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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI (M. Ded~, Mathesis,197S)

Premessa. Quando l a n base n de l J a nostra assoc j az j one ha proposto l'argomento

di questa conversazione, mi ha raccomandato di indugiare anche su questio­ni banal i o molto note. Spero di non aver esagerato nel tentativo di ac­contentare questa richiesta e preventivamente mi scuso presso coloro che giudicheranno arcinote alcune del le considerazioni che verranno esposte.

Qualsiasi argomento di matematica può essere presentato oggi sia in forma intuitiva (elementare) sia in forma astratta (avan4ata): questa af­fermazione ~ un po' arrischiata e, forse, non va presa al la lettera. Co­munque ~ vero che molte considerazioni di natura intuitiva sono state or­ma i "esp l i cate" e forma I i zzate, e che mo I t j argoment i dir i cerea mate­matica avanzata sono stati magistralmente esposti in forma intuitiva.

Mi è caro ricordare qui F. Enriques che si vantava con me di essere r~iuscito ad esporre al suo portinaio, che gl ielo aveva richiesto, le idee fondamental i di una ricerca che aveva in corso. Questo ricordo mi spinge anche ad affermare che, j n genera Ie, è ma Ito p i ù di ff i c i Ie presentare be­ne un argomento in forma intuitiva di quanto non lo sia presentarlo in forma avanzata. E aggiungo che sono fermamente convinto che una presenta­zione astratta, che oggi va fatta anche a I ivello secondario, risulta tan­to più efficace quanto megl io siano conosciute, dal discente ma anche dal docente, le varie presentazioni jntuitiveche si possono fare del.lo stes­so a.rgomento. E non vog I i o I asc i arm i sfugg i re l' occas i one per affermare che se un argomento è banale esso rimane tale anche con la presentazione più sofisticata.

La evoì uz j o ne de I co ncetto di ugu a9 I i anza I n geometrJa ~,I ~m-~n.tare.

In questa mia conversazione vorrii anche arriva~e a dAre una presen­tazione. Itavanzata It di alcune re!azionigeometriche elementari; però, d'accordo con la precedente premessa, presenterò anzitutto queste rela­ZIoni da un punto di vista intuitivo.

La relazione più importahte, per tutta la matematica ma anche per le altre scienze, è quasi certamente la relazione dì u9ua91 ianza. Sul l'aspet­to generale di questo concetto abbiamo gi~ discusso, ~on una certa ampiez­z a, t r e a n n i f a i n o c c a s i o ne d e I I a mi a c o nv e r s a Z i o r\.€ d a I t j t o Io " D i s c o r ­so su I l a uguag I j anza ", pubb I i cata po i su I Per i od i co di Matemat i che ne 1­agosto del 1973. Mi I imiterò ora a fare qualche osservazione sul 'concet­ ., to di uguaglianza ;in geometria elementare.

Ne la geometria elementare tradizio~ale si parlava quasi esclusiva­mente di uguaglianza tra figure geometriche e non di uguagl ianza come t r a s f o r ma z i o ne d e I l'i nt er o p i a no (o s p a z i o ), c os ì s i def i n i va no u9 u a I i du e po I i go n i sse ess i avevano ugu a I i tutt i . g I j H e Iement i ", c i o~ tutt j i lati e tutti gl i angol i. Questa definizione era equivoca, infatti un pi­gnolo poteva fjngeredi capirè che si esigesse che tutti i lati (o gl i an­go l i) d i uno stesso po I i gana dovessero essere ugua I i fra loro; ma, soprat­tutto, era anche sbagl i ata, i nfatt i conduceva ad affermare che, ad esemp i o, sono ugua l ì i due pentagon i segnat i i n figura, dove a i due q·uadrango I j di­rettamente ug u a I i ABCD, FGHl che hanno anche u 9 u a I i tra loro g l i a ng o I i LA eLD (eLI, LF), sono stati aggiuhti due triangoli inversamente ugual i ADE, IFL.

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Per e I i mi nare i I pr i ma i nconven i ente SI agg i ungeva un H r i spett i va­mente Tf e per el iminare i I secondo si aggiungeva un 1I 0r dinatamente Il Fi­niva cos~ per sorgere una corrispondenza biuni­voca tra i vert i c j deil due po' i gon i e qua Iche C H autore definiva! correttamente, ugual i due po­

B GI igoni sse avevano ugual i tutte le coppie di e­lementi corrispondenti. Va detto che non tutti D~~--A 1-- F gl i autori di I ibri di testo (nè che tutti gl i ~ j nsegnant i) fossero sempre ma! to attent i a l l' u- . E . L so di queste parole: rispettivamente! ordinatamente, o di altre qual ì as­sociato, omologo. Come talvolta accade anche in matematica - almeno nel la opinione del nostro compianto maestro, i J prof. Ricci - si era venuto a stabi l ire un linguaggio'" iturgico tl~ibale n e vari autori ripetevano queste locuzioni pur avendo perso nozione del la loro origine e, qualche volta, del loro significato. Perfino i I magnifico testo di Enriques e A­mafdi non è del tutto esente da queste criti~he ; induce infatti qualche perplessità trovare scritto (a p. 29 degl i elementi di Geometria, ed. 1958) "due triangol i egual i hanno ordinatamente egual i i lati e gl i angol corrispondenti '1. Poichè gl i autori avevano già prima precisato che cosa dovessè intendersi per corrispondenti, par proprio inuti le la parola ordi­natamente. Giova forse anche ri levare che non era raro trovare esaminatori troppo ze Iant i che tormentavano i cand i dat i che, ne J "dec l amal~e" Ie def i­nizioni, dimenticavano di aggiungere alcune di queste parole.

Spesso ci si preoccupava anche di definire la uguagl ianza tra figure no n p o l i g o n a I i e c o s ~, p i 9 no Ie s c a me nt e, s i def i n i va n o ugu a I i t ut t i i p \J, n ­ti, tutte le rette, tutte le semi rette, ecc~ Capitava anche di leggere che un punto divide una retta a cui appartiene in due parti ugual i, i l che pu~

anche risu.ltare falso se non si forza i I significato di "divide" (in-ten­dendo di operare una sezione e non una partizione).

Questa i mpostaz i one de I l'i nsegnamento de I l a teor i a de I I a congruenza (uguagl ianza) era essenzialmente le8ata al la polemica, sostanzialmente in­giustific~ta, contro la trattazione di Eucl ide, a cui si attribuiva una definizione di uguaglianza come sovrapponibilità. In verità Euclide non si era mai preoccupato di definire l'uguagl ianza che, sia pure impl icitamente era assunta come concetto primitivo. E' solo nei trattatistiposteriori che ~'uguagJ ianza viene derivata dal movimento, talvolta addirittura pre­cisando che i I movimento debba avvenire senza deformazione, cadendo cos~

In LI circolo vizioso. Peraltro qUesta polemica è servita a 6hiarire l'idea di uguagl ianza

in geometr~a e oggi possiamo affermare che non 'aveva del tutto ragio~e

Helmoltz dichiarando che "non si può parlare di congruenz<'l se non si pos­sono muovere dei corpi rigidi o sistemi di punti senza deformazione u; ma non aveva del tutto ragione neppure Veronese affermando che la definizio­ne de l II uguagl i anza per mezzo de I moV i mento non può essere accettata sen­U

za che venga meno ì I r j gore" • Effettivamente si conoscono oggi ottime sistemazioni rigorose del la

teoria che non ricorrono al movimento (basterà citare Hilbert) e altre, non meno rigorose, che vi ricorrono (ad esempio Peano e la sua scuola)~ Nel primo caso si assume come primitiva la relazione di congruenza tra segmenti (coppie di punti) e tra angol i (coppie di semirette con la stes­sa origine) e si postulaquanto occorre per poter affe~mare ~he= i) si tratta di relazioni di equivalenza; i i) SI possono trasportare segmenti

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e angol i; i i i) vale j I primo criterio di congruenza" Successivamente Si

estende I a congruenza a tutto i I p i ano" Ne I secondo CçlSO s I assume come primitivo i I concetto di movimento (ci6~ questo concetto non viene preso a prestito dal la meccanica) e si postula quanto occorre per poter affer~

mare che· i movimenti = i) sono trasformazioni puntual j; i i) mutano punti ùl I ineati i n punti ali ineati; i i i) formano gruppo; iv) esiste uno e! un solo movimento che pòrt~ una ·nel Italtra due bandiere. Bandiera ~ la fi9U~

ra costituita d.i un punto, pomo, di una semi retta che ha origine in que­sto punto, asta, di un semipiano la cui origine contiene questa semire~ta,

drappo; (di~semispazio la cui origine contiene questo semipìano).

La congruenza come trasformazione geometrica.

Come si è detto, si preferisce oggi, a ragione r definire la uguaglian­za geometrica come una trasformazione puntuale che opera su tutto i! piano (o su tutto lo spazio). Sì preferisce anche abbandonare la parola ugua~

glìanza (riservandola alla identità) e parlare di congruenza (altri auto­ri usano la parola isometria): si diranno poi congruenti due figure quan­do e s i s t a u n a c o ngru e n z a c h e p o rt a l! u n a ne I l'a I t r a • l n c e rt o q u a I s e nso, dal punto dì vis~a intuitivo, possiamo dire che si è tornati al la sovrap­ponibi I ità, estesa a tutto i I piano (spazio) e debitamente precisata.

D'accordo con la premessa, prima di arrivare al le preci.sazioni, ·riten­go opportuno presentare,da un punto di vista descrittivo, i vari tipi di congruenza.

Traslazione. la presentazione intuitiva di questa ben nota trasfor­mazione dovrà parti re da modell i concreti tratti dalle esperienze degl i scolari = spostamento di un cassetto; di un ascensore, di una funicolare (spostament i or i zzonta I i, vert i ca I j, ma anche spostament i ab I i qu i). Si ar­r i verà anche a mode I I i un po I p i ù astratt i, qua I e que I ! o d j far scorrere sulla. lavagna un fogl io di plastica trasparente (che vi aderisca perch~

è stato elettrizzato strofinandolo), in modo che una retta segnata sul

trasparente scorra su una retta segnata su, I a I avagna. Si dovrà mettere In chiara evidenza che si vuoi stabi I ire una appl icazione, cioè che la so­la cosa che qui interessa è la relazione tra la posizione iniziale e la posizione finale e non le vicissitudini intermedie. Si faranno poi sco­prire alcune del le seguenti proprietà: (a) La traslazione risulta definita da una coppia di punti corrispondenti. (b) E' una appl ica~ione biettiva del piano i n s~ (o de I lo sp az i o j n sè). (c) Conserva le lunghezze e gl j angol i <

(d) Non ha punti uniti. (e) Conserva le direzioni. (C o s t r u z i o ne di parai Ie Ie c onr I 9 a e s q u ad r' a ) • (f) Vi è un fascio di rette parai ìele che sono unite. (g) I I prodotto di due traslazioni è una traslazione, con una sola ecce­zione che si ~imuoye introducendo la traslazione identica. (h) I I prodotto è ~ommutat i vo (rego I a de I para I l e I ogrammo) <

(i) Le tras J az ion i formano gruppo (abe I i ano): I a T-congruenza, c i oè i a congruenza per traslazione, è quindi una relazione di equivalenza. (j) Le potenze, ad esponente intero, di una traslazione formano un gruppo che ~ isomorfo a Z.

Come ho già detto, queste proprietà, almeno al primo approccio, do­vrebbero essere scopel~te dag I i a I I i ev i, gu j dat i da domande opportune, I n

eserc i taz i on i prat i che dove si disponga d i mode I I i adatt!, fac i Imente rea­l izz bi I i, fatti costr'uil~e o, addil~jttura, fatti inventare dagl i alI ievi. Non sar~ necessario presentare tutte queste propriet~ e potr~ risultare stimo ante proporre esercizi che ne introducano altre, quale la ricerca del la base del gruppo abel iano del le traslazioni che mutano in sè un fo­g I j o (il I j l'l j tato) di carta quadrettata o che generano i I disegno d i una tapezzeria o di un tessuto. E si potr~ anche arrivare a trattare alcuni problemi di matematica ricreativa che riguardano la T-equiscompon'ibi I it~,

cioè l'indagine se due figure si possono scomporre in parti a due a due T-congr entj~

Spesso le proprietà an ranno riformulate in forma intuitiva~ senza fare sfoggio di parole 'eeniche sconosciute (biettiva, punti uniti; grup­po, abel iano, isomorfismo, ecc.): parole e concetti che verranno ripresi in trattazioni successI e , per le ual i sarà stato così preparato un pre­zioso materiale di esem IO.

E vorrei anche di hia are che non sono d 1 accordo con coloro che, a questo I ivel o, sfoggiano n zi n t~e Iat i v i st i che su I I a a! teraz ione de.1 Ie lunghezze, introducendo uestioni erOtiche che, quando pure siano state bene intese dal docente, sare ber a l i I tese da I discente.

Rotazio e. Anche qui si par ira da model li concreti noti e se ne co­struiranno artri pit schemati~zati. Sar~ bene fare anche riferimento a ca­s l j n c u I !' s s s e di r ot a z i o e è s o I t a nt o i cle Ie ( mo v i me nt o s U I~ o t a i e o de I ­I a Luna) ed i nsi stet~e s I fatto che a r~otaz .1e va estesa a tutto i I p i a­no (la giostra, prolungata, pu~ essere un moder lo suggestivo) e che la ro­t a z: i o ne r. o n vai Il t e s a c ome u n mo v i me nt o ma c me li lìa ap p I i c a z i o ne d e l Ia p o ­sizione iniziale sul la posizione finale. el l'e eneare le propriet~ da far scoprire agi i ali ievi ci riferiremo alla trasformazione nel piano; è per~

opportuno fare anche qualche riferimento ai lo spazio, almeno per chiarire alcuni equivoci del la nomenclatura corrente. In questo contesto la rotazio­ne avvIene sempre ~ntorno ad un asse,e, ad esempio, non ~ lecit6 parlare del la rotazione di un oggetto che sia vincolato con un giunto cardanico. Ecco alcune proprietà: (a) Esiste sempre un punto unito (i I centro del la rotazione): è fondamen­tale la costruzione di questo punto quando sia data una figura e la sua trasformata (sta sugl i assi delle coppie di punti corrispondenti). (b) E' comodo definire una rotazione mediante una coppia di semi rette cor­r i spondent i T che hanno I a stessa or i g i ne. Ri su Ita cos1 i I centro e I l am­piezza del la rotazione: questà è un angolo e, li) quanto tale, è definita a meno di multipl i di 2n. Potrà convenire riferirsi al la misura princi­~ (non negativa e minore di 2n) o alla misura aritmetica (positiva o negativa e, in valore assoluto, minore di n). Cc) Se le due semi rette sono opposte~ allora si ha i I mezzogiro o simmetria centrale. Parlando di questa notevole trasformazione sar~ opportuno far elen­care figure che hanno un centro di simmetria. Si potr~ anche uti·lmente diva­gare citando i I ben noto gioco del tavol ino dotato di centro di simmetria: due giocatori si alternano nel col locare uno stesso oggetto (un sigaro, nel­I~ versione originale) sul tavol ino e perde chi non trova pi~ spazio suffi­ciente per collocarne un altro. La strategia è quella di occupare sempre la posizione simmetrica di que~la occupata daìl'avversario: chi gioca per primo .. se occupa i l centro; è sicuro di poter vincel~e. Si ha così l'occasio­ne di mettere in evidenza che si ha qui un caso di congruenza "allo stato

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puro ", cio.è una pura associazione dei punti al le loro immagini, senza do­ver pensare a trasformazioni continue che trasportino .gl i unI nel le altre. W) Vi è un fascio di circonferenze concentriche unite~ (e) Tutte l~ direzioni sono alterate di uno stesso angolo (ampiezza del la� rotazione).� Cf) Una rotazione è anche definita da una coppia di semi rette (che non sia­�no parallele ed equiverse). Costruire i I centro.� (9) Il prodotto di due rotazioni, in generaie, non è commutativo (esempi e� controesempi).� (h) I I prodotto di due rotazioni è una rotazione o una trasla~ione (preci­sare): quindi le rotazioni non formano gruppo. (i) Le rotazioni con un dato centro formano un gruppo abel iano: a diffe­renza di quanto accadeva per le traslazjoni, questo gruppo può anche ri­sultare un gruppo finito. Anche qui andr~ introdotta la rotazione iJentica. (j) Le potenze ad esponente intero di una rotazione formano un gruppo abe­I iano a cui Z è omomorfo: risulta un isomorfismo sse l'ampiezza è in00mmen­surabi le con TI.

(k) Il prodotto (non commutativo) di una rotazione per una traslazione è una rotazione (tranne, ovviamente, I caso in cui la rotazione sia identì­ca. ( I L' i ns ì eme de I Ie rotaz i on i e de I Ie tras I az i on i è un gruppo (non abe I i a­no): è i I gruppo del le congruenze dirette. Ciò significa affermare che ogni congruenza diretta è una rotazione o una traslazione. Le congruenze dirette inducono una relazione di equival.snza tra figure geometriche, le qual i si diranno direttamente congruenti sse esiste una congruenza diretta che por­ta l'una nel I 'altra.

Anche qui SI può ripetere quanto è stato detto a commento del le propriet~

delle traslazioni. In- particolare sar~ uti le ricorrere a model I i per rea­I izzare esempi e controesempi dipropriet~ poco intuitive. Molte proprie­tà potranno essere formu I ate d i rettamente da l l'a I l j evo per ana Iog i a (o per contrasto) con quelle elencate per 'Ie traslazioni. Potrà apparire inaspet­tata I 'ultima propriet~ e, ad esempio, dester~ interesse la costruzione del centro de I r a rotaz i one che porta l'uno ne I l'a' tro due tr i ango I i di rettamen­t e c o ngru e nt i ( c h e no n ab b i a no I a t i p a r a I Ie I i), d i seg nat i, a d e s e mp i o, trasportando, senza ribaltarlo, un ritagl io di carta (o una squadretta).

Simmetria rispetto ad una retta (o riflessione). I modelli concreti da cui si potr~ partire sono lo specchio piano (megl io se argentato su en­trambe le facce), la carta piegata, una porta (meglio se è del tipo ribal­tabi le, con II asse di rotazione j n centro), le pagi ne di un J ibro o qua­derno, ecc.

Spesso è anche chiamata simmetria assiale o, addirittura, ribaltamen­to: queste denoniinazioni impl icano la considerazione di una rotazione di mezzo giro nel lo spazio e la restrizione di questa trasformazione al pia no considerato (che conterr~1 'asse del la rotazione). Vi è qualche buona ragione per non fare riferiment~tale rotazione (e quindi di evitare di parlare dì asse di simmetria, dicendo sempl icemente retta di simmetria), sia per non introdurre elementi estranei, sia, soprattutto, per liberarsi dal movimento come trasformazione continua. Se non si fa riferimento al la rotazione, ad esempio con uno specchio, si real izza un'altra congruenza al­lo "stato puro u.�

Ecco alcune propriet~:

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,(a) Risulta" una trasformazione puntuale del plano intero In se (non di un solo semipiano nel I taltl~o).

(b) P deFinita da una coppia di punti corrispondenti. (c) Vi è una retta di punti uniti (retta di simmetria), che è l'asse di o­gni coppia di punti corrispondenti. (d) Vi è un fascio di rette parallele, perpendicolari al la retta di simme­tria, che sono unite. (e) ~ue rette corrispondenti si incontrano sul la retta di simmetria o sono entrambe parallele a questa retta. (f) La trasformazione è involutoria. (g) f I prodotto di due simmetrie è una rotazione o una trasJazione. (Preci­sare). (h) I I prodotto di due simmetrie è commutati v o solo nel caso in cui le due rette di simmetria sono perpendicolari (o, banalmente, coincidenti). Ci) Le simmetrie non formano gruppo e, quindj non inducono una relazione di equivalenza. (j) La trasform~ra di una simmetria Sl mediante una simmetria s2(cioè i I prodotto S2S1S2 ) è ancora una simmetria S3" Qual è la retta di simme­tria di S3 ? Quando accade che S3 = Sl ? (k) !! prodotto di una simmetria per una traslazione,perpendicolare al la ret­ta di simmetria, è una simmetria (precisare). (l) Bastano al pi~ tre simmetrie per portare una nel l'altra due figure con­gruent i • (m) Ogni congruenza inversa è una antitraslazione (cioè è i I prodotto com­mutativo di una simmetria per una traslazione - eventualmente identica - pa­rallela alla retta di simmetri aL

Come per gl i altri concetti,non abbiamo dato alcuna definizione di con­gruenza, congruenza diretta, congruenza inversa che andranno qui intese nel" loro aspetto intuiti va.

Tra le esercitazioni basterà qUI segnalare la ricerca di figure note dotate di una o più simmetrie; la generazione di If pavimentazioni ti (mosai­ci) generate da riflessioni parallele o perpendicolari oinciinate di un sottomultiplo di TI.

A questo punto sono disponibi li tutte le congruenze: esse formano grup­po e, quindi, inducono una relazione di equivalenza (geometria metrica). "

Ricordiamo che alcuni autori preferiscono la denominazione isometria, inoltre invece degl i aggettivi diretta o inversa si trovano spesso le qua­l ificazioni concorde o discorde o, anche, ~ o dispari.

Considerazioni di carattere generale sul le congruenze.

Le propr i età precedentemente e I encate contenevano, i mp l i c i tamente, seguente notevole

Teorema. Esiste una e una sola congruenza che porta una bandiera, <A, a, n>, in un~altra, <A t

, a', n~>"

Vale forse la pena di dare qUI una dimostrazione esplicita di questo teorema.

La simmetria Sl: A 1--;:,. Al porta <A, a, TI> In <A', al' n l >; se a l =a' e n 1 =n", al fora la congruenza richi"esta è la simmetria Sl' Altrimenti con­sideriamo la simmetria S2: al 1--;:,. a~, la quale porterà <A', ~l,nl> In <Al, a', n 2>; se TS! ~. n', allora la congruenza richiesta è data dal prodot­to S2 S 1 che rappresenta una congl~uenza diretta che è precisamente una tras­

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lazione (sse a, a' sono parallele e concordi) o una rotazione. AI"b~imenti

cons i der i amo l a si mmetr i a S 3 :TI 21--:>n i: i I prodotto s 3 S 2 S l (che com~ vedre­mo ~ una antitras!azione) d~ la congruenza richiesta. Ovviame~te ne! caso In cui sia A = A', la congruenza richiesta rIsulta da! prodotto di non più di due simmetrie.

Lt~nicit~ del I~ congruenza - che, ovviamente, non significa unicit~ di costruzione - segue dal fatto che tutte le congruenze che portano

t<A, a, n> in <A t , a , n'> , portano un qualunque punto P nello stesso pun­to P'. Infatti è ben determinata (unica) la immagine di un punto 8 della semi retta a ed ~ ben determinata la immagine del triangolo ABP(situato o non nel semipiano n).

Il caso in cui la congruenza dchiesta risulti una congruenza diret­ta ~ già stato precisato (si ha una traslazione o una rotazione), Una con­gruenza inversa non si pu~ invece ricondurre sempre ad una sola trasforma­zione"elementare ": o si tratta di una simmetria oppure è i I prodotto di una simmetria per una congruenza diretta. Tra le varie decomposizioni 'cano­n j che" che s i possono fare, l a p j LI notevo l e è qUe l l a che r i conduce ogn i congruenza inversa al prodotto commutativo di una traslazione per una sim­metria parallela alla traslazione: è questa la trasformazione che abbiamo già chiamato antitraslazione. Per stabi I ire questo fatto, consideriamo la retta m che passa per i I punto medio di AA' e che biseca le direzioni (o­rientate) delle semi rette a, a': la antitraslazione che ha la retta m come retta unita porta effettivamente (se la congruenza considerata è inversa) una band i era ne I I Y a' tra e qu i nd i, per l a un i c i tà pr--i"mò"d i mostrata, I a con­gruenza data coincide con questa antitraslazione.

Presentazione intuitiva di altre trasformazioni geometriche elementari ~

Omotetia. E' forse il più semplice esempio di similitudìne, motivata, ad esempio, dal problema del l'ingrandimento o del la rappresentazione in sca­la. Tra i vari modéll i si può esibire l'abituale pantografo (parallelogram­ma articolato) o un pantografo più rudimentale che si real izza con un fi lo elastico fissato ad un estremo e che al l'altro estremo porta una punta scri­vente: mantenendo teso l'elastico si fa percorrere ad un punto intermedio (segnato eventualmente con un nodo)la figura da ingrandire; la punta scri­vent~ descriverà l'ingrandimento. Non c'è da sperare di ottenere cosl un buon disegno, ma è faci le visual izzare così la proprietà fondamentale~

Come precedentemente,enunciamo alcune proprietà~ (a) Esiste un (solo) punto unito O, che si chiama i I centro di ornotetia. (b) Le rette per O sono rette unite. (c) Le distanze da O sono tutte moltipl ìcate per un -fattore costante k (di­verso da zero) che si chiama rapporto di omotetia (o fattore di scala). Non si esclude che k sia negativo; in particolare, per k = -l, Si ritrova la simmetria centrale. (d) La trasformaz ione, b i un i voca i n tutto i I p r ano, tl~asforma punJc i a I I I nea­ti in punti ali ineati. (e) Ogni lunghezza viene moltiplicata per 1<. Ogni area è moltiplicata per k 2 •

Cf) Una circonferenzé),di centro C e raggio r, si trasforma nel la circonfe­I~enza di centro C Y (trasformato di C) e r.aggio kr. Questa proprietà è anche più faci le da giustificare della (d), la quale si può giustificare in modo analogo, pensando la retta come luogo dei punti equidistanti da due punti dati.

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(g) Rette ~orri~pondenti hanno la stessa direzione (l'eventuale punto comu­ne, diverso da 0, sarebbe unito)u (h) Angol i corrispondenti sono congruenti. (i) Figure corrispondenti sono simi I i (hanno la stessa forma geometrica). (j) Le potenze ad esponente intero di una data omotetia (tra le qual i fi­gura I 'omotetia identica, con k 1) formano un gruppo abel iano che ~ ;so­morfo a Z. (k) I l prodotto di due omotetie ~ una omotetia o una traslazione (precisare). (I) Non sempre i I prodotto di due omotetie ~ comm0tativ~ (esempi e contro­�esempi).� Cm) Le omotetie non formano gruppo e, quindi, non inducono una relazione di� equivalenza.� (n) Si può forzare la propr;et~ ~ e riguardare le traslazioni come omotetie� p a rt i c o I a r i ( c o n j I centro improprio): SI ha così un gruppo (e una relazio­ne d; equivalenza).� (o) Esistono due omotetie (una del le qual i ~, eventualmente, una traslazio­�ne) che mutano una nell'altra due circonferenze.date. Fissato i I raggio CP� VI sono infatti due raggi CP1'y Ctp/ parallel i (concordi o non): i due cen­�tri O~ e 02 delle omotetie sono i punti comuni a CC' e, rispettivamente, PP1'"�

PP2'. 01' 02 sono detti centri di simi I ituidine dei due cerchi dati.�

Esercizj: costruire j I centro di una omotetia che muta uno· nell'ajtl~o due tr i ang che abb i ano i I at ì para I Ie! i; lo stesso per due quadrango I i (pre­c i sare); lo stesso per due quadrat i; per due po I i gon i rego I ar i. Costru i re le tangenti comunI a due circonferenze (quante sono ?).

Simi I itudine. Si può ottenere come prodotto di una omotetia per una congruenza: diciamo che si fa un ingrandimento (o impicciai imento) e poi lo si porta altrove I anche su altro fogl io. Diventa quindi faci le elenca­re e giustificare le seguenti proprietà:

(a) Le omotetie e le congruenze sono particolari simi I itudini. (b) La simi I jtudine ~ una trasformaz'ione biunivoca in tutto i l piano (o tra

due piani) che trasforma rette in rette e circonferenze in circonferenze (i centri del le qual i sono punti corrispondenti).

(c) Tutte le lunghezze risultano moltipl icate per uno stesso numero k (fat­tore di scala); le aree risultano moltiplicate per k 2 •

(d) Le similitudini (tra piani sovrapposti, o tr'a piani orientati) SI posso­no classificare in simi I itudini dirette o simi I itudini Inverse"

(e) Gli angoli corrispond~nti sono congruènti. (f) Due coppie di punti corrispondenti, <A, A'>; <B, B'> definiscono due

simi I itudini,una diretta e l'altra inversa. (g) Ogni similitudine diretta"che non siauna traslazione, ha un (solo)

punto unito. Infatti supponiamo che la si~ mi I itudine non sia una omotetia (caso cui la propriet~ ~ banalmente vera) e i segmenti corrispondenti AB, A'B i si in­contrino in Z: i l punto unito è la ulte­riore intersezion~delle circonferenze AA'Z e BB'Z~ Per giustificare questa af­fermazione basta osservare che, per le propriet~ angolari dei q~adrangol i inscritti In una circonferenza, due triangol'j ABO, A'B'O risultano (diret...;

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tamente) sJml I i. (Non dà difficoltà l ' esame del caso particolare in cui O=Z). (h) Ogni Slml I itudine diretta, che non sia una traslazione, ~ una rotoomote­tia, cioè si può decomporre nel prodotto commutativo di una omotetia per una rotaz j one avent i lo stesso centro (che è appunto i I precedente punto un i to O) • (i) Il prodotto di una omotetia di centro O per una simmetria,rispetto ad u­na retta m passante per O, è commutativo e dà luogo ad una simi I itudine in­versa che si chiama antiomotetia: per essa sono uniti i l punto O (centro), la retta m e la perpendicolare n al la m per O (assi del la antiomotetia). (j) Ogni simi I itudine inversa, che non sia una antitraslazione, ~ una anti­ornotetia~ Infatti una tale similitudine è il prodotto di una ol11otetia per una congruenza inversa (antitraslazione), cioè è i J prodotto di una omotetia per una traslazione e per una simmetria. Ricordando che i I prodotto di una omotetia per una traslazione è un'altra omotetia, possiamo pensare che la simi I itudine data sia i I prodotto di una omotetia, d~ oentro,U j per una sim­metria,pispetto ad una retta r • Sulla perpendicolare alla r per U vi èun punto O che è unito per la simi l itudine data (detto k j l fattore di scala e e c la distanza di r da IJ, un faci le calcolo mostra che tale punto ha' da U distanza 2c/l+k). Siano m, n le rette per O che sono, rispettivamente, pa­rai llela e perpendiçolare alla retta: le antiomotetie che hanno centro in O e assi le rette m,n e fattore di scala k o -k, coincidono con la simi I itu­dine data.

La costruzione del centro e degl i assi del le antiomotetie,equivalenti al la simi I itudine data, si pu~ fare rapidamente congiungendo i punti Al' B. che divido o internamente le coppie di punti corrispondenti Ay A'; B, 8; nel rappor o AB/A'B'; e congiungendo i due punti A2 , B2 che dividono ester­namente Ie stesse due copp i e ne I lo stesso r appo rto x (Come sottop ro dotto si trova che le due rette 111 e n che cos1 risultano sono perpendiòolari).

Per giustificare la costruzione precedente si consideri una antiomoteti.l di centro O e assi m, n; siano Ap A2 i punti in cui la retta .AA Y

, che con,:" g i unge due punt i corr i spondent i, tagl-j a Ie rette m, n. Le rette corr; spon­denti OA e OA', poichè la simi I itudine conserva gl i angol i, sono bisecate dalle rette unite m e n e pertanto (teorema della bisettrice) Al' A2 divi­dono, j nternamente ed esternamente, i r segmento AA' ne I rapporto OA/OA '=l/k~

(l) Le simi J itudini formano gruppo e, quindi, inducono una relazione di e­quivalenza (Geometria simi le).

Esercizi: far costruire una similitudine che sia definita da: i) una coppia di segmenti corrispondenti (far precisare); ii) una coppia di triangoli si­m! I i (cas j part ì co! ar i: rettango I i, i sosce l i, equ i I ater i) x Sarà ut i J e sem­pl ificare le costruzioni ricorrendo al le' decomposizioni canoniche prima pre­sentate. In ciascun caso sarà uti le far precisare i I numero del le soluzioni. Far costruire la figura simile,- con dato fattore di scala, di una figura data (anche por igoni non convessi, o figure pi~ compI icate). Uso di quadret­tature per ingrandire. Pu~ essere stimolante fare rappresentare su due luci­di, in scale diverse una stessa regione geografica e far notare che se si sovrappongono i due lucidi vi è un punto unito (cioè coincidono le immagini diverse di una stessa local ità).

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Affinit~ omologica ortogonale. Pu~ essere presentata come una espansfO­~ o contrazione èhe si ottiene precisamente moltipl icando per uno stesso fattore k =I- O tutte le distanze da una data retta, detta asse del la affini­t~ omologica. GeneraI izza la simmetria che si ritrova per k = -1.

Ecco alcune propriet~:

(a) E' una trasformazione puntuale di tu~to plano. (b) Vi è una retta di punti uniti (l'asse). (c) Punti ali ineati si trasformano in p nti ali ineati. (d) Vi è un fascio di rette parallele, perpendicolari all'asse, che sono u­nite. (e) Due rette corrispondenti Si incontrano ~sull 'asse o sono entrambe paral­lele al 'asse. (f) La trasformazione pu~ essere definita da una coppIa di punti corrispon­denti e da! fattore k. (g) Tuite le affinit~ omologiche ortogonal i ,che hanno un dato asse, formano un grup o. (h) Le distanze fra coppie di punti situate su rette di data direzione sono tutte 'moltiplicate per uno stesso fattore h; in particolare h = 1 per la di rez i one de I l'asse e h = k per I a cl i rezi one perpend i co Iare a I l'asse. (i) Tutte le aree sono moltipl icate per uno stesso fattore, che è lo stesso k. (j) Rette parallele si trasformano in rette parallele (in particolare un pa­rallelogrammo si trasforma in un parai lelogrammoL (k) Esiste sempre una affinità omo!ogica ortogonale che trasforma un dato� rettangolo in un c:vadrato. (Si assurrìa l'asse parallelo ad un lato ••• )� (I) Esiste sempre una affinit~ omoiogica ortogonale che trasforma un dato� paratIe ograrmno in un. rettangolo~(Si assuma come asse una diagonale ••• )� (m) Esiste sempre una affinità omologica ortogonale che trasforma un dato

-,� t r i a n9 o Io i sos c e I e i n u n t r i a n9 o l o e q u j I a t e r o. ( S i a s s urna .c o me a s s e u n a p a·­rallela al la base ••• ) (n) Esiste sempre una affinità omologica ortogonale che trasforma un dato triangolo in un triangolo isoscele.(S·i assuma, ad esempio, come asse i I lato AB del triangolo dato e si faccia corrispondere al terzo vertice C un punto C' tale che CC' ~ perpendicolare ad AB e AC' = AB). (o) Ogni affinità omologica ortogonale si pu~ costruire ~ome prodotto di una proiezione� ortogonale del nostro piano n su un altro piano TI I , passante per l'asse, e di un ribaltamento, intorno all'asse, di TI I su TI. Infatti si vede fac i Imente che dopo queste due operaz i on i Ie d i stanze da I l'asse r i su Itano moltipi icate per 1/cosnTI 1 ~

(p) Una circonferenza si trasforma nel la proiezione ortogonale di una cIrcon­ferenza, cioè in una eli isse. (Della quale si possono così stabi I ire le varie propriet~: in particolare la formula che dà l'area). (q) Esiste sempre una affinit~ omologica ortogonale che trasforma una data e I I i sse i n una c i rconferenza. (S i assuma l'asse para I I e Io ad un asse ~ de I I a eli isse e moltipl icatore i I rapporto delle lunghezze degl i assi).

Esercizi: oltre a quel I i, analoghi ai precedenti, riguardanti la costruzione di affinità variamente determinate, si possono presentare molti interessanti problemi di geometria affine. Si osservi infatti che i I prodotto di un nume­ro finito di affinità omologiche ortogonal i d~ luogo a trasformazioni pi~

generai i" (aff1nità).. che formano gruppo, per le qual i valgono ancora le pro­

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prieta (a)., (c)., (h).. (i), (j), (pL Operando con queste nuove trasformazio­ni si potr~ risolvere qualsiasi problema di geometria affine (cio~ che, in particolare, si riferisca al le proprietà ora citate) relativo ad un parallek grammo o ad un triangolo o ad una eli isse .. sostituendo a queste figure ri­spe~tivamente un quadrato, un triangolo equi latero o una circonferenza. Esempi. 1. Trovare i I minimo par·alle!ogrammo che si ottiene dividendo i lati (orientati) di un dato parai letogrammo secondo uno stesso rapporto k • (Riferendosi ad un quadrato diventa banale trovare k = -1). 2. jnostrare che il triangolo PQR",che ha vel~tici sui lati di un dato trian­golo ABC, non è mai minore di ciascuno degli altri triangoli in cui risulta scomposto j r tr i ango lodato. (Supponendo che PQ R s i a equ i Iatero, ì I fatto è ban mente vero se anche A8C ~ equ i Iatero .. ma è anche vero se uno degl i altri triangol i, diciamo AQR .. ha LA > 60°, e ciò deve sempre accadere per­chè i tre angol i d~ ABC non possono essere tutti minori di 60°). 3. Si può dare una nuova dimostrazione del I 'es~stenza e del le propriet~ del baricentro, ~iferendosi ad un triangolo equi latero. 4. Trovare' I massimo triangolo inscritto in una el I isse. (Nel la circonferen­za ~ equilatero; nell'ellisse avrà ciascun lato parallelo alla tangente nel vert.i ce opposto. Come so·tto prodotto s i tr~ova che,r ne l I • e I I i sseJl' tutt i j tr j­ango! i cosiffatti .sono equivalenti.

Simmetria obl iqua. Si presenta in un triangolo, ris~etto a ciascuna me­diana, in un paraI lelogrammo, rispetto a ciascuna mediana, ecc. Come trasfor­mazione geometrica piana si ottiene associando ad ogni punto P ; I punto pi tale che PP' abbia una data direzione (costante) e sia dimezzato da una da­ta retta (asse del la simmetria). Valgono con ovvi adattamenti le precedenti propriet.1 (a). (b).., (cL .(d), (e)., (h) .. (i) (anzi le aree" a parte liorienta­mento, sono conservate), (j).

Considerando la simmetria obl iqua che ha per asse una mediana di un tri­angolo, diventa banale dimostrare che le tre me~jane passano per uno stesso punto.

Affinit~ om%gica speciale. Pu~ essere introdotta a partire dal lo scor­rimento che subiscono le carte da gioco di un mazzo quando si passa dalla forma di parai felepipedo retto a quel fa di parallelepipedo obl iquo ..

Precisamente ad ogni punto P si associa un punto P' tale che PP' sia parallelo ad una retta fissa (asse) e tale che le rette AP; A9 P' si incontri­no su I l'asse o s i ano entrambe para I Ie Ie a I l'asse" essendo A, A' una data coppia di punti corrispondenti (situati su una parai lela al l'asse).

Va Igono anche per questa trasformaz ione, ! e precedent i propr i et1 (con qualche adattamento). Le aree sono, anche qui, conservate.

Al gruppo del le affinit1 generai i, di cui abbiamo 9i1 P9rlato e che d~ luogo alla geometria affine, appartengono, oltre alle affinit~ particolari o r a p re s e nt at e so a nc h e Ie s i mi / i tu d i n i e, qu i ndi, Ie i s ome t r i e w Da I Ie c o ns i de­razioni fatte sono gi~ emerse le proprietà principali. Vogi iamo solo far ve­dere che risulta anche la propriet1 fondamentale:

Esiste una e una sola affinità che porta uno nell'altro due triangoli dati. Si osservi i~fatti che ogni triangolo si può trasformare, con una affi­nit~, in un triangolo equi tatero e che due triangol i equi lateri sono simi I i. Per j~ unicit~ occorrerà solo precisare che l'affin~tà di cui si parla porta, diciamo, i l triangolo ABC nel triangolo AYB'C', non, ad esempio, in B~A'C'.

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Inversione circolare" E V questa una trasformazione geometrica che non ha carattere proiettivo~ cioè non trasforma rette in rette ma rette in circonfe­renze. Peraltro essa si può definire e trattare in forma elementare e trova applicazioni in fluidodinamica e in elettrologia.

Si tratta di una appl icazione biunivoca di tutti j punti del piano, di­versi da un punto fisso O (centro di inversioneL che associa ad ogn i,. punto p j I punto p v tale che P e P' sono ali ineati A con O e Op·OP' = k (k, potenza del IO, inver~jo­

ne, deve essere diverso da zero). Volendo appoggiare la sua introduzioneO

su un model lo concreto, si potrà real izzare r'inversore di Peaucellier: si tratta di un sistema articolato, costituito di due sbarre di lunghezza a, incernierate in un punto fis­so O, e di altre quattro sbarre, di lunghezza b, incernierate tra loro in modo da formare un rombo che ha due vertici opposti incernierati al te estre­mità libere delle prime due aste. Detti P e P' i due vertici liberi del rom­bo, sorge tra P e P' una corrispondenza che è appunto una inversione circo­lare (ristretta alla regione raggiungibile con l'apparecchio). Si osserva i nfatt j che i tre punt i O, P, P' s i mantengono a I I i neat i (stanno su I l'asse di AB, altra diagonale del rombo); inoltre si ha, succéssivamente, op-OP' = (OH-PH)(OH+HP') = OH2~ PH2 = (OH2+ HA2)~.(PH2+ HA2) = a 2 - b 2 •

l n forza de I Ie propr i età che ora espot'remof s i può usare l,' apparecch i o come compasso per disegnare archi di cerchi molto grandi: basta aggiungere una settima sbarra CP e fissare C in modo che p descriva una circonferenza ~,

prossima ad Ope P' d~scriYerà i I corrispondente arco di circonferenza (se la prima circonferenza passa per O, la seconda diventa una retta).�

Enunciamo alcune proprietà� (a) La trasformazione è biunivoca in ~utto 1 I piano, 'con la sola eccezione del punto O: si può rimuovere questa eccezione introducendo un ente astrat­to O', corrispondente di O (cio~ ampl·iando i I piano con un solo punto impro­~). .

(b) Le rette per O sono unite. (c) Se k < O, al iora non vi sono punti uniti; se k > O, allora sono uniti tutti i punti della circonferenza di centro O e raggio Vk (circonferenza fondamentale).

P'(d) La trasformazione ~involutoria. (e) Una retta non passante per O viene trasforma­ta in una circnnferenza tangente in O ad una ret-t Q parallela alla data. Si può stabi I ire questa pro- O H prietà osservando che l'inverso P',di un punto P, vede sotto un angolo retto i l segmento OH', essendo H' l' i nverso de I p i ede H del la perpendicolare condotta da O al la retta data: risultano infatti simi I i i triangoli OPH, OH'P', perchè OP:OH' = OH:OP'. (f) Una c i rconferenza per O s i muta i n una retta para' Ie I a a J J a tangente i n O, (g) Ogni circonferenza passante per due punti corrispondenti è unita. Infatti� siano P, P lj punti dati e Q, Q' due punti del la circonferenza al I i ne at i con O.� Si ha OQ-OQ' = OP"OP' (teorema del la secante) e quindi Q' ~ J' inverso di Q.� C ) I I prodotto di due inversioni che abbiano lo stesso centro ~ una omotetia� che ha lo stesso centro.� (i) Ogni inversione circolare si può decomporre nel prodotto di una inversio­

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ne circolare concentrica, di potenza arbitraria, per una omotetia concentrica. (j) Una circonferenza y, non passante per O, si trasforma in una circonferen­za t, non passante per O. Infatti pensiamo di decomporre l'inversione data nel prodotto di una inversione concentrica la cui potenza sia uguale al la po­tenza di O rispetto a y ~ per questa inversione Y è unita) per una omotetia concentrica (e per questa omotetia la Y va in una circonferenza yl). (k) Se O è interno a Y, allora esso è anche interno a y': le due circonferen­ze risultano ugualmente orientate e i punti interni a Y si trasformano in punti esterni a y'. Se invece O è esterno a Y, allora esso è anche esterno a Y', Ie c i rconferenze r i su Itano or i entate I n vers l oppost i e i punt i i ntern i a Y vanno in punti interni a y'. (m) L'angolo formato da due 6urve Y1 1 Y2 in un loro punto comune P è uguale e contrar i o a I I ' ango I o formato j n P' da Yl' e y /. Infatt j ove si not i che l'inversione conserva i I contatto di due curve (naturalmente le curve devono ammettere tangente}, baster~ riferirci al caso in cui Y1 e Y2 siano due ret­te: queste s i mutano i n due c i rconferenze Yl' e Y/ che si tag I i ano i n O e i n pr; l'angolo in O è uguale, per la (e), all'angolo di Y 1 Y 21 ed è uguale e contrar i o a I l' ango I o formato da I I e slesse c i rconferenze i n P'. (n) La circonferenza fondamentale (quando'esista) è perpendicolare ad ogni circonferenza unita. Risulta come corollario della propriet~ precedente, ma si. pu~ stabi lire direttamente in fo~za del teorema del la secante e del la tan­gente. (o) Vi sono due inversioni che mutano una nel l'altra due circonferenze date: hanno centro nei centri di simi I itudine delle due ci rconferenze. (p) Una coppia di circonferenze '(,' Y2 si pu~ sempre trasformare, con una In­versione, In: i) una coppia di rette,se Yl'Y 2 sono secanti; ii) in una cop­pia di rette parai lele, se '(lI Y2 sono tangenti; i i i) in due circonferenze concentriche se Y1I Y2 non sono secanti. II solo caso che non è ovvio è i I terzo, a meno che non si ricordi che esiste un fascio di circonferenze orio­gona' i a due circonferenz~ date: prendendo come centro di inversione uno d~i

punti base di questo fascio (punto I i~ite per le circonferenze date), ris~' tano due c i rconferenze Y1" Y/ Ie qua l i sono tag l i ate ortogona Imen·te da l I e rette di un fascio, cioè sono concentriche. (q) Le inversioni circolari non formano gruppo: 51 ottiene un gruppo consi­derando le trasformazioni più generai i che sono prodotto di un numero finito di inversioni circolari(Geometl~ia anallagmatica). (r) Trasformando una inversione circolare con una inversione circolare si ot­tiene una inversione circolare.

Una importante appl icazione delle i nversioni ci rcolar.i è quel la di u sem ­p I i fi care I e figure" , soprattutto i n quest i 01'1 i di geometr i a e' ementare che riguardino circonferenze e loro an901 i (in particolare perpendicolarit~ e contatti). Infatti, a meno di inversioni circolari, ci si potrà riferire a rette o a circonferenze particolarmente comode. A titolo di esempio vogl io ricordare la sempl icissima dimostrazione di uno dei ben noti "porismi Il di Steiner: se nel la zona compresa fra due circonferenze non secanti si inseri­scono altre cjrconferenze/~ngenti al le due circonferenze date e tal i che cia­scuna tocchi esternamente la successiva, allora può accadere che l'ultima tocch i I a pr i ma. Ed ecco j I por i sma: se c i ~ accade partendo da una c i rconfe­renza, allora accade sempre, qualunque sia la posizione del la prima circon­ferenza inserita. La dimostrazione è ovvia se, in forza della (p), ci si ri ferisce a circonferenze concentriche.

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Proiezione stereogl~a-Fica della sfera. Si tratta ora della appl icazione di una sfera su un piano. Si potr~ partire dal problema del la cartografia, cio~ del la rappresentazione del i Terra (o di una sua regione) su una carta geogr<:Jfica: poichè la: sfera non ~ una superficie svi luppabi le, si avranno sempre delle distorsioni; se si vuole che gli angoli non siano distorti, cioè se si vuole una rappresentazione conforme, si ricorrer~ al la proiezione ste­reografica.

Fissato un punto O della sfera w, si associa ad ogni altro punto P, del­la sfera stessa .. i l punto P~ in cui la i~etta OP tagl ia un ben determinato piano n, 2aral lelo al piano ~ che è tangente in O al la sfera data. Le figu­re che si ottengon6 al variare del piano TI (che andr~ maritenuto parai lelo a ~), sono simi I i fra loro, cos1 che non fa differenza sostanziale riferirsi~

come f no molti autori, al caso in cui TI è un piano diametrale. Ecco alcune propriet~:

(a) La trasfo~mazione è biunivoca con la sola eccezione del punto O. Si pu~ rimu~vere questa eccezione ampi iando TI con un solo punto i"mproprio O'. (b) Le circonferenze di W che passano per O si trasformano in rette di n, e, inversamente, le rette di TI provengono tutte da circonferenze passanti per O. (c) Sono uniti tutti i punti della eventuale circonferenza comune a W e TIs

(d) Le circonferenze di w,che non passano M per O, si proiettano in circonferenze di TI e, inve samente, ogni circonferenza di TI è prole Ione di una circonferenza di W,

non passante per • Sia infatti Y una cir­conferenza i W e sia ~ la sfera passante per Y e per la proiezione A' di un punto A diY~ la ulteriore intersezione di a."con i l cono che da O proietta Y, è la circon­ferenza Y', proiezione di Y. Sia infatti P un altro punto di Y e P' la ulteriore in­tersezione di OP con a.: la figura, incui è disegnata la sezione con i I piano OAP, che non è necessariamente piano diametrale d i W, mette i n i uce che LO = Lp = LA', c i oè

---"r--'-------}<----------­che A P è parallelo al la tangente in O e A' Y TI

ciò è quanto dire che P' sta anche su TI. lnversamen e, supposto che y' sIa u­na circonferenza, consideriamo la sfera a. che passa per y' e per un punto A di Y= la ulteriore intersezione di a. con la sfera W è la curva Y(circonferen­z a ). S i a j n f a t t i P' u n p u nt o d i y , e P l a i nt e r s e z i o ne d i OP ~ con w; "I a s t es s a figura mette in luce che LA' = LO = LP, così che i quattro punti A, P, P', A' sono conc i c I i c i e P appart i ene anche a I l a sfera 0..

(e) II centro C' della circonferenza y' sta sulla retta che co giunge O con i I polo E del piano di Y. La figura, in cui è disegnata la sezione diametrale che contiene E, mette in evidenza che, essendo ~§ pa­ra I Ie lo a I p i ano tangente lJ., Lo = LA = L~: è qu i n- A di j sosce Ie i I tr i ango l o AAC e, ana l ogamente, B§C. p rtanto E ~ i I punto medio di A§ e quindi anche c t è plnto medio di A'B', cioè appunto C' ~ i I centro del la circonferenza Y. (f) La pro i ez ione stereograf i ca conserva 9 I I A'

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angoli. j. infatti t unatangente p In p.. alla sf0.rcc w e si cons r deri i I p i ano che da O pro­ietta t in tI. La figura, che rappresenta la se:::. i one con questo p i ano, j nd j ca eh e Lp=Lo=Lp l,

V P' \cioe che t e t sono ugualmente incl inate ri­spetto ad OP. Conside;~ando allora due tangenti !n P 1 t l e t 2p gl; angol i tlt? e ti t/ sono ugual i perchè sono sezioni ugualmente incl inate di uno stesso diedro. (g l i a no L: l e L: 2 cl u e p r o j e z i o n i s t e r e o g r a f i c h e d e I I a s t es s a s f e r a W.r S U u n_CJ stesso piano p fatte dai due centri diametralmente opposti. J l prodotto L: 2 L: l è una t asformazione dii piano TI in sè che è precisamente una inversione cir­cofar che ha come circonferenza fondamentale la eventuale intersezion.e di TI

con w. Cf) Con I e notaz i on i precedent i F ; I prodotto L: 2-~ l è una trasformaz i one i n­valutoria del la sfera w in sè, che SI pu~ costruire per proiezione dal polo de! p·ano TI rispetto alla sfera w.

Osser 'dZ i one. I I cenno che abb i amo vo! uto dare de I I e di mostraz;i on i si ntet i che del propr'età meno ovvie, potrà far apparire artificiosi tal; metodi sinte­tici a chi preferisce i metodi di routine del la geometria ana' itica. Peraltro ho anche vo uto accontentare coloro che hanno conservato i l gusto geometrico per i metodi intetici.

olarit~ risp~tto ad un cerchio. Anche questa ultima trasfornIBz;ione, tra i iano punteggiato e i l piano rigato~ si pu~ trattare in forma del tutto eleme tare e rappresenta un esempio significat~vo di trasformazione tra enti di natut>a di vers a.

i pu~ definire a partire da una inversione circolare T di centro O e po­tenza k, associando ad ogni punto P la retta p, che passa per p v ed è perpen­dico aread OP (ovviamente questa stessa definizione pu~ essere formulata sen­za menziona~e l'inversione)·. Si dice che P è i I 2..2...l...2. della retta p e che que­sta è la polare di P.

Ecco alcune proprietà~

(a La cor ispondenza è biunivoca con una sola eccezione che si rimuove am­pl iando j I piano con la retta jmp'~opr>ia (piano proiettivo) che sarà, per defi· nizione, la polal~e di O. B (b) Se la polare di A passa pel~ B, allora la polare di B p ssa per A (10.990. di l'eciprocitàJ S i n o t i i n f a t t i c he s e A', 8' s o n o 9 r i i tW e I~ s i

A tdi , a I ,Iora q st i attro pu 1:: i sono con­I

ciclici e an -he l'angolo In 8' risulta retto, cioè appunto A2· polare di B. (c) Se un punto A descrive una retta r, allora la polare d A descrive un fa­�scio che ha come sostegno i! polo R di infatti se A sta su r allora la po­�lare di A passa per R.� (d) Se k > O, allora la circonferenza fondamentale del;; inversione, che si� dice anche circonferenza fondamentale per la polarità, è tale che la polare� di un suo punto coincide con la tangente in quel punto.� Cc) Ne'lI I 'if ot:csi prccedentc, 10 polùrc di un punto P estel~no pùssù per i pun+:� J; c o ti t l t i: o cl c I J l~ 1~ d Il ~ lc Il t i u S C G Il id,1 P.� (f) Se - < , allora si può decomplrre lù polarità data nel prodotto commu­tativo di una simmetr~a rispetto ad O per una polarità dotata di circonferen­�za fondamentale.( ntipolarità).�

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. (g) II prodotto di due polarità concentriche è una omotetia.

Anche sul la polarità si possono svolgere uti [i esercitazioni: in parti­co Iare r i su Iterà st i.mo Iante far costru'i re po J o o po I are con i I metodo de I Ie tangenti Ce), anche nel caso in cui i J polo sia interno o la polare siaI

non secante: I a necessar i a app I i cazi one .de I I a legge di reci proc i tà rende particolarmente eleganti certe costruzioni.

Forse mi sono troppo di lungato sul l'aspetto intuitivo del le trasforma­zioni geometriche e debbo quindi rimandare ad una prossima chi.acchierata la presentazione rigorosa di alcune di queste trasformazioni.