PREMESSA

Nell’ambito dei ponti di luce corrente ricorre sovente l’im-piego di travi a sezione scatolare ottenute solidarizzando inopera travi precompresse a profilo aperto con una solettacollaborante che unisce tra loro all’estradosso le travi del-l’impalcato. Come per le altre tipologie, anche per gliimpalcati composti da travi a sezione chiusa si presenta lanecessità sia in sede di progetto che di collaudo di indivi-duare la ripartizione dei carichi mobili. Per tale analisi icodici automatici oggi a disposizione consentono di effet-tuare una modellazione anche sofisticata dello schemastrutturale, tuttavia permane non meno attuale la necessi-tà di disporre di strumenti che permettono di operare sin-tesi fondamentali sia in sede di dimensionamento che diverifica. A questo riguardo i modelli di analogia al continuocostituiscono ancora oggi uno strumento affidabile come laconsolidata applicazione del modello di Bares-Massonet [1]ha largamente dimostrato nei suoi molti anni di utilizzo, alpunto tale che il modello a piastra ortotropa è tuttora lar-gamente impiegato nella stesura dei progetti esecutivi daparte di molte ditte produttrici di travi precompresse. Vaperaltro ricordato come tale modello sia nato in realtà perimpalcati di travi aventi sezioni con modesta rigidezza tor-sionale, ossia per valori limiti del parametro di torsionericonducili da un lato ad impalcati privi di rigidezza torsio-nale (�=0) e dall’altro lato a solette piene (�=1). In prece-denti contributi è già stata mostrata la possibilità di esten-dere nel modello a piastra ortotropa l’interpolazione uti-lizzata nel metodo di Bares-Massonet anche agli impalcatidotati di elevata rigidezza torsionale (�>1) mantenendo intal modo un approccio unitario nello studio della riparti-zione dei carichi (Lenzi [2]). In tale ottica la presente notacompleta l’analisi sfruttando la proprietà degli impalcaticomposti da travi a sezione chiusa con soletta collaborantedi essere contraddistinti da una marcata differenza tra larigidezza flesso torsionale delle travi in direzione longitu-dinale e la rigidezza della soletta in direzione trasversaleessendo in genere assenti in questi impalcati, con qualcheeccezione limitata all’ambito ferroviario, i traversi in cam-

pata. La superficie elastica viene ancora ricercata in formaanalitica spalmando al continuo le rigidezze flesso torsio-nali delle travi sul loro interasse. Nel caso in esame tuttavial’analisi si semplifica notevolmente potendosi trascurareper le ipotesi assunte i termini relativi alle rigidezze tra-sversali della soletta, che risulta sollecitata solo dai tagli mu-tui trasversali che si scambiano le travi e che operano laripartizione. Si ricava in tal modo una soluzione di sempli-ce utilizzo che si dimostra essere, tramite il confronto conaltri metodi numerici e con le misure in sito, di piena vali-dità nell’ambito s’intende delle ipotesi assunte. Il modelloal continuo ha poi il pregio di fornire una soluzione in for-ma chiusa parametrica e adimensionale che presenta mol-teplici vantaggi riconducibili ai seguenti aspetti operativi:

1) individuazione del numero minimo di parametri neces-sari per la definizione del problema;

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Un Modello al Continuo per lo Studiodegli Impalcati di Travi ScatolariMaurizio Lenzi(1) – Paola Campana(2) – Ivan Missiroli(3)

(1)ACMAR, Ravenna – (2)Studio Campana, Forli’ – (3)Studio Missiroli, Forlì

SOMMARIO

Nella nota si analizza la ripartizione trasversale deicarichi negli impalcati dei ponti a travata senza tra-versi intermedi nei quali la rigidezza flesso torsio-nale delle travi sia preponderante rispetto a quelladella soletta, come normalmente avviene negliimpalcati di travi scatolari. L’analisi viene effettuatamediante un modello al continuo che restituisceuna soluzione analitica facilmente implementabilesu un foglio elettronico. Si presentano inoltre esem-pi e case history.

SUMMARY

In the paper the sharing of the moving load amongthe girders of a beams and slab deck bridge is analy-zed using an orthotropic plate model in which the fle-xural and torsional stiffness of the slab are neglectedin comparison with those of the girders. Example andcase history are also presented.

2) possibilità di definire i campi di variazione dei parametricorrispondenti alla realtà fisica;

3) studio di una vasta gamma di aspetti applicativi median-ti pochi casi di riferimento tipici;

4) rappresentazione dei risultati in una forma facilmenteinterpretabile.

In particolare verrà mostrato come la ripartizione dei cari-chi dipenda un unico coefficiente di interazione di naturageometrica e meccanica funzione del rapporto di forma trala larghezza e la lunghezza dell’impalcato e del rapportotra le rigidezze flessionale e torsionale delle sezioni delletravi composte. Ciò premesso, nel seguito si riporta lo stu-dio della ripartizione dei carichi in forma normalizzata con-dotto con i criteri indicati, ed esempi applicativi relativi alprogetto redatto in accordo con la norma NTC 2008 ed alcollaudo di ponti realizzati con travi scatolari.

MODELLO AL CONTINUO

Il modello per lo studio della tipologia strutturale inesame nasce come estensione al continuo del modello aldiscreto che vede le travi tra loro solidarizzate in sensolongitudinale da connessioni a taglio schematizzate dacerniere cilindriche in soletta (Lenzi-Campana [3],Spinelli [4],[5]). La superficie elastica si può allora ricava-re dalla equazione della piastra ortotropa trascurando inessa, per l’ipotesi assunte, i termini relativi alle rigidezzetrasversali (Dy=Dyx=0). L’analogia è senz’altro legittima,trattandosi a tutti gli effetti di superfici continue aventicaratteristiche meccaniche e geometriche tra loro diver-se secondo i due assi ortogonali, a rigidezza flesso tor-

sionale in senso longitudinale e tagliante in senso tra-sversale. Indicate pertanto con:

le rigidezze flesso torsionali delle travi distribuite al conti-nuo (fig.1), l’equazione della piastra ortotropa soggetta adun carico lineare lungo la linea di coordinata yc (fig.2) divie-ne in questo caso:

essendo �(y-yc) la funzione di Dirac che restituisce tramite laconvoluzione p(x)*d(y-yc) la funzione p(x) per y=yc e valorenullo altrove. Utilizzando l’analisi armonica per i carichilineari (�n=n�/L):

e sviluppando i movimenti in serie semplice:

si ottiene l’equazione seguente per l’armonica correntedella deformata trasversale wn(y):

Introdotte le variabili normalizzate:

ed il parametro di interazione:

si ricava, valendo per la funzione di Dirac la relazione �(y-yc) = �(�-�c) / b, l’equazione:

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Fig. 1 - Sezione tipica di un impalcato a travi scatolari.Fig. 2 - Schema Statico dell’impalcato.

Risulta pertanto conveniente normalizzare il campo deglispostamenti nella forma:

essendo wm = pn/(2b�n4Dx) l’inflessione media indotta dal

carico unitario pensato spalmato sulla larghezza 2b del-l’impalcato. L’equazione adimensionale ricercata risultapertanto essere la seguente:

La soluzione dell’equazione differenziale per il caso di uncarico parallelo all’asse longitudinale ed agente con eccen-tricità normalizzata �c, si compone di un integrale partico-lare (fig. 3a) che rappresenta la deformata di una piastraortotropa di ampiezza indefinita e che si determina egua-gliando nell’origine il taglio trasversale alla metà del caricounitario, e di un integrale generale (fig. 3b) che ripristinale condizioni al contorno sui bordi liberi ove si azzerano itagli di Kirchoff e conseguentemente le rotazioni trasver-sali(1). In termini analitici si ottiene:

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Fig. 3 - Soluzione analitica: effetti del carico e delle condizioniai bordi.

(1) Il taglio trasversale ty = Dxy �3w/�x2�y = (�n2Dxy) �w/�y = Kt � é pro-

porzionale alla rotazione trasversale � = �w/�y.

L’integrale particolare vp(�) e le costanti C1, C2 dell’inte-grale generale risultano essere definite dalle relazioniseguenti:

nelle quali �1 = [1 - �c] e �2 = [1 + �c] sono le distanze nor-malizzate del carico dai due bordi.

RIPARTIZIONE TRASVERSALE DEI CARICHI

Individuato il campo degli spostamenti, che presentauna forma smorzata ma non oscillatoria al crescere delladistanza dal carico lineare, risulta possibile dedurre ilcoefficiente di amplificazione. Questo parametro fonda-mentale é definito come rapporto tra l’abbassamentonel punto corrente wn(�,�c) e l’abbassamento medio wm

indotto dal carico unitario spalmato su tutta la larghez-za dell’impalcato:

Operando le sostituzioni si ottiene:

L’aliquota di carico afferente alla singola striscia di lar-ghezza trasversale unitaria si ricava poi moltiplicandoil carico medio, pari a 1/2b, per il coefficiente di ampli-ficazione K�. Il carico afferente alla singola trave siottiene poi, con approssimazione in genere sufficien-te, moltiplicando il valore specifico per l’interassedelle travi:

Indicato con N =2b/� il numero delle travi, si ottiene infineper il coefficiente di ripartizione:

La ripartizione dei carichi dipende quindi tramite il coeffi-ciente di amplificazione unicamente dal coefficiente diinterazione �, migliorando essa al ridursi di tale valore ossiaal ridursi del rapporto di forma 2b/L tra la larghezza e lalunghezza dell’impalcato e della radice del rapporto tra larigidezza flessionale e la rigidezza torsionale delle travi. Laripartizione è quindi funzione in misura maggiore dellasnellezza dell’impalcato, dato che all’aumentare di questaaumenta la rigidezza relativa delle strisce trasversali rispet-to a quelle longitudinali, e della capacità torsionale delletravi di opporsi alla distorsione trasversale della sezione edalla conseguente perdita di forma indotta dai carichi.La soluzione così ottenuta in forma analitica per il coeffi-ciente di amplificazione si presta ad essere facilmenteimplementabile su un foglio elettronico e rende quindisemplice, come si vedrà nel successivo esempio, lo studiodella ripartizione dei carichi anche per la tipologia struttu-rale in esame.

ESEMPIO APPLICATIVO

Si riporta l’applicazione del modello illustrato nella valuta-zione dello stato di sollecitazione e di deformazione di unviadotto a tre campate in semplice appoggio realizzato conla tipologia delle travi scatolari. In particolare vengonomessi a confronto i valori teorici dei momenti flettenti edelle frecce ricavati dal modello a piastra ortotropa con ivalori teorici forniti da modelli agli elementi finiti per quan-to concerne la condizione di carico di progetto. I valori delmodello al continuo sono poi confrontati con i valori speri-mentali misurati in sede di prova di carico per quanto con-cerne il collaudo statico.L’impalcato ha una luce L=32.70 m e si compone di 5 travi

di altezza complessiva di 1.85 m comprensiva della solettadi 25 cm di spessore. Le travi sono disposte ad un interasse�=2.75 m e formano nell’insieme un impalcato di larghez-za 2b=13.50 m. I momenti d’inerzia delle travi sono iseguenti:

Jf = 0.557 m4

Jt = 0.356 m4

mentre i moduli elastici, ricavati da prove di carico condot-te in stabilimento sulle travi prefabbricate, valgono(E/G=2.2):

E = 37000 MPaG = 17000 MPa

Il parametro di interazione per la prima armonica (n=1) èpari pertanto a:

In fig. 4 e fig. 5 sono riportate per le varie travi le linee diinfluenza del coefficiente di ripartizione dedotte con ilmodello di analogia al continuo. Valori analoghi, con scar-ti inferiori al 4%, si ottengono con la soluzione al discretoinserendo cerniere cilindriche in soletta e determinandoper congruenza i tagli mutui scambiati tra le travi contigue.Come peraltro intuitivo, la ripartizione migliora passandodalle travi di bordo a quelle interne ed é massima per latrave centrale. Un carico lineare applicato in corrisponden-za dell’asse di simmetria provoca infatti un’inflessione dif-ferenziale della trave centrale rispetto alle travi adiacentiche oppongono da ambo i lati un efficace contrasto allarotazione trasversale in virtù della elevata rigidezza torsio-nale dei profili scatolari. Questo comportamento struttura-le nell’insieme tende limitare il movimento relativo dellasuperficie elastica rispetto al moto rigido medio dellasezione trasversale, potendosi riguardare questo scosta-mento come una misura della qualità della ripartizione.L’impegno torsionale comporta peraltro l’insorgere di

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significativi momenti torcenti longitudinali nelle travi, cheraggiungono i valori massimi in corrispondenza dei traver-si di testata. Per le travi di bordo la collaborazione trasver-sale può attivarsi invece da un solo lato e conseguente-mente la ripartizione è meno accentuata ma comunquesignificativa, dato che la trave di bordo viene sollecitatasolo dal 40% del carico applicato direttamente su di essa.In fig. 6 sono invece riportati gli schemi di carico previstidall’ Eurocodice di settore e dalla recente normativa tecni-ca nazionale (NTC 2008). A tal riguardo in fig. 7 è rappre-sentata la disposizione dei carichi mobili sull’impalcato intermini di carichi uniformi equivalenti per le 3 colonne dicarico. Si è inoltre considerato il carico di folla sui marcia-piedi ed il carico di 2.5 KPa previsto nell’area che rimanelibera una volta sottratta alla larghezza della carreggiatal’ingombro delle colonne di carico. Per questo schema sta-tico in fig. 8 e fig. 9 è riportato il confronto dei risultatidedotti rispettivamente con un modello numerico agli ele-menti finiti e con il modello di analogia al continuo. Comesi può notare vi è un sostanziale accordo che valida la solu-zione al continuo sia in termini di momenti flettenti che difrecce in mezzeria. In fig. 10 e fig. 11 sono inoltre riportati gli schemi di col-laudo utilizzati in sede di prova di carico mentre in fig. 12é illustrata in forma tabellare la applicazione del metodoproposto che si rivela veramente di semplice utilizzo unavolta individuato tramite le eccentricità normalizzate dellatrave (�=y/b) e dei carichi (�c=yc/b) il coefficiente di amplifi-cazione K(�,�c) mediante le relazioni del modello al conti-nuo. In fig. 13 sono infine riportati i diagrammi delle defor-

mate trasversali della sezione di mezzeria. Come si evincedal confronto tra la curva teorica e i valori misurati, ilmodello a piastra ortotropa coglie con precisione il risulta-to sperimentale, ottenendo con ciò la reciproca confermasia del corretto comportamento della struttura sia dellaaffidabilità del modello al continuo per la tipologia diimpalcato in esame.

ANNOTAZIONI CONCLUSIVE

La ripartizione dei carichi negli impalcati costituiti da traviscatolari costituisce un tema strutturale di indubbio inte-resse e valenza che può essere risolto in forma chiusa uti-lizzando un modello di analogia al continuo a piastra orto-tropa nel quale, nell’ipotesi che lungo le connessione tra le

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Fig. 4 - Ripartizione trasversale.Fig. 5 - Linee di influenza del coefficiente di ripartizionetrasversale.Fig. 6 - Schemi di carico previsti dalle NTC 2008.Fig. 7 - Disposizione dei carichi (equivalenti) di progetto.Fig. 8 - Confronto in termini di Momenti in mezzeria tramodello numerico e modello analitico.Fig. 9 - Confronto in termini di frecce in mezzeria tra modellonumerico e modello analitico.

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travi siano trascurabili le rigidezze flesso torsionali trasver-sali dell’impalcato, vengano scambiati solo tagli mutui. Nelcaso di travi in semplice appoggio la soluzione viene dedot-ta utilizzando lo sviluppo in serie di Fourier dei carichi e deimovimenti, tecnica questa che semplifica notevolmente lasoluzione analitica. Posta in forma parametrica questamostra come la ripartizione dei carichi dipenda unicamen-

te da un parametro caratteristico adimensionale funzionedel rapporto di forma tra la larghezza e la lunghezza del-l’impalcato e del rapporto tra le rigidezze flessionali e tor-sionali longitudinali delle sezioni delle travi. Il confrontocon i risultati di prove di carico mostrano la validità e l’affi-dabilità del modello proposto di analogia al continuo.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

[01] Bares, R. Massonet, C., Le calcul des grillages de poutreset dalles orthotrope, Ed. Dunod, Paris, 1966.

[02] Lenzi, M., Gambi A. , Olivucci, G., Un modello a piastraortotropa per impalcati di travi scatolari, Atti del 13°Convegno CTE, Pisa, 2003.

[03] Lenzi M.,Campana, P. Ripartizione dei carichi negliimpalcati composti da elementi modulari accostati,www. ACMAR.it/pubblicazioni, Ravenna, 2009.

[04] Spinelli, P., Un metodo di analogia al continuo per lostudio di impalcati realizzati con travi affiancate colle-gate con cerniere lineari continue, INARCOS, nr. 439, pp200-210, Bologna, Giugno 1983.

[05] Spinelli, P., Impalcati formati da pannelli prefabbricatiaccostati: alcuni risultai ottenuti attraverso un metododi analogia al continuo, Atti del 7° Convegno CTE, par.c.pp.145-151, Marina di Ravenna, 1986.

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Fig. 10 - Schema di Collaudo: Configurazione longitudinale.Fig. 11 - Schema di Collaudo: Configurazione trasversale.Fig. 12 - Ripartizione dei carichi e frecce teoriche nella trave dibordo.Fig. 13 - Confronto tra frecce teoriche (modello al continuo) esperimentali.

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