ingegneria Meccanica

Tesi di Laurea

VERIFICA STATICA E A FATICA SECONDO EUROCODICE 3 DI UN BRACCIO DI UN ESCAVATORE A TAZZE PER LA

MOVIMENTAZIONE DELL’ARGILLA

Relatore LaureandoIng. Mauro Ricotta Alberto Pellizzon

Anno Accademico 2008/2009

INTRODUZIONE

La tesi proposta è la Verifica statica e a fatica secondo Eurocodice 3 di una struttura

tralicciata, costituente la parte terminale di un braccio di un Escavatore a Tazze per la

movimentazione dell’argilla.

Il lavoro è il completamento e la prosecuzione di una tesi di uno studente della Facoltà di

Ingegneria Meccanica dell’Università di Padova, laureatosi nell’Anno Accademico 2007-

2008.

La tesi dello studente in questione prevedeva la riprogettazione di una struttura esistente al

fine di alleggerirla e di disporre gli elementi formanti il traliccio in maniera tale da tutelarli

maggiormente da eventuali condizioni accidentali.

Era stata effettuata una verifica statica della struttura secondo la Norma Tecnica C.N.R.

10021, una verifica di un cordone di saldatura secondo la Norma Tecnica C.N.R. 10011, una

verifica del fenomeno dell’instabilità a compressione, un calcolo delle Frequenze Naturali di

vibrazione della struttura.

Il lavoro ora proposto prevede la verifica statica e a fatica secondo il Metodo

semiprobabilistico agli stati limite, fondamento dell’Eurocodice, delle sezioni più sollecitate

della struttura, partendo dai dati forniti dalla tesi dello studente.

L’Eurocodice 3 si è rivelato in alcuni punti di non agevole comprensione, soprattutto per la

presenza di argomenti non trattati durante i corsi. In altre parti si è rivelato poco adatto alla

struttura in esame, poiché rivolto a strutture prevalentemente civili.

EUROCODICI

Obiettivi degli Eurocodici

Gli Eurocodici strutturali comprendono un gruppo di norme relative alla progettazione

strutturale e geotecnica delle opere di ingegneria civile.

Essi sono redatti per essere utilizzati come documenti di riferimento per i seguenti scopi:

- come strumento per verificare la conformità delle caratteristiche degli edifici e delle opere

di ingegneria civile ai requisiti essenziali della Direttiva 89/106 Prodotti da costruzione

(CPD);

- come disposizioni quadro per redigere norme tecniche per i prodotti da costruzione.

Programma degli Eurocodici

Sono in fase di redazione i seguenti Eurocodici strutturali, ognuno dei quali generalmente

formato da varie parti.

EN 1991 = Eurocodice 1 Basi della progettazione ed azioni delle strutture

EN 1992 = Eurocodice 2 Progettazione delle strutture in calcestruzzo

EN 1993 = Eurocodice 3 Progettazione delle strutture di acciaio

EN 1994 = Eurocodice 4 Progettazione delle strutture composte acciaio/calcestruzzo

EN 1995 = Eurocodice 5 Progettazione delle strutture di legno

EN 1996 = Eurocodice 6 Progettazione delle strutture di muratura

EN 1997 = Eurocodice 7 Progettazione geotecnica

EN 1998 = Eurocodice 8 Regole progettuali per le strutture antisismiche

EN 1999 = Eurocodice 9 Progettazione delle strutture di alluminio

EUROCODICE 3

Scopo dell’Eurocodice 3

L’Eurocodice 3 si applica al progetto di edifici e di costruzioni civili in acciaio. Si riferisce

solamente ai requisiti di resistenza, servizio e durata delle strutture. Altri requisiti, quali ad

esempio quelli dell’isolamento termico o acustico, non sono considerati. Esso è suddiviso in

varie parti:

UNI EN 1993-1 Regole generali

UNI EN 1993-2 Ponti di acciaio e strutture realizzate con piatti saldati

UNI EN 1993-3 Torri, pali e ciminiere

UNI EN 1993-4 Serbatoi, silos e condotte

UNI EN 1993-5 Pali e palancole

UNI EN 1993-6 Strutture per apparecchi di sollevamento

Ogni parte è a sua volta divisa in altre sottoparti, in particolare la Parte 1 è così composta:

UNI EN 1993-1-1 Regole generali e regole per gli edifici

UNI EN 1993-1-2 Progettazione strutturale contro l’incendio

UNI EN 1993-1-3 Regole supplementari per l’impiego dei profilati e delle lamiere

sottili piegati a freddo

UNI EN 1993-1-4 Regole supplementari per acciai inossidabili

UNI EN 1993-1-5 Elementi strutturali a lastra

UNI EN 1993-1-6 Resistenza e stabilità delle strutture a guscio

UNI EN 1993-1-7 Strutture a lastra ortotropa caricate al di fuori del piano

UNI EN 1993-1-8 Progettazione dei collegamenti

UNI EN 1993-1-9 Fatica

UNI EN 1993-1-10 Resilienza del materiale e proprietà attraverso lo spessore

UNI EN 1993-1-11 Progettazione di strutture con elementi tesi

UNI EN 1993-1-12 Regole aggiuntive per l’estensione della EN 1993 fino agli acciai di

grado S 700

Per la realizzazione di questo elaborato si sono utilizzate la parte 1 dell’Eurocodice 3 e in

particolare la parte riguardante le regole generali, la progettazione dei collegamenti e la fatica,

e la parte 6, riguardante le strutture per apparecchi di sollevamento.

Si sono utilizzate inoltre la norma UNI EN 1990 che fornisce i criteri generali di

progettazione strutturale, alla quale l’Eurocodice 3 richiama spesso, e l’Eurocodice 1 che

tratta delle azioni sulle strutture.

DESCRIZIONE DELLA STRUTTURA

Escavatori a tazze

Gli escavatori a tazze occupano un ruolo fondamentale nel ciclo di lavorazione dell’argilla.

Essi sono infatti presenti in tutte le fornaci, incaricati dello svuotamento del silos di

stoccaggio e della reimmissione dell’argilla nel ciclo, pronta a subire le lavorazioni finali.

L’escavatore scarica su di un nastro trasportatore con una portata a singhiozzo che dovrà poi

essere uniformata.

E’ formato da un braccio sul quale scorre una catena che si sviluppa per tutta la lunghezza del

braccio stesso. Alla catena sono ancorate delle tazze, gli utensili che realmente si occupano

del carico terra.

E’ sostenuto da una struttura a ponte, costituita da delle travi a cassone e un carrello montato

su rotaie in grado di fornire alla struttura il sostegno e il bilanciamento necessari a prevenirne

il ribaltamento. La macchina è in grado di compiere uno scorrimento laterale in direzione

della lunghezza (dimensione maggiore) del silos e uno scorrimento orizzontale in direzione

della larghezza (dimensione minore) del silos. Grazie ai cilindri, ha la possibilità di essere

posto in qualsiasi inclinazione compresa tra i 90° e i -90° circa.

Struttura del braccio

Il braccio è formato da 3 parti aventi caratteristiche geometriche e strutturali profondamente

diverse tra loro.

Si può distinguere una parte cassonata, che è la prima del braccio, quella più vicina alla

struttura a ponte. Consiste in due travi a cassone composte di lamiere saldate a costituire una

sezione rettangolare.

Vi è poi una parte ibrida. Tale stadio della struttura viene definito in questo modo per la sua

natura mista, né completamente cassonata, né completamente tralicciata. La parte presenta

tutto l’interno composto di una struttura a traliccio costituita da tubolari di varia misura

fungenti da strutture controvenanti. Sulla faccia esterna si rileva la presenza di una lamiera

che è la continuazione della parte a cassone antistante.

Lo stadio terminale della struttura è una parte tralicciata, formata da correnti superiori e

inferiori (angolari 120*80*10), diagonali (angolari 60*40*6) e controventi (tubolari 30*3).

Si effettuerà la verifica proprio di quest’ultima parte.

VERIFICA STATICA

Requisiti di base

Secondo l’Eurocodice 3 la progettazione delle strutture di acciaio deve essere conforme alle

regole generali fornite nella EN 1990.

Tali requisiti prevedono che una struttura debba essere progettata ed eseguita in modo che, nel

corso della sua vita prevista, con appropriati gradi di affidabilità e in modo economico:

- regga tutte le azioni e le influenze che potrebbero manifestarsi durante l’uso e

l’esecuzione

- rimanga idonea all’uso che le è richiesto.

Una struttura dovrebbe inoltre essere progettata per avere adeguate:

- resistenza strutturale

- funzionalità

- durata

Una struttura deve essere progettata escludendo danni dovuti a:

- esplosioni

- impatti

- conseguenze di errori umani

Un potenziale danno dovrebbe essere eliminato o limitato grazie ad un’appropriata scelta di

uno o più dei seguenti accorgimenti:

- evitando, eliminando o riducendo i rischi a cui la struttura può essere soggetta

- scegliendo una forma strutturale che ha bassa sensibilità ai rischi considerati

- scegliendo una forma strutturale e di progetto che può adeguatamente sopravvivere alla

rimozione accidentale di una parte individuale o limitata della struttura o al succedere di

un danno accettabile localizzato

- evitando il più possibile sistemi strutturali che possono collassare all’improvviso

- unendo le parti strutturali.

I requisiti di base dovrebbero essere soddisfatti:

- dalla scelta di materiali adatti

- da un progetto appropriato e dettagliato

- da uno specifico controllo delle procedure di progetto, produzione, esecuzione e uso.

Principi della progettazione agli stati limite

La progettazione secondo Eurocodice 3 si basa sul concetto di stati limite. Con stato limite si

intende lo stato oltre il quale la struttura non soddisfa più i requisiti delle prestazioni di

progetto. Gli stati limite si dividono in ultimi e di servizio.

Gli stati limite ultimi sono associati al collasso della struttura o ad altre forme di cedimenti

che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone. Si considerano stati limite ultimi,

per sicurezza, anche gli stati che precedono il collasso della struttura considerati in luogo del

collasso vero e proprio. Gli stati limite ultimi che possono essere presi in considerazione

includono:

- la perdita di equilibrio della struttura o di una parte di essa, considerate come corpi rigidi

- il collasso per eccessiva deformazione, rottura o perdita di stabilità della struttura o di una

parte di essa, inclusi i supporti e le fondazioni

- collasso causato da fatica o altri effetti dipendenti dal tempo.

Gli stati limite di servizio corrispondono agli stati oltre i quali i criteri di servizio specificati

non sono più soddisfatti. Gli stati limite di servizio che possono essere presi in considerazione

includono:

- le deformazioni o gli spostamenti che compromettono l’aspetto esteriore o l’uso efficiente

della struttura, includendo il malfunzionamento dei macchinari e dei servizi, o che

diventano causa di danni alle finiture o ad elementi non strutturali

- le vibrazioni che creano problemi alle persone, danni alla struttura o alle sue parti, o che

ne limitano il servizio

STATI LIMITE ULTIMI – EN 1990

L’Eurocodice 3 richiama alla norma EN 1990. Per quest’ultima, affinché la struttura sia

verificata agli stati limite, è necessario che:

Ed ≤ Rd

dove:

Ed è il valore di progetto degli effetti delle azioni intese come una forza interna, un momento

o un vettore rappresentante più forze interne o momenti;

Rd è il valore di progetto della resistenza corrispondente.

Con effetto delle azioni si intende presumibilmente le tensioni da queste provocate, cioè

sollecitazioni σ e τ, anche se non espressamente precisato dalla normativa.

Per ogni caso critico di carico, i valori di progetto degli effetti delle forze (Ed) dovrebbero

essere determinati dalla combinazione dei valori delle forze che si considerano agire

simultaneamente.

Si distinguono due categorie di azioni:

Combinazione di azioni per situazioni di progetto regolari o occasionali :

La forma generale degli effetti delle forze deve essere:

Ed = γSdE {γg,jGk,j ; γpP ; γq,1Qk,1 ; γq,iΨ0,iQk,i} j ≥ 1 ; i > 1

dove:

γSd = coefficiente parziale associato all’incertezza dell’azione e/o al modello

E = effetto dell’azione

γg = coefficiente parziale per azioni permanenti che tiene conto della possibilità di deviazioni

sfavorevoli del valore delle azioni dai valori rappresentativi

Gk = valore caratteristico di un’azione permanente

γp = coefficiente parziale per le azioni di prestress

P = valore caratteristico di un’azione di prestress

γq = coefficiente parziale per le azioni variabili che tiene conto della possibilità di deviazioni

sfavorevoli del valore delle azioni dai valori rappresentativi

Ψ0,i = coefficiente per la combinazione del valore di un’azione variabile

Qk,i = valore caratteristico di una singola azione variabile

oppure:

Ed = E {γG,jGk,j ; γPP ; γQ,1Qk,1 ; γQ,iΨ0,iQk,i} j ≥ 1 ; i > 1

con la differenza che i coefficienti in maiuscolo tengono già conto delle incertezze del

modello e delle variazioni dimensionali

Il termine tra parentesi { } si può esprimere con:

”+” “+” “+”

dove “+” significa “combinato con” e ∑ significa “l’effetto combinato di”.

Combinazione di azioni per situazioni eccezionali :

La forma generale degli effetti delle forze deve essere:

Ed = E {Gk,j ; P ; Ad ; (Ψ1,1 o Ψ2,1)Qk,1 ; Ψ2,iQk,i} j ≥ 1 ; i > 1

dove:

Ad = valore di progetto di un’azione eccezionale

Ψ1 = coefficiente per il valore regolare di un’azione variabile

Ψ2 = coefficiente per il valore quasi-permanente di un’azione variabile

La combinazione di azioni tra parentesi { } si può esprimere come:

”+” “+” Ad “+” “+”

I valori dei coefficienti γ e Ψ si trovano nell’Appendice A della EN 1990 oppure nella EN

1991, cioè l’Eurocodice 1. Le due norme riportano però i valori di tali coefficienti soltanto per

gli edifici, dividendo quest’ultimi in categorie (aree domestiche e residenziali, uffici,

magazzini/depositi, ecc.). Non sono presenti pertanto i valori dei coefficienti adatti alla

struttura in esame.

Per i valori delle forze da applicare alla struttura si deve nuovamente consultare la normativa

EN 1991. Il valore di progetto di queste forze è:

Fd = γf Frep

con Frep = Ψ Fk

dove:

Fk = valore caratteristico dell’azione

Frep = valore rappresentativo rilevante dell’azione

γf = coefficiente parziale per l’azione che tiene conto della possibilità di deviazioni

sfavorevoli dei valori dell’azione dai valori rappresentativi

Ψ = 1 oppure Ψ0, Ψ1, Ψ2

Così come per i coefficienti, i valori delle forze da applicare presenti nella normativa sono

rivolti soltanto ad edifici civili, pertanto non applicabili alla struttura considerata.

Si è pertanto deciso di considerare le forze studiate da Volpato nella sua tesi e di non

applicare alcun coefficiente poiché tali forze sono già state sovrastimate attraverso un modello

peggiorativo della struttura e dei carichi applicati.

Nella tesi di Volpato per la verifica statica si era utilizzata la Norma Tecnica C.N.R. 10021/85

del 18/05/1988 che regolamentava le Strutture di acciaio per apparecchi di sollevamento.

Tale norma prevedeva di considerare nel calcolo 3 tipi di forze:

- forze regolari, che agiscono regolarmente durante il normale esercizio dell’apparecchio;

- forze occasionali, che si manifestano saltuariamente sull’apparecchio in servizio;

- forze eccezionali, che si possono manifestare sull’apparecchio sia in esercizio, sia fuori

servizio

Si vede pertanto che i tipi di forze prese in esame nell’Eurocodice 3 sono praticamente

medesime a quelle della vecchia normativa.

Come forze regolari si era considerato il carico di servizio, il peso proprio della struttura, le

forze d’inerzia verticali, le forze dovute al movimento verticale del carico di servizio, le forze

di inerzia dovute al movimento di traslazione.

Come forze occasionali si erano considerate le forze di serpeggiamento, mentre non si era

tenuto conto di forze eccezionali, lavorando la struttura in assenza di vento e di altri fenomeni

atmosferici sfavorevoli, in assenza di urti e muovendosi il braccio al si sotto di 0,7 m/s.

Non si è tenuto conto nemmeno degli aspetti sismici, non avendo i dati tecnici necessari.

Gli effetti delle forze sono ovviamente funzione delle forze e della geometria della sezione

presa in esame. In particolare:

Ed = γSd E {γf,i Frep,i ; ad} i ≥ 1

Dove con ad si considera il valore di progetto del dato geometrico.

Dalla tesi di Volpato il valore di Ed nel punto più sfavorevole della struttura, cioè nel nodo 40,

è pari a 122,83 MPa, calcolato con il programma Strauss agli Elementi Finiti.

La resistenza di progetto è invece definita come:

Rd =

dove:

Rk = valore caratteristico della resistenza

γM = coefficiente parziale per una proprietà del materiale, che tiene conto anche delle

incertezze del modello e delle variazioni dimensionali

Come resistenza del materiale si considera la tensione di snervamento, pari a 275 MPa,

essendo la struttura costruita in acciaio Fe430 (categoria S275).

Si assume un coefficiente γM pari a 1,1. In questo modo Rd risulta pari a 250 MPa.

La struttura risulta pertanto verificata secondo la normativa EN 1990, essendo:

122,83 MPa < 250 MPa

STATI LIMITE ULTIMI – EN 1993-1-1

L’Eurocodice 3 impone che in ogni sezione trasversale il valore di progetto dell’effetto di

un’azione non ecceda la corrispondente resistenza di progetto e, se diversi effetti di azioni

agiscono simultaneamente, l’effetto combinato non debba eccedere la resistenza per tale

combinazione.

I valori di progetto della resistenza dipendano dalla classificazione della sezione trasversale.

Per la verifica elastica può essere utilizzato il seguente criterio di snervamento per un punto

critico della sezione trasversale:

dove:

σx,Ed = valore di progetto della tensione longitudinale locale nel punto considerato

σz,Ed = valore di progetto della tensione trasversale locale nel punto considerato

τEd = valore di progetto della tensione tangenziale locale nel punto considerato

γM0 è un coefficiente parziale per la resistenza della sezione trasversale per qualunque classe

di appartenenza. I valori di γM0 sono definiti nell’appendice nazionale. Il valore numerico

consigliato per questo coefficiente è 1.

Considerando le parti della struttura come travi di de Saint-Venant, si ha, per la disposizione

degli assi della sezione:

σz,Ed = 0

La formulazione diventa quindi:

Che dopo semplici passaggi matematici, considerando γM0 = 1, diventa:

che è la tensione equivalente di Von Mises per stati di tensione piani.

Come nel caso precedente la tensione equivalente nel nodo 40, punto più sollecitato della

struttura, è pari a 122, 83 MPa, dopo analisi agli elementi finiti.

fy è la tensione di snervamento del materiale e vale quindi 275 MPa

La struttura risulta quindi verificata, essendo

122,83 MPa < 275 MPa

Si vede che si è giunti ad un risultato molto simile al precedente. Nell’applicazione della EN

1990 si era moltiplicata la tensione di snervamento per il coefficiente γM, assunto pari a 1,1.

Ma la scelta di tale coefficiente è da attribuirsi al progettista. Quindi per un modello già

peggiorativo, qualora si ponesse il coefficiente pari a 1, si avrebbe un risultato identico.

La normativa EN 1993 impone poi di considerare separatamente i tipi di azione che gravano

sulla struttura e di analizzarli separatamente o in modo combinato. La norma raccomanda

inoltre che i valori di progetto di una sollecitazione in corrispondenza di ciascuna sezione

trasversale non superino le resistenze di progetto. Di seguito si riportano i calcoli effettuati

solo sulle sezioni più sollecitate ai diversi tipi di azioni che agiscono sulla struttura, ritenendo

verificato tutto il braccio qualora le sezioni più critiche superino tale prova di verifica statica.

Trazione

Il valore di progetto della forza assiale NEd in corrispondenza di ciascuna sezione trasversale

deve soddisfare la relazione:

dove:

NEd = forza assiale di progetto

Nt,Rd = valore di progetto della resistenza a trazione

La resistenza a trazione Nt,Rd è pari alla resistenza plastica della sezione traversale Npl,Rd:

dove A è l’area della sezione, fy è la tensione di snervamento e γM0 è il coefficiente descritto in

precedenza.

Dalla tesi di Volpato si ricava che il punto in cui si ha massimo sforzo normale di trazione si

trova nel nodo 40 della struttura. In questo punto la trazione è pari a 152657,3 N.

La sezione è un angolare a elle 120*80*10, pertanto la sua area A è pari a 1900 mm2.

La tensione di snervamento fy vale ovviamente 275 MPa. Imponendo γM0 pari a 1,0 si trova:

Npl,Rd = 522500 N

Pertanto la struttura è verificata a trazione, risultando per la sezione più sollecitata:

Si vede che in questo caso, diversamente dai precedenti, la verifica effettuata tenendo conto

delle forze e non degli effetti di queste.

Compressione

Il valore di progetto della forza di compressione Ned in corrispondenza di ciascuna sezione

trasversale deve soddisfare la relazione

dove Nc,Rd è la resistenza di progetto della sezione trasversale per compressione ed è

determinata come segue:

La resistenza a compressione ha la stessa formulazione della resistenza a trazione. Dai dati

della tesi di Volpato non è però possibile ricavare il punto più sollecitato a compressione e il

valore di tale forza. Questo poiché lo studente non aveva considerato trazione e compressione

separatamente, ma aveva analizzato lo stato di massimo sforzo assiale, prescindendo dal fatto

che fosse positivo o negativo. Essendo questo di trazione ed avendo la resistenza a trazione e

a compressione la stessa formulazione, si può considerare la struttura verificata anche a

compressione.

Momento flettente

Il valore di progetto del momento flettente MEd in corrispondenza di ciascuna sezione

trasversale deve soddisfare la relazione:

Nella normativa si raccomanda che la resistenza di progetto Mc,Rd della sezione trasversale per

flessione sia determinata come segue:

per sezioni trasversali di classe 3

dove Wel,min è il modulo di resistenza minimo nella fibra con la massima tensione elastica.

Questo si ricava moltiplicando il momento d’inerzia della sezione per la distanza massima

rispetto all’asse di flessione baricentrico.

Poiché la sezione più sollecitata a massimo momento flettente si trova nel nodo 40, ha quindi

forma a elle ed è, secondo normativa, di classe 3.

Il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse x vale 999509,33 mm4 e la distanza

massima è di 60,20 mm. Il modulo di resistenza vale pertanto:

mm3

Essendo fy 275 MPa come ormai noto e assumendo come nei casi precedenti γM0 pari a 1,0:

Nmm

Dai dati della tesi di Volpato si ricava che la sollecitazione di flessione nel nodo 40 vale

399203,3 Nmm

La sezione e la struttura risultano pertanto verificate a momento flettente in quanto si trova:

Taglio

Il valore di progetto della sollecitazione a taglio VEd in corrispondenza di ciascuna sezione

trasversale deve soddisfare la relazione:

dove Vc,Rd è il valore di progetto della resistenza a taglio. Per la verifica a taglio la norma

impone di considerare separatamente la resistenza plastica ed elastica della sezione.

Il valore della resistenza plastica a taglio è fornito da:

dove Av è l’area resistente a taglio.

La sezione più sollecitata a taglio si trova nel nodo 33 della struttura ed è nuovamente un

angolare ad elle 120*80*10. In tale punto la sollecitazione vale 1538,2 N.

La norma riporta però i calcoli da effettuare per la determinazione dell’area resistente soltanto

per alcuni tipi di sezione, tra le quali la sezione a I, H, C, T. Si è pertanto pensato di

considerare la sezione a L come una sezione a T dimezzata. Applicando la formula e

modificandola per ovviare al problema si trova che l’area resistente a taglio è pari a 630 mm2.

La resistenza plastica a taglio è quindi:

= 100026 N

La struttura supera quindi la verifica plastica a taglio risultando nella sezione più sollecitata:

Per verificare il valore di progetto della resistenza elastica a taglio Vc,Rd la norma consiglia il

seguente criterio per un punto critico della sezione trasversale:

τEd può essere ottenuto da:

dove:

Ved = valore di progetto della sollecitazione di taglio

S = momento statico attorno all’asse baricentrico della porzione della sezione trasversale

compresa tra il punto in cui si valuta la tensione tangenziale e il contorno della sezione

trasversale

I = momento d’inerzia dell’intera sezione trasversale

t = spessore nel punto considerato

Si vede che questa è la formula di Jourawski, che dà un valore approssimato della tensione

tangenziale.

Poiché la sezione è a L si è pensato di considerare, come per la verifica plastica, solo l’area

resistente a taglio, cioè un rettangolo. Il punto con massimo sforzo di taglio per una sezione

rettangolare è:

τt =

Come area A si considera la stessa della verifica a plastica e vale quindi 630 mm2. Lo sforzo

di taglio vale come prima 1538,2 N. Si trova pertanto:

τt = = 3,66 MPa

Poiché il taglio non è applicato al baricentro si devono calcolare gli effetti della torsione che

si viene a creare. Il centro di taglio per una sezione ad elle si trova nel punto d’incontro delle

linee medie dei due rettangoli che la formano.

La distanza d dal baricentro di questo punto è di 34,8 mm. Il momento torcente generato è:

Mt = T * d = 1538,2 * 34,8 = 53529,36 Nmm

Il momento d’inerzia torsionale Jt è pari a:

Jt = mm4

Le tensione tangenziali generate dalla torsione che poi andranno sommate a quelle generate

dalla sollecitazione di taglio sono:

τtors = MPa

Quindi:

τEd = τt + τtors = 3,66 + 8,45 = 12,11 MPa

La sezione risulta pertanto verificata a taglio essendo:

Torsione

Per membrature soggette a torsione per le quali possono essere trascurate le deformazioni

torsionali, si raccomanda che il valore di progetto del momento torcente TEd in corrispondenza

di ciascuna sezione trasversale soddisfi la relazione:

dove TRd è la resistenza di progetto torsionale della sezione trasversale.

Dai dati della tesi di Volpato si ricava che il massimo momento torcente si ha nel nodo 21,

quindi con sezione ad elle.

Il momento torsionale totale TEd in ogni sezione trasversale deve essere considerato come

somma di due effetti interni:

TEd = Tt,Ed + Tw,Ed

Tt,Ed = valore di progetto della sollecitazione torcente primaria

Tw,Ed = valore di progetto della sollecitazione torcente secondaria

I valori di Tt,Ed e Tw,Ed in ogni sezione trasversale possono essere determinati da TEd mediante

analisi elastica considerando le proprietà della sezione della membratura, le condizioni di

vincolo agli appoggi e la distribuzione delle azioni lungo la membratura.

Nella norma si raccomanda di considerare le seguenti tensioni dovute alla torsione:

- le tensioni tangenziali τt,Ed dovute alla torsione primaria Tt,Ed;

- le tensioni normali σw,Ed dovute al bimomento BEd e le tensioni tangenziali τw,Ed dovute alla

torsione secondaria Tw,Ed.

Si analizzano ora le tensioni τt,Ed, σw,Ed e τw,Ed.

Se in presenza di torsione con momento esterno costante le condizioni di vincolo non

permettono il libero ingobbamento delle sezioni, si manifesta nella trave uno stato di tensione

ulteriore (tensioni secondarie), autoequilibrato, che si somma a quello della soluzione alla de

Saint-Venant (tensioni primarie).

Generalizzando la soluzione di de Saint-Venant per questo caso si arriva alla soluzione che

vede la presenza di una distribuzione di tensioni normali σz.

Per ipotesi, dato il piccolo spessore della parete della trave, si può ragionevolmente assumere

che le tensioni σz siano uniformi sullo spessore, ma, variando lungo z, la condizione di

equilibrio alla traslazione in direzione dell’asse della trave richiede tensioni tangenziali non

previste dalla soluzione di de Saint-Venant, che a queste si sommano, e che sono dette

appunto tensioni secondarie. Anch’esse si possono assumere distribuite in modo uniforme

sullo spessore.

Per tali ragioni il momento torcente è formato da due contributi, il momento torcente primario

e secondario.

TEd = Tt,Ed + Tw,Ed = GJtθ’(z) – EIωθ’’’(z)

dove:

G = modulo di elasticità tangenziale

Jt = momento d’inerzia torsionale

θ = angolo di torsione

E = modulo di elasticità

Iω = rigidezza di ingobbamento

Nelle sezioni costituite da rettangoli allungati convergenti in un unico punto, questo risulta

essere il centro di taglio. Di conseguenza, se si limita l’indagine alla sola linea media,

l’ingobbamento risulta nullo, come pure la rigidezza ad ingobbamento.

Se si tiene conto anche della variazione dell’ingobbamento sullo spessore si trova che la

rigidezza non è nulla ma è comunque assai modesta.

= 63333,33 mm4

= 53965278 mm6

L’angolo di torsione θ(z) si ricava da:

Il parametro dimensionale αl rappresenta la misura di sensibilità agli effetti

dell’ingobbamento variabile, e vale:

= 0,022 l

avendo posto G = 84000 MPa ed E = 210000 MPa.

Sostituendo si ricava che il momento torcente primario e secondario sono rispettivamente:

Ponendo l = 1500 mm e sostituendo si trova che il termine diventa

e vale 9,318*10-15.

Si vede quindi che il momento torcente secondario è praticamente nullo e il momento torcente

totale coincide con il primario. Pertanto σw,Ed e τw,Ed sono pari a zero.

Per il calcolo della resistenza di progetto torsionale la norma non dà alcuna indicazione.

Consiglia però alcune formulazioni della resistenza plastica a torsione in presenza di taglio di

alcune particolari sezioni, tra le quali non è presente la sezione ad elle.

La norma tuttavia segnala che per la verifica elastica può essere applicato il criterio di

snervamento fornito in precedenza, cioè che il calcolo della tensione equivalente di torsione

non superi la tensione di snervamento.

Ovviamente la sezione è verificata a torsione poiché lo era considerando tutti i tipi di

sollecitazione, ma per completezza si riportano comunque i calcoli.

Il momento torcente nel nodo 21 vale 15584,2 Nmm. Per il calcolo della tensione si usa:

Jt è stato calcolato in precedenza e vale 63333,33 mm4 mentre ti è lo spessore massimo, cioè

10 mm.

Pertanto la tensione derivante dalla torsione vale:

= 2,36 MPa

Applicando il criterio di Von Mises si ha:

MPa che è nettamente inferiore della tensione di

snervamento.

Si vede che questo valore è inferiore della torsione generata dalla sollecitazione di taglio.

Questo perché la norma impone di verificare la sezione su cui grava la massima forza o il

massimo momento. Trattandosi comunque di valori molto piccoli di tensioni non si hanno

problemi in termini di sicurezza.

Flessione e taglio

Qualora la sollecitazione di taglio sia presente, nella norma si raccomanda di considerare il

suo effetto sulla resistenza a flessione. Tuttavia la norma suggerisce di trascurare l’effetto

della forza tagliante sulla resistenza a flessione quando la forza è minore della metà della

resistenza a taglio.

Poiché la resistenza a taglio precedentemente calcolata per l’angolare 120*80*10 vale

100026 N e il taglio massimo è di 1538,2 N, si può trascurare l’effetto di quest’ultimo sulla

resistenza a flessione.

Flessione, taglio e forza assiale

Qualora siano presenti sollecitazioni di taglio e sforzo normale, la norma raccomanda di

considerare l’effetto di quest’ultime sulla resistenza a flessione.

Come prima, a condizione che il valore di progetto della sollecitazione di taglio VEd non

ecceda il 50% del valore di progetto della resistenza plastica a taglio Vpl,Rd, non è necessaria

alcuna riduzione delle resistenze a flessione e a forza assiale.

Per le considerazioni fatte in precedenza, l’effetto di taglio e sforzo normale sulla resistenza a

flessione può essere trascurato.

La struttura risulta pertanto verificata a tutti i tipi di sollecitazione.

STATI LIMITE DI SERVIZIO – EN 1993-6

Per gli stati limite di servizio si è deciso di utilizzare il controllo degli spostamenti.

Nella norma si dice che le strutture in acciaio e i componenti devono essere dimensionati in

modo tale che gli spostamenti rimangano nei limiti concordati tra il cliente, il progettista e le

competenti autorità ed essere idonei all’uso ed all’occupazione previsti ed alla natura dei

materiali che devono essere sostenuti.

La norma poi suggerisce i valori di tali spostamenti, suggerendo una deformazione massima

per ogni tipo di struttura.

Per la struttura in esame si è deciso di seguire la parte 6 della EN 1993, che regolamenta la

progettazione delle strutture per apparecchi di sollevamento.

La norma è rivolta principalmente a strutture che scorrono su binari, quale è il braccio per la

movimentazione dell’argilla. Questa parte raccomanda che la deformazione verticale δz soddisfi

due condizioni:

δz ≤ L/600 e δz ≤ 25 mm

Dai dati della tesi di Volpato si ricava che la struttura ha lunghezza L di 9000 mm e la

deformazione massima δz è di 25 mm.

La struttura si può considerare verificata agli stati limite di servizio essendo:

δz ≤ L/600 = 9000/600 = 15mm e δz ≤ 25 mm

VERIFICA STATICA DEL CORDONE DI SALDATURA EN 1993-1-8

La parte 1-8 dell’Eurocodice 3 fornisce i metodi per la progettazione di collegamenti soggetti

a carichi statici costituiti di acciaio di classe S235, S275, S355 e S 460.

Tutti i collegamenti devono avere una resistenza di progetto tale che la struttura sia capace di

soddisfare tutti i requisiti di base forniti nella parte 1-8 e nella parte 1-1.

Ipotesi di progetto per la progettazione dei collegamenti sono:

- le forze e i momenti interni assunti nell’analisi sono in equilibrio con le forze ed i

momenti applicati ai collegamenti

- ciascun elemento del collegamento è capace di resistere ai momenti e forze interni

- la deformazione richiesta da tale distribuzione non eccede la capacità di deformazione dei

dispositivi di giunzione o delle saldature e delle parti connesse

- la distribuzione delle forze interne assunta deve essere realistica in relazione alle rigidezze

relative delle parti interne al collegamento

Dalla tesi di Volpato il cordone di saldatura maggiormente sollecitato è un cordone d’angolo.

Per la verifica la normativa suggerisce due metodi, il Metodo Direzionale e il Metodo

Semplificato. Di seguito si illustrerà e applicherà soltanto il primo.

Metodo Direzionale

In questo metodo, le forze trasmesse da una saldatura di lunghezza unitaria sono scomposte in

componenti trasversali e parallele all’asse longitudinale della saldatura e normali e trasversali

al piano della sua sezione di gola.

Si raccomanda che l’area della sezione di gola di progetto Aw sia assunta come ∑ a*leff.

Si raccomanda inoltre che la posizione dell’area della sezione di gola di progetto sia

concentrata in corrispondenza del vertice.

Sulla sezione di gola della saldatura si assume una distribuzione uniforme delle tensioni , con

riferimento alle tensioni normali e tangenziali mostrate nella figura seguente e definite come

segue:

- è la tensione normale perpendicolare alla sezione di gola;

- è la tensione normale parallela all’asse della saldatura

- è la tensione tangenziale (nel piano della sezione di gola) perpendicolare all’asse della

saldatura

- è la tensione tangenziale (nel piano della sezione di gola) parallela all’asse della

saldatura

La tensione normale σ= parallela all’asse viene trascurata nella verifica della resistenza di

progetto della saldatura.

La resistenza di progetto di una saldatura a cordone d’angolo risulta adeguata se sono

soddisfatte entrambe le seguenti relazioni:

dove:

fu = resistenza a trazione ultima nominale della più debole delle parti collegate

βw = appropriato fattore di correlazione

γM2 = coefficiente parziale

La sezione del cordone è rappresentata da un triangolo isoscele a lati uguali di lunghezza 6

mm e ipotenusa di 8,48 mm. La sezione di gola misura 4,24 mm poiché è inclinata di 45°

rispetto all’orizzontale.

Di seguito si riportano i dati geometrici del cordone:

Lunghezza cordone maggiore: 107 mm

Lunghezza cordone minore: 60 mm

Segmento di gola ag: 4,24 mm

Area di gola 1: 254,40 mm2

Area di gola 2: 453,68 mm2

Posizione XG: 50,18 mm

Posizione YG: 73,26 mm

Momento d’inerzia IgX-X: 655267 mm4

Momento d’inerzia IgY-Y: 168676,3 mm4

Momento d’inerzia polare Jp: 823943,3 mm4

Le sollecitazioni che agiscono sul cordone sono:

Sollecitazione A ortogonale al cordone: -1,3 N

Sollecitazione T=: 28636,3 N

Sollecitazione T : 64,2 N

Momento flettente Mf: 32604 Nmm

Momento torcente Mt: 52347,2 Nmm

Tali sollecitazioni andranno poi scomposte per applicarle al piano della sezione di gola,

inclinato di 45° rispetto all’orizzontale.

Si analizza di seguito ciascuna sollecitazione.

Sollecitazione A verticale

La sollecitazione A viene scomposta in A che genera una σ e in A= che genera una τ .

A = A= = A sen 45° = -0,92 N

Quindi:

0,002 MPa di compressione

0,002 MPa verso il basso

Per il calcolo di τ si è utilizzata la formulazione della vecchia normativa, che prevedeva di

calcolare la tensione tangenziale come rapporto della forza sull’area.

Sollecitazione T=

La sollecitazione T= genera σ= e τ=. Il valore non cambia poiché la forza rimane parallela

all’asse della saldatura. La tensione normale σ= è, come detto, trascurabile.

63,12 MPa lungo l’asse

Sollecitazione T

La sollecitazione T viene scomposta in T che genera una σ e in T che genera una τ .

T = T = T sen 45° = 45,4 MPa

Le due tensioni generate sono:

0,1 MPa di trazione

0,1 MPa verso il basso

Momento flettente Mf

La sollecitazione di momento flettente, per la disposizione di forze e piani, resta la stessa e

genera una σ .

13157,28 mm3

La tensione è quindi:

2,478 MPa di trazione

Momento torcente Mt

La sollecitazione di momento torcente genera una τtors,= e una τtors, sul piano orizzontale e che

devono quindi essere proiettate sul piano inclinato a 45°.

τtors,= diventa τ= mentre τtors, viene scomposta in τ e σ .

74,37 mm

11078,97 mm3

4,72 MPa

9,93°

τtors,= = τtors senθ = 0,814 MPa

τtors, = τtors cosθ = 4,649 MPa

Proiettando le due tensioni sul piano inclinato a 45° si trova:

τ= = 0,814 MPa lungo l’asse

τ = 3,287 MPa verso l’alto

σ = 3,287 MPa di trazione

Si sommano le tensioni di ciascuna sollecitazione e si ha:

σ = 5,863 MPa di trazione

τ = 3,185 MPa verso l’alto

τ= = 63,934 MPa lungo l’asse

Quindi la tensione equivalente nel cordone di saldatura è:

111,03 MPa

Questo valore deve essere confrontato con il termine e deve essergli inferiore affinché

il cordone risulti verificato.

fu è come detto la resistenza a trazione ultima nominale e vale 430 MPa.

βw si ricava da un prospetto della normativa e per acciai di classe S275 vale 0,85. La

normativa lo definisce come un fattore di correlazione ma non ne spiega il significato.

Essendo che tale coefficiente aumenta la tensione di rottura può essere ipotizzabile che indichi

il fatto che generalmente il materiale d’apporto delle saldature ha caratteristiche migliori

rispetto al metallo base.

γM2 è un coefficiente che per i collegamenti saldati vale 1,25.

Quindi:

= 404,71 MPa

Si deve poi verificare che

σ tenendo conto di tutti i contributi vale 5,863 MPa e il termine vale 309,6 MPa.

Quindi il cordone di saldatura può ritenersi verificato poiché risulta:

111,03 MPa < = 404,71 MPa e

5,863 MPa < = 309,6 MPa

VERIFICA A FATICA - EN 1993-1-9

Lo scopo della progettazione di una struttura nei riguardi dello stato limite di fatica è di

assicurare, con un accettabile livello di probabilità, che la sua prestazione sia soddisfacente

durante l’intera vita di progetto, in modo tale che la struttura abbia scarse probabilità di

collassare a causa di fenomeni di fatica o di richiedere riparazioni di danni prodotti dalla

fatica.

Analizzando la struttura si può osservare che essa è soggetta praticamente sempre allo stesso

carico.

L’unica eccezione si ha quando una tazza ha già scaricato il proprio carico terra e la tazza

dalla parte opposta, all’estremità del braccio, deve ancora riempirsi. Si ha quindi una

differenza di 55 kg, cioè circa 540 N, tra le due possibili configurazioni.

Per le dimensioni della struttura questa variazione è molto piccola, tale da giustificare

l’affermazione che non soffra di fatica.

Si è comunque operato un calcolo del Δσ che verrà esposto di seguito.

Si è ipotizzato che il carico terra aumenti in maniera lineare dall’estremità del braccio fino al

punto in cui le tazze si svuotano. Si è immaginato che le tazze siano piene, cioè con 55 kg di

argilla, quando arrivano a 1,5 m dalla zona in cui rilasciano il carico.

Per effettuare il calcolo con Strauss si è eliminata la forza derivante dal carico proprio in

questo punto, per avere una maggiore differenza di sollecitazioni e per far sì che ci fossero

variazioni di momento flettente, impossibili da avere qualora il carico si fosse rimosso

all’incastro.

Effettuati i calcoli con il programma si hanno questi risultati:

Δσ = 1,01 MPa

E’ quindi confermata l’ipotesi che la struttura non sia sollecitata a fatica.

Per il cordone di saldatura la classe scelta è Δσc = 56 MPa

Per la valutazione delle tensioni che agiscono sul cordone la norma prevede, per la verifica a

fatica, che le sollecitazioni non vengano valutate sul piano della sezione di gola inclinato di

45° ma sul ribaltamento del piano stesso.

Vi è anche una diversa formulazione delle tensioni equivalenti:

τwf = τ=f

Quindi valutando tali tensioni nella struttura di partenza si ha:

= 3,710 MPa

τwf = τ=f = 63,720 MPa

Mentre per la struttura privata di un carico terra si trovano questi valori:

= 5,448 MPa

τwf = τ=f = 63,714 MPa

I range di tensioni presenti sul cordone di saldatura sono quindi:

Δσf = 1,738 MPa

Δτf = 0,006 MPa

Si vede che sono valori modesti per giustificare una verifica a fatica, che è quindi trascurabile.

CONCLUSIONI

Lo studio e l’applicazione dell’Eurocodice sono risultati in alcune parti poco chiari soprattutto

per la presenza di argomenti non trattati nei corsi.

La mancanza di alcuni passaggi fondamentali e i molti valori lasciati al progettista sono però

una nota negativa.

L’Eurocodice 3 è rivolto prevalentemente all’ingegneria civile e l’applicazione di questo ad

una struttura meccanica è risultato un po’ scomodo, soprattutto per la mancanza di categorie

adatte allo scopo.

La struttura risulta verificata secondo Eurocodice 3.

BIBLIOGRAFIA

European Standard, Eurocode 3 – EN 1993, Design of steel structures

European Standard, Eurocode – EN 1990, Basic of structural design

Volpato M., Progetto e verifica strutturale di un braccio di un escavatore a tazze per la

movimentazione dell’argilla, Tesi

Simoni L., Lezioni di scienza delle costruzioni, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 1998

Aztori B., Appunti di costruzione di macchine, Edizioni Libreria Cortina, Padova, 1999