VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Lezione n.3 Prof. Roberto de Marco.

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI

FREQUENZA

Lezione n.3

Prof. Roberto de Marco

Il metodo più semplice e immediato per rappresentare in modo sintetico un insieme di osservazioni individuali relative ad una certa

variabile è mediante la

Insieme dei possibili valori ( modalità o intervalli di classe) di una variabile con associata la frequenza con cui tali

valori sono stati rilevati nel campione.

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

28 36 20 25 75 24 3326 30 16 25 59 26 3233 29 34 25 34 31 1843 25 58 26 24 37 2443 15 29 27 31 37 2464 26 25 23 32 73 2440 16 34 39 25 48 2334 32 28 41 26 45 4524 18 27 31 17 55 5024 16 25 38 34 29 2010 17 28 33 45 28 1526 40 30 28 34 22 1525 28 32 23 32 20 3922 28 34 20 44 27 2830 23 30 21 44 38 2844 21 51 23 34 19 2055 23 38 22 44 30 19

concentrazione di ozono frequenza10-19 1320-29 5330-39 3140-49 1250-59 660-69 170-80 4

TOTALE 120

COSTRUZIONE DI UNA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZACOSTRUZIONE DI UNA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

1. definire un criterio di classificazionecriterio di classificazione delle osservazioni

ESAUSTIVO: devono essere riportati tutti le modalità o i valori assunti dalla variabile

NON AMBIGUO: gli intervalli di classe devono essere mutuamente esclusivi

2. assegnare ad ogni modalità/intervallo la frequenza (relativa e/o assoluta) corrispondente

Esempio

SCORRETTA

0-10

10-20

…..

70-80

CORRETTA

0-9

10-19

…..

70-80

>80

SCORRETTA

Nero

Chiaro

Biondo

Rosso

CORRETTA

Nero

Castano

Biondo

Rosso

Variabile quantitativa:classificazione dell’età in anni compiuti

Variabile qualitativa:classificazione del colore dei capelli

COSTRUZIONE DELLA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

PER VARIABILI QUALITATIVE

modalità

tally frequenza

assente

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

48

lieve

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

32

grave

| | | | | | | | | | | | | |

17

lesioni permanenti

| |

2

decesso

|

1

100

Conteggio delle osservazioni per ogni

modalità

Costruzione della tabella e Costruzione della tabella e calcolo di frequenze calcolo di frequenze

relativerelative

MODALITA'frequenza assoluta

frequenza relativa

ni ni/n

assente 4848/100=0,48lieve 32 0,32grave 17 0,17

lesioni permanenti 2 0,02decesso 1 0,01TOTALE 100k=5

Esempio: I dati seguenti si riferiscono al grado del trauma in 100 ricoverati al pronto soccorso:

X= grado del trauma:

xi:

0=assente 1=trauma lieve 2= trauma grave 3=lesioni permanenti 4= decesso

0 2 1 1 1 2 0 0 1 0 1 1 0 0 0 3 1 2 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1 0 1 0 2 1 2 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 3 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 0 2 2 1 0 1 0 0 0 0 4 0 1 1 2 0 0 2 1 0 2 0 0 2 1 0

pi=

MODALITA'frequenza assoluta

frequenza relativa

ni ni/n

assente 4848/100=0,48lieve 32 0,32grave 17 0,17

lesioni permanenti 2 0,02decesso 1 0,01TOTALE 100k=5

Esempio: I dati seguenti si riferiscono al grado del trauma in 100 ricoverati al pronto soccorso:

05

1015

2025

30

3540

4550

assente lieve grave les.Perm.

decesso

Diagramma a barre

ESERCIZIO

I dati seguenti si riferiscono al tipo di parto di 50 neonati in Italia:

Determinare la distribuzione di frequenza

0 2 0 0 0 2 0 2 0 02 0 0 0 2 0 0 0 1 00 0 2 0 0 0 2 0 0 20 2 0 0 0 2 0 2 0 00 0 0 2 0 2 0 0 2 0

X = tipo di parto

xi = normale 0

forcipe 1 cesareo 2

modalità

xi

frequenza assoluta

ni

frequenza relativa

pi

frequenza relativa percentuale

pi (%)

normale

35

35/50 = 0.70

(35/50)*100 = 70%

forcipe

1 1/50 = 0.02 (1/50)*100 = 2%

cesareo

14 14/50 = 0.28 (14/50)*100 = 28%

TOTALE

50

1.00

100%

PERCHÉ USARE LE FREQUENZE RELATIVE?

Esempio: Si vuole valutare l’efficacia di uno psico-farmaco nel curare forme di balbuzie. L’esperimento coinvolge due gruppi randomizzati di pazienti (A e B): il farmaco viene somministrato a 150 pazienti nel gruppo A, mentre un placebo viene somministrato a 100 soggetti in B.

Per il confronto della distribuzione di una variabile in campioni di dimensioni diverse


FREQUENZE ASSOLUTEFREQUENZE ASSOLUTE

EFFETTO ni (A) ni(B)

migliorato 50 33peggiorato 80 53invariato 20 14

150 100

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

migliorato peggiorato invariato

GRUPPO A

GRUPPO B


FREQUENZE FREQUENZE RELATIVERELATIVE

pi (A) pi(B)

0,33 0,330,53 0,530,14 0,14

1,00 1,00

EFFETTO ni (A) ni(P)

migliorato 50 33peggiorato 80 53invariato 21 14

151 100

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DELLA DISTRIBUZIONE DI

FREQUENZA PER VARIABILI QUALITATIVE

GRAFICO A TORTA

(16/33=48.5%) (33/125=26.4%)

Esempio: ci sono 16 maschi tra 33 specializzandi e 33 tra le 125 matricole di Medicina (frequenze assolute, n).

16 maschi

17 femmine

33 maschi

92 femmine

SPECIALIZZANDISPECIALIZZANDI MATRICOLEMATRICOLE

: 360 = n : N >> = (n/N)*360°

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

Australia[1] Canada[2] Danimarca[3] Finlandia[4] Francia[5] GranBretagna[6]

Stati Uniti[7] Sud Corea[8] Svezia[9]

0+

A+

B+

AB+

0?

A?

B?

AB?

DIAGRAMMA A BARRE _ Distribuzione gruppi sanguigni

----

Verlato G et al . Respiratory Medicine 2006

Distribuzione dell’abitudine al fumo di sigaretta in Italia.Dati ISAYA - 2001

1 1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1 2 2 11 1 1 1 1 2 2 11 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 2 2 21 1 1 1 1 3 2 21 1 1 1 1 3 2 31 1 1 1 1 3 2 3

Capelli occhi

Capelli occhi

Capelli occhi

Capelli occhi

Colore degli occhi e dei capelli in un campione di studenti

Capelli:1= nero/castano2= biondo/rosso

Occhi:1= nero/marrone2= blu/azzurro3= verde

Rappresentare graficamente l’informazione contenuta nei seguenti dati

COSTRUZIONE DELLA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA PER VARIABILI QUANTITATIVE

PESO, STATURA e SESSO delle MATRICOLE di MEDICINAdell’UNIVERSITA’ di VERONA nell’A.A. 95/96

PESO STAT. SESSO PESO STAT. SESSO PESO STAT. SESSO Kg cm Kg cm Kg cm 56 159 F 77 192 M 51 171 F 66 169 F 60 173 F 48 156 F 50 160 F 78 182 M 55 167 F 53 170 F 52 167 F 60 177 M 54 168 F 47.5 164 F 58 170 F 53 161 F 64 166 F 67 167 F 63 172 M 52 160 F 50 172 F 53 170 F 72 184 M 58 169 F 62 161 F 48 169 F 77 179 M 56 163 F 66 170 M 52 162 M 50 160 F 55 172 F 49 160 F 52 170 F 67 177 M 49 165 F 58 173 F 66 170 M 62 178 M 52 167 F 50 160 F 68 174 M 73 178 M 51 167 F 75 181 M 57 166 F 95 193 M 48 167 F 52 165 F 58 160 F 53 160 F 56 171 F 67 178 F 49 167 F 67 175 M 67 175 M 52 165 F 63 182 F 60 160 F 55 155 F 55 169 F 56 165 F 84 188 M 58 165 F 50 165 F 56 170 F 55 175 M 52 170 F 60 171 F 66 176 M 58 172 F 52 176 M 55 164 F 60 170 F 62 180 F 47 160 F 54 166 F 47 155 F 60 165 F 63 169 M 74 172 M 61 177 F 53 173 F 53 170 F 72 183 M 55 168 M 52 168 F 53 162 F 51 164 F 62 162 F 81 176 M 45 160 F 50 160 F 57 167 F 51 171 F 45 158 F 64 180 F 53 168 F 82 183 M 50 160 F 47 156 F 55 162 F 70 175 M 70 177 M 58 168 F 64 178 F 59 173 F 52 164 F 68 165 F 75 175 M 63 177 F 75 178 M 50 159 F 70 165 F 65 150 F 58 167 F 60 170 F 45 160 F 51 167 F 50 167 F 75 182 M 56 156 F 62 170 M 59 165 F 85 174 M

Costruiamo gli intervalli di classe:

Trovo il valore minimo e il valore massimo min=150 cm

max=193 cm

Calcolo il campo di variazione (range):

Xmax-Xmin range=43

Stabilire il numero degli intervalli k=9

Calcolare l’ampiezza degli intervalli:

i= Range / k i=

43/9=4.8~5

Costruisco gli intervalli di classe (esclusivi ed esaustivi)

Conto il numero di individui per ogni classe

TABELLA DI FREQUENZATABELLA DI FREQUENZA

Statura in classi

Frequenza

assoluta

Frequenza

relativa

[150-155) 1 1/125= 0.8%

[155-160) 8 8/125= 6.4%

[160-165) 24 24/125= 19.2%

[165-170) 34 27.2%

[170-175) 27 21.6%

[175-180) 19 15.2%

[180-185) 9 7.2%

[185-190) 1 0.8%

[190-195) 2 1.6%

totale 125 100%

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DELLA DISTRIBUZIONE DI

FREQUENZA PER VARIABILI QUANTITATIVE

ISTOGRAMMA A CANNE D’ORGANO

0

10

20

30

40

50

60

70

statura (cm)

fre

q.

rela

tiva

(%

)

150 165 180 195

0

10

20

30

40

50

60

70

statura (cm)

fre

q.

rela

tiva

(%

)

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

perdita di informazione al

diminuire del numero di intervalli

area di ciascun rettangolo proporzionale

alla frequenza

Esempio: Vittime di incidenti stradali nel London Borough of Harrow nel 1985.

ETA’ FREQUENZA

0-4 28

5-9 46

10-15 58

16 20

17 31

18-19 64

20-24 149

25-59 316

60+ 103

TOTALE 815

scorretto

corretto

316/34=9.3

0

10

20

30

40

50

60

70

statura (cm)

freq

. rel

ativ

a (%

)

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

RappresentazionePoligono diFrequenze

157.5 162.5

Statura in classi Frequenza

assoluta

Frequenza

relativa

[150-155) 1 1/125= 0.8%

[155-160) 8 8/125= 6.4%

[160-165) 24 24/125= 19.2%

[165-170) 34 27.2%

[170-175) 27 21.6%

[175-180) 19 15.2%

[180-185) 9 7.2%

[185-190) 1 0.8%

[190-195) 2 1.6%

totale 125 100%

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CUMULATADISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CUMULATA

FREQUENZA ASSOLUTA CUMULATA ( Fi ) O RELATIVA (Pi=Fi/N)

numero di osservazioni ( o percentuale ) il cui valore è inferiore o uguale a un definito valore xi

TABELLA DI FREQUENZATABELLA DI FREQUENZA

statura in classi

Freq. Assoluta

Freq. Relativa (%) Freq. Cumulata Assoluta

Freq. Cumulata Relativa (%)

150-154 1 1/125= 0,8% 1 0,8%

155-159 8 8/125= 6,4% 1+8= 9 0,8+6,4= 7,2%

160-164 24 24/125= 19,2% 1+8+24= 33 0,8+6,4+19,2= 26,4%

165-169 34 27,2% 1+8+24+34= 67 0,8+6,4+19,2+27,2= 53,6%

170-174 27 21,6% 94 75,2%

175-179 19 15,2% 113 90,4%

180-184 9 7,2% 122 97,6%

185-189 1 0,8% 123 98,4%

190-195 2 1,6% 125 100,0%

TOTALE 125 100,0% 125

ni PiFipi

150-155155-160160-165165-170170-175175-180180-185185-190190-195

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

statura (cm)

Distribuzione cumulativa relativa (curva ad ogiva)

ESERCIZIO

Nella tabella seguente sono riportati i dati relativi ad uno studio sulla crescita condotto su 40 soggetti:

1. Costruire 4 intervalli di frequenza

2. Costruire la tabella di frequenza riportando frequenze assolute, frequenze relative e frequenze cumulate relative.

3. Costruire la curva ad ogiva e stimare la percentuale di soggetti che hanno: 15 <distanza < 22mm

16 19 19 20 20 20 20 21 21 2121 21 21 22 22 22 22 22 22 2323 23 23 23 23 23 23 24 24 2424 24 24 25 25 25 25 26 26 27

Distanza in mm fra il centro dell’ipofisi e la fossa pterigomascellare:

MISURE D’ORDINE IN UNA DISTRIBUZIONE

RANGO: posizione di un’osservazione Xi in una serie di dati ordinati in modo crescente

SCOPO: descrivere la posizione di un dato individuale nell’ambito di una distribuzione

RANGO PERCENTILE: sia xi la i-ma osservazione di un campione di N unità ordinate in modo crescente. Il rango percentile corrispondente è dato da:

Rp= rango (xi)N+1

* 100

Rango= 3, Rp=43%

Esempio: nelle seguenti tabelle si riportano le osservazioni del peso per N soggetti:

N=6

N=60:

PESO (kg) 53 55 60 61 63 65

PESO (kg) 53 55 60 61 63 65 ….. 92

Rango= 3, Rp=5%

K-M0 PERCENTILE : valore di xi corrispondente al K-esimo rango percentilico.Quel valore della variabile, Xi, tale per cui il k% della popolazione ha valori <= Xi. K è noto anche come RANGO PERCENTILE

I PERCENTILII PERCENTILI

I PERCENTILI PIU’ NOTI:

25

50

75

1° QUARTILE

3° QUARTILE

2° QUARTILE o MEDIANA

3° QUARTILE-1°QUARTILE = DIFFERENZA INTERQUARTILICA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

statura (cm)

Esempio: calcolo del 40-mo percentile

~167.5

40-mo percentile: il 40% del campione ha un’altezza167.5

RANGO PERCENTILICO

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

ASIMMETRIA NEGATIVA

ASIMMETRIA POSITIVA

SIMMETRIA

SIMMETRIA DI UNA DISTRIBUZIONE

The distribution of cardiac index is bimodal with a distinct population of subjects characterized by an increased cardiac index. Thirty-seven percent of all subjects with borderline hypertension were found to have this elevation in cardiac index and an elevated heart rate （ which also had a bimodal distribution ）．

Mentre il peso e l’altezzanella pop. Umana sono bimo-dali, il bmi [peso/altezza^2]non lo e’!!!!!

DISTRIBUZIONE BIVARIATA (CROSS-TABULATION)

Permette la rappresentazione congiunta della distribuzione di frequenza di due variabili qualitative

Permette di capire la relazione tra le due variabili

BPCO ni pi (%)

assente 16622 89.2%

presente 2016 10.8%

Totale 18638 100.0%

Fumo ni pi

non fumatore 9667 51.9%

ex fumatore 2743 14.7%

fumatore 6228 33.4%

Totale 18638 100.0%

Esempio: distribuzione dell’abitudine al fumo e della broncopneumopatia cronico- ostruttiva (GOLD-BPCO: 0+) in adulti italiana di età 20-44 anni (indagine ISAYA).

BPCO

FUMO assente presente TOTALE

non fumatore 9042 625 9667

ex fumatore 2472 271 2743

fumatore 5108 1120 6228

TOTALE 16622 2016 18638

DISTRIBUZIONE CONGIUNTA ASSOLUTA

dimensione campionaria (n)

distribuzione marginale del fumo

(ni)

distribuzione marginale della

BPCO (nj)

distribuzione congiunta del fumo e della BPCO

(nij)

BPCO


non fumatore 48.5% 3.4% 51.9%

ex fumatore 13.3% 1.4% 14.7%

fumatore 27.4% 6.0% 33.4%

TOTALE 89.2% 10.8% 100.0%

DISTRIBUZIONE CONGIUNTA RELATIVA (%)

BPCO




fumatore 5108 1120 6228

TOTALE 16622 2016 18638

(nij / n) * 100

non fumatori con BPCO

(n12)

dimensione campionaria (n)

(625 / 18638) * 100

DISTRIBUZIONI CONDIZIONALI(percentuali di riga e di colonna)

N.B. Se le distribuzioni condizionali sono differenti, si può supporre che esista una relazione tra le due variabili

• Rappresentano la distribuzione di una variabile all’interno delle modalità dell’altra variabile

DISTRIBUZIONI CONDIZIONALI AI MARGINALI DI RIGA (percentuali di riga)

DISTRIBUZIONE DELLA BPCO PER LIVELLO DI FUMO

BPCO




fumatore 5108 1120 6228

TOTALE 16622 2016 18638

BPCO


non fumatore 93.5% 6.5% 100.0%

ex fumatore 90.1% 9.9% 100.0%

fumatore 82.0% 18.0% 100.0%

TOTALE 89.2% 10.8% 100.0%

marginali di riga (ni)

(nij / ni) * 100

(625 / 9667) * 100

DISTRIBUZIONI CONDIZIONALI AI MARGINALI DI COLONNA (percentuali di colonna):

DISTRIBUZIONE DEL FUMO PER LIVELLO DELLA BPCO

BPCO




fumatore 5108 1120 6228

TOTALE 16622 2016 18638

marginali di colonna (nj)

(nij / nj) * 100

BPCO


non fumatore 54.4% 31.0% 51.9%

ex fumatore 14.9% 13.4% 14.7%

fumatore 30.7% 55.6% 33.4%

TOTALE 100.0% 100.0% 100.0%

(625 / 2016) * 100

ESERCIZIO

In un’indagine, è stato chiesto ad un gruppo di 101 consumatori e ad un gruppo di 124 dentisti se erano favorevoli alla pubblicità fatta dai dentisti per attrarre nuovi pazienti.

Si sono ottenuti i seguenti risultati:

GIUDIZIO

CATEGORIA moltofavorevole

abbastanzafavorevole

indifferente abbastanzasfavorevole

moltosfavorevole

TOTALE

consumatore 34 49 9 4 5 101

dentista 9 18 23 28 46 124

TOTALE 43 67 32 32 51 225

1. C’è differenza tra il giudizio espresso dai consumatori e dai dentisti? C’è relazione tra la categoria e il giudizio?

2. Cercate di interpretare il risultato

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Lezione n.3 Prof. Roberto de Marco.

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