Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 28, n. 1, p. 23 - 33, (2006)www.sbfisica.org.br

Transicoes de fase sem termodinamica(Phase transitions without thermodynamics)

Adriana G. Dickman1, Ronald Dickman2 e Fabrıcio Almeida Barbosa1

1Departamento de Fısica e Quımica, Pontifıcia Universidade Catolica de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil2Departamento de Fısica, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil

Recebido em 22/8/2005; Aceito em 2/12/2005

As aplicacoes de transicoes de fase vao muito alem do contexto da termodinamica de equilıbrio, de ondesurgiu. Nos revisamos um dos principais exemplos de uma transicao de fase em um sistema sem termodinamica,o processo de contato (PC), com enfase no metodo de campo medio. Apresentamos um estudo de campo medioaplicado a um modelo para a transmissao da malaria em uma populacao. Discutimos tambem as novas aborda-gens da distribuicao quase-estacionaria e o processo de contato conservativo.Palavras-chave: transicoes de fase, processo de contato, aproximacao de campo medio, malaria.

Phase transitions find application well beyond the context of equilibrium thermodynamics, where they arose.We review one of the prime examples of a phase transition in a system lacking thermodynamics, the contactprocess (PC), emphasizing mean-field theory methods. We also present mean-field results for a model of trans-mission of malaria in a population, and discuss the new approaches of quasi-stationary distributions, and theconserved contact process.Keywords: phase transitions, contact process, mean-field approximation, malaria.

1. Introducao

No nosso dia a dia nos deparamos com questoes quepensamos serem raramente abordadas por modeloscientıficos. Sera que ja foi investigado o porque de sermuito mais comum ficar gripado no inverno do que noverao? Sera que fatores como maior agrupamento depessoas dentro de casa, escritorio com janelas fechadasseriam relevantes para esta questao? Sera que existe al-gum modelo matematico que possa ajudar a esclarecerfatos como estes?

O espalhamento de doencas epidemicas e um dosproblemas mais importantes da ciencia medica. O nu-mero de pessoas contaminadas pela AIDS aumenta acada dia, e muitas outras doencas como a malariae a influenza ainda fazem um numero substancial devıtimas. Em epidemiologia – estudo cientıfico da ocor-rencia, transmissao e controle da doenca, modelosmatematicos sao importantes para quantificar padroesde espalhamento da doenca e compreender o processode transmissao.

Neste trabalho procuramos entender um pouco maissobre o processo de espalhamento de uma epidemia,empregando ferramentas de fısica teorica. Esta dis-cussao mostra que as ideias de mecanica estatıstica temaplicacao muito alem do contexto termodinamico, onde

nasceu. Para tal utilizamos o processo de contato, in-troduzido por Harris [1, 2] como um modelo simplespara epidemias e um modelo para a transmissao damalaria.

Modelos como estes sao importantes na area defısica estatıstica, que procura entender os fenomenosrelacionados com sistemas de muitas entidades in-teragentes. Nas decadas passadas, teorias gerais detransicoes de fases e de fenomenos crıticos foram desen-volvidas, unificando a compreensao de transicoes gas-lıquido, transicoes magneticas, cristais lıquidos e ou-tros sistemas [3, 4, 5]. Esta grande atividade no es-tudo de transicoes de fases em sistemas termodinamicosde equilıbrio, foi acompanhada por desenvolvimentosparalelos em sistemas fora do equilıbrio, e ate em sis-temas sem termodinamica (para os quais os conceitos deenergia e trabalho nao se aplicam). O exemplo proemi-nente da ultima categoria e a percolacao, o modelo maissimples de uma transicao de fase geometrica [6, 7, 8].

A ideia de transicoes de fases foi umas das maisfrutıferas a ser exportada da fısica para outras areas;esta sendo utilizada na teoria de populacoes biologicas,em inteligencia artificial e em teoria da computacao.(Tambem em areas mais familiares para os fısicos:processos relativos ao funcionamento do laser, proces-

1E-mail: adickman@pucminas.br. 2E-mail: dickman@fisica.ufmg.br.

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sos nucleares, e em hidrodinamica.) Portanto, seriautil haver uma definicao de “transicao de fase”que naofosse baseada na termodinamica. Para a presente dis-cussao, uma definicao adequada, nao muito formal, se-ria: uma transicao de fase e uma mudanca abrupta,singular, das propriedades macroscopicas de um sis-tema de muitas unidades, como funcao dos parametrosde controle. Cabe nesta descricao as transicoes fami-liares (a propriedade macroscopica pode ser, por exem-plo, a magnetizacao de um bloco de ferro, enquanto osparametros de controle sao a temperatura e o campomagnetico externo), e tambem os exemplos de sistemasfora do equilıbrio como os citados acima (percolacao,epidemias).

Neste artigo pretendemos apresentar ao leitor umatransicao de fase sem termodinamica, ilustrando algunsdos metodos utilizados para estuda-la: teoria de campomedio e analise de probabilidades. Usamos como exem-plos o processo de contato e um modelo matematicopara a malaria. No processo de contato a interacao en-tre os indivıduos e direta, enquanto que no modelo paraa malaria ha a presenca de um vetor na transmissao dadoenca.

O processo de contato e um sistema de partıculasinteragentes que pode ser interpretado como um mo-delo para descrever o espalhamento de uma infeccao.Neste contexto, cada sıtio de uma rede d-dimensionalrepresenta um indivıduo que pode estar infectado ousaudavel. O sistema evolui segundo uma dinamica es-tocastica, que consiste dos eventos elementares de in-feccao e recuperacao. (Uma definicao mais precisa domodelo se encontra na proxima secao.) A infeccao seespalha atraves do contato direto entre indivıduos in-fectados e saudaveis. O espalhamento da infeccao de-pende de um parametro de infeccao que chamaremosde λ. Indivıduos infectados se recuperam com umataxa unitaria e sao suscetıveis a re-infeccao. Comoum indivıduo deve ter pelo menos um vizinho doentepara tornar-se infectado, o estado no qual todos os in-divıduos sao saudaveis e absorvente: o sistema nao podeescapar desta configuracao! Neste contexto, o estadoabsorvente representa o fim da epidemia.

A persistencia da epidemia e controlada peloparametro de infeccao. Se λ e muito pequeno, a ex-tincao da infeccao em tempos longos e certa; por outrolado, grandes valores de λ asseguram que a infeccaopode espalhar indefinidamente. A fronteira entre per-sistencia e extincao e marcada por um ponto crıtico, oqual e denotado por λc. O parametro crıtico λc separaos dois estados estacionarios que o sistema pode atingirem tempos longos: um estado livre de doencas (absor-vente), e um estado “ativo”onde a epidemia sobrevive.λc marca uma transicao de fase contınua entre um es-tado absorvente e um estado ativo.

O restante deste artigo e organizado do seguintemodo, na secao 2 apresentamos os modelos basicos;na secao 3 discutimos a aproximacao de campo medio

para o processo de contato; na secao 4 discutimos a dis-tribuicao do estado quase-estacionario para o processode contato; na secao 5 abordamos o processo de con-tato conservativo e finalmente, na secao 6 apresentamoso modelo para a transmissao da malaria e uma analiseutilizando as tecnicas de campo medio.

2. Modelos basicos

2.1. Processo de contato

Nesta secao definimos as regras do processo de con-tato (PC), seguida de uma breve discussao da suarelacao com a percolacao direcionada. Esta relacao en-tre os dois modelos e importante, pois a percolacao dire-cionada define uma classe de universalidade, sendo ummodelo bastante estudado e com inumeras aplicacoes.Modelos que pertencem a mesma classe de universali-dade compartilham o mesmo comportamento singularnas vizinhancas do ponto crıtico, em particular, os va-lores dos chamados expoentes crıticos [3, 4, 5].

No PC, cada sıtio i de uma rede hiper-cubica repre-senta um indivıduo que pode estar em um dos dois es-tados, saudavel ou infectado, denotado por σi = 0ou 1, respectivamente. O estado σi de cada in-divıduo pode ser alterado de acordo com as seguintes re-gras: indivıduos infectados podem tornar-se saudaveis(σi = 1 → σi = 0), a uma taxa unitaria, independen-temente de seus vizinhos; indivıduos saudaveis podemser infectados a uma taxa nλ/2d, onde n e o numero devizinhos infectados e d a dimensao do sistema. Assim,n/2d e a fracao dos 2d vizinhos que estao atualmenteinfectados.

A Fig. 1 mostra as possıveis mudancas de con-figuracao em uma rede unidimensional (d = 1) comcondicoes periodicas de contorno, ou seja, o ultimosıtio da direita e vizinho do primeiro sıtio da esquerda,e vice-versa. No diagrama o cırculo cheio (•) repre-senta um indivıduo infectado, e o cırculo vazio (◦) re-presenta um indivıduo saudavel. Iniciando com umaconfiguracao do tipo (• • •), onde os tres indivıduosestao infectados, e possıvel obter um dos tres estadosseguintes: (◦••), (•◦•), ou (••◦). Em cada um destesestados um dos indivıduos inicialmente infectado se re-cuperou. Seguindo a linha do estado (◦ • •) podemosobter: (◦ ◦ •) ou (◦ • ◦) com a recuperacao de um dosindivıduos infectados, ou (• • •) com a reinfeccao dounico indivıduo saudavel. E finalmente, a partir do es-tado (◦◦•) podemos voltar aos estados (◦••) ou (•◦•)com a reinfeccao de um dos indivıduos saudaveis, ouchegar ao estado (◦◦◦), do qual o sistema nao pode maissair. Este estado e chamado de estado absorvente. Eimportante salientar que um indivıduo saudavel so serainfectado se ele possuir vizinhos infectados.

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Figura 1 - Espaco de configuracoes para o PC em um anel de tressıtios. As linhas designam as possıveis transicoes, com as taxasindicadas (a taxa associada com uma linha solida e 1.)

Para distinguir as duas fases, introduzimos, comoe costume na fısica estatıstica, um parametro de or-dem. No PC o parametro de ordem ρ e a densidadeestacionaria de indivıduos infectados, que se anula noestado absorvente, o qual e caracterizado pela ausenciade indivıduos infectados. Quando λ aumenta alem deλc o sistema sofre uma transicao de fase contınua doestado absorvente para um estado estacionario ativo.

ρ

Figura 2 - Comportamento do parametro de ordem para oprocesso de contato em funcao de λ. λc e o valor crıtico doparametro de controle, que separa as duas fases do sistema.

Na transicao de fase do PC o parametro de ordem(ρ) cresce continuamente a partir de zero a medida queo parametro de infeccao aumenta alem do valor λc,como mostrado na Fig. 2. Perto do ponto crıtico, oparametro de ordem vai para zero segundo uma lei depotencia caracterizada por:

ρ ∼ (λ− λc)β ,

onde β e o expoente crıtico associado ao parametro deordem. A independencia dos expoentes crıticos comos detalhes da maioria dos sistemas e conhecida comouniversalidade. Modelos com o mesmo conjunto de ex-poentes crıticos formam uma classe de universalidade.Em geral, uma classe de universalidade e determinadapor caracterısticas globais tais como dimensionalidadedo espaco, dimensao do parametro de ordem, sime-tria e alcance das interacoes [9]. Modelos que possuemuma transicao contınua para um unico estado absor-vente geralmente pertencem a mesma classe de uni-versalidade do modelo de percolacao direcionada (PD)[10, 11, 12, 13].

2.2. Percolacao direcionada

O problema de percolacao vem sendo amplamente estu-dado desde que foi introduzido por Broadbent e Ham-mersley em 1957 [6, 7, 8] para tentar solucionar o en-tupimento de mascaras de gas. Percolacao de ligacaosimples e definida sobre uma rede, onde cada sıtio estaligado ao sıtio vizinho se a ligacao entre os dois es-tiver presente. Cada ligacao esta presente com umaprobabilidade p, independentemente das outras. Se p epequena, entao esperamos apenas regioes conexas bempequenas (a mascara nao serve para respirar). Acimade uma probabilidade crıtica pc, a rede percola, ou seja,existe um agrupamento de sıtios infinito conectandobordas opostas da rede. A presenca de tal agrupa-mento pode representar a possibilidade da agua per-colar atraves de uma rocha porosa, ou uma condutivi-dade nao-nula numa rede diluıda de resistores. Apesardo fato de os conceitos de energia e trabalho nao se apli-carem, o modelo de percolacao apresenta uma transicaode fase em pc. Esta transicao foi estudada intensiva-mente utilizando ferramentas desenvolvidas no estudode transicoes ferromagneticas.

Percolacao direcionada (PD) [6] pode ser definidacomo um problema de percolacao de ligacao comum,no qual as ligacoes sao distribuıdas aleatoriamente so-bre a rede com concentracao p, com a introducao deuma direcao preferencial para o problema, por exem-plo, uma rede diluıda de diodos (o diodo conduz cor-rente apenas em uma direcao). Para realizar o processo,deve-se girar a rede quadrada usual de 45◦, tal que cadasıtio tenha dois vizinhos mais proximos na linha acima,e dois na linha abaixo. Cada sıtio esta ou “molhado”ou “seco”(imaginamos que a linha superior esteja liga-da a um reservatorio de agua que vai percolar a rede seexistir um caminho de ligacoes). Cada elo na rede estapresente, independentemente, com uma probabilidadep; a agua so pode escoar de cima para baixo. E comumchamar os sıtios molhados de “partıculas” e os outrosde sıtios vazios. A Fig. 3 mostra as regras de transicaopara a percolacao de ligacao direcionada.

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0 p 2 -p p2

Figura 3 - Diagrama mostrando as regras para a percolacaode ligacao direcionada com probabilidade de ligacao p na redequadrada. • indica que o sıtio esta ligado a origem; e ◦ indicaque o sıtio nao tem ligacao com a origem.

Na Fig. 4 esta representada uma configuracao tıpicade percolacao de ligacao direcionada. A primeira linharepresenta o estado inicial, o qual e conectado porligacoes diagonais as partıculas da linha abaixo. Cadauma destas ligacoes orientadas esta presente com umaprobabilidade p independente das outras ligacoes. Umsıtio desta rede esta conectado a origem se e somente seele esta conectado ao sıtio da camada anterior que estapor sua vez conectado a origem. Ha uma concentracaocrıtica pc abaixo da qual a probabilidade de formar umagrupamento de percolacao infinito e zero. Proximode pc o sistema possui os comprimentos caracterısticosξ⊥ e ξ||, perpendicular e paralelo a direcao principal,respectivamente, que divergem como:

ξ⊥ ∝ (pc − p)ν⊥ ,

ξ|| ∝ (pc − p)ν|| ,

onde ν⊥ e ν|| sao os expoentes crıticos relacionados.ξ⊥ e ξ|| representam as dimensoes tıpicas dos agrupa-mentos para p < pc. Ambas, percolacao isotropica epercolacao direcionada exibem um ponto crıtico. Em-bora nao possuam uma interpretacao termodinamica,propriedades de escala associadas com correlacoes delongo alcance surgem, como em fenomenos crıticosde equilıbrio. A diferenca de simetria entre os casosisotropico e dirigido faz com que os expoentes crıticossejam distintos.

Figura 4 - Evolucao temporal tıpica a partir de uma partıculaunica na percolacao direcionada dinamica. Partıculas sao repre-sentadas por •, e sıtios da rede por ◦, e as ligacoes por flechas. Oagrupamento e tıpico daqueles observados para grandes valoresda probabilidade de espalhamento p (figura retirada da tese dedoutoramento de I. Jensen, Computer Simulations and Analyt-ical Studies of Nonequilibrium Phase Transitions in InteractingParticle Systems with Absorbing States, Denmark, 1992).

Uma interpretacao interessante e obtida se conside-rarmos a direcao preferencial como o tempo; as ou-tras dimensoes podem representar uma rede espacial.Esta interpretacao permite mapear a PD na teoria decampo de Reggeon (RFT) [14], uma teoria de fısica departıculas de alta energia, que modela a secao de choquede espalhamento de partıculas altamente energeticas.Uma analise do RFT mostra que ele apresenta umatransicao de fase na mesma classe de universalidadeque a PD. A transicao do PC tambem pertence a estaclasse de universalidade. Na verdade, o processo decontato d-dimensional corresponde a percolacao dire-cionada em (d + 1) dimensoes. Isto pode ser visto con-siderando um analogo discreto no tempo do PC no qualtodos os sıtios sao atualizados simultaneamente. Umagrande variedade de modelos de catalise tambem en-volve transicoes de fase com as mesmas caracterısticas[12, 15].

3. Campo medio para o processo decontato

Como uma primeira aproximacao na tentativa de en-tender o comportamento geral do modelo, utilizamostecnicas de campo medio – aproximacao de clusters.Esta e uma tecnica bem estabelecida em fısica es-tatıstica, tendo sido aplicada em modelos de spin, etambem percolacao direcionada e reacoes de catalise.De modo geral, o metodo consiste em tratar como inde-pendentes, eventos associados com sıtios afastados poruma certa distancia. Assim, na aproximacao de sıtios(a mais simples possıvel), cada sıtio e tratado comose fosse independente dos outros. Na aproximacao depares, sıtios separados por duas ou mais constantes derede sao considerados como independentes, e assim pordiante. Sob a hipotese de independencia, a probabili-dade conjunta P (σ1, ..., σN ) pode ser fatorizada, simpli-ficando a analise radicalmente. Os metodos de campomedio aplicados a energia livre sao muito familiares damecanica estatıstica de equilıbrio [5, 16]; no contexto denao-equilıbrio trabalhamos com a dinamica (equacaomestra) sendo a distribuicao estacionaria de proba-bilidade desconhecida. Os resultados obtidos atravesdesta analise, em geral, dao uma boa descricao quali-tativa do modelo, mas sao quantitativamente pobres.Ainda assim, a aplicacao do metodo se justifica porser a tecnica mais simples para a abordagem de mode-los matematicos e seus resultados servem de guia paraoutras investigacoes. Nesta secao nos mostramos comoaplicar este metodo e obter informacoes sobre o com-portamento do PC no nıvel de sıtios.

Nos consideramos o PC como definido na secao an-terior em uma dimensao. σi = 1 representara o estadodo sıtio i tendo um indivıduo infectado, e σi = 0 quandoo indivıduo estiver saudavel. A probabilidade de que osıtio i esteja infectado no tempo t e representado porP (σi = 1; t) ≡ ρ (analogamente, 1 − ρ representa a

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probabilidade de que o sıtio i nao esteja infectado). NaTabela 1 estao as taxas de mudanca para cada eventodo PC unidimensional.Tabela 1 - Taxas de mudanca para o processo de contato uni-dimensional no nıvel de aproximacao de sıtios. • representa umindivıduo infectado e ◦ representa um indivıduo saudavel.

processo taxa ∆N• ◦ • → • • • λρ2(1− ρ) 1

• ◦ ◦ → • • ◦ λ2ρ(1− ρ)2 1

◦ ◦ • → ◦ • • λ2ρ(1− ρ)2 1

• → ◦ ρ -1

No primeiro evento ocorre a infeccao do indivıduolocalizado no sıtio central a uma taxa λ; tratando cadasıtio independentemente e assumindo homogeneidadeespacial, podemos escrever a probabilidade para encon-trar o agrupamento nesta configuracao como ρ2(1− ρ).Cada contribuicao para a equacao de evolucao e dadapelo produto da taxa de mudanca e da mudanca nonumero de partıculas, ∆N . Assim, considerando osquatro eventos possıveis mostrados na Tabela 1, aequacao de evolucao para ρ e dada por, apos algumaalgebra,

dρ

dt= ρ(λ− 1)− λρ2. (1)

O regime estacionario e caracterizado por dρ/dt = 0,nao havendo mudancas macroscopicas no sistema. Paraλ ≤ 1 a unica solucao estacionaria e o vacuo, ρ = 0.Para λ > 1 nos encontramos tambem uma solucao esta-cionaria ativa, ρ = 1− λ−1. Pode-se mostrar que paraλ > λc = 1 o estado ativo e estavel e o vacuo instavel.λc marca o ponto crıtico, no qual a densidade esta-cionaria muda continuamente, porem de uma maneirasingular.

A Eq. (1) e a propria equacao de Malthus-Verhulst[17], que descreve a evolucao temporal do tamanho ρ deuma populacao que se reproduz mas cujo crescimentoe limitado por fatores ambientais (recursos finitos). Efacilmente integrada, dando:

ρ(t) =µρ0

λρ0 + (µ−λρ0)eµt, (2)

onde µ = λ−1 e ρ0 ≥ 0 e o tamanho inicial da popu-lacao. Evidentemente, ρ(t) se aproxima do valor esta-cionario (1− λ−1, se µ > 1, e 0 no caso contrario) paratempos t À |µ|−1. No ponto crıtico, µ=0, a populacaodecai algebricamente:

ρ(t) =ρ0

1 + ρ0t. (3)

Voltando a solucao estacionaria, observamos que ρe o parametro de ordem para esta transicao, assumindoum valor nao-nulo somente para λ > λc. Perto do pontocrıtico o parametro de ordem geralmente segue a lei depotencia,

ρ ∝ ∆β (∆ > 0), (4)

onde ∆ ≡ λ − λc. Portanto, na aproximacao decampo medio do PC encontramos β = 1, uma vez queρ = ∆ + O(∆2) para ∆ > 0. Visto como um sistemadinamico, podemos afirmar que a Eq. (1) exibe uma bi-furcacao transcrıtica em λ = 1 [18], ou seja, nesse pontoha uma troca de estabilidade no sistema. Isso ilustrauma correspondencia mais geral, entre uma transicao defase (em um sistema de muitas unidades interagentes) euma bifurcacao na descricao dinamica de campo medio.

Esta analise simples de campo medio preve umdiagrama de fase qualitativamente correto, enquantofornece valores muito ruins para o ponto crıtico e osexpoentes. Por exemplo, λc ' 3, 29 e β ' 0, 277 emd = 1. Isto e uma consequencia direta de se des-prezar correlacoes entre os sıtios; de fato eles sao al-tamente correlacionados. E importante observar queos expoentes de campo medio sao incorretos para di-mensoes espaciais d < dc. dc e a dimensao crıtica, acimada qual os expoentes crıticos sao do tipo campo medio;dc = 4 para o PC [10, 11, 16]. Cada sistema possui umadimensionalidade particular, conhecida como dimensaocrıtica, acima da qual a teoria de campo medio fornecea descricao correta das propriedades crıticas [16].

4. Estado quase-estacionario

Quando simulado em uma rede finita, o processo decontato evolui para, afinal, o estado absorvente. Issoocorre porque, se o numero de configuracoes e finito,a taxa para entrar no estado absorvente e maior quezero, enquanto a taxa para sair e, por definicao, nula.Entretanto, simulacoes computacionais (sempre de sis-temas finitos!) sao utilizadas para estudar o estadoestacionario do modelo. Como e possıvel conseguir isto,se o estado estacionario e sempre absorvente, uma redevazia? Na verdade, para redes razoavelmente grandes eλ > λc, o sistema pode permanecer ativo por um temposuficientemente longo para que as propriedades (dadoque o sistema ainda nao tenha atingido o estado absor-vente) atinjam valores que independem do tempo. Saoestas propriedades quase-estacionarias que obtemos emsimulacoes. O estado quase-estacionario converge parao verdadeiro estacionario no limite L →∞, onde L e adimensao linear da rede.

Para uma revisao da teoria e aplicacao de dis-tribuicoes quase-estarionarias veja as referencias [19,20]. Aqui nos ilustramos a ideia com uma conta exatapara o PC num anel de tres sıtios, a partir da equacaomestra [21]. O espaco de configuracoes e as transicoesneste sistema minusculo foram representados na Fig. 1(observe que a configuracao (◦ ◦ ◦) nao tem nenhumatransicao saindo dela, o que a define como absorvente).Apesar de ter oito configuracoes, a simetria entre as tresconfiguracoes com apenas uma partıcula (e, novamente,entre as tres configuracoes com duas partıculas), im-plica que sao necessarias apenas quatro variaveis para

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escrever a equacao mestra do processo:

PD0

dt= 3p1,

PD1

dt= −(1+λ)p1 + 2p2,

PD2

dt= −(2+λ)p2 + λp1 + p3,

PD3

dt= −3p3 + 3λp2. (5)

Aqui, p1 e a probabilidade de ter qualquer uma das tresconfiguracoes com uma partıcula, analogamente para p2

com duas partıculas, tal que a normalizacao das proba-bilidades se escreve: p0 +3p1 +3p2 +p3 = 1. E facil verque a probabilidade e conservada pelas equacoes, e quea unica solucao estacionaria e p0 = 1. Para encontrara distribuicao quase-estacionaria (QE), definimos, parai > 0,

pi,s(t) ≡ pi(t)1− p0(t)

,

que representa a probabilidade do sistema estar no es-tado i, dado que o processo tenha sobrevivido ate otempo t. Para tempos longos as pi,s convergem para adistribuicao quase-estacionaria. Na Fig. 5 mostramosa densidade 〈ρ•〉, e a razao m = 〈ρ2

•〉/〈ρ•〉2 no estadoquase-estacionario, em funcao de λ, obtidas por inte-gracao numerica das equacoes. A densidade cresce con-tinuamente, enquanto m (a flutuacao relativa da densi-dade), exibe um maximo. (Observe que para λ = 0 ouλ → ∞, a distribuicao QE esta concentrada ou em 1ou em 3, e nao ha flutuacoes.) E de se esperar que, au-mentando o numero de sıtios, a dependencia de ρ comλ se aproxime da curva mostrada na Fig. 5, enquantoo maximo de m fica cada vez mais agudo.

Figura 5 - Densidade e razao m no estado quase-estacionario doPC em um anel de tres sıtios.

5. Processo de contato conservado

Em mecanica estatıstica de equilıbrio, podemos estu-dar o mesmo sistema usando varios ensembles [5]. Oque distingue um ensemble do outro sao os vınculos.No ensemble microcanonico, por exemplo, a energiado sistema e estritamente fixa, enquanto no ensemblecanonico a temperatura e fixa, e a energia flutua. Sabe-mos que, no limite de tamanho infinito, os varios en-sembles fornecem previsoes equivalentes para as pro-priedades macroscopicas. Sera que podemos definir en-sembles distintos fora do equilıbrio, por exemplo, parao processo de contato?

Uma resposta afirmativa, preliminar, vem do tra-balho recente de Tome e de Oliveira [22], no qual foiinvestigado o Processo de Contato Conservado (PCC).Neste modelo, N(< Ld) pessoas infectadas sao colo-cadas em uma rede com Ld sıtios, que pode ser finita ouinfinita. (Como sempre, cada sıtio pode ter no maximouma pessoa.) Cada pessoa saudavel pode se tornar in-fectada com uma taxa n/2d , sendo n o numero devizinhos infectados. Mas agora, quando uma pessoatorna-se infectada, nao e por transmissao da infeccao,mas sim pela transferencia de uma pessoa infectadapara tal sıtio, escolhida aleatoriamente, entre todas asN pessoas infectadas. Assim, o numero N de pessoasinfectadas e estritamente conservado.

Para ver a conexao com o processo de contato usual,observe que e possıvel, por uma simples re-escala daunidade de tempo, dividir todas as taxas de transicaono PC por λ, tal que um sıtio vazio torna-se ocupadocom uma taxa n/2d, enquanto o processo reverso ocorrecom uma taxa de 1/λ. Assim, a taxa do processo◦ → • no PC e a mesma que no PCC. Para encon-trar o valor efetivo de λ no PCC, basta encontrar ataxa do processo • → ◦ no PC. Evidentemente a taxatotal de tais transicoes e N•◦/2d, onde o numeradorrepresenta o numero total de pares vizinhos tipo •◦.A taxa para um sıtio ocupado tornar-se vazio e entaoN•◦/(2dN) ≡ n•◦/2d, dando, no estado estacionario,

1λef

=〈n•◦〉2d

. (6)

Fica claro agora que no PCC o parametro de ordem,ρ• = N/Ld, tem valor fixo, enquanto o parametro decontrole λ flutua (observe que e necessaria uma redeinfinita para estudar o regime subcrıtico, mas isso naocausa dificuldades nas simulacoes, uma vez que N efinito.) Verifica-se em simulacoes que o valor crıticoλc, e o expoente crıtico β, sao iguais nos dois ensem-bles [22]. Logo depois, uma demonstracao formal daequivalencia foi feita [23]. O PCC tambem foi usadopara localizar o valor crıtico com uma precisao ineditaem dimensoes d = 1 - 5 [24].

Fazemos agora uma analise de campo medio para oPCC unidimensional. Na fase ativa, o tamanho L da

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rede e finito, e o numero esperado de pares tipo •◦ e:

〈N•◦〉 = 2NL−N

L, (7)

onde supomos N À 1 e, no espırito da aproximacao decampo medio, tratamos o estado de cada sıtio como in-dependente. (Assim, (L−N)/L representa a probabili-dade de um determinado sıtio estar vazio.) Da Eq. (6),encontramos:

1λ

= 1− ρ,

exatamente como na teoria de campo medio do PCoriginal. Observe que, para qualquer N (fixo),λ → 1 = λc, quando L → ∞. Nas simulacoesλ tambem aproxima do seu valor crıtico, deixandoL →∞ e o parametro de ordem ir a zero. Esta situacaolembra a criticalidade auto-organizada [25, 26], em queum sistema com uma transicao de fase para um estadoabsorvente e forcado a permanecer no ponto crıtico, naaparente ausencia de ajuste de parametros [27].

6. Modelo para o espalhamento damalaria

Estudamos a transmissao e espalhamento da malariaem uma populacao utilizando as tecnicas de campomedio. Para tal, definimos um modelo matematicoque descreve os principais mecanismos de transmissaoda doenca usando como base modelos previamentedefinidos.

No inıcio do seculo XX, Ross [28] descobriu que oparasita que causa a malaria e transmitido ao ser hu-mano pela femea infectada do mosquito Anopheles. Ociclo de vida do parasita se alterna entre hospedeiroshumanos e mosquitos, cujas formas evidenciam os dife-rentes estagios do processo. A seguir damos uma des-cricao qualitativa do processo, uma vez que detalhesquantitativos irao variar de uma especie para outra deparasitas, ou de populacoes humanas diferentes.

A femea infectada e caracterizada por possuirglandulas salivares invadidas por formas esporozoitosdo parasita. Os esporozoitos sao celulas que infectamnovos hospedeiros e constituem a forma infectante parao homem. Uma vez dentro do hospedeiro, os esporo-zoitos migram para o fıgado, onde se multiplicam as-sexuadamente. Ha entao uma liberacao de formas tro-fozoitos – estagio ativo no ciclo de vida dos parasitas,na corrente sanguınea. Esses, invadem e permanecemnos globulos vermelhos que ao se romperem liberam for-mas merozoitos – celulas-filhas dos parasitas resultantesda reproducao assexuada, que invadem novos globulosvermelhos, repetindo o ciclo varias vezes. Em um dadomomento, os gametocitos, que sao formas sexuadas doparasita, surgem de alguns dos merozoitos, assim, o

sangue de uma pessoa infectada pode conter diferentesformas do parasita.

As femeas do mosquito sao infectadas pelos ga-metocitos ao se alimentarem do sangue de um ser hu-mano infectado. Os gametocitos machos e femeas seacasalam no estomago do mosquito formando zigotos,que penetram as paredes estomacais e formam oocis-tos, que se rompem liberando um grande numero deesporozoitos. Alguns desses esporozoitos migram paraas glandulas salivares do mosquito e o ciclo completo serepete.

O ciclo de vida do parasita, dentro de hospedeirossucessivos, e complexo, mas a dinamica do processo detransmissao pode ser esbocada de uma forma simples.Os seres humanos so podem adquirir malaria de mos-quitos infectados, e mosquitos so podem adquirir a in-feccao de seres humanos infectados. Em modelos maisabrangentes, pode-se levar em consideracao, por exem-plo, mais detalhes do ciclo do parasita, casos de superin-feccao, onde cada hospedeiro pode receber uma infeccaoadicional, e tambem o impacto da reacao imunologicana aquisicao de infeccao adicional [29, 30, 31].

Em qualquer modelo que descreva a dinamica damalaria, deve-se introduzir a populacao humana I(tamanho N1) e a populacao de mosquito II (tamanhoN2). A dependencia recıproca das populacoes humanae de mosquitos na propagacao da malaria se assemelhaa dois processos de contato entrelacados. Nos modelosmais simples as populacoes nao mudam de tamanho.Longevidade em I e muito maior do que em II, assime necessario interpretar a invariabilidade de N1 e N2

diferentemente. Em I esta invariabilidade significa quenascimentos, mortes, imigracoes ou emigracoes sao depouca importancia na escala de tempo da epidemia,mas qualquer indivıduo pode ser infectado, entao cu-rado, infectado novamente, e assim por diante. Em II,similarmente, nao ha imigracao ou emigracao, mas de-vido ao curto tempo de vida dos mosquitos, podemossupor uma populacao de tamanho fixo. Para mantero tamanho de uma populacao constante, simplesmenteassumimos que cada morte e compensada por um nasci-mento.

Definimos o nosso modelo em uma rede quadradaonde cada sıtio representa um ser humano que pode es-tar infectado ou saudavel. Cada sıtio da rede tambempode estar ocupado por um mosquito saudavel ou in-fectado. A evolucao do modelo se da de acordo com asseguintes regras:

• Mosquitos difundem sobre a rede a uma taxa D;

• Mosquitos saudaveis se tornam infectados a umataxa I ao ocuparem o mesmo sıtio que um serhumano infectado;

• Mosquitos infectados se recuperam a uma taxaR2;

30 Dickman et al.

• Seres humanos saudaveis se tornam infectados auma taxa I ao ocuparem o mesmo sıtio que ummosquito infectado;

• Seres humanos infectados se recuperam a umataxa R1.

6.1. Campo medio simples

Abordamos o modelo para a malaria utilizando a apro-ximacao de sıtios (campo medio) como foi explicado nasecao 3. Para implementar esta tecnica seguimos ospassos:

• De acordo com as regras e possıveis arranjos depessoas e mosquitos na rede, constroi-se umatabela incluindo todas as taxas de todos os even-tos possıveis;

• De posse destas taxas, escreve-se a equacao deevolucao do numero de pessoas infectadas, donumero de mosquitos infectados, e assim por di-ante;

• Deste conjunto de equacoes extrai-se os valoresestacionarios para as grandezas de interesse;

• Atraves da analise dos dados (graficos, instabili-dade) tem-se uma descricao qualitativa do com-portamento geral do modelo.

Usaremos a notacao mostrada na Tabela 2 para re-presentar os possıveis estados de um sıtio.Tabela 2 - Notacao para os estados dos sıtios no modelo da mala-ria em termos do estado do ser humano (H) e do mosquito (M).

M \ H saudavel infectadosaudavel A Dinfectado B Eausente C F

Na Tabela 3 representamos as possıveis transicoesentre os estados de sıtios diferentes.Tabela 3 - Notacao para representar as transicoes possıveis entreos diferentes estados dos sıtios.

De A B C D E FA X T3 T6 T8 0 0B T1 X T7 0 T11 0C T2 T4 X 0 0 T14

D 0 0 0 X T12 T15

E 0 T5 0 T9 X T16

F 0 0 0 T10 T13 X

Na Tabela 4, listamos as taxas de transicao paracada evento possıvel, de acordo com a Tabela 3.

A partir destas taxas, podemos escrever as equacoesde evolucao para as probabilidades, adicionando os ter-mos que aumentam a probabilidade de um dado estado,

e subtraindo os termos que diminuem a probabilidadedeste mesmo estado.Tabela 4 - Taxas de transicao para os eventos entre os diferentesestados dos sıtios.

Eventos Taxas de transicaoA→B T1 = DA[B+E]A→C T2 = DA[C+F]B→A T3 = B{D[A+D]+R2}B→C T4 = DB[C+F]B→E T5 = IBC→A T6 = DC[D+A]C→B T7 = DC[B+E]D→A T8 = R1DD→E T9 = D{D[B+E]+I}D→F T10 = DD[C+F]E→B T11 = R1EE→D T12 = E{D[A+D]+R2}E→F T13 = DE[C+F]F→C T14 = R1FF→D T15 = DF[A+D]F→E T16 = DF[B+E]

dAdt

= D{-A(F+E)+D(C+B)}+R2B+R1D

dBdt

= D{E(C+A)-B(F+D)}-(R2 + I)B+R1E

dCdt

= D{-C(D+E)+F(A+B)}+R1F

dDdt

= D{-D(C+B)+A(F+E)}-(R1 + I)D+R2E

dEdt

= D{-E(C+A)+B(F+D)}-(R1 + R2)E+I(D+B)

dFdt

= D{-F(A+B)+C(D+E)}-R1F (8)

Resolvendo estas equacoes no estado estacionario (ondeas derivadas das probabilidades sao iguais a zero), e uti-lizando:

ρ ≡ Prob[ser humano infectado] = D+E+Fσ ≡ Prob[mosquito infectado] = B+E,

(9)

obtemos:

ρ =(D + R1)[DPmI2 −R1R2(R1 + R2 +D + 2I)]

DI[R1(R1 +D + I) +DIPm], (10)

para a densidade de pessoas infectadas, e

σ = Pr(σ = 1) =R1(R1 +D + I)

(R1 +D)(R2 + I)ρ ≡ χρ, (11)

para a densidade de mosquitos infectados, onde Pm =A+B+D+E e a probabilidade de se encontrar um mos-quito na rede. Na Fig. 6 mostramos os graficos obti-dos para R1 = 1, R2 = 2, Pm = 0, 6; (a)D = 0, 1; (b)D = 1 e (c) D = 100. Da Eq. 10, vemos que a sobre-vivencia da epidemia depende da condicao DPmI2 ≥R1R2(R1 + R2 + D + 2I). Resolvendo para I, encon-tramos que a sobrevivencia exige:

I > Ic =R1R2

DPm

1 +

√1 +

DPm(R1 + R2)R1R2

. (12)

Transicoes de fase sem termodinamica 31

Figura 6 - Densidade de mosquitos (linha fina) e pessoas (linhacheia) infectados para os parametros R1 = 1, R2 = 2 e Pm = 0, 6vs. a taxa de infeccao I para as taxas de difusao (a) D = 0, 1;(b) D = 1, 0 e (c) D = 100.

Como podemos observar no grafico, tanto a densi-dade de mosquitos infectados como a de seres humanosinfectados e maior do que zero a partir de Ic = 68, 2para uma taxa de difusao D = 0, 1; Ic = 8, 3 paraD = 1 e Ic = 1, 9 para D = 100. A densidade de pes-soas infectadas (representada em linha cheia no grafico)e descrita por uma curva com uma taxa de crescimento

mais acentuada, que atinge a saturacao em um valorproximo de 0, 6 para D = 0, 1; 0, 75 para D = 1, 0 e 1, 0para D = 100. A densidade de mosquitos infectados(representada em linha fina no grafico) e descrita poruma curva com uma taxa de crescimento mais suave,atingindo a saturacao para I (taxa de infeccao) apro-ximadamente igual ao caso dos humanos. O valor desaturacao varia com a taxa de difusao tendendo para osvalores ρ ∼ 1 para a densidade de pessoas infectadas, eσ ∼ 0, 6 = Pm para a densidade de mosquitos infecta-dos. Uma alta difusao de mosquitos pela rede, propiciaa infeccao dos seres humanos, fato que e confirmadopelo maior valor de saturacao.

A regiao acima da curva de linha cheia representaestados do sistema onde as populacoes de mosquitos eseres humanos nao apresentam sinais de infeccao. Como aumento da taxa de difusao de mosquitos esta regiaodiminui e comparando os tres graficos podemos con-cluir que a medida que a difusao aumenta, esta regiaotorna-se menor. O valor crıtico da taxa de infeccao Ic

tambem mostra uma dependencia com o parametro D,tornando-se menor a medida que este aumenta. Estevalor crıtico marca o ponto a partir do qual a infeccaosempre estara presente nas populacoes, portanto, paradifusoes maiores e natural que isto aconteca em taxasde infeccao menores. A difusao atua como um fator queajuda a aumentar a transmissao da malaria.

E natural perguntar se existe alguma correlacao en-tre a presenca de um ser humano infectado e um mos-quito infectado no mesmo sıtio. Para quantificar ograu de correlacao calculamos a covariancia, ou seja,a probabilidade conjunta de ter ambos infectados nomesmo sıtio menos o produto das probabilidades dosdois eventos. Uma covariancia nula indica ausencia decorrelacoes. A teoria de campo medio fornece:

Cov = E− (D + E + F ) (B + E)= E− σρ

=R1(I + R2)ρ(1− ρ)−R2

1ρ2

I[D(1− ρ) + R1]. (13)

Os graficos da Fig. 7 mostram a covariancia paradiferentes valores da taxa de difusao. De acordo com afigura, percebemos que ha uma correlacao positiva en-tre σ e ρ, como e de se esperar, pois a presenca de umapessoa infectada aumenta a chance de um mosquitoestar infectado no mesmo sıtio e vice-versa. E inte-ressante observar que para uma taxa de difusao maior(D = 100), a covariancia e praticamente nula. Umataxa de difusao alta provoca uma mistura dos compo-nentes do sistema, diminuindo as correlacoes entre aspopulacoes.

32 Dickman et al.

Figura 7 - Covariancia em funcao da taxa de infeccao (I) parataxas de difusao iguais a D = 0, 1; 1, 0; 100.

Uma aproximacao mais simples do metodo, seriaconsiderar as probabilidades de haver um mosquito eum ser humano em um dado estado, ocupando o mesmosıtio, como independentes. Assim, Cov ≡ 0. NaTabela 4 as taxas seriam simplificadas, por exemplo,a taxa T1 ficaria:

T1 = DA[B+E] = D(1− ρ)(1− σ)σP 2m, (14)

onde Pm e a probabilidade de haver mosquitos na rede.A mudanca nas outras taxas ocorre analogamente, e edeixada como exercıcio ao leitor interessado. As densi-dades estacionarias para este caso sao:

σ =PmI2 −R1R2

PmI(I + R2)

ρ =PmI2 −R1R2

I(PmI + R1). (15)

No ponto crıtico os valores estacionarios da densidadede mosquitos e seres humanos infectados se anulam,sendo caracterizado por Ic =

√R1R2/Pm. Os resul-

tados para esta aproximacao sao mostrados na Fig. 8,para os valores R1 = 1, R2 = 2 e Pm = 0, 6. Nestaaproximacao mais simples a difusao dos mosquitospassa a ser irrelevante para o espalhamento da doenca.

Figura 8 - Densidade de mosquitos infectados (linha fina) e pes-soas (linha cheia) infectados para os parametros R1 = 1, R2 = 2e Pm = 0, 6 vs. a taxa de infeccao I para a aproximacao onde asprobabilidades sao tratadas como independentes.

7. Conclusoes

Apresentamos uma revisao didatica do processo de con-tato, o mais simples modelo que exibe uma transicaode fase para um estado absorvente, fenomeno intrin-sicamente longe do equilıbrio. O comportamento sin-gular das propriedades macroscopicas como funcao doparametro λ, e as evidencias de escala na vizinhancado ponto crıtico, mostram que um sistema sem uma in-terpretacao termodinamica e capaz de gerar uma ver-dadeira transicao de fase.

Aplicamos a teoria de campo medio para o modelopara a transmissao da malaria e obtemos os diagramasde fases mostrando o comportamento do sistema paradiferentes valores da taxa de difusao. O calculo da co-variancia reforca a importancia das correlacoes entre oscomponentes do sistema, principalmente para taxas dedifusao baixas.

Discutimos aqui dois metodos muito usados nestesestudos: a teoria de campo medio e a analise proba-bilista. Cabe mencionar outros metodos muito im-portantes, cuja discussao deve ficar para uma outraocasiao: simulacao Monte Carlo, expansao em serie [32]e grupo de renormalizacao [16, 33].

Atualmente, existe uma grande procura das classesde universalidade de transicoes para um estado absor-vente [34], uma vez que tais transicoes sao associadasaos modelos de catalise, populacoes, criticalidade auto-organizada, e transicao para turbulencia. Dadas es-tas conexoes (e outras) com varias areas da fısica desistemas complexos fora do equilıbrio, e de se esperarainda mais atividade em modelos como o processo decontato e modelos afins no futuro.

8. Agradecimentos

A.G. Dickman e F.A. Barbosa agradecem o apoio finan-ceiro ao projeto de pesquisa Estudo do espalhamentoda malaria em uma populacao atraves de um modelomatematico pelo Fundo Interno de Pesquisa da Pon-tifıcia Universidade Catolica de Minas Gerais (FIP-PUCMINAS). R. Dickman agradece ao CNPq peloapoio financeiro.

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