UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA` · 2014. 10. 10. · universita degli studi di padova` facolta di...

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVAFACOLTA DI SCIENZE MM.FF.NN.

DIPARTIMENTO DI SCIENZE CHIMICHE

TESI DI LAUREA IN CHIMICA

SVILUPPO ED IMPLEMENTAZIONE DI METODOLOGIETEORICHE PER L’INTERPRETAZIONE DI SPETTRI ESR:IMPIEGO DELL’EQUAZIONE STOCASTICA DI LIOUVILLEPER SISTEMI MOLECOLARI DESCRITTI DA GRADI DI

LIBERTA MULTIPLI

Relatore: Prof. Antonino Polimeno

Controrelatore: Dott. Massimo Bellanda

Laureando: Mirco Zerbetto

ANNO ACCADEMICO 2004-2005

SVILUPPO ED IMPLEMENTAZIONE DI METODOLOGIE

TEORICHE PER L’INTERPRETAZIONE DI SPETTRI ESR:

IMPIEGO DELL’EQUAZIONE STOCASTICA DI LIOUVILLE

PER SISTEMI MOLECOLARI DESCRITTI DA GRADI DI

LIBERTA MULTIPLI

di

Mirco Zerbetto

Tesi svolta presso il Dipartimento di Scienze Chimicheper il conseguimento della Laurea in Chimica, il 13/10/2005.

Sommario

In questo lavoro di tesi viene presentata una disanima di alcune metodologie teoriche ecomputazionali che possono rivelarsi utili per affrontare il problema dell’interpretazionedi spettri Electron Spin Resonance (ESR) ottenuti da misure Site Directed Spin Labeling(SDSL). I modelli discussi sono basati sul formalismo delle equazioni stocastiche a molticorpi, che nell’ultimo decennio e stato applicato con successo all’interpretazione di numeroseproblematiche spettroscopiche in fasi liquide, studi di reattivita chimica, dinamiche intra- molecolari, processi di trasferimento di carica. Lo sviluppo e basato sulla soluzione nu-merica dell’equazione stocasica di Liouville (SLE). Sono dapprima descritte le metodologiesviluppate per lo studio di sistemi monoradicalici, in presenza di un solo set di coordinatestocastiche angolari che definiscono il moto della sonda paramagnetica. Successivamente latrattazione e estesa a sistemi che includono due insiemi di coordinate, per tenere conto dellapresenza di processi di rilassamento aggiuntivi (come ad esempio i moti locali in sistemi pro-teici). Infine viene illustrato uno studio relativo alla presenza di piu sonde paramagnetiche,analizzando le applicazioni della metodologia SLE al caso di un sistema chimico modello,come un insieme di bisaddotti del fullerene con sonde paramagnetiche 1 - oxyl - 2,2,5,5 -tetrametil - ∆3 - pirrolina.

Relatore di Tesi: Prof. Antonino Polimeno

I

Ringraziamenti

Lo svolgimento della presente tesi e stato possibile grazie all’impegno e alla disponibilita

del professor Antonino Polimeno, nonche alla disponibilita e all’interessamento del dottor

Massimo Bellanda.

Si ringraziano anche il professor Carlo Corvaja ed il dottor Lorenzo Franco per i chiarificanti

incontri che hanno contribuito a scrivere l’ultimo capitolo dell’elaborato.

Un ringraziamento va a tutto il gruppo di Chimica Teorica e alla dottoressa Antonella Rassu

per la pazienza, la disponibilita e l’amicizia che hanno permesso di svolgere il lavoro in un

ambiente piacevole e tranquillo.

Infine ringrazio i miei genitori, a cui dedico la mia tesi, per aver fatto il possibile affinche

avessi la possibilita di proseguire gli studi fino alla laurea.

II

Indice

1 Modelli interpretativi di misure di risonanza magnetica 1

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Tecniche sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Metodi interpretativi correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Panoramica generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Descrizione dei metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Modellistica avanzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 SRLS e SLE per NMR ed ESR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 Dinamica Molecolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Equazione Stocastica di Liouville 32

2.1 Descrizione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Hamiltoniano di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 L’equazione stocastica di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Risoluzione della SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Modello ad un corpo 38

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Definizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Implementazione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Operatore Diffusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2 Super - Hamiltoniano di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.3 Vettore di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III

3.4 Calcolo dello spettro ESR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Descrizione del programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.2 Spettri calcolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.3 Spettri di polveri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Modello a due corpi 54

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



4.3.1 Operatore diffusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



4.3.4 Simmetrizzazione dell’operatore di Liouville . . . . . . . . . . . . . . 71




5 Modello di biradicali 84

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84



5.3.1 Operatore diffusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2 Operatore di ristrutturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89



5.3.5 Simmetrizzazione della matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91




Appendice A - Funzioni di base 106

IV

Appendice B - Super-Hamiltoniano di spin 108

Appendice C - Metodi di Lanczos e del Gradiente Coniugato 111

Appendice D - Elementi di matrice dell’operatore diffusivo 116

Appendice E - Elementi magnetici di matrice ridotti 127

Appendice F - Trasformazione di coordinate 129

Appendice G - Proprieta delle matrici di Wigner 130

Appendice H - Trasformazione da tensori cartesiani a sferici irriducibili 132

V

Elenco delle figure

1-1 Meccanismo della chiusura indotta dal substrato nella catalisi enzimatica . . 3

1-2 Modello ”Gaussian Axially Fluctuation” per un vettore internucleare che si

muove sulla superficie di un cono di semiangolo θ. . . . . . . . . . . . . . . . 19

3-1 Definizione dei sistemi di riferimento per il modello ad un corpo . . . . . . . 40

3-2 Flow Chart del programma per il modello ad un corpo. Tutti i programmi per

gli altri modelli sono basati su questo schema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3-3 Andamento del parametro d’ordine S contro il coefficiente del potenziale ε . 50

3-4 Spettri calcolati a differenti parametri d’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3-5 In alto: spettri calcolati a differenti valori di βD. Linea continua βD = 0,

tratteggiata βD = 45.9, a punti βD = 90. In basso: spettro MOMD . . . . 53

4-1 Sonda paramagnetica MTS. Gli atomi di idrogeno sono omessi per chiarezza

di visualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4-2 Vista del sito di legame dell’MTS con la proteina. Gli atomi di idrogeno sono

omessi per chiarezza di visualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4-3 Definizione dei sistemi di riferimento per il modello a due corpi . . . . . . . 57

4-4 Interfaccia grafica del programma per il calcolo di funzioni di autocorrelazione

per un sistema descritto da due corpi interagenti . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4-5 Funzioni di autocorrelazione per ε0 = 0.1 kBT. A) ρ = 0.01, B) ρ = 0.1, C)

ρ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4-6 Funzioni di autocorrelazione per ε0 = 1.0 kBT A) ρ = 0.01, B) ρ = 0.1, C)

ρ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4-7 Funzioni di autocorrelazione per ε0 = 10.0 kBT A) ρ = 0.01, B) ρ = 0.1, C)

ρ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

VI

4-8 Dipendenza di E da ε0 e ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4-9 Spettri calcolati per ε0 = 1.0 kBT, ε2 = 0.0 kBT, ND = 109 Hz e B0 = 0.34 T 75





4-14 Spettri calcolati per ε0 = 1.0 kB T, ε2 = 1.0 kB T, ND = 108 Hz e B0 = 0.34 T 78







5-1 Definizione dei sistemi di riferimento. Con µ si intendono g e A . . . . . . . 86

5-2 Rappresentazione grafica della riduzione della base ottenuta con il pruning; il

colore e legato al logaritmo decimale del peso che ha ogni funzione della base

sullo spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5-3 [1] trans 1; [2] trans 2; [3] trans3; [4] trans4; [5] equatoriale . . . . . . . . . . 95

5-4 (a) Spettri ESR sperimentale (linea continua) e simulato (linea tratteggiata)

dell’isomero 1; (b) assi principali di diffusione dell’isomero 1 . . . . . . . . . 98









5-9 Serie di spettri al variare di J . I numeri a destra indicano il rapporto J/tr(A) 103

VII

Elenco delle tabelle

4.1 Parametri fisici utilizzati per i calcoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1 Parametri geometrici e rotazionali ottenuti per i conformeri 1 - 5; tutti gli

angoli sono espressi in gradi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

VIII

Simbologia

Simbolo Descrizione Unita di misura

P, ρ densita di probabilita

Γ, Γ operatore diffusivo non simmetrizzato e simmetrizzato

H Hamiltoniano di spin

H× super - Hamiltoniano di spin

L operatore di Liouville

J parte indipendente dal potenziale dell’operatore diffusivo

J operatore momento angolare

Ji componente i-esima dell’operatore momento angolare

S operatore momento di spin elettronico

Si componente i-esima dell’operatore momento di spin

elettronico

I operatore momento di spin nucleare

Ii componente i-esima dell’operatore momento di spin

nucleare

F(l, m) ∗µ, XF componente m-esima del tensore sferico irriducibile di

rango l relativo all’interazione magnetica µ espresso nel

sistema di riferimento XF

A(l, m) ×µ, XF componente m-esima dell’operatore tensoriale sferico ir-

riducibile di rango l relativo all’interazione magnetica µ

espresso nel sistema di riferimento XF

[. . .] commutatore

〈. . .〉 prodotto interno nello spazio di Hillbert

〈〈. . .〉〉 prodotto interno nello spazio di Liouville

| v〉〉 vettore di partenza

|σ〉〉 funzione di base di spin

|λ〉 funzione di base spaziale

|Σ〉〉 funzione di base

G (t) funzione di correlazione

IX

Peq(X) densita di probabilita all’equilibrio per il processo

stocastico X

V (X) potenziale di interazione

F (X) parte dipendente dal potenziale dell’operatore diffusivo

DLM K (Ω) matrice di Wigner

Yl, m(θ, φ) componente m-esima dell’armonica sferica di rango l

Ω = (α, β, γ) set di angoli di Eulero rad

t tempo s

T temperatura assoluta K

εi coefficiente i-esimo del potenziale J

B0 campo magnetico statico T

I (ω − ω0) densita spettrale ad.

S parametro d’ordine ad.

τ tempo caratteristico del moto s

ωµ frequenza caratteristica per l’interazione di spin µ Hz

D tensore di diffusione Hz

g tensore effetto Zeeman elettronico ad.

A tensore interazione iperfine T

kB costante di Boltzmann J/K

βe magnetone di Bohr dell’elettrone J/T

ge fattore g per l’elettrone libero ad.

h costante di Planck ridotta J s

γe rapporto giromagnetico per l’elettrone T−1 s−1

XF sistema di assi di riferimento X

[j] 2 j + 1

⊗ prodotto diretto tra due spazi

tr (M) traccia di M

M tr trasposto di M

M ∗ complesso coniugato di M

M † aggiunto di M

1n Matrice identita nello spazio n-dimensionale

X

Capitolo 1

Modelli interpretativi di misure di

risonanza magnetica

1.1 Introduzione

Le macromolecole di interesse biologico possono essere considerate come riferimento in

paradigmi di complessita per lo studio spettroscopico e la modellizzazione dei molteplici

processi di rilassamento che esse esibiscono. Nella stabilita, funzionalita, riconoscimento,

catalisi delle proteine, per esempio, non puo non giocare un ruolo importante la dinamica.

In una proteina si riscontrano varie scale dei tempi, che vanno dai moti della proteina nella

sua interezza o di domini di essa (milli-, microsecondi) fino a quelli interni che coinvolgo-

no gruppi di atomi (nano-, pico-, femtosecondi). Le caratteristiche chimiche e fisiche delle

macromolecole biologiche dipendono da una azione sinergica dei vari moti a varie scale dei

tempi. Esiste ormai un’ampia letteratura [1, 2, 3] dedicata allo studio dei vari tipi di moto

durante gli eventi reattivi a cui partecipano le macromolecole biologiche.

Dalla dinamica dipende la stabilita e la forma di una macromolecola e quindi anche la ca-

pacita di modificare la struttura e trovarsi in varie conformazioni. Per esempio, la flessibilita

di una proteina in un suo punto di legame e decisiva per quanto riguarda la selettivita sul

substrato. Nel momento del riconoscimento e del legame, le scale dei tempi e/o i parametri

di liberta del moto vengono modificati attorno al sito di legame. Si puo addirittura riferire

questa variazione nei moti a specifiche variazioni entropiche. Cosı il riconoscimento moleco-

lare puo essere interpretato da un punto di vista termodinamico stimando [3] l’entropia che

1

viene persa nel mantenere vicini (legati) macromolecola e substrato e che viene recuperata

nelle variazioni delle scale dei tempi e nei parametri di liberta dei moti interni. Anche la

funzione di enzimi si puo porre in relazione alla flessibilita [1] in quanto sia la capacita di

riconoscimento, ma anche la catalisi e la capacita di rilascio del prodotto da parte del sito

catalitico dipendono dai moti della catena principale e da quelli delle catene laterali che

agiscono nel sito di catalisi.

Lo studio e la comprensione della complessa dinamica globale e interna delle macromolecole

porta a capire i meccanismi con i quali tali molecole esplicano le loro funzioni e inoltre si pos-

sono fare considerazioni di tipo termodinamico e statistico [4] come e illustrato brevemente

nei seguenti esempi.

Chiusura indotta dal legante in enzimi

Esistono studi relativi al processo con il quale avviene il riconoscimento di un substrato ed

il legame con esso da parte di enzimi. Il modello ”chiave - serratura” per il riconoscimento

non e un’ipotesi molto realistica. Si pensa, invece, che l’enzima modifichi e adatti la sua

forma al giusto substrato nel momento in cui quest’ultimo si avvicina e si lega. In altre

parole il meccanismo e determinato da aspetti dinamici, soprattutto per quanto riguarda

l’enzima. Si ricorda [5], per esempio, il caso di cinque enzimi (adenilato chinasi, aspartato

amminotransferasi, citrato sintasi, alcool deidrogenasi del fegato e subunita catalitica della

proteina chinasi cAMP dipendente) per i quali e stato dimostrato come, una volta che il

substrato si sia legato, un dominio locale si richiuda sulla molecola appena entrata affinche

possa avvenire la reazione, come e schematizzato in Figura 1-1. Tali enzimi sono in possesso

di residui attorno al sito di riconoscimento, che sono responsabili del movimento del dominio

e che operano la variazione di conformazione dell’enzima (da ”aperto” a ”chiuso”) una volta

che le giuste interazioni con il giusto substrato siano state instaurate. In tutto il processo

vengono interessati innanzitutto i moti interni dell’enzima attorno al sito di legame, che

decidono della selettivita. Entrano poi in gioco i moti relativi ai residui che richiudono

l’enzima. Piccoli, ma ben organizzati, movimenti di piccoli gruppi di atomi permettono lo

spostamento di domini dell’enzima. Infine e coinvolto il moto del dominio dell’enzima che

deve richiudersi sul substrato. Si vede che l’azione combinata di moti che avvengono con scale

dei tempi differenti permette all’enzima di esprimere la sua funzione. Riuscire a conoscere

2

Figura 1-1: Meccanismo della chiusura indotta dal substrato nella catalisi enzimatica

la dinamica dell’enzima libero e come essa varia nel momento in cui si lega al substrato puo

permettere di prevedere se dato l’enzima e dato il substrato il legame puo avvenire e se la

chiusura viene indotta.

Dinamica del riconoscimento DNA/RNA - proteina

Le Interazioni D(R)NA - proteina giocano un ruolo fondamentale in molti processi cellulari

come ad esempio la trascrizione di geni e la sua regolazione, la riparazione e l’impacchetta-

mento del DNA, la trascrizione, la replicazione e ricombinazione dell’informazione genetica.

Sono state risolte le strutture di molte proteine che legano il DNA e l’RNA, ma dalla sola

analisi statica non si e riusciti ad arrivare a nessuna conclusione realistica su come abbiano

luogo le interazioni. Vari studi sulle variazioni conformazionali suggeriscono che i meccanismi

di riconoscimento avvengono grazie alla flessibilita delle macromolecole nell’intorno dei siti

di legame. Ottenere informazioni sulla dinamica, ancora una volta, e di vitale importanza

e si e notato [3] che tutti gli aspetti dinamici, dal movimento di un singolo atomo a quello

della molecola nella sua interezza, collaborano al meccanismo.

Moti che avvengono nelle scale dei tempi dei picosecondi e nanosecondi, dovuti alla strut-

tura secondaria, vengono rallentati nel momento in cui proteina e DNA si legano. Questo

fenomeno si associa alla formazione di complessi specifici tra proteina e DNA in cui in-

terazioni favorevoli tra le due macromolecole bilanciano il contributo negativo all’entropia

3

conformazionale. Spesso accade che moti nelle scale dei tempi dei picosecondi e nanosecondi

vengono redistribuiti lungo tutta la catena principale dando cosı luogo ad un meccanismo

che compensa la perdita di entropia conformazionale causata dal legame.

Moti nelle scale dei tempi dei µs e ms sono interpretati come i responsabili della speci-

ficita del riconoscimento in quanto essi agiscono sull’adattamento mutualmente indotto

da una molecola all’altra nel momento del legame. Questi moti sono molto importanti nel

riconoscimento da parte dell’RNA.

1.1.1 Tecniche sperimentali

Nei precedenti paragrafi e stata sottolineata l’importanza di avere informazioni sulla dinami-

ca delle macromolecole biologiche per riuscire a capire i meccanismi con i quali tali molecole

esplicano le loro funzioni. Occorre trovare dei metodi per riuscire ad estrarre le informazioni

dinamiche desiderate e per questo esistono vari tipi di esperimenti che si possono eseguire.

Le tecniche piu utilizzate sono descritte brevemente qui di seguito e sono sostanzialmente

tecniche spettroscopiche, sia magnetiche che ottiche.

Esistono in letteratura [12] descrizioni comparate di numerose tecniche spettroscopiche (NMR,

ESR, spettroscopie ottiche, analisi dei fattori termici ai raggi X) che si sono rivelate poten-

zialmente molto utili per lo studio di proprieta dinamiche di sistemi proteici. In questa

introduzione saranno passate brevemente in rassegna alcune del metodologie principali.

NMR

Gli esperimenti di risonanza magnetica nucleare (NMR) sono molto usati nell’interpretazione

della dinamica molecolare. La relativa semplicita ed il fatto che quando si effettua una

misura NMR, il sistema in esame rimane in equilibrio da un punto di vista chimico, rende

questa tecnica molto utile per lo studio di dinaniche di proteine e rende l’NMR una tecnica

utilizzabile anche in campo medico.

La dinamica della molecola viene seguita proprio attraverso l’osservazione del rilassamento

di spin nucleare. Dalla teoria fenomenologica di Einstein si sa che la probabilita di emissione

spontanea di un fotone e proporzionale alla terza potenza della frequenza di quel fotone. Dato

che i livelli di spin coinvolgono basse energie (onde radio) vi sara una piccola probabilita

4

di emissione spontanea del fotone. Il rilassamento di uno stato di spin eccitato avverra in

maniera predominante sotto stimolazione. Cio che provoca il rilassamento sono variazioni

del campo magnetico effettivo, agente sull’atomo in esame, che mescolano gli stati di spin

e fanno avvenire le transizioni [6]. Tali fluttuazioni del campo effettivo sull’atomo in esame

sono dovute ai moti degli atomi vicini. L’NMR fornisce informazioni sui moti a varie scale dei

tempi, dai millisecondi ai picosecondi. Si usa dire che i moti veloci degli atomi si esprimono

nei tempi ”lenti” dei rilassamenti di spin.

Per ricavare informazioni sulla dinamica di una macromolecola biologica, come ad esempio

una proteina, attraverso misure NMR si deve innanzitutto scegliere quali nuclei analizzare.

Naturalmente considerare l’ 1H non e conveniente perche in una proteina ce ne sono cosı tanti

che l’interpretazione della dinamica sarebbe quasi impossibile. I nuclei che vengono utilizzati

sono principalmente 15N, 13C e 2H. L’utilizzo di tali isotopi richiede che la proteina in esame

venga opportunamente arricchita. Cio che si va a determinare sperimentalmente sono i tempi

di rilassamento T1 e T2 e l’effetto Overhauser nucleare (NOE) dovuti ad interazioni dipolari

(per 15N e 13C), quadripolari (per 2H), il ”chemical shift anisotropy” (CSA) e le interazioni

incrociate. Ad esempio: se tra tutti gli amminoacidi della proteina si riesce ad arricchirne

solo uno in 15N e si studiano, per quel residuo, i rilassamenti per il legame 15N−1H, si

possono ricavare da questi dati informazioni relative alla dinamica del vettore di legame tra

l’azoto e l’idrogeno. La dinamica di tale vettore dipende dall’intorno e quindi si possono

ricavare anche informazioni sull’intorno di dove e posizionato il gruppo 15N−1H. Arricchire

solo un residuo naturalmente non puo portare ad avere molte informazioni su una molecola

complessa e quindi si opera effettuando un arricchimento parziale o totale. In genere l’15N

viene utilizzato per ricavare informazioni relative alla dinamica della catena principale della

proteina in esame [7, 8, 9]. Il 13C, invece, viene impiegato per comprendere la dinamica sia

della catena principale che di quelle laterali [7, 9, 10, 11]. L’ 2H, infine, viene utilizzato per

ottenere informazioni relative alle catene laterali, in particolare con il deuterio si studia il

moto dei gruppi metilici [10, 11].

In letteratura [12, 13] sono descritte in dettaglio le sequenze di impulsi da applicare al

campione per misurare i vari tipi di rilassamento. Generalmente tali dati vengono raccolti

a diverse intensita di campo magnetico statico per avere un set di dati piu completo da

utilizzare poi per l’interpretazione. Quest’ultima viene correntemente effettuata con metodi

5

che verranno presentati e descritti nelle prossime due sezioni (1.2 e 1.3).

ESR

La tecnica di risonanza di spin elettronico si basa su principi analoghi a quella nucleare.

Il rilassamento dei livelli di spin elettronici eccitati avviene a causa dei moti dell’intorno

chimico. L’idea e quella di avere nella macromolecola almeno un sito paramagnetico sul

quale effettuare la misura. Una tecnica sperimentale molto utilizzata e quella chiamata ”Site

Directed Spin Labeling” (SDSL). Essa prevede di legare alla macromolecola biologica in

esame un composto paramagnetico in un particolare punto e studiarne lo spettro ESR. I

composti che praticamente vengono utilizzati sono vari tipi di nitrossidi che vengono legati

a cisteine opportunamente sostituite [14]. Dallo spettro ESR si possono ottenere tre tipi di

informazioni [15], relativamente al gruppo nitrossido. Esse sono l’accessibilita alla catena

laterale che permette di comprendere la forma di una struttura secondaria; la dinamica della

catena laterale che si ricava dall’ampiezza di riga dello spettro e dall’inverso del secondo

momento dello spettro; la distanza inter residuo che si puo misurare se sono presenti due

sonde [16]. Per ottenere informazioni su una proteina si devono sintetizzare molti suoi mu-

tanti con lo spin label posizionato su cisteine differenti in ogni mutante. Seguendo gli spettri

di ogni gruppo nitrossido nei vari mutanti e combinando le osservazioni si possono trarre

conclusioni sulla struttura della proteina [15, 16]. Ad esempio, studiando l’accessibilita al

solvente si puo comprendere la struttura secondaria a cui sono attaccati tutta una serie di ni-

trossidi. Se si pensa ad una α elica, l’accessibilita avra un andamento periodico, a differenza,

ad esempio, di un β sheet [15].

Esiste anche la possibilita di eseguire una misura risolta nel tempo che permette di risalire

a variazioni conformazionali della proteina in esame. Movimenti di struttura secondaria,

folding di struttura terziaria e moti di domini possono essere evidenziati con questa tecni-

ca [15, 16, 17, 18].

L’intepretazione dinamica di spettri ESR, pero, e molto piu complessa rispetto alle misure

NMR in quanto occore affrontare problemi sia di natura sperimentale (occorre acquisire una

grande quantita di dati a varie frequenze), sia di tipo teorico in quanto sono necessari modelli

interpretativi avanzati che descrivano la dinamica molecolare e che siano maneggevoli da un

punto di vista computazionale. Generalmente [19] si registrano gli spettri della sonda para-

6

magnetica a 250 GHz per ottenere informazioni sul moto interno in quanto a quella frequenza

il moto golobale e troppo lento per dare un contributo alla forma dello spettro. Successi-

vamente si utilizzano queste informazioni per analizzare gli spettri a 9 GHz per ottenere

informazioni sul moto globale della proteina. L’interpretazione dei dati richiede l’utilizzo di

modelli stocastici (cfr. capitoli seguenti) e/o di simulazioni di dinamica molecolare.

Anche se piu difficile da interpretare, l’impiego dell’ESR e molto promettente perche quan-

do si misura lo spettro si ottengono informazioni localizzate solo sul centro paramagnetico,

mentre quando si misura uno spettro NMR e difficile distinguere chi tra due o piu atomi stia

risuonando, specialmente se si sta lavorando a campi non molto elevati.

Fluorescenza

Anche la spettroscopia ottica puo fornire informazioni sulla dinamica delle macromolecole

biologiche. Le tecniche utilizzate sono varie e alcune delle piu usate in campo biologico sono

descritte brevemente di seguito. Esse sono la ”fluorence polarization anisotropy” (FPA) [20],

il ”dynamic light scattering” (DLS) [21] e il ”time resolved Stokes shift” (TRSS) [22]. Sono

tutte spettroscopie risolte nel tempo.

− FPA: misure di polarizzazione anisotropa della fluorescenza sono utilizzate per ot-

tenere informazioni sulla dinamica della molecola in quanto permettono la valutazione

di alcuni parametri idrodinamici, come ad esempio il raggio idrodinamico. Si effettua

prima una misuara del tempo di vita dello stato eccitato, che viene effettuata con uno

spettrometro di fluorescenza. L’FPA si ottiene eccitando con una radiazione opportu-

namente polarizzata la molecola e leggendo la risposta a tempi via via piu distanti dal-

l’eccitazione. Il polarizzatore di eccitazione e posizionato a 0 (verticale) mentre quello

di rilevazione ruota tra 0 e 90 ad ogni lettura della fluorescenza. Le differenze tra gli

sfasamenti e i rapporti tra i gradi di modulazione misurati per le due posizioni relative

dei polarizzatori di eccitazione e analisi, caratterizzano l’anisotropia della fluorescenza.

L’interpretazione dei dati sperimentali viene ottenuta mediante modelli per il decadi-

mento della fluorescenza anisotropa, nei quali appaiono fattori geometrici interni della

molecola e funzioni di correlazione di bending e torsionali. Lo spettro viene dato dalla

trasformata di Laplace del decadimento del tempo di vita e viene interpolato con i

risultati sperimentali. Il modello dipende da alcuni parametri idrodinamici e quindi,

7

dall’interpolazione, si ottengono stime di quei parametri e quindi una interpretazione

di alcuni aspetti della dinamica della molecola.

− DLS: il campione viene irradiato con una radiazione di opportuna frequenza e si va a

misurare la fluttuazione nel tempo della luce diffusa dal campione. Questo permette di

ottenere una funzione di autocorrelazione temporale per la diffusione della molecola in

esame. Spesso si analizza la luce diffusa a vari angoli. La funzione di autocorrelazione

viene modellata considerando la molecola costituita da tante sfere tra loro collegate e

soggette ad una forza stocastica di tipo Browniano. Quindi la funzione di autocorre-

lazione e parametrizzata con grandezze idrodinamiche e tempi di vita caratteristici per

le varie sfere. Naturalmente nel modello appare anche il vettore di scattering. Inter-

polando i dati sperimentali con il modello si stimano i valori dei parametri e si possono

cosı ottenere informazioni sulla dinamica della molecola.

− TRSS: questa tecnica permette di studiare in modo particolare i moti che avvengono

nelle scale dei tempi dei picosecondi e dei nanosecondi. Il metodo si basa sul fatto che

quando un fluoroforo viene eccitato le sue proprieta, quali polarita e polarizzabilita,

cambiano significativamente, provocando una riorganizzazione della struttura locale

del solvente. Questa riorganizzazione avviene per minimizzare l’energia del sistema

e quindi la fluorescenza si sposta verso frequenze piu alte (Stokes shift). Il grado di

variazione dello spettro di fluorescenza riflette direttamente il grado di riorganizzazione

dell’ambiente in cui si trova il fluoroforo.

Per analizzare una macromolecola tramite TRSS occorre che essa contenga precisi

siti fluorofori. Nel caso non ne avesse, o non fossero utilizzabili perche ad esempio

hanno bassa resa quantica di fluorescenza, occorre sintetizzare opportuni mutanti di

quella macromolecola. Una volta ottenuta la molecola con fluoroforo, si effettuano

misure risolte nel tempo rilevando il decadimento della fluorescenza dopo l’eccitazione.

Naturalmente il decadimento viene seguito alle due frequenze: quella di emissione se

l’intorno rimanesse fermo anche dopo l’eccitazione e quella che si ha se l’intorno si e

equilibrato con il fluoroforo eccitato. I tempi di vita che si ricavano vengono interpretati

come moti della riorganizzazione interna della macromolecola attorno al sito in cui e

presente il fluoroforo.

8

Lo spettro viene interpolato attraverso una densita spettrale ottenuta con funzioni di

autocorrelazione temporale multiesponenziali.

1.2 Metodi interpretativi correnti

1.2.1 Panoramica generale

Nella precedente sezione si e discussa l’utilita di poter ottenere informazioni sulla dinamica

di sistemi molecolari complessi, portando come esempio le macromolecole biologiche. Si e

visto anche che esistono molteplici tecniche sperimentali che permettono in qualche modo

di legare le osservabili sperimentali al moto, globale e locale, delle molecole. Questa sezione

e la prossima saranno dedicate a presentare i metodi intepretativi correnti piu importanti

proposti finora, con un riferimento specifico alle spettroscopie di risonanza magnetica.

In questa sezione verranno presentati i metodi cosiddetti ”model free”, i primi metodi svilup-

pati in questo campo che cercavano di dare una descrizione piu o meno dettagliata pur man-

tenendo un formalismo piu semplice. Tali metodi sono stati sviluppati per l’interpretazione

dei tempi di rilassamento NMR. Per molti anni l’NMR e stata al centro dell’attenzione

per quanto riguarda l’interpretazione della dinamica delle proteine da misure di risonanza

magnetica [23]. Nella sezione successiva, invece, saranno esposti dei modelli piu avanzati e

complessi nell’interpretazione della dinamica e in questo caso si parlera anche di ESR, per

cui la trattazione e piu complicata.

1.2.2 Descrizione dei metodi

In tutti i metodi sviluppati per l’interpretazione di dati di rilassamento NMR (e non solo) vi

sono due tipi di parametri che rivestono grande importanza. Si tratta dei tempi caratteristici

del moto e i parametri d’ordine. I primi individuano le scale dei tempi entro cui i vari tipi di

moto raggiungono una distribuzione di equilibrio, mentre i secondi sono legati alla ”liberta”

di movimento del vettore internucleare che si sta considerando.

Naturalmente tutti i vari metodi prevedono una ipotesi relativa alla forma della funzione

di autocorrelazione temporale dell’orientazione del vettore internucleare e/o della densita

spettrale. Queste funzioni dipendono dai tempi di correlazione e dai parametri d’ordine

9

generalizzati. Interpolando gli spettri con la densita spettrale si possono stimare i valori dei

parametri, per estrarre informazioni sulla dinamica.

I metodi presentati di seguito vengono tutti identificati come ”model free” in quanto cercano

di dare una forma alla funzione di autocorrelazione e/o alla densita spettrale a prescindere

da come e effettivamente costituita la molecola.

Model Free

A causa di interazioni (repulsive o attrattive) e di impedimenti sterici tra i residui degli am-

minoacidi che costituiscono una proteina, il moto di ogni singolo atomo non e, in generale,

libero. La dinamica interna di una proteina, allora, viene descritta attraverso i parametri di

cui si e accennato sopra: il tempo caratteristico del moto (τe) e un parametro d’ordine gene-

ralizzato (S2) che indica la restrizione al moto nello spazio. L’approccio ”model free” (MF)

di Lipari e Szabo [24, 25], cerca di ricavare tali parametri in maniera veloce e senza definire

volta per volta modelli specifici per la proteina in esame. Naturalmente e impensabile di

poter creare un metodo semplice che abbia validita generale, soprattutto per molecole cosı

complesse, ma in certi casi il ”model free” riesce a dare buoni risultati.

Il metodo MF assume come punto di partenza l’approssimazione di poter considerare sepa-

rabili il moto globale della macromolecola da quello interno. In altre parole si considera che

il moto globale avvenga con un tempo caratteristico (τm) molto maggiore di quello interno,

ossia τm τe. La condizione di separabilita dei due tipi di moto, sebbene possa essere una

forte approssimazione in molti casi, permette di poter ottenere una espressione facile per la

funzione di autocorrelazione temporale in quanto essa e fattorizzabile in una parte relativa

al moto globale moltiplicata per una relativa al moto interno:

G (t) = Gg (t) Gi (t) (1.1)

dove ”g” sta per ”globale” e ”i” sta per ”interno”.

La funzione di autocorrelazione per il moto globale viene modellata a seconda che esso si

ritenga isotropo o anisotropo. Nel primo caso, la funzione viene espressa come decadimento

monoesponenziale. Nel caso di anisotropia si assume una forma biesponenziale. Per situazioni

10

piu complesse (come nei sistemi ”random coil”) si media su una distribuzione dei tempi di

correlazione. Le tre forme utilizzate per la Gg (t) sono:

Gg (t) ∝ exp (−1/τ) isotropo (1.2)

Gg (t) = A exp (−1/τ1) + (1− A) exp (−1/τ2) anisotropo (1.3)

Gg (t) =∫dτ P (τ) exp (−1/τ) anisotropo complesso (1.4)

Per quanto riguarda il moto interno, la forma della funzione di autocorrelazione e:

Gi (t) = 〈P2 [µ (0) · µ (t)] 〉 (1.5)

dove P2 e il secondo polinomio di Legendre, mentre µ (t) e il momento di dipolo del legame

considerato, al tempo t.

Affinche si possa considerare questo metodo libero da ogni dettaglio molecolare specifico,

sono stati presi in considerazione i suoi valori per t= 0 e per t→∞, per i quali la funzione

di autocorrelazione interna assume rispettivamente i valori 1 e S2, definito come:

S2 =∫ ∫

dΩ1 dΩ2 Peq (Ω1) P2 (cos θ1 2) Peq (Ω2) (1.6)

dove Peq (Ω) e la distribuzione di equilibrio, Ω e la coppia di angoli (θ, ϕ) che identifica il

momento di dipolo e θ1 2 e l’angolo interno tra µ1 e µ2. Il parametro d’ordine generalizzato

e il valore di plateaux a cui tende la funzione di correlazione e indica se il moto e piu o meno

libero. In particolare tale parametro puo prendere valori da zero (moto totalmente libero)

a uno (moto completamente bloccato). La forma analitica piu semplice per la funzione di

autocorrelazione interna che rispetti le condizioni al contorno imposte e un decadimento

monoesponenziale del tipo:

AGi (t) = S2 +(1 − S2

)exp (−1/τe) (1.7)

dove con ”A” si intende ”analitica”. Scelta una base, la funzione di autocorrelazione si puo

scrivere anche come:

Gi (t) =∑y =0

ay exp (−1/τy) (1.8)

11

Si vede subito che tra i coefficienti dell’espansione, ay, ed il parametro d’ordine generalizzato

sussistono le seguenti relazioni:

a0 = S2 (1.9)

∑y = 1

ay = 1 − S2 (1.10)

Il tempo caratteristico del moto, τe, infine viene scelto in modo tale che l’area sottesa alla

funzione di autocorrelazione analitica (1.7) sia uguale a quella sottesa alla funzione data in

(1.8): ∫ ∞

0dt[AGi (t) − S2

]=∫ ∞

0dt[Gi (t) − S2

](1.11)

da cui si ottiene:

τe =1

1 − S2

∫ ∞

0dt[Gi (t) − S2

]=

∑y = 1

ay τy (1.12)

Dall’ultima eguaglianza si nota come il metodo sia ”model free” solo per quanto riguarda

l’interpolazione dei dati sperimentali. L’interpretazione fisica dei parametri, sopratutto per

quanto riguarda i tempi caratteristici del moto, puo essere fatta solo nel momento in cui si

creino delle ipotesi su come e fatto il sistema che si sta studiando. Il tempo caratteristico τe

rappresenta un tempo efficace che tiene conto in maniera pesata di tutti i vari decadimenti

interni.

Sostituendo nella equazione (1.1) una delle forme (1.2), (1.3) e (1.4), per il moto globale, e

la (1.7), per il moto interno, si ottengono le equazioni per la funzione di autocorrelazione

totale, isotropa e anisotropa, di seguito riportate (viene omesso il caso piu complicato di

diffusione globale anisotropa):

Gi (t) ∝ S2 exp (−1/τm) +(1 − S2

)exp (−1/τ) (1.13)

Gi (t) ∝ [A exp (−1/τ1) + (1 − A) exp (−1/τ2)] ×

× [S2 + (1− S2) exp (−1/τe)]

(1.14)

dove τ−1 = τ−1m + τ−1

e . Al tendere del moto anisotropo a quello isotropo si ha che A→ S2,

τm → τ1 e τ → τ2.

Eseguendo la trasformata di Fourier - Laplace delle funzioni di correlazione (1.13) e (1.14) e

12

tenendo conto dell’ipotesi fatta sin dall’inizio che τm τe, si ottengono le due forme per la

densita spettrale:

I (ω) ∝ S2 τm1 + ω2 τ 2

m

+(1 − S2) τe1 + ω2 τ 2

e

(1.15)

I (ω) ∝ AS2 τ11 + ω2 τ 2

1

+A (1 − S2) τe

1 + ω2 τ 2e

+(1 − A)S2 τ2

1 + ω2 τ 22

+

+(1 − A) (1 − S2) τe

1 + ω2 τ 2e

(1.16)

Si tratta di espressioni alquanto semplici per la densita spettrale. Interpolando i dati speri-

mentali con tali equazioni si possono ottenere stime dei parametri τe e S2 e questo e impor-

tante perche tali parametri sono legati ai tempi di rilassamento T1, T2 e NOE proprio grazie

alla densita spettrale [6]. In particolare i tempi di rilassamento si possono scrivere come

combinazione lineare della densita spettrale calcolata a certe frequenze (T−1i =

∑i ci Jωi

) e

il NOE e una funzione piu complessa, ma sempre della densita spettrale.

Come detto sopra, la validita del metodo per la densita spettrale e accettabile solo nel caso

in cui si possa scrivere:

τ

1 + ω2 τ 2≈ τe (1.17)

dove τ−1 = τ−1m + τ−1

e . Quando vi sono moti che avvengono con tempi caratteristici compa-

rabili con τm, allora il calcolo di τe e S2 secondo questo approccio perde accuratezza. Inoltre

non e piu assicurata la possibilita di fattorizzare la funzione di correlazione totale come in

(1.1).

Lipari e Szabo [25] affrontarono anche il problema dell’interpretazione fisica di τe e S2. Essa

non e sempre cosı semplice e spesso non e unica. I due parametri non possono essere re-

lazionati ad aspetti fisici del moto interno in maniera ”model free”, soprattutto per quanto

riguarda τe il quale dipende dalle costanti di tempo microscopiche e dalla natura del moto.

Si trovano studi di vari casi in cui la funzione di correlazione deve essere opportunamente

modellata affinche si possa affidare una realistica interpretazione fisica a τe e S2.

Si puo concludere osservando che, sebbene il metodo abbia delle buone caratteristiche come:

− facilita di implementazione,

− velocita di calcolo,

13

− analiticita in certi casi,

− si ottengono i parametri che possono essere interpretati con svariati modelli,

esibisce pero due problemi fondamentali:

− l’interpretazione del moto spesso non e chiara o unica in quanto τe e un tempo carat-

teristico efficace, che cerca di mediare in maniera pesata il contributo dei vari tempi

che caratterizzano il moto del vettore internucleare;

− ristretto range di validita (τm τe) legato al fatto che solo quando il moto interno e

molto piu veloce della riorientazione globale il metodo puo essere applicato.

Model Free Esteso

Il metodo di Lipari e Szabo, dopo la separazione del moto globale della proteina da quello

interno, raccoglieva tutti i possibili tempi di decadimento interni in un tempo effettivo τe.

Inoltre i moti interni erano considerati estremamente veloci (”narrowing extreme limit”).

Non e detto che tutti i tempi caratteristici del moto interno siano molto piccoli, per cui

Clore et al. [26] introdussero una modifica al model free di Lipari e Szabo. Al posto di

utilizzare un unico tempo di decadimento per il moto interno se ne utilizzano due: τf per

i moti estremamente veloci e τs per quelli piu lenti, ma sempre tali per cui τs τm. Gia

per un rapporto τf/τs ≈ 10 il modello di Lipari e Szabo non fornisce piu buoni risultati. In

particolare si nota una scarsa capacita predittiva per quanto riguarda il NOE per il legame

15N−1H [26]. Quindi, in presenza di tempi caratteristici dei moti interni separati gia da

un ordine di grandezza, non si puo accettare di descrivere la funzione di autocorrelazione

interna semplicemente con un decadimento monoesponenziale. Il modello a due parametri

di Lipari e Szabo non va piu bene. Clore et al. hanno sviluppato il modello a tre parametri,

chiamandolo ”extended model free”, in cui la funzione di autocorrelazione interna viene

scritta come decadimento biesponenziale, suddiviedendo cosı i moti interni piu veloci da

quelli relativamente piu lenti:

Gi (t) = S2 +(1 − S2

f

)exp (−1/τf ) +

(S2

f − S2)

exp (−1/τs) (1.18)

Come nell’apporccio di Lipari e Szabo [24], la funzione di autocorrelazione totale viene

fattorizzata come nell’equazione (1.1).

14

Considerando, per semplicita, il moto globale della proteina isotropo, si ottiene la seguente

funzione per la densita spettrale:

I (ω) =S2 τm

1 + ω2 τ 2m

+

(1 − S2

f

)τ′f

1 + ω2 τ′ 2f

+

(S2

f − S2)τ′s

1 + ω2 τ ′ 2s

(1.19)

dove τ′−1x = τ−1

x + τ−1m .

Se si possono considerare separabili tra di loro anche i moti interni che avvengono a τf e τs,

allora si puo scrivere che:

S2 = S2f S2

s (1.20)

Nel caso in cui τf sia sufficientemente piccolo, si ottiene una forma semplificata per la densita

spettrale:

I (ω) =S2 τm

1 + ω2 τ 2m

+

(S2

f − S2)τ′s

1 + ω2 τ ′ 2s

(1.21)

Questa espressione a tre parametri della densita spettrale migliora le capacita del metodo

”model free” e lo rende applicabile anche a quei sistemi in cui non si puo considerare che

tutti i moti interni siano estremamente veloci.

Approccio di LeMaster

Anche l’ ”extended model free” di Clore et al. e un metodo abbastanza semplicistico per l’in-

terpretazione della dinamica di una proteina. Un approccio differente e introdotto da LeMa-

ster [27]. Egli propose di scrivere la funzione di autocorrelazione interna come decadimento

multiesponenziale. I processi vengono suddivisi in tre gruppi principali:

1) moti con frequenza caratteristica attorno a quella di Larmor, che rilassano in funzione

della frequenza del campo applicato;

2) moti interni estremamente veloci per i quali il contributo al rilassamento e indipendente

dalla frequenza del campo magnetico statico applicato;

3) moto globale della proteina.

15

La funzione di autocorrelazione interna assume la seguente forma:

Gi (t) =1 / a ωC+H∑

t =0

αi exp (−1/τi) +1 / b ωC∑

t =1 / a ωC+H

βi exp (−1/τi) +

+τm∑

t =1 / b ωC

γi exp (−1/τi)

(1.22)

Da questa funzione di autocorrelazione si ricava la densita spettrale:

I (ω) =2

5

(S2 τm

1 + ω2 τ 2m

)+

1 / b ωC∑t =1 / a ωC+H

βi τi1 + ω2 τ 2

i

(1.23)

Un decadimento di tipo multiesponenziale puo essere applicato ad un range piu esteso di

proteine rispetto al metodo di Lipari e Szabo e a quello di Clore. In particolare si puo

utilizzare il metodo di LeMaster per analizzare i moti delle catene laterali [27]. Grazie a

questo approccio si riesce a tener conto che i moti interni della catena principale e i moti

interni delle catene laterali sono correlati tra di loro. La correlazione la si puo immaginare

derivante dal fatto che una catena laterale e ”immersa” in tutto il resto della proteina e

quindi il moto di quest’ultima deve imporre delle restrizioni al moto della catena laterale

che si sta considerando.

Approccio F (ω)

Sempre basandosi sul metodo ”model free”, Idiyatullin at al. [28] introducono un modo

differente di affrontare il problema dell’interpretazione della dinamica. Come si e visto finora

la densita spettrale in un metodo ”model free” viene descritta da una sommatoria di piu

lorentziane, cosa giustificata dal fatto che il moto viene considerato Markoviano. Il problema

e sapere quante lorentziane effettivamente occorrono per avere informazioni sul moto. I tre

metodi presentati finora fanno uso di un numero finito e definito di curve lorentziane per

modellare la densita spettrale. L’idea dell’approccio di Idiyatullin e quella di considerare una

funzione della densita spettrale per cui non sia strettamente necessario conoscere il numero

dei decadimenti esponenziali da utilizzare. Tale funzione ha la forma:

F (ω) = 2ω I (ω) = Fg (ω) + Fi (ω) (1.24)

dove gli indici ”g” e ”i” sono relativi, rispettivamente, al moto globale e a quello interno.

La seconda eguaglianza della (1.24) deriva dal fatto che si considerano sempre separabili il

16

moto globale da quello interno.

Questa funzione ha delle forti analogie con la I (ω) solo che non e necessario sapere prima

quante lorentziane si devono utilizzare. Questa possibilita e data proprio dal fattore ω; infat-

ti la funzione F (ω) presentera dei massimi relativamente a certe frequenze ωi. La funzione

(1.24) presentera almeno due massimi che vanno interpretati come l’inverso dei tempi carat-

teristici del moto globale e di quello interno. L’altezza dei picchi e legata ai coefficienti ci

dell’espansione generale:

F (ω) =∑i =0

2 ci ω τi1 + ω2 τ 2

i

(1.25)

Tale espansione puo essere suddivisa in una parte riguardante il moto globale ed una riguardante

il moto interno:

F (ω) =m∑

k = 0

2 ck ω τk1 + ω2 τ 2

k

+N∑

k = m+1

2 ck ω τk1 + ω2 τ 2

k

(1.26)

Grazie a tale distinzione si possono relazionare i coefficienti dell’espansione con il parametro

d’ordine generalizzato:

m∑k =0

ck = S2 (1.27)

N∑k = m +1

ck = 1 − S2 (1.28)

I coefficienti dell’espansione (1.25) si calcolano dalla deconvoluzione della funzione F (ω).

Questo approccio, a differenza dei precedenti, consente di ottenere una miglior distinzione

tra il moto globale e quello interno, permettendo un calcolo piu accurato dei parametri

d’ordine generalizzati e dei tempi di correlazione. Il metodo e stato applicato sul dominio

B1 dell’immunoglobulina (GB1) e confrontato con le precedenti versioni del ”model free”.

Si ottengono parametri piu accurati. In generale si nota che i precedenti metodi danno

sovrastime per quanto riguarda i parametri d’ordine generalizzati, mentre danno tempi di

correlazione sottostimati.

L’approccio F (ω) e piu accurato, ma come naturalmente doveva accadere, esso comincia a

perdere caratterisitiche come la semplicita, in quanto il metodo di Lipari e Szabo aveva solo

due parametri mentre ora ne servono molti di piu, e la generalita.

17

GAF in una e piu dimensioni

Il metodo ”model free” e tutti quelli da esso derivati permettono il calcolo dei parametri

d’ordine generalizzati e dei tempi caratteristici del moto. Una volta ottenuti tali parametri,

occorre dar loro una interpretazione fisica. Il modello ”Gaussian Axial Fluctuation” (GAF)

in una [29] o piu [30] dimensioni puo essere un utile strumento interpretativo.

Data la definizione di S2 come valore di equilibrio della funzione di autocorrelazione tempo-

rale, si puo scrivere:

S2 = |〈P2 (Ω)〉|2 =4π

5

2∑m =−2

〈Y ∗2 m (Ω)〉〈Y2 m (Ω)〉 (1.29)

dove Y2 m (Ω) e l’armonica sferica di secondo rango. L’ultima equazione deriva dalle proprieta

delle armoniche sferiche [31].

L’idea e quella di ottenere una forma per il prodotto delle medie delle armoniche sferiche.

Dato che:

〈Y ∗2 m (Ω)〉〈Y2 m (Ω)〉 = 〈Y ∗

2 m (Ω) Y2 m (Ω)〉 − σ2Y2 m

(1.30)

dove σ2Y2 m

e la varianza della funzione stocastica Y2 m, si puo allora riscrivere il parametro

d’ordine generalizzato nella seguente forma:

S2 = 1 − 4π

5

2∑m =−2

σ2Y2 m

(1.31)

Avendo informazioni sulla varianza si puo interpretare dal punto di vista fisico il parametro

d’ordine. E di particolare interesse il caso in cui si possa considerare il moto del vettore in-

ternucleare come modulato da fluttuazioni di tipo gaussiano attorno ad un asse α arbitrario.

Il modello e quello di un vettore che si muove con distribuzione gaussiana sulla superficie di

un cono di semiangolo θ, come mostrato in Figura 1-2.

La probabilita all’equilibrio ha la forma di una gaussiana per cui e semplice calcolare la

varianza:

σ2Y2 m

≈ exp

(−m2 σ2

ϕ

2

)(1.32)

in cui si e tenuto conto dell’approssimazione σϕ π; ϕ e l’angolo definito dal vettore sul

piano perpendicolare all’asse α.

L’equazione ottenuta per la varianza puo essere sostituita nella (1.31) per ottenere:

S2 = 1 − 3 sin2 θ[cos2 θ

(1 − e−σ2

ϕ

)+

1

4sin2 θ

(1 − e−4 σ2

ϕ

)](1.33)

18

Figura 1-2: Modello ”Gaussian Axially Fluctuation” per un vettore internucleare che simuove sulla superficie di un cono di semiangolo θ.

Questa equazione permette di dare un significato fisico al parametro d’ordine generalizzato

in termini del moto locale dell’angolo torsionale.

Il modello monodimensionale (ovvero moto attorno ad un unico asse) puo essere esteso

alle tre dimensioni. Tale modello puo essere utilizzato, ad esempio, per descrivere il moto

anisotropo del piano peptidico [30]. L’espressione per il parametro d’ordine generalizzato

acquista una forma piu complicata rispetto alla (1.33), che qui non viene riportata.

Il modello 3D GAF permette una interpretazione piu dettagliata, seppur semplice, dell’inte-

razione anisotropa per quanto riguarda la dinamica a tempi caratteristici veloci della catena

principale, combinando le informazioni di rilassamento dipolare e CSA per i nuclei 15N e

13C (carbossilico). Il metodo si puo applicare, secondo Bremi e Bruschweiler, anche ad altri

frammenti di proteine e acidi nucleici che esibiscono moto reorientazionale interno di tipo

GAF, isotropo o anisotropo.

Discussione

Tutti i metodi finora presentati cadono sotto il nome generale di ”model free”. Il fatto che

siano indipendenti dal modello si riscontra nell’interpolazione dei dati sperimentali. La den-

sita spettrale viene costruita a partire da considerazioni di tipo generale, senza prendere

in considerazione le caratteristiche della molecola in esame. L’approssimazione principale

che viene fatta e quella della separabilita del moto globale da quello interno, condizione che

19

sebbene in certi casi sia accettabile, in molti altri e una approssimazione troppo forte. In

letteratura si trovano confrontati i vari metodi [32]. Non e facile distinguere quale sia il

migliore perche, sebbene intendano essere ”model free”, i risultati comunque dipendono da

proteina a proteina. Per alcune funziona meglio il modello a tre parametri di Clore, per altre

l’approccio multiesponenziale di LeMaster. Sembra che un metodo ”model free” a quattro

parametri (chiamato per questo LS-4), in cui la densita spettrale e descritta da quattro

lorentziane, dia i migliori risultati per l’analisi del rilassamento di spin relativo all’ 15N [10].

LS-4 e il metodo piu semplice per considerare la dinamica per scale dei tempi sia lente che

veloci. Si puo dire in generale che aumentando il numero di parametri migliora la potenzialita

del metodo ”model free”, anche se oltre quattro / cinque (LS-4, LS-5) non si ottengono piu

cambiamenti apprezzabili nella stima dei parametri del moto. Per quanto riguarda il rilassa-

mento del deuterio [11], invece, sembra che il metodo originale di Lipari e Szabo (LS-2) o al

limite quello esteso di Clore (LS-3) siano sufficienti per descrivere e interpretare la dinamica.

E stata studiata anche la dipendenza dalla temperatura dei parametri d’ordine generalizzati

per il moto [33, 34] per cercare di comprendere la dipendenza dalla temperatura dei moti

interni della proteina. Tale comprensione e utile quando si va a studiare, ad esempio, il ruolo

delle fluttuazioni conformazionali in processi come l’instaurarsi di un legame con un substra-

to o il folding delle proteine. Misure di S2 e della sua dipendenza dalla temperatura danno

informazioni, ad esempio, sul calore specifico. Conoscere la dipendenza dalla temperatura

del parametro d’ordine generalizzato puo portare a capire, anche, a quali variazioni confor-

mazionali viene incontro la proteina cambiando la temperatura.

Il range di validita dei metodi presentati e quindi abbastanza ristretto. Come minimo deve

essere valida la separabilita dei moti globale ed interno e comunque anche i moti interni

devono avere scale dei tempi ”ragionevoli” e limitate. Mentre una proteina globulare di sim-

metria quasi sferica puo essere descritta da un metodo ”model free”, un peptide ”random

coil” e piu difficilmente trattabile.

1.3 Modellistica avanzata

I metodi discussi nella sezione precedente sono modelli semplici per l’interpretazione della

dinamica da misure di NMR, ma la loro stessa semplicita ne limita l’utilita. Naturalmente

20

possedere dei modelli interpretativi universali e quasi un’utopia, ma quello che si puo fare e

sviluppare una modellistica piu sofisticata e che abbia la possibilita di essere adattata caso

per caso ai vari sistemi che si vogliono studiare. Lo sviluppo di strumenti teorici piu precisi

comporta anche una complessita dei metodi, dal punto di vista matematico e computazionale.

Come al solito occorre scegliere sempre tra la bonta del modello e la disponibilita in risorse

e tempo.

Lo sviluppo di una modellistica avanzata permette di ricavare informazioni sulla dinamica

delle proteine non solo interpretando misure di NMR, ma anche misure di ESR, a cui i

metodi ”model free” non potevano essere applicati.

In questa sezione verranno presentati i modelli piu avanzati nell’interpretazione della dina-

mica di sistemi complessi utilizzando misure di NMR ed ESR, attraverso il modello ”Slowly

Relaxing Local Structure” (SRLS) e l’impiego della Equazione Stocastica di Liouville (SLE).

Infine si parlera dell’utilizzo di calcoli di dinamica molecolare (MD) per ottenere informazioni

sul moto delle proteine, sia utilizzando i calcoli MD da soli, sia in combinazione con altri

metodi.

1.3.1 SRLS e SLE per NMR ed ESR

Tutti i metodi ”model free” hanno come punto di partenza la separabilita tra il moto globale

della proteina ed il suo moto interno, condizione che, pero, non e sempre assicurata. In quei

casi in cui esiste una correlazione non trascurabile, le stime dei parametri del moto sono

poco precise.

In un approccio del tutto differente non si assume piu che la funzione di autocorrelazione

sia fattorizzabile nei due contributi globale ed interno. In particolare il sistema viene anzi

descritto esplicitamente come due corpi che diffondono e sono sottoposti ad un potenziale

di accoppiamento. Tale modello viene chiamato ”Slowly Relaxing Local Structure” (SRLS)

ed e stato utilizzato per l’interpretazione di misure di risonanza magnetica (nucleare ed

elettronica) per sistemi complessi quali i cristalli liquidi e vetri [35, 36, 37].

Il modello SRLS viene utilizzato per descrivere, in generale, due corpi il moto dei quali

viene considerato diffusivo e che sono accoppiati tra di loro attraverso un certo potenziale.

In particolare, per quanto riguarda l’NMR, i due corpi che entrano nel modello sono uno

il vettore internucleare di cui si vuole ottenere informazioni sul moto e l’altro e l’intorno

21

”proteico” che definisce un potenziale di accoppiamento. Dato che sostanzialmente cio che

si va a guardare e una diffusione rotazionale, i due corpi (il vettore internucleare e il resto

della proteina) sono visti come due rotatori che diffondono in maniera stocastica e che sono

accoppiati attraverso un potenziale orientante [38, 39, 40].

Si arriva a scrivere la densita spettrale nel seguente modo:

Jµ, ν (ω) =∑K

aK jK (ω) (1.34)

in cui le componenti jK(ω) sono date da:

jK (ω) =∑

i

cK,i τi1 + ω2 τ 2

i

(1.35)

dove gli autovalori τ−1i rappresentano modi dinamici puri e combinati

I coefficienti dell’espansione, aK , nella (1.34) si ricavano attraverso la definizione di funzioni

dipendenti dall’orientazione che moltiplicano l’Hamiltoniano di spin. Quest’ultimo e definito

come:

H =∑

µ=CSA,D

∑l=0,2

l∑m,m′,m′′=−l

A(l, m)µ L Dl

m m′ (ΩLV ) Dlm′ m′′ (ΩV CSA)F

(l, m′′) ∗µ,CSA (1.36)

dove X(l, m)µ, N indica la componente m-esima dell’operatore tensoriale irriducibile X (essendo

X: A, operatore di spin oppure F , tensore magnetico), di rango l, definito nel frame N e

riferito all’interazione di tipo µ (15N CSA oppure 15N−1H dipolare). Espressioni per A e F

si trovano altrove [35, 41].

Se si assume che il tensore 15N CSA abbia simmetria assiale e che sia collineare con il tensore

dipolare 15N−1H, i tre coefficienti della densita spettrale sono funzioni del solo angolo βV D,

l’angolo tra l’asse di diffusione del vettore internucleare (ZV ) ed il legame.

Con tale modello e con le assunzioni fatte di:

− moto globale isotropo

− moto interno a simmetria assiale

− tensore CSA a simmetria assiale e collineare con tensore dipolare

la densita spettrale che si ricava dipende da cinque parametri: tensore di diffusione della pro-

teina, PD, componenti perpendicolare e parallela del tensore di diffusione per il vettore,VD⊥

22

e VD‖, coefficiente del potenziale assiale, c20, e l’angolo βV D. Si ottiene una parametriz-

zazione dei tempi di rilassamento e del NOE, attraverso la parametrizzazione della densita

spettrale. Tramite interpolazione con i dati sperimentali si ottiene una stima dei cinque

parametri. Questi ultimi possono essere poi utilizzati per ricavare i parametri d’ordine ge-

neralizzati ed i tempi di correlazione per i moti interni.

Il modello SRLS e uno strumento teorico molto piu potente dei metodi ”model free”. Esso

tiene conto in maniera rigorosa dell’accoppiamento tra i moti globale ed interno della pro-

teina. Inoltre le proprieta tensoriali del modello rendono possibile una interpretazione fisica

sensata dei dati di rilassamento NMR. E alquanto flessibile e puo essere utilizzato anche per

descrivere bene i vari eteronuclei che si usano nelle misure di NMR e si puo tener conto in

maniera adeguata anche di anisotropia in entrambi i tipi di moto.

Il modello SRLS e stato confrontato con i metodi ”model free” [39, 42]. Si e visto come il

”model free” tende a dare parametri d’ordine generalizzati sovrastimati e tempi di corre-

lazione sottostimati. Anche utilizzando le varie estensioni del metodo di Lipari e Szabo non

si ottengono i buoni risultati dell’SRLS. Si puo solo dire che quei metodi sono solo scarse

approssimazioni delle densita spettrali ottenute con l’SRLS. Si e notato [42] che le formule

model free possono essere utilizzate con una certa sicurezza per S2 ≥ 0.8 e PD/ LD ≤ 0.01

in quanto in questo range dei parametri gli effetti di accoppiamento sono trascurabili. Con

opportune approssimazioni, ci si puo ricondurre ad una forma per la densita spettrale a due o

tre parametri, avendo cosı una situazione analoga al ”model free” originale e a quello esteso.

Le condizioni sono le seguenti:

i) diffusione locale isotropa: LD⊥ ≈ LD‖ = LD il che implica βV D = 0. I dati sperimen-

tali possono essere interpolati con due parametri liberi: il coefficiente del potenziale

assiale c2 0 e τf =(6 LD

)−1;

ii) ”very anisotropic local motion” (VALM): si ha per τ⊥ τ‖ per cui la densita spettrale

rimane parametrizzata da: c2 0, τ⊥ e βV D.

Si faccia attenzione al fatto che in queste condizioni ci si trova ad avere una forma per la

densita spettrale analoga, non identica, a quella dei ”model free”; i risultati sono differenti

utilizzando i due approcci e, naturalmente, il metodo SRLS fornisce le stime piu accurate.

Cosı come e stato utilizzato per interpretare la dinamica da misure NMR, il modello SRLS

23

puo essere utilizzato e adattato per studiare i dati sperimentali provenienti da una anali-

si ESR. Tale modello e gia stato utilizzato per lo studio di spettri ESR di cristalli liqui-

di [35, 37, 43]. L’applicazione puo essere estesa anche a sistemi proteici e tale lavoro e gia

iniziato [19, 44]. La procedura seguita e stata quella di raccogliere i dati ad almeno due

frequenze differenti, come detto nella presentazione dei metodi sperimentali. In particolare

si misurano gli spettri a 250 GHz, interpolando i quali si ottengono i parametri per il moto

interno, e a 9 GHz che, interpolati tenendo fissi i parametri del moto interno calcolati prima,

danno informazioni sul moto globale della proteina.

Il modello si basa sulla risoluzione della equazione stocastica di Liouville (SLE) di cui si

parlera in dettaglio nel prossimo capitolo.

Una volta ottenuta una parametrizzazione dello spettro con caratteristiche fisiche di interesse

(tensori di diffusione, coefficienti del potenziale, ecc.) si puo interpolare la funzione ottenuta

con i dati sperimentali, per stimare i parametri del sistema. Per prima cosa si interpolano i

dati sperimentali misurati a 250 GHz, in cui si assume che il moto globale sia congelato e

ottenendo quindi i parametri per il moto interno. Per avere informazioni sul moto globale

si interpolano gli spettri raccolti a 9 GHz, tenendo costanti i parametri per il moto interno

calcolati a 250 GHz.

I primi studi che si stanno conducendo sull’interpretazione della dinamica di proteine sem-

brano promettenti, soprattutto con l’introduzione del modello SRLS. Misure di ESR a varie

frequenze sono uno strumento utile allo scopo interpretativo con la caratteristica di riuscire

a fare una buona deconvoluzione dei vari modi del moto. Tutto questo, pero, va a discapito

della semplicita che ad esempio accompagnava il ”model free”.

1.3.2 Dinamica Molecolare

Il continuo sviluppo di calcolatori sempre piu potenti e veloci rende possibile pensare di

poter simulare gli esperimenti di NMR e di ESR di proteine attraverso l’impiego della dina-

mica molecolare (MD). Un calcolo MD descrive in modo completo la dinamica, sia globale

che interna, della proteina perche il calcolo viene proprio eseguito andando a guardare la

traiettoria che gli atomi sono costretti a compiere a causa del potenziale di interazione. Simu-

lazioni MD permettono di studiare in dettaglio soprattutto i moti piu veloci che avvengono

nei tempi dei ns e ps e, inoltre, si possono studiare rilassamenti accoppiati di piu sistemi di

24

spin [45].

Il limite principale e ancora imposto, pero, dal tempo di calcolo. I rilassamenti di spin dipen-

dono da scale dei tempi che vanno dai ps fino ai ms. Per avere una traiettoria che possa dare

risultati realistici occorre imporre step di 1 - 2 fs nella simulazione. Per una traiettoria di 1

ms, con intervallo di tempo di 1 fs, sono richiesti 1015 step, ancora improponibile in tempi

”ragionevoli”, intendendo con ragionevoli anche qualche mese.

Si sono sviluppati diversi metodi, di seguito descritti, che fanno utilizzo di calcoli MD per

interpolare direttamente una funzione per la densita spettrale e metodi che invece, da una

traiettoria, estraggono parametri idrodinamici della proteina da inserire in un modello per

la densita spettrale. L’utilizzo della dinamica molecolare, soprattutto combinata con modelli

teorici, sembra dare risultati interessanti, sebbene ancora approssimati per via della quasi

impossibilita di ottenere traiettorie nei ms.

MD per NMR

Da una traiettoria MD si possono calcolare i tempi di rilassamento NMR, o direttamente

dalla traiettoria, o indirettamente per interpolare modelli per la funzione di autocorrelazione

o, ancora, estraendo dati da passare ad un modello.

− Approcci RED - iRED

L’approccio per ottenere i dati di rilassamento da una traiettoria MD viene detto

”(isotropic) Reorientational Eigenmode Dynamics” - (i)RED - [46, 47]. Si costruisce

una matrice di covarianza a partire dalla traiettoria. Prima di tutto si rimuovono i

sei gradi di liberta del moto globale della proteina riorentando e traslando ogni con-

formazione rispetto ad una di riferimento. Successivamente, per ogni conformazione si

definisce un vettore colonna complesso 5n - dimensionale, con n numero di interazioni:

|Y (t)〉 = |Y2−2 (Ω1 (t)) , Y2−1 (Ω1 (t)) , Y2 0 (Ω1 (t)) , Y2 1 (Ω1 (t)) ,

Y2 2 (Ω1 (t)) , · · · , Y2 2 (Ωn (t))〉(1.37)

La matrice di covarianza assume la forma P = |∆Y 〉〈∆Y |, dove |∆Y 〉 = |Y (t)〉 − |Y 〉

e la barra sovrapposta indica la media su tutta la traiettoria. La matrice di covarianza

25

P e Hermitiana e puo essere diagonalizzata P |p〉 = λp |p〉. Gli elementi non nulli degli

autovalori |p〉 rappresentano le funzioni Y2 M (Ωj) che sono modulate in correlazione

tra di loro. Quindi, gli autovettori |p〉 rappresentano gli automodi di riorentazione

nello spazio di rango 2 con ampiezza del modo λp. Nel caso di moto isotropo si puo

semplificare ottenendo una matrice di covarianza n × n.

Nella diagonalizzazione della matrice di covarianza si perde la dipendenza esplicita

dal tempo. Per ogni modo reorientazionale si puo determinare il tempo caratteristico

proiettando ogni step della traiettoria sull’autovettore in esame, e quindi valutando

prodotti interni del tipo: ap = 〈p|∆Y (t)〉. La funzione di autocorrelazione per ogni

modo si calcola, allora, cosı:

Gp (t) = 〈a∗p (t + τ) ap (t)〉 (1.38)

Il parametro d’ordine generalizzato e dato dall’equazione (1.31) e dato che la matrice

P contiene proprio σ2Y2 M

sulla diagonale, per il j-esimo vettore internucleare si puo

scrivere:

1 − S2j =

4π

5

5 j∑u = 5 j− 4

P u u (1.39)

La funzione di autocorrelazione per la j-esima interazione si puo scrivere come una

combinazione lineare delle funzioni di correlazione per gli automodi moltiplicata per

una funzione di correlazione per il moto globale:

G (t) = Gg (t)∑p

ξp [Gp (t) − 1] (1.40)

dove ξp ha una espressione ricavabile dalla traiettoria [46]. Dalla trasformata di Fourier

- Laplace della funzione di autocorrelazione (1.40) si ottiene la densita spettrale.

L’approccio iRED e stato introdotto per migliorare il limite del RED relativo al fatto

che per simulazioni non troppo lunghe viene preclusa l’isotropia conformazionale del-

l’ensemble. Si interviene integrando analiticamente ogni passo della traiettoria su una

distribuzione isotropa di orientazioni. Gli automodi e le loro ampiezze che ne risul-

tano, che riflettono sia il moto globale che quello interno, permettono di verificare la

separabilita dei due tipi di moto. Il modo di eseguire la media isotropa e descritto

26

nell’appendice del riferimento [47] e porta ad avere elementi per la matrice di varianza

del tipo:

QM,k,M ′,k′ = 〈PM,k,M ′,k′〉 =δM M ′

4πPL (cos Ωk −Ωk′) (1.41)

Dopo aver eseguito la media isotropa il modo di procedere e del tutto analogo al

RED. Nell’approccio iRED non si assume in partenza la separabilita dei moti globale

ed interno e per questo e un modello utilizzabile per proteine per le quali questa

separabilita viene a cadere.

− MD a supporto di altri modelli

Dato il calcolo MD occorre trovare un modello per la funzione di autocorrelazione e/o

per la densita spettrale per interpolare i dati derivanti dalla traiettoria. Si illustrera in

maniera generale il modo di procedere per eseguire e soprattutto per analizzare una

traiettoria allo scopo di ottenere i parametri di rilassamento T1, T2 e NOE. Il modo

di eseguire il calcolo non puo essere descritto troppo in dettaglio perche dipende da

molecola a molecola, da come si vuole definire la scatola del solvente, dal potenziale che

si sta utilizzando e da quale programma si sta utilizzando. Quindi per ogni calcolo e as-

solutamente neccessario indicare tutte le condizioni e le modalita adottate. [7, 8, 9, 48].

Generalmente si sceglie la conformazione iniziale della proteina a partire da quella che

si ricava da un’analisi cristallografica ai raggi X. Viene poi definita una scatola in cui

esiste la proteina e un certo numero di molecole di solvente (come ad esempio acqua)

e si impongono le condizioni cicliche al contorno. Come intervallo di tempo per la si-

mulazione si sceglie 1 - 2 fs e, infine, il potenziale viene definito in base alle esigenze o

alla disponibilita nel caso si stia usando un programma gia pronto.

Durante il calcolo o subito appena ottenuta la traiettoria si usa eliminare lo sposta-

mento del centro di massa della proteina e la sua variazione di orientazione facendo

riferimento ad una delle snapshot della traiettoria. Questo viene fatto perche cosı si

possono studiare direttamente solo i moti interni.

27

Si sceglie il vettore internucleare che si vuole studiare e la funzione di autocorrelazione

temporale interna e data da:

Gi (t) =4π

5

∑|M | ≤ 2

〈Y ∗2 M (Ωt + τ ) Y2 M (Ωt)〉 (1.42)

Se si puo assumere che la simulazione sia abbastanza lunga da aver raggiunto l’equi-

librio, allora si puo approssiamre che Gi (t = TMD) = Gi (∞), dove TMD e il tempo

della traiettoria. Il parametro d’ordine generalizzato si puo allora calcolare come:

S2 =4π

5

∑|M | ≤ 2

| 1

TMD

∫dt Y2 M (Ωt) |2 (1.43)

Per ottenere la densita spettrale dalla traiettoria MD si parametrizza la funzione di au-

tocorrelazione interna esprimendola come somma pesata di decadimenti esponenziali.

Dopo interpolazione si moltiplica tale funzione con una forma analitica per la funzione

di autocorrelazione per il moto globale. Si ottiene una funzione di autocorrelazione che

puo essere trasformata in maniera analitica nella densita spettrale.

Ci sono due problemi principali legati all’approccio appena descritto. Il primo e che

non si possono ancora ottenere traiettorie sufficientemente lunghe in tempi ragionevoli,

per cui non si puo essere sicuri che la simulazione sia all’equilibrio e non si possono

vedere bene gli effetti dei moti che avvengono nelle scale dei tempi piu lunghi (µs e ms).

Il secondo, parzialmente a causa del primo, e che ancora vengono considerati separabili

il moto globale da quello interno della proteina.

− Mode - Coupling Smoluchowski Dynamics

La proteina viene descritta come un insieme di sfere legate tra loro [49]. La modelliz-

zazione viene fatta in vari modi, andando dalla descrizione piu dettagliata in cui ogni

singolo atomo e rappresentato da una sfera, a descrizioni piu grossolane in cui la cate-

na principale e costituita da una sfera per ogni amminoacido e le catene laterali sono

costituite da una a tre sfere (a seconda della lunghezza della catenza laterale) fino ad

arrivare a descrivere la proteina come costituita da una sfera per ogni amminoacido.

Ogni sfera e caratterizzata da un suo coefficiente d’attrito.

28

Si considera stocastico il moto dei vettori che uniscono due sfere e per questi si scrive

l’equazione di Smoluchowski:

I = −Γ I (1.44)

dove I e una matrice con le coordinate di tutti i vettori di legame. L’operatore di

diffusione ha la forma:

Γ = ∇† D Peq∇P−1eq (1.45)

in cui, per ogni sfera, il coefficiente di diffusione e proporzionale all’inverso del coefficiente

d’attrito.

Si risolve l’equazione di Smoluchowski scegliendo un set di funzioni di base e dia-

gonalizzando gli elementi di matrice dell’operatore di diffusione. Una volta ottenuta

l’evoluzione temporale di I (t) si puo calcolare la funzione di autocorrelazione e da essa

la densita spettrale per ottenere quindi i tempi di rilassamento NMR. Parametri utili

a risolvere l’equazione diffusiva sono ricavati dalla simulazione MD.

MD per ESR

La traiettoria di una simulazione MD puo essere utilizzata [50] per modulare l’Hamiltoniano

di spin attraverso una componente dipendente dell’orientazione della sonda paramagnetica,

scrivere un’evoluzione temporale per la matrice densita di spin e, infine, calcolare lo spettro

ESR. Il punto di partenza e l’equazione stocastica di Liouville:

∂ ρ (Ω, t)

∂ t= −i

[H× (t) , ρ (Ω, t)

]+ Γ ρ (Ω, t) (1.46)

dove [· · ·] sono le parentesi di Poisson e Γ e l’operatore di diffusione definito come in (1.45).

La SLE verra descritta in dettaglio nel secondo capitolo.

La linea spettrale e data dalla trasformata di Fourier - Laplace della magnetizzazione di spin

mediata sulla traiettoria:

I (ω) =∫ +∞

0exp (−i ω t)

∫Peq (Ω) 〈M (Ω, t)〉 dΩ dt (1.47)

dove la media 〈· · ·〉 e effettuata sui gradi di liberta di spin, sugli angoli di Eulero e sul numero

di traiettorie.

29

L’Hamiltoniano di spin e composto da due parti, una dipendente e l’altra no, dall’orien-

tazione. La parte dipendente dall’orientazione (Hor) puo essere scritta in termini di matrici

di rotazione U (t) che vengono estratte direttamente dalla traiettoria:

Hor = S UT (t) ∆gU (t) B0 + S UT (t) ∆AU (t) I (1.48)

dove S e il momento di spin dell’elettrone, g e il tensore magnetico, B0 il campo magnetico

statico, A il tensore di interazione iperfine e I il momento di spin del nucleo con cui l’elet-

trone interagisce. Le esperessioni per ∆g e ∆A sono date altrove [50]. Le matrici di rotazione

U (t) sono matrici calcolate ad ogni step della simulazione che meglio sovrappongono le at-

tuali coordinate della proteina con quelle di una struttura di riferimento data ad un certo

tempo. La procedura per ricavare le matrici di rotazione e descirtta altrove [51].

Una volta risolta l’equazione stocastica di Liouville in cui l’Hamiltoniano di spin viene deriva-

to dalla traiettoria (1.48) si ottiene la matrice densita di spin con la quale si calcola la ma-

gnetizzazione Mxy (t) = Tr [(Mx + iMy) ρ (t)] e, infine, la riga spettrale con l’equazione

(1.47).

1.4 Sviluppi

Notevoli miglioramenti sono stati introdotti con l’utilizzo di modelli stocastici (SRLS e SLE)

e di simulazioni di dinamica molecolare rispetto ai metodi ”model free”. Il miglioramento e

avvenuto per il fatto che la modellistica avanzata tiene conto del sistema in esame e da esso

costruisce la funzione di autocorrelazione, senza dover fare approssimazioni e considerazioni

preventive sulla forma della densita spettrale.

Modelli stocastici e inerziali a piu corpi che diffondono in maniera accoppiata rendono piu

efficace l’interpretazione della dinamica a partire da misure di risonanza magnetica.

Anche simulazioni di dinamica molecolare possono essere un buon supporto ai modelli sto-

castici nell’impresa di comprendere la dinamica di sistemi fluidi complessi.

In particolare e promettente dal punto di vista sperimentale lo studio del rilassamento ESR

di una sonda paramagnetica legata alla molecola o comunque presente nel sistema molecolare

in esame. E per questo motivo che si e deciso di occuparsi dello sviluppo di una modellistica

mirata a simulare spettri di risonanza magnetica elettronica.

30

Questo lavoro di tesi e organizzato nel modo seguente. Nel secondo capitolo e presentata la

metodologia generale basata sulla SLE. Nei capitoli terzo e quarto sono descritti i modelli

ad uno e due corpi (SRLS), con una discussione relativa ai vari casi limite, simulazione di

spettri e considerazioni sull’effetto dei vari parametri fisici sul segnale ESR. Il quinto capi-

tolo e dedicato allo sviluppo di un modello stocastico relativo a sistemi portatori di due

sonde paramagnetiche, come esempio di sistema modello applicabile in futuro ad esperimen-

ti SDSL, con un esempio di simulazione di spettri ESR di bisaddotti del fullerene con due

nitrossidi.

31

Capitolo 2

Equazione Stocastica di Liouville

Il lavoro svolto in questa tesi riguarda lo sviluppo di modelli per l’interpretazione di spettri

ESR, mirato all’applicazione, in un vicino futuro, di sistemi proteici. In genere la misura

viene effettuata su un campione di molecole ed il segnale dipende quindi dal comportamento

generale di tutte le molecole presenti. Gli approcci alla modellizzazione sono molteplici, come

si e cercato di chiarire nel capitolo precedente. L’approccio degli operatori stocastici, su cui

si basano le trattazioni esposte nel seguito, costituisce un ragionevole compromesso tra la

necessita di cogliere gli aspetti principali della dinamica molecolare, e di estrarre parametri

dinamici significativi, e l’esigenza di disporre di una metodologia relativamente semplice e

di pratica implementazione.

I modelli affrontati nei prossimi due capitoli sono stati gia introdotti in passato ed applicati

a sistemi come cristalli liquidi e vetri. In questa tesi si e deciso di riordinare i modelli finora

conosciuti, implementarli in un insieme di programmi scritti in C e studiarne i casi limite

per poterne comprendere potenzialita e limiti. Quindi si e dato piu peso ad una analisi dei

modelli piuttosto che alla loro applicazione a sistemi sperimentali.

2.1 Descrizione del moto

Il primo punto da affrontare e quello riguardante il moto delle molecole e quindi la scelta

di come descrivere la densita di probabilita spaziale, l’evoluzione temporale della quale por-

ta a capire quale sia la situazione di equilibrio e in che modo essa venga raggiunta. In

generale, si assumera che i moti molecolari di interesse siano di tipo diffusivo, esclusiva-

32

mente rotazionale, e Markoviano. Quest’ultima condizione implica che per ogni molecola la

probabilita di trovarsi orientata di un certo angolo Ωi al tempo ti dipende esclusivamente

dall’orientazione Ωi−1 che possedeva al tempo ti−1; in altre parole si considera che il sistema

non mantenga memoria del passato. Infine non si tiene conto di effetti inerziali nella de-

scrizione del moto. In queste condizioni si arriva a scrivere, per l’evoluzione temporale della

densita di probabilita rotazionale, l’equazione di Smoluchowski, che per un generico processo

stocastico q che comprende i vari gradi di liberta rotazionali del sistema, e data cosı:

∂ P (q, t)

∂ t= −ΓP (q, t) (2.1)

dove P (q, t) e la densita di probabilita dipendente dal tempo per il processo stocastico q e Γ

e l’operatore diffusivo. La forma dettagliata dell’operatore diffusivo sara presentata caso per

caso nella discussione dei vari modelli. In genere esso contiene operatori momento angolare

che agiscono sulle coordinate stocastiche angolari q [31, 54].

L’evoluzione della densita di probabilita porta ad una situazione di equilibrio. Si assume che

lo stato stazionario esista, sia unico e dato dalla distribuzione di Boltzmann:

Peq (q) =exp [−V (q) / kB T ]

〈exp [−V (q) / kB T ]〉(2.2)

in cui appaiono la costante di Bolztmann, kB, la temperatura assoluta, T , e un potenziale a

cui sono sottoposte le coordinate stocastiche. Con 〈. . .〉 si intende l’integrale sulle coordinate

stocastiche q.

2.2 Hamiltoniano di spin

Una volta scelto come descrivere la parte spaziale del sistema, occorre definire la parte

magnetica e come essa venga influenzata dal moto rotazionale. Per il tipo di spettroscopia

scelta, ossia continuous wave electron spin resonance (CW - ESR), per la simulazione e per

il tipo di nuclei coinvolti, si e scelto di scrivere l’Hamiltoniano di spin tenendo conto solo

dell’effetto Zeeman elettronico e dell’interazione iperfine con un nucleo:

H = ωg~B0 gr S + ωA I Ar S (2.3)

33

dove ~B0 e il campo megnetico statico, gr e il tensore Zeeman per l’elettrone e Ar e il tensore

di interazione iperfine, entrambi ridotti per le rispettive tracce, ossia Xr = X/tr(X)

(X = g, A). Le frequenze sono date da:

ωg =βeB0

htr (g) (2.4)

ωA =ge βe

htr (A) (2.5)

Si puo definire un operatore densita di probabilita di spin la cui evoluzione temporale e:

∂ ρ(t)

∂ t= −i

[H(t), ρ(t)

](2.6)

dove con [. . .] si intende il commutatore tra i due operatori.

Nella (2.6) si e voluta esplicitare la dipendenza dal tempo anche dell’Hamiltoniano di spin.

Il rilassamento di spin (perdita di coerenza della matrice densita) avviene a causa dei moti

dell’intorno chimico i quali influiscono sull’Hamiltoniano di spin. Dalla variazione dell’Hamil-

toniano con il moto deriva, indirettamente, la dipendenza dello stesso dal tempo. L’Hamil-

toniano di spin puo essere espresso come contrazione di rango zero di tensori e operatori

tensoriali di rango zero e due. Manca il rango uno a causa della simmetria dei tensori che

appaiono nell’Hamiltoniano. Inoltre termini di rango superiore non ci sono in quanto essi

sarebbero dovuti ad altri effetti, come ad esempio l’interazione di quadrupolo. La forma piu

generale per esprimere l’Hamiltoniano di spin e la seguente:

H =∑

µ = g A

∑l = 0, 2

l∑m =−l

ωµ F(l, m) ∗µ, LF A

(l, m)µ, LF (2.7)

dove X(l, m)µ, F sta per la componente m-esima del tensore (o operatore tensoriale) sferico ir-

riducibile di rango l relativo alla interazione magnetica µ definito nel sistema di riferimento

F . La forma degli X(l, m)µ, F e riportata in Appendice B.

La dipendenza dalle coordinate rotazionali e celata nella componente di rango due dei ten-

sori F in quanto essi originariamente vengono definiti in sistemi di riferimento, solidali al

corpo che porta l’elettrone spaiato, in cui sono diagonali i tensori di spin e, con la prorieta

delle matrici di Wigner F (l, m)a =

l∑m′ =−l

Dlm m′ (Ωb→ a) F

(l, m′)b , vengono espressi nel sistema di

laboratorio. In tale trasformazione devono essere coinvolte anche le coordinate stocastiche,

da cui la dipendenza della parte di spin da quella spaziale.

34

2.3 L’equazione stocastica di Liouville

Avendo deciso come descrivere il moto e la parte di spin, si puo costruire quella che e detta

equazione stocastica di Liouville (Stochastic Liouville Equation - SLE), la quale fornisce un

modo per poter accoppiare delle coordinate trattate in maniera classica (quelle rotazionali)

con delle coordinate di natura puramente quantistica (ossia quelle di spin). Se con Q si

intendono tutte le coordinate stocastiche rotazionali q e di spin σ, l’SLE e:

∂ρ(Q, t)

∂t= −i

[H(Q, t), ρ(Q, t)

]− Γ(q, t) ρ(Q, t) = −L ρ (Q, t) (2.8)

dove ora ρ(Q, t) e la matrice densita associata al processo stocastico Q [55].

Per comodita di scrittura si definisce il super - Hamiltoniano di spin H× =[H, ρ

]. In Ap-

pendice B il super - Hamiltoniano di spin e espresso in termini di tensori sferici irriducibili.

Nella (2.8) il super operatore L = iH× + Γ e l’operatore stocastico di Liouville.

Per procedere e necessario ricordare alcune importanti proprieta dello spazio di Liouville:

− un vettore nello spazio di Liouville corrisponde al prodotto interno nello spazio di

Hillbert; quindi un elemento di matrice nello spazio di Hillbert si esprime come prodotto

scalare nello spazio di Liouville:

〈mM |M |m′M〉 ↔ 〈〈M |mM m′

M〉〉 (2.9)

− dato un super operatore A× nello spazio di Liouville, esso puo essere espresso come:

A× = A · 1 − 1 · Atr (2.10)

− dati due operatori, si puo scrivere:

〈〈m1, n1 |A · B|m2, n2〉〉 = 〈m1 |A |m2〉〈n1 |B |n2〉 (2.11)

Si nota dalle proprieta appena illustrate che lo spazio associato al super - Hamiltoniano di

spin e lo spazio totale delle transizioni, dato dal prodotto diretto tra gli spazi delle transizioni

di spin elettroniche e nucleari |σ〉〉 = |mS1 , m

S2 〉〉 ⊗ |mI

1, mI2〉〉. Informazioni piu dettagliate

sulla costruzione della base sono date in Appendice A.

35

2.4 Risoluzione della SLE

Una volta costruito l’operatore di Liouville e quindi l’SLE il metodo per calcolare lo spet-

tro e quello di definire un vettore nello spazio di Liouville, detto vettore di partenza, che

rappresenti proprio il segnale restituito dalla spettroscopia. Dato che si tratta di ESR, la

dinamica non viene perturbata, per cui la parte rotazionale dovra rimanere all’equilibrio, in-

oltre non avvengono transizioni tra stati di spin nucleari, ma solamente elettronici, descritte

dall’operatore SX . Quindi il vettore di partenza si scrive nella seguente forma [41]:

| v〉〉 = [I]−1/2 | SX 1I Peq〉〉 (2.12)

Il segnale ESR altro non e che la densita spettrale:

I (ω − ω0) =1

π<〈〈v |

[i (ω − ω0)1 +

(Γ + i H×

)]− 1| v〉〉

(2.13)

Un modo immediato per ottenere lo spettro e quello di costruire la matrice associata all’ope-

ratore di Liouville sulle funzioni della base, diagonalizzarla ottenendo gli autovalori e poi cer-

care gli autovettori. Come si avra modo di vedere piu avanti, in genere la base e molto grande

e tale procedimento richiederebbe tempi assolutamente lunghi. L’approccio seguito e quello

del metodo di Lanczos. Si tratta di un metodo iterativo che crea uno spazio che approssima

quello in cui e definito l’operatore di Liouville. Si parte da uno spazio monodimensionale e ad

ogni iterazione lo spazio viene espanso e cio che si ottiene e una rappresentazione matriciale

dell’operatore di Liouville nello spazio approssimante. Una caratteristica della matrice che

si ottiene e che man mano che viene costruita, i primi autovalori ad emergere sono quelli

con peso maggiore. Inoltre la matrice nasce sottoforma tridiagonale in cui la sovra- e sub-

diagonale sono identiche. In linea di principio, piu iterazioni si fanno e meglio lo spazio di

Lanczos approssima quello di Liouville, ma a causa della matematica finita dei calcolatori

possono generarsi autovalori spuri. Il numero di iterazioni richiesto per avere una ottima ap-

prossimazione della densita spettrale ”corretta” e molto minore del numero di funzioni scelte

per la base (anche meno del 10 %). In Appendice C si trovano i particolari del metodo di

Lanczos.

Una volta ottenuta la rappresentazione tridiagonale dell’operatore di Liouville ancora una

volta si puo procedere calcolando gli autovalori e di conseguenza la densita spettrale, ma

36

per come e stata definita quest’ultima puo essere anche calcolata come frazione continua

direttamente dai valori della diagonale e della sub - diagonale della matrice:

I (ω − ω0) =1

α1 − i∆ω − β21

α2 − i∆ω − β22

α3 − i∆ω − . . .

(2.14)

dove gli αi sono i valori della diagonale della matrice tridiagonale e i βi sono i valori della

sub - diagonale e ∆ω = ω − ω0.

Finora e stata illustrata la procedura generale seguita per costruire i modelli e calcolare lo

spettro ESR. I particolari saranno discussi per ogni modello nei relativi capitoli.

37

Capitolo 3

Modello ad un corpo

3.1 Introduzione

Il modello ad un corpo, come sara illustrato meglio di seguito, considera una molecola come

un unico corpo rigido che diffonde nel mezzo in cui si trova. Il modello puo essere utilizzato

per molecole piccole o strutture estremamente rigide, ed e relativamente semplice. I moti in-

terni e globali delle molecole possono avvenire a differenti tempi caratteristici, ma il modello

puo tener conto solo della reorientazione globale.

Si e scelto, comunque, di ripercorrere lo sviluppo del modello ad un corpo in maniera comple-

ta, ossia sino ad ottenere lo spettro ESR, per diversi motivi. Dato che si tratta di un modello

semplice esso sara descritto con una serie di equazioni non troppo complicate cosı da poter

prendere familiarita con l’argomento. Piu importante e la questione computazionale: il pro-

gramma per il calcolo dello spettro e stato scritto ex novo. E sicuramente molto utile scrivere

un programma per un sistema relativamente semplice, in modo da rendersi conto facilmente

di tutte le routine di supporto che occorrono: diagonalizzazione di matrici, integrazione nu-

merica, calcolo dei simboli 3j, algoritmo di Lanczos e altre.

Il programma e stato scritto in C. Questo ha comportato dei problemi inizialmente per quan-

to riguarda alcune routine di supporto, come ad esempio librerie per l’algebra lineare, perche

la maggior parte di esse si trovano piu facilmente scritte in Fortran.

Il modello ad un corpo e stato sviluppato quindi come ”training”, soprattutto per avere a

disposizione, una volta per tutte, routine in C che torneranno utili poi nello sviluppo di

modelli piu complessi. Il modello ad un corpo e stato utile anche per cominciare ad applicare

38

il metodo della SLE alla simulazione di spettri di biradicali, di cui si parlera nell’ultimo

capitolo.

3.2 Definizione del modello

Per descrivere il modello e importante chiarire quali siano i sistemi di riferimento di cui

si ha bisogno; essi sono rappresentati in Figura 3-1. Con LF si intende il sistema inerziale

di laboratorio, nel quale sono espressi gli operatori di spin ed il campo magnetico. Il set

di angoli di Eulero ΩD trasforma dal sistema di laboratorio a quello del potenziale, DF; si

tratta anch’esso di un sistema inerziale nel quale e definito il potenziale orientante. Con Ω′

si intende l’angolo che porta dal DF al sistema molecolare, MF. Tale sistema viene scelto in

modo che in esso il tensore di diffusione sia diagonale. Ω e la variabile stocastica della parte

diffusiva del modello e si tratta del set di angoli di Eulero che trasformano da LF a MF. Si

noti che sussiste la relazione Ω′ = Ω − ΩD.

Rimangono da definire ancora due sistemi di riferimento ed essi sono indicati con µF, dove

µ indica il tipo di interazione magnetica. In particolare GF indica il sistema di riferimento

in cui e diagonale il tensore relativo all’effetto Zeeman per l’elettrone e con AF si intende il

sistema di riferimento in cui e diagonale il tensore di interazione iperfine dell’elettrone con

il nucleo di azoto. I sistemi µF sono solidali con la molecola e i set di angoli di Eulero che

trasformano dall’MF ai µF sono indicati come Ωµ.

Il modello ad un corpo prevede di trattare la molecola come un unico corpo rigido che

diffonde in un mezzo. Come detto nel capitolo precedente, si assume che il tipo di moto sia

unicamente rotazionale, senza tener conto di effetti inerziali. Il processo e inoltre considerato

Markoviano e di tipo diffusivo, per cui la densita di probabilita e descritta dall’equazione

stocastica di Smoluchowski data nella (2.1). In particolare, dato che si ha un solo corpo, il

processo stocastico e il set di angoli di Eulero, Ω, che trasformano dal sistema inerziale LF

al sistema molecolare. L’equazione di Smoluchowski e quindi:

∂ P (Ω, t)

∂ t= −ΓP (Ω, t) (3.1)

39

Figura 3-1: Definizione dei sistemi di riferimento per il modello ad un corpo

dove Γ e l’operatore diffusivo. Si noti che l’operatore e stato soprassegnato con una tilde,

indicando quindi che si tratta dell’operatore simmetrizzato Γ = P−1/2eq ΓP 1/2

eq . Per consi-

stenza di notazione sarebbe corretto indicare anche la densita di probabilita con una tilde:

P (Ω, t) = P (Ω, t) /P 1/2eq . Dato che d’ora in avanti si utilizzera sempre la forma simmetriz-

zata dell’operatore diffusivo si omettera la tilde sulla densita di probabilita intendendo quindi

P (Ω, t) come la densita di probabilita scalata per la radice quadrata della distribuzione di

equilibrio.

40

L’operatore diffusivo puo essere ricavato a partire dall’equazione di Langevin generalizzata

che descrive il sistema e ricordandosi che il moto e di tipo diffusivo, ossia il momento ango-

lare arriva all’equilibrio molto velocemente e sostanzialmente il sistema puo essere descritto

dalle sole coordinate rotazionali Ω. Con queste considerazioni si ha:

Γ = P−1/2eq J

†D Peq J P−1/2

eq (3.2)

in cui appaiono l’operatore momento angolare (J ) che agisce sul set di angoli di Eulero Ω,

il tensore di diffusione (D) e la distribuzione di equilibrio (Peq).

Per quanto riguarda la geometria, si assume che il corpo abbia una simmetria cilindrica

per cui il tensore di diffusione definito in MF e caratterizzato dai due valori principali

D⊥ = DXX = DY Y e D‖ = DZZ .

Nel caso del modello ad un corpo la distribuzione di equilibrio e una costante se non esiste

un potenziale orientante esterno. E invece necessario considerare un potenziale esterno, la

cui origine puo essere interpretata differentemente a seconda del sistma che si sta studiando.

In caso di sonde legate a proteine, il potenziale orientante si puo pensare che abbia origine

dalle costrizioni strutturali che impone la proteina stessa al sito ove e legata la sonda para-

magnetica. La scelta del potenziale orientante a cui e sottoposto il corpo e molto importante

in quanto, in combinazione con il tensore di diffusione, esso e fortemente responsabile del

rilassamento di spin. Per il modello ad un corpo si e scelto di implementare un potenziale di

tipo assiale, ossia tale che l’energia che ha il corpo dipenda esclusivamente dall’angolo β′ tra

l’asse principale del sistema molecolare e l’asse principale del sistema di riferimento in cui e

definito il potenziale.

Dato che si lavora in coordinate sferiche, anche il potenziale deve essere espresso in tale modo

e a questo scopo esso viene espanso sulle matrici di Wigner Dn0 0(Ω

′). Nel DF, il potenziale

di cui risente il corpo e:

V (Ω′) = −N∑

n = 1

εnDn0 0(Ω

′) (3.3)

Tale espressione e pero scomoda, ma grazie alle proprieta delle matrici di Wigner puo essere

riscritto in una forma tale da permettere di utilizzare q = Ω come coordinata stocastica:

V (Ω) = −N∑

n = 1

εnn∑

m =−n

Dn0 m (ΩD) Dn

m 0 (Ω) (3.4)

41

Gli spettri simulati che saranno presentati in questo capitolo sono stati calcolati assumendo

ΩD = (0, 0, 0), per semplicita. La possibilita di orientare differentemente il direttore del

potenziale rispetto al sistema di laboratorio e stata sfruttata per il calcolo di quelli che sono

detti spettri di polveri.

La parte magnetica del sistema viene descritta con il super - Hamiltoniano di spin dato nella

(2.7) che viene riportato anche di seguito, ma esplicitando la dipendenza dalla variabile

stocastica Ω:

H× =∑

µ = g A

∑l =0, 2

l∑m,m′ =−l

ωµDlm m′(Ω)F

(l, m′) ∗µ, MF A

(l, m) ×µ, LF (3.5)

La costruzione del super - Hamiltoniano di spin e riportata in Appendice B; per ottenere

l’espressione dei tensori F (l, m) nel sistema molecolare si parte dalle loro espressioni nei sistemi

magnetici utilizzando le proprieta delle matrici di Wigner:

F(l, m) ∗µ, MF =

l∑m′ =−l

Dlm m′(Ωµ)F

(l, m′) ∗µ, µF (3.6)

Ora sono definiti tutti gli elementi per costruire la SLE e per risolverla manca solo il set di

funzioni di base su cui espandere l’operatore stocastico di Liouville. Il modo di costruire la

base e descritto in Appendice A. Le funzioni della base sono identificate da sette indici

discreti, quattro di spin e tre per la parte rotazionale:

|Σ〉〉 = | pS qS pI qI , LM K〉〉 (3.7)

Per avere un’idea delle dimensioni della base, se si assume Lmax = 2, I = 1 e S = 1/2 si

ottengono 1260 funzioni. Aumentando il valore dei parametri il numero di funzioni di base

cresce molto rapidamente, ma molte di esse potrebbero essere eliminate per simmetria. Per il

modello ad un corpo si e scelto di non occuparsi di tale eliminazione che risultera certamente

necessaria in modelli piu complessi.

A questo punto c’e tutto per poter simulare lo spettro ESR calcolando la densita spettrale

(2.13) con l’algoritmo di Lanczos cosı come e stato illustrato nel secondo capitolo.

42

3.3 Implementazione del modello

3.3.1 Operatore Diffusivo

E utile riuscire a calcolare gli elementi di matrice dell’operatore diffusivo in quanto serviranno

nel calcolo dello spettro ESR. Si puo notare che l’operatore puo essere scritto nella forma:

Γ = J + F (Ω) (3.8)

ossia un operatore indipendente dal potenziale ed una funzione dipendente dal potenziale.

L’operatore J ha la forma:

J = D⊥ J2

+(D‖ − D⊥

)J

2

Z (3.9)

La parte dipendente dal potenziale si puo calcolare facilmente tenendo conto che ΓP 1/2eq = 0

e che ogni componente dell’operatore momento angolare e espresso come J = f(Ω)∂

∂Ω.

Con qualche passaggio matematico si ottiene:

F (Ω) = −D⊥

4

[J+V (Ω) J−V (Ω) −

(J+ J− + J− J+

)V (Ω)

](3.10)

In Appendice D oltre ai passaggi per il calcolo degli elementi di matrice, si possono trovare

i dettagli su come si arriva a scrivere la (3.10).

Gli elementi di matrice sono allora dati da:

〈〈Σ1 | Γ |Σ2〉〉 = 〈〈Σ1 | J |Σ2〉〉 + 〈〈Σ1 |F (Ω) |Σ2〉〉 (3.11)

La parte indipendente dal potenziale e:

〈〈Σ1 | J |Σ2〉〉 = δσ1, σ2 〈λ1 | J |λ2〉 (3.12)

e dato che le matrici di Wigner sono autofunzioni di J , il calcolo dell’integrale e molto

semplice e si ottiene:

〈〈Σ1 | J |Σ2〉〉 = δΣ1, Σ2

[D⊥ L1 (L1 + 1) +

(D‖ − D⊥

)K2

1

](3.13)

Per quanto riguarda il secondo addendo della (3.11) basta ricordarsi come agiscono gli opera-

tori scaletta sulle matrici di Wigner. Dato che gli operatori momento angolare sono definiti

nel sistema di riferimento molecolare si ha che J±DLM K(Ω) = −c±L, K DL

M K ± 1(Ω), dove la

costante e c±L, K =√L(L + 1) − K(K ± 1).

43

Con l’utilizzo di questa e della proprieta delle matrici di Wigner che sono riportate in

Appendice G, si arriva a completare l’elemento di matrice dell’operatore diffusivo:

〈〈Σ1 |F (Ω) |Σ2〉〉 = δσ1, σ2 δK1, K2 (−)M1−K1

√[L1, L2]×

×2N∑j=0

∑ν=M1−M2

F jν

L1 j L2

−M1 ν M2

L1 j L2

−K1 0 K2

(3.14)

dove si ha F jν = aj

ν + bνj e:

ajν = [j]

∑m+m′=ν

∑n,n′

(−)ν εn εn′ c+n, 0 c

+n′, 0Dn

0 m(ΩD)Dn′

0 m′(ΩD)×

×

n n′ j

m m′ −ν

n n′ j

1 −1 0

(3.15)

bjν = 2 εj c+ 2j, 0 D

j0 ν(ΩD) (3.16)

Considerazioni tecniche

La routine di diagonalizzazione usata e una di quelle disponibili nella libreria CLAPACK

(C Linear Algebra PACKage) [56]. Inoltre, dato che per il calcolo della funzione di autocor-

relazione sono necessarie delle integrazioni numeriche e stata usata a tale scopo la libreria

CQUADPACK (C QUADrature PACKage) [57]. Entrambe le librerie sono state ottenute dal

sito http://www.netlib.org che raccoglie risorse per la programmazione.

Alcuni test sono stati eseguiti per assicurarsi che il calcolo degli elementi di matrice venisse

implementato in maniera corretta, tra i quali il calcolo di autovalori a potenziale nullo (che

sono ricavabili anche analiticamente) e test sulla convergenza.

La routine per il calcolo degli autovalori chiede in input il valore massimo di J, M e K per

le funzioni di base, legge i parametri fisici (numero di termini del potenziale, coefficienti

del potenziale e elementi del tensore di diffusione) e genera la matrice. La matrice viene

diagonalizzata e in output si hanno due files. Il primo contiene le informazioni sul sistema

e gli autovalori, il secondo e un file in cui sono riportati, oltre ai parametri fisici, autovalori

e autovettori. Quest’ultimo file e il file di input per la routine che calcola la funzione di

autocorrelazione:

G(t) =〈δDL

0 0(Ω)P 1/2eq | e−Γ t | δDL

0 0(Ω)P 1/2eq 〉

〈|δDL0 0(Ω)|2 Peq〉

(3.17)

44

http://www.netlib.org

dove δDL0 0(Ω) = DL

0 0(Ω) − 〈DL0 0(Ω)Peq〉.

All’utente viene chiesto il valore di L, mentre le funzioni di base sono quelle che sono state

usate per il calcolo di autovalori e autovettori.

3.3.2 Super - Hamiltoniano di spin

Il calcolo degli elementi di matrice magnetici e un po’ piu complicato rispetto a quelli dell’o-

peratore diffusivo: occorre tener presente le proprieta dello spazio di Liouville elencate nel

secondo capitolo. In letteratura [58] si trovano tutti i particolari per il calcolo. Cio che si

ottiene e:

〈〈Σ1 | H× |Σ2〉〉 =∑

µ, l, m, m′ωµ 〈〈Σ1 | Dl

m m′ (Ω) F(l, m′) ∗µ, MF A

(l, m) ×µ, LF |Σ2〉〉 =

=

√[L1, L2]

8π2

∑µ, l, m, m′

ωµ 〈DL1M1 K1

| Dlm m′ | DL2 ∗

M2 K2〉×

×F (l, m′) ∗µ, MF 〈〈qS

1 pS1 q

I1 p

I1 | A

(l, m) xµ, LF | qS

2 pS2 q

I2 p

I2〉〉 =

=√

[L1, L2] (−)M1−K1∑

µ, l, m, m′ωµ

L1 l L2

−M1 m M2

×

×

L1 l L2

−K1 m′ K2

F (l, m′) ∗µ, MF 〈〈σ1 | A(l, m) ×

µ, LF |σ2〉〉

(3.18)

dove µ e relativo alle due interazioni, Zeeman e iperfine, l assume i valori 0 e 2, mentre m e

m′ variano da −l a l. Con |σ〉〉 si intende la parte di spin delle funzioni di base.

Le espressioni esplicite per gli elementi di matrice ridotti 〈〈σ1 | A(l, m) ×µ, LF |σ2〉〉, sono date in

Appendice E.

3.3.3 Vettore di partenza

Il vettore di partenza, | v〉〉, e costruito a partire dalla distribuzione di equilibrio per la parte

spaziale e dall’operatore di spin SX responsabile delle transizioni di spin elettronico:

| v〉〉 = [I]−1/2 | SX ⊗ 1I ⊗ P 1/2eq 〉〉 (3.19)

45

Esprimendo l’operatore di spin in funzione degli operatori scaletta SX =1

2

(S+ + S−

), si

ottiene:

| v〉〉 =1√2

[I]−1/2(| S+ ⊗ 1I ⊗ P 1/2

eq 〉〉 + | S− ⊗ 1I ⊗ P 1/2eq 〉〉

)(3.20)

Per eseguire la tridiagonalizzazione con l’algoritmo di Lanczos occorre avere le proiezioni del

vettore sulle funzioni della base. Queste sono date da:

〈〈Σ | v〉〉 =1√2

[I]−1/2(〈〈σ, λ | S+ ⊗ 1I ⊗ P 1/2

eq 〉〉+

+ 〈〈σ, λ | S− ⊗ 1I ⊗ P 1/2eq 〉〉

)=

=1√2

[I]−1/2 〈λ |P 1/2eq 〉

(〈〈σ | S+ ⊗ 1I〉〉 + 〈〈σ | S− ⊗ 1I〉〉

)(3.21)

Per le proprieta dello spazio di Liouville elencate nel secondo capitolo, si puo scrivere:

〈〈σ | S± ⊗ 1I〉〉 = 〈pS | S± | qS〉〈pI | qI〉 = δpS ,±1 δpI , 0 (3.22)

L’ultima equazione si puo ricavare facilmente ricordando che pS e qS sono le combinazioni

lineari delle proiezioni lungo l’asse z del momento di spin dell’elettrone (Appendice A).

L’integrale sulle coordinate spaziali e calcolato piu facilmente se il potenziale e espresso in Ω′

per cui e richiesto un cambiamento di variabile |λ(Ω)〉 → |λ(Ω′)〉 che puo essere eseguito

ricordandosi che Ω = Ω′ + ΩD e facendo ancora una volta ricorso alle proprieta delle

matrici di Wigner:

DLM K(Ω) =

∑K′DL

M K′(Ω′)DLK′ K(−ΩD) =

∑K′DL

M K′(Ω′)DL ∗K K′(ΩD) (3.23)

L’integrale sulle coordinate rotazionali e quindi esprimibile come:

〈λ |P 1/2eq 〉 = N

√[L]

8π2

∑K′DL ∗

K K′(ΩD)×

×∫dΩ′DL

M K′(Ω′) exp

[1

2

∑n

εnDn0 0(Ω

′)

] (3.24)

dove N e la costante di normalizzazione della distribuzione di equilibrio. Dato che nel poten-

ziale non vi e alcuna dipendenza da α′ e da γ′, l’integrale e certamente nullo per M, K ′ 6= 0,

per cui si puo semplificare l’espressione:

〈λ |P 1/2eq 〉 = N

√[L]

2δM, 0 δK′, 0DL ∗

K 0(ΩD)×

×∫ π

0dβ′ sin (β′) dL

0 0(β′) exp

[1

2

∑n

εn dn0 0(β

′)

] (3.25)

46

dove dLM K(β) e una matrice ridotta di Wigner.

Il calcolo dell’integrale (3.25) viene effettuato per via numerica. In totale, la proiezione di

una funzione della base sul vettore di partenza e quindi data da:

〈〈Σ | v〉〉 = N 〈λ |P 1/2eq 〉 δpI , 0 δ|pS |, 1 (3.26)

Tutte le costanti sono state raggruppate in una unica, N , il calcolo della quale non e im-

portante perche, prima di essere utilizzato nell’algoritmo di Lanczos, il vettore di partenza

viene normalizzato.

3.4 Calcolo dello spettro ESR

3.4.1 Descrizione del programma

Il programma per il calcolo dello spettro ESR e suddiviso in piu routine. In Figura 3-2 e

riportato il diagramma di flusso che rende l’idea di come e organizzato il programma.

La funzione ”main” ha il compito di gestire la chiamata delle routine principali e di fornire

in output un file di testo in cui sono contenuti i punti dello spettro.

La prima routine ad essere chiamata e ”physics.c” che ha semplicemente il compito di ac-

quisire da un file di input i parametri fisici del sistema e immagazinarli in variabili d’ambi-

ente. Tali variabili sono utilizzabili da qualsiasi altra routine.

Il passo successivo e l’esecuzione di ”basi.c” che costruisce la matrice con gli indici delle

funzioni di base (BFM). Anche questa matrice e dichiarata globale.

La routine seguente e la ”matrix.c”, che calcola gli elementi di matrice dell’operatore di

Liouville. Innanzitutto vengono calcolati gli elementi di matrice magnetici ridotti; successiva-

mente viene costruita la matrice combinando gli elementi magnetici con quelli dell’operatore

diffusivo. Il tutto e creato in modo che ogni integrale (diffusivo o magnetico) sia calcolato

solo una volta. La matrice puo avere dimensioni molto grandi e potrebbe riempire troppa

RAM, per cui si e scelto di immagazzinare la matrice in tre files. Il primo contiene tutta

la diagonale; nel secondo sono scritti gli elementi reali non nulli della parte superiore della

matrice ed il terzo file contiene tutti gli elementi immaginari non nulli, sempre della sola

parte superiore della matrice.

47

Figura 3-2: Flow Chart del programma per il modello ad un corpo. Tutti i programmi pergli altri modelli sono basati su questo schema.

48

La routine utilizza funzioni per il calcolo dei simboli 3j e per il calcolo delle matrici di

Wigner.

La routine ”stvec.c” ha il compito di calcolare le proiezioni del vettore di partenza sulle

funzioni della base. Per far questo viene utilizzata una routine di integrazione numerica. Le

proiezioni non nulle vengono immagazzinate in un file.

Ottenuta la matrice dell’operatore di Liouville e le proiezioni del vettore, dalla memoria

vengono scaricati tutti i parametri fisici, non piu utili perche da questo punto in poi e

solo una questione matematica. La funzione main chiama la routine ”lanczos.c” addetta

alla tridiagonalizzazione. Vengono presi in input i quattro files (tre con la matrice, uno con

il vettore) e, dato il numero di steps che viene richiesto come input da tastiera, vengono

generati due array d’ambiente che contengono la diagonale e quella superiore (o inferiore,

che sono uguali) della matrice tridiagonale.

I due vettori generati dall’algoritmo di Lanczos sono infine utilizzati dalla routine ”fracinf.c”

per calcolare lo spettro ESR secondo la relazione (2.14).

3.4.2 Spettri calcolati

Di seguito sono riportati alcuni spettri calcolati. I parametri scelti sono gli stessi per tut-

ti, tranne per quanto riguarda il potenziale. Si e scelto di adottare la forma V (Ω′) =

−εD20 0(Ω

′). Si tratta di un potenziale bistabile i cui minimi si hanno quando l’asse principale

dell’MF coincide in direzione con l’asse principale del DF, indipendentemente se punta nello

stesso verso o in quello opposto. Inoltre, come detto sopra, si e assunto che ΩD = (0, 0, 0),

ossia che DF e LF corrispondessero, per cui V (Ω) = V (Ω′). Il coefficiente ε assume di-

versi valori legati a differenti parametri d’ordine. In Figura 3-3 e riportato l’andamento del

parametro d’ordine (S) con il coefficiente ε, la cui relazione e S(ε) = 〈D20 0 Peq(ε)〉, dove

l’integrale e su Ω e si e voluto sottolineare che la dipendenza da ε deriva dalla distribuzione

di equilibrio.

49

Figura 3-3: Andamento del parametro d’ordine S contro il coefficiente del potenziale ε

Gli altri parametri del calcolo sono:

- D =

0.5 0 0

0 0.5 0

0 0 5.0

· 108 Hz

- Lmax = 2

- Momento di spin nucleare I = 1

- βg = βA = 0.0

50

- g =

2.0089 0 0

0 2.0058 0

0 0 2.0021

, A =

4.9 0 0

0 4.9 0

0 0 33.0

· 10−4 T

- B0 = 0.34 T

- tr(A) = 0.001427 T, tr(g) = 2.0056

Figura 3-4: Spettri calcolati a differenti parametri d’ordine

Gli spettri ottenuti sono riportati in Figura 3-4. Essi mostrano come aumentando il parametro

d’ordine i picchi tendano ad allontanarsi e a restringersi. Questo e dovuto dal fatto che piu

e alto il potenziale orientante, piu e bloccato il moto e quindi gli effetti dell’anisotropia

rotazionale si sentono di meno. Si nota bene, inoltre, come l’anisotropia dei tensori di spin

agisca differentemente sulle due righe estreme, che emergono dall’accoppiamento dell’elet-

trone con l’atomo di azoto. Tale effetto e regolato dall’entita della diffusione. Per un tensore

51

di diffusione dell’ordine di 1012 Hz (estremamente veloce) si ottengono semplicemente tre

righe di eguale intensita; in altre parole viene ad avere importanza solo la parte isotropa

dell’Hamiltoniano di spin.

3.4.3 Spettri di polveri

Gli spettri di polveri vengono detti spettri MOMD; l’acrostico sta per ”ordine microscopico,

disordine macroscopico” (Microscopic Order, Macroscopic Disorder), ossia nel campione sono

presenti zone in cui vi e un ordine microscopico, ma differenti zone non sono ordinate. Se si

pensa di polverizzare un cristallo si otterra un campione in cui le molecole, in ogni granello

del cristallo, sono bene ordinate, ma i granelli sono disposti in maniera del tutto disordinata.

La situazione di ordine microscopico e disordine macroscopico e allora quella in cui esistono

tanti sistemi indipendenti i quali differiscono per l’orientazione del sistema di riferimento del

potenziale, DF, rispetto a quello di laboratorio. Tale orientazione e data dal set di angoli di

Eulero ΩD e si e scelto di considerare solo il caso in cui ΩD = (0, βD, 0), ossia lo spettro

dipende esclusivamente dall’angolo tra l’asse z di LF e quello di DF.

Lo spettro MOMD si ottiene semplicemente calcolando lo spettro ESR per 0 ≤ βD ≤ π e

poi integrando:

IMOMD(∆ω) =∫ π

0dβD sin (βD) I(∆ω, βD) (3.27)

In Figura 3-5 e riportato uno spettro MOMD calcolato per un potenziale assiale con ε2 =

1.0 kBT, tensore di diffusione D⊥ = 5 ·108 Hz e D‖ = 5 ·109 Hz, angoli di Eulero magnetici

Ωµ = (0, 0, 0), tensore Zeeman gX = 2.0098, gY = 2.0066, gZ = 2.0022 e tensore di

interazione iperfine (mT) AX = 4.5, AY = 4.9, AZ = 34.2; il campo magnetico e B0 =

0.34 T.

3.5 Conclusioni

Il modello ad un corpo e stato, e lo e tutt’oggi, usato per interpretare dinamiche locali

misurate mediante CW - ESR in liquidi, vetri, cristalli liquidi [41]. La dinamica di sistemi

molecolari complessi (come un oligopeptide o una proteina) non possono pero essere corret-

tamente descritti dal modello ad un corpo. In questo capitolo ci si e quindi concentrati sulla

52

Figura 3-5: In alto: spettri calcolati a differenti valori di βD. Linea continua βD = 0,tratteggiata βD = 45.9, a punti βD = 90. In basso: spettro MOMD

metodologia generale, cercando pero di comprendere quale sia l’azione dei vari parametri

fisici sulla linea spettrale. L’applicazione a sistemi molecolari complessi richiede una de-

scrizione piu dettagliata del sistema dal punto di vista diffusivo, considerando piu corpi tra

loro interagenti. Descrivendo la molecola come formata da piu corpi e possibile tener conto

di differenti scale dei tempi del moto. Inoltre le scale dei tempi possono essere legate alle

proprieta di ciascun corpo, quali le sue dimensioni e questo permette di ottenere diverse

informazioni sulla dinamica, a seconda di come vengono scelti i corpi diffusivi.

53

Capitolo 4

Modello a due corpi

4.1 Introduzione

Con il modello a due corpi si vuole descrivere il sistema in esame come formato da due corpi

rigidi (la molecola e la sonda paramagnetica) la cui diffusione nel mezzo e di tipo rotazionale

e che sono accoppiati tra loro da un potenziale di interazione.

Conviene focalizzare l’attenzione su come si presenta la situazione a livello locale laddove e

legata la sonda. Si e scelto di definire come primo corpo la sonda paramagnetica, mentre il

secondo corpo rappresenta la proteina. In letteratura [17, 50, 59] si trova che una delle sonde

paramagnetiche piu utilizzate e il (1 - oxyl - 2,2,5,5 - tetrametil - ∆3 - pirrolina - 3 metil)

metantiosulfonato (MTS). La molecola e riportata in Figura 4-1 (gli idrogeni sono omessi

per chiarezza). Essa si lega alla proteina selettivamente sulle cisteine, attraverso un ponte

disolfuro, come e possibile osservare in Figura 4-2, dove sono riportati tre amminoacidi di

una possibile proteina, di cui quello centrale e una cisteina a cui e legata la molecola MTS.

In Figura 4-3, invece, si vede il sito di legame da vicino e sono indicati (con degli ellissi) i

due corpi. Tutto il resto della proteina non e visualizzato, ma il secondo corpo comprende

tutta la molecola e non solo i tre amminoacidi che appaiono. In figura sono riportati, tra gli

altri, anche i due sistemi di riferimento in cui sono definiti diagonali i tensori di diffusione

dei due corpi. La descrizione di tutti i sistemi di riferimento che appaiono in Figura 4-3 e

riportata nella prossima sezione, dedicata alla definizione del modello.

Per il momento non si e deciso di modellare il potenziale di interazione in modo tale che i

parametri fossero relazionabili a proprieta del legame chimico tra nitrossido e proteina.

54

Figura 4-1: Sonda paramagnetica MTS. Gli atomi di idrogeno sono omessi per chiarezza divisualizzazione

I due corpi vengono visti come due oggetti che per qualche motivo sono costretti a rimanere

vicini, possono reorientarsi in qualsiasi modo ed il loro moto e accoppiato. Questa descrizione

del sistema permette di creare un modello piu generale e quindi applicabile anche a situazioni

differenti. Come si e gia sottolineato, l’idea principale e quella di generare una modellistica

e relativo software e poi specializzare a seconda dei sistemi che si andranno a studiare.

Quindi sostanzialmente, anche in questo capitolo, si dara piu peso a comprendere come i

vari parametri, quali anisotropia tra il moto dei due corpi ed entita del potenziale orientante,

influenzino la forma dello spettro ESR.


Come per il modello ad un corpo, il primo passo che conviene fare e definire tutti i sistemi di

riferimento che risulteranno utili nella descrizione del modello. Lo schema e dato in Figura

55

Figura 4-2: Vista del sito di legame dell’MTS con la proteina. Gli atomi di idrogeno sonoomessi per chiarezza di visualizzazione

4-3. In essa e riportato il sistema di laboratorio (LF) caratterizzato dai pedici L. L’asse z

del laboratorio e scelto parallelo e nello stesso verso del campo magnetico applicato. Con

N e P si intendono, rispettivamente, i sistemi di riferimento del nitrossido (NF) e della

proteina (PF) nei quali sono diagonali i relativi tensori di diffusione. In Figura 4-3 si riporta

solo il sito di legame, a rappresentanza di tutta la proteina. Infine, sul legame tra l’azoto e

l’ossigeno del nitrossido vi e riportato un sistema di riferimento µ. Esso sta ad indicare i due

sistemi relativi alle interazioni magnetiche Zeeman (µ = G) e iperfine (µ = A). Questi due

sistemi (rispettivamente GF e AF) sono solidali con il nitrossido, ed in essi sono diagonali il

tensore di interazione Zeeman e quello di interazione iperfine. In figura e anche illustrata la

simbologia per gli angoli di Eulero che mettono in relazione i vari sistemi di riferimento.

Per entrambi i corpi e stata scelta una simmetria assiale e quindi entrambi i tensori di

diffusione sono caratterizzati da due valori principali.

56

Per quanto riguarda il potenziale di interazione e stato scelto di tipo rombico con componente

principale lungo l’asse z del PF. L’espressione analitica per il potenziale e la seguente, in

funzione dell’angolo tra NF e PF:

V (Ω) = − ε0D20 0 (Ω) − ε2

[D2

0 2 (Ω) + D20−2 (Ω)

](4.1)

Si noti come il potenziale scelto sia bistabile, ossia indipendente se la sonda si trova orientata

di un certo angolo o di 180 rispetto ad esso.

Figura 4-3: Definizione dei sistemi di riferimento per il modello a due corpi

57

Nel costruire la SLE si presenta qui il problema di quali coordinate stocastiche utilizzare

per la parte rotazionale del modello. Esse devono essere due, relative all’orientazione dei

due corpi, ma le scelte sono molteplici. Quella che puo sembrare piu naturale e di utilizzare

gli angoli di Eulero che trasformano dal sistema di laboratorio a quelli della proteina e del

nitrossido, ossia definire il processo stocastico X = (ΩN , ΩP ). L’operatore diffusivo e il

super - Hamiltoniano di spin possono essere scritti molto semplicemente in funzione di tale

processo stocastico:

Γ = P−1/2eq

[N J

†(ΩN) ND Peq

N J (ΩN) +

+ P J†(ΩP ) P D Peq

P J (ΩP )]P−1/2

eq

(4.2)

H× =∑

µ = g A

∑l =0, 2

l∑m, m′ =−l

Dlm m′ (ΩN ) F

(l, m′) ∗µ, NF A

(l, m) ×µ, LF (4.3)

Si noti che sebbene nel super - Hamiltoniano di spin non entri direttamente la dipendenza

da ΩP in realta tale coordinata stocastica indirettamente agisce sulla parte di spin essendo

accoppiata a ΩN attraverso il potenziale di interazione.

In realta, una scelta del genere per quanto riguarda il processo stocastico rende molto com-

plicata l’espressione del potenziale, in quanto esso e piu facilmente definito in funzione del-

l’angolo Ω, ossia dell’angolo che trasforma da PF a NF. Ne segue che le coordinate rotazionali

piu convenienti da scegliere sono X = (Ω, ΩP ). Considerando tale processo stocastico, il

potenziale e semplicemente quello riportato nella (4.1).

Naturalmente gli operatori diffusivo e di spin, con il nuovo set di coordinate stocastiche

scelte, non possono rimanere cosı come appaiono in (4.2) e (4.3). Per quanto riguarda l’o-

peratore diffusivo occorre effettuare un cambiamento di variabile. Il modo di procedere e

riportato in Appendice F. Per quanto riguarda il super-Hamiltoniano di spin, invece, la

trasformazione e piu semplice, anche se appesantisce un po’ il formalismo. In definitiva si

ottiene:

Γ = P−1/2eq

N J

†(Ω) ND Peq

N J (Ω) +

+[P J (Ω) − P J (ΩP )

]†P D Peq

[P J (Ω) − P J (ΩP )

]P−1/2

eq

(4.4)

H× =∑

µ = g A

∑l =0, 2

l∑m, m′, m′′ =−l

Dlm m′ (ΩP ) Dl

m′ m′′ (Ω) F(l, m′′) ∗µ, NF A

(l, m) ×µ, LF (4.5)

58

Lo spazio in cui espandere l’operatore di Liouville puo essere generato dal prodotto diretto

degli spazi delle funzioni di Wigner dipendenti dai due angoli di Eulero Ω e ΩP e dallo spazio

delle transizioni di spin, cosı come e riportato in maniera dettagliata in Appendice A:

|Σ〉〉 = |LM K〉 ⊗ |LP MP KP 〉 ⊗ | pS qS pI qI〉〉 (4.6)

dove:

|LM K〉 =

√[L]

8π2DL

M K (Ω) (4.7)

|LP MP KP 〉 =

√[LP ]

8π2DLP

MP KP (ΩP ) (4.8)

| pS qS pI qI〉〉 =(|S mS〉〈S m

′

S |)⊗(| I mI〉〈I m

′

I |)

(4.9)

per cui ogni funzione della base e caratterizzata da dieci indici discreti.

Nella sezione dedicata al vettore di partenza risultera evidente come sia piu utile considerare,

al posto degli indici KP ed M le loro due combinazioni lineari m± = KP ± M . La varia-

bilita di questi ultimi due indici e complicata, ma le funzioni della base vengono costruite a

partire dagli indici ”originari” e poi ordinate come occorre, secondo i nuovi indici. Tale scelta

permettera di eliminare uno degli indici della base (in particolare questo sara m−) sfruttan-

do una simmetria del sistema, ossia l’invarianza rotazionale: per la parte magnetica, data

una certa orientazione relativa tra proteina e nitrossido, l’effetto che ha questa disposizione

sulle coordinate di spin e indifferente a come e disposto il tutto assolutamente nello spazio.

Analogmanete, per la parte diffusiva: il potenziale di interazione tra i due corpi dipende solo

dalla loro posizione relativa.

Le funzioni di base saranno allora espresse in questo modo:

|Σ〉〉 = |LK, LP MP , m+m−, pS qS pI qI〉〉 (4.10)

Una volta costruita la matrice dell’operatore di Liouville sulle basi |Σ〉〉, essa verra tridia-

gonalizzata con il metodo di Lanczos e la densita spettrale sara ricavata dagli elementi della

diagonale e della subdiagonale, sottoforma di frazione continua [41].

59


4.3.1 Operatore diffusivo

Cosı come nel caso del modello ad un corpo, l’operatore diffusivo puo essere scritto come

somma di un operatore indipendente dal potenziale ed una funzione che, invece, vi dipende:

Γ = J + F (Ω) (4.11)

Per quanto riguarda l’operatore indipendente dal potenziale, con poca fatica si puo arrivare

a riscriverlo come somma di quattro termini:

J = J1 + J2 + J3 + J4 (4.12)

dove:

J1 = ND⊥N J

2(Ω) +

(ND‖ − ND⊥

)N J2

Z (Ω) (4.13)

J2 = PD⊥P J

2(Ω) +

(PD‖ − PD⊥

)P J2

Z (Ω) (4.14)

J3 = PD⊥P J

2(ΩP ) +

(PD‖ − PD⊥

)P J2

Z (ΩP ) (4.15)

J4 = −2

1

2PD⊥

[P J+ (Ω) P J− (ΩP ) + P J− (Ω) P J+ (ΩP )

]+

+ PD‖P JZ (Ω) P JZ (ΩP )

(4.16)

Il calcolo degli elementi di matrice, per quanto riguarda i primi tre addendi dell’operatore,

e semplice perche le matrici di Wigner ne sono autofunzioni; per quanto riguarda il quarto

termine basta utilizzare le proprieta degli operatori momento angolare. Si ottiene:

〈λ1 | J1 |λ2〉 = δλ1, λ2

[ND⊥ L1 (L1 + 1) +

(ND‖ − ND⊥

)K2

1

](4.17)

〈λ1 | J2 |λ2〉 = δλ1, λ2

[PD⊥ L1 (L1 + 1) +

+(

PD‖ − PD⊥) (m+

1 − m−1 )2

4

] (4.18)

〈λ1 | J3 |λ2〉 = δλ1, λ2

[PD⊥ L

P1

(LP

1 + 1)

+

+(

PD‖ − PD⊥) (m+

1 + m−1 )2

4

] (4.19)

60

〈λ1 | J4 |λ2〉 = −δL1, L2 δK1, K2 δLP1 , LP

2δMP

1 , MP2δm−

1 , m−2×

×[PD⊥

(δm+

1 , m+2 −2 c

−L1 , (m+

1 −m−1 )/2+ 1

c−LP

1 , (m+1 + m−

1 )/2+ 1+

+ δm+1 , m+

2 +2 c+L1 , (m+

1 −m−1 )/2− 1

c+LP

1 , (m+1 + m−

1 )/2− 1

)+

+ 2 PD‖ δm+1 , m+

2

m+ 21 − m− 2

1

4

](4.20)

Si vuole sottolineare, in quanto potrebbe essere facile confondersi, che J4 non e un operatore

che accoppia le due coordinate, ma si tratta di un termine che semplicemente nasce dal

cambiamento di variabile. Cio che accoppia le due coordinate stocastiche e solo il potenziale

e quindi F (Ω).

Anche la funzione dipendente dal potenziale e possibile suddividerla in piu addendi, in modo

da rendere piu ordinato il calcolo degli elementi di matrice. Si puo scrivere:

F (Ω) = NF⊥ (Ω) + NF‖ (Ω) + PF⊥ (Ω) (4.21)

in cui l’assenza del termine PF‖ (Ω) e dovuta alla forma del potenziale, ossia al fatto che

esso sia indipendente dall’angolo α.

Le espressioni per i tre addendi sono:

NF⊥ = −ND⊥

4

[N J+V

N J−V −(

N J+N J− + N J−

N J+

)V]

(4.22)

NF‖ = −ND‖

4

[N JZV

N JZV − 2 N J 2Z V

](4.23)

PF⊥ = −PD⊥

4

[P J+V

P J−V −(

N J+N J− + N J−

N J+

)V]

(4.24)

in cui con X JA si intende la proiezione A dell’operatore momento angolare che agisce sul set

di angoli di Eulero Ω rispetto al sistema di riferimento X.

Per arrivare ad avere delle espressioni utili per il calcolo degli elementi di matrice e piu utile

riscrivere la (4.1) come V (Ω) = −∑

n =−2, 0, 2

εnD20 n (Ω), in cui sia imposto che εn = ε−n in

modo che il potenziale risulti reale.

61

Con passaggi matematici un po’ laboriosi, tutti riportati in Appendice D, si ottengono le

espressioni desiderate:

〈λ1 |F (Ω) |λ2〉 = δLP1 , LP

2δMP

1 , MP2δm+

1 , m+2δm−

1 , m−2

(−)M1−K1

√[L1, L2]×

×4∑

j=0

∑k=K1−K2

(NF j,k

⊥ + NF j,k‖ + PF j,k

⊥

)×

×

L1 j L2

−M1 0 M2

L1 j L2

−K1 k K2

(4.25)

in cui, per semplicita di scrittura, e meglio suddividere F j,k = aj,k + bj,k, dove:

Naj,k⊥ = [j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′ c+2, n c

+2, n′

2 2 j

n+ 1 n′ − 1 −k

(4.26)

Nbj,k⊥ = δj, 2 εk(c+2, k c

−2 k+1 + c−2, k c

+2 k−1

)(4.27)

Naj,k‖ = [j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′ nn′ +

2 2 j

n n′ −k

(4.28)

Nbj,k‖ = δj, 2 2 εk k2 (4.29)

e

Paj,k⊥ = 6 [j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′

2 2 j

n n′ −k

(4.30)

P bj,k⊥ = δj, 2 12 εk (4.31)

Sommando le equazioni (4.17), (4.18), (4.19) e (4.20) con (4.25) si ottiene l’elemento di

matrice 〈λ1 |F (Ω) |λ2〉. Le espressioni sono un po’ pesanti, ma cosı come sono scritte e

abbastanza semplice implementarle.

Si noti, infine, che 〈λ1 |F (Ω) |λ2〉 ∝ δm−1 , m−

2, ossia che m− e un indice diagonale per quanto

riguarda l’operatore diffusivo.

62

Calcolo di funzioni di autocorrelazione

Per studiare le proprieta diffusive del modello a due corpi sono state calcolate alcune fun-

zioni di autocorrelazione e a tale scopo e stato sviluppato un programma che comunica con

l’utente attraverso l’interfaccia grafica riportata in Figura 4-4. Il primo passo e il calcolo e

l’immagazzinamento dei simboli 3j immettendo il parametro di Regge massimo [60]. A questo

punto e possibile impostare il coefficiente del potenziale, i valori del tensore di diffusione

di entrambi i corpi, gli indici della osservabile fisica di cui si sta calcolando la funzione di

autocorrelazione, il valore massimo di L per la parte rotazionale ed il numero massimo di

step per l’algoritmo di Lanczos. Il programma da in uscita il grafico della funzione di auto-

correlazione e la lista degli autovalori con i loro pesi.

Figura 4-4: Interfaccia grafica del programma per il calcolo di funzioni di autocorrelazioneper un sistema descritto da due corpi interagenti

L’osservabile fisica utilizzata e la funzione δD20 0 (ΩN) = D2

0 0 (ΩN) − D20 0 (ΩN). Tale os-

servabile e relativa alla sonda paramagnetica e dipende dalla sua orientazione. Dato che le

variabili stocastiche che si utilizzano sono differenti occorre esprimere l’osservabile in fun-

zione di queste ultime. Tale operazione e possibile sfruttando le proprieta delle matrici di

63

Wigner [31]:

D20 0 (ΩN) =

∑n′D2

0 n′ (ΩP ) D2n′ 0 (Ω) (4.32)

Il calcolo e stato eseguito con un potenziale di tipo assiale e quindi avente ε0 6= 0 e ε2 = 0. Si

e fatto uso dell’algoritmo di Lanczos per tridiagonalizzare la matrice dell’operatore diffusivo.

Successivamente la matrice tridiagonale e stata diagonalizzata con il metodo QL (un metodo

standard per la diagonalizzazione di matrici tridiagonali) per ottenere gli autovalori (ωn)

dell’operatore e la prima riga degli autovettori, ossia le proiezioni degli autovettori sul vettore

di partenza (cn). Il modulo quadro dell’n-esima proiezione e il peso relativo all’n-esimo

autovalore.

Per una osservabile generale, il vettore di partenza e | v〉 = | δDjm n (ΩN) P 1/2

eq 〉 e le sue

proiezioni sulle funzioni di base, tenuto conto della (4.32), sono:

〈λ | v〉 =

√[L, LP ]

8π2

[∑n′〈DL ∗

M K(Ω)Djn′ n(Ω)P 1/2

eq (Ω)〉×

× 〈DLP ∗MP KP (ΩP )Dj

m n′(ΩP )〉 − 〈DL ∗M K(Ω)P 1/2

eq (Ω)〉×

× 〈DLP ∗MP KP (ΩP )〉

∑n′〈Dj

m n′(ΩP )Djn′ n(Ω)Peq(Ω)〉

](4.33)

Considerando le proprieta nell’integrazione di matrici di Wigner e il fatto che, per un

potenziale assiale, la distribuzione di equilibrio dipende solo dall’angolo β si arriva a scrivere:

〈λ|v〉 = N√

[L] δK, n δMP , m δLP , j δm−, 0

[〈dL

m+/2 , K dLP

m+/2 , K P 1/2eq 〉+

+ δλ, 0 δm+, 0 〈dL0 , 0 P

1/2eq 〉

] (4.34)

dove ora con 〈· · ·〉 si intende l’integrale sul solo angolo β e N e una costante di cui non

si riporta l’espressione esplicita in quanto, prima di essere utilizzato, il vettore di partenza

viene normalizzato.

Si puo vedere facilmente che per un potenziale di tipo assiale, anche l’indice K diviene dia-

gonale nell’espressione per gli elementi di matrice di Γ, avendo in definitiva quattro indici

diagonali: K, MP , LP e m−. Ordinando le funzioni di base per questi quattro indici, la ma-

trice ed il vettore di partenza sono separati in blocchi. Una volta scelta l’osservabile di cui

calcolare la funzione di autocorrelazione, e possibile eliminare le basi nelle quali i primi tre

indici di quelli sopra indicati siano differenti, rispettivamente, da n, m e j. Inoltre si possono

64

escludere sempre tutte le basi con m− 6= 0. Questo permette di ridurre molto la base e il

calcolo e molto veloce anche con valori di Lmax e LPmax elevati, potendo esplorare con facilita

situazioni in cui la diffusione e lenta e/o il potenziale orientante e grande.

Sono stati eseguiti dei calcoli in modo da osservare l’effetto del potenziale e l’effetto del-

l’anisotropia tra diffusione della proteina e del nitrossido, espressa dal parametro ρ =

PD/ND. Di seguito sono riportati i parametri fisici utilizzati:

ND⊥ = 109 Hz ND‖ = 10 ND⊥

ρ = 0.01; 0.1; 1.0

ε0 /kBT = 0.1; 1.0; 10.0

L’osservabile fisica per cui sono state calcolare le funzioni di autocorrelazione, riportate nelle

Figure 4-5, 4-6 e 4-7, e f = D20 0 (ΩN). In tutte le tre figure si riporta il logaritmo naturale

della funzione di autocorrelazione normalizzata contro il tempo.

Figura 4-5: Funzioni di autocorrelazione per ε0 = 0.1 kBT. A) ρ = 0.01, B) ρ = 0.1, C)ρ = 1

In Figura 4-5, in cui il potenziale e basso, il raggiungimento dell’equilibrio avviene in un

tempo lungo. Si possono distinguere bene le tre curve corrispondenti ai tre differenti valori

di ρ assunti per il calcolo. Quando ρ = 1, ossia i due corpi diffondono allo stesso modo,

65

i due corpi raggiungono l’equilibrio nello stesso tempo e la curva e un decadimento multi-

esponenziale governato principalmente da pochi autovalori importanti, uguali per entrambi i

corpi. Quando l’anisotropia del moto diviene 1/10 e 1/100, si osserva una deviazione dovuta

al fatto che, ora, i due corpi hanno tempi caratteristici del moto differenti e quindi raggiun-

gono l’equilibrio uno prima dell’altro.

In tutti i calcoli si e assunto il nitrossido come corpo piu veloce e la proteina come piu lento.

Figura 4-6: Funzioni di autocorrelazione per ε0 = 1.0 kBT A) ρ = 0.01, B) ρ = 0.1, C)ρ = 1

Gli autovalori piu importanti dell’operatore diffusivo associabili al decadimento del moto del

nitrossido sono un ordine di grandezza maggiori di quelli associabili alla proteina. Dato che

la funzione di autocorrelazione e una somma di decadimenti esponenziali, essa puo essere

suddivisa in un decadimento piu rapido ed uno piu lento. Il primo e dovuto soprattutto al

nitrossido e corrisponde al tratto a pendenza maggiore delle curve A e B nelle figure, mentre

il secondo e legato in maggior parte al moto della proteina, responsabile del tratto a penden-

za minore. L’entita della deviazione e legata all’entita dell’anisotropia tra i due moti. Piu e

piccolo ρ e maggiore e la differenza tra gli autovalori piu importanti associabili ai due corpi.

Passando da 1/10 a 1/100 di anisotropia gli autovalori differiscono da uno a due ordini di

66

grandezza. Tenendo fisso il tensore di diffusione del nitrossido, cio significa che la proteina

diviene dieci volte piu lenta. Questo spiega come la deviazione avviene sempre allo stesso

tempo, per ogni valore del potenziale applicato, ma la curva devia maggiormente via via che

la diffusione della proteina diviene piu lenta.

L’effetto del potenziale di interazione si vede sostanzialmente sul decadimento del moto

Figura 4-7: Funzioni di autocorrelazione per ε0 = 10.0 kBT A) ρ = 0.01, B) ρ = 0.1, C)ρ = 1

del primo corpo. Questo si capisce sia dalla curva corrispondente ad anisotropia nulla tra i

moti (decade piu velocemente), ma soprattutto dalle altre due curve, con anisotropia 1/10 e

1/100. In particolare, guardando le tre figure, si nota che la deviazione delle curve avviene

a tempi piu piccoli via via che il potenziale aumenta. Si nota, inoltre, che quando la curva

devia, la sua pendenza rimane la medesima, a qualsiasi potenziale. Questo avviene per il

fatto che e il nitrossido a risentire di un potenziale orientante, mentre la proteina non e

sottoposta ad alcun campo esterno.

Formule asintotiche

L’osservabile studiata ed il potenziale assiale sono stati scelti per poter fare un confronto con

67

il metodo Model Free (MF) [24, 25]. Quest’ultimo considera i due corpi non interagenti tra

loro e modella la funzione di autocorrelazione come somma di due decadimenti esponenziali,

uno per ciascun corpo. Per come viene definito il sistema nell’MF, si ha che la funzione di

autocorrelazione dipende dal parametro d’ordine:

S = 〈D20 0 (Ω) Peq〉 (4.35)

La forma per la funzione di autocorrelazione, per diffusione isotropa, e:

G(t) = S2 exp (−ωP t) +(1 − S2

)exp (−ωN t) (4.36)

dove ωX indica il processo di decadimento del corpo X.

E stata presa questa forma della funzione di autocorrelazione come limite asintotico per

quella calcolata in maniera esatta con il modello a due corpi interagenti. E stato eseguito un

set di calcoli a diversi valori di potenziale (assiale) da 0.1 a 10.0 kBT prendendo per ognuno

diversi valori di anisotropia tra i due moti da 0.01 a 1.0. Si e considerato il moto isotropo

con ND = 109 Hz. Come wP e stato preso il valore (6 PD)−1 e per wN si e assunto il secondo

autovalore non nullo calcolato con il modello ad un corpo, in cui il corpo e sottoposto allo

stesso potenziale assiale e con lo stesso tensore di diffusione ND. In Figura 4-8 e riportata

la griglia di calcoli effettuati. Ad ogni punto della griglia e associato l’errore relativo:

E =Je(0)− Ja(0)

Je(0)(4.37)

dove con ”e” ed ”a” si intendono, rispettivamente, la densita spettrale esatta e asintotica.

Certamente si tratta di una sovrastima dell’errore effettivo tra le due funzioni di autocorre-

lazione.

La mappa di colori va dal blu (errore relativo sotto il 5%) al rosso (55%). Si nota tutta una

zona blu che copre tutti i valori di anisotropia, per potenziale basso, e valori ad anisotropia

alta quando il potenziale e alto. Al contrario, potenziale alto e anisotropia bassa compor-

tano un errore relativo molto grande. L’andamento si puo spiegare cosı: per anisotropie alte,

si ottiene una buona separazione delle scale dei tempi, ma a decidere della separabilita dei

moti interviene anche il potenziale. Per potenziali alti vi e una forte correlazione, soprattutto

all’inizio, e per questo, quando l’interazione e forte, l’errore relativo e grande.

68

Figura 4-8: Dipendenza di E da ε0 e ρ


La parte di spin viene costruita in maniera del tutto analoga al modello ad un corpo. C’e solo

una complicazione legata al fatto che per esprimere il tensore Fµ nel sistema di riferimento

del nitrossido occorre tener conto dell’orientazione della proteina rispetto al laboratorio e

dell’orientazione relativa tra nitrossido e proteina. L’espressione per il super - Hamiltoniano

di spin e:

H× =∑

µ = g, A

∑l =0, 2

l∑m, m′, m′′ =−l

ωµDlm m′ (ΩP ) Dl

m′ m′′ (Ω) F(l, m′′) ∗µ, NF A

(l, m) ×µ, LF (4.38)

69

Il calcolo degli elementi di matrice non e molto complicato e si procede in maniera del tutto

analoga a come si e fatto per il modello ad un corpo, ottenendo:

〈〈Σ1 |H×|Σ2〉〉 = δm−1 , m−

2

√[L1, L2, LP

1 , LP2 ] (−)MP

1 −K1∑

µ = g, A

∑l =0, 2

ωµ×

×

LP1 l LP

2

−MP1 MP

1 −MP2 MP

2

LP

1 l LP2

−m+1 +m−

1

2

m+1 −m+

2

2

m+2 +m−

1

2

×

×

L1 l L2

−m+1 −m−

1

2

m+1 −m+

2

2

m+2 −m−

1

2

L1 l L2

−K1 K1 −K2 K2

×

F(l, K1−K2) ∗µ, NF 〈〈σ1 |A

(l, MP1 −MP

2 ) ×µ, LF |σ2〉〉

(4.39)

Le espressioni per gli elementi ridotti di matrice 〈〈σ1 |A(l, m) ×µ, LF |σ2〉〉 si possono trovare in

Appendice E.

Si noti come l’indice m− sia un indice diagonale anche per la parte di spin. Si puo dunque

scrivere che 〈〈Σ1 | L |Σ2〉〉 ∝ δm−1 , m−

2, che significa che la matrice associata all’operatore di

Liouville e suddivisa in blocchi se le funzioni della base sono ordinate per m− e tale situazione

puo diventare particolarmente favorevole nel caso il vettore di partenza sia non nullo solo

per un determinato valore di m− in quanto sarebbe come eliminare un indice dalle funzioni

della base, riducendone quindi le dimensioni.


La forma del vettore di partenza per lo spazio generato dall’algoritmo di Lanczos e la

medesima definita per il modello ad un corpo:

| v〉〉 = [I]−1/2 | SX ⊗ 1I ⊗ P 1/2eq 〉〉 =

=1√2

[I]−1/2(| S+ ⊗ 1I ⊗ P 1/2

eq 〉〉 + | S− ⊗ 1I ⊗ P 1/2eq 〉〉

) (4.40)

Nel calcolo delle proiezioni delle funzioni della base sul vettore appare una complicazione

legata al fatto che, essendo il potenziale di tipo rombico, l’integrale sulla parte rotazionale e

un integrale doppio sui due angoli β e γ:

〈λ |P 1/2eq 〉 = N

√[L, LP ]

8π2〈DL ∗

M K(Ω)DLP ∗MP KP (ΩP )×

× exp[

12ε0D2

0 0(Ω) + 12ε2(D2

0 2(Ω) + D20−2(Ω)

)]〉

(4.41)

70

Riarrangiando il tutto e definendo a(β) = ε2 d20 2(β) si ottiene:

〈λ |P 1/2eq 〉 = N ′

√[L] δLP , 0 δMP , 0 δm+, 0 δm−, 0

∫ π

0dβ sin (β)×

× dL0 K(β) exp

[12ε0 d

20 0(β)

]∫ 2π

0dγ cos (K γ)×

× exp [a(β) cos (2 γ)]

(4.42)

Sfruttando le proprieta di simmetria del coseno, l’integrale in γ puo essere riscritto come

segue:

2∫ π

0dθ cos (n θ) exp [a(β) cos (θ)] = 2 π In(a) (4.43)

dove θ = 2 γ, n = K/2 e In(a) e una funzione modificata di Bessel a indice intero. Il

fatto che quest’ultimo sia intero significa che l’indice K debba essere pari. In questo caso,

K dispari porta ad una proiezione nulla.

In definitiva le proiezioni del vettore di partenza sulle funzioni della base sono date da:

〈〈Σ|v〉〉 = N δpI , 0 δ|pS |, 1 δLP , 0 δMP , 0 δm−, 0 δm+, 0

√[L]×

×∫ π

0dβ sin (β) dL

0 K(β) exp[1

2d2

0 0(β)]IK/2[ε2 d

20 2(β)]

(4.44)

dove, come al solito, N e una costante di cui non e importante conoscerne la forma. Il calcolo

delle funzioni di Bessel modificate e dell’integrale su β vengono eseguiti per via numerica.

Si puo notare che la proiezione del vettore di partenza sulla base e nulla se l’indice m− e

differente da zero. Dato che, come si e fatto osservare sopra, questo indice e diagonale negli

elementi di matrice di L, possono essere scartate tutte le basi in cui si ha m− 6= 0. In questo

modo si elimina un indice dalla base, riducendone le dimensioni a parita di Lmax e LPmax e

inoltre vengono anche un po semplificate le espressioni degli elementi di matrice.

4.3.4 Simmetrizzazione dell’operatore di Liouville

Cosı come sono definiti il super - Hamiltoniano di spin e la base, la matrice associata all’op-

eratore di Liouville e simmetrica solo quando si ha ΩA = (0, βA, 0) e Ωg = (0, βg, 0). Per

non essere limitati da questo fatto si puo applicare una trasformazione unitaria alla matrice

71

in modo da renderla simmetrica per qualsiasi angolo. Effettuare tale trasformazione e come

definire la nuova base:

|Σ〉〉K = | jK , LK, LP MP , m+, σ〉〉 =

= NK exp[−iπ

4

(jK − 1

)] (|+〉〉 + jK sK | −〉〉

) (4.45)

Nella nuova base, tutti gli indici tranne K hanno la solita variabilita. Per quanto riguarda

K, esso e non negativo, ossia: 0 ≤ K ≤ L. Questo rende indispensabile l’introduzione del

nuovo indice jK che ha il compito di far ritornare il numero di basi a quello originario. Esso

assume i seguenti valori:

jK =

± 1 K > 0

(−)L K = 0

(4.46)

I due ket |+〉〉 e | −〉〉 fanno riferimento alle basi originarie |Σ〉〉, la prima con gli stessi indici

della base |Σ〉〉K e la seconda con i medesimi, ma K cambiato di segno.

Infine sono da definire:

NK = [2(1 + δK, 0)]− 1

2 (4.47)

sK = (−)L + K (4.48)

Dettagli sulla trasformazione della base possono essere trovati in letteratura [34, 58].

Gli elementi di matrice nella nuova base sono scrivibili in funzione di quelli della base

originaria:

〈〈Σ1 |L|Σ2〉〉K = 2NK1 NK2

[δjK1 , jK2 <

(〈〈+ |L|+〉〉 + jK2 sK2 〈〈+ |L| −〉〉

)+

+ δjK1 ,−jK2 =(〈〈+ |L|+〉〉 + jK2 sK2 〈〈+ |L| −〉〉

) ] (4.49)

Analogamente, le proiezioni del vettore di partenza sulla nuova base si esprimono come:

〈〈Σ|v〉〉K = N δpI , 0 δ|pS |, 1 δjK , 1 δLP , 0 δMP , 0 δm−, 0 δm+, 0

√[L]NK ×

×∫ π

0dβ sin (β) exp

[1

2d2

0 0(β)] dL

0 K(β) IK/2[ε2 d20 2(β)] +

+ dL0−K(β) I−K/2[ε2 d

20 2(β)]

(4.50)

Nel caso in cui gli angoli di tilt per i sistemi di riferimento AF e GF siano di tipo assiale

(e quindi solo βµ 6= 0) allora jK deviene indice diagonale, permettendo di sfoltire la base e

quindi velocizzando il calcolo.

72



Il programma che implementa le espressioni per il calcolo dello spettro e strutturato sostanzial-

mente come quello per il modello ad un corpo. In primo luogo una funzione e addetta ad

acquisire da file tutti i parametri fisici del sistema, nonche i parametri di calcolo. Occorre

impostare i tensori di diffusione dei due corpi, i coefficienti del potenziale di interazione, gli

angoli di tilt dei riferimenti di interazione magnetica, i tensori magnetici, il momento di spin

del nucleo, il campo magnetico applicato ed i valori di Lmax e LPmax. Rispetto al programma

per il modello ad un corpo e stata aggiunta la possibilita di introdurre una tolleranza, sia

per la routine che calcola la matrice, sia per l’algoritmo di Lanczos, sotto la quale i numeri

vengono considerati nulli. Inoltre, l’algoritmo di Lanczos ad ogni step calcola la J(0), control-

landone la convergenza. Nel file di input si possono scegliere la tolleranza per la convergenza

e per quanti step deve essere rispettata tale tolleranza.

Successivamente una funzione utilizza i valori di Lmax e LPmax per costruire gli indici del-

la base. Inoltre vengono analizzati alcuni dei parametri fisici per capire se per simmetria

possono essere eliminate alcune funzioni di base, a differenza di quello che si faceva nel pro-

gramma precedente.

Un’altra differenza e che il main program richiama una funzione che calcola e immagazzina

in memoria i simboli 3j necessari, scartando gli zeri espliciti e ordinandoli in maniera ben

precisa. Una seconda routine contiene un algoritmo in grado di ripescare, dati i sei numeri,

il corrispondente simbolo 3j dalla memoria. Lavorare in questo modo e piu veloce che non

calcolare in run time tutti i simboli 3j. Il metodo per immagazzinare e recuperare i simboli

3j si puo trovare descritto in letteratura [60]

Il calcolo della matrice e stato velocizzato rispetto al modello ad un corpo. L’algoritmo e

organizzato in modo da riconoscere tutti i possibili zero espliciti ed evitare cosı cicli inutili.

Dapprima vengono calcolati e memorizzati gli elementi di matrice dell’operatore diffusivo

nella base originaria, nonche gli elementi di matrice di spin ridotti. Successivamente due

cicli, uno sulle basi di spin e uno su quelle spaziali, generano la matrice simmetrizzata rac-

cogliendo e mescolando opportunamente gli elementi di matrice nella base originaria.

Calcolata la matrice e la volta delle proiezioni del vettore di partenza sulle funzioni della

73

base. Per queste e stata utilizzata una routine della libreria matematica Cephes, reperibile

al sito http://www.netlib.org, per il calcolo delle funzioni di Bessel modificate.

Una volta ottenuti matrice e vettore di partenza, lo spettro si calcola tridiagonalizzando la

matrice con l’algoritmo di Lanczos e poi costruendo la frazione continua.

In uscita il programma fornisce un file ASCII che contiene la densita spettrale.


E stata effettuata una serie di calcoli per poter osservare come si modifica lo spettro al variare

dell’anisotropia (ρ = PD/ND) tra i due moti e del potenziale applicato. Per entrambi i corpi

si e assunto, in ogni calcolo, D‖ = 10D⊥. In Tabella 4.1 sono riportati i valori utilizzati

per i calcoli. Per quanto riguarda la parte magnetica, sono stati utilizzati i valori dei tensori

g e A della sonda paramagnetica 2,2,6,6 - tetrametil - 4 - piperidina N - ossido (PDT), in

quanto facilmente reperibili in letteratura [58]: gXX = 2.0098, gY Y = 2.0066, gZZ = 2.0022,

AXX = 4.5 mT, AY Y = 4.9 mT, AZZ = 34.2 mT.

ND⊥ · 10−9Hz ε0 /kBT ε2 /kBT ρ

1.00.0 1; 0.1; 0.01; 0.001

1.00 1.0 1; 0.1; 0.01

3.00.0 1; 0.1; 0.01; 0.001

3.0 1; 0.1; 0.01

1.00.0 1; 0.1; 0.01;

0.10 1.0 1; 0.1; 0.01

3.00.0 1; 0.1; 0.01;

3.0 1; 0.1; 0.01

1.00.0 1; 0.1; 0.01;

0.01 1.0 1; 0.1; 0.01

3.00.0 1; 0.1; 0.01;

3.0 1; 0.1; 0.01

Tabella 4.1: Parametri fisici utilizzati per i calcoli

74

http://www.netlib.org

Figura 4-9: Spettri calcolati per ε0 = 1.0 kBT, ε2 = 0.0 kBT, ND = 109 Hz e B0 = 0.34 T


75

Gli spettri sono riportati raggruppati per uguali valori dei coefficienti del potenziale. Nelle

figure relative a potenziale assiale appare uno spettro in piu rispetto agli altri. Si tratta dello

spettro MOMD. Esso e stato calcolato utilizzando il programma per il modello ad un corpo,

cosı come e stato illustrato nella sezione dedicata agli spettri di polveri nel terzo capitolo. Si

ricorda che lo spettro MOMD si ottiene raccogliendo molti spettri facendo variare l’angolo

βD tra il sistema di laboratorio e quello del potenziale nell’intervallo 0 ≤ βD ≤ π.


76

Naturalmente si procede integrando:

I (∆ω) =∫ π

0dβD sin (βD) I (∆ω, βD) (4.51)

Calcolare lo spettro MOMD e stato utile come test per verificare che il programma fun-

zionasse bene quando uno dei due corpi diviene molto piu lento dell’altro. Naturalmente,

come detto anche sopra, il corpo piu lento e la proteina e quello piu veloce il nitrossido.

Quando si riduce il tensore di diffusione della proteina, nella scala dei tempi della spettro-

scopia, e come avere un sistema in cui tutte le proteine sono disposte secondo la distribuzione

di equilibrio, ma bloccate in quelle posizioni. Lo spettro rispecchia sostanzialmente il moto

del nitrossido che e sottoposto ad un potenziale il cui direttore e orientato rispetto al campo

magnetico in base a come e orientata la proteina rispetto al campo stesso. In altre parole,

quando la diffusione della proteina e molto lenta, e come avere uno spettro di polveri del

nitrossido, in cui il potenziale orientante e quello di interazione con la proteina.


77


Figura 4-14: Spettri calcolati per ε0 = 1.0 kB T, ε2 = 1.0 kB T, ND = 108 Hz e B0 = 0.34 T

78



79

Nel modello MOMD ogni sonda paramagnetica nell’insieme e orientata lungo il direttore

del campo, ma quest’ultimo e disposto in maniera disordinata in quanto le proteine sono

congelate in posizioni ”disordinate” nello spazio.

Si nota dalle Figure 4-9 e 4-10 che l’effetto della parte rombica del potenziale e quello

di allargare le righe quando il nitrossido e veloce. Questo vale anche per il caso in cui

ε0 = ε2 = 3 kBT. Dalle simulazioni appare come, quando i due coefficienti del potenziale

rombico sono identici, l’anisotropia tra i due moti abbia poco effetto sullo spettro. In en-

trambe le Figure 4-10 e 4-12 e alquanto difficile riconoscere a colpo d’occhio le differenze

tra i tre spettri.

Dalle figure 4-9 e 4-11 si puo osservare che per avvicinarsi allo spettro di polveri si e dovuta

utilizzare una anisotropia di 1/1000, a differenza dei casi successivi in cui e bastata dieci

volte piu grande. Questo si spiega con il fatto che il nitrossido e estremamente veloce, per

cui l’anisotropia tra i due moti deve avvicinarsi molto di piu a zero di quanto e richiesto per

i casi piu lenti, per poter ottenere uno spettro simile a quello di polveri.


80


Le Figure da 4-13 a 4-16 rappresentano gli spettri calcolati per ND⊥ = 108 Hz, ossia il caso

intermedio per quanto riguarda il moto del nitrossido. Dagli spettri relativi al potenziale

assiale (Figure 4-13 e 4-15) si vede che per ottenere lo spettro simile a quello di polveri, e

sufficiente una anisotropia di 1/100.

A differenza del caso piu veloce, si possono notare maggiori variazioni degli spettri al cam-

biare dei parametri del calcolo. Nell’ordine di grandezza del 108 Hz per il moto del nitrossido

si ha la zona piu sensibile alle condizioni in cui viene eseguita la simulazione e tale zona e

anche quella che copre la maggior parte dei sistemi. In letteratura difficilmente si trovano

valori vicini a 107 e 109 Hz. Questi ultimi sono casi limite che si e voluto studiare per capire

cosa accade in quelle situazioni.

Nelle Figure 4-17 e 4-18 sono riportati gli spettri per ε0 = 1 kBT e ε2 = 0, ε0 kBT per il

caso in cui il nitrossido abbia ND⊥ = 107 Hz. Si puo osservare che l’effetto dell’anisotropia

tra i due moti e praticamente nullo sulla riga spettrale e questo e causato del moto vera-

mente lento del nitrossido. Gia il nitrossido e troppo lento rispetto ai tempi caratteristici

della spettroscopia e quindi esso stesso e sostanzialmente ”congelato” nella distribuzione di

equilibrio. Oltre ad avere i tre spettri praticamente uguali, essi sono sostanzialmente identici

allo spettro di polveri.

81

Le figure 4-19 e 4-20 riportano gli spettri per il potenziale piu alto nel caso del nitrossido

lento. Ancora una volta si nota che l’aggiunta della componente rombica del potenziale ha

l’effetto di allargare lo spettro. Si nota, inoltre, che solo a potenziale piu alto si puo osservare

un effetto dell’anisotropia del moto tra i due corpi sugli spettri.


In conclusione si puo dire che il modello a due corpi e molto piu interessante di quello ad

uno. Innanzitutto, nell’applicazione del modello all’interpretazione della dinamica di macro-

molecole biologiche, e piu chiara l’origine del potenziale orientante che agisce sulla sonda

paramagnetica. Inoltre il potenziale e modellabile in maniera molto dettagliata in modo

da poter rappresentare bene quale sia la situazione chimica laddove sonda e proteina sono

legate, potendo in questo modo avere parametri del potenziale facilmente interpretabili e

relazionabili a proprieta chimiche del sistema che si sta studiando. E per questo che la mo-

dellizzazione di potenziali specifici e uno degli sviluppi piu promettenti per l’applicazione

sistematica di tale metodologia a sistemi sperimentali.

Il modello a due corpi presenta inoltre la possibilita di studiare gia una piu vasta serie di

molecole rispetto a quello che si poteva fare con il modello ad un solo corpo, che sostanzial-

mente richiede che la molecola in esame sia molto rigida. Chiaramente non si puo pensare

che molecole molto complesse come le proteine possano essere cosı rigide;

82


infatti esse presentano una varieta di scale dei tempi in quanto intervengono moti di piccoli

e grandi gruppi di atomi.

Gia con il modello a due corpi si vede che la sensibilita dello spettro dal moto dei due corpi

e dall’accoppiamento (regolato da potenziale e anisotropia del moto) e alta ed e questo che

porta a supporre che un modello a tre corpi possa portare ad una descrizione ancora migliore

di macromolecole. Lo sviluppo del modello a tre corpi portera ad avere un set di modelli piu

completo con il quale andare a studiare i sistemi reali per cercare di estrarre importantissime

informazioni sulla dinamica di macromolecole biologiche.

83

Capitolo 5

Modello di biradicali

5.1 Introduzione

Finora l’approccio a molti corpi per l’interpretazione degli spettri ESR era mirato alla parte

diffusiva, in quanto la dinamica delle molecole puo essere caratterizzata da differenti scale

dei tempi di cui occorre tener conto, ognuna delle quali contribuisce allo spettro. Pero, in

una descrizione a molti corpi piu completa, non si puo tralasciare il fatto che piu d’uno di

essi puo essere portatore di un elettrone spaiato. In altre parole e molto importante anche lo

studio di molecole in cui vi siano piu sonde paramagnetiche, molecole dalle quali si possono

estrarre ancora piu informazioni, o comunque piu complete.

Si e voluto sviluppare un modello a tre corpi abbastanza semplice, ma che possa cosı com-

pletare la panoramica. Il sistema preso in considerazione e formato da tre corpi solidalmente

uniti, due di questi portatori di un elettrone spaiato. In questo caso la parte diffusiva del mo-

dello e molto semplice perche sostanzialmente e come avere un unico corpo rigido che ruota,

per cui e necessario, come processo stocastico diffusivo, esclusivamente un set di angoli di

Eulero che legano il sistema inerziale di laboratorio al sistema di riferimento molecolare, in

cui e diagonale il tensore di diffusione.

Un esempio di molecole con le caratteristiche del modello implementato sono i bisaddotti

del fullerene con due nitrossidi. Per testare il modello sono stati usati proprio gli spettri

sperimentali di tali molecole [61].

L’idea che sta dietro allo sviluppo di questo modello e quella di poter arrivare in futuro ad

una descrizione piu completa di molecole non rigide e con piu sonde paramagnetiche, in altre

84

parole molti corpi diffusivi e piu elettroni spaiati. Si tratta di un progetto piu complesso che

ha bisogno dello sviluppo di adatti metodi approssimati per ottenere lo spettro in quanto il

numero di funzioni di base necessarie e veramente elevato.


In Figura 5-1 sono rappresentati i sistemi di riferimento e gli angoli di Eulero che trasfor-

mano da un sistema all’altro. Con Ω si intende la variabile stocastica che lega il sistema di

riferimento inerziale di laboratorio (LF) a quello molecolare (MF). Per entrambi i nitrossidi

sono definiti degli angoli di Eulero che traformano dal sistema molecolare ai sistemi relativi

all’interazione Zeeman e a quella iperfine. Per completare la conoscenza sulla geometria della

molecola, e quindi per poter scrivere per intero l’Hamiltoniano di spin, occorre conoscere la

posizione dei due nitrossidi. Si e scelto di considerare il fullerene come fosse una sfera e quindi

di indicare la posizione dei nitrossidi in coordinate sferiche rispetto al sistema di riferimento

molecolare. Per ogni sonda paramagnetica occorre, allora, fornire i due set di angoli di Eulero

che portano dal sistema molecolare a quelli magnetici e la terna di coordinate (R, θ, φ) in cui

R e il raggio vettore che unisce l’origine dell’MF ad un punto rappresentativo del nitrossido,

θ e lo zenit e φ l’azimut. Come punto rappresentativo del nitrossido e stato scelto il centro

del legame N−O in quanto e il punto a cui si fa riferimento per calcolare il contributo di

interazione dipolare tra gli elettroni.

Per quanto riguarda la parte diffusiva, si e scelto di implementare il modello in assenza di

un potenziale esterno, per cui l’operatore diffusivo e:

Γ = DX J2X + DY J

2Y + DZ J

2Z (5.1)

Data la semplicita dell’operatore diffusivo si e deciso di non imporre a priori particolari

condizioni per il tensore di diffusione, per cui i tre valori principali possono assumere valori

differenti.

La distribuzione di equilibrio e una costante ed in particolare vale 1/8π2.

L’Hamiltoniano di spin per il modello e un po’ piu complesso perche oltre a considerare i

termini Zeeman ed iperfine per i due nitrossidi, si deve tener conto anche dell’accoppiamento

85

Figura 5-1: Definizione dei sistemi di riferimento. Con µ si intendono g e A

tra gli elettroni, rappresentato sia dall’energia di scambio J , sia dall’interazione dipolare. In

definitiva l’Hamiltoniano considerato e il seguente:

H =βe

h~B0 gi Si +

βe

h~B0 gj Sj + γe Ii Ai Si + γe Ij Aj Sj +

−2 γeJ Si Sj +µ0

4π

g2e β

2e

h r3

[Si Sj −

3

r2

(Si ~r

) (~r Sj

)] (5.2)

Una volta definito l’Hamiltoniano, il super - Hamiltoniano si costruisce sempre allo stesso

modo, come contrazione di ordine zero di tensori di rango zero e due:

H× =∑µ

∑l =0, 2

l∑m, m′ =−l

Dlm m′ (Ω) F

(l, m′) ∗µ, MF A

(l, m) ×µ, LF (5.3)

in cui µ corrisponde a tutte le interazioni di tipo magnetico considerate.

Per costruire i tensori F (l, m) per quanto riguarda i contributi di interazione tra gli elet-

troni non e necessario definire dei sistemi di riferimento ed avere degli angoli di Eulero

che trasformino dall’MF. Questo perche, per quanto riguarda l’energia di scambio J , essa e

isotropa, mentre per l’interazione dipolare tra gli elettroni il tensore viene gia direttamente

costruito nell’MF in quanto e lı che sono definite le coordinate polari che servono a definire

il vettore ~r che appare nella (5.2).

86

A causa di possibili flessibilita delle molecole, possono verificarsi modulazioni del valore del-

l’energia di scambio. Si e voluto tener conto nel modello di tale possibilita introducendo nella

SLE un nuovo operatore, detto operatore di ristrutturazione a stati discreti. Come variabile

stocastica e stata presa proprio l’energia di scambio, per cui l’operatore descrive un moto

di J tra diversi valori discreti i quali sono associabili a differenti conformazioni che puo

assumere la molecola in esame. L’operatore di ristrutturazione, in forma del tutto generale,

si esprime cosı:

ΓristP (X, t) =∫dX ′ [P (X, t)w(X → X ′) − P (X ′, t)w(X ′ → X)] (5.4)

dove P (X) e la densita di probabilita legata al processo stocastico X = (Ω, J) e la funzione

w e definita come:

w(X → X ′) =ωrist

8π2δ(Ω − Ω′)Peq(J) (5.5)

in cui ωrist e la frequenza di ristrutturazione, mentre Peq(J) e una distribuzione di equilibrio

della variabile stocastica J . Si e scelto di definire in maniera discreta tale distribuzione:

Peq(J) = Pn (5.6)

dove Pn e indice della probabilita che ha l’energia di scambio di trovarsi al valore Jn. Deve

essere assicurato il vincolo che∑n

P 2n = 1.

Sostituendo la (5.6) nella (5.4) e simmetrizzando l’operatore, in modo da renderlo Hermi-

tiano, si ottiene:

ΓristP (X, t) =ωrist

8π2

[Pn(X, t) − P 1/2

n

∑n′P

1/2n′ (J ′)Pn′(Ω, J

′, t)

](5.7)

Per comodita nel calcolo degli elementi di matrice si puo scrivere l’operatore nel seguente

modo:

ΓristP (X, t) =∑n′γn n′ Pn′(X

′, t) (5.8)

dove e definita:

γn n′ =ωrist

8π2

(δn, n′ − P 1/2

n P1/2n′

)(5.9)

In definitiva, l’operatore stocastico di Liouville e:

L = Γrot + Γrist + iH× (5.10)

87

ed e espanso sullo spazio ottenuto dal prodotto diretto tra gli spazi delle transizioni di spin,

dello spazio delle funzioni di Wigner dipendenti dalla variabile stocastica Ω e dello spazio

dei valori di Jn, per cui le funzioni della base si cotruiscono come segue:

|Σ〉〉 = | pSi q

Si p

Ii q

Ii 〉〉 ⊗ | pS

j qSj p

Ij q

Ij 〉〉 ⊗ |LM K〉 ⊗ |n〉 (5.11)

dove n e un numero intero che corre sulle possibili conformazioni. Le funzioni della base sono

quindi caratterizzate da dodici indici, la variabilita dei quali e data in Appendice A tranne

per n, per il quale vale semplicemente che 1 ≤ n ≤ Nmax.

A partire da questa base si e poi simmetrizzato l’operatore di Liouville con una trasformazione

unitaria della matrice ad esso associata, che e come utilizzare la base:

|Σ〉〉K = | jK , LM K, σi σj, n〉〉 =

= NK exp[−iπ

4

(jK − 1

)] (|+〉〉 + jK sK | −〉〉

) (5.12)

Tutti gli indici tranne K hanno la solita variabilita. Per quanto riguarda K, esso e non

negativo, ossia: 0 ≤ K ≤ L. Questo rende indispensabile l’introduzione del nuovo indice

jK che ha il compito di far ritornare il numero di basi a quello originario. Esso assume i

seguenti valori:

jK =

± 1 K > 0

(−)L K = 0

(5.13)

I due ket |+〉〉 e | −〉〉 fanno riferimento alle basi originarie |Σ〉〉, la prima con gli stessi indici

della base |Σ〉〉K e la seconda con i medesimi, ma K cambiato di segno.

Infine sono da definire:

NK = [2(1 + δK, 0)]− 1

2 (5.14)

sK = (−)L + K (5.15)

Dettagli sulla trasformazione della base possono essere trovati in letteratura [34, 58].

L’osservabile fisico che da la linea spettrale e dato dalla somma dei contributi dei due elettroni

allo spettro:

| v〉〉 = N [Ii, Ij]−1/2

(| SX, i〉〉 + | SX, j〉〉

)(5.16)

e si tratta del vettore di partenza che verra usato nell’algoritmo di Lanczos per costruire la

matrice tridiagonale da cui ricavare la densita spettrale.

88


5.3.1 Operatore diffusivo

La parte diffusiva e molto semplice e gli elementi di matrice si ricavano immediatamente se

si riscrive la (5.1) nel seguente modo:

Γrot =D−

4

(J2

+ + J2−

)+D+

4

(J+ J− + J− J+

)+ DZ J

2Z =

= Γ1 + Γ2 + Γ3

(5.17)

con D± = DX ± DY .

Gli elementi di matrice dell’operatore diffusivo sono:

〈〈Σ1 |Γ1|Σ2〉〉 = δσ1, σ2δn1, n2δL1, L2δM1, M2 ×

× D−

4

(δK1, K2+2 c

+L2, K2

c+L2, K2+1 +

+ δK1, K2−2 c−L2, K2

c−L2, K2−1

)(5.18)

〈〈Σ1 |Γ2|Σ2〉〉 = δΣ1, Σ2

D+

4

(c−L2, K2

c+L2, K2−1 + c+L2, K2c−L2, K2+1

)(5.19)

〈〈Σ1 |Γ3|Σ2〉〉 = δΣ1, Σ2 DZ K22 (5.20)

con c±L, K =√L(L + 1) − K(K ± 1).

5.3.2 Operatore di ristrutturazione

Anche per quanto riguarda l’operatore di ristrutturazione gli elementi di matrice si calcolano

molto facilmente. Essi sono:

〈〈Σ1 |Γrist|Σ2〉〉 = δσ1, σ2 δλ1, λ2γn1 n2 (5.21)

dove con λ si intendono gli indici relativi alla parte rotazionale e con σ gli indici di spin.

L’epressione per γn1 n2 e quella data nella (5.9).

89


Il super - Hamiltoniano di spin e costituito sostanzialmente da cinque contributi: l’effetto

Zeeman per i due elettroni, l’accoppiamento iperfine di ciascun elettrone con l’atomo di

azoto e un termine di interazione tra gli elettroni che puo essere scritto come:

Hint = S1 T S2 (5.22)

in cui il tensore T e:

T =

(−2γeJ +

µ0

4π

g2e β

2e

h r3

)13 −

µ0

4π

3 g2e β

2e

h r5

r2X rXrY rXrZ

rY rX r2Y rY rZ

rZrX rZrY r2Z

(5.23)

Si noti che nell’esprimere tale tensore da cartesiano a sferico irriducibile, l’interazione tra gli

elettroni di rango zero (isotropa) e legata solo all’energia di scambio, mentre quella di rango

due (anisotropa) e dovuta all’interazione dipolare tra i due elettroni. Il modo di trasformare

un tensore cartesiano di rango due in uno sferico irriducibile e riportato in Appendice H.

Gli elementi di matrice del super - Hamiltoniano di spin sono dati da:

〈〈Σ1 |H×|Σ2〉〉 = δn1, n2

√[L1, L2] (−)M1−K1

∑µ

∑l=0,2

ωµ×

×

L1 l L2

−M1 M1 −M2 M2

L1 l L2

−K1 K1 −K2 K2

××F (l, (K1−K2) ∗

µ, MF 〈〈σi1 σ

j1 |A

(l, (M1−M2)) ×µ, LF |σi

2 σj2〉〉

(5.24)

e gli elementi ridotti di matrice sono riportati in Appendice E.


Le proiezioni del vettore di partenza sulle funzioni della base sono:

〈〈Σ|v〉〉 = N 〈pIi |qI

i 〉〈pIj |qI

j 〉(〈pS

I |SX, i|qSi 〉 + 〈pS

I |SX, i|qSi 〉)〈n|P 1/2

eq (J)〉 (5.25)

= N δL, 0 δM, 0 δK, 0 δpIi , 0 δpI

j , 0

(δ|pS

i |, 1δpS

j , 0 + δpSi , 0δ|pS

j |, 1

)P 1/2

eq (Jn) (5.26)

in cui N e la costante di normalizzazione.

90

5.3.5 Simmetrizzazione della matrice

La matrice associata all’operatore di Liouville simmetrizzata e espressa in funzione degli

elementi di matrice sopra riportati e calcolati sulla base ”originaria”. La relazione e la

seguente:

〈〈Σ1 |L|Σ2〉〉K = NK1,K2

[δjK1 , jK2 <

(〈〈+ |L|+〉〉+ jK2 sK2 〈〈+ |L| −〉〉

)+

+ δjK1 ,−jK2 =(〈〈+ |L|+〉〉 + jK2 sK2 〈〈+ |L| −〉〉

) ] (5.27)

dove NK1,K2 = 2NK1 NK2 .

Le proiezioni del vettore di partenza sulla nuova base si esprimono come:

〈〈Σ|v〉〉K = N ′ δjK , 1 〈〈Σ|v〉〉 (5.28)



Il programma utilizzato e sostanzialmente una evoluzione del programma per il modello ad

un corpo. E stato necessario completare la parte riguardante il calcolo degli elementi di

matrice del super - Hamiltoniano di spin e aggiungere il calcolo degli elementi di matrice

dell’operatore di ristrutturazione. Quest’ultima modifica e stata apportata in modo che sia

possibile cambiare in maniera semplice cio che riguarda l’operatore di ristrutturazione in

caso di necessita. In particolare vi e una routine che costruisce gli elementi di matrice del-

l’operatore di ristrutturazione e nel caso se ne volesse cambiare la forma, o la forma della

distribuzione di equilibrio, il passaggio non sarebbe complesso perche tutto sarebbe limitato

a cambiare solo quella routine e al limite scrivere una piccola funzione in cui sia riportato il

calcolo della distribuzione di equilibrio nel caso questa fosse una funzione continua.

L’utente puo scegliere se nel sistema sono presenti uno o due nitrossidi, impostare i relativi

parametri e decidere il valore di Nmax. Per ogni configurazione si ha la possibilita di scegliere

il valore di Jn, una correzione agli angoli di Eulero, Ωµ, n, relativi ai sistemi magnetici e il

peso Pn. Per comodita, Ωµ, n e l’angolo che trasforma da una conformazione presa come

riferimento a quella n-esima alla quale corrisponde il valore Jn.

91

Le dimensioni della base sono alquanto grandi, anche se, essendo in assenza di potenziale ori-

entante, il numero di funzioni di base necessarie per la parte rotazionale e basso: e sufficiente

Lmax = 2 che implica 35 funzioni. Il problema e relativo alla parte di spin. Costruendo la

base di spin come prodotto diretto tra gli spazi delle transizioni di spin relative ai due ni-

trossidi si ottengono ben 1296 funzioni di base. Tutto questo comporta una base costituita

da ben 45360 funzioni totali e tale numero e relativo ad un solo valore di n. Ci si accorge

subito che volendo aumentare n e/o voler magari in futuro considerare sistemi lenti e/o con

un potenziale orientante, le dimensioni della base crescono a dismisura. Si e voluto, allora,

implementare quello che viene chiamato pruning, ossia un modo per sfoltire le funzioni di

base. Il metodo prevede di calcolare il peso che ha ogni funzione della base sullo spettro e

eliminare, secondo un certo criterio, le basi che si ritengono meno importanti. A tale scopo,

e necessario innanzitutto valutare la seguente equazione a differenti valori della variabile ∆ω

che campionino la zona in cui appare lo spettro:

A′(∆ω)|u〉〉 = |u(∆ω)〉〉 = | v〉〉 (5.29)

dove | v〉〉 e il vettore di partenza e A′(∆ω) = i∆ω 1 + L.

Il valore della densita spettrale si ottiene, per un dato valore di ∆ω come:

I(∆ω) ∝ <〈〈v|u(∆ω)〉〉 (5.30)

Per ogni funzione della base si puo calcolare la proiezione su di essa di |u(∆ω)〉〉:

zj(∆ω) = 〈〈Σj|u(∆ω)〉〉 = 〈〈Σj |A′−1| v〉〉 =∑m

〈〈Σj|ψm〉〉a′−1m (∆ω)〈〈ψm|v〉〉 (5.31)

in cui A′(∆ω)|ψm〉〉 = a′m(∆ω)|ψm〉〉. I tre fattori che appaiono dicono, rispettivamente,

quale sia peso che ha la funzione |Σj〉〉 sull’autovettore ψm, quanto l’m-esimo autovalore

influisca sullo spettro e quanto l’m-esimo autovettore sia importante nel determinare lo spet-

tro. Tutti questi fattori sono importanti per capire quanto effettivamente abbia importanza

una funzione della base sullo spettro. Nel criterio di scelta, apparira quindi la proiezione

zj ed, in particolare, il peso di ogni funzione calcolato in corrispondenza dell’i-esimo valore

della variabile ∆ω e:

fj,i = |zj(∆ωi)| / |〈〈v|u(∆ωi)〉〉| (5.32)

Il modo di procedere e quello di valutare l’equazione (5.29) per differenti valori di ∆ω, cal-

colando via via i pesi fj e immagazzinando, per ogni base, il massimo peso che si ottiene

92

(fj,max). A questo punto si possono tagliare le funzioni di base che stanno sotto una certa

tolleranza rispetto al massimo degli fj,max. Una tolleranza bassa e in grado di tagliare molte

funzioni della base, ma occorre fare attenzione a non toglierne troppe per evitare di ottenere

spettri assurdi.

Il calcolo di |u(∆ω)〉〉 secondo la (5.29) viene eseguito tramite il metodo del gradiente co-

niugato (CG). In letteratura si possono trovare i particolari legati al CG, al suo impiego

per il pruning, nonche maggiori informazioni riguardo al pruning stesso [62, 41]. Per dare

un’idea sulla riduzione della base che si puo ottenere con il pruning si puo osservare la

Figura 5-2; essa riporta in ascissa le funzioni di base di spin e in ordinata quelle rota-

zionali. Le basi sono ordinate secondo i seguenti criteri: le funzioni di spin sono ordinate

per la quantita ∆m1 + ∆m2, dove ∆mi e la variazione della proiezione sul campo ma-

gnetico del momento di spin dell’elettrone i-esimo, e assume i valori da −2 (entrambi gli

elettroni emettono) a +2 (entrambi gli elettroni assorbono). Le funzioni rotazionali sono,

invece, identificate da un numero n che, dati L, M e K si calcola secondo la relazione

n = 1 +L− 1∑i =0

(2i + 1) + (2L + 1) (M + L) + (K + L); quindi le funzioni hanno un or-

dine principale dato da L e uno secondario rispetto a M e K. In figura, le linee bianche

separano le zone principali per quanto riguarda entrambi i tipi di funzioni. Il grafico e co-

stituito da tanti rettangoli quante sono le funzioni della base e ogni rettangolo e colorato a

seconda del peso che ha la funzione che esso identifica, secondo la mappa di colori riportata

in fianco alla figura. Il grafico rappresenta la situazione che si ha per l’isomero 1 e si puo

vedere come moltissime basi possono essere eliminate innanzitutto per simmetria (colore

blu, implica peso nullo) e molte altre si possono eliminare perche hanno peso basso relativa-

mente a quella con peso massimo. Per molecole meno simmetriche (come gli altri isomeri)

la riduzione della base e un po’ meno marcata, ma comunque la riduzione arriva a circa un

decimo delle dimensioni della base iniziale. Dalla figura di puo anche notare che le funzioni

piu importanti sono quelle per cui si ha che un elettrone assorbe e l’altro rimane nel suo

stato (∆m1 + ∆m2 = +1).

93

Fig

ura

5-2:

Rap

pre

senta

zion

egr

afic

adel

lari

duzi

one

del

labas

eot

tenuta

con

ilpru

nin

g;il

colo

ree

lega

toal

loga

ritm

odec

imal

edel

pes

och

eha

ognifu

nzi

one

del

labas

esu

llo

spet

tro

94


Sono stati simulati gli spettri dei cinque differenti bisaddotti del fullerene con nitrossidi per

poterli confrontare con i dati che si trovano in letteratura [61]. Si e potuto subito rilevare che

le righe che emergono dall’accoppiamento tra gli elettroni risultano troppo intense rispetto

a quelle che si vedevano negli spettri. Si e pensato che, sebbene si trattasse di molecole

molto rigide, vi fosse una qualche modulazione del valore di J per cui sono stati calcolati

degli spettri considerando vari tipi di dinamica e differenti tipi di distribuzione per J . Una

soluzione alternativa e fornita dall’ipotesi che i campioni possano contenere una percentuale

di monoradicale. Questa ipotesi e plausibile se si pensa che la sintesi avviene aggiungendo

prima di tutto le ammine e poi ossidandole: la resa non e del 100% per cui oltre al biradicale

c’e anche il monoradicale; inoltre pare che il campione col tempo si decomponga. E quindi

probabile che gli spettri in letteratura non siano del solo biradicale, ma che vi sia sommato

anche lo spettro del monoradicale.

Per le simulazioni si e allora deciso di considerare la presenza di due componenti: la prima

conformazione riguarda il biradicale con valore di J dato dalla letteratura, mentre la seconda

conformazione e relativa al monoradicale.

In Figura 5-3 viene presentato uno schema dal quale si comprende come sono disposti sul

fullerene i due nitrossidi e quindi quale sia la geometria delle varie molecole.

La simulazione degli spettri e stata eseguita attraverso una procedura di fitting e in par-

Figura 5-3: [1] trans 1; [2] trans 2; [3] trans3; [4] trans4; [5] equatoriale

ticolare i parametri utilizzati sono stati i tre valori principali del tensore di diffusione, la

larghezza intrinseca di riga, il valore di J per il biradicale, il peso dello spettro del biradicale

e la posizione del punto identificativo del nitrossido, che sostanzialmente da informazioni

95

sulla distanza tra i nitrossidi che rientra nel calcolo dell’interazione dipolare.

La Tabella 5.1 riporta i parametri del calcolo per tutti gli spettri. Nelle figure 5-4, 5-5, 5-6,

5-7 e 5-8 sono rappresentati i cinque isomeri assieme ad un ellissoide, gli assi del quale sono

legati ai tre valori principali del tensore di diffusione. Il sistema di riferimento che viene

riportato e quindi quello in cui e diagonale il tensore di diffusione e in tutte le figure l’asse z

e quello che giace sul piano del foglio, le molecole sono invece reorientate a seconda di come

e definito il sistema molecolare.

L’assunzione che gli spettri ottenuti sperimentalmente siano la somma di quelli del mono-

e del biradicale consente di simulare facilmente gli spettri con un fit soddisfacente in tutti

i casi. Nel modello si tiene conto solo del fatto che ogni elettrone intrattiene interazione

iperfine con l’atomo di azoto del nitrossido a cui appartiene, senza prendere in considera-

zione gli atomi di idrogeno, l’interazione iperfine con i quali e tr(AH) = 0.024 mT, piccola

rispetto a quella con l’azoto, ma per ogni nitrossido ci sono ben dodici atomi di idrogeno. Il

loro effetto e quello di allargare ogni banda trasformandole in gaussiane e questa e l’origine

della larghezza intrinseca di banda che si e dovuta aggiungere nel calcolo. E interessante il

fatto che in tutti i cinque casi il suo valore (ottenuto dal fitting) sia praticamente lo stesso

il che suggerisce che quella larghezza di riga sia causata proprio dall’effetto degli atomi di

idrogeno di cui non si tiene conto nel modello.

Oltre ad applicare il modello ai bisaddotti del fullerene si e voluto esplorare come cambia

lo spettro ESR al variare del rapporto J/tr(A), fissando tutti gli altri parametri. In Figura

5-9 sono riportati gli spettri calcolati variando il valore di J da 0 a J >> tr(A) per il caso

in cui si abbia un tensore di diffusione isotropo D = 109 Hz, gli stessi parametri magnetici

e la stessa geometria dell’isomero 1 ed un campo applicato di 0.3361 T. Si osserva come per

J = 0 mT si ha sostanzialmente lo spettro del monoradicale, mentre al tendere all’infinito

di J si ritrovino cinque righe, cosı come e previsto in letteratura [63].

96

Isom

ero

r/

nm

φ1,θ 1

φ2,θ 2

Ω1

Ω2

Dα·1

0−9/

Hz

J/

mT

Pr 1

,2/

nm

10.

656

0,0

180,

00,

90,0

180,

90,0

0.15,2.

5,4.

6−

8.94

0.60

1.31

2

20.

580

−75,0

75,0

75,45,90

−75,45,90

0.31,2.

0,2.

22.

290.

641.

131

30.

611

−60,0

60,0

90,72,90

90,60,−

400.

93,0.

95,0.

1−

1.70

0.84

1.07

7

40.

656

−50,0

50,0

120,

135,

9060,55,90

0.66,4.

9,0.

980.

950.

731.

034

50.

731

−45,0

45,0

−90,13

5,0

0,90,−

450.

04,1.

0,1.

630.5

0.85

1.03

3

Tab

ella

5.1:

Par

amet

rige

omet

rici

ero

tazi

onal

iot

tenuti

per

ico

nfo

rmer

i1

-5;

tutt

igl

ian

goli

sono

espre

ssiin

grad

i

97

(a)

(b)

Fig

ura

5-4:

(a)Spet

triE

SR

sper

imen

tale

(lin

eaco

nti

nua)

esi

mula

to(l

inea

trat

tegg

iata

)del

l’is

omer

o1;

(b)as

sipri

nci

pal

idid

iffu

sion

edel

l’is

omer

o1

98

(a)

(b)

Fig

ura

5-5:

(a)Spet

triE

SR

sper

imen

tale

(lin

eaco

nti

nua)

esi

mula

to(l

inea

trat

tegg

iata

)del

l’is

omer

o2;

(b)as

sipri

nci

pal

idid

iffu

sion

edel

l’is

omer

o2

99

(a)

(b)

Fig

ura

5-6:

(a)Spet

triE

SR

sper

imen

tale

(lin

eaco

nti

nua)

esi

mula

to(l

inea

trat

tegg

iata

)del

l’is

omer

o3;

(b)as

sipri

nci

pal

idid

iffu

sion

edel

l’is

omer

o3

100

(a)

(b)

Fig

ura

5-7:

(a)Spet

triE

SR

sper

imen

tale

(lin

eaco

nti

nua)

esi

mula

to(l

inea

trat

tegg

iata

)del

l’is

omer

o4;

(b)as

sipri

nci

pal

idid

iffu

sion

edel

l’is

omer

o4

101

(a)

(b)

Fig

ura

5-8:

(a)Spet

triE

SR

sper

imen

tale

(lin

eaco

nti

nua)

esi

mula

to(l

inea

trat

tegg

iata

)del

l’is

omer

o5;

(b)as

sipri

nci

pal

idid

iffu

sion

edel

l’is

omer

o5

102

Figura 5-9: Serie di spettri al variare di J . I numeri a destra indicano il rapporto J/tr(A)

103

Considerazioni conclusive

L’interpretazione del comportamento dinamico di macromolecole biologiche e di importanza

fondamentale per la comprensione della loro stabilita, reattivita ed in ultima analisi della

loro funzionalita biologica. I processi di rilassamento presenti nei sistemi proteici sono di-

stribuiti entro un vasto raggio di scale dei tempi che comprendono la dinamica globale della

macromolecola (ms - µs), fluttuazioni che coinvolgono siti chimici localizzati (ns - ps), di-

namiche veloci di trasferimento di carica o d’energia (ps - fs). Le proprieta chimico - fisiche

delle molecole dipendono essenzialmente dall’azione sinergica di queste componenti che agi-

scono a differenti scale dei tempi. Informazioni dirette od indirette sulla dinamica multiscala

delle proteine possono essere ottenute da una grande varieta di tecniche spettroscopiche

sia magnetiche (NMR, CW - ESR, ENDOR) che ottiche (FPA, DLS, TRSS). In partico-

lare, misure ESR effettuate su sistemi proteici tramite site directed spin labeling (SDSL)

possono costituire un’affidabile tecnica di indagine. Lo studio di derivati addizionati con

sonde paramagnetiche permette in linea di principio di raccogliere varie informazioni sulla

struttura secondaria, le distanze inter - residuali ed i moti globali e locali della proteina.

Questa ricchezza di informazioni e pero al momento limitata da due fattori i) la difficolta

sperimentale di raccogliere dati estensivi a varie frequenze e ii) la necessita di impiegare

modelli interpretativi avanzati che descrivano esplicitamente la dinamica molecolare e che

siano computazionalmente maneggevoli.

L’approccio teorico adottato in questa Tesi e il formalismo dell’equazione stocastica di Liou-

ville, fondato sulla diretta inclusione della dinamica molecolare - o quanto meno di alcuni

gradi di liberta rilevanti - sotto forma di operatori stocastici (Fokker - Planck, diffusivi) nel

super - Hamiltoniano che governa l’evoluzione temporale della matrice densita / probabilita

condizionale ρ del sistema. In generale e possibile descrivere processi di rilassamento multi-

pli ed includere la presenza di sonde paramagnetiche interagenti all’interno del modello, che

104

richiede comunque una soluzione numerica dell’equazione generale

∂ρ(Q, t)

∂t= −i

[H(Q, t), ρ(Q, t)

]− Γ(q, t) ρ(Q, t) = −L ρ (Q, t)

dove Q e l’insieme di coordinate stocastiche rappresentative del sistema. La scelta dell’ope-

ratore Γ permette di modellare i vari processi di rilassamento del sistema (corpi), ciascuno

caratterizzato da un insieme appropriato di parametri dissipativi (coefficienti di diffusione

o di attrito).

Nell’ultimo decennio, modelli a singolo corpo e a piu corpi sono stati sviluppati dal gruppo

di Padova di Chimica Teorica in collaborazione con il centro ACERT della Cornell Univer-

sity diretto dal prof. Jack H. Freed. Questi modelli sono stati applicati dapprima a liquidi

semplici e fasi anisotrope, ma hanno trovato recenti e proficue applicazioni anche nell’in-

terpretazione di spettroscopie ESR in sistemi proteici. Tuttavia, insieme alle potenzialita

della metodologia generale, sono anche emerse varie limitazioni, che sono da ascriversi a fat-

tori quali i) la limitata efficienza dell’implementazione computazionale, dovuta alla crescita

alquanto disordinata del software sviluppato negli anni per accrescimento progressivo intorno

ad un nucleo originale di codici Fortran che rivela ormai problemi di coerenza ed affidabilita

e ii) la necessita di estendere i modelli esistenti per includere la presenza di ulteriori gradi di

liberta aggiuntivi. Questa Tesi, senza pretendere certamente di esaurire l’argomento, intende

presentare una prima analisi sistematica di questi problemi, con l’obiettivo finale di favorire

l’applicazione delle metodologie sviluppate ad esperimenti SDSL effettuati su vari sistemi

proteici.

Idealmente, il piano di lavoro prevede la sistemazione e l’estensione dei modelli ad uno, due

o piu corpi mediante (a) la creazione di una libreria di programmi modulari ed estensivi in

C; (b) la generalizzazione della modellistica e del software per includere la presenza di piu

sonde paramagnetiche interagenti ; (c) la messa a punto di nuovi strumenti formali per il

trattamento esatto ed approssimato di modelli a molti corpi.

Questa lavoro, essenzialmente, e stato dedicato allo sviluppo dei punti (a) e (b). In futuro,

l’applicabilita dei modelli stocastici a molti corpi per l’interpretazione di esperimenti SDSL

sara estesa impiegando tecniche avanzate (c) che prevedono la soluzione di sistemi a tre e

quattro corpi, mediante l’uso di trattamenti sofisticati basati sulla separazione delle scale

temporali dei vari processi di rilassamento presenti nei sistemi considerati.

105

Appendice A - Funzioni di base

Dati gli operatori diffusivi utilizzati per i vari modelli, l’equazione stocastica di Liouville

(2.8) si presenta come un set di equazioni differenziali parziali accoppiate le quali determi-

nano l’evoluzione temporale della matrice densita ρ(Q, t), dipendente sia dalle coordinate

quantomeccaniche di spin che da quelle classiche rotazionali. E possibile convertire il set di

equazioni differenziali parziali in un set di equazioni algebriche lineari accoppiate arrivan-

do cosı a scrivere l’equazione (2.13). Innanzitutto occorre fare la trasformata di Fourier -

Laplace della SLE e successivamente si discretizza l’operatore diffusivo. Esistono vari metodi

per discretizzare e quello di cui si e fatto uso e l’espansione dell’operatore diffusivo su un set

di funzioni di base.

In linea di principio l’espansione andrebbe fatta su un numero infinito di funzioni, il che

comporterebbe un infinito numero di equazioni lineari accoppiate, ma e possibile scegliere

un set finito tale che approssimi lo spazio dell’operatore diffusivo entro la tolleranza voluta,

al limite sotto la precisione macchina.

Funzioni su cui e possibile espandere l’operatore diffusivo sono le matrici di Wigner DLM K

normalizzate, per cui per ogni variabile stocastica rotazionale Ω si costruisce un set di

funzioni che vengono determinate da tre numeri discreti:

|λ〉 = |LM K〉 =

√[L]

8π2DL

M K(Ω) (A-1)

la forma e le proprieta delle matrici di Wigner sono riportate in Appendice G.

Se l’operatore diffusivo descrive l’evoluzione di n variabili stocastiche, il set di funzioni di

base viene costruito dal prodotto diretto degli spazi per ogni singola coordinata:

|λ〉 = |L1M1K1〉 ⊗ . . .⊗ |LnMnKn〉 (A-2)

Una volta discretizzata la parte spaziale occorre definire il set di funzioni su cui espandere il

super - Hamiltoniano di spin. Come si e illustrato nel secondo capitolo, i ket nello spazio di

Liouville sono prodotti interni nello spazio di Hillbert per cui le funzioni di base per il super

- Hamiltoniano di spin sono degli operatori. In particolare, data una particella con momento

di spin S, le funzioni coprono lo spazio dei proiettori:

|σ〉〉 = |m′S m

′′S〉〉 = |S m′

S〉〈S m′′S | (A-3)

106

che puo essere visto come lo spazio delle transizioni di spin della particella.

Se il sistema di spin e costituito da un elettrone ed un nucleo con momento di spin I, le

funzioni della base per il super - Hamiltoniano sono date dal prodotto diretto degli spazi

delle transizioni di spin delle due particelle:

|σ〉〉 = |m′S m

′′S, m

′I m

′′I 〉〉 = |S m′

S〉〈S m′′S | ⊗ | I m′

I〉〈I m′′I | (A-4)

Al momento del calcolo degli elementi di matrice risultera piu comodo sostituire agli indici

m′ e m′′ le loro due combinazioni lineari:

p = m′ − m′′ (A-5)

q = m′ + m′′ (A-6)

A questo punto, le funzioni di base per l’operatore stocastico di Liouville si ottengono dal

prodotto diretto tra lo spazio delle transizioni di spin e lo spazio delle rotazioni. Se si assume

il sistema costituito da un elettrone, un nucleo e un unico corpo rigido, ogni funzione di base

sara definita da sette indici:

|Σ〉〉 = | pS qS, pI qI , LM K〉〉 (A-7)

la variabilita dei quali e:

L 0 ≤ L ≤ Lmax

M −L ≤M ≤ L

K −L ≤ K ≤ L

pS −1 ≤ pS ≤ 1

qS −1 +∣∣∣ pS

∣∣∣ , −1 +∣∣∣ pS

∣∣∣ + 2, . . . , 1 −∣∣∣ pS

∣∣∣pI −2 I ≤ pI ≤ 2 I

qI −2 I +∣∣∣ pI

∣∣∣ , −2 I +∣∣∣ pI

∣∣∣ + 2, . . . , 2 I −∣∣∣ pI

∣∣∣

(A-8)

Avere a disposizione un set di funzioni di base permette di riscrivere l’equazione (2.13) in

forma matriciale:

I (ω − ω0) =1

π<

v† A(∆ω) v

(A-9)

in cui v e il vettore delle proiezioni del vettore di partenza sulle funzioni della base e A(∆ω)

e la matrice associata all’opertaore di Liouville A(∆ω) = i∆ω 1 + (Γ + iH×).

A questo punto, per ottenere la riga spettrale, basta utilizzare i metodi dell’algebra lineare.

107

Appendice B - Super-Hamiltoniano di spin

Dato che l’interazione magnetica viene modulata da coordinate di tipo rotazionale, risulta

comodo esprimere il super - Hamiltoniano di spin in coordinate sferiche. Dato che si tratta di

un operatore legato all’energia totale di spin del sistema, esso deve avere simmetria sferica e

quindi deve trattarsi di un operatore tensoriale di ordine zero. Data la simmetria dei tensori

che costituiscono l’Hamiltoniano di spin, il super - Hamiltoniano sara la contrazione di ordine

zero di tensori e operatori tensoriali di rango zero e due:

H× =[F (2) ⊗ A× (2)

](0)

0(B-1)

Non ci sono termini di rango superiore al secondo perche questi sarebbero dovuti a intera-

zioni magnetiche di cui non si e tenuto conto, come ad esempio l’interazione di quadrupolo

magnetico che introdurrebbe tensori di rango quattro.

I tensori F (2) sono quelli che si ottengono trasformando i tensori cartesiani g e A in tensori

sferici irriducibili come indicato in Appendice H. Dato che i tensori di interazione Zeeman

e iperfine sono simmetrici si otterranno solo le componenti sferiche di ordine zero e due. Essi

verranno identificati come F(l, m) ∗µ, XF , dove l = 0 e 2, m va da −l a l, µ indica l’interazione

magnetica a cui ci si riferisce (µ = g, A) e XF indica in quale sistema di riferimento e

espresso il tensore.

Analogamente, gli operatori tensoriali si indicheranno come A(l, m) ×µ, XF . Come si vedra piu avan-

ti, essi sono dati dal prodotto tra operatori di spin di rango 1 e non e possibile dire a priori

che A(1, m) ×µ, XF = 0, pero la componente di rango 1 non apparira nell’Hamiltoniano perche

come si e detto sopra, F(1, m) ∗µ, XF = 0.

Il super - Hamiltoniano di spin e allora espresso come segue:

H× =∑

µ = g, A

∑l = 0, 2

l∑m =−l

ωµ F(l, m) ∗µ, LF A

(l, m) ×µ, LF (B-2)

dove con LF si intende il sistema di riferimento inerziale di laboratorio.

Gli operatori di spin sono gia espressi nel sistema di laboratorio, mentre i tensori magne-

tici sono espressi, per comodita, in sistemi di riferimento ove essi sono diagonali. Una vol-

ta costruite le componenti sferiche nei sistemi di riferimento magnetici (F(l, m) ∗µ, µF ), occorre,

innanzitutto, trasformarli dai sistemi magnetici a quello in cui e diagonale il tensore di

diffusione della sonda paramagnetica e al quale sono solidali. Per la trasformazione si fa uso

108

delle proprieta (G-7) delle matrici di Wigner. Successivamente si esprimono i tensori magne-

tici nel sistema di riferimento del laboratorio a partire da quello in cui e diagonale il tensore

di diffusione e per farlo occorrera per forza introdurre nell’Hamiltoniano una dipendenza

esplicita dalle coordinate rotazionali.

Ecco allora che il super - Hamiltoniano di spin viene ad essere costituito da due contributi

principali H× = H×0 + H×

2 (q), ossia da una parte isotropa che sostanzialmente e la re-

sponsabile della posizione delle righe spettrali, e da una anisotropa, H×2 dipendente dalle

coordinate stocastiche rotazionali q, che governa il rilassamento e quindi la larghezza dei

picchi.

Se il moto e molto veloce quello che succede e che la parte anisotropa viene mediata via e

cio che si ottiene e sostanzialmente uno spettro a righe, l’intensita delle quali e legata solo

alla probabilita che hanno di avvenire che dipende dal momento di dipolo di transizione.

Quando, invece, la dinamica e confrontabile con i tempi caratteristici della spettroscopia ESR

allora i picchi rilassano in maniera differente e tale rilassamento viene dettato dall’azione

sinergica dell’anisotropia del moto e dell’anisotropia dei tensori magnetici che caratterizzano

il sistema in esame.

Di seguito sono riportate le espressioni esplicite per i tensori e gli operatori tensoriali sferici

irriducibili che sono serviti per l’implementazione dei modelli.

109

tensore Zeeman prodotto tensoriale di Z e S

F(0, 0) ∗g, GF = − 1√

3(gXX + gY Y + gZZ) A

(0, 0) ×g, LF = − 1√

3SZ

F(2, 0) ∗g, GF =

√2

3

[gZZ −

1

2(gXX + gY Y )

]A

(2, 0) ×g, LF =

√2

3SZ

F(2,±1) ∗g, GF = 0 A

(2,±1) ×g, LF = ∓1

2S±

F(2,±2) ∗g, GF =

1

2(gXX + gY Y ) A

(2,±2) ×g, LF = 0

tensore interazione iperfine prodotto tensoriale di I e S

F(0, 0) ∗A, AF = − 1√

3(AXX, r + AY Y, r + AZZ, r) A

(0, 0) ×A, LF = − 1√

3

[IZ SZ +

1

2

(I− S+ + I+ S−

)]

F(2, 0) ∗A, AF =

√2

3

[AZZ, r −

1

2(AXX, r + AY Y, r)

]A

(2, 0) ×A, LF =

√2

3

[IZ SZ − 1

4

(I− S+ + I+ S−

)]F

(2,±1) ∗A, AF = 0 A

(2,±1) ×A, LF = ∓1

2

(IZ S± + I± SZ

)F

(2,±2) ∗A, AF =

1

2(AXX, r + AY Y, r) A

(2,±2) ×A, LF =

1

2I± S±

tensore interazione elettroni prodotto tensoriale di Si e Sj

F(0, 0) ∗T, MF = −

√3 J A

(0, 0) ×T, LF = − 1√

3

[Si

Z SjZ +

1

2

(Si− S

j+ + Si

+ Sj−

)]

F(2, 0) ∗T, MF =

√2√

3 r2

(3 r2

Z − r2)

A(2, 0) ×T, LF =

√2

3

[Si

Z SjZ − 1

4

(Si− S

j+ + Si

+ Sj−

)]F

(2,±1) ∗T, MF = ± 3

r2(rX rZ ± i rY rZ) A

(2,±1) ×T, LF = ∓1

2

(Si

Z Sj± + Si

± SjZ

)F

(2,±2) ∗T, AF = − 3

r2

(r2X − r2

Y

2± i rX rY

)A

(2,±2) ×T, LF =

1

2Si± S

j±

110

Appendice C - Metodi di Lanczos e del Gradiente Co-

niugato

I - Algoritmo di Lanczos

Il problema del calcolo della densita spettrale definita come:

I (ω − ω0) =1

π<〈〈v |

[i (ω − ω0)1 +

(Γ + i H×

)]− 1| v〉〉

(C-1)

e relativo al caso piu generale in cui si deve valutare l’espressione:

uT f (A) v (C-2)

in cui u e v sono vettori e f (A) e una funzione della matrice A.

Il problema viene trattato con il metodo dei momenti nello spazio di Hillbert e l’algoritmo

di Lanczos puo essere considerato una applicazione a questa teoria di approssimazione degli

operatori. Il metodo prevede la ricerca di una approssimazione An di A dato un vettore di

partenza:

An = P trn A P n (C-3)

dove con P n si intende la proiezione sul sottospazio di dimensioni n definito dai vettori

generati dall’azione dell’operatore A(k− 1) sul vettore di partenza | v〉:

| vk〉 = A(k− 1) | v〉 (C-4)

con 1 ≤ k ≤ n.

L’algoritmo di Lanczos corrisponde ai casi particolari in cui l’operatore A sia simmetrico o

autoaggiunto. In questi casi si puo scegliere una appropriata rappresentazione dello spazio

n-dimensionale tale per cui si ottenga una forma tridiagonale per An. Tale rappresentazione

che verra indicata con | k〉 viene costruita da | vk〉 attraverso l’ortonormalizzazione di Gram -

Schmidt che fornisce una via iterativa per costruire i successivi set di base | k〉. La relazione

e la seguente:

βk | k〉 = (1 − P k− 1) A | k − 1〉 (C-5)

111

dove i coefficienti βk sono i coefficienti di normalizzazione tali per cui 〈k | k〉 = 1; mentre

l’operatore di proiezione P k− 1 viene definito da tutti i precedenti vettori:

P k =k∑

j = 1

| j〉〈j | (C-6)

Questa rappresentazione del sottospazio va bene per matrici reali e simmetriche. La matrice

associata all’operatore stocastico di Liouville, invece, e una matrice complessa simmetrica e

il procedimento mostrato finora non e utile perche distruggerebbe la simmetria della matrice

e non genererebbe una approssimazione in forma tridiagonale. Occorre fare qualche modifica

al procedimento definendo un set di basi | k〉 tale per cui sia verificato che:

∑s

〈xs |m〉〈xs | l〉 = δm, l (C-7)

dove la somma corre su tutti gli elementi |xs〉 del set di base di partenza nel quale A e

simmetrico. Questo implica la necessita di eseguire una pseudo - ortogonalizzazione di Gram

- Schmidt in cui l’operatore di proiezione e definito come:

P k =k∑

j = 1

∑s

| j〉〈xs | j〉〈xs | (C-8)

che e come dire che tutti i prodotti scalari vanno eseguiti senza prendere il complesso coniu-

gato dei bra.

Il vettore di partenza deve essere normalizzato: | 1〉 = ‖v‖−2 | v〉 e anche per questa opera-

zione occorre calcolare la pseudo norma:

‖v‖2 =∑s

〈xs | v〉2 (C-9)

Procedendo come appena descritto, ossia calcolando prodotti interni senza usare il coplesso

coniugato dei bra, resta valida l’equazione (C-6) dalla quale si puo ricavare una relazione

ricorsiva a tre step per la generazione di | k〉:

βk | k + 1〉 = (A − αk 1) | k〉 − βk− 1 | k − 1〉 (C-10)

dove:

αk = 〈k |A | k〉 (C-11)

βk = 〈k + 1 |A | k〉 = 〈k |A | k + 1〉 (C-12)

112

da cui si vede che gli αk ed i βk sono rispettivamente gli elementi della diagonale e della sub

(sovra) - diagonale della forma tridiagonale An di A.

L’algoritmo di Lanczos non e difficile da implementare e la routine che e stata scritta prevede

i seguenti step:

1) normalizzazione il vettore di partenza con la pseudo norma definita in (C-9): v =

‖v‖−2 v

2) inizio del ciclo sul numero di step di Lanczos;

3) u = A v;

4) y = u + y (al primo step y = 0);

5) αk = v† y;

6) y = −αk v + y;

7) βk = ‖y ‖;

8) t = y; y = v / βk; v = −βk t;

9) ripresa dal punto 2).

Ad ogni step viene anche calcolata la densita spettrale per ∆ω = 0, J(0), che viene utilizzata

come un controllo di convergenza. Se l’errore relativo tra la J(0) allo step n-esimo e uguale

entro una certa tolleranza alla J(0) calcolata allo step (n − 1)-esimo e tale condizione e

verificata per un certo numero di step la routine considera che il calcolo e a convergenza

e blocca il ciclo. La tolleranza ed il numero di step per il controllo della convergenza sono

scelti dall’utente. Ci sono anche altre due condizioni di uscita: una corrisponde al caso in

cui ad un certo punto si ha βk = 0, l’altra e quando il ciclo raggiunge il numero massimo di

step, anche questo scelto dall’utente. In tutti i calcoli eseguiti si sono usati una tolleranza di

10−7 − 10−8 ed un numero di step di convergenza di 5 − 10, valori per i quali si e visto che

lo spazio di Lanczos approssima bene quello di Liouville.

II - Gradiente Coniugato

Si e fatto uso del metodo del gradiente coniugato come strumento per ottenere informazioni

113

su quanta importanza ha ogni singola funzione di base sulla determinazione dello spettro.

Innanzitutto si trovano le basi che hanno peso nullo, per simmetria. Di quelle che rimangono

ce ne saranno alcune che, rispetto alla base con peso massimo, sono piu o meno importanti,

per cui si puo scegliere di tagliare quelle che sono sotto un certo valore di tolleranza relativo

al massimo dei pesi. In questo modo si puo arrivare a ridurre la base anche piu di un ordine

di grandezza, ottenendo uno spettro del tutto identico a quello che si ha usando la base

completa.

Il metodo prevede di risolvere equazioni del tipo A |u〉 = | v〉, ma espresse nel seguente

modo:

| rk〉 = | v〉 − A |uk〉 (C-13)

dove |uk〉 e il k-esimo approssimante ad |u〉 e | rk〉 il residuo associato a |uk〉. Definendo il

funzionale:

f [uk] = 〈uk |A|uk〉 − 〈uk|v〉 (C-14)

si puo vedere che considerando | rk〉 il vettore che da il gradiente negativo di f [uk], minimiz-

zare il funzionale equivale a risolvere A |u〉 = | v〉.

L’equazione (C-13) viene risolta in maniera iterativa minimizzando il funzionale f [uk] su un

set di ”direzioni coniugate” | pk〉, con k ≥ 1. Queste sono definite dalle equazioni:

| rk +1〉 = | rk〉 − ak A | pk〉 (C-15)

e

| pk +1〉 = | rk +1〉 + bk | pk〉 (C-16)

dove:

ak =〈rk|rk〉

〈pk |A| pk〉(C-17)

bk =〈rk + 1|rk +1〉〈rk|rk〉

(C-18)

Una volta calcolata la nuova direzione coniugata, la (k + 1)-esima approssimazione a |u〉 e

data da:

|uk +1〉 = |uk〉 + ak | pk〉 (C-19)

114

Si vede allora che la soluzione |u〉 viene calcolata in maniera ricorsiva una volta che sono

definiti i vettori iniziali, ed in particolare si sceglie di partire da:

| r1〉 = | v〉 − A |u1〉 (C-20)

| p1〉 = | r1〉 (C-21)

dove | v〉 e il vettore di partenza e |u1〉 e una soluzione iniziale da cui partire per cercare il

minimo del funzionale.

Il calcolo e a convergenza quando la differenza tra |uk〉 e |u〉 e sotto una certa tolleranza e

la differenza e data da:

‖r2k‖ = 〈rk|rk〉 (C-22)

L’implementazione dell’algoritmo e semplice e di seguito sono riportati gli step che esegue

la routine che e stata scritta:

1) normalizzazione del vettore di partenza con la pseudo norma definita in (C-9): v =

‖v‖−2 v;

2) r = p = v;

3) inizializzazione dei prodotti interni: ρ1 = 〈r | r〉 e ρ2 = 0;

4) inizio del ciclo sul numero di step;

5) calcolo di b = ρ1/ρ2 (b = 0 al primo step);

6) p = r + bp;

7) w = A p + i∆ω p;

8) calcolo di a = ρ1/〈p |w〉;

9) x = ap + x (x = 0 all’inizio);

10) r = −aw + r;

9) ripresa dal punto 4).

Il ciclo viene interrotto se si verifica che il numero massimo di step (imposto dall’utente)

viene raggiunto, il che e indice che il calcolo puo non essere a convergenza, oppure se viene

soddisfatta la condizione ‖rk‖2 ≤ ε, dove ε e una tolleranza che viene decisa dall’utente.

115

Appendice D - Elementi di matrice dell’operatore diffusivo

Nei modelli sviluppati l’operatore diffusivo puo essere sempre scritto come somma di un

operatore indipendente dal potenziale ed una funzione che invece vi dipende:

Γ = J + F (Ω) (D-1)

in cui con Ω = (Ω1, Ω2, . . . , Ωn) si intende il set di coordinate stocastiche rotazionali che

descrivono il sistema.

La forma generale dell’operatore indipendente dal potenziale si ottiene molto facilmente

ponendo uguale all’unita la distribuzione di equilibrio (assenza di potenziale) nell’equazione

di Smoluchowski:

J =∑n

J†(Ωn) nD J(Ωn) (D-2)

dove la somma corre sugli n corpi che costituiscono il sistema e J(Ωn) e l’operatore momento

angolare che agisce sul set di angoli di Eulero Ωn che trasformano dal sistema inerziale del

laboratorio a quello del corpo n-esimo. Con nD, infine, si intende il tensore di diffusione del

corpo n-esimo.

Per ricavare la forma della funzione dipendente dal potenziale si puo tener presente che

ΓP 1/2eq = 0, per cui, sostituendo la (D-1) all’operatore diffusivo si ha:[

J + F (Ω)]P 1/2

eq (Ω) = 0 (D-3)

da cui si ottiene che:

F (Ω) = −P−1/2eq (Ω) J P 1/2

eq (Ω) = −P−1/2eq (Ω) J

†(Ωn) nD J(Ωn)P 1/2

eq (Ω) (D-4)

dove si e fatto uso della notazione di Einstein rispetto alla sommatoria in n.

Per il fatto che il tensore di diffusione nel sistema di riferimento di ogni corpo e diagonale,

l’ultima espressione puo essere riscritta nel seguente modo:

F (Ω) = −P−1/2eq (Ω)

nD−

4

[J2

+(Ωn) + J−(Ωn)2]

+nD+

4

[J+(Ωn) J−(Ωn) +

+ J−(Ωn) J+(Ωn)]

+ nDZ J2Z(Ωn)

P 1/2

eq (Ω)

(D-5)

dove D± = DX ± DY .

Dato che ogni operatore momento angolare puo essere scritto come J(Ω) = f(Ω)∂

∂Ωe

116

che, per quanto riguarda la distribuzione di equilibrio si ha P 1/2eq (Ω) = N exp

[−1

2V (Ω)

],

per una coppia di operatori momento angolare JA(Ω) e JB(Ω) si puo scrivere:

JA JB P1/2eq = −1

2JA

(P 1/2

eq JB V)

=

=1

4P 1/2

eq

[(JA V

) (JB V

)− 2 JA JB V

] (D-6)

in cui si e omessa la dipendenza dalle coordinate rotazionali di operatori e funzioni per non

appesantire troppo la scrittura.

Utilizzando l’equazione (D-6) si puo scrivere una formula generale per la parte dipendente

dal potenziale dell’operatore diffusivo come F (Ω) = F−(Ω) + F+(Ω) + FZ(Ω), dove:

F−(Ω) = −nD−

16

[J+(Ωn)V (Ω)

]2+[J−(Ωn)V (Ω)

]2+

− 2[J2

+(Ωn) + J2−(Ωn)

]V (Ω)

(D-7)

F+(Ω) = −nD+

8

J+(Ωn)V (Ω) J−(Ωn)V (Ω) +

−[J+(Ωn) J−(Ωn) + J−(Ωn) J+(Ωn)

]V (Ω)

(D-8)

FZ(Ω) = −nDZ

4

[JZ(Ωn)V (Ω)

]2− 2 J2

Z(Ωn)V (Ω)

(D-9)

Le espressioni scritte finora sono del tutto generali, mentre di seguito vengono date quelle

esplicite per i modelli sviluppati, insieme al calcolo degli elementi di matrice.

I - Modello ad un corpo

Per quanto riguarda il modello ad un corpo la coordinata stocastica e una sola, Ω; si e scelto

di lavorare con un tensore di diffusione a simmetria assiale ed e stato definito un potenziale

esterno:

V (Ω) = −∑n

εn∑m

Dn0 m(ΩD)Dn

m 0(Ω) (D-10)

Parte indipendente dal potenziale

La parte che non dipende dal potenziale dell’operatore diffusivo e:

J = D⊥ J2 +

(D‖ − D⊥

)J2

Z (D-11)

117

Gli elementi di matrice di tale operatore si calcolano facilmente utilizzando le proprieta

(G-10) delle matrici di Wigner, riportate in Appendice G:

〈λ1 | J |λ2〉 =

√[L1, L2]

8π2

[D⊥〈DL1 ∗

M1 K1| J2 | DL2

M2 K2〉+

+(D‖ − D⊥

)〈DL1 ∗

M1 K1| J2

Z | DL2M2 K2

〉]

=

= δλ1, λ2

[D⊥ L1 (L1 + 1) +

(D‖ − D⊥

)K2

1

](D-12)

Parte dipendente dal potenziale

Considerando che il tensore di diffusione ha simmetria assiale, si ha che D− = 0 e quindi

F−(Ω) = 0. Inoltre, per come e definito il potenziale, si ha che:

JZ V = −∑n

εn∑m

Dn0 m(ΩD) JZDn

m 0(Ω) = 0 (D-13)

per cui anche FZ(Ω) = 0.

Dato che D+ = 2D⊥ si ha che la funzione dipendente dal potenziale e:

F (Ω) = −D⊥

4

[J+ V J− V −

(J+ J− + J− J+

)V]

(D-14)

Utilizzando le proprieta (G-10) degli operatori momento angolare si ha:

J+ V = −εnDn0 m(ΩD) J+Dn

m 0 = εn c+n, 0 ,Dn

0 m(ΩD)Dnm 1 (D-15)

J− V = −εnDn0 m(ΩD) J−Dn

m 0 = εn c−n, 0 ,Dn

0 m(ΩD)Dnm−1 (D-16)

dove si e fatto uso della notazione di Einstein per quanto riguarda le sommatorie in n e m

e si e omessa la dipendenza da Ω per alleggerire la notazione.

Ora si possono calcolare i tre addendi che compongono la F (Ω). Anche nelle formule che

seguono si utilizzera la notazione di Einstein per quanto riguarda le sommatorie negli indici

n, n′, m e m′:

J+ V J− V = εn εn′ c+n, 0 c

−n′, 0Dn

0 m(ΩD)Dn′0 m′(ΩD)Dn

m 1Dnm−1

= εn εn′ c+n, 0 c

−n′, 0Dn

0 m(ΩD)Dn′0 m′(ΩD)

∑j

[j] (−)m+m′ ×

×

n n′ j

m m′ −(m+m′)

n n′ j

1 −1 0

Dj0 m+m′

(D-17)

118

J+ J− V = εn c−n, 0Dn

0 m(ΩD) J+Dnm−1 = −εn c−n, 0 c

+n,−1Dn

0 m(ΩD)Dnm 0 (D-18)

J− J+ V = εn c+n, 0Dn

0 m(ΩD) J−Dnm 1 = −εn c+n, 0 c

−n, 1Dn

0 m(ΩD)Dnm 0 (D-19)

Le ultime due espressioni sono identiche perche c±n, 0 = c−n, 1 = c+n,−1.

Definendo εmn = εmn (ΩD) = εnDn0 m(ΩD), l’elemento di matrice e:

〈λ1 |F |λ2〉 = −D⊥

4

√[L1, L2]

8π2(−)M1−K1

[εmn ε

m′

n′ c+n, 0 c

−n′, 0

∑j

[j] ×

×(−)m+m′

n n′ j

m m′ −(m+m′)

n n′ j

1 −1 0

××〈DL1

−M1−K1Dj

m+m′ 0DL2M2 K2

〉+

+ 2εmn c+ 2n, 0 〈DL1

−M1−K1Dn

m 0DL2M2 K2

〉]

=

= −D⊥

4

√[L1, L2](−)M1−K1

εmn εm′

n′ c+n, 0 c

−n′, 0

∑j

[j] ×

×(−)m+m′

n n′ j

m m′ −(m+m′)

n n′ j

1 −1 0

××

L1 j L2

−M1 m+m′ M2

L1 j L2

−K1 0 K2

+

+ 2εmn c+ 2n, 0

L1 n L2

−M1 m M2

L1 n L2

−K1 0 K2

(D-20)

che e piu facile implementare se si riscrive come:

〈λ1 |F |λ2〉 = −D⊥

4

√[L1, L2](−)M1−K1δK1, K2

∑µ=M1−M2

∑j

Fµ j ×

×

L1 j L2

−M1 µ M2

L1 j L2

−K1 0 K2

(D-21)

dove Fµ j = aµ j + bµ j e

aµ j = [j]∑

m+m′=µ

∑n,n′

(−)µεmn εm′

n′ c+n, 0 c

−n, 1

n n′ j

m m′ −µ

n n′ j

−1 1 0

(D-22)

bµ j = 2 εµj c+ 2j, 0 (D-23)

119

II - Modello a due corpi

Nel modello a due corpi le coordinate stocastiche sono Ω, l’angolo che trasforma dal sistema

di riferimento della proteina a quello del nitrossido, e ΩP , l’angolo che trasforma dal sistema

inerziale di laboratorio a quello della proteina. Entrambi i tensori di diffusione P D e ND

hanno simmetria assiale ed e stato definito un potenziale di interazione di tipo rombico:

V (Ω) = −∑

n=−2,0,2

εnD20 n(Ω) (D-24)

dove εn = ε−n affinche il potenziale risulti reale.

Con la scelta del processo stocastico X = (Ω, ΩP ), l’operatore diffusivo diviene:

Γ = P−1/2eq

N J

†(Ω) ND Peq

N J (Ω) +

+[P J (Ω) − P J (ΩP )

]†P D Peq

[P J (Ω) − P J (ΩP )

]P−1/2

eq

(D-25)

dove F J(Ω) indica l’operatore momento angolare definito nel sistema di riferimento F e

agente sul set di angoli di Eulero Ω.

Parte indipendente dal potenziale

La parte che non dipende dal potenziale dell’operatore diffusivo e scrivibile come somma

di quattro addendi le cui espressioni si ricavano facilmente, ponendo eguale all’unita la

distribuzione di equilibrio:

J = J1 + J2 + J3 + J4 (D-26)

dove:

J1 = ND⊥N J

2(Ω) +

(ND‖ − ND⊥

)N J2

Z (Ω) (D-27)

J2 = PD⊥P J

2(Ω) +

(PD‖ − PD⊥

)P J2

Z (Ω) (D-28)

J3 = PD⊥P J

2(ΩP ) +

(PD‖ − PD⊥

)P J2

Z (ΩP ) (D-29)

120

J4 = −2

1

2PD⊥

[P J+ (Ω) P J− (ΩP ) + P J− (Ω) P J+ (ΩP )

]+

+ PD‖P JZ (Ω) P JZ (ΩP )

(D-30)

Per calcolare gli elementi di matrice basta tener conto delle proprieta (G-9) e (G-10):

〈λ1 | J1 |λ2〉 = δΛP1 , ΛP

2

√[L1, L2]

8π2

[ND⊥ 〈DL1 ∗

M1 K1|N J2 | DL2

M2 K2〉+

+(

ND‖ − ND⊥)〈DL1 ∗

M1 K1|N J2

Z | DL2M2 K2

〉]

=

= δλ1, λ2

[ND⊥ L1 (L1 + 1) +

(ND‖ − ND⊥

)K2

1

](D-31)

〈λ1 | J2 |λ2〉 = δΛP1 , ΛP

2

√[L1, L2]

8π2

[PD⊥ 〈DL1 ∗

M1 K1| P J2 | DL2

M2 K2〉+

+(

PD‖ − PD⊥)〈DL1 ∗

M1 K1| P J2

Z | DL2M2 K2

〉]

=

= δλ1, λ2

[PD⊥ L1 (L1 + 1) +

(PD‖ − PD⊥

) (m+1 −m−

1 )2

4

](D-32)

〈λ1 | J3 |λ2〉 = δΛ1, Λ2

√[LP

1 , LP2 ]

8π2

[PD⊥ 〈D

LP1 ∗

MP1 KP

1| P J2 | DLP

2

MP2 KP

2〉+

+(

PD‖ − PD⊥)〈DLP

1 ∗MP

1 KP1| P J2

Z | DLP

2

MP2 KP

2〉]

=

= δλ1, λ2

[PD⊥ L

P1

(LP

1 + 1)

+(

PD‖ − PD⊥) (m+

1 +m−1 )2

4

](D-33)

〈λ1 | J4 |λ2〉 = −

√[L1, L2, LP

1 , LP2 ]

8π2

[PD⊥

(〈DL1 ∗

M1 K1| P J+ | DL2

M2 K2〉×

× 〈DLP1 ∗

MP1 KP

1| P J− | D

LP2

MP2 KP

2〉 + 〈DL1 ∗

M1 K1| P J− | DL2

M2 K2〉×

× 〈DLP1 ∗

MP1 KP

1| P J+ | D

LP2

MP2 KP

2〉)

+ 2 PD‖×

×〈DL1 ∗M1 K1

| P JZ | DL2M2 K2

〉〈DLP1 ∗

MP1 KP

1| P JZ | D

LP2

MP2 KP

2〉]

=

(D-34)

121

= −

√[L1, L2, LP

1 , LP2 ]

8π2

[PD⊥

(〈DL1 ∗

M1 K1DL2

M2−1 K2〉×

× 〈DLP1 ∗

MP1 KP

1DLP

2

MP2 KP

2 −1〉 + 〈DL1 ∗

M1 K1DL2

M2+1 K2〉×

× 〈DLP1 ∗

MP1 KP

1DLP

2

MP2 KP

2 +1〉)

+ 2 PD‖×

×〈DL1 ∗M1 K1

DL2M2 K2

〉〈DLP1 ∗

MP1 KP

1DLP

2

MP2 KP

2〉]

=

= −δL1, L2 δK1, K2 δLP1 , LP

2δMP

1 , MP2δm−

1 , m−2×

×[

PD⊥

(δm+

1 , m+2 −2 c

−L1 , (m+

1 −m−1 )/2+ 1

c−LP

1 , (m+1 + m−

1 )/2+ 1+

+ δm+1 , m+

2 +2 c+L1 , (m+

1 −m−1 )/2− 1

c+LP

1 , (m+1 + m−

1 )/2− 1

)+

+ 2 PD‖ δm+1 , m+

2

m+ 21 − m− 2

1

4

]

dove si e utilizzato |λ〉 = |Λ, ΛP 〉 per indicare rispettivamente le funzioni di base dipendenti

dall’angolo Ω da quelle dipendenti da ΩP . Nelle quattro equazioni precedenti sono stati

omessi gli angoli di Eulero su cui agiscono i vari operatori momento angolare.

Parte dipendente dal potenziale

Anche per quanto riguarda il modello a due corpi, essendo tutti i tensori di diffusione assiali,

si ha F−(Ω) = 0. Se si applica la (D-3) si vede subito che gli operatori J3 e J4 non

contribuiscono alla formulazione di F (Ω) perche essi agiscono su ΩP , o comunque sono

proporzionali ad operatori che agiscono su quel set di angoli di Eulero, mentre il potenziale

e definito solo in funzione di Ω, per cui f (Ω, ΩP )∂ P 1/2

eq (Ω)

∂ΩP

= 0. Si ottiene allora la

seguente forma per F (Ω):

F (Ω) = NF⊥(Ω) + NF‖(Ω) + PF⊥(Ω) (D-35)

con:

NF⊥(Ω) = −ND⊥

4

[N J+ V

N J− V −(

N J+N J− + N J−

N J+

)V]

(D-36)

NF‖(Ω) = −ND‖

4

[(N JZ V

)2− 2 N J2

Z V]

(D-37)

122

PF⊥(Ω) = −PD⊥

4

[P J+ V

P J− V −(

P J+P J− + P J−

P J+

)V]

(D-38)

dato che tutti gli operatori agiscono su Ω e il potenziale e V (Ω), la dipendenza da tale

set di angoli di Eulero verra omessa da qui in avanti. Non appare la PF‖ per il fatto che il

potenziale e indipendente dall’angolo α.

Utilizzando la (D-6) si possono scrivere le espressioni esplicite per i tre addendi della (D-35).

Per NF⊥ si ha:

N J+ V = −∑n

εnN J+D2

0 n =∑n

εn c+2, nD2

0 n+1 (D-39)

N J− V = −∑n

εnN J−D2

0 n =∑n

εn c−2, nD2

0 n−1 (D-40)

da cui:

N J+ VN J− V =

∑n, n′

εn εn′ c+2, n c

−2, n′ D2

0 nD20 n′ =

=∑n, n′

εn εn′ c+2, n c

−2, n′

∑j

[j] ×

×

2 2 j

0 0 0

2 2 j

n+ 1 n′ − 1 −(n+ n′)

Dj0 n+n′

(D-41)

N J−N J+ V =

∑n

εn c+2, n

N J−D20 n+1 = −

∑n

εn c+2, n c

−2, n+1D2

0 n (D-42)

N J+N J− V =

∑n

εn c−2, n

N J+D20 n−1 = −

∑n

εn c−2, n c

+2, n−1D2

0 n (D-43)

Nella equazione (D-41) non si e moltiplicato per (−)n+n′ nell’ultima eguaglianza perche n e

n′ assumono solo valori pari o zero.

Per NF‖ si ha:

N JZ = −∑n

εnN JZ D2

0 n =∑n

εn nD20 n (D-44)

da cui:(N JZ V

)2=∑n, n′

εn εn′ nn′D2

0 nD20 n′ =

=∑n, n′

εn εn′ nn′∑

j

[j]

2 2 j

0 0 0

2 2 j

n n′ −(n+ n′)

Dj0 n+n′

(D-45)

123

N J2Z V =

∑n

εn nN JZ D2

0 n = −∑n

εn n2D2

0 n (D-46)

Infine, per P F⊥:

P J+ V = −∑n

εnP J+D2

0 n =√

6∑n

εnD2−1 n (D-47)

P J− V = −∑n

εnP J−D2

0 n =√

6∑n

εnD21 n (D-48)

da cui:

P J+ VP J− V = 6

∑n, n′

εn εn′ D2−1 nD2

1 n′ =

= 6∑n, n′

εn εn′∑j

[j] ×

×

2 2 j

−1 1 0

2 2 j

n n′ −(n+ n′)

Dj0 n+n′

(D-49)

P J−P J+ V =

√6∑n

εnP J−D2

−1 n = −6∑n

εnD20 n (D-50)

P J+P J− V =

√6∑n

εnP J+D2

1 n = −6∑n

εnD20 n (D-51)

Gli elementi di matrice 〈λ1 |F (Ω) |λ2〉 sono:

〈λ1 |NF⊥ |λ2〉 = −δΛP1 , ΛP

2

ND⊥

4

√[L1, L2]

8π2×

×[∑

j

[j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′ c+2, n c

−2, n′ ×

×

2 2 j

n+ 1 n′ − 1 −k

〈DL1 ∗M1 K1

Dj0 n+n′ D

L2M2 K2

〉+

+∑n

εn(c+2, n c

−2, n+1 + c−2, n c

+2, n−1

)〈DL1 ∗

M1 K1Dj

0 nDL2M2 K2

〉]

(D-52)

〈λ1 |NF‖ |λ2〉 = −δΛP1 , ΛP

2

ND‖

4

√[L1, L2]

8π2×

×

∑j

[j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′ nn′×

×

2 2 j

n n′ −k

〈DL1 ∗M1 K1

Dj0 n+n′ D

L2M2 K2

〉+

+ 2∑n

εn n2 〈DL1 ∗

M1 K1Dj

0 nDL2M2 K2

〉]

(D-53)

124

〈λ1 | PF⊥ |λ2〉 = −δΛP1 , ΛP

2

PD⊥

4

√[L1, L2]

8π2×

×

6∑j

[j]

2 2 j

−1 1 0

∑n+n′=k

εn εn′ ×

×

2 2 j

n n′ −k

〈DL1 ∗M1 K1

Dj0 n+n′ D

L2M2 K2

〉+

+ 12∑n

εn 〈DL1 ∗M1 K1

Dj0 nDL2

M2 K2〉]

(D-54)

Risolvendo gil integrali a tre matrici di Wigner e riarrangiando si puo scrivere che:

〈λ1 |F (Ω) |λ2〉 = δLP1 , LP

2δMP

1 , MP2δm+

1 , m+2δm−

1 , m−2

(−)M1−K1

√[L1, L2]×

×∑j

∑k=K1−K2

(NF j,k

⊥ + NF j,k‖ + PF j,k

⊥

)×

×

L1 j L2

−M1 0 M2

L1 j L2

−K1 k K2

(D-55)

in cui F j,k = aj,k + bj,k, e:

Naj,k⊥ = [j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′ c+2, n c

+2, n′

2 2 j

n+ 1 n′ − 1 −k

(D-56)

Nbj,k⊥ = δj, 2 εk(c+2, k c

−2 k+1 + c−2, k c

+2 k−1

)(D-57)

Naj,k‖ = [j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′ nn′ +

2 2 j

n n′ −k

(D-58)

Nbj,k‖ = δj, 2 2 εk k2 (D-59)

e

Paj,k⊥ = 6 [j]

2 2 j

0 0 0

∑n+n′=k

εn εn′

2 2 j

n n′ −k

(D-60)

P bj,k⊥ = δj, 2 12 εk (D-61)

125

III - Modello di biradicali

Nell’implementazione del modello di biradicali si e scelto di non tener conto di un poten-

ziale orientante, mentre si permette al tensore di diffusione di essere caratterizzato da tre

differenti, in generale, valori principali. L’operatore diffusivo e quindi:

Γ =D−

4

(J2

+ + J2−

)+D+

4

(J+ J− + J− J+

)+ DZ J

2Z =

= J+ + J− + JZ

(D-62)

i cui elementi di matrice 〈λ1 | Γ |λ2〉 sono:

〈λ1 | J− |λ2〉 =D−

4

√[L1, L2]

8π2

(〈DL1 ∗

M1 K1| J2

+ | DL2M2 K2

〉+

+ 〈DL1 ∗M1 K1

| J2− | D

L2M2 K2

〉)

=

= δL1, L2δM1, M2

D−

4

(δK1, K2+2 c

+L2, K2

c+L2, K2+1 +

+ δK1, K2−2 c−L2, K2

c−L2, K2−1

)

(D-63)

〈λ1 | J+ |λ2〉 =D+

4

√[L1, L2]

8π2

(〈DL1 ∗

M1 K1| J+ J− | DL2

M2 K2〉+

+ 〈DL1 ∗M1 K1

| J− J+ | DL2M2 K2

〉)

=

= δλ1, λ2

D+

4

(c−L2, K2

c+L2, K2−1 + c+L2, K2c−L2, K2+1

)(D-64)

〈λ1 | JZ |λ2〉 =DZ

4

√[L1, L2]

8π2〈DL1 ∗

M1 K1| J2

Z | DL2M2 K2

〉 =

= δλ1, λ2 DZ K22

(D-65)

126

Appendice E - Elementi magnetici di matrice ridotti

Di seguito sono dati gli elementi matrice ridotti di spin per i tre tipi di interazione magnetica

che sono stati presi in cosiderazione nello sviluppo dei modelli:

− effetto Zeeman elettronico:

〈〈σi1 σ

j1 |A

(l, m) ×gi, LF |σi

2 σj2〉〉 = δσj

1, σj2δ∆pi, m δ∆pI

i , 0 δ∆qIi , 0 δ|∆qS

i |, |∆pSi |×

×(−)m [l]12

1 1 l

∆pi 0 −∆pi

Sgi

(E-1)

con ∆pi = ∆pSi + ∆pI

i e

Sgi=

pS

1,i ∆pi = 0

−∆qSi

2∆pi 6= 0

(E-2)

− interazione iperfine:

〈〈σi1 σ

j1 |A

(l, m) ×Ai, LF |σi

2 σj2〉〉 = δσj

1, σj2δ∆pi, m δ|∆pI

i |, |∆qIi |δ|∆pS

i |, |∆qSi |×

× δ∆pIi ∆pS

i , ∆qIi ∆qS

i(−)m [l]

12 ×

×

1 1 l

∆pSi ∆pI

i −∆pi

SAi

(E-3)

con:

SAi=

pS1,i q

I1,i + pS

1,i qI1,i

2∆pS

i = ∆pIi = 0

−pS

1,i ∆pIi + qS

1,i ∆qIi√

8KI, i ∆pS

i = 0 ∆pIi 6= 0

−pI

1,i ∆pSi + qI

1,i ∆qSi√

8∆pS

i 6= 0 ∆pIi = 0

∆pSi ∆qI

i

2KI, i ∆pS

i 6= 0 ∆pIi 6= 0

(E-4)

e KI, i =

√Ii(Ii + 1)−

(qI1,i ∆q

Ii + pI

1,i ∆pIi )(q

I1,i ∆q

Ii + pI

1,i ∆pIi − 2)

4

127

− scambio e interazione dipolare:

In entrambe le interazioni l’operatore tensoriale e dato dalla contrazione:

S(1)i ⊗ S

(1)j (E-5)

per cui, intendendo con ν J o D in quanto segue:

〈〈σi1 σ

j1 |A

(l, m) ×ν, LF |σi

2 σj2〉〉 = δ∆pI

i , 0 δ∆qIi , 0 δ∆pI

j , 0 δ∆qIj , 0 δ∆g, m×

×δ|∆pSi |, |∆qS

i |δ|∆pS

j |, |∆qSj |δ∆pS

i ∆pSj , ∆qS

i ∆qSj×

×(−)m [l]12

1 1 l

∆pSi ∆pS

j −∆g

Sν

(E-6)

in cui ∆g = ∆pSi + ∆pS

j ed e definita:

Sν =

pS1,i q

S1,j + pS

1,j qS1,i

2∆pS

i = ∆pSj = 0

−pS

1,i ∆pSj + qS

1,i ∆qSj√

8∆pS

i = 0 ∆pSj 6= 0

−pS

1,j ∆pSi + qS

1,j ∆qSi√

8∆pS

i 6= 0 ∆pSj = 0

∆pSi ∆qS

j

2∆pS

i 6= 0 ∆pSj 6= 0

(E-7)

128

Appendice F - Trasformazione di coordinate

La trasformazione di variabili che si deve eseguire e la seguente:

X =

ΩN

ΩP

−→ Y =

Ω

ΩP

(F-1)

L’operatore diffusivo puo essere scritto nei due identici modi:

Γ = ∇trX AX Peq ∇X P−1

eq = ∇trY AY Peq ∇Y P−1

eq (F-2)

Dove si conoscono gia:

∇X =

N J (ΩN )

P J (ΩP )

e AX =

ND 0

0 P D

(F-3)

Si puo dimostrare facilmente che in una trasformazione di variabili si ha:

∇X = Str ∇Y (F-4)

dove S e una matrice che contiene le derivate parziali ∂yi / ∂xi. In questo caso:

S =

∂Ω

∂ΩN

∂Ω

∂ΩP

Etr

∂ΩP

∂ΩN

∂ΩP

∂ΩP

(F-5)

in cui E = E(Ω) e una matrice di Eulero che trasforma le componenti vettoriali da NF a

PF. Si noti che E N J (Ω) = P J (Ω).

Ricordando che Ω = ΩN − ΩP , si puo scrivere:

S =

1 −Etr

0 1

(F-6)

Sostituendo si ottiene:

Γ = ∇trX AX Peq ∇X P−1

eq =[Str ∇Y

]trAX Peq

[Str ∇Y

]P−1

eq =

= ∇trY S AX Str Peq ∇Y P−1

eq = ∇trY AY Peq ∇Y P−1

eq

(F-7)

Quindi per effettuare la trasformazione basta calcolare:

AY = S AX Str =

ND + Etr P D E −Etr P D

P D E P D

(F-8)

129

Appendice G - Proprieta delle matrici di Wigner

In questa appendice vengono elencate alcune importanti proprieta delle matrici di Wigner

che sono state utili a sviluppare i modelli teorici.

Definizione:

una matrice di Wigner dipende da un set di angoli di Eulero Ω ed ha la forma generale:

DLM K (Ω) = e− i M α dL

M, K (β) e− i K γ (G-1)

dove dLM, K (β) e una matrice ridotta di Wigner calcolabile secondo la formula [54]:

dLM K(β) =

∑h

(−)h [(L+M)! (L−M)! (L+K)! (L−K)! ]1/2

(L+M − h)! (L−K − h)!h! (h+K −M)!×

× (cos β/2)2L+M−K−2h(sin β/2)2h+K−M

(G-2)

dove la sommatoria corre su tutti quei valori di h per i quali i fattoriali sono non negativi.

Simmetria:

DL ∗M K (Ω) = (−)M −K DL

−M −K (Ω) = DLK M(−Ω) (G-3)

Prodotto:

DL1M1 K1

(Ω) DL2M2 K2

(Ω) =∑L3

[L3]

L1 L2 L3

M1 M2 M3

××

L1 L2 L3

K1 K2 K3

DL3 ∗M3 K3

(Ω)

(G-4)

dove L3 = |L1 − L2|, . . . , (L1 + L2), M3 = − (M1 + M2), K3 = − (K1 + K2) e [L3] =

2L3 + 1.

Prodotto interno:

tra due matrici di Wigner (omettendo la dipendenza da Ω):

∫dΩDL1 ∗

M1 K1DL2

M2 K2=

8π2

[L1]δL1, L2 δM1, M2 δK1, K2 (G-5)

tra tre matrici di Wigner:

∫dΩDL1

M1 K1DL2

M2 K2DL3

M3 K3= 8π2

L1 L2 L3

M1 M2 M3

L1 L2 L3

K1 K2 K3

(G-6)

130

Trasformazione per rotazione:

dato un tensore sferico irriducibile T (l, m)a espresso nel sistema di riferimento a, la sua espres-

sione in un sistema di riferimento b si ottiene dalla trasformazione:

T (l, m)a =

∑k

Dlm k (Ωa→b) T

(l, k)b (G-7)

dove Ωa→b indica il set di angoli di Eulero che trasforma da a a b. La trasformazione inversa

si ottiene semplicemente:

T(l, k)b =

∑m

Dl ∗m k (Ωb→a) T

(l, m)a (G-8)

Operatori momento angolare:

una matrice di Wigner dipendente da un set di angoli di Eulero Ω che mettono in relazione

due sistemi di riferimento a e b e autofunzione degli operatori momento angolare e proiezione

lungo l’asse z del momento angolare, definiti nei due sistemi di riferimento.

Per il sistema di riferimento a:aJ

2DLM K (Ω) = L (L + 1) DL

M K (Ω)

aJZ DLM K (Ω) = −M DL

M K (Ω)

aJ±DLM K (Ω) = − c∓L, M DL

M ∓ 1 K (Ω)

(G-9)

Per il sistema di riferimento b:bJ

2DLM K (Ω) = L (L + 1) DL

M K (Ω)

bJZ DLM K (Ω) = −K DL

M K (Ω)

bJ±DLM K (Ω) = − c±L, M DL

M K± 1 (Ω)

(G-10)

in cui c±L, M =√L (L + 1) − M (M ± 1). Nel testo, generalmente, i due sistemi di riferi-

mento a e b vengono detti, rispettivamente, sistema di laboratorio e sistema molecolare.

131

Appendice H - Trasformazione da tensori cartesiani a

sferici irriducibili

Un qualsiasi tensore cartesiano di rango uno, T (1), puo essere scritto in una base sferica

secondo la relazione:

T 1, 1

T 1, 0

T 1,−1

= U

TX

TY

TZ

con U =

− 1√2− i√

20

0 0 1

1√2

− i√2

0

(H-1)

In altro modo:

T (1,µ) =∑A

Uµ A TA con

µ = −1, 0, 1

A = X, Y, Z

(H-2)

Analogamente, le componenti di un tensore cartesiano di rango due, possono essere espresse

nella base sferica come segue:

TA B =∑µ, ν

U †µ A U

†ν B T

(1, µ) T (1, ν) (H-3)

Da cui si vede che il tensore di rango due e esprimibile come:

T (2) = T (0) ⊕ T (1) ⊕ T (2) (H-4)

dove ogni componente e data da:

T (j,m) =∑A, B

∑µ, ν

Uµ A Uν B 〈1µ, 1 ν | j m〉TA B

j = 0, 1, 2

−j ≤ m ≤ j

−1 ≤ µ, ν ≤ 1

A, B = X, Y, Z

(H-5)

132

Le componenti sferiche sono:

T (0, 0) = − 1√3

(TX X + TY Y + TZ Z)

T (1, 0) =i√2

(TX Y − TY X)

T (1,±1) =1

2[(TZ X − TX Z) ± i (TZ Y − TY Z)]

T (2, 0) =1√6

(2TZ Z − TX X − TY Y )

T (2,±1) = ∓1

2[(TZ X + TX Z) ± i (TZ Y + TY Z)]

T (2,±2) =1

2[(TX X − TY Y ) ± i (TX Y + TY X)]

(H-6)

Per un tensore simmetrico:

T (0, 0) = − 1√3

(TX X + TY Y + TZ Z)

T (1, 0) = 0

T (1,±1) = 0

T (2, 0) =1√6

(2TZ Z − TX X − TY Y )

T (2,±1) = ∓ (TX Z ± i TY Z)

T (2,±2) =TX X − TY Y

2± i TX Y

(H-7)

133

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rotazionali. Il rilassamento di spin indotto dall’accoppiamento degli spin alle coordinate

rotazionali tende quindi a rilassare gli spin a temperatura infinita, ma questo non e

un problema per quanto riguarda il calcolo della forma dello spettro in onda continua.

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