Trigonometria. La misura degli angoli Gradi sessagesimali Gradi centesimali Radianti.

Trigonometria

La misura degli angoli

La misura degli angoli

•Gradi sessagesimali

•Gradi centesimali

•Radianti

I radianti

Il radiante è quell’arco che

rettificato è uguale al raggio

Un radiante è la misura di un angolo il cui

arco corrispondente è lungo quanto il

raggio della circonferenza cui l’arco

appartiene.

I radianti

l

r

rl

α

α : 360°= ρ : 2π

Le funzioni goniometriche

O

P

Qα


O

P

Qα

P’ P’’

Q’ Q’’

' ' '' ''

' ''

PQ P Q P Q

OP OP OP sin


O

P

Qα

P’ P’’

Q’ Q’’' ''

' ''

OQ OQ OQ

OP OP OP cos

2 2cos sin 1


O

P

Qα

P’ P’’

Q’ Q’’

' ' '' ''

' ''

PQ P Q P Q

OQ OQ OQ tan tg sin

cos


O

P

Qα

P’ P’’

Q’ Q’’

secOP

OQ 1

cos cos

OPec

PQ

1

sin

cotOQ

gPQ

1

t g

x

y r=1

r

P

Aα

La circonferenza goniometrica

Le funzioni trigonometriche

x

yOP=r=1

P

AαOQ

sinPQ

PQOP

cosOQ

OQOP

2 2cos sin 1


x

y OP=OA=r=1

P

AαO

tanPQ BA

BAOQ OA

B

Qsin

tancos

≠0


x

y

OP=OC=r=1P

AαO

cotOQ CB

g CBPQ OC

B

Q

C

Angoli fondamentali

x

yOP=r=1

P

AαOQ

α=45°=π/4

α2

sin4 2

2cos

4 2

tan 14

PQ

OQ

OQ=PQ

Angoli fondamentali

x

yOP=r=1

P

AαOQ

α=30°=π/6

3cos

6 2

3tan6 3

OP=PP’=OP’

2α

P’

α2α

PQ=OP/21sin6 2

Angoli fondamentali

x

yOP=r=1

P

Aα=60°OQ

α=60°= π/3

3sin3 2

tan 33

OQ=OP/21

cos3 2

30°

Angoli complementari

x

y

P

AαOQ

P’

tan cot2

g

Q’

90°-α

OP=OP’=r=1

PQ=OQ’sin cos2

OQ=P’Q’cos sin2

Angoli fondamentali

x

yOP=r=1

P

AαOQ

α=60°=π/3

1cos

3 2

3sin3 2

tan 33

Angoli supplementari

x

y

P

AαO Q

P’

tan tan

Q’

180°-α

OP=OP’=r=1

PQ=P’Q’ sin sin

OQ=OQ’ cos cos

Angoli esplementari o opposti

x

y

P

Aα

OQ

P’

tan tan 2 tan( )

360°-α

OP=OP’=r=1

PQ=P’Q sin sin 2 sin( )

OQ cos cos 2 cos( )

-α

Angoli che differiscono di 90°

x

y

P

AαO Q

P’

tan cot2

g

Q’

90°+α

OP=OP’=r=1

PQ=OQ’sin cos2

OQ=P’Q’cos sin2

Angoli che differiscono di 180°

x

y

P

AαO Q

P’ tan tan

Q’

180°+α

OP=OP’=r=1

PQ=P’Q’ sin sin

OQ=OQ’ cos cos

α sin α0 0π/6 1/2

π/4 √2/2

π/3 √3/2

π/2 1

π/2 < α < π sin (π/2+α)=sin (π/2-α)π 0

π < α < 3π/2 sin (π+α)=-sin α3π/2 -1

3π/2 < α < 2π sin (2π-α)=-sin α

Sinusoide

α cos α0 1π/6 √3/2

π/4 √2/2

π/3 1/2

π/2 0

π/2 < α < π cos (π/2+α)=-cos (π/2-α)π -1

π < α < 3π/2 cos (π+α)=-cos α3π/2 0

3π/2 < α < 2π cos (2π-α)=cos α

Cosinusoide

α tan α0 0π/6 √3/3

π/4 1

π/3 √3

π/2 Non definita

π/2 < α < π tg (π/2+α)=-tg (π/2-α)π 0

π < α < 3π/2 tg (π+α)=tg α3π/2 Non definita

3π/2 < α < 2π tg (2π-α)=-tg α

Tangentoide

Coseno di una differenza di angoli

x

y

P

AαO

Q

β

α-β

α-β

R

aa

AR=PQ=(cosα,sinα)

=(cosβ,sinβ)

=(cos(α- β),sin(α-β))

AR=PQ

=(cos0,sin0)=(1,0)

AR=PQ

2 2( ) ( )A R A RAR x x y y

Coseno di una differenza di angoli

cos( ) cos cos sin sin

Coseno di una somma di angoli

cos( ) cos( ( ))

cos cos sin sin

Seno di una somma di angoli

sin( ) cos ( )2

sin cos cos sin

Seno di una differenza di angoli

sin( ) sin( ( ))

sin cos cos sin

Seno di 2αsin(2 ) sin( )

sin cos cos sin

2sin cos

Coseno di 2α

2 2

cos(2 ) cos( )

cos cos sin sin

(cos ) (sin )

Tangente di una somma di angoli

sin( )tan( )

cos( )

sin cos cos sin

cos cos sin sin

cos cos

cos cos

tan tan

1 tan tan

sin cos cos sincos cos

cos cos sin sincos cos

Tangente di una differenza di angoli

sin( )tan( )

cos( )

tan tan

1 tan tan

Equazioni trigonometriche elementari

x

ycos α = q

P

Aα

O

Q

-1≤q≤1

1-1

-1<q<1 2 soluzioni:α, 2π-α (-α)2π-α


x

ycos α = q

AO 1

-1

-1<q<1 2 soluzioni:α, -αq=

11 soluzione: 0P


x

ycos α = q

P Aπ

O 1-1

-1<q<1 2 soluzioni:α, π-αq=

11 soluzione: 0

q=-1 1 soluzione: π


x

y cos α = q

AO

q>1 Nessuna soluzione

1

-1

-1<q<1 2 soluzioni:α, -αq=1 1 soluzione:

0

q=-1 1 soluzione: π

q<-1

Nessuna soluzione


x

ysin α = p

P

Aα

O

Q -1≤p≤11

-1

-1<p<1 2 soluzioni:α, π-α

π-α


x

ysin α = p

P

Aπ/2

O

1

-1

-1<p<1 2 soluzioni:α, π-αp=1 1

soluzione: π/2


x

ysin α = p

P

A3π/2O

1

-1


soluzione: π/2p=-1 1 soluzione: 3π/2


x

y sin α = p

AO

p>1 Nessuna soluzione

1

-1


soluzione: π/2p=-1 1 soluzione: 3π/2

p<-1

Nessuna soluzione


x

ytg α = m

PAα

O

Q

1

-1

mR 2 soluzioni:α, π+α

π+α ATTENZIONE:

α≠π/2α≠3π/2


1sin

2x

3cos

2x

tan 1x

sin 1x

2cos

2x

tan 3x

2sin 2

2x

2 cos(2 ) 1 04

x

tan 12

x


Esempi di applicazione

Materiali idrofobici

d l

cosd

l arccos

d

l

α=33°α


Esempi di applicazione

Reticolo cristallino

Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari

sin sin 2x x

Equazioni risolubili mediante applicazione della legge di annullamento del prodotto

22sin 3sin 0x x

tan (1 sin ) 0x x


22sin 1x

Equazioni contenenti una sola funzione goniometrica

23 tan 4 tan 3 0x x

1 1 22

1 cos cos 1 3x x


22sin 3cos 0x x

Equazioni riconducibili ad una sola funzione

goniometrica

2tan cot 3

3x anx

Equazioni trigonometriche lineari in seno e coseno

sin cos 0a x b x c

c=0

a≠0 b≠0

sin cos 0a x b x sin cos 00

cos cos

a x b x

x x

tan 0a x b

≠0 perché altrimenti sinx=±1 e a=0 contro l’hp.

Equazioni trigonometriche lineari

sin cos 0a x b x c

c ≠ 0

a≠0 b≠0

sin

cos

Y x

X x

0aY bX c 2 2 1Y X

Equazioni trigonometriche lineari

sin cos 0x x

sin cos 2

3 sin cos 3

Disequazioni trigonometriche elementari

x

ycos α < q

P

Aα*

O

Q

-1≤q≤1

1-1

-1<q<1

Soluzione:α*<α<2π-α*

2π-α*

cos α = q


x

ycos α < q

AO 1

-1

-1<q<1

q=1

Soluzione: 0<α<2πP



x

ycos α < q

P AO 1-1

q≤-1 Nessuna soluzione

-1<q<1

q=1

Soluzione: 0<α<2π



x

ysin α > p

P

Aα*

O

Q1

-1

-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*

π-α*


x

ysin α > p

AO

1

-1


p=-1 1 soluzione:0<α<3π/2 U3π/2<α<2 π


x

ysin α > p

A

1

-1


p=-1 1 soluzione:0<α<3π/2 U3π/2<α<2 π

p=1 Nessuna soluzione


x

ytg α > m

PAα*

O

Q

1

-1

mR Soluzione:α*<α<π/2 Uπ+α*<α< 3π/2π+α

*


3tan 3x

2sin 1x

1 2cos

2 2x

Disequazioni trigonometriche di secondo grado

2cos cos 0a x b x c

Pongo cosx=t

2 0at bt c

a>0

t1

t2

t2<t<t1t2<cosx<t

12 0at bt c

Pongo cosx=t


x

y

P

Aα

O

Q

1-1

R

S

2π-α

β

2π-β

α<x<β U

2π-β<x<2π-α

t2<cosx<t

1


22 3 1 0sen x senx

2 3cos

4x

tan cot 2x anx

Disequazioni trigonometriche lineari

sin cos 0a x b x c

sin cos 0a x b x c

x

y

PA

α*

OQ

1

-1

sin cos 0a x b x c

Disequazioni trigonometriche lineari

sin cos 1 0x x

3 sin cos 3x x

Disequazioni trigonometriche

sin (2cos 1) 0x x

24sin 10

2cos

x

x

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