toroide ferromagnetico
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7.6 Sapienza Elettromagnetismo 10/12/1982 Su un toroide ferromagnetico (μ r = 100, costante ed indipendente da H ) di raggio interno r = 10 cm e sezione quadrata di lato a =1 cm sono avvolte due bobine rispettivamente di N 1 = 100 spire e N 2 = 10 spire. Nella prima bobina scorre una corrente costante I =5 A, mentre la seconda bobina è collegata a un galvanometro balistico 1 mediante un circuito di resistenza R = 10 ⌦. Un settore del toroide pari ad un angolo ↵ =5 ◦ viene tolto come indicato in figura. Calcolare: a. il rapporto E/E 0 tra l’energia magnetica con e senza il settore mobile (si supponga trascurabile il flusso disperso); b. la carica Q che viene misurata dal galvanometro balistico. a) E/E 0 tra energie magnetiche con e senza settore mobile Energia del toroide intero Nel caso di materiali in cui la relazione tra B e H sia lineare, l’energia magnetica contenuta in un volume ⌧ è data da U M = Z ⌧ 1 2 ~ H · ~ B = Z ⌧ u M d⌧ dove la densità di energia magnetica è data da 1 è un tipo di amperometro. Un galvanometro viene utilizzato come balistico quando lo si fa percorrere da una corrente impulsiva la cui durata è piccola in confronto al periodo di oscillazione del galvanometro stesso (caso di piccolo smorzamento) o al tempo necessario affinché l’indice luminoso raggiunga la posizione di equilibrio (caso di smorzamento critico). In tali condizioni la carica elettrica q che ha attraversato lo strumento risulta proporzionale all’elongazione massima d dell’indice luminoso, secondo la relazione q = k B d 67
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7.6 Sapienza Elettromagnetismo 10/12/1982
Su un toroide ferromagnetico (µr = 100, costante ed indipendente da H) diraggio interno r = 10 cm e sezione quadrata di lato a = 1 cm sono avvoltedue bobine rispettivamente di N1 = 100 spire e N2 = 10 spire. Nella primabobina scorre una corrente costante I = 5 A, mentre la seconda bobina ècollegata a un galvanometro balistico 1 mediante un circuito di resistenzaR = 10 ⌦.Un settore del toroide pari ad un angolo ↵ = 5� viene tolto come indicato infigura. Calcolare:
a. il rapporto E/E 0 tra l’energia magnetica con e senza il settore mobile(si supponga trascurabile il flusso disperso);
b. la carica Q che viene misurata dal galvanometro balistico.
a) E/E 0tra energie magnetiche con e senza settore mobile
Energia del toroide interoNel caso di materiali in cui la relazione tra B e H sia lineare, l’energiamagnetica contenuta in un volume ⌧ è data da
UM =
Z
⌧
1
2~H · ~B =
Z
⌧
uMd⌧
dove la densità di energia magnetica è data da1è un tipo di amperometro. Un galvanometro viene utilizzato come balistico quando lo
si fa percorrere da una corrente impulsiva la cui durata è piccola in confronto al periodo di
oscillazione del galvanometro stesso (caso di piccolo smorzamento) o al tempo necessario
affinché l’indice luminoso raggiunga la posizione di equilibrio (caso di smorzamento critico).
In tali condizioni la carica elettrica q che ha attraversato lo strumento risulta proporzionale
all’elongazione massima d dell’indice luminoso, secondo la relazione q = kBd
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uM =1
2~H · ~B
Per determinare l’espressione del campo magnetico H usiamo il teoremadella circuitazione di Ampère per H
I
l
~H · d~l = ⌃Ii
⌃Ii somma algebrica delle correnti concatenate con la linea chiusa l, ov-vero per il nostro anello di materiale ferromagnetico di sezione a raggio ravvolto da N1 spire percorse da corrente continua I
H · 2⇡r = N1I ! H =N1I
2⇡r
Per determinare l’espressione del campo di induzione magnetica B usiamola relazione tra B ed H per materiali ferromagnetici
B = µH = µ0µrH = µ0µrN1I
2⇡r
La densità di energia magnetica è data da
u =HB
2=
µ0µr
2
⇣N1I
2⇡r
⌘
L’energia magnetica
UM =
Z 2⇡
0
Z a
0
Z r+a
r
µ0µr
2
N21 I
2
4⇡2r2rdrd�dz| {z }
d⌧
=µ0µr
2
N21 I
2
4⇡2
Z 2⇡
0
d�| {z }
2⇡
Z a
0
dz| {z }
a
Z r+a
r
1
rdr
=µ0µr
2
N21 I
2
4⇡22⇡a ln
⇣r + a
r
⌘
=µ0µr
2
N21 I
2
2⇡a ln
⇣r + a
r
⌘
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Energia del toroide con parte mancantePer il teorema della circuitazione di Ampère per H
H · (2⇡ � ↵) · r +H0↵r = N1I H =B
µH0 =
B
µ0
B · 2⇡ � ↵
µ0µr
+↵
µ0
!r = N1I B =
N1I 2⇡�↵µ0µr
+ ↵µ0
! 1
r=
A
r
L’energia magnetica
U 0M =
Z 2⇡�↵
0
Z a
0
Z r+a
r
A2
2µ
1
r2rdrd�dz +
Z ↵
0
Z a
0
Z r+a
r
A2
2µ0
1
r2rdrd�dz
= (2⇡ � ↵)A2
2µa ln
⇣r + a
r
⌘+ ↵
A2
2µ0
a ln⇣r + a
r
⌘
=
2⇡ � ↵
2µ+
↵
2µ0
!A2a ln
⇣r + a
r
⌘
=
2⇡ � ↵
2µ+
↵
2µ0
!"N1I
2⇡�↵µ0µr
+ ↵µ0
!#2
ln⇣r + a
r
⌘
=1
2
µ20µrN2
1 I2a
[(2⇡ � ↵)µ0 + ↵µrµ0]ln⇣r + a
r
⌘
=µ0µr
2
N21 I
2
[(2⇡ � ↵) + ↵µr]a ln
⇣r + a
r
⌘
Il rapporto E/E 0 tra l’energia magnetica con e senza il settore mobile
E
E 0 =µ0µr
2
N21 I
2
2⇡a ln
⇣r + a
r
⌘⇥ 2
µ0µr
[(2⇡ � ↵) + ↵µr]
µ0µrN21 I
2⇥ 1
a ln⇣
r+ar
⌘
=[(2⇡ � ↵) + ↵µr]
2⇡
b) la carica Q che viene misurata dal galvanometro balistico
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Legge di Faraday-Neumann:se un circuito è immerso in un campo di induzione magnetica il cui flussoconcatenato col circuito stesso sia variabile nel tempo, allora in esso si generauna forza elettromotrice indotta.
Legge di Lenzil verso della f.e.m indotta è tale da opporsi alla variazione di flusso che lagenera (il segno meno nella legge di Faraday-Neumann)
fi = �d�( ~B)
dtLa corrente
I =f
R=
1
R
d�( ~B)
dtLa carica
Q =
Z 1
0
Idt =1
R
Z 1
0
d�( ~B)
dtdt =
1
R
Z �0
�
d� =��
R
�� flusso concatenato con N spire.
Avevamo ricavato l’espressione del campo di induzione magnetica per laspira percorsa da corrente stazionaria I
~B0 = n̂µ0IR2
2(R2 + z2)3/2=
µ0 ~m
2⇡(R2 + z2)3/2
Teorema di equivalenza di Ampére: una piccola spira percorsa da correntesi comporta come un dipolo magnetico di momento ~m = ISn̂ (nel nostro caso~m = IS = I⇡R2n̂).Al centro della spira (z = 0) il campo
~B0 = n̂µ0IR2
2(R2 + z2)3/2z!0��! n̂
µ0I
2R=
µ0 ~m
2⇡R3
Flusso iniziale per una spira:
�1 =
Z r+a
r
Z a
0
Bdrdz =µ0µrN1I
2⇡
Z r+a
r
Z a
0
1
rdrdz =
µ0µrN1I
2⇡a ln
r + a
r
70
Flusso finale per una spira:
�01 =
Z r+a
r
Z a
0
Bdrdz =µ0µrN1I
[(2⇡ � ↵) + µr↵]
Z r+a
r
Z a
0
1
rdrdz =
µ0µrN1I
[(2⇡ � ↵) + µr↵]a ln
r + a
r
Legge di Felici
Q =1
R(�i � �f ) =
NSB
Rla carica totale Q che attraversa il circuito è pari alla differenza tra flusso
iniziale e finale divisa per la resistenza R della spira. Per una spira di areaS costituita da N avvolgimenti di resistenza R e immersa in un campo diinduzione ~B costante percorsa da, il flusso iniziale è
�i( ~B) = NSB
B valor medio di ~B sull’area della spira.
Allora
Q =N2
R(�0 � �) =
⇣N1N2Ia
R
⌘µ0µr
1
(2⇡ � ↵) + ↵µr
� 1
2⇡
!ln
r + a
a= 5.79 · 10�6 C
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