UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI

Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese ottobre dicembre 2013

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UN MONDO DI PROBLEMI, MA … MATEMATICI

• Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici

19 novembre 2013


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Pen, pentagono bizzarrodi C. Colombo Bozzolo

Il Signor Pen, pentagono bizzarro, non sta mai fermo: cammina, corre, si rotola fa le capriole e produce, con il suo movimento bellissime pavimentazioni. In fig. 1 vedi la “fotografia” del Signor Pen e nelle figure 5, 6, 7, 8 che si trovano nella diapositiva successiva, vedi alcuni disegni nati dal “movimento del suo vestito”

Fig.1

Approfittiamo di un momento in cui il Signor Pen sta riposando per fare la conoscenza del suo abito (fig.2)

Questo problema, pur nell’unità dell’argomento, presenta la possibilità di adattare il testo e le richieste alle capacità degli alunni. Per questo motivo alcune parti del testo hanno due versioni diverse


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Pavimentazioni Ecco le bellissime pavimentazioni ottenute dal Signor Pen con i suoi movimenti. Osservale bene e metti in evidenza, usando i colori, la parte centrale di ognuna.


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Pavimentazioni


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Il Signor Pen, pentagono bizzarro

Osserva i lati:ABCD è un pentagono equilateroABCD è un poligono concavo o convesso?............I lati AB e CD sono congruenti e ……………….I lati AB e AE sono congruenti e ……………….Ogni lato è lungo…………….., il perimetro è……………….

Osserva gli angoli interni: devi dire se sono concavi o convessi. Tra i convessi devi precisare quali sono retti, quali acuti e quali ottusi.L’angolo di vertice D è ………….gli altri quattro sono …………..A è ……………………B è ……………………C è ……………………E è ……………………

Fig.2


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Risposte

Osserva i lati:ABCD è un pentagono equilateroABCD è un poligono concavo o convesso?............I lati AB e CD sono congruenti e paralleliI lati AB e AE sono congruenti e perpendicolariOgni lato è lungo 3cm, il perimetro è 15cm

Osserva gli angoli interni: devi dire se sono concavi o convessi. Tra i convessi devi precisare quali sono retti, quali acuti e quali ottusi.L’angolo di vertice D è concavo gli altri quattro sono convessiA è rettoB è ottusoC è acutoE è acuto

Fig.2


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Approfondiamo la conoscenza degli angoli interni

Prendi il goniometro, misura l’ampiezza di ogni angolo interno in gradi e compila la tabella

angoli ampiezze in gradi

A

B

C

D

E

….

….

….

….

….

Calcola la somma delle ampiezze trovate

…….


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Risposte


A

B

C

D

E

90

150

30

210

60

Calcola la somma delle ampiezze trovate

540

Controlla se hai usato bene il goniometro ricordando come si trova la somma degli angoli interni di un poligono.


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Angoli interni di poligoni convessiEsempio esagono

Per calcolare la somma delle ampiezze degli angoli interni posso dividere il poligono in triangoli

partendo da un punto interno qualunque partendo da un vertice

180° x 6= 1080°180° x 4= 720°

Evidentemente i due risultati devono essere uguali. Che cosa si deve modificare per ottenere lo stesso risultato da tutti e due i disegni?

In generale: se n è il numero dei lati la somma delle ampiezze degli angoli interni è uguale a:

n angoli piatti – 2 angoli piatti = (n -2) angoli piatti

180° x 6 – 180° x 2 = 720°


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Angoli interni di poligoni concavi

Esempio pentagono (a.p. significa angolo piatto)

La regola generale per i poligoni convessi vale anche per quelli concavi?

5 a.p. – 2 a.p.= 3 a.p. 3 a.p.


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Osserva attentamente l’abito del Signor Pen e cerca di scoprire come costruirlo facilmente usando riga, squadra e compasso.

Congiungi A con D.

Il triangolo ADE ha: EA=ED

quindi è un triangolo ………..

Ma ADE è un triangolo isoscele speciale, esso è ……………

Come hai fatto a scoprirlo?.........

Di conseguenza il lato AD è uguale a ciascuno dei lati del pentagono.

Il quadrilatero ABCD è quindi un ………..


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RisposteOsserva attentamente l’abito del Signor Pen e cerca di scoprire come costruirlo facilmente usando riga, squadra e compasso.

Congiungi A con D.

Il triangolo ADE ha: EA=ED

quindi è un triangolo isoscele

Ma ADE è un triangolo isoscele speciale, esso è equilatero

Come hai fatto a scoprirlo?

Nel triangolo AED l’angolo AED è AMPIO 60°, poiché i lati EA e ED sono congruenti anche gli angoli opposti a lati congruenti sono congruenti e quindi sono ampi 60°, il triangolo è equilatero.

Di conseguenza il lato AD è uguale a ciascuno dei lati del pentagono.

Il quadrilatero ABCD è quindi un rombo..


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Ora sei in grado di calcolare l’area del pentagono ABCDE, usando le formule che conosci per il calcolo dell’area del triangolo e quella del rombo.

Usa la figura che hai disegnato su carta centimetrata.

Abbiamo ingrandito il disegno tracciando il lato

AE = 4cm


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Per calcolare l’area del rombo hai già tutti i dati (assumi come lato base per il rombo CD e disegna la relativa altezza, mentre per calcolare l’area del triangolo ti manca … qualcosa.

Disegna e poi misura quello che ti manca.

Scrivi i dati del problema.

……………………………..

…………………………….

Calcola l’area del pentagono.

………………………………………


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Per calcolare l’area del rombo hai già tutti i dati (assumi come lato base per il rombo CD e disegna la relativa altezza, mentre per calcolare l’area del triangolo ti manca … qualcosa.

Disegna e poi misura quello che ti manca.

Scrivi i dati del problema.

AB= 4cm

BR= 2cm

AE= 4cm

HD 3,4cm

Calcola l’area del pentagono.

A(ABCDE) 14,8cm2

Risposte


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Osserva bene la figura.

Nel vertice C convergono ……. angoli …..

Ciascuno di questi angoli è quindi ampio…… perciò

Percorso relativo agli angoli seguito con alunni medio – alti

Approfondiamo la conoscenza degli angoli interni del pentagono osservando laparte centrale delle figg. 5,6.

C

A

B

E

D

l’angolo di vertice C del pentagono è ampio….

La pavimentazione a fianco è stata ottenuta dall’applicazione successiva di una rotazione del pentagono ABCDE attorno al vertice C.


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E

Osserva bene la figura.

Nel vertice E convergono ……. angoli …..

Ciascuno di questi angoli è quindi ampio…… perciò

l’angolo di vertice E del pentagono è ampio….

La pavimentazione considerata è stata ottenuta dall’applicazione successiva di una rotazione del pentagono ABCDE attorno al vertice E.


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Ora puoi conoscere anche le ampiezze degli angoli di vertici B e D del pentagono.

Ampiezza di B =

Ampiezza di D =

Completa la tabella e fcalvola la somma delle ampiezze trovate


A

B

C

D

E

….

….

….

….

….

Somma delle ampiezze trovate …….

Verifica con il goniometro se le ampiezze degli angoli interni del pentagono sono “giuste”.


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L’angolo di vertice A è retto, quindi ora conosci l’ampiezza di tre angoli del pentagono.

Ti aiutiamo con la fig.3 a determinare l’ampiezza dei rimanenti due angoli di vertici D e B.

Congiungi A con D.

Il triangolo ADE ha: EA = EDquindi è un triangolo …………..

Ma ha anche E=60° quindi è un triangolo isoscele speciale, esso è ………Di conseguenza il lato AD è uguale a ciascuno dei lati del pentagono.

Il quadrilatero ABCD è quindi un …….Gli angoli acuti del rombo sono ampi ……. ciascuno.Perciò i due angoli opposti ottusi del rombo sono ampi ciascuno…… Scrivi i calcoli che fai: …………..

Fig, 3


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Calcola l’area del pentagono ABCDE.

Fai riferimento alla fig.4, puoi modificare tale figura nel modo che ti sembra più conveniente per calcolare più facilmente l’area. Con l’uso della riga graduata trova i dati che ti mancano

Fig.4


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Alcune tecniche adottate dagli alunni


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I DODECAGONI SIMILIVedi riprodotta la fig.8 di pag.4

In essa abbiamo segnato in neretto il contorno di quattro dodecagoni che indichiamo dal più piccolo al più grande con D1, D2, D3, D4.

Sono poligoni regolari?................ Perché?........................

Questi dodecagoni si corrispondono in una ometetia. Segna il centro di tale omotetia.

Sia l la lunghezza del lato di D1.

La lunghezza del lato di

D2 è …………………

D3 è …………………

D4 è …………………


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I DODECAGONI SIMILICalcola ora le aree dei quattro dodecagoni.

Assumi come unità di misura l’area del vestito del Signor Pen che indicherai con p:

Area di D1 = 12p

Area di D2 = ……

Area di D3 = ……

Area di D4 = ……

Dal confronto dei risultati ottenuti si farà notare che nell’omotetia considerata

- i rapporti tra le misure delle lunghezze di D2, D3, D4 con quelle corrispondenti di D1 sono 2, 3, 4.

- i rapporti tra le aree sempre delle stesse figure sono 4, 9, 16 cioè 22, 32, 42.


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Il Signor Pen davanti allo specchio

Il Signor Pen è abbastanza ambizioso e spesso si gira e rigira davanti allo specchio. In questo momento gira le spalle allo specchio: disegna la sua immagine.

s

Fig.9


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Prendi il foglio che ha per titolo “I pentagoni da ritagliare”.Nei rettangoli di sinistra vedi una coppia formata da due vestiti del Signor Pen, neirettangoli di destra sono rappresentati un vestito del Signor Pen e la sua immagine(che prima hai disegnato allo specchio)

a) Ritaglia con attenzione ogni coppia di pentagoni.b) Forma nuovi poligoni incollando su un foglio le coppie di pentagoni: uniscili lungo il

lato segnato con la stessa lettera (per es. per la prima coppia fai coincidere g con g’).in due casi (quando fai coincidere r con r’ e v con v’) troverai delle difficoltà; discutine con l’insegnante o con i compagni.Escludi questi due poligoni quando rispondi alle domande che seguono.

Dovrai prendere in considerazione solo otto poligoni: dai loro un nome usando una lettera in stampato maiuscolo.

c) Vicino ad ogni poligono devi scrivere:1) Il suo nome rispetto al numero dei lati2) Se ha l’asse di simmetria3) Se ha il centro di simmetria4) I poligoni trovati sono equiestesi?............. Perché?.............................................5) I poligoni trovati sono isoperimetrici?............. Perché?..........................6) Calcola la misura del perimetro in centimetri e quella dell’area in centimetri

quadrati di uno degli otto poligoni costruiti.


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Qui sotto vedi ridisegnato uno dei pentagoni che hai ritagliato. Il suo lato è lungo 2,4cm. Puoi usare questa figura per misurare ciò che ti manca.


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Pentagoni da ritagliare


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Nelle figure B, D, F, L, T è segnato l’asse di simmetria, nelle altre cinque è segnato il centro di simmetria.

Come si vede i poligoni F e T hanno parti sovrapposte quindi non li prendiamo in considerazione


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I poligoni A, C, E, L, P sono ottagoni concaviB, D sono ettagoni, perchè due degli angoli che vengono posti consecutivi sono retti, quindi i loro lati opposti sono allineati e formano, nella figura, un solo lato H è un esagono perché gli angoli di entrambe le coppie che vengono poste consecutive sono supplementari, ossia hanno per somma un angolo piatto, quindi due coppie di lati sono allineati.Nonostante la diversità nel numero dei lati, i poligoni ottenuti sono isoperimetrici, perché nell’accostamento dei due pentagoni diventano interni alla figura sempre due lati congruenti; sono equiestesi, perché formati tutti con due pentagoni congruenti.


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Angoli esterni di poligoni convessi

Di solito si definisce angolo esterno di un poligono convesso l’angolo adiacente a ciascuno degli angoli interni.

Si invitano gli alunni, eventualmente suddivisi in piccoli gruppi, a tracciare in ogni poligono gli angoli esterni, a “strappare” il modello in carta del poligono in modo da “separarne” i singoli angoli esterni e, infine, a accostare tutti gli angoli esterni in modo da fare coincidere i loro vertici e da non lasciare “spazio” tra il lati dei vari angoli. A meno di imprecisioni legati alle operazioni concrete, gli allievi dovrebbero riuscire a ricostruire un angolo giro

Gli angoli si considerano orientati


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ANGOLI ESTERNI del vestito di Pen

La somma delle ampiezze degli angoli esterni dati dal cambiamento di direzione supera l’angolo giro.

90° + 30° + 150° + 30°+ 120° = 420°

Gli alunni, guidati dall’insegnante, notano che vi è un angolo di 30°percorso in verso orario e uno di 30° percorso in verso antiorario che, nella somma, si annullano, per cui alla fine la somma delle ampiezze degli angoli esterni è sempre un angolo giro.

90° + 30° + 150° - 30°+ 120° = 360°

Nasce la necessità di verificare se questo capita per ogni poligono concavo ordinario (cioè non intrecciato) anche quando non vi sono due ampiezze angolari che si annullano.

La somma degli angoli esterni è ancora un angolo giro?


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Angoli esterni di poligoni concaviUna maggiore difficoltà si incontra nella determinazione della somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono concavo.

Infatti, se si addizionano le ampiezze di tali angoli senza tenere conto del loro orientamento, si ottiene un risultato maggiore dell’angolo giro, nonostante la percorrenza del contorno del poligono porti ad affermare che il numero di cambiamenti di direzione è tale da aver fatto percorrere un giro completo, come nel caso dei poligoni convessi.

62° + 59° + 77° + 123° + 101°+ 140° = 562°


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Angoli esterni di poligoni concavi

L’eccesso rispetto all’angolo giro è dovuto al fatto che alcuni angoli al contorno sono orientati in senso orario e altri in senso antiorario, come è evidenziato nella seguente figura, nella quale di ogni angoli sono riportate le ampiezze assolute

L’angolo di vertice E è ampio 101° ed è ottenuto con un cambiamento di direzione in senso antiorario. Esso si annulla, per esempio, con la parte ampia 101° in senso orario che descrive l’angolo di vertice F, per cui la somma delle ampiezze rimanenti è 360°.

62° + 59° + 77° + 123° -101° + 39° +101° = 360°.

39°


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I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO (da “Nel mondo della matematica” vol.2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti ed. Erickson da pag.168)

Sandra ha un cartoncino rosso rettangolare i cui laticonsecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuol ritagliare dei bigliettini segnaposto rettangolari icui lati consecutivi siano lunghi 5cm e 3cm.Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può otteneredal cartoncino rosso?Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?

o Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.………………………………………………………………………………


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Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto corrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che Sandra può ricavare.

Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.

Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi calcolato? ………………………………………………….Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.


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I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Sandra ha anche un cartoncino giallo rettangolare i cui lati

consecutivi sono lunghi 22cm e 11cm. Da esso vuole ricavare il massimo numero di bigliettini segnaposto di forma rettangolare e con i lati consecutivi lunghi 6cm e 4cm.

Quanti bigliettini segnaposto, al massimo, Sandra può ottenere dal cartoncino giallo?

Qual è l’area della parte di cartoncino che avanza?* Rispondi alle domande e spiega il procedimento che hai seguito.………………………………………………………………………………………


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Nel disegno è rappresentato il cartoncino in scala, in modo che ad ogni quadretto corrisponde 1cm2. Mostra come devono essere disposti i bigliettini segnaposto che Sandra può ricavare.

Se hai bisogno di fare più tentativi utilizza un foglio con la stessa quadrettatura.

Sei riuscito a rappresentare nel cartoncino il numero massimo di bigliettini che avevi calcolato? ………………………………………………….Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno e discutine con l’insegnante.


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I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO Analisi del compito e dei possibili sviluppi

Il problema si presta a significativi confronti tra le strategie risolutive adottate dagli alunni, strategie che possono condizionare la soluzione. Entrambe la parti di cui si compone il problema possono essere risolte aritmeticamente, operando sulle misure, in centimetri quadrati, delle aree dei rettangoli

-area del cartoncino rosso: 22 11 = 242

-area bigliettino segnaposto: 5 3 = 15

-numero bigliettini: 242 15 = 16 con resto 2

-area bigliettino segnaposto: 6 4 = 24

-numero bigliettini: 242 24 = 10 con resto 2


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I BIGLIETTINI SEGNAPOSTO

Il problema maggiore consiste nel disporre il numero di bigliettini,

ricavato aritmeticamente, nel cartoncino: la divisione dà il numero

massimo di bigliettini ottenibili dal cartoncino, ma non è detto che tale

numero possa essere concretamente ricavato, dato che si deve tenere

conto non solo dell’area, ma anche della forma e delle lunghezze dei

lati dei bigliettini. Si suggerisce di prevedere la possibilità che gli alunni

lavorino anche manipolativamente, oltre che graficamente.

Gli alunni in genere tendono a sistemare i bigliettini con lo stesso

orientamento nel rettangolo più grande, ma in tal modo non si riescono

a ottenere i bigliettini calcolati.

Nella prima parte della scheda 43a, alcuni tentativi errati possono

essere quelli di seguito rappresentati in scala:


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Bigliettini ottenuti : 12 Area della parte di cartoncino avanzato: 62cm2


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Sono possibili diverse disposizioni del numero massimo di bigliettini; per ottenerle, spesso gli alunni riformulano il problema: tentano di ricoprire il più possibile la metà del cartoncino, poi “ripetono” la disposizione nella seconda metà. Tale “ripetizione” avviene con l’uso, più o meno esplicitamente verbalizzato, di diverse isometrie, come mostrano i seguenti disegni in scala:Bigliettini ottenuti : 16 Area della parte di cartoncino avanzato: 2cm2

Il rettangolo principale è diviso in due parti congruenti dal segmento più marcato; la disposizione dei rettangoli più piccoli in una parte è la traslata di quella nell’altra parte.


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In questo caso la disposizione dei bigliettini in una parte è simmetrica, rispetto alla retta del segmento evidenziato, di quella nell’altra parte.


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O .

In questo caso la disposizione dei bigliettini è invariante rispetto alla simmetria centrale (o rotazione di 180°) di centro O.


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Osserviamo che…

In ognuna delle disposizioni, otto rettangoli sono disposti con orientamento 5 3 e otto con orientamento 3 5. Infatti, confrontando le misure, in centimetri delle lunghezze dei lati dei due tipi di rettangoli si ha:

11 = (3 2) + 5 quindi sul lato lungo 11cm possono essere appoggiati, senza resto, due rettangoli con il lato lungo 3cm e un rettangolo con il lato lungo 5cm

22 = (3 4) + (5 2) quindi sul lato lungo 22cm possono essere appoggiati, senza resto, quattro rettangoli con il lato lungo 3cm e due rettangoli con il lato lungo 5cm.


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Nella seconda parte del problema nella scheda 43a, la situazione si complica perché il calcolo non dà il numero di cartoncini effettivamente contenuti nel rettangolo.Infatti il numero 11 non può essere ottenuto con gli addendi 6 e 4, mentre per il 22 si hanno due possibilità:

(4 4 ) + 6 = 22 oppure (6 3) + 4 = 22

Bigliettini ottenuti : 9 Area della parte di cartoncino avanzato: 26 cm2.


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Una cucina da piastrellaredi C. Colombo Bozzolo

Cucina da 13,50 m2

Piastrella da 225 cm2

Risoluzione

Si può presumere che l’autore avrebbe voluto che gli alunni lo risolvessero così:

13,50m2 = 135 000 cm2

135 000 : 225 = 600 numero di piastrelle necessarie per piastrellare la cucina


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Discussione

Per poter ricoprire un rettangolo con quadrati dobbiamo conoscere sia le dimensioni del rettangolo sia il lato del quadrato.

Ora dall’area della piastrella di 225cm2, si deduce che il lato della stessa è di 15cm.

Resta il problema di conoscere le dimensioni del pavimento che non sono univocamente determinate dall’area:

•Ma una cucina potrebbe essere lunga e non troppo larga; le dimensioni potrebbero essere

5m x 2,70m:

N.B.: questi numeri non sono gli unici ad avere come prodotto 13,50 ma, come dimensioni per una cucina sono i più idonei.


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DiscussioneSe le misure in centimetri delle lunghezze dei lati del pavimento sono 300 e 450 le 600 piastrelle ci stanno bene però, per trovare questo numero non dovrei fare la divisione indicata all’inizio del problema ma “schierare” le piastrelle lungo un lato (es: 450 : 15 = 30 e calcolare con la divisione 300 : 15 = 20 quante righe da 30 piastrelle si possono fare) quindi l’operazione

30 x 20 = 600

Dà il numero di piastrelle necessario.

Il disegno aiuta a vedere la situazione


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DiscussioneRipercorrendo l’iter seguito per le altre due misure vediamo che per coprire il lato di 500cm si possono mettere 33 piastrelle intere; restano però scoperti 5cm che corrispondono a 1/3 del lato di una piastrella.

Bisogna rompere una piastrella in 3 parti uguali: facile no?

Poiché 270 è divisibile per 15 (270 : 15 = 18) si posso formare 18 righe da 33 piastrelle intere e 1/3 di piastrella.

È evidente che, siccome 18 volte 1/3 di piastrella corrisponde a 6 piastrelle intere, le piastrelle necessarie sono ancora, in apparenza,

(33 x 18) + 6 = 594 + 6 = 600

Ma la situazione è molto diversa.

Per ottenere 1/3 di piastrella devo “rompere” una piastrella in tre parti uguali: siamo sicuri che nel rompere non succedano guai tali da rendere necessario l’uso di un maggior numero di piastrelle?...

Risolvere questo problema con una semplice divisione è molto riduttivo, significa fare dell’aritmetica ma non della geometria.

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