Università di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Elettronica

Benvenuti al modulo di:

Elaborazione dei Segnali

Proff. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca

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Università di Roma Tor VergataUniversità di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria ElettronicaElettronica

a.a. 2005/2006

Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

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Informazioni generali (1/3)Informazioni generali (1/3)

Ricevimento:

Ruggieri: Giovedi’ ore 10.00 – 14.00

Cianca: Martedi, 16.00-18.00

1a prova in itinere: 20 Aprile 2006

Recupero prova in itinere: 27 Aprile 2006

Appello scritto + colloqui orali: 9 Maggio 2005

Colloqui orali bis: 12 Maggio 2005


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Informazioni generali (2/3)Informazioni generali (2/3)

Testo di Teoria:

A. V. Oppenheim – R. W. Schafer Benedetto, E. Biglieri:

“Discrete-Time Signal Processing”

Prentice Hall, 1989

Testo di EserciziM. Ruggieri-M. Luglio – M. Pratesi

“Digital Signal Processing: Exercices and Applications”

Aracne, 2004

Altro materiale didattico:

Dispense ed esercizi a cura dei docenti

http://www.uniroma2.it/didattica/ES_COLL


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Segnali:Segnali:

•I dati sperimentali che rappresentano un fenomeno fisico sono chiamati segnali.

•Es.: fluttuazioni della temperatura in una stanza in funzione del tempo, variazioni di pressione in un punto di un campo acustico.

•Il fenomeno fisico rilevato da un trasduttore e trasformato in una grandezza elettrica opportuna si presenta di solito come segnale continuo (o analogico) in funzione del tempo.

Concetti base: segnali digitaliConcetti base: segnali digitali


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Segnali Digitali:Segnali Digitali:

In molti casi i segnali possono assumere una rappresentazione discreta, o per motivi inerenti al fenomeno stesso o per qualche procedimento di campionamento. In questo caso i segnali sono caratterizzati da una sequenza di punti (numeri).

Attenzione: non e’ detto che la variabile indipendente sia il tempo, potrebbe essere il profilo di una strada e quindi la variabile e’ la distanza.

Concetti base: segnali digitaliConcetti base: segnali digitali


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SistemiSistemi

Un sistema e’ un’ entità che manipola uno o più segnali per svolgere una funzione e quindi tirare fuori altri segnali

ingressoingresso

Es.: sistema di controllo dell’atterraggio di un aereo

Ingresso: posizione dell’aereo relativamente alla pista

Sistema: aereo

Uscita: correzione laterale alla posizione dell’aereo

Obiettivo: tenere l’aereo parallelo alla pista d’atterraggio

sistemasistema uscitauscita


7Operazioni base sui segnaliOperazioni base sui segnali

Operazioni sulla variabile dipendenteOperazioni sulla variabile dipendente

Amplificazione/attenuazione dell’ampiezza

y(t)=cx(t)

Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: amplificatore elettronico, un resistore

Addizione

y(t)=x1(t)+ x2(t)

Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: operazionale

Moltiplicazione

y(t)=x1(t)x2(t)

Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: modulatore d’ampiezza


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Operazioni base sui segnaliOperazioni base sui segnali

Operazioni sulla variabile dipendenteOperazioni sulla variabile dipendente

Derivazione:

Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: induttore

Integrazione:

Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: seguente circuito con condensatore.

)()( txdt

dty

)()( tidt

dLtv

t

dxty )()(

t

diC

tv )(1

)(


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Operazioni base sui segnaliOperazioni base sui segnali

Operazioni sulla variabile indipendenteOperazioni sulla variabile indipendente

Espansione/compressione temporale: y(t)=x(at)

Riflessione: y(t)=x(-t)

Traslazione temporale: y(t)=x(t-t0)

1-1

x(t) x(2t)

-1/2 1/2

x(t/2)

2-2

x(t)

b-a

x(-t)

a-b


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Elaborazione del segnaleElaborazione del segnaledigitale o analogica?digitale o analogica?

L’elaborazione del segnale può essere implementata in due modi:

Analogica o tempo continua:Analogica o tempo continua: uso di elementi circuitali analogici come resistenze, capacità, induttori, transistor, amplificatori, diodi

Digitale o tempo discreta:Digitale o tempo discreta: uso di sommatori e moltiplicatori (per operazioni artimetiche) e di elementi di memoria per immagazzinare i dati (questi tre sono gli elementi base degli elaboratori digitali)


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DIGITALEDIGITALE ANALOGICAANALOGICA

Tempo realeTempo reale Dipendente dal tempo necessario per svolgere le operazioni richieste

garantito

FlessibilitàFlessibilità Lo stesso dispositivo digitale (HW) può essere usato per realizzare diverse operazioni di elaborazione del segnale, semplicemente cambiando il programma SW

Il sistema deve essere ri-progettato ogni volta che le specifiche per l’elaborazione cambiano

RipetibilitàRipetibilità Una prescritta elaborazione del segnale può essere realizzata più volte uguale a se stessa (es. controllo di un robot).

I sistemi analogici sono sensibili alle variazioni di parametri come la tensione di alimentazione o la temperatura della stanza, rendendo impossibile la ripetibilità di una prescritta elaborazione


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L’elaborazione digitale ieri:L’elaborazione digitale ieri:

Il principale svantaggio dell’elaborazione digitale era il fatto che comporta una complessità circuitale maggiorecomplessità circuitale maggiore e quindi, in passato, un costo costo maggioremaggiore.

L’elaborazione digitale oggi:L’elaborazione digitale oggi:

La crescente disponibilità di circuiti VLSIcircuiti VLSI, nella forma di chip di silicio, ha reso l’elaborazione digitale relativamente economica e quindi i risultati elaboratori digitale hanno prezzi competitiviprezzi competitivi con la controparte analogica.

La scelta tra analogico e digitale può essere determinata solo dall’applicazione specifica, le risorse disponibili, il costo complessivo.

Gran parte dei sistemi oggi hanno una parte digitale ed una parte analogica.

SEQUENZE E SISTEMI DISCRETISEQUENZE E SISTEMI DISCRETI

Marina Ruggieri, Modulo di Elaborazione Numerica dei Segnali 1, a.a. 2004/2005


14SequenzeSequenze

esempioesempio

• x(n):x(n): indica la sequenza oppure il valore n-simo di essa

• x(n) non e’ definita per valori di n non interix(n) non e’ definita per valori di n non interi

• interpretazione temporale di x(n): x(t)|x(t)|t=t=nTnT con T=con T=quanto temporalequanto temporale


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Energia e Potenza di una sequenzaEnergia e Potenza di una sequenza

Sequenza e’ di energia se s non e’ infinita

ENERGIAENERGIA

POTENZAPOTENZA

attenzione all’origine!attenzione all’origine!

Sequenza e’ di potenza se e solo se 0 < Ps <

attenzione al numero di punti!attenzione al numero di punti!

Sequenza e’ di potenza e periodica


16 EsempiEsempiImpulso discreto (unitario)Impulso discreto (unitario)

e’ una sequenza di energiae’ una sequenza di energia

Gradino discreto (unitario)Gradino discreto (unitario)

e’ una sequenza di potenzae’ una sequenza di potenza

Esponenziale discreto Esponenziale discreto


17

Traslazione di una sequenzaTraslazione di una sequenza


18Proprietà dei sistemi discretiProprietà dei sistemi discreti

LINEARITA’LINEARITA’

a1

a2

a3

x1(n)

x2(n)

x3(n)

T y1(n)

T

T

T

x1(n)

x2(n)

x3(n)

a1

a2

a3

y2(n)

Se ySe y11(n)= y(n)= y22(n),T descrive un sistema lineare(n),T descrive un sistema lineare

ENERGIAENERGIA


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Proprietà dei sistemi discretiProprietà dei sistemi discreti

Invarianza alla traslazioneInvarianza alla traslazione

Fisicamente: le caratteristiche del sistema non cambiano nel tempoFisicamente: le caratteristiche del sistema non cambiano nel tempo


20Esempio: meccanica delle vibrazioniEsempio: meccanica delle vibrazioni

Studio delle vibrazioni tratta ogni oscillazione di una grandezza intorno ad una posizione di equilibrio.

La forma piu’ semplice di oscillazione e’ il moto armonico che puo’ essere descritto da un vettore rotante che si ripete ad uguali intervalli di tempo.

Esempio di sistema oscillante:

Fig. 1

Massa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di rigidezza k.

xm

tiAe



La molla applica alla massa una forza di richiamo proporzionale allo spostamento e l’equazione fondamentale della dinamica si scrive:

kxxmdt

xdmF

2

2

Questa equazione differenziale del secondo ordine, risolta, definisce il moto di x. Moto di x = uscita del sistema oscillante

Ingresso del sistema = eventuale forza esterna applicata

L’equazione differenziale (*) suppone che non ci sia una forza esterna eccitante salvo all’inizio del fenomeno (perturbazione iniziale). La soluzione rappresenta le cosiddette oscillazioni libere del sistema, dovute solo all’azione di forze inerenti il sistema e non esterne ad esso

(*)



Definendo wn= k/m, l’equazione precedente ha la seguente soluzione:

con A e B determinate dalle condiziono iniziali (t=0).

tBtAsintx nn cos)(

Le oscillazioni del sistema sono oscillazioni armoniche con frequenza wn che prende il nome di pulsazione propria o naturale del sistema.



Oscillazioni smorzate

xm

Elemento smorzante

smorzamento viscoso xcxR )(0 kxxcxm

Fig. 2



In molti casi pratici le azioni eccitanti sono invece continuamente applicate ed interessa allora conoscere la legge del moto queste condizioni di oscillazioni forzate.

Si consideri il sistema di Fig.2, a cui venga applicata alla massa m una forza variabile con il tempo F(t).

L’equazione differenziale del moto diventa:

Lo studio della risposta ad una eccitazione arbitraria può essere ottenuto considerando la forza eccitante costituita da un’insieme di impulsi elementari.

Forza impulsiva che agisce nell’istante t=a e’ cosi definita:

)(tFkxxcxm

)()( 0 atFtF


25Esempio: meccanica delle vibrazioniEsempio: meccanica delle vibrazioniL’impulso di Dirac puo’ essere considerato come il caso limite di un ingresso ad ampiezza finita, applicato per t finito, tale che F0 t=1. Diminuendo t tale che rimanga F0 t=1, l’impulso termina prima che il sistema si sia mosso sensibilmente, ma si raggiunge una notevole velocita’! Per t 0 il sistema non ha tempo di spostarsi quindi x 0 e l’equazione diventa:

risolvendo si ottiene:

e quindi, il sistema risponde all’impulso con condizioni iniziali:

0Fcvvmxcxm

tmcem

Fv )/(0

m

Fvx

x

00)0(

0)0(


26Esempio: meccanica delle vibrazioniEsempio: meccanica delle vibrazioniCon queste condizioni iniziali e definendo il fattore di smorzamento:

la soluzione diventa:

)()1(1

)( 02

2

0 thFtsinem

Ftx n

t

n

n

km

c

2

Risposta impulsiva del sistemaRisposta impulsiva del sistema



Per un sistema lineare a parametri costanti nel tempo (come quello dell’esempio), la risposta stazionaria a una forza qualsiasi F(t) e’ ottenibile come prodotto di convoluzione o prodotto convolutorio della forza F(t) e la risposta impulsiva del sistema:

)()()()()(0

thtFdthFtxt



Sistema Sistema LLineare E ineare E IInvariante alla nvariante alla TTraslazioneraslazione

(LTI = Linear and Time Invariant)(LTI = Linear and Time Invariant)

a) La risposta del sistema è additiva e omogenea: vale cioe’ il principio di sovrapposizione e inoltre la risposta ad una eccitazione per una costante è pari alla costante per la risposta alla sola sollecitazione

b) Proprietà base dei sistemi LTI: le caratteristiche dinamiche del sistema possono essere descritte dalla risposta impulsiva h(t)



STABILITA’STABILITA’

CAUSALITA'CAUSALITA'

MEMORIAMEMORIA


30Esempio di convoluzione discreta (1/3)Esempio di convoluzione discreta (1/3)

Sistema LIT con x(n) rettangolare di durata N e :

Sequenze di partenza: x(n) e ribaltamento di h(n)Sequenze di partenza: x(n) e ribaltamento di h(n)

Traslazioni di h(-n)=h(0-n) Traslazioni di h(-n)=h(0-n)



1. per n < 0 :per n < 0 : h(n - k) e x(k) non hanno campioni non nulli che si sovrappongono y(n) = 0y(n) = 0

2. per 0 ≤ n < N :per 0 ≤ n < N : h(n - k) e x(k) hanno valori non nulli che si sovrappongono da k=0 a k=n

3. per n per n >> N - N - 1 1 :: i valori non nulli di h(n - k) e x(k) che si sovrappongono si estendono da k= 0 a k = N - 1



Zona 1Zona 1

Zona 2Zona 2 Zona 3Zona 3

IL RISULTATO FINALE DELL’ESEMPIO DI CONVOLUZIONE E’, DUNQUE:IL RISULTATO FINALE DELL’ESEMPIO DI CONVOLUZIONE E’, DUNQUE:


33Esempi sulle proprieta’ dei sistemiEsempi sulle proprieta’ dei sistemi

ESEMPIO SU CAUSALITA’ E STABILITA’ESEMPIO SU CAUSALITA’ E STABILITA’


34Esempi sulle proprieta’ dei sistemiEsempi sulle proprieta’ dei sistemi

ESEMPI SULLA MEMORIAESEMPI SULLA MEMORIA


35UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETIUN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI

Il modello (equazione alle differenze a coefficienti costanti di ordine N) si applicaa sistemi LIT che supporremo anche causali e, dunque, in forma esplicita diventa:

L’ n.mo valore di uscita e’ calcolabile da: 1) n.mo valore ingresso; 2) M valori precedenti d’ingresso; 3) N valori precedenti d’uscita.


36UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETIUN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI

Se nel modello si pone N=0N=0:

cioe’ y(n) e’ dato dalla convoluzione discreta tra x(n) e:

di durata finita finita pari a M+1M+1.


37CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DISCRETI LITCLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DISCRETI LIT

I sistemi LIT possono essere:

1. FIRFIR (Finite Impulse ResponseFinite Impulse Response), con risposta all’impulso (di durata) finita.N.B. se N=0 nel modello, il sistema e’ FIRN.B. se N=0 nel modello, il sistema e’ FIR

2. IIRIIR (Infinite Impulse ResponseInfinite Impulse Response), con risposta all’impulso (didurata) infinita.N.B. se NN.B. se N≠≠0 nel modello, il sistema e’ IIR0 nel modello, il sistema e’ IIR

Questa e’ una classificazione molto importante ai fini progettuali progettuali .

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