1

Urti fra particelle

2

Quando due particelle si urtano, agisce su di esse una forza molto grande per un intervallo

di tempo molto breve: durante il tempo in cui esse sono a contatto, esercitano l’una

sull’altra una forza molto intensa.

Il fenomeno è simile al caso di una mazza che colpisce una palla. Durante il brevissimo

intervallo di tempo in cui la mazza è a contatto con la palla, su di questa si esercita una

forza molto grande.

La forza in gioco varia nel tempo in un modo

abbastanza complicato che non è facilmente

quantificabile.

Queste forze si chiamano impulsive.

Impulso e quantità di moto

3

Il generale possiamo supporre che l’andamento in funzione del tempo di una forza

impulsiva del genere sia approssimabile come in figura, e che la forza abbia una

direzione costante.

F(t)

tt2t1

Δt

In questo caso, la collisione inizia all’istante

t1 e finisce all’istante t2.

La forza è nulla prima e dopo.

Dall’equazione che abbiamo scritto a proposito

della forza e della variazione di quantità di moto

(la II Legge di Newton nella sua formulazione

generale), si ha:

F = dp/dt

4

Possiamo quindi scrivere che la variazione infinitesima di quantità di moto dp dovuta ad

una forza F che agisce per un tempo infinitesimo dt è data da:

dp = F(t) dt

Possiamo quindi ricavare la variazione di

quantità di moto di un corpo durante un urto

integrando questa equazione su tutto l’intervallo

di tempo in cui dura l’urto, ricavando in sostanza

l’area in figura.

Δp = F(t) dt

F(t)

tt2t1

Δt

∫ Δp t1

t2

5

L’integrale di una forza F sull’intervallo di tempo in cui agisce, viene definito impulso ed

è una grandezza vettoriale. Di norma indicheremo il vettore impulso con J

J = F (t) dt = Δp

Pertanto, la variazione di quantità di moto a cui è soggetto un corpo su cui agisce

una forza impulsiva (direzione costante durante il tempo di applicazione) è uguale all’impulso.

∫t1

t2

6

Ricordando quello che abbiamo discusso a proposito del teorema lavoro-energia,

risulta quindi che:

ΔL = F(x) dx = ΔE = −ΔU Lavoro – energia

Δp = F (t) dt Impulso – Quantità di moto

∫x1

x2

∫t1

t2

7

Fenomeni d’urto

Consideriamo l’urto fra due particelle di massa m1 e m2, come illustrato in figura:

m1 m2

F1 F2

Durante il brevissimo intervallo di tempo Δt in cui le due masse sono a contatto,

esse esercitano una sull’altra una grande forza. Ad ogni istante, la massa m1

esercita una forza F2 sulla massa m2 e la massa m2 esercita una forza F1 sulla

massa m1

In base alla III Legge di Newton, queste due forze sono, istante per istante, eguali e

contrarie e agiscono per lo stesso intervallo di tempo Δt = t2 –t1

8

La variazione di quantità di moto della particella 1 sarà pertanto:

Δp1 = F1 dt = <F1> Δt dove <F1> è il valor medio di durante l’intervallo Δt ∫t1

t2

E analogamente, la variazione di quantità di moto della particella 2 sarà:

Δp2 = F2 dt = <F2> Δt dove <F2> è il valor medio di durante l’intervallo Δt ∫t1

t2

Sappiamo che ad ogni istante risulta F1 = −F2 quindi

<F1> = − <F2> Δp1 = − Δp2

9

La quantità di moto totale del sistema d’altra parte è data dalla:

P = p1 + p2

E poiché come abbiamo visto

Δp1 = − Δp2

che implica

Δp1 + Δp2 = 0 Δ(p1 + p2) = 0 ΔP = 0

Questo riflette i fatto che la quantità di moto del sistema (che considerato come un

sistema isolato in quanto le uniche forze che abbiamo preso in esame sono le forze

interne) non cambia durante l’urto

10

Urti in una dimensione

Sebbene non sempre sono note le forze che agiscono durante un urto, nel caso unidimensionale

l’applicazione delle leggi di conservazione della quantità di moto e di conservazione

dell’energia di norma consente di prevedere l’esito dell’urto, cioè la determinazione

del moto dei corpi dopo l’urto, se è noto il moto dei corpi prima dell’urto.

In generale, parlare di urti, non vorrà dire limitarsi al caso in cui due corpi entrano

fisicamente in contatto. Si può parlare di urti anche in quei casi in cui i corpi in

questione esercitano delle forze l’uno sull’altro, in grado di modificarne il moto.

11

Un esempio famoso di questo genere di «urti» è la fionda gravitazionale:

Un satellite artificiale in rotta di avvicinamento verso un pianeta di grande massa,

a causa dell’interazione gravitazionale con esso, viene fiondato via a velocità superiore

a quella che aveva in avvicinamento al pianeta. Il caso del Pioneer 10

Direzione del moto di Giove

v iniziale 10 km/s

v finale 22 km/s

12

Dunque il pianeta “afferra” la sonda e la rilancia fornendogli energia: per analogia

proprio col fenomeno della fionda, questo meccanismo viene detto fionda gravitazionale

Nell’accelerare la sonda il pianeta fornisce parte della sua energia, rallentando il

proprio moto. Tuttavia, a causa dell’enorme disparità tra la massa della sonda e

quella del pianeta, quest’ultimo rallenta in maniera impercettibile e possiamo

dire che continua a muoversi come se niente fosse successo.

13

Gli urti di norma sono classificati a seconda che si conservi o non si conservi l’energia

cinetica.

Quando l’energia cinetica si conserva, l’urto è definito urto elastico

Altrimenti, se l’energia cinetica non si conserva, l’urto è definito urto anelastico

14

Qualitativamente:

Urto elastico: oltre alla Quantità di moto, si conserva l’energia cinetica

ΔK = 0 ½ m1 v12 = ½ m2 v2

2

Urto anelastico: La Quantità di moto si conserva, ma l’energia cinetica NO

−ΔK per esempio per dissipazione in energia termica

15

Un altro esempio di urto anelastico può anche essere il caso in cui i due corpi

restano attaccati. In questo caso è definito urto completamente anelastico

Il termine completamente anelastico non vuol dire che tutta l’energia cinetica

viene dissipata, ma ne viene dissipata piuttosto la massima consentita dalla

conservazione della quantità di moto

16

Quindi, occorre considerare con particolare attenzione quei casi in cui sembra che ogni velocità

si sia completamente annullata (violando apparentemente la conservazione della

quantità di moto). Per esempio, come commentereste l’esempio di seguito ?

Qui sembrerebbe che tutta l’energia cinetica si sia dissipata nel riscaldamento

della biglia, dato che tutte le velocità si sarebbero annullate e che di

conseguenza la legge di conservazione della quantità di moto non sia stata

rispettata. In realtà non è vero: la biglia ha trasmesso quantità di moto alla

massa del muro (ancorato a terra), solo che dato il rapporto fra e masse

questa velocità è piccolissima.

17

Cominciamo adesso col discutere più a fondo gli urti elastici unidimensionali

(di cui abbiamo già visto sin dalla prima lezione qualche caso particolare)

TRATTIAMO ADESSO IL CASO PIU’ GENERALE

Cioè trattiamo il caso in cui tutte e due le biglie hanno una certa velocità inziale

La velocità iniziale delle due biglie potrà essere nello stesso verso come nell’esempio

illustrato, così da dare luogo all’urto come in «un inseguimento», o potrà essere di

verso opposto, così da dare luogo ad un urto frontale.

18

m1 m2

Prima dell’urto

(velocità u)

Dopo l’urto

(velocità v)

velocità = u1

velocità = v1

velocita = u2

velocità = v2

19

In base alle Leggi di Conservazione che abbiamo studiato potremo scrivere:

Prima dell’urto Dopo l’urto

Conservazione della

Quantità di Moto

Conservazione della

Energia Cinetica

(Urto elastico)

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

½ m1u12 + ½ m2u2

2 = ½ m1v12 + ½ m2v2

2

20

L’equazione per la quantità di moto:

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

si può scrivere:

m1 (u1 − v1) = m2 (v2 −u2 )

e quella per l’energia cinetica:

½ m1u12 + ½ m2u2

2 = ½ m1v12 + ½ m2v2

2

si può scrivere:

m1(u12 − v1

2) = m2(v22 −u2

2 )

21

Dividendo l’equazione

m1(u12 − v1

2) = m2(v22 −u2

2 )

per l’equazione

m1 (u1 − v1) = m2 (v2 −u2 )

si ha

(u12 − v1

2) / (u1 − v1) = (v22 −u2

2 ) / (v2 −u2 )

cioè:

(u1 − v1) x (u1 + v1) / (u1 − v1) = (v2 −u2 ) x (v2 + u2 ) / (v2 −u2 )

u1 + v1 = v2 + u2

Cioè la somma delle velocità della massa m1 prima e dopo l’urto è uguale alla somma

delle velocità prima e dopo l’urto della massa m2

22

Questa equazione:

u1 + v1 = v2 + u2

può anche essere scritta:

u1 − u2 = v2 − v1

Cioè le differenze di velocità di ognuna delle due biglie prima e dopo l’urto sono eguali e contrarie.

23

Per determinare le velocità v1 e v2 delle due biglie dopo l’urto, note le velocità prima

Dell’urto u1 e u2, possiamo usare una delle due equazioni precedenti.

Per esempio, utilizzando la:

u1 + v1 = v2 + u2

scriveremo:

v2 = u1 + v1 − u2

Introducendo questa equazione nella precedente: m1 (u1 − v1) = m2 (v2 −u2 )

si ricava:

m1 (u1 − v1) = m2 (u1 + v1 −2u2 ) m1u1− m1v1 = m2 u1 + m2 v1 − 2 m2u2

24

m1u1− m1v1 = m2 u1 + m2 v1 − 2 m2u2

m1u1 + 2 m2u2 − m2 u1 = m2 v1 +m1v1

m1u1 + m2 (2u2 − u1) = v1 (m2 +m1)

v1 = [ m1u1 + m2 (2u2 − u1) ] / (m2 +m1)

v1 = m1u1/ (m2 +m1) + m2 2u2 / (m2 +m1) − u1/ (m2 +m1)

v1 = u1 [m1/ (m2 +m1) − 1/ (m2 +m1) ] + m2 2u2 / (m2 +m1)

25

Da cui si ricava:

v1 = u1 (m1 − m2) / (m1 +m2) + u2 2 m2 / (m1 +m2)

E analogamente per v2 si ricava:

v2 = u1 2 m1 / (m1 +m2) + u2 (m2 − m1) / (m1 +m2) Un caso particolare:

m1 = m2

Risulta:

v1 = u2 velocità finale particella 1 = velocità iniziale particella 2

v2 = u1 velocità finale particella 2 = velocità iniziale particella 1

Cioè se m1 = m2 le due particelle si scambiano le velocità

26

Un altro caso interessante è quello in cui la particella m2 è inizialmente ferma, cioè u2 = 0

In questo caso risulta:

v1 = u1 (m1 − m2) / (m1 +m2)

v2 = u1 2 m1 / (m1 +m2)

Se allo stesso tempo m1 = m2 si ottiene

v1 = 0 la prima particella si ferma

v2 = u1 la seconda particella scatta via con la sua velocità

Se invece m2 >> m1 (particella ferma MOLTO più massiva di quella incidente) si ha:

v1 ≈ −u1 la prima particella, quella incidente, rimbalza circa con la stessa velocità (caso della palla che cade per terra)

v2 ≈ 0 la seconda particella, quella ferma e molto massiva, non si muove (casodella terra colpita dalla palla)

27

Se infine si ha m2 << m1 (particella ferma MOLTO più leggera di quella incidente) si ha:

v1 ≈ u1 la velocità della particella pesante rimane invariata

v2 ≈ 2u1 la velocità con cui schizza via la particella leggera che era ferma è il doppio della velocità della biglia pesante incidente.

Alla luce di queste formule che derivano dalla applicazione congiunta della

Conservazione della Quantità di Moto e della Conservazione dell’Energia Cinetica,

ci rendiamo conto che gli esperimenti pensati durante le prime lezioni non tenevano

in conto la «velocità residua» della biglia incidente, che seppure in molti casi può

essere minima, esiste comunque a meno che le due biglie non abbiano la stessa

massa.

28

m1 ≥ m2

Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:

a) si ferma solo se ha rigorosamente la stessa massa della biglia bersaglio

b) prosegue alla sua stessa velocità solo se è MOLTO più massiva della biglia bersaglio

c) se ha una massa intermedia manterrà una certa velocità inferiore a quella iniziale

Negli esperimenti simulati che abbiamo visto durante le prime lezioni infatti,

NON ci eravamo preoccupati della velocità residua della biglia incidente

29

m1 ≤ m2

Una biglia incidente su una biglia bersaglio ferma:

a) si ferma solo se ha la stessa massa della biglia bersaglio

b) Rimbalza indietro con la sua stessa velocità cambiata di segno solo se è MOLTO più

leggera della biglia bersaglio

c) se ha una massa intermedia avrà un lieve rimbalzo ma non sarà del tutto ferma

Negli esperimenti simulati che abbiamo visto durante le prime lezioni infatti,

NON ci eravamo preoccupati della velocità residua della biglia incidente

30

Riassumendo:

Nel caso di biglie di massa differente, il caso in cui una biglia incidente su una biglia ferma si

ferma anch’essa, cedendo tutta la sua quantità di moto alla biglia ferma, non violerebbe la

Legge di Conservazione della Quantità di Moto. Cioè: gli esperimenti che avevamo

immaginato in cui la biglia incidente NON si ferma mai anche se le due masse sono

differenti, NON violano la quantità di moto, ma semplicemente non è così che le cose

vanno in natura: l’applicazione congiunta della Conservazione della Quantità di Moto e

della Conservazione dell’Energia Cinetica vieta che la biglia incidente si fermi a meno che

le due masse non siano equali.

31

Nel caso di urti anelastici, continua a valere la Conservazione della Quantità di Moto

ma non possiamo utilizzare la Conservazione dell’Energia Cinetica, in quanto parte

dell’energia cinetica viene dissipata in calore.

Per potere ricavare le velocità delle particelle dopo l’urto dovremmo pertanto applicare

la conservazione dell’energia totale il che in molti casi non è semplice in quanto potrebbe

non essere noto quanta energia cinetica si è dissipata in energia termica.

Urti anelastici

32

Fra gli urti anelastici, l’unico che può essere risolto avendo a disposizione la sola legge di

conservazione della quantità di moto è l’urto completamente anelastico. In questo caso

infatti le due particelle rimangono attaccate e dopo l’urto hanno quindi la stessa velocità v.

Avendo una sola velocità da determinare, può essere ricavata con una sola equazione:

m1 u1 + m2 u2 = ( m1 + m2 ) v

33

una domanda che potrebbe sembrare naive, ma che è stata oggetto di dibattito è:

Ma allora una forza si caratterizza per la sua capacità di cambiare la quantità di moto?

oppure per la sua capacità di cambiare l’energia cinetica ?

In realtà possiamo affermare che l’effetto cumulativo di una forza può essere misurato

sia dal suo effetto integrato nel tempo, sia per il suo effetto integrato nello spazio.

I due integrali danno rispettivamente una misura delle variazioni di quantità di moto

e di energia prodotte dalla forza.

L’utilizzo delle due Leggi di Conservazione risulta quindi essenziale per la soluzione

dei problemi del moto dei corpi. Poiché come abbiamo visto è sempre l’applicazione

di una forza esterna che genera variazioni della quantità di moto ed è sempre

l’applicazione di una forza esterna che genera variazioni di energia cinetica:

34

Urti in due dimensioni

Abbiamo visto che nel caso di urti elastici unidimensionali, l’applicazione delle due

leggi di conservazione studiate ci fornisce sufficienti equazioni per determinare le

velocità dopo l’urto, note le velocità prima dell’urto.

Nel caso di urti elastici in due dimensioni invece abbiamo 4 incognite che sono le

componenti x e y delle velocità dopo l’urto delle due particelle, ma abbiamo a

disposizione solo 3 equazioni: due per la quantità di moto lungo x e lungo y

e una per l’energia cinetica.

L’unico caso in cui un urto in due dimensioni può essere risolto è infatti il caso di un

urto completamente anelastico: in questo caso infatti le due particelle rimangono attaccate,

hanno cioè la stessa velocità e abbiamo pertanto 2 incognite in meno

35

Pertanto, nel caso di urti elastici in due dimensioni, occorrono maggiori informazioni

sul particolare esperimento in questione.

Una situazione semplice è quella in cui viene fornito come dato del problema l’angolo

con cui viene deviata una delle due particelle.

36

Consideriamo per esempio un urto in due dimensioni come di seguito:

37

m1 u1

m 2

v 2

m1 v

1

m2

PRIMA DELL’URTO

38

m1 u1

m 2

v 2

m1 v

1

m2

DOPO L’URTO

39

m1 u1

m 2

v 2

m1 v

1

m2

Indicheremo con b il cosiddetto parametro d’urto, cioè la distanza fra la traiettoria dellaparticella incidente ed una parallela passante per il centro della particella bersaglio

b

θ2

θ1

Indicheremo con θ1 l’angolo di cui viene

deviata la particella 1 e θ2 l’angolo con cui

si muove la particella 2 dopo l’urto

40

Applicando la conservazione della quantità di moto che essendo una relazione

vettoriale ci fornisce due equazioni scalari, una lungo x e una lungo y, si ha:

Per l’asse x:

m1 u1 = m1 v1 cos (θ1) + m2 v2 cos (θ2)

e per l’asse y:

0 = m1 v1 sin (θ1) + m2 v2 sin (θ2)

Per un urto elastico potremo anche applicare la conservazione dell’energia cinetica:

½ m1 u12 = ½ m1 v1

2 + ½ m2 v22

41

Note le sole condizioni iniziali:

m1 m2 e u1

avremmo 4 incognite:

v1 v2 θ1 e θ2

E abbiamo a disposizione solo 3 equazioni

Pertanto potremo descrivere il moto dopo l’urto solo se

misuriamo una delle 4 incognite, per esempio θ1

42

Sezione d’urto

Quando invece le forze in gioco nell’urto sono note, si possono derivare le caratteristiche

del moto a partire dalle sole condizioni iniziali. In questo caso, la stessa legge fondamentale

della dinamica (la II Legge di Newton) fornisce la quarta equazione necessaria.

In questo caso, il parametro d’urto diventa un’importante condizione iniziale che deve essere

nota per definire il range di azione della forza in questione.

Per esempio può essere utile definire una dimensione massima del parametro d’urto per il

quale la deflessione attesa è la minima, affinché nel particolare esperimento si possa

parlare di urto.

In sostanza, risulta rilevante definire la distanza sino alla quale la forza di interazione è efficace

43

In sostanza, possiamo definire un’area attorno alla particella bersaglio, tale che

l’urto avviene solo se la particella incidente intercetta questa area

Chiameremo quest’area sezione d’urto σ

44

In sostanza, possiamo definire un’area attorno alla particella bersaglio, tale che

l’urto avviene solo se la particella incidente intercetta questa area

Chiameremo quest’area sezione d’urto σ