CENNI DI RADIOASTRONOMIACENNI DI RADIOASTRONOMIA

Davide EliaDavide EliaDipartimento di FisicaDipartimento di Fisica

Università del SalentoUniversità del Salento

Vantaggi della radioastronomia

• Le onde radio sono direttamente rivelabili da terra

• Esse permettono di osservare oggetti o fenomeni che sarebbe difficoltoso (o impossibile) rivelare in altre regioni dello spettro

• L’emissione radio può essere utilizzata per un’analisi quantitativa dei parametri fisici di un oggetto

L’idrogeno neutro traccia le interazioni tra le galassie nel gruppo di M81

Centaurus A, galassia peculiare con lobi radio

Il sole osservato nelle radioonde

LUNGHEZZE D’ONDA CARATTERISTICHE

• Bande d’assorbimento principali:

H2O:

22.2 GHz (λ = 1.35 cm)

183 GHz (λ = 1.63 mm)

O2:

60 GHz (λ = 5 mm),

119 GHz (λ = 2.52 mm)

• La regione in cui sono possibili le osservazioni radio si estende da 15 MHz (λ 20 m) fino a 600 GHz (λ 0.5 mm).

• Il limite inferiore non è ben definito e varia con il sito. Infatti, a frequenze

tra 20-30 GHz e 600 GHz l’atmosfera comincia a diventare opaca a causa

della presenza di righe e bande d’assorbimento corrispondenti alle righe

rotazionali delle molecole H2O e O2 presenti nella troposfera.

Effetto dovuto alla ionosfera

UN PO’ DI STORIA

• Karl Jansky (Bell Laboratories) costruisce

un rudimentale radiotelescopio, dotato di

un'antenna orientabile, per ricevere la

frequenza di 20.5 MHz con l'obiettivo di

individuare la natura delle interferenze sulle

comunicazioni radio transoceaniche.

Rilevamento di un segnale in direzione della

costellazione del Sagittario (1933).

• Grote Reber (1911-2002), astrofilo,

prosegue nel solco tracciato da Jansky e

realizza, con mezzi propri, la prima

mappatura radio della nostra Galassia a

160 MHz (primi anni ‘40).

Scopre inoltre le prime sorgenti radio

extragalattiche.

UN PO’ DI STORIA

• 1951: Edward M. Purcell e Harold I.

Ewen rivelano l’emissione a 21 cm

dell’HI prevista teoricamente da Van

De Hulst (1944)

• 1965: Arno Penzias e Robert Wilson

scoprono la radiazione cosmica di

fondo, corrispondente

a quella di un corpo

nero a 2.73 K.

• 1960: prima osservazione di un

quasar (Allen Sandage e

Thomas Matthews)

• 1968: scoperta

delle pulsar

(Jocelyn Bell)

Meccanismi di emissione radio:

TRANSIZIONI ATOMICHE

2 2

1 1 1b aH

ab b a

E ER

λ hc n n

Per na = 110 e nb = 109,

λab 6 cm (riga H109α)

Questo meccanismo può avere luogo nelle regioni HII, in cui l’idrogeno è ionizzato da una stella calda vicina. I fotoni UV ionizzano gli atomi, e la ricombinazione degli elettroni avviene con cascate di transizioni.

La transizione n = 110→109 viene dunque rivelata come debole riga radio. Allo stesso modo, è possibile osservare le righe H40α (λ 3 mm) e H600α (λ 10 m)

Le righe di ricombinazione delle regioni HII consentono di risalire a• Temperatura (da larghezza di riga, rapporti di intensità di righe)• Densità (da intensità di riga, rapporti di intensità di righe)• Composizione (da analoghe righe di He e C)• Velocità (dallo shift doppler)

Meccanismi di emissione radio:

TRANSIZIONI ATOMICHE

Riga dell’idrogeno a 21 cm:Stato fondamentale dell’idrogeno

Eccitazione collisionale (probabilità di 1 urto ogni 400 anni). Livelli ugualmente popolati

Transizione di dipolo tra i due livelli fortemente proibita dalle regole di selezione (probabilità di 1 evento ogni 107 anni)

La grande disponibilità di idrogeno lungo la linea di vista rende tuttavia l’emissione a 21 cm comunemente rivelabile, consentendo l’osservazione diretta del principale componente dell’universo. Essa fu predetta da Van De Hulst nel 1944 ed osservata nel 1951.

Meccanismi di emissione radio:

TRANSIZIONI ATOMICHE

Riga dell’idrogeno a 21 cm

Consente di ricavare informazioni su:

• Quantità di gas nel mezzo interstellare (dall’intensità della riga)

• Velocità delle nubi di idrogeno neutro (dallo shift doppler)

• Rotazione della nostra e delle altre galassie (dallo shift doppler)

• Distribuzione dell’idrogeno nella nostra e nelle altre galassie (dall’intensità della riga)

• Interazioni tra le galassie (dall’intensità della riga edallo shift doppler)

Meccanismi di emissione radio:

TRANSIZIONI MOLECOLARI

• Sono tipiche della regione radio le transizioni rotazionali delle molecole

• Le molecole biatomiche omonucleari sono spettroscopicamente inattive

( 1)JE BJ J 2

24B

πμr

Δ 1J

Δ 2( 1) ( 1)

E B Bν J J J J J

h h h

• Si devono pertanto osservare traccianti meno

abbondanti dell’H2, come CO, CS, ecc.

CO(J=1→0): ≈ 2.6 mm ≈ 115 GHz

CO(J=2→1): ≈ 1.3 mm ≈ 230 GHz

Caso biatomico:

Meccanismi di emissione radio:

EMISSIONE DA PARTICELLE LIBERE

Si tratta tipicamente di processi dovuti ad elettroni liberi, quindi in presenza di plasmi in ambienti ad alta energia, come nelle stelle o nelle loro atmosfere:

• Emissione Cerenkov: si produce quando un elettrone viaggia a velocità superiore a quella della luce nel mezzo in questione; effetto analogo al bang supersonico.

• Bremsstrahlung: perdita di energia da parte di elettroni in seguito a collisioni “a distanza” con ioni.

• Magneto-bremsstrahlung, o Giroemissione: emissione da parte di elettroni accelerati dal campo magnetico interno al plasma. Tra le tipologie di questa modalità rientrano l’emissione di ciclotrone (caso non relativistico, b=2.8x106 B (gauss) Hz) e di sincrotrone (caso relativistico).

Meccanismi di emissione radio:

EMISSIONE TERMICA DA POLVERI

Traccia la distribuzione della polvere fredda nelle regioni più dense delle nubi molecolari

Nel millimetrico, l’emissione di un grano di polvere è regolata dalla legge di Kirchhoff

( , )ν νj κ B ν T

Sono dispositivi che traducono in correnti elettriche il segnale trasportato dalle onde elettromagnetiche Dipolo, o antenna lineare:due spezzoni di conduttore di

lunghezza pari a λ/4

Antenna power pattern P(θ , φ): risposta in potenza di un’antenna nelle varie direzioni

Feed horn:antenna a corno, a sezione quadrata o circolare, con superficie interna liscia o corrugata, collegato ad una guida d’onda e ad un cavo coassiale

Un feed horn possiede una maggior direttività rispetto ad un’antenna lineare

ANTENNE

Il principio di funzionamento di un radiotelescopio ricalca quello di un telescopio riflettore per il visibile: una grande area di raccolta in grado di concentrare la radiazione nel piano focale. Essa può essere una grande

parabola metallica, continua o costituita da una maglia più fitta di λ/4.

RIFLETTORI

Per il potere risolutivo di un telescopio dotato di un riflettore parabolico di diametro D, vale sempre la

HPBW 2.44λ

θD

E’ evidente che i radiotelescopi devono essere di grandi dimensioni per ottenere risoluzioni angolari appena confrontabili con quelle ottenibili nel visibile!

Il pattern di un radiotelescopio di questo tipo è simile a quello visto per un feed horn, con un lobo principale e svariati lobi secondari.

POTENZA RACCOLTA DALL’ANTENNA

Ω

ΩMB

MBA

η

Efficienza dell'antenna:

Per un’antenna ideale, Pn=1 per tutti

i θ,φ nell’angolo ΩA, e 0 altrove.

In un’antenna reale la risposta è elevata per θ,φ all’interno del lobo principale. La qualità di un’antenna dipende da quanta radiazione si concentra nel lobo principale.

Sia P(θ,φ) la potenza raccolta dall’antenna ad un angolo (θ,φ) dall'asse ottico. Si definisce la risposta in potenza dell’antenna (antenna power pattern) come la distribuzione normalizzata

max

( , )( , )n

P θ φP θ φ

P

Angolo solido dell’antenna:

Angolo solido del beam principale

Ω ( , ) ΩMB n

mainlobe

P θ φ d

4

Ω ( , ) ΩA n

π

P θ φ d

1( , ) ( , ) Ω

2ν ν nP A I θ φ P θ φ d A = area effettiva dell’antenna (rapporto tra la potenza intercettata e quella rivelata)

Pn(,) d = elemento di angolo solido efficace

Il fattore ½ è dovuto al fatto che l’antenna raccoglie solo una delle due direzioni di polarizzazione.

Se nell’integrale precedente I non dipende dall’angolo, si ottiene:

Sfruttando il teorema dell’antenna,

1Ω

2ν ν AP AI

2

ΩA

λ

A 21

2ν νP I λ

Se il radiotelescopio osserva una radiosorgente la cui distribuzione

d’intensità è I(,) [W m-2 Hz-1 sr-1], la potenza P raccolta dall’antenna è

a) Rivelatori quantici: ogni singolo fotone, arrivando sul rivelatore, produce un effetto misurabile (ad esempio emissione di un fotoelettrone). Nel caso più comune dei rivelatori a semiconduttore, l’elettrone di conduzione generato dal fotone può avere tre effetti: 1) produrre un cambiamento chimico; 2) variare la corrente elettrica nel cristallo; 3) essere introdotto direttamente nell’amplificatore di uscita. Esempi di rivelatori quantici sono i contatori proporzionali, i fotomoltiplicatori, i fotoconduttori, i fotodiodi, le CCD, le lastre fotografiche.

b) Rivelatori termici: assorbono i fotoni e termalizzano la loro energia. Quindi non reagiscono al singolo fotone, ma piuttosto all’effetto integrato di un certo numero di fotoni. Si usano quando l’energia dei fotoni non è sufficiente a strappare elettroni da un metallo e nemmeno a produrre elettroni o lacune di conduzione in un semiconduttore: questo succede a lunghezze d’onda maggiori di 200 m. L’energia termica così ottenuta produce un cambiamento delle proprietà del rivelatore (elettriche, o più in generale fisiche) che induce un segnale elettrico misurabile.

c) Rivelatori coerenti: Rivelano l’ampiezza del campo elettrico dell’onda elettromagnetica associata alla radiazione osservata, misurando la differenza di potenziale prodotta da questa in un’antenna. Conservano quindi l’informazione di fase associata all’onda elettromagnetica. Vengono usati principalmente nelle bande radio e submillimetrica.

CLASSIFICAZIONE DEI RIVELATORI

Oltre 200 m Rivelatori termici

• I fotoni a bassa energia producono una variazione di temperatura nel rivelatore stesso, e conseguentemente una variazione di resistenza elettrica. Si tratta quindi di rivelatori sensibili solo all’intensità della radiazione e si perde qualsiasi informazione sulla distribuzione spettrale.

• Bolometri: sensibili tra 3 e 3000 m.

SCUBA: array di 37 bolometri attivi tra 350 m e 1 mm(JCMT)

Cenni sui rivelatori radio:

RIVELATORI TERMICI

Schema di funzionamento del bolometro:

• Vengono realizzati usando delle resistenze fortemente dipendenti dalla temperatura, in genere semiconduttori opportunamente drogati.

• L’elemento sensibile è in contatto termico con un riferimento di temperatura T0 (ad esempio un bagno di liquido criogenico) che funziona da

termostato.

• In assenza di radiazione, nel bolometro scorre una corrente i ed esso è mantenuto a temperatura T > T0 a causa della potenza Joule i2R dissipata

dalla resistenza del semiconduttore.

• L’energia associata al segnale da rivelare produce una variazione di temperatura e quindi una variazione di resistenza (e di tensione), che viene poi amplificata e misurata.

I radioricevitori consistono in un’antenna (che converte il campo elettromagnetico in una differenza di potenziale alternata), un amplificatore a basso rumore che amplifica questa differenza di potenziale alla stessa frequenza della radiazione da misurare ed un circuito raddrizzatore e integratore che permette di avere in uscita un segnale continuo proporzionale all’ampiezza del campo elettromagnetico in ingresso.

Cenni sui rivelatori radio:

RADIORICEVITORI

Si può poi connettere la tensione amplificata ad un banco di filtri o ad un altro sistema di analisi spettrale in modo da estrarre l'informazione spettrale insita nel segnale. Se invece di un rivelatore lineare si utilizza un rivelatore quadratico, si avrà in uscita un segnale proporzionale al valore quadratico medio del campo elettromagnetico, ovvero proporzionale all'intensità della radiazione.

Rivelatori coerenti:• Radioricevitori ( 10 GHz, radioonde) • Ricevitori eterodina (microonde).

Cenni sui rivelatori radio:

RADIORICEVITORIA bassissime frequenze

( 1 GHz) l'antenna può essere un semplice dipolo, e la differenza di potenziale si sviluppa tra i due bracci del dipolo. A frequenze più alte l'antenna può essere un feed horn.

Sia l’antenna a dipolo che il feed horn possono essere montate nel pianofocale di un telescopio, realizzando così un radiotelescopio.

Radiotelescopiodi Effelsberg, Germania.D = 100 m

/ 2 < A <

Nei ricevitori eterodina il campo elettromagnetico proveniente dal cielo

E(1) e quello generato da un oscillatore locale E(2) vengono sovrapposti;

il campo somma è raccolto da

un’antenna e successivamente

convertito in tensione

alternata.

Questa viene processata

da un rivelatore non lineare

(quadratico), che genera un

segnale con una componente

proporzionale alla

differenza fra le due frequenze

(molto vicine tra loro).

Cenni sui rivelatori radio:

RICEVITORI ETERODINA

Questa componente, essendo a frequenza molto più bassa della frequenza d’ingresso può essere amplificata con tecniche convenzionali (tipo quelle utilizzate nei radioricevitori).

Pannello superiore: segnali di ingresso in funzione del tempo (del cielo e dell’oscillatore locale). Pannello inferiore: quadrato della somma dei due segnali ed il suo valor medio su tempi lunghi rispetto a 1/1 e 1/2. La sua frequenza è data da 1- 2.

Il principio di funzionamento

di un AOS è il seguente:

Il segnale in radiofrequenza

(RF) è accoppiato per mezzo

di un trasduttore piezoelettrico

ad un cristallo (ad es.

di LiNbO3) - la cella di Bragg - e

produce variazioni periodiche

dell’indice di rifrazione di quest’ultimo.

Un fascio laser opportunamente collimato viene

diffratto e inviato su un rivelatore CCD lineare.

Infine, il calcolatore ricostruisce, a partire da

quest’informazione, lo spettro osservato.

RICEVITORI ACUSTO-OTTICI

RICEVITORI ACUSTO-OTTICI

SEST (Swedish-ESO Submillimetric Telescope)

θHPBW = estensione lobo principale

ηB = efficienza deltelescopio

ηA = Aeff / Atot

efficienza diapertura

Ricevitori eterodina

ARECIBO OBSERVATORY

D = 305 m

Area di raccolta:~73 000 m²

Lunghezza focale:132.5 m

Range di frequenze:

300 MHz < <10 GHz

RADIOTELESCOPIO “CROCE DEL NORD” MEDICINA (BO)

Se la sorgente è un corpo nero a temperatura T, I = BB(T)

Nella regione delle radiofrequenze, h / kT << 1,

quindi è possibile adottare l’approssimazione di Rayleigh-Jeans:

Sostituendo le espressioni trovate in quella di P si ottiene quindi:

 

In generale si pone, allora,

dove TA è la temperatura d’antenna.

• TA è la quantità che viene direttamente osservata in radioastronomia.

Essa può essere interpretata come la temperatura di un corpo nero la cui potenza è pari a quella raccolta dall’antenna.

2

2

2( )ν

νI T kT

c

22

2

1 2( )

2ν

νP T kTλ kT

c

TEMPERATURA D’ANTENNA

ν AP kT

In generale, però, Iν Bν Tb(ν) NON rappresenta la temperatura effettiva

del mezzo emittente, e varia con ν.

Iν = 2 ν2/c2 k TB(ν) = 3.08 10-28 ν2 (MHz) Tb(ν)

[W m-2 Hz-1 sr-1]

La temperatura d’antenna può anche essere vista come la temperatura di una resistenza che trasferisce al ricevitore la stessa potenza fornitagli dall'antenna.

Infatti, da un punto di vista pratico, il ricevitore vede l’antenna come una resistenza che gli trasferisce potenza.

In ogni caso, TA è un modo per rappresentare con una scala diversa

l’intensità di radiazione. Esprimendo, in approssimazione di Rayleigh-Jeans, l’intensità in

temperatura di brillanza TB(), si ha

dP

dPTT

n

nB

A),(

),(),(),(

ossia TA è una convoluzione della temperatura di brillanza della

sorgente con la risposta del telescopio.

Possiamo perciò ricavare teoricamente TB da TA solo se la funzione

Pn(θ,φ) è nota.

Se TMB è la temperatura di brillanza mediata sul lobo principale (Main

Beam Brightness Temperature), si ha: A

MBMB

Tη

T

Ricordando che A / λ2 = 1 / ΩA, si ottiene:

In definitiva,2

2 2

1 2( , ) Ω ( , ) Ω

2ν A B n B n

ν AP kT Ak T P θ φ d k T P θ φ d

c λ

Nel lontano infrarosso e nel radio, l’unità di misura comunemente usata per la

densità di flusso è il Jansky (Jy)

1 Jy = 10-26 W m-2 Hz-1

Combinando le relazioni scritte in precedenza, si ricava che

in cui si è introdotto un fattore di efficienza ηR < 1 per tenere conto delle perdite

di segnale che avvengono tra l’antenna e il ricevitore

QUELLO FINORA CONSIDERATO E’ IL CASO IDEALE, IN ASSENZA DI FONTI DI RUMORE

TEMPERATURA D’ANTENNA E FLUSSO

2ν

A R

F AT η

k

FONTI DI RUMORE

Nel millimetrico, l’atmosfera terrestre non solo attenua il segnale proveniente dalla sorgente, ma emette a sua volta. Considerando inoltre gli effetti del rumore strumentale, la componente dovuta al rumore è data da

(1 )τn ins atmT T T e

Dove è lo spessore ottico dell’atmosfera (0 / sin h) alla frequenza

osservata.

1

2

1

atmsys

TT

VV

1 ins ambV k T T 2 1 τins atmV k T T e

Si definisce la temperatura di sistema

Per calibrare correttamente la strumentazione, si registrano in modo alternoi due segnali misurati ponendo 1) un oggetto a temperatura ambiente Tamb

davanti al ricevitore e 2) puntando una zona di cielo priva di emissione.Posti

(1 )τ τ τsys ins atm nT T T e e T e

A questo punto, la stima della temperatura d’antenna viene effettuata nel seguente modo:• Si misurano sul rivelatore i valori della ddp puntando la sorgente…• …ed una regione con il solo background (per eliminare l’effetto delle fluttuazioni di g)• Si calcola infine la temperatura d’antenna

on n AV g T T

off nV gT

La temperatura di sistema è un parametro strumentale che fornisce una stima del segnale spurio prodotto dall’ambiente e che contamina la

radiazione proveniente dalla sorgente. Se si assume Tamb ~ Tatm ,

g è il guadagno del ricevitore

on off τA sys

off

V VT T e

V

FONTI DI RUMORE

• Il rumore associato alla temperatura d’antenna TA (in K) è dato da:

dt

kTrmsT sys

A

2)(

dovek = fattore di degradazione dello spettrometro;t = tempo totale di integrazione (in s);dν = risoluzione in frequenza di ogni canale dello spettrometro;Tsys = temperatura di sistema (in K).

FONTI DI RUMORE

2

1_1

N

nn

x xrms noise

N

TECNICHE DI ACQUISIZIONE DEGLI SPETTRI

• Position switching: consiste nell’osservare alternativamente la sorgente e una posizione di riferimento vicina (non contenente la riga). Il software del ricevitore sottrae automaticamente le coppie di spettri fornendo uno spettro finale in cui gli effetti strumentali e atmosferici sono eliminati. Si applica a sorgenti compatte, in modo da trovare una posizione di riferimento vicina.

• Beam switching: si basa sull’oscillazione dello specchio secondario (chopping) in modo da osservare alternativamente (ν1Hz) due campi distinti. Contemporaneamente, a frequenza minore, il telescopio viene spostato di una quantità pari a quella coperta da un’oscillazione del secondario, in modo da osservare la sorgente nel campo in cui prima si trovava il riferimento. In questo modo si ottiene una riga negativa quando la sorgente è nel campo di riferimento e una positiva quando si trova nel campo del segnale. Questa tecnica si applica per sorgenti di piccole dimensioni angolari (più piccole del beam throw) quando il rumore del cielo è alto.

La radiazione corrispondente alla riga spettrale osservata è solo una piccola frazione della potenza totale raccolta dal telescopio, a cui contribuiscono i segnali che variano su larga banda come il rumore del sistema e il rumore di fondo. Per eliminare questi contributi è necessario adottare delle specifiche tecniche osservative:

• Frequency switching: consiste nell’acquisire coppie di spettri di cui uno alla frequenza della riga che si vuole osservare e uno di riferimento variando la frequenza dell’oscillatore locale (frequenza di tuning) di pochi MHz. Poiché la radiazione della riga si concentra su un piccolo intervallo di frequenze, mentre tutti gli altri segnali variano molto poco all’interno di una larga banda di frequenze, il segnale di riferimento acquisito contiene la riga traslata (rispetto alla posizione che aveva nel primo spettro), mentre il contributo degli altri segnali sarà pressoché invariato. La sottrazione produce un spettro finale in cui è presente sia la riga che il suo negativo, traslato di pochi MHz, mentre il segnale di fondo viene eliminato. Questa tecnica si usa per osservare righe spettrali di larghezza piccola (pochi MHz) e di regioni spazialmente estese per cui è difficile trovare una posizione di riferimento.

FREQUENZE E VELOCITA’ RADIALI L’effetto Doppler pone in correlazione le frequenze dell’emissione con le velocità radiali degli emettitori.In genere queste velocità vengono calcolate rispetto al Local Standard of Rest (LSR), un punto ideale in rotazione intorno al centro Galattico, ad una distanza pari alla distanza galattocentrica del Sole.L’equivalenza tra velocità e frequenza è data da:

0

0 0

Δ LSRν ν Vν

ν ν c

Al fine di stimare correttamente l’attribuzione di una riga (e/o di

stimare, quindi, la VLSR), è

necessario considerare i moti giornaliero ed annuo della Terra, ed il moto del Sistema Solare rispetto al LSR.

RIDUZIONE DEGLI SPETTRI RADIO

• Le immagini che si ricevono dallo spettrometro sono già

unidimensionali (TA vs. ν). Questi spettri vengono solitamente visualizzati sostituendo la

velocità alla frequenza, per cui v = 0 corrisponde a ν = ν0 .

Il frequency switching viene

correttocapovolgendo e traslando l’immagine spettrale negativa mediandola con quella positiva per ottenere uno spettro in cui sia presente una sola riga.

Per calibrare lo spettro (TA→TMB)

si divide per l’efficienza del telescopio(nel caso di sorgenti estese).

Sottrazione della baseline, eliminata per mezzo di fit polinomiali.

MAPPE D’INTENSITA’

2 2

1 1

1 1( )

v v

riga MB Av vMB

I K km s T dv T dvη

Per ottenere una mappa d’intensità occorre calcolare l’intensità di ogni riga punto per punto integrando la TA

sull’intervallo di velocità Δv sotteso dalla riga.

MAPPE DI CANALI

1i

i

v

ch MBvI T dv

Sono mappe ottenute utilizzando intensità integrate su intervalli limitati e consecutivi, al fine di evidenziare l’emissione da parte delle diverse componenti di velocità.

DIAGRAMMI VELOCITA’-POSIZIONE

Sono diagrammi in cui si rappresenta, mediante una scala di colori, l’intensità degli spettri osservati lungo una “striscia” di puntamenti nel cielo. Anche questo strumento è utile per evidenziate il contributo dato dalle varie componenti di velocità all’emissione totale.

DERIVAZIONE DI PARAMETRI FISICI DELLE NUBI

• La radiazione di intensità Iν emessa in seguito ad una transizione molecolare, propagandosi attraverso il mezzo interstellare, può subire fenomeni di assorbimento e di emissione. In generale si avrà (equazione del trasporto radiativo):

Con jν coefficiente di emissione e kν coefficiente di assorbimento del

mezzo.

Nel caso di solo assorbimento ( jν = 0) la soluzione è:

ν ν ν vdI j ds k I ds

sdssk

eIsI 0)(

)0()(

dssks

)(0 profondità

ottica

ν νν

ν ν

dI jI

dτ k

Per risolvere questa equazione si deve conoscere la funzione sorgente

Sν = jν / kν .In condizioni di equilibrio termodinamico locale (LTE) la funzione sorgente è data dalla funzione di corpo nero, ed in questo caso la soluzione è:

eIeTBI )0()1)((

In radioastronomia la soluzione di LTE può essere scritta in funzione della temperatura di brillanza TB e della temperatura di eccitazione Tex

definita come la temperatura di un corpo nero la cui emissione è pari alla funzione sorgente della nube, cioè Sν = Bν (Tex). Si trova:

Scritta in funzione della profondità ottica l’equazione del trasporto radiativo diventa:

vv eTeTBk

cT BexB

)0()1)((2 2

2

vv eTeTBk

cT BexB

)0()1)((2 2

2

)1( eTT exB

Se si trascura la radiazione di fondo, cioè TB(0)=0, e ci si trova a frequenze tali che sia valida l’approssimazione di Rayleigh-Jeans, allora la soluzione LTE è:

LTE, Rayleigh-Jeans

Quindi l’intensità della riga dipende in modo critico da τν :

exB

exB

TT

TT

se τν << 1

se τν >> 1

Prendiamo, come esempio, il caso in cui si dispone di due righe, una otticamente spessa e l’altra sottile

12CO(J = 1-0) 13CO(J = 1-0)

Si calcola la Tex relativa alla prima, notando che:

Si consideri ora l’equazione per il calcolo di TB considerando anche il contributo del fondo cosmico:

2

2( ) ( ) 1

2

( ) ( ) 1

v

v

τB ν ex ν bg

τν ex ν bg

cT B T B T e

kν

J T J T e

3

2

2 1( )

11

( )

1

ν hν

kT

ν hν

kT

hνB T

ce

hνJ T

ke

12 ( ) ( )B ν ex ν bgT CO J T J T Con = 115 GHz, Tbg = 2.73 K

J(Tbg) = 5.53 K

Se si assume, ora, che la Tex sia la stessa anche per la seconda riga, è possibile calcolare la profondità ottica di quest’ultima:

Allora,

12

5.53

5.53ln 1

0.819

ex

B

T

T CO

13,13

5.29

ln 1

15.29 0.164

1ex

B V

V

T

T COτ CO

e

La densità di colonna dell’H2 può essere calcolata assumendo una certa abbondanza relativa (es., 7 x 105, Dickman 1978).

Essa può essere utilizzata per stimare la massa della nube:

Infine, è possibile determinare la densità di colonna del 13CO:

13

13 14 25.29

Δ ( / )2.42 10 ( )

1 ex

V ex

T

τ CO V km s TN CO cm

e

13 22ΩHM CO μm D N H

D = distanza della nube= angolo solido sotteso dall’elemento di risoluzione angolaremH = massa atomica dell’idrogeno

= peso molecolare medio (2.8 se si considera un’abbondanza relativa dell’elio al 25%)

Nel caso si disponga di due righe otticamente sottili, è possibile ricavare la temperatura cinetica del gas emittente direttamente dal rapporto delle due righe.Ricordando infatti che la popolazione dei livelli segue la statistica di Maxwell-Boltzmann, e che nel caso otticamente sottile l’intensità di una riga è direttamente legata alla popolazione del livello superiore,

i

j

E

kTi i

E

kTj

N g e

Ng e

( 1) iI i i N

'/( 1)

( 1)

i

j

E

kTC Ti

E

kTj

g eI i iR Ce

I j jg e

X

Antennab

2 cos( )R E ωt1 cos[ ( )]gR E ω t τ

2[cos( ) cos(2 )] / 2g gE ωτ ωt ωτ

2 2cos( ) / 2 cos(2 / ) / 2c gR E ωτ E πυ c b s

multiply

average

s

INTERFEROMETRIASi consideri una data frequenza di osservazione e si supponga l’apparato osservativo fermo. Si consideri la radiazione proveniente da un ristretto angolo solido dΩ, lungo la direzione s.

UNA RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA

Quest’operazione può essere vista come l’applicazione, da parte deI correlatore cosinusoidale, di un pattern a frange sinusoidali di scala angolare /b radianti sul piano del cielo. Il correlatore moltiplica la brillanza della sorgente per questo pattern e integra il risultato sul cielo.

L’orientazione dipende dalla geometria della baseline.

+ + + Fringe Sign

/B rad.

Sourcebrightness

X

sAntennab

cg /sb

2 cos( )R E ωt1 cos[ ( )]gR E ω t τ

2[sin( ) sin(2 )] / 2g gE ωτ ωt ωτ

2 2[ sin( ) ] / 2 [ sin(2 / )] / 2s gR E ωτ E πυ c b s

multiply

average

90o

UN CORRELATORE PER LA PARTE DISPARI

VISIBILITA’ COMPLESSA

iSC AeiRRV

C

S

SC

R

R

RRA

1

22

tan

dsIiRRV ciSC e /2)()( sbb

La funzione complessa V è definita come la somma dei segnali in uscita dai due correlatori:

dove

Questo mette in diretta relazione la brillanza della sorgente e la risposta dell’interferometro:

VISIBILITA’ COMPLESSA

dsIiRRV ciSC e /2)()( sbb

CASO BIDIMENSIONALE

Si supponga che le misure di Vν(b) avvengano esclusivamente in un piano. Questo ci consente di ottenere una configurazione particolarmente favorevole per i calcoli.

Siano (u,v,w) le coordinate di un sistema di riferimento avente l’asse w normale al piano. Le distanze vengono misurate in lunghezze d’onda. Le componenti del vettore unitario s saranno:

e inoltre

221,,,, mlmlnml s

221 mldldmd

COSENI DIRETTORI

Il vettore unitario s è Definito dalle sue proiezionisugli assi (u,v,w). Queste componenti sono dettecoseni direttori.

221)cos(

)cos(

)cos(

mln

m

l

Il vettore baseline è specificato dalle sue coordinate (u,v,w) (misurate lunghezze d’onda).

)0,,(),,( vuwvu b

u

v

w

s

l m

b

n

INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER

dldmeml

mlIvuV vmuli

)(2

221

),(),(

dvduevuVmlI vmuli )(2),()cos(),(

Quindi, b·s /c = ul + vm + wn = ul + vm, da cui si trova

Che è la trasformata di Fourier bidimensionale tra la brillanza proiettata Iν cos(γ) e la visibilità Vν(u,v).

L’inversione di questa relazione viene effettuata come segue:

Con un numero opportuno di misure di V, dunque, è possibile ottenere I.

Il caso trattato qui è tipico di interferometri E-O.

• IRAM, Plateau de Bure, Francia.

6 antenne da 15 m

• VLA, Socorro, New Mexico.

27 antenne da 25 m

• 2010 – Progetto ALMA, San Pedro de Atacama, Cile, 5000 m:

> 64 antenne da 12 m, intervallo spettrale 70-900 GHz

VLBI

VLBI - HALCA