INDICE ANALITICO:

Capitolo 1 IL DISTACCO DEI VORTICI

1.1 Introduzione-Stato dell’arte 1.2 Distacco di vortici da cilindri fissi

1.2.1 Influenza del numero di Reynolds1.2.2 Influenza del numero di Reynolds sulla forza di Drag

1.3 Distacco di vortici da cilindri mobili 1.4 L’intervallo di sincronismo 1.5 Influenza dello smorzamento 1.6 Il modo 2S e il modo 2P

Capitolo 2 PROVE SPERIMENTALI SU UN CILINDRO RIGIDO

2.1 Descrizione della strumentazione 2.2 Analisi dei dati

Capitolo 3 PRESENTAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI

3.1 Modalità di prova 3.2 Prove di regime : risultati 3.3 Prove di transitorio : risultati 3.4 Influenza del numero di Scruton 3.5 Influenza della velocità della velocità del flusso incidente e della

correlazione spaziale del flusso 3.6 Calcolo della potenza introdotta

Capitolo 4 MODELLO DELLE FORZE INDOTTE DAL DISTACCO DI VORTICI

4.1 Equazioni di moto dell’oscillatore equivalente

1.IL DISTACCO DI VORTICI

1.1 Introduzione- stato dell’arte

Dal punto di vista storico i primi studi scientifici sul distacco di vortici furono effettuati da Strouhal nel 1878 in merito all’emissione sonora di fili, cavi e barre tesate sottoposte all’azione del vento. Egli osservò che il tono del suono emesso risultava essere dipendente dalla velocità del vento e dal diametro del cavo. Mise inoltre in evidenza che l’emissione sonora avveniva sia quando i modelli oggetto di studio rimanevano fermi sia quando questi venivano messi in vibrazione dal forzamento dovuto al vento incidente. Da ultimo notò il fenomeno della sincronizzazione, osservò cioè che la frequenza del distacco di vortici, fonte dell’emissione sonora, viene guidata dalla frequenza di vibrazione del corpo investito dalla vena fluida.

Gli esperimenti di Strouhal permisero di stabilire una costante di proporzionalità tra il valore della velocità e il diametro del cavo e la frequenza di distacco dei vortici: questa costante ha preso nome di numero di Strouhal St. La relazione seguente definisce la frequenza del distacco di vortici fs in funzione del diametro D e della velocità del fluido incidente V:

=

La ricerca del valore numerico della costante St, effettuata dallo stesso Strouhal, ha messo in evidenza la complessità del fenomeno. In particolare gli esperimenti di Strouhal mostrarono che il valore di St per una data sezione è funzione della velocità della vena fluida incidente o meglio è funzione del numero di Reynolds Re, definito come segue:

dove ρ è la densità del fluido, V la velocità della vena fluida, D una dimensione caratteristica dell’oggetto investito (il diametro nel caso di corpi cilindrici a sezione circolare) e μ la viscosità dinamica del fluido.

I diametri dei fili da lui utilizzati realizzavano, nell’intervallo di velocità testato, numero di Reynolds nell’intervallo 40<Re<160 per i fili più sottili , 400<Re<1000 per i cavi di diametro più elevato e 1800<Re<5400 per le barre più spesse. Strouhal riuscì a definire le costanti di proporzionalità tra la frequenza di distacco e la velocità del vento incidente per i casi relativi agli intervalli di Reynolds più elevati, fissò quindi 0,185<St<0,195 per Re compresi tra 400 e 5400, mentre nel caso relativo ai fili più sottili, quindi ai numero di Reynolds più bassi, osservò che non potevano essere rilevati valori di St costanti.

I successivi studi effettuati da ricercatori hanno messo in evidenza delle forti discontinuità in merito al valore assunto dalla costante di Strouhal; in particolare sono state studiate delle grosse differenze nella fluidodinamica del distacco al variare del numero di Reynolds e nel caso il cilindro sia fisso o mobile.

Negli anni trascorsi dagli esperimenti di Strouhal la ricerca sul distacco di vortici è stata molto sviluppata e ha messo in evidenza numerose criticità, tanto che a oggi rimane aperto il problema della modellazione di questo tipo di forzamento. 1.2 Distacco di vortici da cilindro fisso

Un corpo tozzo investito da un fluido in movimento sviluppa nelle immediate vicinanze della propria superficie una zona caratterizzata da forti gradienti di velocità e di pressione detta strato limite. All’interno di questa zona dominano le azioni viscose la cui interazione con il flusso esterno dà luogo a fenomeni fluidodinamici molto complessi. Nel suo sviluppo lungo la superficie del corpo investito la forma dello strato limite si modifica fino alla sua separazione dal corpo che avviene in corrispondenza di un punto caratterizzato da gradiente di velocità nullo, detto punto di separazione.

Nel caso di corpi tozzi sia le osservazioni sperimentali sia le simulazioni numeriche hanno mostrato che la conseguenza della separazione è la formazione di una scia di vortici.

La fluidodinamica che governa il distacco è legata a diversi parametri quali la scabrezza della superficie, l’intensità e la scala della turbolenza del flusso e il numero di Reynolds. Inoltre la geometria del corpo investito determina la presenza di un punto di separazione fisso, ad esempio lo spigolo di un corpo rettangolare, oppure mobile, come nel caso di un cilindro a sezione circolare.

A bassissimi valori del numero di Reynolds, ovvero in condizioni di vena fluida laminare, i vortici non sono staccati direttamente dal cilindro ma si formano gradualmente mentre vengono trasportati a valle dal flusso: questa modalità è detta distacco di vortici a bassa velocità.

In figura si vede come i vortici si formino progressivamente a valle del corpo cilindrico, è inoltre visibile una linea di flusso che collega tra loro i diversi vortici presenti nella scia del cilindro. I vortici sono formati dall’instabilità creata dalla presenza del cilindro nel flusso laminare.

Salendo con il numero di Reynolds, in particolare per Re>300, si instaura il meccanismo definito come distacco di vortici ad alta velocità. In questo caso i vortici si formano e si staccano in una posizione stazionaria direttamente a valle del cilindro, come mostrato in figura.

Si nota l’assenza di un filetto fluido che leghi i diversi vortici. Il momento del distacco, e quindi la frequenza a cui esso avviene, cioè il numero di Strouhal, è determinato dalla distanza tra i due vortici in formazione ai due lati opposti del cilindro e dalla velocità della vena indisturbata, pertanto St si mantiene costante, almeno finchè le condizioni di flusso non cambiano.

1.2.1 Influenza del numero di Reynolds

Il numero di Reynolds, del quale sono funzione le condizioni del flusso, determina delle variazioni nella modalità di distacco, in particolare il numero di Strouhal è funzione del numero di Reynolds.Andando a considerare la sola modalità di distacco ad alta velocità, quindi per Re>300, si possono distinguere quattro regimi di corrente, detti rispettivamente subcritico, critico, supercritico e ipercritico a seconda delle differenti modalità con cui si realizza il distacco di vortici.

Il regime subcritico è definito per valori di Re compresi tra 300 e . La figura (a) mostra come lo strato limite si mantenga aderente alla superficie del cilindro fino al punto di separazione, (indicato con LS), collocato a circa 80° dal punto di ristagno superiore. La scia vorticosa a valle del modello è costituita da vortici che si staccano alternativamente dalla parte superiore e inferiore del cilindro con frequenza associata al numero di Strouhal che, per il campo di Reynolds considerato, si mantiene circa costante. Per questo regime la transizione del flusso all’interno dello strato limite da laminare a turbolento avviene all’interno della scia.

Per numeri di Reynolds più elevati ( si ha il regime di flusso critico. Come mostrato in figura (b), in corrispondenza del punto indicato con TB lo strato limite diventa turbolento e si separa dal cilindro. Il flusso si riattacca quindi in corrispondenza di TA creando una bolla di separazione per poi separarsi definitivamente in corrispondenza del punto TS. All’aumentare del numero di Reynolds l’ampiezza di scia si riduce sino a raggiungere il valore più basso per Re= .

Il regime critico è caratterizzato dalla crisi del Drag, come mostrato nella seguente figura che mostra il coefficiente di Drag in funzione del numero di Reynolds, in particolare sono riportate curve ottenute per differenti valori della scabrezza superficiale.

La scabrezza utilizzata nelle sperimentazioni che hanno portato alla definizione delle curve è calcolata come il rapporto tra il diametro del singolo granello di sabbia applicato k, e il diametro D del cilindro. Dalla figura si osserva come valori di scabrezza crescenti portino a un’anticipata transizione al flusso turbolento con un conseguente abbattimento del coefficiente di Drag, che avviene in corrispondenza del regime di flusso critico.

In condizioni di regime supercritico ( la scia a valle del cilindro risulta più ampia rispetto a quanto osservato in condizioni di regime critico e tale caratteristica comporta una crescita della forza di Drag. Il distacco di vortici compare come fenomeno casuale sia in ampiezza sia in frequenza, senza che nessuna periodicità nella variazione della pressione sulla superficie del cilindro sia riscontrata. In questo campo di Reynolds il punto di transizione da flusso laminare a turbolento si avvicina al punto di ristagno LB fino a raggiungerlo in corrispondenza della condizione di regime ipercritico. Quando si raggiunge questa condizione (Re> , si ha una

regolarizzazione del distacco di vortici, che avviene però a una frequenza più elevata rispetto al regime subcritico, come mostrato in figura.

La figura seguente mostra riporta invece l’andamento del numero di Strouhal in funzione del numero di Reynolds, per un cilindro a sezione circolare; si nota un ampio tratto nel quale si mantiene pressoché costante nell’intorno di 0,2.

1.2.2 Influenza del numero di Reynolds sulla forza di Drag

L’interesse dal punto di vista dell’interazione fluido-struttura è principalmente legato alla determinazione delle forze indotte dal fluido sul corpo cilindrico in analisi. Essendo il fluido non ideale e la geometria tale da creare una situazione di flusso separato, la risultante delle forze è diversa da zero e sviluppa una forza di resistenza, dovuta alla differenza di pressione che si stabilisce tra il lato a monte e il lato a valle del cilindro e all’attrito tra le pareti del corpo immerso nella vena fluida e il fluido stesso. Questo secondo contributo è significativo nel caso di corpi allungati, come ad esempio un profilo alare, mentre è trascurabile rispetto alla resistenza di forma, dovuta alla separazione, nel caso di corpi tozzi, come ad esempio nel caso di un cilindro a sezione circolare.

Complessivamente, la distribuzione di azioni tangenziali e di pressioni sulla superficie del corpo investito da un fluido viscoso, è riconducibile ad una risultante stazionaria applicata in un punto detto centro delle pressioni o ,in alternativa, considerando il baricentro quale polo di riduzione a un sistema di forze stazionario equivalente, le cui risultanti sono :

una forza di resistenza FD (Drag) diretta, in generale, parallelamente alla velocità del fluido;

una forza di portanza FL (Lift) diretta perpendicolarmente a FD

Le espressioni delle risultanti del sistema di forze, in caso di corpo immerso immobile di lunghezza unitaria, sono :

dove con ρ,V,D sono indicati rispettivamente la densità del fluido, la velocità della vena fluida incidente e il diametro della sezione di base del cilindro, mentre

e rappresentano i coefficienti di Drag e di Lift.

I coefficienti aerodinamici dipendono dalla forma dell’oggetto investito dal flusso, dalla finitura superficiale, dal tipo di flusso che si stabilisce intorno ad esso.

Essendo la forza di resistenza funzione del recupero delle pressioni a valle del cilindro e quindi della larghezza della scia, dalla descrizione effettuata nella sezione precedente si comprende come il coefficiente di Drag sia funzione del numero di Reynolds.

Nella tabella seguente sono indicati i valori di Drag medi per i differenti regimi di flusso:

Regime di flusso ReynoldsSubcritico 300 1,2

CriticoSupercriticoIpercritico > 0,7

1.3 Distacco di vortici da cilindri mobili

La trattazione precedentemente riportata è relativa a un cilindro rigido e fisso nello spazio, qualora invece il cilindro, sottoposto alle forze indotte dal distacco, sia libero di vibrare, si determinano le condizioni che danno origine a un complesso meccanismo di interazione fluido elastica, detto vibrazioni indotte da distacco di vortici (VIV- vortex induced vibration).

Un cilindro che ha la possibilità di vibrare, immerso in una corrente uniforme, inizia a oscillare con ampiezze significative quando la frequenza di distacco dei vortici si avvicina alla sua frequenza propria fn. E’ quindi possibile definire, attraverso la relazione di Strouhal, una velocità della vena fluida incidente, detta appunto velocità di Strouhal Vs, in corrispondenza della quale si distaccano vortici ad una frequenza pari alla frequenza propria del cilindro fn:

dove con St è indicato il numero di Strouhal.In altri termini, le ampiezze di oscillazione del cilindro diventano significative per velocità della corrente prossime alla velocità di Strouhal.

Considerando la forzante in direzione cross-flow assimilabile a una forza sinusoidale con frequenza pari a fs, quando la velocità della corrente si avvicina al valore indicato dalla relazione precedente si configura la condizione di forzamento in risonanza per il cilindro.

Sulla base di questa considerazione ci si può riferire a un parametro adimensionale di comune utilizzo in fluido elasticità, cioè la velocità ridotta, definita nell’equazione seguente:

Sulla base di questo parametro, per un cilindro libero di muoversi nello spazio, si distinguono i comportamenti riportati nella seguente tabella:

Intervallo di Vr Fenomeno osservatoVr<1,25 Piccole oscillazioni indotte dalla turbolenza1,25<Vr<2,7 Vortici simmetrici: oscillazioni in direzione in-line2,7<Vr<4,5 Vortici alternati : oscillazioni in direzione in-line (con frequenza 2 fs) e in

direzione cross-flow (con frequenza fs)Vr>4,5 Vortici alternati : oscillazione in direzione cross-flow di ampiezza confrontabile

con il diametro del cilindro

Più nel dettaglio, per Vr<1,25 si possono osservare ampiezze di oscillazione molto piccole in entrambe le direzioni, trasversale e longitudinale, principalmente causate dalla turbolenza del fluido. Incrementando la velocità, fino a stabilire le condizioni caratterizzate da 1,25<Vr<2,7, si riscontrano oscillazioni essenzialmente nella direzione della velocità della vena: in questa direzione il moto del cilindro condiziona il distacco di vortici che avviene simultaneamente dai due lati del cilindro. L’intervallo di velocità ridotta 2,7<Vr<4,5 è caratterizzato dalla compresenza del forzamento in-line e cross-flow, il corpo forzato si muove seguendo delle traiettorie ad otto, che manifestano come il forzamento nella direzione della vena fluida avvenga a frequenza doppia rispetto alle variazioni della forza di Lift; in queste condizioni il distacco di vortici avviene in maniera alternata. Nel range di velocità ridotta compreso tra 4,5 e 8 si ha il massimo forzamento nella direzione cross-flow e le ampiezze di vibrazione diventano paragonabili al diametro del cilindro stesso.

L’effetto del forzamento produce spostamenti molto più evidenti nella direzione ortogonale al fluido incidente, rendendo questi più significativi in fase di analisi della dinamica indotta dal distacco di vortici.

Numerosi esperimenti hanno mostrato che quando la frequenza di distacco di vortice f s è prossima alla frequenza propria di una struttura, fn, in apparente violazione della relazione di Strouhal, la

struttura prende il controllo del distacco facendo collassare le frequenze in una sola frequenza prossima ad fn.

Questo particolare fenomeno, detto lock-in o sincronizzazione, è un aspetto peculiare delle vibrazioni indotte da distacco di vortici e vale in un certo intervallo di velocità della vena fluida incidente, prossime alla velocità di Strouhal, detto campo di sincronismo.

1.4 L’intervallo di sincronismo

Si consideri un cilindro dotato del solo grado di libertà cross-flow investito da un fluido in movimento: a valle del corpo si avrà la formazione di una scia di vortici che vengono staccati a una frequenza caratterizzata dalla relazione di Strouhal, precedentemente riportata.

Incrementando la velocità del fluido si ha un incremento della frequenza del distacco. Quando tale frequenza si avvicina alla frequenza propria del cilindro quest’ultimo inizia a muoversi perché forzato in risonanza. A questo punto lo stesso moto del cilindro guida il distacco dei vortici, sincronizzandolo sulla propria frequenza di moto. Un ulteriore aumento della velocità mantiene il fenomeno innescato fino a quando, improvvisamente, la frequenza di distacco torna a seguire la relazione di Strouhal.

Questo fenomeno prende il nome di sincronizzazione e il range di velocità per cui avviene è detto campo di sincronismo. Rispetto al caso di un cilindro stazionario, il moto del cilindro favorisce una crescita più rapida dei vortici dando luogo a un incremento della loro energia: il moto oscillatorio determina anche l’aumento della correlazione spaziale tra i vortici staccati lungo il cilindro.

Questi cambiamenti delle proprietà della scia si ripercuotono sulle forze di Drag e di Lift: un aumento della correlazione tra i vortici provoca un incremento della forza fluttuante di Lift mentre le oscillazioni danno origine a un incremento delle dimensioni della scia originando forze di Drag più elevate rispetto al caso di cilindro stazionario.

Nella figura seguente sono riportate le storie temporali dei coefficienti di Drag e di Lift misurati su un cilindro libero di oscillare in direzione cross-flow: si noti la variazione del valor medio del coefficiente di Drag che a regime, per ampiezze di oscillazione pari a 0,6 volte il diametro, è pari a CD=1,8. Le ampiezze di vibrazione raggiunte dal cilindro sono autolimitate e funzione non lineare del rapporto di sincronizzazione, cioè del rapporto tra la velocità del fluido e la velocità di Strouhal.

Nella figura successiva sono mostrate le ampiezze di vibrazione raggiunte dal cilindro rigido oggetto della trattazione in funzione del rapporto V/VS (campana di sincronismo).

Si nota come si abbiano ampiezze di vibrazione diverse da zero per un ampio intervallo del rapporto V/VS, in particolare per 0,9< V/VS<1,4 , quindi lontano da quella che sarebbe la condizione di risonanza senza accoppiamento fluido elastico. Nella figura sono riportate le ampiezze di vibrazione ottenute per regimi progressivi, cioè cambiando la velocità del vento una volta che il cilindro ha raggiunto la condizione di regime alla velocità precedente.

Sono riportate sia le ampiezze di vibrazione ottenute incrementando la velocità sia quelle ottenute diminuendo la velocità.

1.5 Influenza dello smorzamento

Sia l’ampiezza del campo di sincronismo sia le ampiezze di oscillazione dipendono dalle caratteristiche strutturali del cilindro, quali il diametro, la massa lineare e lo smorzamento strutturale; nella letteratura tecnica si utilizza spesso un parametro adimensionale chiamato numero di Scruton, in funzione del quale possono essere previste le ampiezze massime di oscillazione e l’ampiezza del campo di lock-in. Esso è definito come:

dove m indica la massa al metro della struttura in questione, h lo smorzamento strutturale, come rapporto tra lo smorzamento e lo smorzamento critico, la densità del fluido e D il diametro del cilindro.

Nella figura seguente è riportata la massima ampiezza di oscillazione in funzione del numero di Scruton, mentre la seconda figura mostra l’ampiezza del campo di sincronismo, in termini di velocità ridotta, al variare del parametro adimensionale Sc. All’aumentare del numero di Scruton si

riduce sia l’ampiezza della zona di sincronismo che l’ampiezza massima di vibrazione, per Scruton maggiore di 32 il lock-in non si manifesta.

1.6 Il modo 2P e il modo 2S

Le campagne sperimentali realizzate utilizzando un modello sezionale dinamometrico hanno mostrato un cambiamento improvviso della fase tra lo spostamento del cilindro e la forza di Lift, in corrispondenza di valori della velocità ridotta prossimi a 6; la fase tra lo spostamento e la forza di Lift è centrale in questo problema perché determina l’introduzione o la dissipazione di energia da parte del campo di forze generato dal fluido in moto.

Essendo la forza legata direttamente al distacco di vortici, un improvviso cambiamento di fase tra forza di Lift e spostamento deve essere dovuto a un brusco cambiamento nella fluidodinamica del distacco. In sostanza, all’interno dell’intervallo di sincronizzazione si assiste a un cambiamento della forza topologica del vortice, si passa dal modo di distacco 2S al modo di distacco 2P.

La denominazione 2S è riferita ad un modo di distacco per cui in un periodo di oscillazione un singolo vortice viene distaccato alternativamente dalla parte superiore e dalla parte inferiore del cilindro: questa modalità di distacco è assimilabile a quella osservata su un cilindro e nota come

Von Karman vortex shedding. Al contrario la denominazione 2P descrive una modalità di distacco secondo la quale ad ogni periodo vengono distaccati due paia di vortici controrotanti.

In figura sono mostrate delle visualizzazioni di flusso e degli schizzi dei due differenti modi di distacco.

L’identificazione delle differenti modalità di distacco spiega da un punto di vista fluidodinamico la presenza di un ciclo di isteresi nell’andamento delle ampiezze di oscillazione all’interno del campo di sincronismo.

Esaminando i risultati riportati nella figura precedente alla luce della nota suddivisione del piano z/D-V/Vs si nota che il campo di sincronismo misurato passa attraverso tre differenti stati fluidodinamici. Per bassi valori di V/Vs si osserva un primo tratto caratterizzato da basse ampiezze di oscillazione noto come Initial State cui è attribuita una modalità di distacco di vortici 2S; ad esso segue un tratto con elevate ampiezze di vibrazione (Upper Branch) per il quale la modalità di distacco di vortici individuata è di tipo 2P. Infine, per elevati valori di V/Vs si osserva un tratto caratterizzato da basse ampiezze di oscillazione e da fenomeni di distacco di vortici non sincronizzati. Tale tratto viene comunemente denominato Lower Branch e i dati di letteratura gli associano una modalità di distacco di tipo 2P; occorre però osservare che la letteratura disponibile fa riferimento a prove condotte in acqua rispetto alle quali il campo di sincronismo è più ampio e caratterizzato da ampiezze più elevate nel tratto ad alti valori di V/Vs.

2. PROVE SPERIMENTALI SU UN CILINDRO RIGIDO

Al fine di studiare dettagliatamente il comportamento fluidodinamico di un oggetto cilindrico in vena fluida, con particolare riferimento alle condizioni di lock-in, è stata realizzata una campagna sperimentale nella sezione a strato limite della Galleria del Vento del Politecnico di Milano.

La campagna di prove è stata condotta su un modello rigido di cilindro sospeso elasticamente alle pareti della galleria e lasciato libero di oscillare in direzione cross-flow.

Il set up predisposto, mostrato nella figura precedente , consiste in due cavi d’acciaio tesati e fissati alle pareti della galleria mediante dispositivi che permettono di realizzare delle cerniere e contenere le perdite dovute agli attriti.

Il modello del cilindro risulta quindi attraversato dai due cavi e vincolato ad essi mediante le due piastre di estremità di alluminio mostrate in figura:

il fissaggio è stato realizzato in modo da evitare che la tensione dei cavi venisse trasmessa al modello stesso. I due cavi sono stati inoltre montati leggermente divergenti verso le pareti in modo da consentire il moto verticale del modello e da impedirne quello in direzione in-line. Il moto verticale puro è stato garantito tramite l’aggiunta di masse in corrispondenza dell’asse del cilindro che hanno permesso di distanziare la frequenza del moto verticale da quella del moto torsionale del cilindro attorno al proprio asse, impedendo accoppiamenti tra le due.

Principali caratteristiche del cilindro rigido:

Diametro D [m]= 0,2Allungamento L/D = 10Lunghezza L [m]=2Massa al metro m [kg/m]=6,5

Parametri caratteristici del fenomeno di Vortex Shedding:

Numero di Strouhal St= 0,178Velocità di sincronismo UVS [m/s] = 3,37

2.1 Descrizione della strumentazione

Per lo studio del comportamento fluidodinamico del cilindro nella zona di lock-in è stato progettato un set-up di misura che consente di identificare il campo di pressioni superficiali attorno al cilindro e che permettesse di misurare quindi anche le forze idrodinamiche agenti. A tale scopo una sezione trasversale del modello è stata strumentata tramite 32 prese di pressione distribuite lungo la sezione stessa, come illustrato nella figura seguente.

Si noti che la distribuzione delle prese è stata maggiormente infittita nella zona sottovento per migliorare la definizione del campo di pressioni in corrispondenza della zona di separazione. Le prese di pressione sono state quindi collegate mediante tubi in PVC a uno scanner miniaturizzato ESP costituito da 32 trasduttori al silicio, con amplificatore e multiplexer interni e gestito da un sistema di acquisizione dati ad alta velocità (PSI-System 8400); la tecnologia impiegata ha permesso di ottenere misure ad alta risoluzione sia della componente media sia che di quella fluttuante del segnale nel dominio del tempo. Date le sue piccole dimensioni è stato possibile posizionare lo scanner all’interno del modello stesso, come mostrato in figura:

Grazie alle ridotte dimensioni dei tubi di collegamento si è ottenuta un’elevata risposta in frequenza del set-up di misura, in particolare per ogni canale di pressione è stato possibile definire lo spettro fino alla diciottesima armonica della frequenza di vortex shedding.

In una seconda campagna di prove il set-up di misura è stato ulteriormente perfezionato strumentando una seconda sezione trasversale del modello e inserendo delle righe di prese di pressione lungo la direzione longitudinale del cilindro per un totale di 94 prese di pressione. Le prese della seconda sezione sono state disposte in modo del tutto analogo alla prima, mentre le righe longitudinali di 10 prese ciascuna sono state disposte in corrispondenza del punto di arresto a 0° , a -60° e a -120°, come illustrato in figura.

Il comportamento dinamico del sistema è stato misurato tramite accelerometri piezoelettrici miniaturizzati a singolo asse; in particolare due accelerometri sono stati posizionati in corrispondenza delle due sezioni terminali del cilindro in modo da misurarne l’accelerazione verticale mentre un accelerometro è stato posizionato in modo da stimare le accelerazioni in direzione in-line del modello.

2.2 Analisi dei dati

Le distribuzioni di pressione misurate sono state esaminate in termini di coefficienti adimensionali CP definiti come segue:

dove p è la pressione misurata nella presa di pressione, è la pressiona statica media di

riferimento del flusso indisturbato e è la pressione dinamica media alla quota di riferimento ovvero in corrispondenza dell’asse del cilindro. La pressione dinamica media è definita come:

2

in cui UH è la velocità del vento alla quota di riferimento e ρ è la densità dell’aria. La pressione dinamica media è stata misurata mediante un tubo di pitot mentre come pressione statica di riferimento è stato assunto il valore mediato su quattro punti della statica della galleria. Tale grandezza è stata misurata mediante opportune prese disposte lungo una sezione della camera di prova e collegate a un sistema di connessioni pneumatiche che passa attraverso un serbatoio per eliminare eventuali oscillazioni che la turbolenza del flusso può indurre. Dalle misure di pressione è possibile definire due componenti di forza nel piano ortogonale al cilindro integrando lungo la sezione; nelle due seguenti equazioni sono riportati gli integrali che permettono di definire le forze idrodinamiche adimensionali nel sistema di riferimento discreto.

In cui Ѳ rappresenta l’angolo tra il coefficiente di pressione e la velocità del vento. Rispetto a tali convenzioni, il coefficiente di Drag rappresenta la componente della forza diretta come la velocità del flusso incidente, mentre il coefficiente di Lift rappresenta la componente di forza ortogonale al flusso. Poiché la distribuzione di pressione lungo la sezione del modello è nota in forma discreta, gli integrali si traducono nelle sommatorie:

3. PRESENTAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI

3.1 Modalità di prova

Nel corso della campagna sperimentale sono state realizzate due differenti tipologie di prove: regimi progressivi e transitori (build up).

Le prove di regimi progressivi prevedono l’acquisizione del regime di oscillazione raggiunto dal cilindro in corrispondenza di differenti velocità del flusso incidente; tali prove sono state condotte aumentando (campana UP) o diminuendo (campagna DOWN) per piccoli passi successivi la velocità del vento e attendendo il raggiungimento di una nuova condizione stazionaria a partire dallo stato di oscillazione relativo al passo precedente.

Le prove di build-up prevedono invece l’acquisizione del transitorio di vibrazione del cilindro a partire dalla condizione di modello fermo, per diverse velocità di flusso incidente, nell’intorno della velocità di sincronismo.

3.2 Prove di regime: risultati

Le prove di regimi progressivi hanno permesso di identificare il campo di sincronismo del cilindro per tre differenti valori del Numero di Scruton, ottenuti mediante l’introduzione di uno o più smorzatori. Sono di seguito riportati i risultati relativi alle tre diverse configurazioni di smorzamento provate le cui caratteristiche sono riassunte nella tabella seguente ; in particolare si

possono osservare sia le campane ottenute incrementando sia ottenute riducendo la velocità del vento.

Configurazione Smorzamento adimensionale Numero di ScrutonSenza smorzatoriUno smorzatoreDue smorzatori

L’ampiezza di oscillazione è stata calcolata come valore di picco del modulo della trasformata di Fourier del segnale di spostamento, opportunamente finestrato e valutato su una base temporale di 60 s.

Osservando le campane ottenute per i due livelli di smorzamento e , si nota come le condizioni di regime raggiunte incrementando la velocità siano differenti rispetto a quelle in discesa, ovvero diminuendo la velocità del flusso incidente. Tale comportamento, tipico di corpi cilindrici immersi in vena fluida, può essere spiegato considerando i diversi stati fluidodinamici cui il cilindro risulta soggetto all’interno del campo di sincronismo. Come già accennato la campana di sincronismo è caratterizzata dalla successione di tre diversi stati denominati Initial State, Upper Branch e Lower Branch.

L’Initial State si osserva per valori di V/VS<1,12 ed è caratterizzato da ampiezze di oscillazione z/D inferiori a 0,2 : in tale regione si verifica il Von Karman vortex shedding ovvero un distacco di vortici non sincronizzato con il moto del cilindro.

L’Upper Branch si osserva solo per bassi valori di smorzamento adimensionale in corrispondenza di 1,12<V/VS<1,3 ed è caratterizzato da elevate ampiezze di oscillazione: in tale regione il distacco dei vortici è governato dal moto del cilindro.

Con Lower Branch si identifica la regione del campo di sincronismo a più alti valori di V/V s : tale stato è caratterizzato come l’Initial State da bassi valori di ampiezza di vibrazione anche se risulta soggetto a fenomeni fluidodinamici molto differenti rispetto alla regione iniziale.

Confrontando le campane UP ottenute per i tre livelli di smorzamento testati, si nota come l’Initial State non sia influenzato dal numero di Scruton: le tre campane risultano infatti perfettamente sovrapposte per ampiezze V/Vs<1,12.

Al contrario l’Upper Branch è fortemente influenzato dal numero di Scruton che limita le ampiezze massime raggiungibili dal sistema. In particolare, si nota che per smorzamento strutturale pari a l’Upper Branch è assente. Il sistema in tali condizioni di smorzamento risulta di conseguenza insensibile alle modalità di conduzione della prova: la campana UP e quella DOWN sono analoghe poiché il modello non passa per tutti gli stati fluidodinamici tipici del fenomeno.

3.3 Prove di transitorio: risultati

Le prove di transitorio condotte a diversi valori di V/Vs nel campo di sincronismo e per differenti valori del numero di Scruton hanno permesso di approfondire lo studio della fenomenologia del distacco di vortici in condizioni di lock-in in virtù della possibilità di misurare il campo di pressioni in corrispondenza di una sezione del modello.

Si considerino inizialmente i test eseguiti per un livello di smorzamento adimensionale basso ( : come si osserva anche dalle prove a regimi progressivi, le massime ampiezze di oscillazione non sono raggiunte in corrispondenza della velocità di sincronismo (V/Vs=1), ma per velocità leggermente superiori ovvero per quelle velocità di flusso relative all’Upper Branch.

In corrispondenza di tali condizioni di flusso incidente si è osservato che l’andamento nel tempo del coefficiente di Lift è soggetto a due differenti stati: per piccole oscillazioni del sistema vibrante, ovvero nel primo tratto della storia temporale, il coefficiente di Lift ha caratteristiche pulsanti e il suo contenuto armonico prevalente è associato alla frequenza di distacco di vortici alla Von Karman, che si trova in rapporto V/Vs rispetto alla frequenza propria del modello. Quando le ampiezze del sistema diventano maggiormente importanti l’andamento del coefficiente di Lift subisce un rapido transitorio, accrescendo notevolmente il proprio valore e sincronizzandosi con il moto.

In figura sono riportate le storie temporali rispettivamente dello spostamento adimensionale e del coefficiente di Lift per V/Vs=1,17, è possibile apprezzare il diverso comportamento della forzante aerodinamica all’inizio del transitorio e a regime.

Nella prima figura, relativa alla parte iniziale del build-up mostra un coefficiente di Lift ad ampiezza variabile e non sincronizzato con lo spostamento, al contrario nella seconda è riportato il comportamento a regime di forza e di spostamento. Si nota che a regime il coefficiente di Lift assume un andamento sinusoidale monoarmonico con frequenza pari a quella di oscillazione, a testimonianza dell’avvenuta sincronizzazione, e con sfasamento circa nullo rispetto allo spostamento. Analizzando l’andamento nel tempo dello spettro del coefficiente di Lift, mostrato nella figura seguente,

è possibile mettere in evidenza come al transitorio sia associato uno spostamento di contenuto armonico: nel primo tratto prevale il distacco di vortici non sincronizzato che è associato alla frequenza fs=St*V/D, in seguito, la forzante idrodinamica si sincronizza con il sistema vibrante e la frequenza prevalente diventa quella propria del cilindro. Si nota inoltre che, mentre nel primo tratto lo spettro è ampio nell’intorno della frequenza dominante, al contrario, quando la forza di Lift si sincronizza con il moto, lo spettro diventa più stretto, e il contributo energetico della forza risulta maggiormente concentrato attorno alla frequenza di picco. Ad ogni modo, anche quando prevale il Von Karman vortex shedding, un contributo armonico alla frequenza di oscillazione è presente anche se di piccola entità.

In figura è possibile osservare la trasformata di Fourier del coefficiente di Lift relativa a una piccola finestra temporale nell’intorno dell’istante t=35 s ; sebbene il contributo prevalente sia quello relativo alla frequenza di distacco dei vortici, anche in corrispondenza della frequenza propria del modello si ha un contributo non nullo. Tale contributo è di cruciale importanza in quanto è il solo responsabile dell’introduzione di potenza nel sistema vibrante e quindi nel transitorio di build up.

In particolare, osservando la funzione di trasferimento tra forza e spostamento, in corrispondenza della frequenza propria del cilindro, si nota che, per quanto il contributo armonico della forzante idrodinamica non sia particolarmente rilevante, esso è comunque in grado di introdurre l’energia necessaria per innescare un fenomeno vibratorio grazie allo sfasamento relativo.

In figura sono riportati gli andamenti nel tempo del modulo della trasformata di Fourier di C L e z/D in corrispondenza della frequenza di oscillazione del sistema e la fase della funzione di trasferimento tra i due valutata sempre in corrispondenza di fn : l’analisi in frequenza dei due segnali è stata effettuata per successive finestre temporali della durata di 6s in modo da definire l’andamento degli spettri nel corso del tempo.

Osservando l’andamento del modulo dei due segnali e della fase relativa si nota, come già evidenziato in precedenza, che nei primi 42 s il modulo del C L è piccolo mentre la fase della funzione di trasferimento ha valori molto elevati pari a circa 120°. Tale fase, il cui segno positivo indica che la forza di Lift risulta essere in anticipo rispetto allo spostamento, permette al piccolo contributo della forzante aerodinamica di introdurre energia nel sistema.

Si nota quindi che mentre il build-up dello spostamento avviene con continuità , la forza è soggetta ad un transitorio repentino cui corrisponde un transitorio decrescente della fase che a regime risulta prossima allo zero.

Tale rapido cambiamento è attribuibile a una variazione dello stato fluidodinamico del sistema, in particolare si osserva come il sistema passi da una condizione di Von Karman vortex shedding non sincronizzato con basse ampiezze di vibrazione, a una condizione di Upper Branch (elevate ampiezze di vibrazione e perfetta sincronizzazione tra forzante aerodinamica e spostamento) che rappresenta lo stato fluidodinamico osservato a regime anche nelle prove a regimi progressivi.

Prendiamo in esame il tratto iniziale del build-up e mettiamo a confronto un istante A caratterizzato da assenza di vortex shedding e un istante B caratterizzato da vortex shedding non sincronizzato.

L’analisi delle distribuzioni di pressione istantanee per differenti momenti del transitorio permette di definire con maggiore dettaglio la fluidodinamica dei diversi stati.

In un istante A (t=27 s), primo tratto della storia temporale in cui non si osserva distacco di vortici, si nota che le distribuzioni sono molto simmetriche e non sono influenzate dal moto del cilindro. In verde è riportata la forza aerodinamica agente sul modello.

Nella figura precedente sono invece riportate le distribuzioni misurate nell’intorno di t=35 s, (istante B) ovvero in presenza di vortex shedding non sincronizzato: si nota che le distribuzioni presentano delle dissimmetrie non imputabili al moto del cilindro, ma associate a una forza aerodinamica con componente verticale in controfase rispetto allo spostamento.

Si consideri ora un istante della storia temporale in corrispondenza del quale il coefficiente di Lift cresce in modulo mentre la fase della funzione di trasferimento decresce verso lo zero. Come nel caso precedente si osservano distribuzioni simmetriche ma in questo caso ad esse è associata una forza verticale sincronizzata con il moto. E’ possibile inoltre osservare la rotazione del punto di ristagno che avviene in modo concorde con la velocità relativa del flusso mediante una freccia rossa, secondo le convenzioni riportate nella figura seguente.

Prendiamo dunque in considerazione l’istante C, corrispondente al transitorio di crescita del coefficiente di Lift.

La corrispondente distribuzione di pressioni sarà la seguente:

A regime le distribuzioni di pressione sono caratterizzate da asimmetrie ancora più marcate e correlate all’oscillazione del cilindro; si osserva inoltre che in corrispondenza della posizione di massimo spostamento sono evidenti importanti effetti inerziali dovuti alle elevate accelerazioni che determinano la scomparsa di un chiaro punto di ristagno.

Si osserva che al crescere della velocità del flusso incidente i transitori diventano più lunghi e l’ampiezza di oscillazione in corrispondenza della quale avviene la transizione tra i due stati fluidodinamici individuati cresce come mostrato nella figura seguente, che illustra gli andamenti degli spettri del coefficiente di Lift e della fase della funzione di trasferimento in funzione di z/D.

Per velocità del vento più basse di quella di sincronismo (V/Vs=0,94) si è osservato che il distacco di vortici non induce sul sistema vibrazioni significative: la forzante aerodinamica introduce potenza solo a tratti senza che si inneschi il fenomeno della sincronizzazione. Il coefficiente di Lift e lo spostamento presentano andamenti pulsanti

a testimonianza del fatto che si alternano fasi in cui viene introdotta potenza nel sistema e fasi in cui la potenza viene dissipata.

In figura è riportato lo zoom relativo a un tratto di storia temporale in cui è possibile osservare come vari la fase relativa tra forza e spostamento

si nota che in un primo tratto la forza di Lift risulta in anticipo rispetto allo spostamento determinando un’introduzione di potenza e, di conseguenza, una crescita dell’ampiezza di oscillazione.

In seguito la fase tra la forza e lo spostamento cambia, in particolare la forza risulta in ritardo rispetto allo spostamento e cessa di introdurre potenza nel sistema. Al contrario, il campo di forze diventa dissipativo causando una riduzione dell’ampiezza di oscillazione. Questo comportamento determina l’andamento pulsante dello spostamento.

Per velocità del vento molto superiori a quella di sincronismo, in particolare per valori di V/Vs relativi alla zona del Lower Branch, sono state misurate ampiezze di oscillazione di entità non trascurabile sebbene la forzante aerodinamica presenti un andamento pulsante caratterizzato da valori contenuti.

Come si osserva dall’analisi tempo-frequenza riportata in figura

sebbene il contributo della forzante in corrispondenza della frequenza di oscillazione dei cilindro sia piuttosto esiguo, la fase relativa è sufficientemente elevata da garantire un’introduzione di potenza tale da mettere in movimento il sistema vibrante. Al crescere dell’ampiezza di oscillazione si nota in ogni caso che anche la fase relativa modifica il proprio valore passando da circa 120° a valori prossimi a 50°.

Gli spettri riportati in figura

in funzione del tempo mettono ulteriormente in luce questo aspetto, in particolare si osserva come il contributo armonico prevalente della forza di Lift sia quello relativo alla frequenza di distacco di vortici fs associata alla velocità di flusso mediante la relazione di Strouhal, mentre il contributo relativo alla frequenza di oscillazione risulti molto meno sostenuto, sebbene presente.

L’analisi di una prova caratteristica del Lower Branch rivela la presenza di un distacco di vortici non sincronizzato che tuttavia appare differente da quello osservato in corrispondenza dell’Initial State, caratterizzato da valori di fase relativa tra Lift e spostamento più bassi e irregolari, e da ampiezze massime del coefficiente di Lift più importanti.

3.4 Influenza del numero di Scruton

L’introduzione di smorzamento nel sistema vibrante ha permesso di mettere in evidenza la sensibilità del modello all’ampiezza di vibrazione. A differenza delle prove condotte a moto imposto, in quelle libere l’ampiezza di vibrazione non può essere imposta esternamente ma è governata dalla fluidodinamica stessa, perciò può essere usata solo variando lo smorzamento strutturale.

Confrontando due prove di transitorio condotte a pari velocità del flusso incidente, ma a diversi valori del Numero di Scruton si osserva come l’ampiezza di vibrazione influenzi la fluidodinamica del fenomeno. In particolare si nota che qualora lo smorzamento non consente di raggiungere l’ampiezza di trigger, ovvero quell’ampiezza di oscillazione in corrispondenza della quale avviene la transizione tra i due stati fluidodinamici osservati, il sistema si mantiene sempre nella stessa condizione.

Osservando i diagrammi riportati in figura (andamento nel tempo del modulo degli spettri di C L e z/D e della fase relativa valutati in corrispondenza della frequenza di oscillazione del cilindro per V/Vs=1,24)

si nota che il sistema in condizioni di basso smorzamento ( passa da uno stato fluidodinamico ad un altro per z/D=0,35, mentre in condizioni di smorzamento più elevato, non raggiungendo tale ampiezza di oscillazione, non risulta soggetto ad alcuna transizione.

Per altre velocità del flusso invece, dove l’ampiezza di trigger V/Vs viene raggiunta, il sistema in configurazione si comporta in modo analogo al sistema poco smorzato, pur raggiungendo ampiezze di oscillazione a regime di minore entità (vedi la figura seguente, che propone l’andamento nel tempo degli spettri per V/VS=1,15). In particolare si osserva che in entrambi i casi la transizione avviene per valori di z/D pari a 0,1.

Confronti tra le prove di build-up condotte a basso livello di smorzamento e prove a regimi progressivi realizzate a livelli di smorzamento più elevati hanno permesso di approfondire ulteriormente la dipendenza della fluidodinamica dal fenomeno dell’ampiezza di vibrazione; tali confronti sono da ritenersi significativi se si considera che i transitori di build-up possono essere classificati come prove quasi stazionarie. La costante di tempo che caratterizza la crescita dell’ampiezza di vibrazione è infatti decisamente più elevata rispetto al periodo di oscillazione del sistema vibrante.

Si consideri il transitorio in corrispondenza di V/Vs=1,24 per smorzamento ; come evidenzia la freccia riportata in figura, dove sono mostrati gli andamenti delle ampiezze di oscillazione adimensionali

il percorso seguito dal cilindro durante il build-up passa attraverso differenti stati di oscillazione misurati nel corso delle prove a regimi progressivi per i più alti livelli di smorzamento. In particolare si osserva che il transitorio in esame interseca le due campane UP e DOWN relative alla configurazione di smorzamento .

Nelle figure seguenti sono riportati i confronti tra il build-up a e rispettivamente il regime

relativo alla campana DOWN e quello relativo alla campana UP per , valutati in corrispondenza della frequenza di oscillazione del cilindro per V/Vs=1,24

Si nota che in corrispondenza di medesime ampiezze di oscillazione, anche il modulo dello spettro del coefficiente di Lift e la fase della funzione di trasferimento tra forza e spostamento assumono i medesimi valori sia che la prova sia condotta sia in regime piuttosto che in transitorio. Tale risultato permette di affermare che fissati z/D e V/Vs risulta determinata anche la forzante aerodinamica sia in termini di modulo, che di fase relativa rispetto allo spostamento del sistema.

Come ulteriore conferma si osservino le distribuzioni di pressione istantanee acquisite per le diverse prove in corrispondenza della medesima ampiezza di oscillazione: nel confronto a basse ampiezze tra la prova di build up (smorzamento ξ1) e il regime relativo alla campana DOWN (smorzamento ξ2) si nota come entrambi siano caratterizzate da distribuzioni di pressione

simmetriche con componente di forza verticale molto contenuta. Tali distribuzioni hanno il tipico aspetto osservato in assenza di vortex-shedding.

Allo stesso modo, a parità di z/D, le distribuzioni misurate nel corso della prova di transitorio (smorzamento ξ1) e nella prova di regime (smorzamento ξ2) relativa alla campana UP, sono molto simili sia in termini di CP che in termini di forze risultanti rappresentate dalle frecce verdi. Si noti che le dissimmetrie delle distribuzioni associate a una forza di Lift sincronizzata con il moto sono analoghe a quelle già osservate in condizioni di Upper Branch.

E’ interessante inoltre osservare come negli esempi riportati le condizioni di regime esaminate siano relative a fenomeni fluidodinamici estremamente differenti essendo attribuibili a stati differenti.

In corrispondenza di V/Vs=1,24 per la campana DOWN ci si trova nel tratto relativo al Lower Branch, mentre per la campana UP ci si trova in corrispondenza dell’Upper Branch.

L’analisi delle due prove di regime alla luce del build up che le interseca mostra come essere rappresentino due diversi stati di uno stesso fenomeno, mettendo in evidenza come il sistema si regimi nella situazione più stabile in funzione della fluidodinamica che l’interazione tra flusso e struttura origina.

Per il valore di V/Vs osservato si vede quindi come l’incremento a piccoli step della velocità del flusso crei i presupposti perché il sistema possa raggiungere più elevate ampiezze di vibrazione portandosi verso una condizione di Upper Branch, mentre si nota come procedendo da velocità di flusso più elevate il sistema tenda a conservare una struttura fluidodinamica relativa al Lower Branch, senza che la transizione possa essere innescata.

Simili confronti in corrispondenza di differenti valori di V/Vs hanno messo in evidenza risultati analoghi, si riporta il confronto tra il transitorio misurato a V/Vs=1,17 per e una prova di regime

relativa alla campana UP per smorzamento realizzata nelle medesime condizioni di flusso incidente.

Si osserva che entrambe le prove sono relative a uno stato fluidodinamico caratterizzato da bassi valori di fase relativa tra forza di Lift e spostamento e distacco di vortici sincronizzato, come testimoniano le distribuzioni di pressione riportate nelle figure seguenti.

Nella figura seguente è invece riportato l’andamento nel tempo del modulo degli spettri di C L e z/D.

In particolare si nota che a parità di ampiezza di oscillazione anche CL e fase hanno valori analoghi. La prova di build up tuttavia mette in evidenza come il più basso livello di smorzamento strutturale consenta al sistema di raggiungere la propria condizione di regime in corrispondenza di ampiezze di oscillazione più elevate.

Complessivamente le evidenze sperimentali presentate permettono di stabilire un legame diretto tra la fluidodinamica del distacco di vortici su un corpo cilindrico in condizioni di lock-in e i due parametri z/D e V/Vs, mentre escludono la dipendenza del fenomeno dalla tipologia di prova realizzata (build up o regime progressivo) .

Tale risultato è di fondamentale importanza ai fini di giustificare l’utilizzo delle prove di transitorio per definire il campo di forze aerodinamiche agenti su un corpo cilindrico in funzione dello stato del sistema. Il coefficiente CL e la fase φ misurati nel corso di un build up possono essere utilizzati, a parità di stato del sistema, per caratterizzare una situazione stazionaria e quindi per definire la potenza introdotta dalla forzante aerodinamica.

3.5 Influenza della velocità del flusso incidente e della correlazione spaziale del flusso

Il set-up di misura realizzato e più in particolare le righe longitudinali di prese di pressione hanno permesso di investigare circa gli effetti delle disuniformità del profilo incidente sulla dinamica del sistema vibrante.

L’analisi delle pressioni misurate sulla riga frontale (disposizione angolare 0°) ha messo in evidenza una non perfetta uniformità del profilo incidente in corrispondenza della regione della camera di prova in cui il modello del cilindro è stato posizionato: tali prove, condotte per velocità esterne al

campo di sincronismo, hanno mostrato delle differenze percentuali in termini di velocità pari a ΔV/V=±2,5 %. Nella figura seguente sono riportate le variazioni misurate lungo l’asse del cilindro, sia in termini di velocità che di pressione dinamica incidente, valutate rispetto alla misura di velocità di riferimento del flusso indisturbato. (*)

In termini di componente fluttuante della misura di pressione è stato invece possibile valutare l’indice di correlazione del flusso lungo l’asse del cilindro: nella figura seguente è riportata la funzione di cross-correlazione ρCp1Cp2 per la riga di pressioni disposta in corrispondenza di θ=0° , assumendo come riferimento la misura relativa alla presa di pressione associata all’anello A.

La funzione mostra una bassa correlazione spaziale in accordo con le lunghezze di scale integrali associate al flusso di galleria.

La correlazione delle misure di pressione relative alla riga di prese disposte in corrispondenza di θ=-120° è invece fortemente influenzata dagli effetti di scia legati al distacco dei vortici.

Come mostrato nella figura seguente la correlazione delle misure di pressione, pur essendo superiore a quanto osservato in corrispondenza del punto di ristagno, è comunque caratterizzata da una decrescita piuttosto rapida , assumendo valori inferiori a 0,15 già a cinque diametri dalla misura di riferimento.

La scarsa correlazione del vortex shedding è in parte conseguenza della disuniformità del flusso incidente: a diverse velocità del flusso sono associate diverse frequenze di Strouhal pertanto ciascuna sezione del cilindro distacca vortici ad una frequenza differente in funzione della velocitàmedia del flusso incidente.

Per isolare gli effetti di disuniformità del profilo incidente nella valutazione della correlazione lungo l’asse del cilindro del fenomeno di distacco di vortici sono previste prove in galleria del vento a valle di interventi che permetteranno di rendere maggiormente omogeneo il profilo, riducendo le variazioni percentuali misurate.

Le diverse velocità associate alle due sezioni strumentate hanno tuttavia permesso di valutare la sensibilità del sistema vibrante al parametro velocità del flusso, a parità di ampiezza di oscillazione. Nel corso di una prova di transitorio infatti i due anelli sono soggetti allo stesso spostamento a causa della rigidezza del modello, ma risultano tuttavia investiti da una diversa velocità del vento.

A causa di questa diversa condizione di flusso incidente si è osservato un diverso comportamento delle due sezioni in relazione alla transizione tra i due stati fluidodinamici studiati, come mostrato nella seguente figura.

Come si osserva in figura la transizione per la sezione A inizia in corrispondenza dell’istante t=40 s per un’ampiezza di oscillazione pari a z/D=0,2 mentre per la sezione B la transizione ha inizio a t=50 s per un’ampiezza di oscillazione pari a z/D=0,26. La sezione B, infatti, come testimonia il diagramma precedentemente mostrato (*) , è soggetta a una velocità del flusso incidente più elevata (V/VS=1,2), pertanto la transizione è innescata da ampiezze di oscillazione superiore: l’ampiezza di trigger è le stessa osservata sulla sezione A durante il transitorio a V/VS=1,2 mostrato nella seguente figura:

La differenza tra le due sezioni è tuttavia evidente solo in fase di transizione, mentre a regime le condizioni fluidodinamiche sono le medesime per entrambe.

Di seguito sono riportate le distribuzioni di pressioni misurate sui due anelli in due istanti del transitorio: in corrispondenza di t=45s (V/VS=1,17) si nota come l’anello sia già caratterizzato da una condizioni di distacco di vortici sincrono (distribuzioni asimmetriche con componente verticale della forza sincronizzata con il moto), mentre l’anello B risulti ancora soggetto al distacco di vortici non sincrono tipico dello stato che precede la transizione.

Anello A:

Anello B:

In t=60 s le distribuzioni misurate dai due anelli sono invece molto simili, perché la transizione è ormai avvenuta in entrambe le sezioni.

Anello A:

Anello B:

3.6 Calcolo della potenza introdotta

Grazie al set-up sperimentale realizzato che consente la misura contemporanea di forze aerodinamiche e di accelerazioni, nel corso della campagna di prove è stato possibile utilizzare due differenti approcci per il calcolo della potenza introdotta, se ne tratterà per brevità solamente uno dei due.

Tale approccio comporta la definizione della potenza istantaneamente introdotta nel sistema come prodotto della forza di Lift per la velocità di oscillazione del cilindro: in figura è riportato uno zoom della storia temporale della potenza (potenza istantanea normalizzata per V/VS=1,17).

La potenza è frutto del prodotto tra le misure di forza e di velocità istante per istante e, come si vede dalla figura, è caratterizzata da elevate oscillazioni e da un valor medio positivo non nullo che nel tratto esaminato cresce in funzione del tempo.

Per definire la potenza media introdotta in funzione dell’ampiezza di oscillazione, la potenza istantanea è stata integrata su un numero intero di cicli stimati sul segnale di velocità:

in cui T è il periodo di oscillazione del modello e n il numero di cicli considerati per l’integrazione. A ciascun intervallo temporale di durata nT è stato quindi associato uno spostamento adimensionale z/D ottenuto dal modulo dello spettro del segnale di spostamento relativo alla finestra in esame in corrispondenza della frequenza del moto.

Nella figura precedente sono riportati i valori di potenza media normalizzata rispetto alla frequenza di oscillazione e al diametro del cilindro, ottenuti mediando su 10 periodi, per la prova a V/VS=1,17 e smorzamento ξ1 , confrontati con risultati ottenuti per la stessa prova mediante il primo approccio. E’ possibile osservare un buon accordo tra i due andamenti: tale risultato conferma la consistenza della misura di forza realizzata mediante il set-up di misura approntato.

La potenza media introdotta in un sistema vibrante eccitato in risonanza può essere scritta in funzione dell’ampiezza del coefficiente di Lift e della fase relativa tra forza e spostamento secondo l’equazione seguente:

In cui CLdin è il coefficiente di Lift dinamico.

Osservando in parallelo gli andamenti in funzione del tempo dell’ampiezza del coefficiente di Lift, della fase φ e della potenza introdotta nel corso di un transitorio (V/VS=1,17 e ξ1) si nota, come già osservato in precedenza, che il tratto iniziale prima della transizione è caratterizzato da piccoli valori di forza e da fase prossima ai 100° mentre il tratto a regime presenta valori di forza elevati associati a una fase prossima allo zero . La potenza introdotta è quindi dovuta alla fase particolarmente efficace, mentre nel tratto terminale è il contributo in modulo della forza a essere rilevante. La dipendenza della potenza dal prodotto spiega gli andamenti inversamente proporzionali delle due grandezze.

4. MODELLO DELLE FORZE INDOTTE DAL DISTACCO DEI VORTICI

Per simulare il forzamento da distacco di vortici su strutture cilindriche è stato sviluppato un modello di oscillatore equivalente capace di riprodurre nel tempo le forze indotte dal vento.

Obiettivo ultimo dello sviluppo di un simile modello è la sua applicazione a strutture cilindriche flessibili che simulino cavi aerei quali quelli di trasmissione dell’energia elettrica: la metodologia approntata prevede la schematizzazione ad elementi finiti della struttura flessibile assemblata con una schiera di oscillatori equivalenti, ciascuno dei quali risulta collegato a un nodo della struttura stessa in modo da riprodurre le forze fluidodinamiche dovute all’interazione fluidoelastica per il tratto di struttura che gli compete.

Una rappresentazione elastica del modello dell’oscillatore equivalente è riportata nella figura seguente:

Tale modello è composto da una massa aerodinamica MAer connessa a terra attraverso elementi di rigidezza KAer, e di smorzamento RAer , collegata al cilindro attraverso un altro gruppo molla-smorzatore KAcc e RAcc .Entrambi gli elementi di smorzamento e rigidezza sono caratterizzati da un termine lineare a cui si somma un termine non lineare. Il cilindro, vincolato in modo da potersi muovere nella sola direzione cross flow, è sospeso tramite molle e smorzatori lineari, Kst e Rst, che garantiscono il richiamo elastico e riproducono lo smorzamento strutturale. Sono inoltre indicati con z ed η lo spostamento assoluto e quello della massa dell’oscillatore.

La componente non lineare di rigidezza e smorzamento è definita mediante funzioni cubiche dello spostamento e della velocità imposte agli estremi delle molle e degli smorzatori: gli elementi Aer dipendono quindi da spostamento e velocità assoluti della massa aerodinamica, mentre gli elementi Acc dipendono da spostamento e velocità relativi della massa aerodinamica rispetto al cilindro.

Lo schema meccanico è stato scelto sulla base della natura fisica del fenomeno di distacco di vortici. Le forze di Drag e di Lift definite rispetto alla direzione della velocità relativa del flusso possono essere espresse come:

dove CLr e CDr sono i coefficienti di Lift e Drag nel sistema di riferimento considerato, è la densità

del fluido, la velocità relativa tra il cilindro in moto e la corrente fluida incidente e D ed L sono le dimensioni caratteristiche del cilindro considerato, rispettivamente diametro e lunghezza. La forza di Lift, in maniera semplificata, può essere vista come una sinusoide agganciata alla frequenza propria del cilindro e caratterizzata da una fase variabile, , all’interno dell’intervallo di sincronizzazione.

Nello schema riportato in figura sono rappresentati i vettori che indicano le forze agenti sul cilindro. Il sistema ha il solo grado di libertà nella direzione ortogonale alla corrente incidente, quindi la componente di forza che introduce energia nel sistema è :

dove ψ è l’angolo formato dalla velocità relativa con la direzione della vena incidente.La sperimentazione ha mostrato che la forza di Lift è una funzione non lineare delle ampiezze di vibrazione, sulla base di questa osservazione il coefficiente di Lift è stato definito come segue:

dove H e K sono delle costanti.

Introducendo l’ipotesi di piccoli spostamenti si possono introdurre le seguenti approssimazioni

, cosψ e sinψ , riscrivendo l’equazione precedente si ottiene:

-

La relazione precedente mostra come la forza agente sul cilindro in direzione cross-flow sia funzione delle ampiezze di vibrazione attraverso componenti in fase e quadratura, quindi rappresentabili attraverso elementi elastici e smorzanti equivalenti.La caratterizzazione dell’oscillatore equivalente deve basarsi su alcune considerazioni che garantiscono la rispondenza tra il modello meccanico e il fenomeno fisico che questo deve rappresentare:

la massa dell’oscillatore MAer , associata alla lunghezza del modello sezionale, deve oscillare con ampiezze di vibrazione dello stesso ordine di grandezza di quelle del cilindro e gli elementi di accoppiamento elastici e viscosi devono garantire, per queste ampiezze, di esercitare la forza prodotta dal distacco di vortici;

a cilindro fermo l’oscillatore deve vibrare alla frequenza di Strouhal fs. Tale frequenza in condizioni di cilindro stazionario è legata alla velocità del flusso tramite la relazione già esplicitata, vincolo che si concretizza tramite la seguente espressione:

dove con K’Acc e K’Aer sono indicati i termini lineari rispettivamente della rigidezza di accoppiamento e di quella aerodinamica, tenendo conto inoltre che fs;

il comportamento aerodinamico del cilindro dipende dalla velocità del flusso incidente pertanto i parametri di rigidezza e smorzamento del modello sono formulati come funzioni della velocità V della vena fluida;

gli elementi smorzanti RAcc e RAer sono responsabili dell’introduzione o della dissipazione di energia nel sistema, in funzione della velocità del fluido e delle condizioni di moto del modello sezionale. La loro formulazione deve essere tale da garantire che, al variare del rapporto V/VS , la fase tra lo spostamento della massa aerodinamica η e spostamento del cilindro z cambi modulando l’introduzione (o la dissipazione) di energia nel sistema, congruentemente con le rilevanze sperimentali.

Le non linearità del fenomeno reale sono evidenti nel fatto che l’intervallo di velocità del flusso entro cui si manifesta l’eccitazione del cilindro ha dimensioni differenti a seconda delle modalità con cui la velocità stessa varia rispetto alla velocità di Strouhal Vs e nella dipendenza dell’ampiezza di vibrazione dal rapporto V/Vs.

4.1 Equazioni di moto dell’oscillatore equivalente

Nella figura seguente è mostrato il sistema di forze che si scambiano l’oscillatore e il cilindro.

L’equazione di moto dell’oscillatore equivalente è:

in cui FVor è il termine di accoppiamento, mentre FOsc , esplicitato nelle equazioni seguenti, è il termine dovuto agli elementi di collegamento a terra del sistema non lineare in grado di accordare la frequenza di vibrazione alla frequenza di Strouhal, tramite gKaer, e di introdurre energia nel sistema tramite gRaer.

Esplicitando il termine forzante si ha che questo è uguale a:

= - gKaer(η) – gRaer(

= gKacc (z-η) + gRacc (

Analogamente le forze trasmesse dall’oscillatore equivalente al cilindro sono pari a:

= - gKacc (z-η) - gRacc (

Nelle relazioni scritte in forma compatta nell’equazione precedente gKaer e gRaer dipendono non linearmente da spostamento e velocità della massa, mentre gKacc e gRacc sono funzione dello spostamento e della velocità relativa secondo le relazioni riportate di seguito, nelle quali è stata omessa la dipendenza dalla velocità V:

K’acc (zi-ηi)-K’’acc ( 3

’acc ( - ’acc ( 3

I parametri di rigidezza e smorzamento presentano la seguente formulazione:

Con AA si è indicato il termine dipendente dalla velocità del fluido e pari a mentre i

coefficienti chkacc sono delle costanti identificate a partire dai risultati delle prove sperimentali condotte su un modello sezionale.

Concludendo, le evidenze sperimentali dimostrano che tale modello è capace di riprodurre con un buon accordo il fenomeno del distacco dei vortici e la fluidodinamica del fenomeno.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI:

Tesi di Dottorato di Ricerca in Ingegneria dei Sistemi Meccanici di Sara Muggiasca “Vibrazioni indotte dal fenomeno di distacco di vortici su corpi cilindrici: dall’analisi sperimentale allo sviluppo di un modello numerico”- Relatore Prof.Giorgio Diana

Analisi di tunnel flottanti in alveo soggetti ad azioni idrodinamiche- Mariagrazia Di Pilato e Federico Perotti- Fendis 2004