Teorie Della Rottura

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    09-Aug-2015
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1Teorie della rotturaLe teorie della rottura individuano una funzione dello stato tensionale il cui valore una misura della sua pericolosit. Ogni stato tensionale pu quindi essere rappresentato da una quantit scalare, ovvero da un solo numero, che pu essere messo in relazione con un valore critico del materiale. A tale valore scalare viene dato il nome di tensione equivalenteIl rapporto tra il valore critico del materiale e la tensione equivalente il coefficiente di sicurezza della struttura.Teorie della rottura2caso generaletriassialeo1 ,o2 ,o3F=f(o 1 ,o 2 ,o 3) F* =f(o1* ,o2* ,o3*)I due stati di tensione sono ugualmente pericolosi se F = F*caso monoassiale (prova di trazione)o1Particolarmente significativo il confronto con lo stato di tensione che si verifica nella prova del materialeoeConcetto di tensione equivalenteLe teorie della rottura possono essere divise in tre gruppiTeorie basate sullo stato di tensioneMassima tensione normale (Rankine-Lam-Navier) Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)Curva della resistenza intrinseca (Coulomb-Mohr)Massima tensione tangenziale ottaedrica (Rs Eichinger)Teorie basate sulla energia di deformazioneMassima energia di deformazione (Beltrami-Huber-Haig) Massima energia di distorsione (Huber-von Mises-Hency)Teorie basate sullo stato di deformazioneMassima deformazione normale (Poncelet-St. Venant-Grashof)Classificazione delle teorie3Massima tensione normale (Rankine)Il materiale subisce danno quando la massima tensione principale raggiunge un valore critico.o1 > oto2 > oto3 > oto1 < oco2 < oco3 < oc si ha rottura se:ot= tensione di rottura a trazione oc= tensione di rottura a compressioneallinterno del volume il materiale resisteallesterno del volume c rotturasuperficie critica definita dal criterio di Rankine nello spazio delle tensioni principalio2o3o1la superficie la zona criticaCondizione limitecaso triassiale: oL = o1oppure oL = -o3caso monoassiale: oL = o1= oeoe= o1 oppure oe= -o3Nel caso di stato di tensione piano (e quando il cerchio di Mohr massimo individuato sul piano x-y, oz= o2) la tensione equivalente vale:oe =2ox- oy+ txy22\2ox+oyNel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:oe = txytL= oLoL /tL= 1quindi, in base alla teoria di Rankine, la tensione limite a taglio pari alla tensione limite misurata nella prova di trazione Massima tensione normale (Rankine)4allinterno dellarea il materiale resisteIl materiale subisce danno quando la massima tensione tangenziale raggiunge un valore critico.t1= (o2 - o3)t2= (o1 - o3)t3= (o1 - o2)tmax= (o1 - o3)C rottura se: tmax > tLtL= Valore critico del materialeallesterno dellarea c rotturaMassima tensione tangenziale (Tresca-Guest)to3oo2o1t1t2t3Condizione limitecaso triassiale: tL= (o1 - o3)caso monoassiale: tL= o1 = oeoe= o1 - o3C rottura se oe > oLovvero se oe > 2tLtL= oL / 2oL /tL= 2quindi, in base alla teoria di Tresca, la tensione limite a taglio la met della tensione limite misurata nella prova di trazione Nel caso di stato di tensione piano (e quando il cerchio di Mohr massimo individuato sul piano x-y, oz= o2) la tensione equivalente vale:oe =\(ox- oy)2 + 4txy2Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:oe = 2txyMassima tensione tangenziale (Tresca-Guest)5Nel caso di stato di tensione piano:o1 ,o2 =0o3 =0 o1o2rotturaresistenzalimiteZone che, secondo la teoria di Tresca Guest,si trovano nella regione di rotturamentre, in base al criterio di Rankine,dovrebbero trovarsi nella regione di resistenzaMassima tensione tangenziale (Tresca-Guest)superficie critica definita dal criterio di Tresca nello spazio delle tensioni principaliMassima tensione tangenziale (Tresca-Guest)6otCurva intrinseca del materialeIpotesi dellattrito internoMohr osserv che in alcuni materiali il taglio massimo sopportabile maggiore in presenza di uno stato di compressione Curva di resistenza intrinseca (Mohr)allinterno dellarea il materiale resisteallesterno dellarea c rotturaotCD+AoLCoLT+Bsen =ADAB=oLC / 2 - oLT / 2oLC / 2 + oLT / 2oLC / oLT- 1 oLC / oLT+ 1=k =oLCoLTOC = OB + BC = oLT21sen 1+k+1k-11+=oLT2k-1k+1sen =OC =kk-1oLTCurva di resistenza intrinseca (Mohr)O+7otOC P+rr'P+o1o3OP = o1+ o32r = o1- o32Si in condizione limite se il circolo di Mohr tangente alla curva intrinseca:r = (OC-OP)sen kk-1 oLTo1+ o32-o1- o32=k-1k+1Curva di resistenza intrinseca (Mohr)OC =kk-1oLTk-1k+1sen =oLToe= oLTkk-1 oLTo1+ o32-o1- o32=k-1k+1Nel caso monoassiale la tensione equivalente vale la oLTkk-1 oeo1+ o32-o1- o32=k-1k+1Quindi, introducendo la oesi ottiene:Nel caso di stato di tensione piano (e quando il cerchio di Mohr massimo individuato sul piano x-y, oz= o2) la tensione equivalente vale:2ox+ oy2oe=k-1k+k+1kox- oy2+ txy2\Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:k+1ktxyoe=k+1ktL=oLCurva di resistenza intrinseca (Mohr)ke31oo o =8[o1 -v (o2 +o3 ) ]=c1E1= cL[o3 -v (o1 +o2) ]=c3E1= cLNel caso monoassiale si ha:= oeEDal confronto si ha:oe = o1 - v (o2 + o3 )oppure:oe = o3 - v (o1 + o2 )superficie critica definita dal criterio di St. Venant nello spazio delle tensioni principaliIl materiale subisce danno quando la massima deformazione principale raggiunge un valore critico.c1 = o1E= cLMassima deformazione normale (St. Venant)Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale:2ox + oy2oe= (1 - v ) +ox - oy2+ txy2\ (1+v )Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:oe= (1 +v ) txyIl rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale:oLtL= (1 +v ) Massima deformazione normale (St. Venant)9Il materiale subisce danno quando lenergia accumulata per deformazione raggiunge un valore critico.123FU1= FAL = (o1 dy dz) c1 dxU1s=U1dx dy dz= o1 c1U2s= o2 c2 U3s= o3 c3Us= (o1 c1+o2 c2 + o3 c3)Us=[o12+o22+ o32 - 2v(o1o2+ o2o3 + o3o1)]1 2ENel caso monoassiale si ha:Us=o121 2Eoe21 2E=La tensione equivalente si pu quindi scrivere come segue:Massima energia di deformazione (Beltrami)( )3 2 3 1 2 12322212 o o o o o o v o o o o + + + + =eallinterno del volume il materiale resisteallesterno del volume c rotturala superficie rappresenta la condizione limiteo2o1o3Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale:oe=\ox2+oy2- 2oxoy+ 2 (1+v ) txy2Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:oe=\2 (1+v ) txy2Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale:oLtL= \ 2 (1 +v ) Massima energia di deformazione (Beltrami)10Il materiale subisce danno quando lenergia di distorsione accumulata raggiunge un valore critico.stato di tensione triassiale= +stato di tensionesferico (idrostatico):variazione di volumestato di tensione deviatorico:variazione di formaVariazione di volume = AV = Vf- V0 = dx dy dz [(1+ c1) (1+ c2) (1+ c3) -1]AV =dx dy dz [1+ c1+ c2+ c3+ c1 c2+ c2c3+ c3c1+ c1c2c3-1]in campo elastico i termini c2ed c3sono trascurabiliAV =dx dy dz (c1+ c2+ c3)= (c1+ c2+ c3)dx dy dzAVAv =Massima energia di distorsione (von Mises)o1 = S+ o1o2 = S + o2o3 = S + o3"S = (o1+ o2 + o3) / 3Av = (c1+ c2+ c3) =[o1 +o2+ o3- 2v (o1+ o2 + o3)]1 EAvs= 3cs=(o1+ o2 + o3)1 - 2vE=3S1 - 2vE=(o1+ o2 + o3)1 - 2vELa variazione di volume dovuta alla sola parte sferica della tensioneUT=[o12+o22+ o32 - 2v(o1o2+ o2o3 + o3o1)]1 2ERicordando che lenergia specifica (totale) di deformazione data da:la quota parte dovuta al cambiamento di volume data da:UV= [3S2- 2v (3S2)]1 2ES23(1 - 2v )2E= =3(1 - 2v )2E(o1+ o2 + o3)32Massima energia di distorsione (von Mises)11UD= UT - UV-3(1 - 2v )E(o1+ o2 + o3)32[o12+o22+ o32 - 2v(o1o2+ o2o3 + o3o1)]1 2EUD=UD=[(o1 -o2 )2+ (o2 -o3 )2 + (o3 -o1 )2]1+2v3E12Nel caso monoassiale si ha:Quindi, lenergia di distorsione nel caso triassiale si pu scrivere:UD=o1 21+2v3E= oe 21+2v3EIn conclusione, la tensione equivalente data dalla relazione: Massima energia di distorsione (von Mises)( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2621z y x y z z x y x et t t o o o o o o o + + + + + =oppure( ) ( ) ( )23 223 122 121o o o o o o o + + =esuperficie critica definita dal criterio di von Mises nello spazio delle tensioni principaliMassima energia di distorsione (von Mises)12Nel caso di stato di tensione piano (con z direzione principale e oz=0) la tensione equivalente vale:oe= \ox2+oy2- oxoy+ 3txy2Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale:oe= \3 txy2\3 txy=Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale:oLtL= \ 3Massima energia di distorsione (von Mises)Confronto con i dati sperimentaliMateriali duttili13Materiali fragiliConfronto con i dati sperimentaliConfronto tra le varie teorie14Massima tensione normale (Rankine-Lam-Navier) Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest)Curva della resistenza intrinseca (Coulomb-Mohr) Massima deformazione normale (Poncelet-St. Venant-Grashof)Massima energia di deformazione (Beltrami-Huber-Haig)Massima energia di distorsione (Huber-von Mises-Hency)121.2521.251.611.73oLtLValori sperimentaliMateriali fragili = 1 1.25Materiali duttili = 1.75 1.80oLtLRapporto caratteristicoConfronto tra le varie teorieTeorie della rottura