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Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica analisi della varianza ad un criterio di classificazione

Università del Piemonte Orientale

Corso di laurea in medicina e chirurgia

Corso di Statistica Medica

Analisi dei dati quantitativi :

Analisi della varianza


Analisi di una variabile quantitativa con il confronto tra diversi gruppi di soggetti:

A. Confronto tra una media campionaria ed una popolazione i cui parametri

sono noti

B. Confronto tra una media campionaria ed una popolazione di cui è nota

la media ma non la deviazione standard

C. Confronto tra 2 campioni appaiati

D. Confronto tra due campioni indipendenti

E. Confronto tra n campioni indipendenti

F. Confronto tra misure ripetute sugli stessi soggetti

Il caso E corrisponde all'analisi della varianza

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia

L'analisi della varianza serve a confron

soggetti.

Var. quantitativa

Var. Categorica
Corso di Statistica Medica analisi della varianza ad un criterio di classificazione
tare tra loro le medie di 3 o più gruppi di


Obiettivo dell'analisi è misurare se la differenza tra le medie (variabilità tra

gruppi) è superiore alla variabilità interna a ciascun gruppo (variabilità entro

gruppi).

Si tratta di un metodo molto potente che si presta anche ad analisi molto

complesse.


Parliamo di analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione quando

consideriamo una sola variabile di ordinamento.

Il livello minimo della variabile di ordinamento è nominale.

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 6

Partiamo da un esempio con dati sulla resa di una

coltura agricola in relazione al tipo di trattamento

fertilizzante.

La resa è espressa in q.li / ha.

Il tipo di trattamento è una variabile nominale con 3

valori: 1, 2, 3.

Incominciamo con alcune esplorazioni grafiche dei

dati.

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 7

resa trattam.6,27 15,36 16,39 14,85 15,99 17,14 15,08 14,07 14,35 14,95 13,07 23,29 24,04 24,19 23,41 23,75 24,87 23,94 26,28 23,15 24,04 33,79 34,56 34,55 34,55 34,53 33,53 33,71 37,00 34,61 3

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione 8

Plot dei dati

012345678

0 5 10 15 20 25 30 35

Case Number

resa


012345678

0 5 10 15 20 25 30 35

Case Number

resa


Medie +- 2 DS , separatamente per i tre gruppi

01234567

a b cGroup

X


Box plot

a b c

Group

0

1

2

3

4

5

6

7

8

X


Diagramma a punti


I grafici suggeriscono una differenza tra i tre gruppi.

Vediamo dal grafico seguente che i tre gruppi sono in posizione diversa rispetto

alla media generale, calcolata su tutte le osservazioni.

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Analisi della varianza ad 1 c

012345678

0 5 10 15 20

Case Number

resa

1 2 3

riterio di classificazione 14

25 30 35

Media


Com'è distribuita la variabilità in queste osservazioni?

Esaminiamo prima la variabilità totale, poi quella all'interno di ciascun gruppo ed

in ultimo la variabilità delle medie dei diversi gruppi.


La variabilità totale


La variabilità entro gruppi o within groups


La variabilità tra gruppi (la differenza tra le medie dei diversi gruppi e la media

generale) o between groups


L'equazione fondamentale dell'analisi della varianza

Devianza totale = Devianza tra gruppi + Devianza entro gruppi


Ipotesi di lavoro :

H1: non tutti i tre gruppi hanno media uguale (sono possibili diverse

combinazioni) =

= diverso da (µ1= µ2= µ3 )

H0: µ1= µ2= µ3 =µ


Assunzione fondamentale:

σσσσ 22

3

2

2

2

1 ===


Se l'assunzione della stessa varianza per i diversi gruppi è vera, la variabilità

'entro gruppi' (within groups) sarà uguale nei tre gruppi. La stima migliore di

questa variabilità è la stima pooled (analoga a quella già vista per il test t di

student per gruppi appaiati).

( )kn

SnS

k

k

k

w −

−=∑ 2

121

k= numero dei gruppi

n= numero osservazioni

S k

2= varianza nel gruppo k-esimo


La variabilità 'tra gruppi' (between groups) sarà stimata dalla somma degli

scostamenti tra le medie dei diversi gruppi e la media generale pesati per il

numero di osservazioni nel gruppo ( kn ), divisa per il numero di gruppi -1 (k - 1) .

( )1

1

2

2

−

−=∑

k

xxnS

k

kk

b

k= numero dei gruppi ; nk = numero osservazioni nel gruppo k

xk = media nel gruppo k-esimo

x = media generale


Se H0 è vera allora la variabilità tra gruppi sarà dovuta solo all'effetto degli

errori casuali e quindi le variabilità tra ed entro gruppi saranno uguali

22wb SS =


Un test in grado di misurare la probabilità di osservare una differenza tra le due

varianze è il test F

2

2

w

b

SSF =

Il valore del test F viene letto su apposite tavole (es tav. A5 del testo di Pagano

e Gavreau).

Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1

Il numero di gradi di libertà a denominatore è:

numero di soggetti -numero di gruppi


resa trattam. n media gruppo

varianza gruppo

6,27 1 10 5,36 1 6,39 1 4,85 1 5,99 1 7,14 1 5,08 1 4,07 1 4,35 1 4,95 1 3,07 2 10 3,29 2 4,04 2 4,19 2 3,41 2 3,75 2 4,87 2 3,94 2 6,28 2 3,15 2 4,04 3 10 3,79 3 4,56 3 4,55 3 4,55 3 4,53 3 3,53 3 3,71 3 7,00 3 4,61 3


Conviene calcolare separatamente le varianze dei diversi gruppi e quindi

inserirle nella formula.

Per convenienza calcolo separatamente i seguenti valori:

Media generale (del totale delle osservazioni)

Media in ciascun gruppo

Scostamento tra la media del gruppo e la media generale

Varianza in ciascun gruppo


n media gruppo varianza nel gruppo

10 5,445 0,9525

10 3,999 0,9443

10 4,487 0,9501

media generale

4,6434

Numero totale numero gruppi30 3

Occorre prestare attenzione al valore della varianza in ciascun gruppo: se le

varianze sono diverse cade un requisito essenziale per la validità dell'ANOVA


Posso quindi calcolare gli addendi alle sommatorie per il calcolo della varianza

tra gruppi ed entro gruppi. Questi addendi corrispondono alle devianze.

( )1

1

2

2

−

−=∑

k

xxnS

k

kk

b

( )kn

SnS

k

k

k

w −

−=∑ 2

121


n media gruppo mediagruppo -mediagenerale Devianza tra

10 5,445 0,8013 6,4214 10 3,999 -0,6447 4,1560 10 4,487 - 0,1567 0,2454

media totale Numero gruppi

4,6434 3

( )1

1

2

2

−

−=∑

k

xxnS

k

kk

b


n varianza nel gruppo

Devianza entro

10 0,9525 8,5729 10 0,9443 8,4987 10 0,9501 8,5506

numero totale

Numero gruppi

30 3

( )kn

SnS

k

k

k

w −

−=∑ 2

121


Calcolo quindi la varianza tra gruppi, sommando gli addendi e dividendo per i

rispettivi gradi di libertà.

n media gruppo mediagruppo -mediagenerale

varianza nel gruppo Devianza tra Devianza

entro 10 5,445 0,8013 0,9525 6,4214 8,5729 10 3,999 -0,6447 0,9443 4,1560 8,4987 10 4,487 - 0,1567 0,9501 0,2454 8,5506

g.l. 2 numero totale media totale Numero

gruppi Varianza tra

30 4,6434 3 5,4114


Analogamente per la varianza entro gruppi

n media gruppo mediagruppo -mediagenerale

varianza nel gruppo Devianza tra Devianza

entro 10 5,445 0,8013 0,9525 6,4214 8,5729 10 3,999 -0,6447 0,9443 4,1560 8,4987 10 4,487 - 0,1567 0,9501 0,2454 8,5506

g.l. 27 numero totale media totale Numero

gruppi Varianza tra Varianza entro

30 4,6434 3 5,4114 0,9490


e la statistica F

numero totale media totale Numero

gruppi Varianza tra Varianza entro

30 4,6434 3 5,4114 0,9490 F= 5,4114 / 0,9490 = 5,7024

Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1 (in questo caso:2)

Il numero di gradi di libertà a denominatore è: num. soggetti - num. gruppi (in questo caso:27)


Distribuzione F (valore della statistica F per definiti livelli di probabilità da F a ∞) gradi libertà (g.l.) per il numeratore

2 3 4 5 6 g.l. denominatore 0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01 0,1 0,05 0,01

2 9,00 19,00 99,00 9,16 19,16 99,16 9,24 19,25 99,25 9,29 19,30 99,30 9,33 19,33 99,33 3 5,46 9,55 30,82 5,39 9,28 29,46 5,34 9,12 28,71 5,31 9,01 28,24 5,28 8,94 27,91 4 4,32 6,94 18,00 4,19 6,59 16,69 4,11 6,39 15,98 4,05 6,26 15,52 4,01 6,16 15,21 5 3,78 5,79 13,27 3,62 5,41 12,06 3,52 5,19 11,39 3,45 5,05 10,97 3,40 4,95 10,67 6 3,46 5,14 10,92 3,29 4,76 9,78 3,18 4,53 9,15 3,11 4,39 8,75 3,05 4,28 8,47 7 3,26 4,74 9,55 3,07 4,35 8,45 2,96 4,12 7,85 2,88 3,97 7,46 2,83 3,87 7,19 8 3,11 4,46 8,65 2,92 4,07 7,59 2,81 3,84 7,01 2,73 3,69 6,63 2,67 3,58 6,37 9 3,01 4,26 8,02 2,81 3,86 6,99 2,69 3,63 6,42 2,61 3,48 6,06 2,55 3,37 5,80

10 2,92 4,10 7,56 2,73 3,71 6,55 2,61 3,48 5,99 2,52 3,33 5,64 2,46 3,22 5,39 11 2,86 3,98 7,21 2,66 3,59 6,22 2,54 3,36 5,67 2,45 3,20 5,32 2,39 3,09 5,07 12 2,81 3,89 6,93 2,61 3,49 5,95 2,48 3,26 5,41 2,39 3,11 5,06 2,33 3,00 4,82 13 2,76 3,81 6,70 2,56 3,41 5,74 2,43 3,18 5,21 2,35 3,03 4,86 2,28 2,92 4,62 14 2,73 3,74 6,51 2,52 3,34 5,56 2,39 3,11 5,04 2,31 2,96 4,69 2,24 2,85 4,46 15 2,70 3,68 6,36 2,49 3,29 5,42 2,36 3,06 4,89 2,27 2,90 4,56 2,21 2,79 4,32 16 2,67 3,63 6,23 2,46 3,24 5,29 2,33 3,01 4,77 2,24 2,85 4,44 2,18 2,74 4,20 17 2,64 3,59 6,11 2,44 3,20 5,19 2,31 2,96 4,67 2,22 2,81 4,34 2,15 2,70 4,10 18 2,62 3,55 6,01 2,42 3,16 5,09 2,29 2,93 4,58 2,20 2,77 4,25 2,13 2,66 4,01 19 2,61 3,52 5,93 2,40 3,13 5,01 2,27 2,90 4,50 2,18 2,74 4,17 2,11 2,63 3,94 20 2,59 3,49 5,85 2,38 3,10 4,94 2,25 2,87 4,43 2,16 2,71 4,10 2,09 2,60 3,87 21 2,57 3,47 5,78 2,36 3,07 4,87 2,23 2,84 4,37 2,14 2,68 4,04 2,08 2,57 3,81 22 2,56 3,44 5,72 2,35 3,05 4,82 2,22 2,82 4,31 2,13 2,66 3,99 2,06 2,55 3,76 23 2,55 3,42 5,66 2,34 3,03 4,76 2,21 2,80 4,26 2,11 2,64 3,94 2,05 2,53 3,71 24 2,54 3,40 5,61 2,33 3,01 4,72 2,19 2,78 4,22 2,10 2,62 3,90 2,04 2,51 3,67 25 2,53 3,39 5,57 2,32 2,99 4,68 2,18 2,76 4,18 2,09 2,60 3,85 2,02 2,49 3,63 26 2,52 3,37 5,53 2,31 2,98 4,64 2,17 2,74 4,14 2,08 2,59 3,82 2,01 2,47 3,59 27 2,51 3,35 5,49 2,30 2,96 4,60 2,17 2,73 4,11 2,07 2,57 3,78 2,00 2,46 3,56 28 2,50 3,34 5,45 2,29 2,95 4,57 2,16 2,71 4,07 2,06 2,56 3,75 2,00 2,45 3,53 29 2,50 3,33 5,42 2,28 2,93 4,54 2,15 2,70 4,04 2,06 2,55 3,73 1,99 2,43 3,50 30 2,49 3,32 5,39 2,28 2,92 4,51 2,14 2,69 4,02 2,05 2,53 3,70 1,98 2,42 3,47 31 2,48 3,30 5,36 2,27 2,91 4,48 2,14 2,68 3,99 2,04 2,52 3,67 1,97 2,41 3,45 32 2,48 3,29 5,34 2,26 2,90 4,46 2,13 2,67 3,97 2,04 2,51 3,65 1,97 2,40 3,43 33 2,47 3,28 5,31 2,26 2,89 4,44 2,12 2,66 3,95 2,03 2,50 3,63 1,96 2,39 3,41 34 2,47 3,28 5,29 2,25 2,88 4,42 2,12 2,65 3,93 2,02 2,49 3,61 1,96 2,38 3,39 35 2,46 3,27 5,27 2,25 2,87 4,40 2,11 2,64 3,91 2,02 2,49 3,59 1,95 2,37 3,37 36 2,46 3,26 5,25 2,24 2,87 4,38 2,11 2,63 3,89 2,01 2,48 3,57 1,94 2,36 3,35 37 2,45 3,25 5,23 2,24 2,86 4,36 2,10 2,63 3,87 2,01 2,47 3,56 1,94 2,36 3,33 38 2,45 3,24 5,21 2,23 2,85 4,34 2,10 2,62 3,86 2,01 2,46 3,54 1,94 2,35 3,32 39 2,44 3,24 5,19 2,23 2,85 4,33 2,09 2,61 3,84 2,00 2,46 3,53 1,93 2,34 3,30 40 2,44 3,23 5,18 2,23 2,84 4,31 2,09 2,61 3,83 2,00 2,45 3,51 1,93 2,34 3,29 45 2,42 3,20 5,11 2,21 2,81 4,25 2,07 2,58 3,77 1,98 2,42 3,45 1,91 2,31 3,23 50 2,41 3,18 5,06 2,20 2,79 4,20 2,06 2,56 3,72 1,97 2,40 3,41 1,90 2,29 3,19 60 2,39 3,15 4,98 2,18 2,76 4,13 2,04 2,53 3,65 1,95 2,37 3,34 1,87 2,25 3,12 70 2,38 3,13 4,92 2,16 2,74 4,07 2,03 2,50 3,60 1,93 2,35 3,29 1,86 2,23 3,07 80 2,37 3,11 4,88 2,15 2,72 4,04 2,02 2,49 3,56 1,92 2,33 3,26 1,85 2,21 3,04 90 2,36 3,10 4,85 2,15 2,71 4,01 2,01 2,47 3,53 1,91 2,32 3,23 1,84 2,20 3,01

100 2,36 3,09 4,82 2,14 2,70 3,98 2,00 2,46 3,51 1,91 2,31 3,21 1,83 2,19 2,99 110 2,35 3,08 4,80 2,13 2,69 3,96 2,00 2,45 3,49 1,90 2,30 3,19 1,83 2,18 2,97 120 2,35 3,07 4,79 2,13 2,68 3,95 1,99 2,45 3,48 1,90 2,29 3,17 1,82 2,18 2,96


Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1

Il numero di gradi di libertà a denominatore è: num. soggetti - num. gruppi

Il valore della statistica F (2; 27 gl) corrisponde ad una probabilità < 0,01

(il valore di F (2; 27) corrispondente a p= 0,01 è: 5,49)

Conclusione?


Riepilogo dei calcoli

Resa Trattam n media gruppo

mediagruppo -mediagenerale varianza nel

gruppoContributo del gruppo

alla varianza tra Contributo del

gruppo alla varianza entro

6,27 1 10 5,445 0,8013 0,9525 6,4214 8,5729

5,36 1

6,39 1

4,85 1

5,99 1

7,14 1

5,08 1

4,07 1

4,35 1

4,95 1

3,07 2 10 3,999 -0,6447 0,9443 4,1560 8,4987

3,29 2

4,04 2

4,19 2

3,41 2

3,75 2

4,87 2

3,94 2

6,28 2

3,15 2

4,04 3 10 4,487 - 0,1567 0,9501 0,2454 8,5506

3,79 3

4,56 3

4,55 3

4,55 3

4,53 3

3,53 3

3,71 3

7 3

4,61 3

numero gruppi

numero totale

media totale

Varianza tra Varianza entro

3 30 4,6434 5,4114 0,9490 F= 5,7024


I valori di probabilità corrispondenti alla distribuzione F si leggono tra F e ∞

0,05


Un'avvertenza per chi usa programmi statistici

La varianza entro gruppi è spesso indicata come:

MS (Mean Sum Squares o Scarto Quadratico Medio) within groups

oppure

Error MS

La varianza tra gruppi è spesso indicata come:

MS between groups

oppure

Effect MS


Questo è l'output di XLstats, per i dati usati nell'esempio

H0: All population means (of resa) are equalH1: Not all population means (of resa) are equal

p-value = 0,008594

ANOVA TableSource DF SS MS Ftrattam. 2 10,82275 5,411373 5,702374Error 27 25,62215 0,948969Total 29 36,4449


La devianza entro gruppi è spesso indicata come:

SS (Sum of Squares o Somma degli Scarti Quadratici) within groups

oppure

Error SS

La devianza tra gruppi è spesso indicata come:

SS between groups

oppure

Effect SS

La devianza totale è spesso indicata come:

SS Total



p-value = 0,008594



MS = SS / DF

Varianza = Devianza / Gradi_libertà


p-value = 0,008594



Altri testi suggeriscono di calcolare la devianza totale e la devianza entro gruppi,

ricavando quindi la devianza tra gruppi. Viene utilizzata l'equazione

fondamentale dell'analisi della varianza.

Devianza totale - devianza entro gruppi = devianza tra gruppi


Giunti a questo punto, vogliamo sapere quali sono i gruppi diversi tra loro.

Sono possibili diversi confronti;

gruppo 1 vs. gruppo 2




Se conduciamo tutti questi confronti la probabilità che almeno uno diventi

significativo solo per effetto del caso è

p(almeno 1) = 1 - p(nessuno) = 1- p(non_signif)numero confronti

nel caso di un errore di primo tipo al 5% abbiamo

= 1 - (0,95) numero confronti


nel caso di 5 confronti otteniamo:

= 1 - (0,95)5

= 1- 0,774 = 0,226

L'errore di primo tipo complessivo (che almeno uno dei confronti dia risultato

significativo solo per effetto del caso) è 22,6%

Per ovviare questo inconveniente Bonferroni ha proposto la seguente

correzione:

α ' = α /numero_confronti

La soglia di rifiuto dell'ipotesi nulla viene quindi fissata a α / numero_confronti

Il numero di confronti è il numero di confronti che si intende effettuare, come

pianificato nel disegno dell'analisi statistica


I confronti sono condotti usando il test t per il confronto tra le medie di due

campioni indipendenti. Nella lettura del valore di p viene applicata la correzione

di Bonferroni.

Riportiamo i risultati dei calcoli eseguiti con il programma XLstats.


Tests for comparing two categories

Categories Cat. 1: Cat. 2:

Two-Sample t-tests (Differences Between Means, µµµµ)

Sample Datan1 10 n2 10

3,999 4,487s1 0,97175 s2 0,974714

-0,488SE Difference 0,435243

Hypothesis Tests Confidence IntervalsH0: µµµµ 1 - µµµµ 2 = 0 for µµµµ 1 - µµµµ 2

Type (2,U,L) 2Level 0,95

H1: µµµµ 1 - µµµµ 2 ≠≠≠≠ 0 ME Lower UpperT -1,121212 0,918284 -1,406284 0,430284

DF 17p-value = 0,277786 Power Analysis

Assume equal standard deviations

Alternative

≠

2X

b c

> <

1X

21 XX −






5,445 4,487s1 0,975981 s2 0,974714

0,958SE Difference 0,436189



H1: µµµµ 1 - µµµµ 2 ≠≠≠≠ 0 ME Lower UpperT 2,196297 0,920279 0,037721 1,878279



Alternative

≠

2X

a c

> <

1X

21 XX −






5,445 3,999s1 0,975981 s2 0,97175

1,446SE Difference 0,435527



H1: µµµµ 1 - µµµµ 2 ≠≠≠≠ 0 ME Lower UpperT 3,320116 0,918883 0,527117 2,364883



Alternative

≠

2X

a b

> <

1X

21 XX −


Conclusioni? Quali dei tre confronti sono significativi?

Se siamo interessati ad un errore α complessivo < 0,05

ed applichiamo la correzione di Bonferroni

dovremo considerare solo in confronti il cui valore di p è < 0,05 / 3

p < 0,05 / 3

p < 0,0167

a vs. b -> rifiuto H0

a vs. c -> non rifiuto H0

b vs. c -> non rifiuto H0


Approfondimento sugli errori conseguenti all'uso dell'ANOVA quando i tre gruppi

hanno diverse varianze In questo esempio la varianza è uguale nei tre gruppi. In simili situazioni la probabilità di

rifiutare l'ipotesi nulla in assenza di differenza nella media dei tre gruppi è simile al valore

nominale (alpha o probabilità dell'errore di primo tipo).

Results of 1000 Replication Experiment alpha = .05 alpha = .01

Reject Null Hypothesis 5,6% 0,8%


In questo esempio la varianza è diversa nei tre gruppi. In simili situazioni la probabilità di

rifiutare l'ipotesi nulla in assenza di differenza nella media dei tre gruppi è

sistematicamente diversa dal valore nominale.

Results of 1000 Replication Experiment alpha = .05 alpha = .01

Reject Null Hypothesis 8,2% 2,0%


In questo esempio i tre gruppi hanno la stessa varianza e tre medie diverse.

Qui l'analisi della varianza è appropriata


Approfondimento sulla simulazione di analisi della varianza

Immaginiamo di condurre un esperimento ripetuto 1000 volte con campioni tratti

dalla stessa popolazione: la distribuzione delle medie campionarie.


la distribuzione della statistica F.


Il numero di campioni che avrebbe portato al rifiuto dell'ipotesi nulla.


Le corrispondenti immagini nel caso di campioni da tre diverse popolazioni


Esercizi dal testo

p 226 n 2

p 226 n 4

p 226 n 6

p 226 n 7

p 226 n 8

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in ... · Analisi di una variabile quantitativa...

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