Unità di misura naturali massamomentoenergiaGeV Fattori di conversione esempio Utile per...

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  • Unit di misura naturali massamomentoenergiaGeV Fattori di conversione esempio Utile per passare dalla larghezza di una particella o risnanza alla vita media Utile per esprimere le sezioni durto in cm
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  • quadrivettore esempi Notazioni relativistiche Tensore metrico Prodotto scalare Gradiente
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  • ELETTROMAGNETISMO e NOTAZIONI RELATIVISTICHE le equazioni di Maxwell le equazioni di Maxwell carica e corrente di una particella puntiforme carica e corrente di una particella puntiforme carica e corrente di n particelle puntiformi quadrivettori eletromagnetismo
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  • Lagrangiane classiche Lagrangiana della meccanica classica: energia cinetica energia potenziale Un esempio: Lagrangiana dellelettromagnetismo Intensit dei campi in funzione dei potenziali
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  • Quadrivettori Tensore antisimmetrico Lagrangian density dellelettromagnetismo,formalismo relativistico simbolo di Levi Civita, adimensionale
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  • ANTISYMMETRIC TENSOR The two non homogeneos Maxwell equations, which are driven by the current and charge densities take a simple form. The current conservation is contained in this formula and is a direct consequence of the antisymmetry of F and of the commutativity of and.
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  • Lelettrone rappresentato da l campo fermionico Elettrodinamica quantistica: La Lagrangiana contiene la interazione fondamentale: Il ruolo delle Lagrangiane, nella fisica delle particelle La energia potenziale nella Lagrangiana definisce la teoria. Essa infatti specifica le forze in gioco. (Interaction Lagrangian ) il fotone il quanto del campo ed rappresentato dal potenziale vettore
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  • Lagrangiana di un campo scalare reale (massa m, spin 0) la sua Lagrangiana Si puo dimostrare che la : Si pu anche dimostrare che soddisfa leq. delle onde Ogni campo che descrive una particella di massa m deve soddisfare questa relazione E un campo libero, quindi senza energia potenziale, o termine di interazione 1930 Klein e Gordon (KG) hanno ottenuto questa equazione sostituendo gli operatori nellequazione
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  • Hamiltoniana associata con unaLagrangiana energia Esempio: costruiamo un campo scalare normalizzato ad un singolo quanto di energia definita e momento Sostituendo nellequazione dellenergia Per un singolo quanto con energia
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  • In una teoria quantistica dobbiamo parlare di creazione e distruzione di particelle: Stato con particelle, tutte con energia e momento allo stesso isrante campo Passando da campo ad operatore crea i quanti associati al campo li distrugge Operatori creazione edistruzione Da ricordare: OGNI CAMPO QUANTISTICO PUO CREARE O DISTRUGGERE PARTICELLE. QUANDO LO FA,CE UN FATTORE ASSOCIATO CHE E LA FUNZIONE DONDA della PARTICELLA scritto in questo modo facilita le cose scritto in questo modo facilita le cose coefficiente operatore distruzione
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  • ATTENZIONE Questo stato un approcio euristico al problema della quantizzazione di un campo scalare Abbiamo solo visto che deve avere una certa forma e pu essere interpretato in termini di creazione e distruzione di particelle con spin = 0, (scalare) con fattori che sono la funzione d onda In una trattazione completa avremmo dovuto procedere alla quantizzazione del campo sclare, cos come si fa con il campo elettromagnetico (vettoriale), che porta all interpretazione del fotone come il quanto del campo elettromagnetico, che coincide con A.
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  • Equazione di Schroedinger Densit di probabilit Densit di corrente Si ottiene Particella libera Sorgenti e correnti in una teoria quantistica non relativistica: un esercizio Moltiplichiamo questa equazione per Moltiplichiamo la complessa coniugata di questa equazione per e sommiamo. Definiamo adesso
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  • Invarianza per rotazione Costruiamo un campo complesso stessa massa m lagrangiana Un sistema di due campi scalari reali, stessa massa m lagrangiana Campi equivalenti Che implicazioni ha questo esempio? niente ha prefissato la direzione di Possiamo formare un campo complesso La lagrangiana non cambia: essa proporzionale a trasfornmazione di gauge di prima specie una costante reale una costante reale
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  • Consideriamo una rotazione infinitesima, per semplificare i conti COME VARIA LA LAGRANGIANA ? Dimostreremo che la variazione della Lagrangiana =0, il che implica che la ESISTE una CORRENTE che SI CONSERVA ESISTE una CORRENTE che SI CONSERVA
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  • : riscriviamo il secondo termine Qui il secondo termine serve solo a cancellare quella parte del primo termine dove opera sulla derivata della Lagrangiana per ogni variazione
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  • le variazioni rispetto e, * e * sono tutte indipendenti.
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  • Considerazioni sulla variazione della lagrangiana la variazione della lagrangiana pu essre scritta come la derivata della quantit tra parentesi graffe la variazione della lagrangiana deve essere nulla la quantit tra parentesi graffe deve essere nulla questa quantit pu essere interpretata come la divergenza di una corrente q quindi, una corrente che si conserva
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  • Questo un risultato generale che non dipende dai dettagli della particolare trasformazione che abbiamo usato La variazione della Lagrangiana pu essere scritta come la derivata della quantit tra parentesi. Sappiamo che la variazione deve essere 0. Quindi la quantit tra parentesi si comporta come una corrente conservata, cioe la sua quadridivergenza 0. indipendente dai parametri della trasformazione indipendente dai parametri della trasformazione
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  • conservazione locale di carica Se scambiamo *, S cambia segno. Una teoria relativistica ha particelle con la stessa massa ma carica opposta: le antiparticelle. Se rappresenta u u u una particella di carica e, * r rappresenta lantiparticella di carica e, allora S interpretato come una densit di corrente di carica. Lequazione S = 0 d d d dice che il cambiamento della densit di carica S0(x) in una regione uguale al flusso di corrente S (x) fuori dalla ragione. Quindi la carica si conserva localmente, e pu essere usata per etichettare gli stati Niente di quello che abbiamo fatto ci dice che la carica deve essere necessariamente una carica elettrica. Vedremo le particelle hanno molte cariche, alcune delle quali possono essere messe in relazione a conservazione di corrente
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  • trasformazioni di gauge Trasformazione di gauge di prima specie o trasformazione di gauge globale Se il parametro che descrive la trasformazione dipendesse dallo spazio x,y,z o dal tempo t, allora la trasformazione di gauge sarebbe di seconda specie o locale Trasformazione di gauge un nome storico. Sarebbe molto pi comprensible usare le espressioni trasformazioni locali o globali di fase ed invarianza di fase. const. const.
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  • Il teorema di Noether Lequazione molto generale. E un esempio di una propriet basilare delle teorie quantistiche di campo: e cio che se un sistema invariante per una certa trasformazione questo porta necessariamente alla conservazione di qualche quantit fisica. teorema di Noether In un sistema descritto da una Lagrangiana, una qualsiasi trasformazione continua che lasci invariata lazione, porta necessariamente ad una corrente conservata S, con S = 0. E sempre possibile definire una carica che si conserva
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  • invarianze e conservazione invarianza per rotazione conservazione momento angolare invarianza per traslazione conservazione momento (quantit di moto) invarianza per traslazione temporale conservazione energia
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  • I mesoni K K 1 e K 2 sono come 1 e 2 K 0 e anti K 0 sono come e * La carica la stranezza I K neutri sono un esempio pratico del sistema descritto Per i K, la conservazione della carica, cio della stranezza, rotta da una doppia interazione debole che trasforma K 0 in anti-K 0 e introduce una piccola degenerazione di livello: la differenza di massa tra K 1 e K 2
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  • Anomalie e MODELLO STANDARD Lanalisi presentata di tipo classico. Una simile analisi potrebbe essere fatta in teoria quantistica, generalmente con gli stessi risultati. Correzioni quantistiche radiative di ordine pi elevato possono dare risultati diversi da 0 nella S, anche quando il risultato classico darebbe 0. Questi termini sono chiamati anomalie. Richiedere che le equazioni non contengano anomalie una guida importante nel determinare la struttura della teoria, in particolare perch qualche volta le anomalie scompaiono se il modello ha certe simmetrie. Questo quello che succede con il MODELLO STANDARD
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  • Il campo mesonico di Youkawa: predizione del mesone (1935) sorgente interazione Introduciamo sorgente e interazione di un campo la Lagrangiana di interazione viene aggiunta alla lagrangiana del campo libero Lequazione delle onde diventa sorgente di Analogia con e.m.: sorgente di che consegue dall eq. di Euler Lagrange
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  • Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nellorigine,indipendente dal tempo Risolveremo il problema con il metodo della trasformazione di Fourier. indipendente dal tempo
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  • Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del mesone.(2) Trasformata di Fourier Trasformata inversa Si ricava tenendo conto che Sostituendo si ottien