Universita degli Studi di Roma Tor VergataFacolta di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria ElettronicaAnno accademico 2012-13

Appunti dalle lezioni di Campi Elettromagnetici:Potenziali elettrodinamici e propagazione guidata

di P. Ferrazzoli

1

Capitolo 1

Proprieta generali

1.1 I potenziali elettrodinamici

Per la soluzione di alcuni problemi di elettromagnetismo, si utilizzano variabili ausiliarie, dette po-tenziali elettrodinamici. Si considerino le equazioni di Maxwell in regime armonico, in un mezzostazionario, omogeneo, lineare, isotropo. Supponiamo che siano presenti correnti impresse di tipoelettrico. Si ha:

∇× E = −jωµ◦H (1.1)

∇×H = jωεE + Ji (1.2)

∇ · E = ρ/ε (1.3)

∇ ·H = 0 (1.4)

Per effetto della 1.4, il campo H puo essere espresso come rotore di un campo vettorale, chechiameremo potenziale vettore A. Si ha quindi :

H = ∇×A (1.5)

Si ha allora, tenendo conto della 1.1:

∇× E = −jωµ◦∇×A (1.6)

In base alla 1.6, risulta che i campi vettoriali E e −jωµ◦A hanno uguale rotore. Per le proprietadegli operatori vettoriali, possono differire di un gradiente di funzione scalare:

E = −jωµ◦A−∇Φ (1.7)

Combinando la 1.7 con la 1.5, e tenendo conto della 1.2 si ha:

∇×∇×A = ∇∇ ·A−∇2A = jωε(−jωµ◦A−∇Φ) + Ji (1.8)

Da cui si ha:∇∇ ·A−∇2A = k2A− jωε∇Φ + Ji (1.9)

La 1.5 assegna il rotore di A. La divergenza puo essere assegnata dalla “condizione di Lorentz”:

∇ ·A = −jωεΦ (1.10)

2

Dalla 1.9 si ha allora:∇2A + k2A = −Ji (1.11)

Per risolvere la 1.11 occorre conoscere la distribuzione delle correnti impresse e le eventuali condizionial contorno. Si puo cosı ricavare il potenziale vettore magnetico A, e da questo il campo magneticoH utilizzando la 1.5. Il campo elettrico E puo essere ottenuto combinando le 1.7 e 1.10. Si ottiene:

E = −jωµ◦A +∇∇ ·Ajωε

(1.12)

Qualora siano presenti correnti impresse di tipo magnetico Jim , si puo procedere analogamenteal caso precedente, sfruttando il principio di dualita. Le equazioni di Maxwell avranno la seguenteforma:

∇× E = −jωµ◦H− Jim (1.13)

∇×H = jωεE (1.14)

∇ · E = 0 (1.15)

∇ ·H = ρm/µ◦ (1.16)

Ora e il campo elettrico ad avere divergenza nulla. Introducendo un potenziale vettore elettrico F,dovra essere soddisfatta la seguente equazione:

∇2F + k2F = −Jim (1.17)

Il campo elettrico potra essere ricavato dalla:

E = ∇× F (1.18)

Per il campo magnetico si avra:

H = −jωεF +∇∇ · Fjωµ◦

(1.19)

1.2 Applicazione alla propagazione guidata

Un’ applicazione fondamentale dei potenziali elettrodinamici e l’ analisi delle strutture guidanti. Sitratta di strutture rettilinee, che impongono alle onde elettromagnetiche di propagarsi nella stessa di-rezione in cui la struttura si sviluppa. Possono essere delimitate da materiale conduttore, o costituiteda materiale dielettrico che supporremo essere omogeneo. Scegliamo un sistema di riferimento conl’asse z parallelo alla direzione in cui si sviluppa la struttura, che e anche la direzione di propagazione.

Per una vasta categorie di strutture, i campi elettromagnetici possono avere una o piu delleseguenti forme:

• Campi TM: hanno nulla la componente longitudinale del campo magnetico: Hz = 0

• Campi TE: hanno nulla la componente longitudinale del campo elettrico: Ez = 0

• Campi TEM: hanno nulle le componenti longitudinale di ambedue i campi: Hz = 0 e Ez = 0

3

1.2.1 Campi TM

A distanza dalle sorgenti, si ha, per la 1.11:

∇2A + k2A = 0 (1.20)

Assumendo la direzione di propagazione parallela all’asse z si avra, nel caso TM:

Hz = 0 (1.21)

Per la 1.5:z◦ · (∇×A) = 0 (1.22)

Quindi: A = Azz◦.Il potenziale vettore magnetico sara longitudinale. Per l’uniformita assiale della struttura, si ipotizzaapplicabile la cosiddetta ipotesi di separabilita, che consiste nell’ esprimere il potenziale vettore comeil prodotto di due funzioni, una delle sole coordinate trasverse e l’ altra della sola z. Si ha quindi:

A = z◦ψ(x, y) · f(z) (1.23)

Anche l’ operatore∇ puo essere suddiviso tra componente trasversa (∇t) e componente longitudinale:

∇ = x◦δ

δx+ y◦

δ

δy+ z◦

δ

δz= ∇t + z◦

δ

δz(1.24)

∇2 = ∇2t +

δ2

δz2(1.25)

La 1.20 puo essere suddivisa in due equazioni, una nelle sole coordinate trasverse e l’ altra nellasola z. Quindi, ponendo k2 = k2t + β2 si avra :

∇2tψ + k2tψ = 0 (1.26)

δ2f(z)

δz2+ β2f(z) = 0 (1.27)

Assumendo di avere propagazione nel verso delle z positive, la soluzione della 1.27 sara:

f(z) = exp(−jβz) (1.28)

Da cui:δAzδz

= −jβAz (1.29)

δ2Azδz2

= −β2Az (1.30)

Per la 1.12

E = −jωµ◦Azz◦ +∇∇ · (Azz◦)

jωε(1.31)

Poiche:

∇ · (Azz◦) =δAzδz

(1.32)

4

tenendo conto della decomposizione 1.24, dalla 1.31 si ha:

E = −jωµ◦Azz◦ +1

jωε[∇t

δAzδz

+ z◦δ2Azδz2

] (1.33)

Eguagliamo separatamente le componenti longitudinali e trasverse della 1.33. Per le componentilongitudinali si ha:

Ez = Az[−β2

jωε− jω] =

Azk2t

jωε(1.34)

Quindi Az sara proporzionale ad Ez.Per le componenti trasverse si ha:

Et =−jβ∇tAz

jωε= −β∇tAz

ωε= −jβ

k2t∇tEz (1.35)

Inoltre, per la 1.5:

Ht = ∇t × (Azz◦) = ∇tAz × z◦ = −ωεβ

Et × z◦ =1

η

k

βz◦ × Et (1.36)

Dove

η =

õ

ε(1.37)

Il rapporto Et/Ht prende il nome di ”impedenza d’ onda” ZW . Per i campi TM si ha:

ZW =ηβ

k(1.38)

1.2.2 Campi TE

Per i campi TE si possono ottenere equazioni simili al caso predente dei TM, usando il principio didualita. A distanza dalle sorgenti, per il potenziale vettore elettrico, si ha:

∇2F + k2F = 0 (1.39)

Assumendo la direzione di propagazione parallela all’asse z si avra:

Ez = 0 (1.40)

z◦ · (∇× F) = 0 (1.41)

Quindi: F = Fzz◦. Il potenziale vettore elettrico sara longitudinale. Applicando ancora il principiodi separabilita e procedendo analogamente al caso TM, si ottiene:

F = z◦ψ(x, y) · f(z) (1.42)

Hz =Fzk

2t

jωµ◦(1.43)

Ht = −jβk2t∇tHz (1.44)

Inoltre:

Et = ∇t × (Fzz◦) = ∇tFz × z◦ = −ωµ◦

βHt × z◦ = η

k

βz◦ ×Ht (1.45)

Per i campi TE si ha:

ZW =ηk

β(1.46)

5

1.2.3 Campi TEM

Una soluzione di tipo TEM puo essere ottenuta da una soluzione di tipo TM, imponendo comeulteriore condizione che Ez = 0, oppure da una soluzione TE imponendo come ulteriore condizioneche Hz = 0. Seguendo la prima delle due scelte si ha che, in base alla 1.34, dovra essere kt = 0. Diconseguenza, si avra

β2 = k2 (1.47)

analogamente al caso di un’onda piana uniforme che si propaga nello spazio libero in un mezzo privodi perdite.Inoltre, dalla 1.26 con kt = 0 si ha:

∇2tψ = 0 (1.48)

La 2.84 prende il nome di equazione di Laplace. Se si riesce a trovare una funzione ψ(x, y) chesoddisfa tale equazione, i campi elettrico e magnetico trasversi saranno ottenibili dalle:

Et = −β∇tAzωε

= −η∇tAz (1.49)

Ht = ∇t × (Azz◦) = ∇tAz × z◦ =1

ηz◦ × Et (1.50)

Per i campi TEM si ha, analogamente al caso dello spazio libero:

ZW = η (1.51)

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Capitolo 2

Analisi delle strutture

Una struttura guidante rettilinea puo essere analizzata seguendo la seguente procedura.

• Basandosi sulla geometria nel piano trasverso (cioe la sezione), identificare i tipi di onde (TM,TE, TEM) che possono propagarsi.

• Per le onde TM e TE usare la 1.26, e le condizioni al contorno, per determinare la funzioneψ(x, y) e i valori di kt compatibili con la geometria della struttura.

• Per le onde TEM usare l’equazione di Laplace (2.84), e le condizioni al contorno, per determi-nare la funziona ψ(x, y) compatibile con la geometria della struttura.

• Il potenziale (Az o Fz) sara dato da ψ(x, y) exp(−jβz)

• Determinare le componenti dei campi usando le 1.34, 1.35 e 1.36 per le onde TM, le 1.43, 1.44e 1.45 per le onde TE, le 1.49 e 1.50 per le onde TEM.

Le strutture guidanti differiscono tra loro per la sezione. Questa determina i tipi di onde chepossono propagarsi e le condizioni al contorno. Sezioni tipiche sono mostrate in Fig. 2.1.

Esistono due categorie fondamentali.

1. Alcune strutture presentano almeno due conduttori paralleli separati. Possono propagarsi ondeTEM.

2. Altre strutture non presentano conduttori separati. Possono propagarsi solo onde TE e TM

2.1 La coppia coassiale

Una struttura molto diffusa e la coppia coassiale (detta anche, comunemente, cavo coassiale), costi-tuita da due conduttori i cui contorni sono circonferenze concentriche; i campi sono presenti nellospazio dielettrico tra di esse. La sezione e mostrata in Fig. 2.2.

Siano a1 e a2 i raggi interno ed esterno delle due circonferenze. Per evidenti ragioni di simmetria,e conveniente analizzare la struttura in un sistema di coordinate cilindriche (r, φ). L’equazione diLaplace assumera la forma:

∇2tψ =

1

r

δ

δr(rδψ

δr) +

1

r2δ2ψ

δφ2= 0 (2.1)

7

La simmetria della struttura suggerisce di cercare una soluzione ψ(r) indipendente da φ. Dovraquindi soddisfare la:

1

r

δ

δr(rδψ

δr) = 0 (2.2)

La soluzione e:ψ(r) = C1 ln r + C2 (2.3)

C1 e C2 sono costanti da determinare in base alle condizioni al contorno. Supponiamo:

• ψ = ψ◦ sul conduttore interno;

• ψ = 0 sul conduttore esterno;

Si avra:

ψ◦ = C1 ln a1 + C2 (2.4)

0 = C1 ln a2 + C2 (2.5)

Risolvendo per sostituzione:

C1 =ψ◦

ln (a1/a2)(2.6)

C2 = −C1 ln a2 (2.7)

Quindi:

ψ(r) = ψ◦ln (r/a2)

ln (a1/a2)(2.8)

Tenendo conto delle 1.49 e 1.50, i campi saranno:

E = −η∇tψ · exp(−jβz) = −r◦ηδψ

δr· exp(−jβz) =

ηψ◦

ln (a2/a1)

r◦r· exp(−jβz) (2.9)

8

H = ∇tψ · exp(−jβz)× z◦ =ψ◦

ln (a2/a1)

φ◦

r· exp(−jβz) (2.10)

Per r = a1, si avra una corrente superficiale:

Js = r◦ ×H =ψ◦

ln (a2/a1)

z◦

a1· exp(−jβz) (2.11)

La corrente che scorre nel conduttore interno, per z = 0, sara:

I(0) =∫ 2π

0Jsa1dφ =

ψ◦

a1 ln (a2/a1)

∫ 2π

0a1dφ = 2π

ψ◦

ln (a2/a1)(2.12)

Nel conduttore esterno scorre una corrente −I(0).Essendovi due conduttori paralleli, sara possibile definire una differenza di tensione tra i due. Per

z = 0, sara data da:

V (0) = −∫ a2

a1E(0) · dl = −

∫ a2

a1E(0) · r◦dr =

ηψ◦

ln (a2/a1)

∫ a2

a1

dr

r= ηψ◦ (2.13)

L’impedenza caratteristica sara data da:

ZC =V (0)

I(0)=η · ln (a2/a1)

2π(2.14)

Per una generica ascissa z si ha:

V (z) = V (0) exp(−jβz) (2.15)

I(z) = I(0) exp(−jβz) (2.16)

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L’espressione della potenza che transita nella struttura puo essere ottenuta sia a partire dai campiche dalle tensioni e correnti. Si ha:

P =1

2<[∫ a2

a1

∫ 2π

0(E×H∗) · z◦rdφdr] =

=η |ψ◦|2

2[ln (a2/a1)]22π∫ a2

a1

dr

r=

πη |ψ◦|2

ln (a2/a1)(2.17)

Ovvero:

P =1

2<[V I∗] =

|V◦|2

2ZC=

πη |ψ◦|2

ln (a2/a1)(2.18)

2.2 Guide d’onda metalliche

2.2.1 Aspetti generali

Nelle guide d’onda metalliche l’effetto guidante e ottenuto mediante un unico conduttore cavo (Fig.2.3).

Una tale struttura, avendo un unico conduttore metallico cavo, non puo supportare la propaga-zione di onde TEM. La struttura, come vedremo in alcuni casi notevoli, e invece compatibile con lapropagazione di onde TE e TM. Nel seguito, applicheremo la trattazione generale del Capitolo 1 alcaso di sezione rettangolare.

L’ equazione da cui partire e: ∇2tψ + k2tψ = 0

Per il caso TM, i campi si otterranno dalle 1.34 e 1.35-1.36. Le condizioni al contorno imporranno,sul conduttore: Ez = Az = 0. Quindi, per la 1.23, ψ = 0

10

Per il caso TE, i campi si otterranno dalle 1.42-1.45. Le condizioni al contorno imporranno, sulconduttore: n ·Ht = 0, e quindi n · ∇tψ = 0.

In ambedue i casi, le condizioni al contorno saranno soddisfatte per valori di kt discreti, dipendentidalla geometria della struttura e indipendenti dalla frequenza. Ad ogni valore di kt corrisponde unmodo, TE o TM, che sara identificato da una coppia di indici interi; il significato di tali indici elegato alla geometria della guida. Ogni modo avra una propria costante di propagazione, data da:

β =√k2 − k2t (2.19)

Perche il modo possa propagarsi, l’argomento dell’esponenziale 1.28 dovra essere immaginario (al-meno in assenza di perdite). Quindi β dovra essere reale. Dovra quindi essere:

k > kt (2.20)

f > fc =c

2πkt (2.21)

f e la frequenza e c = 1/√µε. Quindi un modo puo propagarsi solo se la frequenza e maggiore

del valore fc, detto cutoff. Il modo che ha la frequenza di cutoff piu bassa in una guida e dettofondamentale di quella guida. Come vedremo, il modo fondamentale e sempre un TE. In molteapplicazioni comuni, la guida e dimensionata facendo sı che si propaghi solo il modo fondamentale.La 2.19 indica anche che la costante di propagazione ha una dipendenza non lineare dalla frequenza.La guida d’onda metallica e pertanto un mezzo dispersivo, in cui velocita di fase e velocita di grupposono diverse tra loro e ambedue diverse da c. Si definisce lunghezza d’onda in guida:

λg =2π

β=

2π

k√

1− k2t /k2=

λ√1− f 2

c /f2

(2.22)

λ = 2π/k e la lunghezza d’onda che si avrebbe nello spazio libero alla stessa frequenza.

2.2.2 Guide d’onda rettangolari

Trattazione generale

Sia data (Fig. 2.4) una guida d’onda a sezione rettangolare. Siano a e b i lati del rettangolo. Sup-poniamo inizialmente, per semplicita, che la struttura sia riempita di dielettrico privo di perdite e lepareti abbiano conducibilita infinita. Come discusso precedentemente, la struttura non e compatibilecon la propagazione di modi TEM, mentre possono propagarsi modi TE e TM.

Iniziamo con l’analisi di modi TE. In base alla trattazione del Capitolo 1 dovremo risolvere la:

∇2tψ + k2tψ = 0 (2.23)

Dovremo poi avere, per le condizioni al contorno, n · ∇tψ = 0 sulle pareti.La 2.23, in coordinate cartesiane, avra espressione:

δ2hzδx2

+δ2hzδy2

+ k2t hz = 0 (2.24)

La geometria della struttura indica che le soluzioni soddisfano l’ipotesi di separabilita:

ψ(x, y) = f(x)g(y) (2.25)

11

Si avra allora, dividendo il primo membro della 2.24 per ψ:

1

f(x)

d2f

dx2+

1

g(y)

d2g

dy2+ k2t = 0 (2.26)

Poiche la 2.26 deve valere per ogni valore di x e y interni al rettangolo, dovra essere uguale ad unacostante ciascuno dei primi due termini della 2.26:

1

f(x)

d2f

dx2= −k2x (2.27)

1

g(y)

d2g

dy2= −k2y (2.28)

conk2x + k2y = k2t (2.29)

Quindi si ha:

d2f

dx2+k2xf(x) = 0 (2.30)

d2g

dy2+k2yg(y) = 0 (2.31)

Le soluzioni sono:

f(x) = A1 cos kxx+ A2 sin kxx (2.32)

g(y) = B1 cos kyy +B2 sin kyy (2.33)

Tenendo conto delle condizioni al contorno e della 1.44, dovra essere, sulle 4 pareti della guida:

n · ∇tψ = 0 (2.34)

12

Sulle pareti verticali:δψ

δx

∣∣∣∣∣x=0

=δψ

δx

∣∣∣∣∣x=a

= 0 (2.35)

Per la 2.32 si ha, per x = 0 e x = a:

−kxA1 sin kxx+ kxA2 cos kxx = 0 (2.36)

Ne segue:A2 = 0 (2.37)

sin kxa = 0 (2.38)

kx =nπ

a(2.39)

con n intero. Quindi:

f(x) = A1 cosnπx

a(2.40)

Sulle pareti orizzontali:δψ

δy

∣∣∣∣∣y=0

=δψ

δy

∣∣∣∣∣y=b

= 0 (2.41)

Procedendo come per le pareti verticali, si ottiene:

g(y) = B1 cosmπy

b(2.42)

ky =mπ

b(2.43)

con m intero. Ponendo A1 ·B1 = Cnm e combinando le 2.25,2.40 e 2.42 si ha:

ψ(x, y) = Cnm cosnπx

acos

mπy

b(2.44)

La coppia di indici n,m identifica un modo TE soluzione della 2.23. Il coefficiente di ampiezza Cnmdipendera dalla sorgente che alimenta la guida. Introducendo gli indici n,m anche nelle costanti kt,β e fc (che sono proprie del modo) si ha, per le 2.19, 2.21, 2.29, 2.39 e 2.43:

ktnm =

√(nπ

a

)2

+(mπ

b

)2

(2.45)

βnm =√k2 − k2tnm (2.46)

fcnm =c

2πktnm (2.47)

Il modo sara indicato con la notazione TEnm. Potra propagarsi solo se f > fcnm. Tenendo contodella trattazione del Capitolo 1, inclusi gli aspetti relativi al verso di propagazione, si ottengono leespressioni complete delle componenti dei campi. Si ha:

Hz =k2tnmjωµ◦

Cnm cosnπx

acos

mπy

bexp (∓jβnmz) (2.48)

Hx = ±βnmωµ◦

Cnmnπ

asin

nπx

acos

mπy

bexp (∓jβnmz) (2.49)

13

Hy = ±βnmωµ◦

Cnmmπ

bcos

nπx

asin

mπy

bexp (∓jβnmz) (2.50)

Ez = 0 (2.51)

Ex = jZWnmβnmωµ◦

Cnmmπ

bcos

nπx

asin

mπy

bexp (∓jβnmz) (2.52)

Ey = −jZWnmβnmωµ◦

Cnmnπ

asin

nπx

acos

mπy

bexp (∓jβnmz) (2.53)

(2.54)

con ZWnm = (k/βnm)η. Se f < fc, cioe se il modo e “sotto cutoff”, ZWnm sara immaginaria.La potenza trasportata da un modo TEnm e data da:

Pnm =1

2<[∫ a

0

∫ b

0(E×H∗) · z◦dydx] =

1

2<[∫ a

0

∫ b

0(ExH

∗y − EyH∗

x)dydx] (2.55)

Tenendo conto che, se il modo si propaga, ZWnm e reale, si avra:

Pnm =1

2ZWnm

∫ a

0

∫ b

0(HyH

∗y +HxH

∗x)dydx (2.56)

Sussistono le seguenti proprieta matematiche:∫ a

0

∫ b

0sin2 nπx

acos2

mπy

bdydx =

ab

NnNm∫ a

0

∫ b

0cos2

nπx

asin2 mπy

bdydx =

ab

NnNm

(2.57)

con:

• Nk = 1 se k = 0

• Nk = 2 se k > 0

Si ha allora:

Pnm = |Cnm|2ab

2NnNm

k2tnm(ωµ◦)2

ZWnm[(nπ

a)2 + (

mπ

b)2] = |Cnm|2

ab

2NnNm

(βnmktnm

)2ZWnm (2.58)

Supponiamo ora che si propaghino due modi, a cui corrispondono due coppie di indici interi, nmed rs, rispettivamente. I campi Hx e Hy saranno ottenuti sommando i contributi dei due modi. Lapotenza totale PTOT sara data da:

PTOT = Pnm + Prs + ∆Pnmrs (2.59)

∆Pnmrs e il contributo dei prodotti misti che si ottengono sviluppando le espressioni di HxH∗x e

HyH∗y . Si puo dimostrare che:

se n 6= r: ∫ a

0sin

nπx

asin

rπx

adx = 0 (2.60)

14

se m 6= s: ∫ b

0sin

mπy

bsin

sπy

bdy = 0 (2.61)

Ne consegue che ∆Pnmrs = 0.La potenza totale sara quindi data dalla somma delle potenze trasportate singolarmente dai due

modi. Si puo dimostrare che questo principio e estendibile a qualsiasi coppia di modi TE e/o TM inqualsiasi guida. Questo importante risultato prende il nome di principio di ortogonalita dei modi.

L’analisi precedentemente sviluppata e valida per i modi TE. Per i modi TM il procedimento eduale. Si avra ancora:

∇2tψ + k2tψ = 0 (2.62)

Le condizioni al contorno da imporre saranno: ψ = 0 per x = 0, x = a, y = 0, y = b. La soluzionesara:

ψ(x, y) = Cnm sinnπx

asin

mπy

b(2.63)

La forma della 2.63 impone che, a differenza del caso dei TE, dovranno essere contemporaneamente:n 6= 0, m 6= 0.

Saranno sempre valide le 2.45, 2.46, 2.47. La frequenza di cutoff del modo TM11 sara la piu bassatra quelle dei modi TM, ma piu alta di quella del TE10. Per qualunque coppia di indici n ed m, imodi TEnm e TMnm saranno “degeneri”: avranno la stessa frequenza di cutoff (data in ambedue icasi dalla 2.47) pur essendo diversi tra loro dal punto di vista degli andamenti dei campi E ed H.

Il modo fondamentale

Assume particolare interesse applicativo il modo fondamentale. Supponiamo che sia a > b. Per le2.45 - 2.47, il modo fondamentale sara il TE10, con:

kt10 =π

a(2.64)

β10 =

√k2 −

(π

a

)2

(2.65)

fc10 =c

2a(2.66)

Il secondo modo sara il TE20 se a > 2b, mentre sara il TE01 se a < 2b. A frequenze piu alte sipropagheranno ambedue i modi degeneri TE11 e TM11. Ponendo n = 1, m = 0 nelle 2.48-2.53 siavra:

Hz =k2t10jωµ◦

C10 cosπx

aexp (∓jβ10z) (2.67)

Hx = ± β10ωµ◦

C10π

asin

πx

aexp (∓jβ10z) (2.68)

Hy = 0 (2.69)

Ez = 0 (2.70)

Ex = 0 (2.71)

Ey = −jZW10β10ωµ◦

C10π

asin

πx

aexp (∓jβ10z) (2.72)

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I campi sono indipendenti dalla coordinata y. I campi Ey ed Hx hanno ampiezza massima perx = a/2, nulla sulle pareti verticali. Il campo Hz, invece, ha ampiezza massima sulle pareti verticali,nulla per x = a/2. La lunghezza d’onda in guida e data da:

λg =2π

β10=

2π√k2 − π2/a2

=λ√

1− [λ/(2a)]2(2.73)

L’impedenza d’onda sara:

ZW10 =k

β10· Z (2.74)

La potenza trasportata dal modo sara ottenibile dalla 2.58. Si avra:

P10 = |C10|2ab

4

k2t10(ωµ◦)2

ZW10 (2.75)

2.2.3 Guide d’onda circolari

Proprieta generali

Sia data (Figura 2.5) una guida d’ onda a sezione circolare di raggio a. Analogamente al caso delleguide rettangolari, analizziamo la struttura nell’ ipotesi semplificativa di assenza di perdite.

Anche nella guida circolare potranno propagarsi modi TE e TM. Iniziamo, in questo caso, daimodi TM, per i quali l’applicazione delle condizioni al contorno e piu semplice e diretta. Per evidentiragioni, il sistema di coordinate cilindriche (r, φ) e il piu adatto per trattare la presente struttura. Siha:

∇2tψ + k2tψ = 0 (2.76)

La condizione al contorno e: ψ = 0 per r = a. La seconda delle 2.76, in coordinate cilindriche, e:

δ2ψ

δr2+

1

r

δψ

δr+

1

r2δ2ψ

δφ2+ k2tψ = 0 (2.77)

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Applicando l’ipotesi di separabilita tra dipendenza da r e dipendenza da φ, si ha:

ψ(r, φ) = f(r) · g(φ) (2.78)

Dividendo la 2.77 per ψ , tenendo conto della 2.78, si ha:

1

f

d2f

dr2+

1

rf

df

dr+

1

r2g

d2g

dφ2+ k2t = 0 (2.79)

Moltiplicando per r2 e raggruppando opportunamente:

r2

f

d2f

dr2+r

f

df

dr+ r2k2t = −1

g

d2g

dφ2(2.80)

Il primo membro della 2.80 e funzione della sola r. Il secondo membro e funzione della sola φ.L’uguaglianza deve valere per qualsiasi valore di r e φ. Pertanto, ambedue i membri devono essereuguali a una costante, che chiameremo ν2. Dalla 2.80 si ottiene allora la coppia di equazioni:

r2

f[d2f

dr2+

1

r

df

dr+ (k2t −

ν2

r2)f ] = 0

d2g

dφ2+ ν2g = 0 (2.81)

Per motivi legati alla geometria della struttura, la g(φ) deve essere periodica di periodo 2π. Per leproprieta delle equazioni differenziali, cio comporta che ν sia intero. Chiamando tale intero con n,la soluzione della seconda delle 2.81 e:

g(φ) = A1 cosnφ+ A2 sinnφ (2.82)

A1 e A2 sono costanti. La prima delle 2.81, con ν = n, e l’ equazione di Bessel di ordine n. Lesoluzioni sono:

• Jn(ktr) (Funzione di Bessel di prima specie di ordine n)

• Yn(ktr) (Funzione di Bessel di seconda specie di ordine n).

La soluzione matematica Yn(ktr) e da scartare, in quanto presenta una singolarita per r = 0, il chenon e fisicamente ammissibile. La soluzione della 2.77 sara pertanto:

ψ(r, φ) = (A1 cosnφ+ A2 sinnφ)Jn(ktr) (2.83)

in cui le costanti A1 e A2 determinano l’ ampiezza del modo e l’ orientazione degli assi di simmetriadelle distribuzioni di campo. A1 e A2 dipendono dalle proprieta della sorgente del modo. Inoltre,per la condizione al contorno (ψ = 0 per r = a):

Jn(kta) = 0 (2.84)

Quindi:

kt =pnma

(2.85)

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dove pnm e lo zero di ordine m della funzione di Bessel di ordine n. La coppia di indici interi n e midentifica il modo TM . Si avra, inoltre:

βnm =√k2 − k2tnm =

√k2 − p2nm

a2

fcnm =c

2πktnm

ZWnm =βnmkZ (2.86)

Per i modi TE, si risolve sempre la:

∇2tψ + k2tψ = 0 (2.87)

Dal punto di vista matematico la trattazione e del tutto simile a quella dei modi TM. Si ottiene:

ψ(r, φ) = (B1 cosnφ+B2 sinnφ)Jn(ktr) (2.88)

La condizione al contorno, in questo caso, impone che per r = a sia:

n · ∇tψ = 0 (2.89)

(per r = a). Quindi:dJn(ktr)

dr

∣∣∣∣∣r=a

= 0 (2.90)

kt =p′nm

a(2.91)

p′nm e il massimo (o minimo) di ordine m della funzione di Bessel di ordine n. Gli andamenti delle

prime due funzioni di Bessel sono mostrati in Figura 2.6.I primi valori piu bassi di pnm e p

′nm sono mostrati nella tabella 3.1:

pnm p′nm

m = 1 m = 2 m = 3 m = 1 m = 2 m = 3n n0 2.40 5.52 8.65 0 3.83 7.02 10.171 3.83 7.02 10.17 1 1.84 5.33 8.542 5.13 8.42 11.62 2 3.05 6.71 9.97

Tabella 3.1

Si osserva che, poiche dJ0/dx = −J1(x), p1m = p′0m . Pertanto i modi TE0m e TM1m sono degeneri.

Tenendo conto delle 2.85, 2.86, 2.91 il modo fondamentale risulta essere il TE11; successivamente siha il TM01.

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Il modo fondamentale

Analizziamo ora piu in dettaglio il modo fondamentale TE11. Partiamo dalla 2.88 supponendo,temporaneamente, di avere B2 = 0 . Si ha:

Hz =k2t11jωµ◦

B1 cosφJ1(p′11r

a) exp (∓jβ11z)

Ht = −jβ11k2c11∇tHz = ± β11

ωµ◦B1[−

jβ11k2c11

p′11

aJ

′

1(p′11r

a) cosφr◦ +

jβ11rk2c11

J1(p′11r

a) sinφφ◦] exp (∓jβ11z)

Et = −ZW11z◦ ×Ht (2.92)

con

ZW11 =k

β11η (2.93)

Hr ed Eφ si annullano per r = a. Alle 2.92 corrispondono le linee di flusso dei campi Et (lineacontinua) ed Ht (linea tratteggiata) mostrate in Figura 2.7.

Le linee di flusso del campo Et hanno asse di simmetria parallelo all’asse x come conseguenzadella scelta B2 = 0. Scegliendo B1 = 0 l’asse di simmetria sara parallelo all’asse y. In generale,l’orientazione dell’asse di simmetria dipendera dal rapporto B2/B1 . Qualora fosse B2 = ±jB1

l’ intera configurazione di campo disegnata in Figura 2.7 ruoterebbe intorno all’ asse della guidacon una velocita angolare uguale alla pulsazione dell’ onda. La corrispondente polarizzazione di Et

sarebbe allora circolare sull’ asse della guida, lineare sulle pareti (normale ad esse), ellittica nellezone intermedie. Uno schema di questa polarizzazione e mostrato in Figura 2.8.

2.3 Guide d’onda terminate

Supponiamo, per semplicita, che si propaghi il solo modo fondamentale, e che la guida non siaillimitata, ma chiusa su un carico. Il carico puo rappresentare un’antenna o un altro dispositivo

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a microonde. Chiamiamo C+nm il coefficiente di ampiezza associato al modo che si propaga dalla

guida verso il carico (sara, per esempio, un TE10 in guida rettangolare o un TE11 in guida circolare).All’interfaccia tra guida e carico saranno in genere presenti riflessioni, per cui lo stesso modo sipropaghera anche dal carico verso la guida con coefficiente d’ampiezza C−

nm. (Essendo il caricopassivo, dovra essere |C−

nm| ≤ |C+nm|). Il rapporto C−

nm/C+nm puo essere trattato in modo analogo

al rapporto V −/V + che si ha su una classica linea di trasmissione terminata. Si puo definire ilcoefficiente di riflessione in tensione, dato da:

ΓV L =C−nm

C+nm

(2.94)

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